DISTRIBUSI TEORITIS
Distribusi teoritis merupakan alat bagi kita untuk menentukan apa yang dapat kita hara harapk pkan an,, apab apabil ila a asum asumsi si-a -asu sums msii yang yang kita kita buat buat bena benarr. Dist Distrib ribus usii teor teoriti itis s memungkinkan para pembuat keputusan untuk memperoleh dasar logika yang kuat di dalam keputusan, dan sangat berguna sebagai dasar pembuatan ramalan berdasark berdasarkan an informasi informasi yang yang terbatas terbatas atau pertimbang pertimbangan-p an-pertimb ertimbanga angan n teoritis, teoritis, dan berguna pula untuk menghitung probabilitas terjadinya suatu kejadian. Setiap kejadian yang dapat dinyatakan sebagai perubahan nilai suatu variabel, umumnya mengikuti suatu distribusi teoritis tertentu dan apabila sudah ketahuan jenis distribusinya, kita dengan mudah dapat mengetahui besarnya nilai probabilitas terjadinya kejadian tersebut. Beberapa distribusi teoritis yang akan dibahas dalam bab ini, antara lain Distribusi binomial, binomial, Distribusi Distribusi Poisson, Poisson, Distribusi Distribusi Hipergeom Hipergeometrik, etrik, Distribus Distribusii Multinomia Multinomial, l, Distribusi ormal, Distribusi !ai-!uadrat"#hi-S$uare%, Distribusi &, dan Distribusi t. DISTRIBUSI BINOMIAL. Distribusi binomial atau distribusi Bernoulli adalah suatu distribusi teoritis yang meng menggu guna naka kan n vari variab abel el a'ak a'ak disk diskri ritt yang ang terd terdir irii dari dari dua dua keja kejadi dian an yang ang berkomplemen, seperti sukses-gagal, baik-'a'at. Pada umumnya suatu eksperimen dapat dikatakan eksperimen Binomial apabila memenuhi syarat sebagai berikut. (. Setiap Setiap per'oba per'obaan an mengh menghasilk asilkan an dua dua kejadi kejadian) an) "a% kelahiran anak) laki-laki-perempuan* "b% transaksi saham) jual- beli, "'% perkembangan suku bunga) naik+turun dan lain-lain. . Setiap Setiap eksperimen eksperimen mempuny mempunyai ai dua hasil yang yang dikatagorika dikatagorikan n menjadi sukses sukses dan gagal. /. Probabilit Probabilitas as suatu suatu kejadian kejadian untuk suskes suskes atau atau gagal gagal adalah tetap tetap untuk setiap setiap kejadian. P"p%, peluang sukses, P"$% peluang gagal, dan P"p% 0 P"$%1 (. 2. Probabilit Probabilitas as sukses sukses sama sama pada pada setiap setiap eksperi eksperimen. men. 3. 4ksper 4ksperime imen n terseb tersebut ut harus harus bebas satu sama lain, artinya artinya hasil eksperi eksperimen men yang satu tidak mempengeruhi hasil eksperimen lainnya. 5. Data yang yang dihasilka dihasilkan n adalah adalah data data perhitun perhitungan. gan. #ontoh) Suatu eksperimen Binomial, yang terdiri dari pengambilan satu bola se'ara a'ak dari kotak yang berisi /6 bola merah"1 /6M% dan 76 bola putih"1 76P%. 8 adalah variabel a'ak dengan nilai sebagai berikut. Y
=
1, kalau bola merah yang terambil 0, kalau bola putih yang terambil
P"M% 1 p 1 probabilitas untuk mendapat bola merah "sukses%
30
1 100 1 6,/6 P"P% 1 $ 1 probabilitas untuk mendapat bola putih "gagal% 70 1 100 1 6,76 4"8% 1 ("p% 0 6"$% 1 ("6,/% 0 6"6,7% 1 6,/ Bila Bila dilaku dilakuka kan n ekspe eksperime rimen n empat empat kali. kali. Pengam Pengambil bilan an bola bola dilaku dilakukan kan dengan dengan pengembalian bola yang terambil. Hal ini untuk menjaga agar eksperimen yang satu satu tidak tidak mempen mempenga garuh ruhii hasil hasil eksper eksperime imen n yang yang lain. lain. 4ksper 4ksperime imen n ini akan akan 2 menghasilkan 1 (5 hasil sebagai berikut. (. . /. 2. 3. 5. 7. :.
