4.5 DISTRIBUCION GUMBEL O EXTREMA TIPO I La dist distri ribu buci ción ón Gu Gumb mbel el es tamb tambié ién n deno denomi mina nada da extre xtrema ma tipo tipo I. Esta Esta dist distri ribu buci ción ón es una una fami familia lia impo import rtan ante te de dist distri ribu buci cion ones es usad usadas as en el anális análisis is de frecu frecuenc encia ia hidro hidrológ lógico ico es la distri distribuc bución ión genera generall de valor valores es extr extrem emos os,, la cual cual ha sido sido ampli ampliam amen ente te utili utiliza zada da para para repre eprese sent ntar ar el comportamiento de crecientes se!u"as es decir de máximos m"nimos. 4.5.1 Funci unción ón de dens densidd! idd! La distribución de Gumbel tiene como una función de densidad.
En donde α # son los parámetros de la distribución de la función de densidad donde la variable es continua. 4.5." Es#i Es#i$ción $ción de %&'$e %&'$e#&(s #&(s La estimación de los parámetros α # son de la siguiente manera$
%onde
−¿¿ x
son la media
S es la desviación estándar estimadas con
la muestra. & se obtiene una vez obtuvo α. ).).)
Fc#(& Fc#(& de *&ecuenci!
%ónde$ K T T r
es el factor de frecuencia. es el periodo de retorno.
'ara la distribución Gumbel se tiene !ue el caudal para un per"odo de retorno de (.)) a*os es igual a la media de los caudales máximos. ).).4
Li$i#es de c(n+n,
X t ± t ( 1− ) Se ∝
Donde: Se error de estimación. Y se determina de la siguiente manera.
Donde: S es la desviación estándar.
t ( 1−
+ es el factor de frecuencia
)
∝
es la variable normal estandarizada
para una probabilidad de no excedencia de - α es decir de un año. EJEMPLO:
En un r"o se tienen )/ a*os de registros de 0máximos instantáneos anuales con x1 -2 m)3s, 4 1 2 m )3s 5media desviación estándar para los datos originales6. x1(.722, s 1 /.)(8 5media desviación estándar de los datos transformados6. Encontrar el caudal para un periodo de retorno de -// a*os los l"mites de con9anza para un
∝
1 2:.
Encontrar el Q de 100 años de periodo de retorno y los intervalos de confiana. !" 1# m $%s& s " # m$%s.
K T =3.14
Q Tr 100= x + K T s Q Tr 100= 15 + ( 3.14∗5 ) =¿ $0.' m$%s
(ntervalos de confiana t ( 1− ) =t ( 0.95)=1.645 ∝
ta)la de la normal
δ =[ 1 + 1.1396 ( 3.14 ) + 1.1 ( 3.14 )
Se =
1 2 2
]
=3.93
δ . s ( 3.93 )( 5 ) = =3.58 m3 / s √ n √ 30
X t ± t ( 1− ) S e ∝
3
3
30.7 m / s ± ( 1.645 )( 3.58 ) 30.7 m / s +( 1.645 )( 3.58 )=36.58 3
30.7 m / s −(1.645 )( 3.58 )=24.81
El intervalo de confiana para
Q Tr 100
es.
*+,.-$ m$%s
$.#- m$%s/
http://es.slideshare.net/freddysantiagord/metodos-probabilisticos-de-hidrologia http://fluidos.eia.edu.co/hidrologiai/probabilidad/probabilidad.htm
4.- Seección de *&ecuenci %& e dise/( El análisis de frecuencia se usa para predecir el comportamiento futuro de los caudales en un sitio de interés, a partir de la información histórica de caudales. Es un método basado en procedimientos estad"sticos !ue permite calcular la magnitud del caudal asociado a un per"odo de retorno. 4u con9abilidad depende de la longitud calidad de la serie histórica, además de la incertidumbre propia de la distribución de probabilidades seleccionada. 'ara determinar la magnitud de eventos extremos cuando la distribución de probabilidades no es una función fácilmente invertibles se re!uiere conocer la variación de la variable respecto a la media. ;ho< propusó determinar esta variación a partir de un factor de frecuencia + !ue puede ser expresado$
se puede estimar a partir de los datos
'ara una distribución dada, puede determinarse una relación entre + el per"odo de retorno r.
El análisis de frecuencia consiste en determinar los parámetros de las distri)uciones de pro)a)ilidad y determinar con el factor de frecuencia la magnitud del evento para un perodo de retorno dado.
4.0 An'isis %&(i2s#ic( de %&eci%i#ci(nes. El comportamiento de las varia)les aleatorias discretas o continuas se descri)e con la ayuda de Distri)uciones de ro)a)ilidad. 2a varia)le se designa por may3scula y un valor especfico de ella por min3scula. or 4! " a5 se denota la pro)a)ilidad de 6ue un evento asuma el valor a7 similarmente 4a ≤ ! ≤ )5 denota la pro)a)ilidad de 6ue un evento se
encuentre en el intervalo 4a&)5. Si conocemos la pro)a)ilidad 4a ≤ ! ≤ )5 para todos los valores de a y )& se dice 6ue conocemos la Distri)ución de ro)a)ilidades de la varia)le !. Si ! es un n3mero dado y consideramos la pro)a)ilidad 48 ≤ !5: 94!5" 48 ≤ !5: y llamamos 94!5 la función de distri)ución acumulada. M($en#(s de s dis#&iuci(nes
Las propiedades de las distribuciones pueden ser de9nidas completamente en términos de los momentos. Los momentos en estad"stica son similares a los momentos en f"sica. para la variable continua
para la variable discreta o respecto a la media 5e=e de rotación diferente al origen6 para la variable continua
para la variable discreta Los estad"sticos extraen información de una muestra, indicando las caracter"sticas de la población. Los principales estad"sticos son los momentos de primer, segundo tercer orden correspondiente a la media, varianza, asimetr"a respectivamente. Media
:
Es el valor esperado de la variable misma. 'rimer momento respecto al origen. >uestra la tendencia central de la distribución.
