ESTRUCTURAS DE MADERA
CAPÍTULO III
CAPITULO 3
DISEÑO DE VIGAS Una viga es un elemento elemento estructural estructural que resiste resiste cargas transversal transversales. es. Generalment Generalmente, e, las cargas cargas actúan actúan en ángulo ángulo recto con respect respectoo al eje longitudi longitudinal nal de la vig viga. a. Las cargas cargas aplicadas sobre una viga tienden a flexionarla y se dice que el elemento se encuentra a flexión. flexión. Por lo común, los apoyos de las vigas se encuentran en los extremos o cerca de ellos y las fuerzas de apoyo hacia arriba se denominan reacciones.
3.1 3.1
PROP PROPIE IEDA DADE DESS DE DE LAS LAS SECC SECCIO IONE NESS
Además de la resistencia de la madera, caracterizada por los esfuerzos unitarios admisibles, el comportamient comportamientoo de un miembro miembro estructural estructural también también depende de las dimensiones dimensiones y la forma de su sección transversal, estos dos factores se consideran dentro de las propiedades de la sección. 3.1. 3.1.11 Cent Centrroide oidess.- El centro de gravedad de un sólido es un punto imaginario en el cual se considera que todo su peso está concentrado o el punto a través del cual pasa la result resultant antee de su peso. El punto en un área área plana que corresp corresponde onde al centro centro de gravedad de una placa muy delgada que tiene las mismas áreas y forma se conoce como el centroide del área. Cuando una viga se flexiona debido a una carga aplicada, las fibras por encima de un cierto plano en la viga trabajan en compresión y aquellas por debajo de este plano, a tensión. Este plano se conoce como la superficie neutra. La intersección de la superficie neutra y la sección transversal de la viga se conoce como el eje neutro. 3.1. 3.1.22 Mome Moment ntoo de in iner erci ciaa En la figura 3-1 se ilustra una sección rectangular de ancho b y alto h con el eje horizontal X-X que pasa por su centroide a una distancia c =h/2 a partir de la cara superior. En la sección, a representa un área infinitamente pequeña a una distancia z del eje X-X .
Si se multiplica multiplica esta área infinitesimal infinitesimal por el cuadrado de su su distancia
al eje, eje, se obti obtiene ene la la cantida cantidadd ( a x z 2). El área completa de la sección estará constituida por un número infinito de estas pequeñas áreas elementales a diferentes distancias por arriba y por debajo del eje X-X. UNIVERSIDAD UNIVERS IDAD MAYOR DE SAN SIMON
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CAPÍTULO III
Entonces, el momento de inercia se define como la suma de los productos que se obtienen al multiplicar todas las áreas infinitamente pequeñas por el cuadrado de sus distancias a un eje. FIGURA 3.1 Y b
a c
z
h X
X
Y
Ref.: Elaboración Propia
Los dos ejes principales de la figura son X-X y Y-Y, pasan por el centroide de la sección rectangular, con respecto a un eje que pasa por el centroide y es paralelo a la base es I X-X = bh3/12, con respecto al eje vertical, la expresión sería IY-Y = hb3/12. 3.1. 3.1.33 Rad adio io de Gi Girro.o.Esta propiedad de la sección transversal de un miembro estructural está relacionada con el diseño de miembros sujetos sujetos a compresión. Depende de las dimensiones y de la forma geométrica geométrica de la sección y es un índice de la rigidez rigidez de la sección cuando se usa como columna. El radio de giro se define matemáticamente como r= I / A , Donde I es el momento de inercia y A el área de la sección. Se expresa en centímetros porque el momento de inercia está en centímetros a la cuarta potencia y el área de la sección transversal está en centímetros cuadrados. El radio de giro no se usa tan ampliamente en el diseño de madera estructural como en el diseño de acero estructural. estructural. Para las secciones secciones rectangulares rectangulares que se emplean comúnmente comúnmente en las columnas de madera, es más conveniente sustituir el radio de giro por la dimensión lateral mínima en los procesos de diseño de columnas.
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CAPÍTULO III
3.2 3.2 DEFLE EFLEX XION IONES AD ADMISI ISIBLE BLES Se llama flecha o deflexión a la deformación que acompaña a la flexión de una viga, vigueta o entablado. La flecha se presenta en algún grado en todas las vigas, y el ingeniero debe cuidar que la flecha no exceda ciertos límites límites establecidos establecidos.. Es importante importante entender que una viga puede ser adecuada para soportar la carga impuesta sin exceder el esfuerzo flexionante admisible, pero al mismo tiempo la curvatura puede ser tan grande que aparezcan grietas en los cielos rasos suspendidos revestidos, que acumule agua en las depresiones de las azoteas, dificulte la colocación de paneles prefabricados, puertas o ventanas, o bien impida el buen funcionamiento de estos elementos. Las deflexiones deben calcularse para los siguientes casos: a.- Combinación más desfavorable de cargas permanentes y sobrecargas de servicio. b.- Sobrecargas de servicio actuando solas. Se recomienda que para construcciones residenciales estas no excedan los límites indicados en la siguiente Tabla: Tabla: TABLA 3.1: DEFLEXIONES MAXIMAS ADMISIBLES Carga Actuante
Cargas permanentes + sobrecargas Sobrecarga
(a) con cielo
(b) sin cielo
raso de yeso
raso de yeso
L/300
L/250
L/350
L/350
Ref.: TABLA 8.1 de Pág. 8-3 del “ Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino ”
L es la luz entre caras de apoyos o la distancia de la cara del apoyo al extremo, en el caso de volados. Los valores indicados en la columna (a) deben ser utilizados cuando se tengan cielos rasos de yeso u otros acabados que pudieran ser afectados por las deformaciones: en otros casos deben utilizarse los valores de la columna (b). Aunque las consideraciones para definir la flecha pueden ser importantes, la determinación precisa de la flecha es un objetivo inalcanzable por las siguientes razones:
La determinación de las cargas siempre incluye algún grado de aproximación.
El módulo de elasticidad de cualquier pieza individual de madera siempre es un valor aproximado.