MMMM MMMP MMPM MMPP MPMM MPMP MPPM MPPP
9. PMMM (6. PMMP ((. PMPM (. PMPP (/. PPMM (2. PPMP (3. PPPM (5. PPPP
Masing-masing hasil eksperimen terdiri dari empat kejadian yang bebas satu sama lain, sehingga probabilitas terjadinya setiap hasil eksperimen merupakan hasil kali probabilitas masing-masing kejadian, misalnya P"MMPM% 1 pp$p 1 "6,/% "6,/%"6,7%"6,/% 1 6,6(:9. ;turan perkalian untuk kejadian-kejadian bebas dan aturan penjumlahan untuk kejadi kejadianan-ke kejad jadian ian yang yang saling saling meniad meniadaka akan, n, yang yang sudah sudah dibaha dibahas s sebelu sebelumny mnya a dapat diterapkan di sini dan perhitungannya adalah. P"/M dan (P% 1 P"MMMP% 0 P"MMPM% 0 P"MPMM% 0 P"PMMM% 1 "6,/%"6,/%"6,/%"6,7% 0 "6,/%""6,/%"6,7%"6,/% 0 " 6,/%"6,7%"6,/%"6,/% 0 "6,7%"6,/%"6,/%"6,/% 1 6,6735
1 6, (, , /, 2 Sedangkan untuk n kali. > 1 6, (, , ?, n. ;pabila semua nilai probabilitas > sebagai hasil suatu eksperimen kita hitung, akan akan kita kita perole peroleh h distrib distribus usii probab probabilit ilitas as > dan dan disebu disebutt distrib distribusi usi probab probabilit ilitas as Binomial. P"> 1 6% 1 P"PPPP% 1 "6,7%"6,7%"6,7%"6,7% 1 "6,7%2 1 6,26( P"> 1 (% 1 p$/ 0 $p$ 0 $p$ 0 $/p 1 "6,/%"6,7%/ 0 "6,7%"6,/%"6,7% 0 "6,7%"6,/%"6,7% 0
"6,7%/"6,/% 1 6,2((5 P"> 1 % 1 p$ 0 p$p$ 0 p$p 0 $p$ 0 $p$p 0 $p 1 "6,/%"6,7% 0 "6,/%"6,7%"6,/%"6,7% 0 "6,/%"6,7%"6,/% 0 "6,7%"6,/%"6,7% 0 "6,7%"6,/%"6,7%"6,/% 0 "6,7%"6,/% 1 6,525 P"> 1 /% 1 p/$ 0 p$p 0 p$p 0 $p/ 1 "6/%/"6,7% 0 "6,/%"6,7%"6,/% 0 "6,/%"6,7%"6,/% 0 "6,7%"6,/%/ 1 6,6735 P"> 1 2% 1 P"MMMM% 1 p2 1 "6,/%2 1 6,66:(