El valor estimado de la media a partir de la muestra es$
Varianza
²:
>ide la variabilidad de los datos. Es el segundo momento respecto a la media
El valor estimado de la varianza a partir de la muestra es
En el cual el divisor es n- en lugar de n para asegurar !ue la estad"stica !ue no tenga una tendencia, en promedio, a ser maor o menor !ue el valor verdadero. Las unidades de la varianza son la media al cuadrado, la desviación estándar s es una medida de la variabilidad !ue tiene las mismas dimensiones !ue la media simplemente es la ra"z cuadrada de la varianza, se estima por s.
Efectos de la función de densidad de probabilidad causados por cambios en la desviación estándar
;oe9ciente de variación
es una medida adimensional de la
variabilidad su estimado es Coeficiente de asimetría
la distribución de los valores de una distribución alrededor de la media se mide por la asimetr"a. 4e obtiene a partir del tercer momento alrededor de la media, dividiéndolo por el cubo de la desviación estándar para !ue sea adimensional.
tercer
momento
respecto
a
la
media
?n estimativo del coe9ciente de asimetr"a está dado por$
4.3 G&'+c( de cu&s IDF 4.3.1 De+nición de s cu&s IDF. Las curvas Intensidad @ %uración @ Arecuencia 5I%A6 estas curvas resultan de la unión de los puntos representativos de la intensidad media en intervalos de diferente duración, correspondientes todos ellos a una misma frecuencia o per"odo de retorno.
4urgen otros elementos a considerar, como son la intensidad de precipitación, la frecuencia o la probabilidad de excedencia de un determinado evento. 'or ello es de importancia tener claro los ;onceptos de cada una de estas variables, de modo de tener una visión más clara de las curvas Intensidad%uraciónArecuencia. Intensidad, segBn ;ho< et al, se de9ne como la tasa temporal de precipitación, o sea, la profundidad por unidad de tiempo 5mm3hr6, se expresa como$ i=
P Td
%onde ' es la profundidad de lluvia en mm o pulg, d es el tiempo de la duración, dada usualmente en hr. 4.3.". C(ns#&ucción de s Cu&s IDF. La construcción de las curvas Intensidad%uraciónArecuencia 5I%A6, segBn diversos autores, plantean distintas formas o métodos para su construcción. P& A%&ici( eis#en d(s $6#(d(s! •
•
El primero, llamado de intensidad per"odo de retorno, relaciona estas dos variables para cada duración por separado, mediante alguna de las funciones de distribución de probabilidad usadas en hidrolog"a. El otro método relaciona simultáneamente la intensidad, la duración el per"odo de retorno en una familia de curvas, cua ecuación es$
m
k ∗T I = ( d +c )n
%onde C, m, n c son constantes !ue se calculan mediante un análisis de correlación lineal mBltiple, en tanto !ue I d corresponden a la intensidad de precipitación la duración, respectivamente. C7(8 e# 9 %n#en d(s *(&$s de #&:& c(n s cu&s! •
•
La primera, utiliza un análisis de frecuencia de la lluvia, considerando para ello una función de distribución de probabilidad de valor extremo como la función Gumbel. El segundo método, expresa las curvas I%A como ecuaciones, con el 9n de evitar la lectura de la intensidad de lluvia de dise*o en una grá9ca.
Denzel, dedu=o para algunas ciudades de los Estados ?nidos, algunos coe9cientes para utilizarlos en una ecuación de la forma$ I =
c
( Td e + f )
%onde I es la intensidad de lluvia de dise*o, d la duración, en tanto c, e f son coe9cientes !ue var"an con el lugar el per"odo de retorno. aras 4ánchez, han propuesto otra metodolog"a para el dise*o de las curvas I%A. %icho procedimiento plantea la siguiente la siguiente ecuación para estimar las intensidades máximas, para distintos per"odos de retorno duraciones$ Pt , T = K ∗ P10, D∗C d , t ∗C f , T
%ónde$ Pt , T
1 Lluvia con per"odo de retorno de a*os duración t horas en
5mm6. + 1 ;oe9ciente para obtener la lluvia máxima absoluta en (8 hor as en función del valor máximo diario 5 C1 -,-6. P10, D
1 Lluvia >áxima diaria con -/ a*os de per"odo de retorno.
C d ,t
1 ;oe9ciente de duración para t horas.
C f , T
1 ;oe9ciente de frecuencia para a*os de per"odo de retorno.
%onde la intensidad máxima de precipitación !ueda dada por$ Pt ,T Pt , T ( mm / hr )= d
%ónde$ d 1 %uración en hr. 4e pueden dise*ar las curvas I%A siguiendo estas metodolog"a, en a!uellas ciudades o zonas en !ue sólo exista información pluviométrica, para lo cual se deberán seleccionar los coe9cientes de duración frecuencia de la estación pluviográ9ca más cercana. Ftra forma o método para determinar las curvas I%A, corresponde al !ue ha planteado émez, el cual relaciona las intensidades de precipitación para distintos per"odos de retorno, con el propósito de gra9car la relación entre las tres variables 5Intensidad %uración @Arecuencia6, cuo es!uema de la curva I%A es el siguiente$
% 1 %uración en horas. I 1 Intensidad de precipitación en mm3hr. , H ; representan distintos per"odos de retorno en a*os. http$33eias.utalca.cl3%ocs3pdf3'ublicaciones3manuales3bmoduloI%A.pdf
