UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA UNIDAD DE CIENCIAS BASICAS DEPARTAMENTO DE FISICA
FÍSICA I
CICLO II, AÑO 2015
DISCUSIÓN DE PROBLEMAS No 1
UNIDAD I: VECTORES I: VECTORES
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A - DEFINICIONES Y CONCEPTOS Esta parte se debe trabajar antes de asistir a la discusión de problemas, ya que es la base para comprender y dar respuesta a las preguntas y resolver los problemas planteados en las secciones posteriores de esta guía. Nota:
Definir, explicar o comentar los siguientes términos 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
Magnitud o cantidad física Cantidad escalar Cantidad vectorial Posición Desplazamiento Magnitud de un vector Negativo de un vector Suma de vectores Resta de vectores Vectores unitarios Vectores paralelos
12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22.
Vectores antiparalelos Componentes de un vector Producto vectorial de dos vectores Producto escalar de dos vectores Sistema de coordenadas rectangulares Regla de la mano derecha Método gráfico de suma de vectores Regla del paralelogramo Componentes rectangulares de un vector Ley de los senos Ley de los cosenos
B - OPCIÓN MÚLTIPLE Dadas las siguientes preguntas, señale la respuesta correcta. 1. Seleccione el literal donde se citan solo magnitudes vectoriales: a) Densidad, posición, desplazamiento. b) Velocidad, fuerza, aceleración. c) Peso, área, volumen. d) Temperatura, rapidez, distancia.
se puede correctamente afirmar que: 2. Del vector −A a) Es más grande que A. b) Su magnitud es menor que la de A. c) Es paralelo al vector A. d) Tiene dirección opuesta a A. + B = C, es: y C , se relacionan como A 3. El diagrama en el cual los vectores A, B a)
C
b)
C
B
A
c)
B
B
d)
C
C
A
A
A
B
− B = C, es: y C , se relacionan como A 4. El diagrama en el cual los vectores A, B a)
C A
b)
B
C A
c)
B
B A
d)
C
B A
C
3
y B , de acuerdo al siguiente diagrama es: 5. La relación del vector C con los vectores A a) A + B C − B b) A A c) B − A + B + C = 0 d) A B y C, de magnitudes 3 unidades cada uno. Sus direcciones son 6. Considere tres vectores A, B perpendiculares y van desde el origen hacia la parte positiva de los ejes x, y, z respectivamente. La magnitud de la suma A + B + C es: a) 3
b) 2
3
c) 3
3
d) 27
y C, de magnitudes A = 4, B = 4 y C = 2 con direcciones 7. Considere tres vectores A, B perpendiculares entre si y dirigidos desde el origen hacia la parte positiva de los ejes x, y, z respectivamente. La magnitud de la suma A + B + C es: a) 36 b) 10 c) 32 d) 6 8. Un vector de magnitud 20 se suma con otro de magnitud 25. Valiéndose para cada alternativa de un diagrama vectorial y de la ley del coseno, determine cuál de los siguientes valores podría corresponder a la magnitud de su suma: a) 3 b) 12 c) 47 d) 50 9. Un vector S de magnitud 6 y otro vector T se suman y se obtiene un vector resultante de magnitud igual a 12. En base a lo anterior es correcto concluir que el vector T : a) Es perpendicular a S y de magnitud 6. b) Puede tener una magnitud de 20. c) Debe tener una magnitud de al menos 6 pero no más de 18. d) Tiene una magnitud mayor que 20. 10. Un vector V de magnitud 12 unidades se encuentra en el cuarto cuadrante formando 30° con el semieje positivo de las x. Su componente rectangular Vy debe ser: a) 6/ 3 b) −6 3 c) 6 d) −6 11. La suma de dos vectores A y B se realiza mediante componentes rectangulares cuyos valores son: Ax = 34.9 m, Ay = - 59.9 m, Bx = - 50.1 m, By = - 29.9 m. La magnitud de la resultante de + B es, en metros: A a) 15.2
b) 105.0
c) 91.1
d) 89.8
4
12. Las componentes rectangulares de un vector A son: Ax = - 8.0 m, Ay = 10.0 m. La dirección de A con respecto al eje + x es, en grados: a) 38.7