Exis Existe tenn dife difere rent ntes es rest restri ricci ccione oness en la defor deforma maci ción ón estr estruct uctur ural al debid debidoo a la
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distribución de cargas, resistencias en las uniones, rigidez debida a elementos no estructurales de la construcción, etc. Las deflexiones en vigas deben ser calculadas con el módulo de elasticidad Emin del grupo de la madera estructural especificado. Para entablados debe utilizarse el E promedio, las deflexiones en viguetas y elementos similares pueden también determinarse con el E promedio, siempre y cuando se tengan por lo menos cuatro elementos similares, y sea posible una redistribución de la carga. Los módulos de elasticidad para los tres grupos de maderas estructurales considerados se indican en la tabla 3.2.: TABLA 3.2: MODULO DE ELASTICIDAD (kg/cm2) GRUPO A
GRUPO B
GRUPO C
Emínimo
95,000
75,000
55,000
Epromedio
130,000
100,000
90,000
Ref.: TABLA 8.2 de Pág. 8-3 del “ Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino”
3.3 3.3 REQUI EQUISI SIT TOS DE RESI RESIST STEN ENCI CIA A 3.3.1 Flexión.- El momento flexionante es una medida de la tendencia de las fuerzas externas que actúan sobre una viga, para deformarla. Ahora se considerará la acción dentro de la viga que resiste flexión y que se llama momento resistente. Para cualquier tipo de viga se puede calcular el momento flexionante máximo generado por la carga. Si se desea diseñar diseñar una viga para resistir resistir esta carga, carga, se debe seleccionar un miembro con una sección transversal de forma, área y material tales, que sea capaz de producir un momento resistente igual momento flexionante máximo; lo anterior se logra usando la fórmula de la flexión. Por lo común la fórmula de la flexión se escribe como: σ =
M⋅y I
Donde el tamaño y la forma de la sección transversal están representados por la inercia (I) y el material del cual está hecha la viga está representado por σ, la distancia del plano neutro a cualquier fibra de la sección esta representa por “y”, el esfuerzo en la fibra más alejada del eje neutro se le llama esfuerzo de la fibra extrema (c). UNIVERSIDAD UNIVERS IDAD MAYOR DE SAN SIMON
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CAPÍTULO III
Para vigas rectangulares: FIGURA 3.2 SECCION TRANSVERSAL, DISTRIBUCION DE ESFUERZOS NORMALES PRODUCIDOS POR FLEXION b c=h2
Mc I My I EJE NEUTRO
y
c=h2
Ref.: Elaboración Propia
Sustituyendo los datos para una viga rectangular y para obtener el esfuerzo de la fibra extrema tendremos: h M⋅c 2 σ = = I b ⋅ h 3 12 M⋅
σ f =
6 ⋅ M max b ⋅ h
2
Los esfuerzos de compresión y de tensión producidos por flexión (σ), que actúan sobre la sección transversal de la viga, no deben exceder el esfuerzo admisible, f m, para el grupo de madera especificado. TABLA 3.3: ESFUERZO MAXIMO ADMISIBLE EN FLEXION, fm(kg/cm2) GRUPO A
210
GRUPO B
150
GRUPO C
100
Ref.: TABLA 8.3 de Pág. 8-4 del “ Manual de] Diseño para Maderas del Grupo Andino”
Estos esfuerzos pueden incrementarse en un 10% al diseñar entablados o viguetas si hay una acción de conjunto garantizada. 3.3.2 Corte.- Como mencionamos en el capítulo anterior, se produce un esfuerzo cortante cuando dos fuerzas iguales, paralelas y de sentido contrario tienden a hacer resbalar, resbalar, una sobre otra, las superficies contiguas de un miembro. En la figura 3.3a
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se repres represent entaa una vig vigaa con una carga carga uni unifor formem mement entee distri distribui buida. da. Existe Existe una tendencia en la viga a fallar colapsándose entre apoyos, como se indica en la figura 3.3b. éste es un ejemplo de cortante vertical. En la figura 3.3c se muestra, en forma exagerada, la flexión de una viga y la falla de partes de la viga por deslizamiento horizontal, este es un ejemplo de cortante horizontal. Las fallas por cortante en las vigas de madera madera se deben al esfuerzo cortante cortante horizontal horizontal,, no al vertical. Esto es verdad debido que la resistencia al esfuerzo cortante de la madera es mucho menor en el sentido paralelo a las fibras que en el transversal a éstas. FIGURA 3.3 GENERACION GENERAC ION DEL ESFUERZO ESFUER ZO CORT CORTANTE
(a)
(b)
( c)
Ref.: Elaboración Propia
Los esfuerzos cortantes unitarios horizontales no están uniformemente distribuidos sobre la sección transversal de una viga. El esfuerzo de corte en una sección transversal de un elemento a una cierta distancia del plano neutro puede obtenerse mediante: V ⋅S τ = b ⋅ I En esta expresión se tiene: τ= esfuerzo cortante unitario horizontal, en cualquier punto específico de la sección. V= fuerza cortante vertical total en la sección elegida S= momento estático con respecto al eje neutro del área de la sección transversal. I= momento de inercia de la sección transversal de la viga con respecto a su eje neutro. b= ancho de la viga en el punto en el que se calcula τ. Para una viga de sección rectangular el máximo esfuerzo de corte co rte resulta al sustituir: h h b ⋅ h 2 S = b × × = ; 2 4 8 V ⋅ S V × bh 2 / 8 τ = = I ⋅ b bh 3 / 12 × b
b ⋅ h 3 I= 12
Q 3 ESFUER FIGURA 3.4 GENERACION GENERAC ION τDEL CORTANTE EN UNA VIGA = ESFUERZO ⋅ max ZO CORTANTE 2 b ⋅ h UNIVERSIDAD UNIVERS IDAD MAYOR DE SAN SIMON
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3 V 2 bh
b h 2
h 4
x h
Ref.: Elaboración Propia
Los esfuerzos cortantes, τ, no deben exceder el esfuerzo máximo admisible para corte paralelo a las fibras, f v, del grupo de madera estructura especificado. TABLA 3.4: ESFUERZO MAXIMO ADMISIBLE PARA CORTE PARALELO A LAS FIBRAS, fv(kg/cm2) GRUPO A
15
GRUPO B
12
GRUPO C
8
Ref.: TABLA 8.4 de Pág. 8-5 del “ Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino”
Estos esfuerzos pueden incrementarse en un 10% 1 0% al diseñar entablados o viguetas si hay una acción de conjunto garantizada.
