PRINCIPIOS DE ENERGÍA Y MOMENTUM EN CANALES ABIERTOS
DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDADES.
En los canales y en las tuberías el flujo es esencialmente tridimensional. Para cada punto de la corriente, el vector velocidad tiene componentes en las tres direcciones. Para analizar analizar la variación de velocidades en la sección tendremos en cuenta la forma de a la sección transv t ransversal, ersal, pues la naturaleza y características características geométricas del contorno definen básicamente la curva de distribución de velocidades. En las tuberías el caso más simple corresponde a la sección circular. La influencia del contorno es simétrica y perfectamente perfectamente definida. En los canales el caso más simple corresponde a un canal de ancho infinito. Solo hay influencia del fondo.
DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDADES.
En los canales y en las tuberías el flujo es esencialmente tridimensional. Para cada punto de la corriente, el vector velocidad tiene componentes en las tres direcciones. Para analizar analizar la variación de velocidades en la sección tendremos en cuenta la forma de a la sección transv t ransversal, ersal, pues la naturaleza y características características geométricas del contorno definen básicamente la curva de distribución de velocidades. En las tuberías el caso más simple corresponde a la sección circular. La influencia del contorno es simétrica y perfectamente perfectamente definida. En los canales el caso más simple corresponde a un canal de ancho infinito. Solo hay influencia del fondo.
DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDADES.
Empezaremos Empezaremos por analizar este último caso. El flujo es bidimensional. En cada punto de punto de la sección hay una velocidad particular (Vh). La velocidad es máxima en la superficie. En el fondo la velocidad es mínima. El esquema característico característico de la distribución de velocidades es el siguiente:
DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDADES.
Denominamos Vh a la velocidad que existe a la distancia h del contorno (en este caso del fondo). La curva que expresa la relación entre Vh y h se llama curva de distribución de velocidades. En los siguientes capítulos estableceremos su ecuación. En un canal de ancho infinito la velocidad máxima está en la superficie. Pero en un canal rectangular angosto hay fuerte influencia de los lados y la velocidad máxima aparece debajo de la superficie. Mientras más angosto es el canal mayor es la influencia de los lados y la velocidad máxima está más profunda con respecto a la superficie. Valores usuales para ubicar la velocidad máxima son los comprendidos entre 0,95y y 0,75y.
DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDADES.
Tratándose de canales el caso más frecuente es el de las secciones trapeciales o rectangulares, en las que no puede dejarse de considerar la influencia de las paredes, en las que la velocidad debe también ser nula. Se tendrá entonces una distribución transversal de velocidades. Para ilustrar la distribución de velocidades en la sección transversal se indica en el esquema de la figura la sección de un canal en el que se ha dibujado las curvas que unen los puntos de igual velocidad (isotacas). Esta velocidad se ha relacionado con la velocidad media. Así la curva que tiene el número 2 significa que todos sus puntos tienen una velocidad que es el doble de la velocidad media.
DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDADES.
El alineamiento del conducto y la simetría de la sección también son factores determinantes de la curva de distribución de velocidades.
DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDADES.
La asimetría da la sección transversal produce corrientes secundarias, que se llaman así por no seguir la dirección general de la corriente. Si el movimiento principal es a lo largo del conducto, entonces la corriente secundaria producida por una curvatura del alineamiento se desarrolla en un plano normal y representa una circulación que al superponerse al flujo principal da lugar a un movimiento espiral o “en tornillo”.
DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDADES EN UNA SECCIÓN DE CANAL
Debido a la presencia de la superficie libre y a la fricción a lo largo de las paredes del canal, las velocidades en un canal no están uniformemente distribuidas en su sección. Los modelos generales para la distribución de velocidades en diferentes secciones del canal con otras formas se ilustran en la figura.
La distribución de velocidades en una sección de canal depende también de otros factores, como una forma inusual de la sección, la rugosidad del canal y la presencia de curvas. En una corriente ancha, rápida y poco profunda o en un canal muy liso, la velocidad máxima por lo general se encuentra en la superficie libre. La rugosidad del canal causa un incremento en la curvatura de la curva de distribución vertical de velocidades. En una curva, la velocidad se incrementa de manera sustancial en el lado convexo, debido a la acción centrífuga del flujo.