b) 51.3
13. La magnitud del vector V = i + j es: a) 2 b) 1
c) 128.7
d) 141.3
c) 2
d)
2 2
14. Un vector en el plano xy está dirigido desde el punto (0,0) al punto (1,1). El vector unitario que corresponde con la dirección de ese vector es: a) i + j b) 0.707 i + 0.707 j c) 1.41 i − 0.41j d) Solo i ó solo j
y E = 4i − 5j + 8k , el resultado de 2D − E es: 15. Si D = 6i + 3j − k a) 8i + j − 6k b) 2i − 11j − 10k c) 16i + j + 7k e) 8i + 11j − 10k y B = 3i + 2j − 4k ; el resultado de 2A = 2i − 3j + k − 3B , es: 16. Dados A a) i − 3j + 14k b) −5i + 3j − 10k c) −5i − 12j + 14k d) i − 8j + 6k y B = −4i + 2j − k , el producto A • B es igual a: = 2i + 3j + k 17. Dados los vectores A a) 3 b) −3 c) 9 d) −9 18. El ángulo entre los vectores A = −3j + k a) 45 b) 135 c) 90 d) 60
− 4k y B = 2j
en grados es:
y B = −4i + 2j − k , en grados es: 19. El ángulo entre los vectores A = 2i + 3j + k a) 100.1 b) 79.9 c) 20.2 d) 36.9
5
y B = −4i + 2j − k , el producto A B es igual a: = 2i + 3j + k 20. Dados los vectores A a) −5i + 2j + 16k b) 5i − 2j + 16k c) 5i + 2j − 16k d) −5i − 2j + 16k (−3j + 2k ) es igual a: 21. El producto vectorial 2i + k a) 3i − 4j − 6k b) −3i + 4j − 6k c) −3i − 4j − 6k d) 3i + 4j + 6k y C de magnitud 3 unidades cada uno, perpendiculares entre si y 22. Considérense tres vectores A , B B = P el dirigidos desde el origen hacia la parte positiva de los ejes x, y, z respectivamente. Si A producto P • C debe ser: a) CERO b) 6 c) 9 d) 27 y C de magnitud 3 unidades cada uno, perpendiculares entre si y 23. Considérense tres vectores A , B B = P el dirigidos desde el origen hacia la parte positiva de los ejes x, y, z respectivamente. Si A producto P C debe ser: a) CERO b) 9 en la dirección de +z c) 27 en la dirección de − d) 27 en la dirección de +y 24. Dados los vectores P = − j + k a) V = i + 2j + 2k b) V = − i − 2j + 2k c) V = − i − 2j − 2k d) V = i + 2j − 2k
y Q = 2i − j , el vector V = Q P es:
C - CUESTIONARIO 1. Mencionar las características de las magnitudes (o cantidades) escalares. Cite al menos 6 ejemplos de esta clase de magnitudes. 2. Exprese las características de las cantidades vectoriales. Cite al menos 5 ejemplos de esta clase de magnitudes. 3. ¿Cuándo son iguales dos vectores? 4. ¿Qué es el negativo de un vector?
6
5. ¿Qué es un vector nulo? 6. Si dos vectores tienen la misma dirección son paralelos, si tienen la misma dirección y magnitud ¿son iguales? 7. Mencionar las leyes aplicables a la suma de vectores. 8. ¿De qué forma se representan simbólicamente los vectores en la pizarra, en esta guía y en los libros? Indicar las diferencias de representación. 9. ¿Pueden sumarse tres vectores que tengan diferentes magnitudes de modo que se tenga una resultante igual a cero?; ¿Qué restricciones deben tomarse en cuenta? Explicar. 10. ¿Se pueden sumar dos vectores de modo que su resultado sea cero? ¿Qué restricciones deben tomarse en cuenta? 11. ¿Puede tener un vector una magnitud igual a cero si una de sus componentes no es cero? 12. ¿Puede ser la magnitud de la diferencia entre dos vectores alguna vez mayor que la magnitud de cualquiera de ellos? 13. Las leyes conmutativa y asociativa, ¿Se pueden aplicar a la resta de vectores? 14. Indique cuáles son las propiedades de dos vectores A y B que hacen que: + B = C y A + B = C a) A b) A + B = C y A + B > C + B = C y A2 + B2 = C2 c) A d) A + B = C y A > C 15. ¿Qué es un vector unitario?
? razona tu respuesta. 16. ¿Tienen unidades los vectores unitarios i , j y k 17. ¿Qué tipos de producto se pueden aplicar al multiplicar dos vectores? 18. ¿Puede ser un producto escalar de dos vectores una cantidad negativa?