3.4 ESCUADRÍA ÓPTIMA FIGURA 3.5
y R : Radio promedio de tronco
R y
h
R
x
y
x
x b
Ref.: Elaboración Se desea establecer una relación entre la basePropia y la altura de una viga de sección rectangular,
de tal manera que la capacidad resistente de esta viga sea la mayor posible, de esta forma se UNIVERSIDAD UNIVERS IDAD MAYOR DE SAN SIMON
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puede utilizar un tronco de madera con el menor desperdicio. Como la deformación gobierna el diseño, entonces debe encontrarse dimensiones que generen el mayor momento de inercia posible. I=
b ⋅ h 3 12
R 2 = x 2 + y 2 y 2 = R 2 − x 2 y=
R 2 − x 2 .......... ......(1)
I=
I=
4 3
2x ⋅ (2y)3 12
⋅x ⋅(
R 2 − x 2 )3
4 I = ⋅ x ⋅ (R 2 − x 2 )3 3 4 I = ⋅ x 2 ⋅ (R 2 − x 2 )3 3 Derivando la inercia en función de x: I'x =
4 1
−1 2 3 2
⋅ ⋅ [ x ⋅ (R − x ) 3 2 2
2
]
2 2 2 2 2 2 3 [ ] [ { ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − + − x (3 (R x ) ) ( 2x) (R x ) ⋅ (2x) ]
Simplificando la expresión: I'x =
4 3
⋅
{ [x
2
⋅ (3 ⋅ (R 2 − x 2 ) 2 ) ⋅ (−2x)] +[(R 2 − x 2 )3 ⋅ (2x) ]
}
2 ⋅ x 2 ⋅ (R 2 − x 2 )3
Ahora se iguala a cero la la expresión derivada, esto con el fin de encontrar el punto crítico, o sea para maximizar la inercia: I'x =
4 3
⋅
{ [x
2
⋅ (3 ⋅ (R 2 − x 2 )2 ) ⋅ (−2x)] + [(R 2 − x 2 )3 ⋅ (2x)] 2 ⋅ x ⋅ (R − x ) 2
2
2 3
}
=0
Simplificando la expresión:
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}
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CAPÍTULO III
I ' x = − x 2 ⋅ (3 ⋅ (R 2 − x 2 ) 2 ) + (R 2 − x 2 ) 3 = 0 I ' x = −3x 2 + (R 2 − x 2 ) = 0
R 2 = 4x 2 x=
R 2
∴ b =
R
Reemplazando x en ecuación (1): y=
y=
2
R −
3 4
y = R ⋅
R 2 4
⋅ R 2 3 4
y = 0.866R
Ahora como h = 2y entonces: h = 1.73R
Y también como b = R:
h b
= 1.73
Toda vez que se asume una escuadría para el diseño de una viga se debe procurar que la altura sea 1.73 veces de la base.
3.5 VIGAS COMPUESTAS UNIVERSIDAD UNIVERS IDAD MAYOR DE SAN SIMON
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CAPÍTULO III
3.5.1 3.5.1 Vigas refo reforza rzadas das late lateral ralment mentee con perfil perfiles es de acero acero FIGURA 3.6
1
2 Madera
Madera
Pernos
Pernos
h
h
Planchas
b
b
Ref.: Elaboración Propia
Cuando las cargas que actúan sobre las vigas de madera son grandes, y fundamentalmente cuando la longitud de las vigas es de 7.5 a 8 metros (esto ocurre en los puentes), es necesario reforzar la escuadría de la viga con perfiles de acero colocados lateralmente en ambas caras tal como se observa en la figura. Algunas veces las condiciones arquitectónicas arquitec tónicas de una estructura, obligan también a utilizar este procedimiento de refuerzo. Lo más importante del método constructivo es el aumento de la rigidez y la mejoría de la estabilidad dimensional, en especial con respecto a la flecha producida por cargas de larga duración, que son posiblemente las más significativas. Los componentes de una viga reforzada con acero se sujetan firmemente entre si con pernos que los atraviesan, de modo que los elementos actúen como una sola unidad. Espesores de las planchas:
e
1/4’’
1/8’’
1/16”
1/32” No es conveniente usar mayores espesores de plancha, debido a su mayor peso propio.
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CAPÍTULO III
Principio: “La deformación vertical de ambos materiales debe ser la misma”. Cuando las vigas de madera se refuerzan por medio de perfiles de acero dispuestos lateralmente, habrá que tener en cuenta para efectos de cálculo, los distintos módulos de elasticidad, del acero Ea y de la madera Em. Bajo la hipótesis de que tanto los perfiles de acero como la viga de madera experimentan la misma deformación vertical, esto ocurre siempre y cuando el elemento de unión (perno) este adecuadamente apretado. Entonces siguiendo el principio, y para una viga simplemente apoyada con una carga q uniformemente distribuida se tiene:
f mad =
Flecha para la madera:
f ac =
Flecha para el acero:
5 ⋅ q m ⋅ L4 384 ⋅ E m ⋅ I m
5 ⋅ q a ⋅ L4 384 ⋅ E a ⋅ I a
Entonces por el principio:
f mad = f ac Entonces:
qm Em ⋅ Im qm qa
=
Em ⋅ Im Ea ⋅ Ia
=
qa E a ⋅ Ia
, donde
q TOTAL = q m + q a
3.5.2 Vigas acopladas mediante cuña horizontal de madera La figura 3.7. muestra el acoplamiento de 2 vigas mediante un grupo de cuña-perno. Estos acoplamientos se utilizan especialmente en la construcción de puentes. Con el acoplamiento se pretende construir grandes basas de altura “h” comprendidas entre 60 cm y 80 cm: 60
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CAPÍTULO III FIGURA 3.7
Ø
a
CUÑA
h 2
T2
t
σ a
e
h
T1 T3
h 2
PERNO
b
Ref.: Elaboración Propia
t⇔
h [cm] ; 12 - 20
d ≥ 5 ⋅ t;
h [cm] ≥ 1" ; 15 - 20
e⇔
φ ≅
b [cm] 10
El estudio de estos acoplamientos no obedece a desarrollos teóricos (teoremas, etc.), Estos valores referenciales han sido determinados determinados experimentalmente (Norma Alemana DIN) La separación “e” se deja para permitir aireación aireación entre las vigas evitando evitando de esta forma la putrefacción de ellas, sin embargo debe procederse a su mantenimiento y limpieza cuando sea necesario. La madera de la cuña debe ser por lo menos del mismo grupo que la madera de las vigas y el acero del perno no debe ser corrugado. Ante la acción de las cargas, las vigas que intervienen en el acoplamiento tienden a deslizarse las unas respecto a las otras. Entonces se origina la fuerza “T 1” de aplastamiento sobre la penetración de la cuña en la madera. T1 = σ a ⋅ b ⋅ t
Donde: σa = Esfuerzo de aplastamiento de la madera en la cuña, (30 k/cm2 - 50 k/cm2). Cuando se apretan apretan los pernos pernos se generan generan las fuerzas fuerzas “T2” sobre la cabeza de las cuñas, experimentalmente se ha determinado que “T2” depende del diámetro (φ) del perno: π ⋅ φ
2
T2 = µ ⋅ f s ⋅ A p ; ⇔ µ ⋅
4
⋅ f s ;
µ = (0.5 - 0.6)
Ante la acción de cargas los pernos presionan sobre el hueco que se ha hecho en la madera para introducir los pernos, está presión esta representada por “T3”. T3 = (150 - 170) ⋅ φ 2 ; Donde φ en cm. Entonces la capacidad de carga (de resistencia) del grupo cuña-perno será: T=T1+T2+T3 En esta suma T1 es dominante y muchas veces solamente se toma éste, dejando T2 y T3
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CAPÍTULO III
como factores de seguridad. Ahora determinaremos el número de cuñas: FIGURA 3.8
h 2
h h 2
b
Ref.: Elaboración Propia
Z=
I cg (Momento de inercia de toda la escuadría) Q (Momento estático) b ⋅ h 3 Z=
2 12 = ⋅h h h 3 b ⋅ ⋅ 2 4
Con este valor es posible calcular la fuerza horizontal que origina el deslizamiento entre vigas: M H = MAX Z Entonces el número de cuñas será: H n≅ T Es conveniente, para estar del lado de la seguridad sustituir T por T1. Finalmente en el punto medio entre 2 cuñas adyacentes se ubicará un perno.