COEFICIENTES DE DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDAD.
Como resultado de la distribución no uniforme de velocidades en una sección de canal, la altura de velocidad de un flujo en canales abiertos es por lo general mayor que el valor calculado de acuerdo con la expresión donde V es la velocidad media. Para cada línea de corriente, en una sección determinada, el valor de la velocidad es Vh y la energía cinética correspondiente es Vh2/2g Pero, al ingeniero no le interesa trabajar con líneas de corriente aisladas, sino con la totalidad del escurrimiento.
COEFICIENTES DE DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDAD.
Consideremos un flujo paralelo. En el flujo paralelo hay una distribución hidrostática de presiones y por lo tanto la suma P/γ +z, o sea la cota piezométrica, es idéntica
para todas las líneas de corriente y la variación que hay entre la suma de Bernoulli para las diferentes líneas de corriente se debe al gradiente de velocidades. Para extender el teorema de Bernoulli a toda la sección transversal, habría que tomar el promedio de los valores de Vh2/2g
COEFICIENTES DE DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDAD.
Como esto es difícil de hacer en la práctica, pues se tendría que considerar un número infinito, o muy grande, se busca una equivalencia, o una aproximación, mediante el cálculo de la energía que corresponde a la velocidad media.
Coeficiente de Coriolis
Evidentemente que esto no es exacto, por cuanto no es lo mismo el promedio de los cuadrados, que el cuadrado del promedio. De acá que el valor de la energía para toda la sección transversal, obteniendo con la velocidad media, debe corregirse por medio de un coeficiente que generalmente se designa con la letra α y que recibe el nombre de coeficiente de
Coriolis o coeficiente de energía.
Para calcular el valor de α pensemos en un tubo de corriente
cuya velocidad es Vh, que tiene una sección transversal dA y por el que pasa un fluido cuyo peso específico es γ. La energía en general se expresa por γQH
Coeficiente de Coriolis Cuando se utiliza el principio de energía en calculos, la altura de velocidad real puede expresarse como Donde α se conoce como coeficiente de energía o coeficiente de Coriolis, en honor de G. Coriolis quien lo propuso por primera vez. Datos experimentales indican que el valor de α varía desde 1.03 hasta 1.36 para canales prismáticos aproximadamente rectos. Por lo general el valor es alto para canales pequeños y bajo para corrientes grandes con profundidad considerable.
Coeficiente de Boussinesq
El cálculo de la cantidad de movimiento (momentum) de una corriente también se ve afectado por la distribución de velocidades. El valor de la cantidad de movimiento obtenido para toda la sección transversal a partir de la velocidad media, debe corregirse por medio de un coeficiente que generalmente se designa con la letra β y que recibe el nombre de coeficiente de
Boussinesq o coeficiente de la cantidad de movimiento. El producto βρQV representa el caudal o flujo de la cantidad de movimiento en una sección dada. Para canales prismáticos se tiene usualmente.
Coeficiente de Boussinesq La distribución no uniforme de velocidades tambien afecta el cálculo del momentum en flujo en canales abiertos. A partir del principio de mecánica, el momentum de un fluido que pasa a través de una sección de canal por unidad de tiempo se expresa por Donde β es conocidado como coeficiente de momentum o coeficiente de Boussinesq, en honor de J. Boussinesq, quien lo propuso por primera vez; w es el peso unitario del agua; Q es el caudal; V es la velocidad media. Se ha encontrado que el valor de β para canales prismáticos aproximadamente rectos varía desde 1.01 hasta 1.12.
Coeficientes de distribución de velocidades
De acuerdo a lo expuesto anteriormente el coeficiente α se usará en los cálculos en los que intervenga la energía y el coeficiente β en los cálculos en los que intervenga la cantidad de movimiento. Así por ejemplo, si extendemos la ecuación de la energía a toda la sección transversal considerando como velocidad la velocidad media se obtiene.
Coeficientes de distribución de velocidades
Cada sección transversal en función de su distribución de velocidades tiene un valor de α.