B = 0, ¿Deben A y B ser paralelos entre si? 19. Si A 20. Si A • B = 0, ¿Se deduce que A y B son perpendiculares entre sí? 21. Después de estudiar la suma, la resta y la multiplicación de vectores ¿por qué será que no hemos estudiado la división entre vectores? 22. Una pista circular de carreras tiene 300m de diámetro. ¿Cuál es el desplazamiento de un ciclista que sigue la pista del extremo norte al extremo sur? ¿Y cuando da una vuelta completa?
sean cero? 23. Si A y B son vectores distintos de cero, ¿es posible tanto que A • B y A B
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24. ¿Qué resultado se obtiene al efectuar las siguientes operaciones • A a) A b) A A 25. Indique cuales de las siguientes son operaciones matemáticas correctas: a) A • ( B • C ) − B C b) A c) A • ( B C ) (B C ) d) A • C ) e) A (B A
26. Sea A cualquier vector distinto de cero. ¿Por qué es un vector unitario? ¿Qué dirección tiene? A
B) C . De un ejemplo que 27. Considere los dos productos vectoriales sucesivos A ( B C ) y ( A ilustre la regla general de que estos dos productos no tienen la misma magnitud ni la misma dirección ¿puede escoger los vectores A, B y C de modo que estos dos productos vectoriales si sean iguales? Si puede, de un ejemplo. 28. Explique el procedimiento para calcular el ángulo entre dos vectores. 29. Se tiene un vector A diferente de cero. Si A • i = ? acerca de la dirección del vector A
0
= 0 ¿qué puede usted concluir y A • k
• 5B ? 30. El producto punto de dos vectores A y B es −2. ¿Cuál es el resultado de 2A
D - PROBLEMAS PROPUESTOS Contenido 1.4 Suma de vectores: Método gráfico 1.
Considere dos desplazamientos, uno de magnitud 3 m y otro de magnitud 4 m. Muestre gráficamente como pueden combinarse los vectores desplazamiento para obtener un desplazamiento resultante de magnitud (a) 7 m, (b) 1 m, y (c) 5 m.
2.
Un vector A tiene 7 unidades de longitud y apunta hacia el este. Un vector B tiene 4 unidades de longitud y apunta en la dirección 30° al este del norte. Use el método gráfico para encontrar la + B y (b) A − B magnitud y dirección de los vectores: (a) A
3.
Es día de elecciones en El Salvador y un periodista aborda un helicóptero en el aeropuerto de Ilopango para dirigirse a San Miguel. Recorre 108 km con rumbo 12.6° al sur del este y luego de filmar la concurrencia en los centros de votación, se dirige hacia Santa Ana. Para esto se desplaza 164 km con rumbo 20° al norte del oeste. Haga un diagrama vectorial a escala con las direcciones dadas y encuentre la posición de Santa Ana con respecto al aeropuerto de Ilopango.
y C con magnitudes respectivamente de 40 m a 30° al 4. Se realizaron tres desplazamientos A, B oeste del norte, 80 m a 30° al este del norte y 30 m al norte. Dibuje a escala estos vectores y encuentre el vector resultante S = A + B + C gráficamente.
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5. Una fuerza F 1 hace un ángulo de 45 a la derecha de la vertical, otra fuerza F 2 hace un ángulo de 30 a la izquierda de la vertical. La magnitud del vector suma de F1 y F2 es de 20 N, verticalmente hacia arriba. Determinar los módulos de los vectores F 1 y F 2 . Contenido 1.5 Suma de vectores: Método trigonométrico Resolver por el método trigonométrico los problemas 2 y 5 del contenido anterior. Contenido 1.6 Componentes rectangulares 6. Suponga que una persona sube una montaña rusa formada por un segmento de recta de 20 m y un semicírculo de radio 15.0 m, como se muestra en la figura. Determine el desplazamiento de la persona, desde que inicia en S hasta cuando se encuentra en T, que es la cumbre de la montaña.
7. Una partícula tiene tres desplazamientos sucesivos en un plano, como sigue: 4.0 m hacia el suroeste, 5.0 m hacia el este, 6.0 m en una dirección a 60 al norte del este. Seleccione el eje Y apuntando hacia el norte y el eje X apuntando al este y determine: a) Las componentes rectangulares de cada desplazamiento y del desplazamiento total. b) La magnitud y dirección del desplazamiento resultante. c) El desplazamiento que se necesitaría para regresar la partícula al punto de partida.