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CAPÍTULO III
Ejemplo 1: 1: Encontrar la escuadría de una viga de 6.5 metros de longitud, que se encuentra simplemente apoyada, y soporta una carga uniformemente distribuida de 0.3 toneladas por metro. El esquema es el siguiente: q = 0.3 t/m
A
B 6.5m
Se debe elegir el grupo al cual pertenece la madera a utilizar; en este este caso se usará madera del GRUPO A, que será el ALMENDRILLO. 210 k/cm2 15 k/cm2 95000 k/cm2
adσ f
adτ E
• Grupo A (Almendrillo)
L (cm)
adf
275
γ
800 k/m3
Para hallar la carga debido al peso propio se debe asumir la base y la altura de la sección de la madera; para asumir una sección aproximada se debe recurrir a las siguientes ecuaciones: ecu aciones:
• h = 1.73 ⋅ b • adσ f
=
M Z
Donde la primera ecuación es la relación relación de escuadría escuadría óptima, y la segunda ecuación ecuación es la ecuación de flexión, donde M es el momento por carga viva y Z es el módulo de la sección, entonces: adσf =
M Z
=
M b ⋅ h
=
2
6M b ⋅ h
2
6
Sustituyendo la el valor de la altura de la escudaría óptima: adσ f =
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6M b ⋅ (1.73 ⋅ b)
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2
=
2⋅M b 3 FACULTAD FACULTAD DE CIENCIAS CIENC IAS Y TECNOLOGIA TECNOLO GIA
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CAPÍTULO III
Entonces: b = 3
2⋅M adσ f
Ahora se halla el momento producido por la carga viva: M=
CT ⋅ L2
=
8
300 ⋅ 6.52 8
= 1584.38 k ⋅ m
Pero además se debe hacer incidir el coeficiente de seguridad a flexión (se tomará el valor de 2).Entonces la base será: b =
3
2 ⋅ 158438 = 14.45cm 210 2
h = 1.73 ⋅ 14.45 = 25cm
Pero como por lo general la comercialización de la madera se realiza en pulgadas, se ve por conveniente redondear las dimensiones de la sección, y además aumentarla un poco debido a que no se tomó en cuenta el peso propio: ESCUADRÍA:
b =15 cm
h =25 cm
El peso propio será: P p = γ ⋅ b ⋅ h
P p = 800 k/m3 . 0.15 m . 0.25 m = 30 k/m La carga total será:
C T = q + Pp
CT = 330 k/m Las reacciones serán: R A =
R A =
q⋅L
650 ⋅ 6.5 2
2
= 1072.5 k
R B = 1072.5 k
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CAPÍTULO III
Los esfuerzos internos serán los que se presentan en el siguiente diagrama; el momento máximo se calcula con: M MAX =
C T ⋅ L2 8
=
330 ⋅ 6.5 2 8
= 1742.81 k ⋅ m
Diagrama de esfuerzos internos: q = 0.3 t/m
Pp A
B 6.5m
1072.5 k
1072.5 k
1072.5 k CORTANTES
3.25m
1072.5 k Mmax=1742.81 k.m. MOMENTOS
x a m M
FLEXIÓN :
σ f =
σ f =
6 ⋅ M max b ⋅ h
6 ⋅ 174281 15 ⋅ 25
2
2
= 111.54 k / cm 2
Como este valor es menor al admisible, entonces cumple.
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CAPÍTULO III
El coeficiente de seguridad a la flexión será: C.Seg f =
adσ f
σ f
=
210 111.54
= 1.88
Este coeficiente es muy bajo, debe salir mayor o igual a 2, entonces se sospecha que se deberá cambiar de escuadría, pero por razones académicas se continuara el ejercicio. CORTE: τ=
τ=
3 Q max ⋅
2 b ⋅ h
3 ⋅ 1072.5 2 ⋅ 15 ⋅ 25
= 4.29 k / cm
2
Como este valor es menor al admisible, entonces cumple. El coeficiente de seguridad al corte será: C.Seg τ =
τ 15 = = 3.50 τ 4.29
ad
Este coeficiente es un valor aceptable. DEFORMACION: La deformación admisible será: será: adf =
L (cm) 275
=
650 275
=
2.36 cm
La flecha que produce la carga será: f =
5 ⋅ q ⋅ l4 384 ⋅ E ⋅ I
5 ⋅ 3.3 ⋅ 650 4
=
384 ⋅ 95000 ⋅
15 ⋅ 253
= 4.13 cm
12
Como este valor es mayor al admisible, entonces falla, ∴ CAMBIAR ESCUADRIA! Los tres tres fenóme fenómenos nos (flexi (flexión, ón, corte corte y deform deformaci ación) ón) no son aislad aislados, os, se presen presentan tan simultáneamente. En general en las maderas la deformación es el fenómeno más peligroso, mas que la flexión, mas que el corte. Por eso se exige en las maderas un coeficiente de seguridad para la deformación entre 1.5 a 2. Como la escuadría asumida es insuficiente: AFINAMIENTO
Para el afinamiento se va añadiendo de pulgada en pulgada.
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b =15 cm
h41=35 cm
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CAPÍTULO III
El peso propio será: P p = γ ⋅ b ⋅ h
P p = 800 k/m3 . 0.15 m . 0.35 m = 42 k/m La carga total será: C T = q + Pp
CT = 342 k/m DEFORMACION : La flecha que produce la carga será:
f =
5 ⋅ q ⋅ l 4 384 ⋅ E ⋅ I
5 ⋅ 3.42 ⋅ 650 4
=
384 ⋅ 95000 ⋅
15 ⋅ 35
3
= 1.56 cm
12 Como este valor es menor al admisible, entonces cumple. El coeficiente de seguridad a la deformación será: C.Seg f =
ad f
f
=
2.36 1.56
= 1.51
Este valor de coeficiente de seguridad a la deformación entra en el rango recomendado de 1.5 a 2, por lo tanto la escuadría asumida cumple. Nota.- La deformación gobierna el diseño (es el efecto más desfavorable para maderas). Los coeficientes de seguridad sirven para asegurar la estructura ante cargas que no hubiesen sido consideradas, o algunos defectos defec tos de la madera que se va a emplear. Otra alternativa del ejercicio anterior hubiese sido modificar las condiciones de apoyo, como por ejemplo en vez de ser simplemente apoyado, que fuese empotrado-empotrado para así disminuir la deformación.