Dari 'ontoh soal diatas, dapat disimpulkan bah=a dalam dalam distribusi probabilitas binomial, dengan n per'obaan, berlaku rumus berikut. Pr "@ sukses, dalam n per'obaan% 1 p @ $n-@ Dimana @ 1 6, (, , /, ?, n p 1 probabilitas sukses. $ 1 "(-p% 1 probabilitas gagal ;turan umum permutasi dapat digunakan untuk memperoleh banyaknya kemungkinan urutan yang berbeda, dimana masing-masing urutan terdapat @ sukses, misalnya @ 1 / "1 / sukses% ) MMMP, MMPM, MPMM, PMMM. ;pabila suatu himpunan yang terdiri dari n elemen dibagi dua, yaitu @ sukses dan "n + @% gagal, maka banyaknya permutasi dari n elemen yang diambil @ setiap kali dapat dihitung berdasarkan rumus kombinasi berikut. nP n,n−@ =
nA = # @A ( n − @ ) A n @
disebut koefisien Binomial"merupakan kombinasi dari n elemen yang diambil @ setiap kali% Masing-masing probabilitas pada distribusi Binomial dihitung sebagai berikut. nA pr ( @ ) = p @$n− @ @A ( n − @ ) A @ 1 6, (, , ?, n pr "@% dari rumus diatas, merupakan fungsi probabilitas, karena. a%. pr "@% ≥ 6, untuk semua @, sebab
nA ≥ 6 dan p@ $n-@ ≥ 6 @A ( n − @ ) A
p ( @) b%. ∑ @ r 1 (, untuk semua @. #ontoh ) Seorang penjual mengatakan bah=a di antara seluruh barang dagangannya yang dibungkus rapi, ada yang rusak sebanyak 6. Seorang membeli barang tersebut sebanyak : buah dan dipilihnya se'ara a'ak. !alau > 1 banyaknya barang tidak rusak"bagus% maka. a%. Hitung semua probabilitas untuk memperoleh >.
b%. Buat probabilitas kumulatif. '%. Berapa probabilitasnya bah=a dari : buah barang yang dibeli, ada 3 yang rusak. d%. P"> C 3%, P" C > < 3%, P"> C :%, P"> ≥ 2%. Penyelesaian ) a%. Probabilitas untuk memperoleh >. 8!
0 8 pr "> 1 6% 1 0!( 8 − 0) ! ( 0,8) ( 0,2) = 0,0000
pr "> 1 (% 1
8! 1!( 8 − 1) !
( 0,8) 1 ( 0,2 ) 7 = 0,0001
8!
2 6 pr "> 1 % 1 2!( 8 − 2) ! ( 0,8) ( 0,2) = 0,0011
pr "> 1 /% 1
8! 3!( 8 − 3) !
( 0,8) 3 ( 0,2) 5 = 0,0092
8!
4 4 pr "> 1 2% 1 4!( 8 − 4) ! ( 0,8) ( 0,2) = 0,0459
pr "> 1 3% 1
8! 5!( 8 − 5) !
( 0,8) 5 ( 0,2) 3 = 0,1468
8!
6 2 pr "> 1 5% 1 6!( 8 − 6) ! ( 0,8) ( 0,2) = 0,2936
pr "> 1 7% 1
8! 7!( 8 − 7 ) !
( 0,8) 7 ( 0,2) 1 = 0,3355
8!