Es evidente que el uso de los coeficientes α y β depende
de la exactitud con la que se estén haciendo los cálculos. Ambos son siempre mayores que la unidad. En muchos casos se justifica, considerar.
α =β=1
A medida que el grado de turbulencia es mayor, o sea para número de Reynolds altos, la distribución de velocidades se hace más uniforme y es más cierta la suposición α = β = 1.
Coeficientes de distribución de velocidades
Para un canal muy ancho con fondo rugoso, se han obtenido las siguientes expresiones para los valores de α y β
siendo,
Expresión en la que Vmax es el valor de la velocidad máxima. Como hemos señalado anteriormente los valores de α y β
dependen del tipo de curva de distribución de velocidades, específicamente de la relación que existe entre la velocidad máxima y la media tal como se expresa.
Coeficientes de distribución de velocidades
Los dos coeficientes de distribución de velocidades son siempre un poco mayores que el valor límite de la unidad, para el cual la distribución de velocidades es estrictamente uniforme a través de la sección del canal. Para canales de sección transversal regular y alineamiento más o menos recto, el efecto de la distribución no uniforme de velocidades en el cálculo de la altura de velocidad y el momentum es pequeño, especialmente en comparación con otras incertidumbres involucradas en el cálculo. Por consiguiente, a menudo los coeficientes se suponen iguales a la unidad. En canales con sección transversales complejas, los coeficientes para energía y momentum con facilidad pueden ser tan altos como 1.6 y 1.2, respectivamente, y pueden variar con rapidez de una sección a otra en el caso de alineamientos irregulares.
Para propósito práctico, Kolupaila propuso los valores mostrados a continuación para los coeficientes de distribución de velocidad. Valores reales de los coeficientes para un cierto número de canales
Interpretación de Fenómenos locales.
En los canales abiertos a menudo ocurren cambios en el estado de flujo subcrítico a supercrítico y viceversa. Tales cambios se manifiestan con un correspondiente cambio en la profundidad de flujo de una profundidad alta a una profundidad baja, o viceversa. Si el cambio ocurre con rapidez a lo largo de una distancia relativamente corta, el flujo es rápidamente variado y se conoce como fenómeno local. La caída hidráulica y el resalto hidráulico son dos tipos de fenómenos locales, los cuales se describen a continuación.
Caída Hidráulica
Caída hidráulica. Un cambio rápido en la profundidad de flujo
de un nivel alto a un nivel bajo resultará en una depresión abrupta de la superficie del agua. Por lo general, tal fenómeno es causado por un cambio abrupto en la pendiente del canal o en la sección transversal y se conoce como caída hidráulica. En la región de transición de la caída hidráulica a menudo aparece una curva invertida que conecta las superficies del agua antes y después de la caída. El punto de inflexión en la curva inversa marca la posición aproximada de la profundidad crítica para la cual la energía especifica es mínima y el flujo pasa de un estado subcrítico a un estado supercrítico.
Caída Libre
Caída Libre es un caso especial de la caída hidráulica. Esta ocurre cuando existe una discontinuidad en el fondo de un canal plano. A medida que la caída libre avanza en el aire en forma de lámina, no existirá curva invertida en la superficie del agua hasta que ésta choque con algún objeto en la elevación más baja. Es una ley natural que, si no se añade energía externa, la superficie del agua buscará siempre la posición más baja posible, la cual corresponde al menor contenido posible de disipación de energía. Si la energía especifica en una sección localizada aguas arriba es E, tal como se muestra en la curva de energía específica, la energía continuará disipándose en su camino hacia agua abajo y por último alcanzará un contenido de energía mínimo Emin.
Caída Libre
La curva de energía específica muestra que la sección de energía mínima o sección crítica debe ocurrir en el borde de la caída. La profundidad en el borde no puede ser menor que la profundidad requeriría un incremento en la energía específica, lo cual es imposible a menos que se suministre energía externa compensatoria. El método no es valido para determinar la profundidad crítica como la profundidad en el borde. La situación real es que la sección en el borde es la verdadera sección de energía mínima, pero no es la sección crítica tal como se calcularía mediante el principio basado en la suposición de flujo paralelo.