Ejemplo 2: 2: Se dispone de madera del grupo A para construir una viga de puente, por el
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CAPÍTULO III
puente transita el tren que se observa o bserva en la figura. Determine la escuadría de la viga. El esquema es el siguiente: 0.2 t
0.2 t Pp A
B
1.5 [m]
6.0 [m]
Se asumirá los siguientes datos del GRUPO A. 210 k/cm2 15 k/cm2 95000 k/cm2
adσ f
o
adτ E
Grupo A
L (cm)
adf
275
γ
750 k/m3
Para predimensionar la sección (lo explicado en el anterior ejemplo): 2⋅M
b = 3
adσ f
Ahora se halla el momento producido por la carga viva, para esto se ubica la carga en la posición más desfavorable (análisis de línea de influencia):
0.2t 0. 2t
A
0.2t 0. 2t
B
2.25m
De los formularios de los anexos del capitulo ca pitulo 3: M = P ⋅ a = 200 ⋅ 2.25 = 450 k ⋅ m Pero además se debe hacer incidir el coeficiente de seguridad a flexión (se tomará el valor de 2).Entonces la base será: b =
3
2 ⋅ 45000 = 9.50cm 210 2
h = 1.73 ⋅ 9.50 = 16.435cm
Pero como por lo general la comercialización de la madera se realiza en pulgadas, se ve por UNIVERSIDAD UNIVERS IDAD MAYOR DE SAN SIMON
43
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ESTRUCTURAS DE MADERA
CAPÍTULO III
conveniente redondear las dimensiones de la sección, y además aumentarla un poco debido a que no se tomó en cuenta el peso propio:
ESCUADRÍA:
b =12.5 cm h =25 cm
El peso propio será: P p = 750 k/m3 . 0.125 m . 0.25 m = 23.44 k/m P p=25 k/m ESTÁTICA: Debe posicionarse el tren de tal manera que esa posición genere los esfuerzos máximos (Flexión, cortante y deformación).Se colocan las dos cargas simétricas simétricas respecto el centro de la viga (análisis de línea de influencia). FLEXIÓN : La sección crítica para el momento máximo es el centro del tramo por tanto debe situarse el tren de manera compartida respecto al centro. 0.2 t
0.2 t
A
B
x 275 k
∑M
A
275 k
= 0 ⇒ ( 2.25 + 3.75) ⋅ 200 − 6 ⋅ VB + 150 ⋅ 3 = 0 VB = 275k ⇒ VA = VB = 275k
555. 555.46 46 k ۰ m 0 k ۰m
x2 = 275 ⋅ x - 25 ⋅ M 2 0 < x < 2.25
x2 = 275 ⋅ x - 25 ⋅ − 200 ⋅ ( x − 2.25) M 2 2.25< x <3
σ f =
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562. 562.50 50 k ۰ m 555. 555.46 46 k ۰ m
6 ⋅ M max b ⋅ h
44
2
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ESTRUCTURAS DE MADERA σ f =
CAPÍTULO III
6 ⋅ 56250 12.5 ⋅ 25
=
2
43.2 k/cm 2 < adσ f ⇒ BIEN
CORTE: La sección crítica para el cortante máximo es en el extremo del tramo (cualquier extremo), por tanto el tren de cargas debe situarse:
0.2 t
0.2 t
A
B
425 k
∑M
A
125 k
= 0 ⇒ 1.5 ⋅ 200 + 150 ⋅ 3 − 6 ⋅ VB = 0 VB = 125k
6 ⋅ VA - 6 ⋅ 200 - 4.5 ⋅ 200 - 3 ⋅ 150 = 0 VA = 425k ⇒ Q MAX τ=
3 Q max
→
⋅
2 b ⋅ h
τ =
3
⋅
425
2 12.5 ⋅ 25
= 2.04
2 k/cm < adτ ⇒ BIEN
DEFORMACIÓN: La flecha que produce la carga será:
0.2
t
0.2 t
A
f 1 =
f 2 =
P⋅a 24 ⋅ E ⋅ I
0.2 t
B
5 ⋅ q ⋅ L4 384 ⋅ E ⋅ I
(3 ⋅ L2 − 4 ⋅ a 2 ) =
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=
A
B
5 ⋅ 0.25 ⋅ ( 600) 384 ⋅ 95000 ⋅
12.5 ⋅ 25 3
= 0.27 cm
;
12
12.5 ⋅ 25
45
B
4
200 ⋅ 225 24 ⋅ 95000 ⋅
0.2 t
A
3
⋅ ( 3 ⋅ 600 2 − 4 ⋅ 225 2 ) = 1.06 cm
12
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ESTRUCTURAS DE MADERA
CAPÍTULO III
f T = f 1 + f 2 = 0.27 + 1.06 = 1.33 cm
adf =
L(cm) 600 = = 2.4 cm ⇒ f T < adf ⇒ BIEN 250 250
COEFICIENTES DE SEGURIDAD (HOLGURA): Flexión: C.Seg f =
adσ f
σ f
=
210 43.2
= 4.86
Cortante: C.Segτ =
adτ
τ
=
15 2.04
= 7.35
Deformación C.Seg f =
ad f
f
=
2.40 1.33
= 1.81
La escua escuadr dría ía encon encontr trada ada se encue encuent ntra ra dent dentro ro lo acep acepta tabl blee dent dentro ro del del marc marcoo de la seguridad(per seguridad(peroo es antieconómico, antieconómico, en lo posi posibl blee proc procur urar ar afin afinar ar lo mas mas cerc cercan anoo al coeficiente de seguridad de 1.5), los coeficientes de seguridad respecto a la flexión y el cortante son mayores que el coeficiente de seguridad de la deformación, eso prueba una vez más que la deformación en las maderas es el fenómeno más peligroso (Esto no ocurre en el concreto ni en el acero).