, B y C tal como se muestran en la figura siguiente, donde: A = 10 m, 8. Dados los vectores A B = 20 m y C = 15 m. Determinar por el método de componentes rectangulares la resultante de sumar los vectores S = A + B + C. Y B
60° 70°
C
A 30°
X
9
, y , tal como se muestran en la figura siguiente, donde A = 40 m, 9. Dados los vectores B = 25 m y C = 30 m. Determinar por el método de componentes rectangulares la resultante de , y sumar los vectores
10. Una persona va por un camino siguiendo la trayectoria desde 0 hasta F que se aprecia en la figura. El recorrido total consta de cuatro trayectorias rectas. ¿Qué desplazamiento resultante de la persona se mide desde el punto de salida hasta el final del camino?
11. Una persona camina del punto A al punto B como se indica en la figura siguiente, ¿cuál es el desplazamiento de esa persona en relación con A?, ¿qué distancia caminó?
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12. Dos vectores A y B tienen magnitudes iguales a 12 unidades. Se encuentran orientados como se indica en la figura y su vector suma es R . Determinar los resultados de las siguientes operaciones: a) Las componentes X y Y de R b) La magnitud del vector ( R ) c) El ángulo que R forma con el eje x.
13. Un elemento estructural se carga de la forma que se muestra en la figura. Determine la magnitud F y la dirección θ de la fuerza F de tal forma que la resultante de las tres fuerzas que actúan sobre la argolla sea igual a cero.
Contenidos 1.7 Producto de un vector por un escalar 1.8 Definición de vector unitario 14. A una cuerda se le aplica una tensión T de magnitud 50 N. La cuerda pasa por los puntos A(1, 2)m y B(4, 6)m. Encuentre: a) El vector de posición B con respecto a A. b) El vector unitario dirigido de A hacia B. c) La expresión vectorial de la tensión, utilizando los vectores unitarios i y j. d) Usando una escala adecuada , haga una figura mostrando los tres vectores. 15. El vector A tiene componentes en los ejes x, y, z de 8, 12 y −6 unidades respectivamente. , en términos de los vectores unitarios. a) Escriba una expresión vectorial para A b) Obtenga, en términos de los vectores unitarios, una expresión para un vector B cuya magnitud sea la cuarta parte de A y que tenga la misma dirección de A. c) Obtenga una expresión, en términos de los vectores unitarios, para un vector C que tenga tres veces la magnitud de A y apunte en dirección contraria a éste.
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16. a) b) c) d)
) un vector unitario? Justifique su respuesta. ¿Es el vector ( i + j + k ¿Puede un vector unitario tener una componente con magnitud mayor que la unidad? ¿Puede un vector unitario tener alguna componente negativa? Si A = a ( 3.0 i + 4.0 j ), donde a es una constante, determine el valor de a que convierte a A en un vector unitario.
Contenido 1.9 Suma de vectores expresados con vectores unitarios
, B = 15 i + 12 j − k y C = i + 3 j − 12 k . = 3 i − j + 6 k 17. Dados los vectores: A a) Encontrar la magnitud de cada vector. b) Determinar el vector unitario en la dirección de cada uno de ellos. , y C = − i + 5 j − 3 k Demuestre que la = 3 i + 4 j, B = 2 i − 2 j + 4 k 18. Se tienen 3 vectores: A suma de los tres vectores se puede calcular empleando varias alternativas, por ejemplo sumando primero A y B, y a la resultante sumarle C; o bien sumando primero B y C y a la resultante sumarle . A 19. Se tienen dos vectores A = 4 i − 2 j y B = − i − 4 j. Determinar los resultados de: a) A + B − B b) A c) 3 A − 5 B d) |3 A − 5 B| e) Encontrar un vector C tal que 2 A − 3 B + C = 0.