Rouse encontró que para pendientes pequeñas la profundidad crítica calculada es aproximadamente 1.4 veces la profundidad en el borde Yc = 1.4Yo, y se localiza aproximadamente a 3yc o 4 yc aguas arriba del borde en el canal.
Resalto Hidráulico
Cuando el cambio rápido en la profundidad de flujo es desde un nivel bajo a un nivel alto, a menudo el resultado es una subida abrupta de la superficie del agua. Este fenómeno local se conoce como resalto hidráulico. Ocurre con frecuencia en un canal por debajo de una compuerta deslizante de regulación, en la parte de aguas debajo de un vertedero o en el sitio donde un canal con alta pendiente se vuelve casi horizontal de manera súbita.
Principio de Energía y Momentum en canales abiertos
Al primer término , se le conoce con el nombre de energía de velocidad o energía cinética y representa la altura desde la que debe caer libremente un cuerpo, que parte del reposo, para adquirir la velocidad V. Los otros dos términos son la altura de presión y la elevación. Su suma representa la energía potencial y constituye la cota piezométrica.
PRINCIPIO DE ENERGÍA Y MOMENTUM
Energía del flujo en canales abiertos. En hidráulica
elemental se sabe que la energía total del agua de cualquier línea de corriente que pasa a través de una sección de canal puede expresarse como la altura total de agua, que es igual a la suma de la elevación por encima del nivel de referencia, la altura de presión y la altura de velocidad.
Por ejemplo con respecto al plano de referencia, la altura total H de una sección O que contiene el punto A en una línea de corriente del flujo de un canal de pendiente alta puede escribirse como
Donde za es la elevación del punto A por encima del plano de referencia, da es la profundidad del punto A por debajo de la superficie del agua medida a lo largo de la sección del canal, θ es el ángulo de la pendiente del fondo del canal es la altura de la velocidad del flujo en la línea de corriente que pasa a través de A. Para canales con pendientes bajas, θ≈ 0. Luego, la energía total en la sección del canal es
Considérese ahora un canal prismático con pendiente alta. La línea que representa la elevación de la altura total de flujo es la línea de energía. La pendiente de esta línea se conoce como gradiente de energía, representada por Sf. La pendiente de la superficie del agua se representa por Sw y la pendiente del fondo del canal por So= sen θ. En el flujo uniforme, Sf = Sw= So= sen θ. De acuerdo con el principio de conservación de energía, la altura de energía total en la sección 1 localizada aguas arriba debe ser igual a la altura de energía total en la sección 2 localizada aguas abajo más la pérdida de energía hf entre las dos secciones; o
Ecuación de Bernoulli.
Esta ecuación es aplicable a flujos paralelos o gradualmente variados. Para un canal de pendiente pequeña, ésta se convierte en:
Cualquiera de estas ecuaciones se conoce como ecuación. Cuando hf= 0 y , la anterior ecuación se convierte en:
Esta es la ecuación de energía de Bernoulli.
Ecuación de Bernoulli.
La suma de los tres términos es constante a lo largo de una línea de corriente en un movimiento permanente e irrotacional (para un fluido ideal). Cada uno de los tres términos tiene las dimensiones de una energía por unidad de peso del fluido.
Ecuación de Bernolli
El teorema de Bernolli significa que para una línea de corriente la suma de la energía cinética y la potencial es constante. En una tubería o en un canal cada línea de corriente tiene un valor propio para la suma de Bernoulli. Su representación gráfica a lo largo de una línea de corriente es la siguiente En un fluido ideal, (es decir sin viscosidad), la energía E en 1 es igual a la energía en 2. Para un fluido real habría una pérdida de energía entre 1 y 2. En realidad no es energía perdida, sino transformada en calor debido a la fricción.
Ecuación de Bernolli
La ecuación de la energía para un fluido real es entonces
V es la velocidad de la corriente, P la presión, Z la elevación con respecto a un plano horizontal de referencia ( los subíndices 1 y 2 corresponden a cada una de las dos secciones consideradas), γ es el peso especifico
del fluido, g la aceleración de la gravedad. E es la energía total, es la disipación (pérdida) de energía entre las secciones 1 y 2.