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ESTRUCTURAS DE MADERA
CAPÍTULO III
Ejemplo 3: DINTEL DE VENTANA Madera Grupo: B
Piso Superior Mamposteria de Ladrillo Gambote de Carga 2.70 m
Dintel de Madera
Luz Libre = 2m 30 cm
Entrega o Descanso (minimo 30 cm)
2.30 m
A diferencia de los anteriores ejercicios ahora la carga no esta dada, debe el ingeniero procurar estimar la carga con la mayor precisión posible. De nada servirá cualquier afinamiento aritmético o algebraico si la carga no ha h a sido adecuadamente estimada. Existen dos posibilidades para estimar la carga:
2. 0 m 1m
α
α
X 2. 3 0m
Se considerará el efecto arco con:
50° < α < 65°
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ESTRUCTURAS DE MADERA
CAPÍTULO III
Cálculo de h: Con un α = 60º: tan(60º ) =
h 2.30 / 2
h = 1.99m ≅ 2.0m Cálculo del área:
1 A = 2 ⋅1.15 ⋅ 2 2 A = 2.3m 2 Cálculo de x:
2 1 = 1.15 x x = .0575m
Para el ladrillo: # Ladrillos ≅ 130
und. m2
Peso p / cada Ladrillo = 2.5kg Peso total de Ladrillo = 130 ⋅ 2.5 ⋅ 2.3 = 747.5kg ≅ 748kg Para el mortero:
Volumen de una hilera de mortero = 0.02 ⋅ 0.25 ⋅1.16 = 0.006m 3 # Hileras = 30 Volumen total de mortero = 30 ⋅ 0.006 = 0.18m 3 kg m3 Peso total del mortero = 0.18 ⋅ 2200 = 396kg Peso especifico del mortero = 2200
Peso total: PT = Plad + Pmort = 748 + 396 = 1144kg Ahora, distribuyendo el Peso total en la longitud: qT =
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PT 1144 k = = 497.4 L 2.30 m
48
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ESTRUCTURAS DE MADERA
CAPÍTULO III
Ahora, lo que falta es asumir la escuadría del dintel: Entonces: b = 3
2⋅M adσ f
Ahora se halla el momento producido p roducido por la sobrecarga: M=
C T ⋅ L2 8
=
497.40 ⋅ 2.3 2 8
= 328.91 k ⋅ m
Pero además se debe hacer incidir el coeficiente de seguridad a flexión (se tomará el valor de 2).Entonces la base será: b =
3
2 ⋅ 32891 = 9.57cm 150 2
h = 1.73 ⋅ 9.57 = 16.55cm
Pero como por lo general la comercialización de la madera se realiza en pulgadas, se ve por conveniente redondear las dimensiones de la sección, y además aumentarla un poco debido a que no se tomó en cuenta el peso propio:
b =10 cm
ESCUADRÍA:
h =17.5 cm
Peso propio de la madera:
Pmad = 0.10 ⋅ 0.175 ⋅ 700 = 12.25
k m
Carga total: q Total = 497.4 + 12.25 = 509.65
kg m
FLECHA: La flecha que produce la carga será: 5 ⋅ q ⋅ L
4
f =
384 ⋅ E ⋅ I
=
5 ⋅ 5.097 ⋅ 230 4 384 ⋅ 75000 ⋅
10 ⋅ 17.5
3
= 0.52 cm
12
Como este valor es menor al admisible, entonces cumple.
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ESTRUCTURAS DE MADERA
CAPÍTULO III
El coeficiente de seguridad a la deformación será:
C.Seg f =
adf
f
=
0.92 0.52
= 1.77
Este valor de coeficiente de seguridad a la deformación entra en el rango recomendado de 1.5 a 2, por lo tanto la escuadría asumida cumple (se puede afinar aun más, en busca de bajar los costos). costos). DETALLE CONSTRUCTIVO:
Por razones constructivas : base de dintel = 7.5cm
Por razones teóricas
: base de dintel = 5cm
Profundidad de clavo
: prof. = 18 cm
17.5
CLAVO
7.5
Ejempl Ejemploo 4: Dete Determ rmin inar ar la escu escuad adrí ríaa de made madera ra para para la viga viga AB, AB, y dete determ rmin inar ar si corresponde reforzar la escuadría con perfiles de acero. En el sitio los troncos son jóvenes y por consiguiente de poco diámetro. q =1 t/m
A
B 7.0 m
Se debe elegir el grupo al cual pertenece la madera a utilizar; en este este caso se usará madera del GRUPO A, que será el ALMENDRILLO. UNIVERSIDAD UNIVERS IDAD MAYOR DE SAN SIMON
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ESTRUCTURAS DE MADERA
CAPÍTULO III
adσ f
• Grupo A (Almendrillo)
adτ E
adf
γ
210 k/cm2 15 k/cm2 95000 k/cm2 L (cm) 275
800 k/m3
Para hallar la carga debido al peso propio se debe asumir la base y la altura de la sección de la madera, la máxima escuadría que se puede encontrar en un bosque joven:
b =17.5 cm
ESCUADRÍA:
h =30 cm
El peso propio será: P p = γ ⋅ b ⋅ h
P p = 800 k/m3 . 0.175 m . 0.30 m ≈ 42 k/m La carga total será (sin acero):
q T = q + Pp qT = 1000 k/m +42 k/m = 1042 k/m Ahora se desea saber cuanto de la carga total puede asumir la escuadría de madera: DEFORMACION: La deformación admisible será: será: adf =
L (cm) 275
=
700 275
= 2.54 cm
El coeficiente de seguridad de deformación es de 1.5 a 2, por lo lo se asume un valor de 1.6, por lo tanto: C.Seg f =
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adf
f
⇒ f =
adf
C.Seg f
51
=
2.54 1.6
= 1.59 cm
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ESTRUCTURAS DE MADERA
CAPÍTULO III
La flecha que produce la carga será: f m =