8 0 pr "> 1 :% 1 8!( 8 − 8) ! ( 0,8) ( 0,2) = 0,1678
b%. Probabilitas !umulatif. P"> C 6% 1 6,6666 P"> C (% 1 6,6666 0 6,666( 1 6,666( P"> C % 1 6,666( 0 6,66(( 1 6,66( P"> C /% 1 6,66(( 0 6,669 1 6,6(62 P"> C 2% 1 6,6(62 0 6,6239 1 6,635/ P"> C 3% 1 6,635/ 0 6,(25: 1 6,6/( P"> C 5% 1 6,6/( 0 6,9/5 1 6,2957 P"> C 7% 1 6,2957 0 6,//33 1 6,:/ P"> C :% 1 6,:/ 0 6,(57: 1 (,6666 '%. 3 rusak, berarti @ 1 / P"> 1 /% 1 6,669 "lihat ja=aban a% d%. P"> C 3% 1 6,6/( "lihat ja=aban b% P" C > < 3% 1 pr "> 1 % 0 pr "> 1 /% 0 pr "> 1 2% 1 6,66(( 0 6,669 0 6,6239 1 6,35/ P"> C :% 1 ( "lihat ja=aban b% P"> ≥ 2% 1 pr "> 1 2% 0 pr "> 1 3% 0 pr "> 1 5% 0 pr "> 1 7% 0 pr "> 1 :% 1 6,6239 0 6,(25: 0 6,9/5 0 6,//33 0 6,(57: 1 6,9:95
;pabila nilai n makin besar, perhitungan probabilitas Binomial dalam prakteknya harus digunakan tabel Binomial. Dalam tabel tersebut, n 1 (5, dan p 1 "6,63%, "6,(6%, "6,(3%, ?, "6,36%. ;pabila p 6,36, maka persoalannya harus dibalik, yaitu menjadi @ gagal dan "n + @% sukses. Dengan demikian, peranan p bukan lagi menjadi probabilitas sukses melainkan probabilitas gagal. Entuk n yang 'ukup besar dapat digunakan tabel normal. Rata-rata dan Varians Distribusi Binomial. !ita mengetahui bah=a untuk men'ari rata-rata " µ% kita menggunakan rumus. F 1 4">% 1 1
∑ xp ( x ) r
x
∑ x x!( nn−! x ) ! p
x
q n − x
x
dimana @ 1 (, , /, ?, n. Perhatikan bah=a > 1 Σ 8i 1 8( 0 8 0 ?0 8n Di mana 8i
1, kalau sukses , sehingga p ( sukses) = p(1) = p 0, kalau gagal , sehingga p ( gagal ) = p (0) = 1 − p = q
4"8i% 1 ("p% 0 6"( + p% 1 p 0 6 1 p, untuk semua i 4">% 1 4"Σ8i% 1 Σ4"8i% 1 4"8(% 0 4"8% 0 ?0 4"8n% 1
p + p + + p n kali
1 np Gadi rata-rata dari distribusi binomial adalah np Sedangkan untuk menentukan varians dari distribusi binomial, kita menggunakan rumus. ar">% 1 4I> + 4">%J 1 4"> + np% 1 Σ "@ + np% p"@% ar"8% 1 4I> + 4"8%J 1 4"8 + p% 1 Σ "@ + p% p"y% 1 "( + p% "p% 0 "6 + p% "( + p% 1 "( + p% p 0 p "( + p% 1 p"( + p% "( + p 0 p% 1 p"( + p% 1 p$ ar">% 1 ar"Σ8i% 1 Σ ar"8i% 1 "8(% 0 "8% 0 ?0 "8n% 1
pq + pq + + pq n kali
1 np$
jadi varians dari distribusi binomial adalah npq.
Dengan demikain, dapat disimpulkan bah=a untuk variabel > yang mengikuti distribusi binomial berlaku rumus berikut.
µ 1 4">% 1 np σ 1 4K> + 4">%J 1 4"> + np% 1 np$ σ 1 npq #ontoh ) Suatu mata uang logam Lp. 36 dilemparkan ke atas sebanyak 2 kali, dimana probabilitas mun'ulnya gambar p"B% sama dengan probabilitas mun'ulnya gambar 1
−
bukan burung p" " % 1 . Gika > 1 banyaknya gambar burung "B% yang mun'ul, 2 'arilah nilai rata-rata I4">%J dan simpangan bakunya " σ% dengan menggunakan 'ara ) a%. Perhitungan se'ara langsung. b%. Dengan menggunakan rumus 4">% 1 np, σ 1 npq Penyelesaian ) a%. σ 1 4I> + 4">%J 4">% 1 Σ @pr "@% 4">% 1 "6%" ( 16 ) 0 "(% ( 16 ) 0 "% ( 166 ) 0 "/% ( 164 ) 0 "2% ( 16 ) 1
4
1
1 "6%"6,653% 0 "(%"6,3% 0 "%"6,/376% 0 "/%"6,3% 0 "2%"6,653% 1 (,952 ≈ Di dalam 2 kali lemparan, diharapkan se'ara rata-rata memperoleh B. ar">% 1 σ 1 4"> + % 1 Σ "@ + % pr "@% 1 "6 - %" ( 16 ) 0 "( - % ( 16 ) 0 " - % ( 166 ) 0 "/ - % ( 164 ) 0 1
4
"2 - % ( 16 ) 1
1 "2%"6,653% 0 "(%"6,3% 0 "6%"6,/376% 0 "(%"6,3% 0 "2%"6,653% 1( σ 1 1 1 (
b%. 4">% 1 np 1 2 ( 12 ) 1
σ 1 np$ 1 2 ( 12 ) ( 12 ) 1 ( σ 1
1
1(
DISTRIBUSI OISSON. Distribusi poisson adalah pengembangan dari distribusi binomial yang mampu mengkakulasikan distribusi probabilitas dengan kemungkinan sukses "p% sangat ke'il dan jumlah eksperimen "n% sangat besar.