= 2 i + 3 j + 20. Suponga que se tienen los siguientes vectores: A = 3 i + 4 j, B . Determine los vectores resultantes de operar: y D = −6 j − 4 k a) A + B + C + D c) A − D + D − B − A b) A d) D
, C = i − 2 k , 3 k
y
21. Tres vectores están dados por A = 2.0 i + 3.0 j, B = 1.0 i + 5.0 j y C = −1.0 i − 2 j . Encuentre las + c2B = C constantes c1 y c2 tal que c1A Contenido 1.10 Producto de vectores
y el vector = i + 2j + k 22. Demuestre que el ángulo comprendido entre los vectores A , es el doble del ángulo comprendido entre C = i + 4 j + k y D = 2 i + 5 j + B = 2 i + j − k 23. Tres vectores suman cero, tal como se muestra en el triángulo de la siguiente figura. Calcule: • B a) A B b) B C 3 C c) C • A 5 4
A
5 k
12
, D , E = 2 i − j + 3 k y F = 4 i + = 5 i + j + k 24. Dados los vectores: C = 2 i + k a) C • D y E b) El ángulo entre D c) C E , efectuando el producto entre los vectores unitarios. , utilizando determinantes. d) F D
. 2 k
Efectuar:
25. Considere un vector A dado por la expresión A = 3 i + 6 j. Admitiendo que existe un vector , halle las componentes B x y By del vector B. B = Bx i + By j , tal que A • B = 3 y A B = 3 k 26. Se tiene un vector A con la magnitud de 10 unidades y otro B con la magnitud de 6 unidades • B y b) A B cuyas direcciones difieren en 60 . Determinar: a) A 27. Dados el vector A, tal como se muestra en la figura y el vector B = −6 i − 8 j, que no se muestra. Calcular: a) Las componentes horizontal y vertical del vector A. b) El vector suma S = A + B. c) |S | y el ángulo que forma éste con el semieje positivo de las x. • B y d) El producto A . e) El producto vectorial A B
, B = − i − 4 j + 28. Tres vectores están dados por: A = 3 i + 3 j − 2 k Determinar: a) El ángulo entre A y B y C b) El ángulo entre A c) A • ( B C ) • ( B + C ) d) A
2 k
. y C = 2 i + 2 j + k
29. Un vector se expresa como A = i cos ωt + j sen ωt, donde ω es constante, t es el tiempo (variable independiente), i y j son los vectores unitarios, constantes en magnitud y dirección. Demuestre /dt es un vector perpendicular a A. que dA
y B = Bx i + 3.0 j + 30. Dos vectores A = 5.0 i − 2.0 j + 3 k , encuentre los valores de Bx , Bz y Cz . C = A x B = 2.0 j + Cz k
, Bz k
tienen un producto vectorial
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E- PROBLEMA RESUELTO A una columna se le aplican las fuerzas de la forma mostrada en la figura. Exprese cada una de las tres fuerzas que actúan sobre la columna por medio de sus componentes rectangulares y calcule la magnitud de la fuerza resultante.
SOLUCIÓN Hay que determinar las componentes rectangulares de cada uno de los vectores 1 , F 2 y F 3 , dibujando los vectores en un F sistema de coordenadas rectangulares, tal como se muestra en la figura adyacente.
Observando la figura las componentes rectangulares de F1 son: F1x = F1 (3/5) = (150 N )( 3/5) = 90.0 N F1Y = - F1 (4/5) = - (150 N)(4/5) = - 120.0 N Las componentes rectangulares de F2 son: F2x = 0 N F2Y = - 275 N Las componentes rectangulares de F3 son: F3X = - F3 cos 60° = - 75 cos 60° = - 37.5 N F3y = - F3 sen 60° = - 75 sen 60° = - 65.0 N
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Hay que determinar las componentes rectangulares de la fuerza total F Rx y FRy FRx = F1x + F2x + F3x = 90.0 N – 37.5 N = 52.5 N FRy = F1y + F2y + F3y = - 120.0 N – 275 N – 65.0 N = - 460.0 N La magnitud de la fuerza total se calcula utilizando el teorema de Pitágoras: FR =
F Rx
2
F Ry
2
52.5
2
2 460 =
214,356.25
463.0 N
DESARROLLO DE LA DISCUSIÓN No 1 (Primera Parte) UNIDAD I VECTORES (1.1 a 1.6.1) SEMANA 2
TIEMPO
ACTIVIDAD
CONTENIDOS
10 minutos
Explicación de la metodología de discusión El docente inicia la actividad dando lugar a la
90minutos
participación de los estudiantes tal como se explica
B: 4, 5, 7, 8, 9 y 10
en la sección V.2 Discusión de problemas y
C: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, y 9
conceptos, del programa.
D: 3, 4, 5 (método trigonométrico), 6 y 10
DISCUSIÓN No 1 (Segunda Parte) UNIDAD I VECTORES (1.7 a 1.10.2) SEMANA 3 TIEMPO
ACTIVIDAD El docente inicia la actividad dando lugar a la participación de los estudiantes tal como se
100 minutos
explica en la sección V.2 Discusión de problemas y conceptos, del programa.
CONTENIDOS B: 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20 y 21 C: .15, 17, 20, 25 y 28 D: 16d, 17, 18, 23 y 24