5 ⋅ q ⋅ L4 384 ⋅ E m ⋅ I
5 ⋅ q m ⋅ 700 4
= 1.59 =
384 ⋅ 95000 ⋅
17.5 ⋅ 30 3
⇒ q m = 1.90 k/cm
12
∴ qT > qm REFORZAR
qa= 1042 – 190 = 852 k/m Necesariamente debe reforzarse la escuadría, pues ella sola no es capaz de resistir a la carga total. Continuaremos el ejercicio solamente por motivos académicos, pues que es tan grande la carga que debe asumir el acero en proporción a la madera (relación aproximada de 4 a 1) que sería preferible construir la viga de otro material (Concreto puro o acero puro). puro). Generalmente Generalmente un buen refuerzo refuerzo de acero debe cubrir cubrir como máximo máximo el 50% de la carga total. Elegimos el uso de planchas para el refuerzo:
Madera Pernos
0 3
17.5
Ahora se debe elegir espesor de plancha:
Planchas
e = 14 " = 0.64 cm
El momento de inercia es afectado por cada una de las planchas de acero. f a =
5 ⋅ q a ⋅ L4 384 ⋅ E a ⋅ I
5 ⋅ 8.52 ⋅ 700 4
= 1.59 =
384 ⋅ 2.1 × 10 6 ⋅ 2 ⋅
0.64 ⋅ h a
3
⇒ h a = 53cm > h m = 30cm
12
La altura del acero supera a la altura de la madera e imposibilita o por lo menos dificulta el proceso constructivo, además de que todavía no esta considerado el peso del acero. γ ACERO = 7850 k/m 3
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ESTRUCTURAS DE MADERA
CAPÍTULO III
P p = 2. 0.0064 m . 0.53 m. 7850 k/m3 = 53.25 k/m qTOTAL≈ 1100 k/m Entonces nos vemos en la necesidad de cambiar de escuadría de la viga de madera, para eso diremos inicialmente que la madera soportará el 50% de la anterior carga total y con esta aproximación sacaremos los valores de la base b ase y la altura de la viga. f m =
5 ⋅ q m ⋅ L4 384 ⋅ E m ⋅ I
= 1.59 =
5 ⋅ 5.50 ⋅ 700 4 b ⋅ h a 384 ⋅ 95000 ⋅ 12
3
⇒
b ⋅ h 3 12
= 113834 .24 cm 4
Sustituyendo la relación de escuadría óptima: b ⋅ (1.73 ⋅ b) 3 = 113834.24 cm 4 ⇒ b = 22.66 cm 12 Entonces:
b =25 cm
h =45 cm
ESCUADRÍA
P p = 800 k/m3 . 0.25 m . 0.45 m = 90 k/m La carga total será (sin acero):
q T = q + Pp qT = 1000 k/m +90 k/m = 1090 k/m La flecha que produce la carga será: f m =
5 ⋅ q ⋅ L4 384 ⋅ E m ⋅ I
= 1.59 =
5 ⋅ q m ⋅ 700 4 384 ⋅ 95000 ⋅
25 ⋅ 45 3
⇒ q m = 9.17 k/cm
12
∴ qT > qm REFORZAR
qa= 1090 – 917 = 173 k/m Para la escuadría de la basa la madera resiste el 84.12% de la carga total sin tomar en cuenta todavía el peso del acero.
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ESTRUCTURAS DE MADERA f a =
4 5⋅qa ⋅ L
384 ⋅ E a ⋅ I
CAPÍTULO III 5 ⋅ 1.15 ⋅ 1.73 ⋅ 700 4
= 1.59 =
384 ⋅ 2.1× 10 6 ⋅ 2 ⋅
0.64 ⋅ h a
3
⇒ h a = 32.7cm ⇒ Usar h a = 35cm
12
En la anterior ecuación se esta mayorando en un 15% la carga del acero con objeto de tomar en cuenta el peso propio del mismo. Aunque los elementos del detalle constructivo se estudiarán de forma más profunda en los próximos capítulos, a manera de introducción se presenta los detalles de unión de viga reforzada. Longitud perno = 30 cm.
Se usarán: Pernos
Diámetro perno = ½”
La plancha de acero se extenderá extenderá una distancia “d” a cada lado del centro línea de la viga, esta distancia puede calcularse exactamente de la teoría de las deformaciones, sin embargo se tiene: 1 L 1 700 d = = = 116.67 ≅ 120 cm. 3 2 3 2 Se puede determinar exactamente esta distancia por la teoría de las deformaciones: Donde:
∂2y E⋅I⋅ 2 = M ∂x Para la condición de carga, el momento en función de x será: q ⋅ L ⋅ x q ⋅ x2 − M= 2 2 Entonces:
∂2y q ⋅ L ⋅ x q ⋅ x2 E⋅I⋅ 2 = − 2 2 ∂x Integrando: ∂y q ⋅ L ⋅ x 2 q ⋅ x 3 = − + C1 E⋅I⋅ ∂x 4 6
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ESTRUCTURAS DE MADERA
CAPÍTULO III
Luego: q ⋅ L ⋅ x3 q ⋅ x4 E⋅I⋅ y = − + C1 ⋅ x + C 2 12 24 Hallamos C1 y C2 con las condiciones de borde: C2=0 q ⋅ L3 C1 = − 24 La ecuación general de la elástica será: q ⋅ L ⋅ x 3 q ⋅ x 4 q ⋅ L3 ⋅ x E⋅I⋅ y = − − 12 24 24 Ahora se debe hallar a que distancia “x” la madera se deforma 1.59 cm. bajo la aplicación de la carga total qTOTAL = 1090 k/m. X X
qt =1090 k/m A
m c 9 5 . 1
B
m c 9 5 . 1
L=7m
Entonces reemplazando en la ecuación de la elástica: 95000 ⋅
25 ⋅ 453 12
⋅ (−1.59) =
10.90 ⋅ 700 ⋅ x 3 12
−
10.90 ⋅ x 4 24
−
10.90 ⋅ 700 3 ⋅ x 24
0.454 ⋅ x 4 − 635.83 ⋅ x 3 + 155779166.7 ⋅ x - 28675898440 = 0 Resolviendo la ecuación polinomial:
x
x1=
221.35
cm
x2=
478.55
cm
x3=
- 497.63
cm
x4= 1198.237 cm
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ESTRUCTURAS DE MADERA
CAPÍTULO III
De las cuales se descartan las dos últimas por ser soluciones incoherentes. Entonces “d” será igual: d=
x 2 − x1 2
=
478.55 - 221.35 2
= 128.6
cm.
Usamos el mayor entre el calculado y el e l valor referencial dado anteriormente. d
=128.6 ≈ 130 cm.
La separación entre pernos será de 10 cm.