!arena distribusi poisson biasanya melibatkan jumlah n yang besar, dengan p ke'il, distribusi ini biasanya digunakan untuk menghitung nilai probabilitas suatu kejadian dalam suatu selang =aktu dan daerah tertentu. Distribusi Poisson memiliki 'iri-'iri sebagai berikut. (. Banyaknya hasil per'obaan yang terjadi dalam suatu interval =aktu atau suatu daerah tertentu tidak tergantung pada banyaknya hasil per'obaan yang terjadi pada interval =aktu atau daerah lain yang terpisah. . Probabilitas terjadinya hasil per'obaan selama suatu interval =aktu yang singkat atau dalam suatu daerah yang ke'il, sebanding dengan panjang interval =aktu atau besarnya daerah tersebut dan tidak tergantung pada banyaknya hasil per'obaan yang terjadi di luar interval =aktu atau daerah tersebut. /. Probabilitas lebih dari satu hasil per'obaan yang terjadi dalam interval =aktu yang singkat atau dalam daerah yang ke'il dapat diabaikan. Lumus untuk menyelesaikan distribusi Poisson adalah sebagai berikut. λ x e − λ Pr "@% 1 x!
Dimana λ 1 rata-rata distribusi 1 6, (, , /, ?"menuju tak hingga% e 1 konstanta ,7(:: #ontoh) Seorang yang akan menjual mobil me=ahnya memasang iklan pada suatu surat kabar yang dapat men'apai (66.666 pemba'a. Dengan anggapan nilai probabilitas bah=a seorang yang memba'a iklan tersebut berminat akan membeli mobilnya sebesar p 1 (36.666. Gika dari (66.666 pemba'a ada dua orang yang berminat membeli mobil tersebut "p 1 6,6666% dan > 1 banyaknya pemba'a yang berminat pada mobil tersebut, berapakah P"> 1 6%, P"> 1 (%, P"> 1 %, P"> 1 /%, P"> 1 2%, ,,,,N Persoalan ini sebetulnya dapat dipe'ahkan dengan menggunakan fungsi Binomial, karena persoalannya hanya men'ari probabilitas @ sukses dari n 1 (66.666 eksperimen dimana probabilitas sukses p 1 (36.666. ;kan tetapi karena n terlalu besar dan p terlalu ke'il, fungsi Poisson dapat digunakan sebagai suatu pendekatan yang lebih sederhana. ;pabila λ 1 rata-rata distribusi 1 4">% 1 np 1
100000 50000
1 , "se'ara rata-rata dapat
diharapkan dua orang pemba'a yang menanyakan keadaan mobil%, maka setelah dilakukan perhitungan, kita akan memperoleh sebagai berikut. Pr "> 1 6% 1
2
0
−2
0! 1
Pr "> 1 (% 1
e
2
e
1 6,(/3/
−2
1!
1 6,767
Pr "> 1 % 1 Pr "> 1 /% 1 Pr "> 1 2% 1 Pr "> 1 3% 1 Pr "> 1 5% 1 Pr "> 1 7% 1 Pr "> 1 :% 1 Pr "> 1 9% 1
2
2
e
−2
2! 2
3
e
−2
3! 2
4
e
5
e
6
e
7
e
1 6,6/5(
−2
6! 2
1 6,696
−2
5! 2
1 6,(:62
−2
4! 2
1 6,767
1 6,6(6
−2
7!
1 6,66/2
2 8 e −2 8! 2
9
e
1 6,6669
−2
9!
1 6,666
Perhitungan ini dapat juga dilihat pada tabel Poisson, dimana @ 1 6, (, , ?, 9. Misalnya kita ingin melihat distribusi probabilitas bah=a 3 orang pemba'a berminat pada mobil tersebut "p"3% dengan λ atau rata-rata distribusi 1 , perhatikan potongan tabel Poisson berikut. @ (,6 ,6 /,6 2,6 3,6 5,6 6 6,/579 6,(/3/ 6,629: 6,6(:/ 6,6657 6,663 ( 6,/579 6,767 6,(292 6,67// 6,6//7 6,6(29 6,(:/9 6,767 6,26 6,(253 6,6:2 6,6225 / 6,65(/ 6,(:62 6,26 6,(932 6,(262 6,6:9 2 6,6(3/ 6,696 6,(5:6 6,(932 6,(733 6,(//9 3 6,66/( 6,6/5( 6,(66: 6,(35/ 6,(733 6,(565 5 6,6663 6,6(6 6,6362 6,(62 6,(25 6,(565 Perhatikan kolom , dengan λ 1 ,6, telusuri ke ba=ah sampai ke baris @ 1 3. Disana kita akan menemukan angka 6,6/5(. ;rtinya probabilitas 3 orang berminat dari (66.666 pemba'a adalah 6,6/5(, probabilitas 5 orang berminat adalah 6,6(6, dan seterusnya. Distribusi Poisson juga dapat digunakan untuk menghitung probabilitas dari @ sukses dalam n eksperimen, yang terjadi dalam satuan luas tertentu, satuan isi tertentu, interval =aktu tertentu, atau satuan panjang tertentu. #ontoh ) Seorang pemilik pabrik rokok akan melakukan promasi penjualan rokok merk ; dengan iklan khusus. Di antara (.666 batang rokok terdapat 3 batang yang diberi tulisan berhadia dan di'ampur se'ara a'ak dengan rokok lainnya. Setiap pembeli rokok merk ; yang memperoleh batang rokok dengan tulisan berhadia akan mendapatkan hadiah yang menarik. ;pabila > menyatakan banyaknya batang rokok yang terdapat tulisan berhadiah dari satu bungkus rokok merk ; yang setiap bungkusnya berisi 6 batang, berapakah P"> 1 6%, P"> 1 (%, P"> 1 %, P"> 1 /%, P"> 1 2% N
Penyelesaian ) n 1 6 1 banyaknya batang rokok per bungkus sebagai sampel a'ak. P"batang rokok berhadiah% 1 p"sukses% 1 p 1
3 (666
1 6,663.
λ 1 np 1 6"6,663% 1 6,( Dari tabel Poisson kita peroleh. > 6 ( Pr "@% 6,962: 6,6963
6,6623
/ 6,666
2 6,6666
Probabilitas untuk mendapatkan 2 batang berhadiah 1 6,6666 "tidak mungkin%, sedangkan mendapatkan ( batang berhadiah 1 6,6963 "9% #ontoh ) Seorang !epala Bagian !redit dari suatu Bank beranggapan bah=a 2 dari para nasabahnya merasa tidak puas dengan pelayanan bank tersebut. !emudian 36 orang nasabah dipilih se'ara a'ak. > 1 banyaknya nasabah yang tidak puas. Hitung pr "@%, untuk @ 1 6, (, ,?,9 dan hitung distribusi kumulatif &"@% 1 P"> C @%. Penyelesaian ) n 1 36 p 1 2 1 6,62 λ 1 np 1 36"6,62% 1 Pr "6% 1 Pr "(% 1 Pr "% 1 Pr "/% 1 Pr "2% 1
2
0
0!