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ESTRUCTURAS DE MADERA
CAPÍTULO III
ESQUEMA ESTRUCTURAL
C L 10
d = 130
350 700
SECCION TRANSVERSAL:
Perno:
L =30cm 1 Ø = 2"
5 , 7
0 1
5 4
5 3
0 1
5 , 7
25
Ejemplo 5: 5: Sobre la viga de puente transita un vehículo liviano. Representado por el tren
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ESTRUCTURAS DE MADERA
CAPÍTULO III
de cargas. Determinar la escuadría de la viga utilizando madera el grupo A. El esquema es el siguiente:
0.5 t
0.5 t q=0.25 t/m Pp A
B
2.5 [m]
8.0 [m]
La escuadría máxima que se puede encontrar en los aserraderos es:
ESCUADRÍA:
b = 22.5 cm h = 45 cm
El peso propio será: P p = 800 k/m3 . 0.225 m . 0.45 m = 81 k/m P p=81 k/m
qTOTAL= (250+81) = 331 k/m Entonces:
0.5
t
0.5
t
0.5
A
B
f 1 =
f 2 =
P⋅a 24 ⋅ E ⋅ I
5 ⋅ q ⋅ L4 384 ⋅ E ⋅ I
(3 ⋅ L2 − 4 ⋅ a 2 ) =
=
A
B
5 ⋅ 3.31 ⋅ ( 800) 384 ⋅ 95000 ⋅
0.5
t
4
22.5 ⋅ 45 3
= 1.08 cm
;
12
500 ⋅ 275 24 ⋅ 95000 ⋅
t
A
22.5 ⋅ 45
3
⋅ ( 3 ⋅ 800 2 − 4 ⋅ 275 2 ) = 0.57 cm
12
f T = f 1 + f 2 = 1.08 + 0.57 = 1.65 cm
adf =
L(cm) 800 = = 2.93 cm ⇒ f T < adf ⇒ BIEN 275 275 C.Seg f =
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adf
f
=
58
2.93 1.65
= 1.77
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B
ESTRUCTURAS DE MADERA
CAPÍTULO III
Ya que el fenómeno más desfavorable para la madera es la deformación, y estando su coeficiente de seguridad en un buen margen, suponemos que cumplirá los requisitos de flexión y corte, sin embargo se recomienda hacer la verificación de estos. La escuadría de la basa seleccionada es muy difícil de conseguir en el aserradero, por tanto la construiremos utilizando un acoplamiento de dos vigas de sección cuadrangular: Sustituyendo los valores referenciales obtenemos: t=
h 45 = = 3.75 ≅ 4 cm; 12 - 20 12
e=
h 45 = = 3 cm. 15 - 20 15
a ≥ 5 ⋅ t = 5 ⋅ 4 = 20 cm; t > e SIEMPRE! φ p = σ aplast madera
b 22.5 = = 2.25 cm ⇒ φ p = 1" = 2.54 cm. 10 10
≅ (30 − 50) k/cm 2 ; T1 = σ a ⋅ b ⋅ t = 40 ⋅ 22.5 ⋅ 4 = 3600 k T2 = µ ⋅ f s ⋅ A p ; ⇔ µ ⋅
π ⋅ φ 2
4
⋅ f s
f s = (800 − 1200) k/cm 2 (Acero dulce)
µ = (0.5 - 0.6);
T2 = 0.5 ⋅
π
⋅ 2.54 2 4
⋅ 800 = 1964 k
T3 = 170 ⋅ φ 2 = 170 ⋅ 2.54 2 = 1096.8 k T = T1 + T2 + T3 = 7110.8 Como dijimos antes es preferible usar la fuerza T1 para sacar el número de cuñas: 2 2 Z = ⋅ h = ⋅ 45 = 30 cm 3 3 Ahora necesitamos determinar el momento máximo, para esto tomaremos la posición más desfavorable del tren de carga:
∑M
A
= 0 ⇒ ( 2.75 + 5.25) ⋅ 500 − 8 ⋅ VB + 2648 ⋅ 4 = 0 VB = 1824 k ⇒ VA = VB = 1824 k
x2 M = 1824 ⋅ x - 331⋅ 2 0
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59
3764 3764.4 .411 k ۰ m 0 k ۰m
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ESTRUCTURAS DE MADERA
M
CAPÍTULO III
x2
= 1824 ⋅ x - 331 ⋅
− 500 ⋅ ( x − 2.75)
2
2.75< x <5.25
3764 3764.4 .411 k ۰ m 3764 3764.4 .411 k ۰ m
El momento máximo lo tendremos al centro c entro del tramo: (4)2 023 k ۰ m M MAX = 1824 ⋅ (4) - 331 ⋅ − 500 ⋅ ( 4 − 2.75) 4023 2 Entonces la fuerza horizontal será: H=
M MAX
Z
4023 × 100
=
30
= 13410 k
H 13410 = = 3.73 ⇒ n = 4 T1 3600
n= Colocado de cuñas:
0.5 t
0.5 t q=0.25 t/m
A
B 8.0 [m] 1824 k
1824 k
3218 k m 2414 k m
4023 k m ·
·
·
1609 k m ·
805 k m ·
MOMENTO
1824 k 913.75 k
CORTANTE
413.75 k 413.75 k 913.75 k
1824 k
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ESTRUCTURAS DE MADERA
CAPÍTULO III
La ordenada correspondiente al máximo momento se divide entre el número de cuñas sin tomar en cuenta los extremos. De cada punto se dirige una paralela al eje x hasta cortar la curva de momentos. momentos. De los puntos de corte se suspenden suspenden rectas rectas hasta cortar cortar la curva de cortantes, estableciendo en la gráfica de cortantes las áreas que se observan en la figura. Se identifica el centro de gravedad de cada área; de este punto se suspende una recta hasta cortar a la viga y en cada punto de corte se introduce una cuña. Entre cuña y cuña en el punto medio se dispondrá de un perno, se empezará con un perno situado entre el apoyo y la primera cuña. Se recomienda ubicar siempre una cuña donde el momento es máximo. Si la distancia entre cuñas “s” <20 cm. entonces se deberá buscar una mayor escuadría, en caso de columnas se dispondrán cuñas verticales. A partir del centro de línea hacia la derecha se dispondrá del mismo número de cuñas y de posición simétrica.
EJERCICIO PROPUESTO.En la lectura de capítulo dar especial importancia a los siguientes conceptos: o
Deflexión Admisible
o
Módulo de Elasticidad Axial: Emínimo
o
Módulo de Elasticidad Axial: E promedio
o
Sección Óptima
o
Vigas Vigas reforzadas con perfiles de acero
o
Vigas Vigas Acopladas Acop ladas
PROBLEMA PROPUESTO.
Diseñar la siguiente Viga reforzada con una plancha de acero para las condiciones de apoyo y cargas que se muestran en la figura. La madera corresponde al Grupo A. Discutir los resultados en clase.
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ESTRUCTURAS DE MADERA
CAPÍTULO III
q = 0.5 t/m
B
A 4.5 m
h
b
Resolver el siguiente problema: “Un albañil usa una tabla (de 40x10cm) de madera para poder pasar pasar de un lado a otro, lleva lleva consigo una carretilla, carretilla, en la cual trae bolsas bolsas de cemento. Suponiendo que el albañil pesa 60 kilogramos, el peso de la carretilla de 25 kilogramos. kilogramos. Se pide dibujar una grafica grafica de la cantidad cantidad de bolsas de cemento (enteras) (enteras) que se puedan cargar en función de la longitud de la tabla (cada 25 cm). Suponer el esquema como una carga puntual, y simplemente apoyado; y considerar un coeficiente de seguridad a la deformación mínimo de 1.8. La madera pertenece al grupo B.”
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