2
1
e
2
2
Pr "5% 1 Pr "7% 1 Pr ":% 1 Pr "9% 1
1 6,767
−2
e
2! 2
3
e
4
1 6,(:62
−2
e
4!
2 e 6
e
7
e
8
e
9
e
1 6,66/2
−2
8! 2
1 6,6(6
−2
7! 2
1 6,6/5(
−2
6! 2
1 6,696
−2
5! 2
1 6,767
−2
3! 2
1 6,(/3/
−2
1!
5
Pr "3% 1
−2
e
1 6,6669
−2
9!
1 6,666
Distribusi !umulatif &"@%. P"> C 6% 1 6,(/3/ P"> C (% 1 6,(/3/ 0 6,767 1 6,2656
P"> C % 1 6,2656 0 6,767 1 6,5757 P"> C /% 1 6,5757 0 6,(:62 1 6,:37( P"> C 2% 1 6,:37( 0 6,696 1 6,927/ P"> C 3% 1 6,927/ 0 6,6/5( 1 6,9:/2 P"> C 5% 1 6,9:/2 0 6,6(6 1 6,9932 P"> C 7% 1 6,9932 0 6,66/2 1 6,99:: P"> C :% 1 6,99:: 0 6,6669 1 6,9997 P"> C 9% 1 6,9997 0 6,666 1 6,9999 λ x e − λ Pr "@% 1 , @ 1 6, (, , ? x !
Merupakan fungsi probabilitas, sebab memenuhi syarat berikut) λ x
a. pr "@% ≥ 6, sebab
e
− λ
O 6
x !
b. Σpr "@% 1 (, untuk seluruh @. Rata-rata dan Varians! Distribusi oisson Dapat dibuktikan bah=a untuk distribusi Poisson, $( # )
σ
2
∞
∞
λ x e − λ
x = 0
x = 0
x !
= ∑ xp r ( x ) = ∑ x ∞
= $( # % λ ) = ∑ ( x − λ ) 2
x =0
σ =
2
= λ
λ x e − λ x !
= λ
λ
dimana ) @ 1 jumlah kejadian sukses p 1 probabilitas terjadinya @ λ 1 rata-rata distribusi e 1 konstanta aperian ",7(::% DISTRIBUSI "IER#EOMETRI$. Distribusi hipergeometrik sangat erat kaitannya dengan distribusi binomial. Perbedaan antara distribusi hipergeometrik dengan binomial adalah bah=a pada distribusi hipergeometrik, per'obaan tidak bersifat independent. ;rtinya antara per'obaan yang satu dengan yang lainnya saling berkait. Selain itu probabilitas SE!S4S berubah"tidak sama% dari per'obaan yang satu ke per'obaan lainnya. Entuk men'ari probabilitas @ sukses dalam ukuran sample n, kita harus memperoleh @ sukses dari r sukses dalam populasi, dan n + @ gagal dari + r gagal. Sehingga fungsi probabilitas hipergeometrik dapat dituliskan sebagai berikut. r C x N − r C n − x , 0 ≤ x ≤ r p ( x ) = N C n dimana ) p"@% 1 probabilitas @ sukses "atau jumlah sukses sebanyak @% dalam n per'obaan. n 1 jumlah per'obaan 1 Gumlah elemen dalam populasi r 1 jumlah elemen dalam populasi berlabel SE!S4S
@ 1 Gumlah elemen berlabel SE!S4S diantara n elemen per'obaan.
C x
=
N − r
r ! x !( r − x ) !
C n − x
N
C n
=
=
( N − r ) ! ( n − x )( N − r − n + x ) ! N !
n !( N − n ) !
#ontoh ) Sebuah anggota komite terdiri dari 3 orang, dimana / adalah =anita dan lakilaki. Misalkan orang dari 3 orang anggota komite tersebut dipilih untuk me=akili delegasi dalam sebuah konvensipertemuan, "i% Berapa probabilitas bah=a dari pemilihan se'ara a'ak didapat orang =anitaN "ii% Berapa probabilitas dari orang yang terpilih adalah ( laki-laki dan ( =anitaN Penyelesaian ) !ita dapat menggunakan distribusi hipergeometrik dalam kasus ini, dengan n 1 , 1 3, r 1 / dan @ 1 , @ 1 jumlah =anita terpilih.
3
"i%
p"% 1
C 2 5
2
C 0
C 2
3! 2! 2 ! 1! 2 ! 0 ! = 3 = 0,3 = 10 5! 2! 3!
Gadi probabilitas orang =anita terpilih adalah 6,/
3
"ii%
p"(% 1
C 1 5
2
C 1
C 2
3! 2! 1! 2 ! 1! 1! = = 5! 2 ! 3!
3 2 10
=
6 10
= 0,6
Gadi probabilitas terpilih ( orang =anita dan ( laki-laki 1 6,5 DISTRIBUSI MULTINOMIAL. !alau pada distribusi binomial hasil sebuah per'obaan hanya dikatagorikan ma'am yaitu sukses dan gagal, maka dalam distribusi multinomial, sebuah per'obaan akan menghasilkan beberapa kejadian "lebih dari % yang saling meniadakansaling lepas. Misalkan ada sebanyak k kejadian dalam sebuah per'obaan, katakana kejadian-kejadian B(, B, ?, Bk. Gika per'obaan diulang sebanyak n kali dan peluang terjadinya setiap kejadian B konstantetap dari setiap
per'obaan dengan P"Bi% 1 Pi untuk i 1 (, , /, ?, k, dan > (, >, >/, ?>k menyatakan jumlah terjadinya kejadian B i " i 1 (, , ?, k dalam n per'obaan. &ungsi Distribusi Multinomial p ( x1 , x 2 , x 3 ,, x k )
x x n! = p1 p 2 ! ! ! ! x x x x k 1 2 3 1
2
p 3 x3 p xk k
untuk nilai-nilai k
>( 1 6, (, , ??* > k 1 6, (, , ? dan
∑ x
i
=n
i =1
Dimana >(, >, ??, >k menyatakan jumlah dari kejadian B (, B, ?.?Bk n menyatakan jumlah per'obaan. P(, p, ..,pk adalah probabilitas terjadinya kejadian B(, B, ?.Bk #ontoh ) Proses pembuatan pensil dalam sebuah pabrik melibatkan banyak buruh dan proses tersebut terjadi berulang-ulang. Pada suatu pemeriksaan terakhir yang dilakukan telah memperlihatkan bah=a :3 produksinya adalah baik, (6 ternyata tidak baik tetapi masih bias diperbaiki dan 3 produksinya rusak dan harus dibuang. Gika sebuah sample a'ak dengan 6 unit dipilih, berapa peluang jumlah unit baik sebanyak (:, unit tidak baik tetapi bisa diperbaiki sebanyak dan unit rusak tidak adaN Penyelesaian ) Misalkan, >( 1 banyaknya unit baik > 1 banyaknya unit yang tidak baik tetapi bias diperbaiki >/ 1 banyaknya unit yang rusak dan harus dibuang >( 1 (:, > 1 , dan >/ 1 6 "syarat @( 0 @ 0 @/ 1 n 1 6% dan p( 1 6,:3, p 1 6,( dan p / 1 6,63 maka ) p
(18,
2, 0 )
20! ( 0,85) 18 ( 0,1) 2 ( 0,05) 0 = 18! 2! 0!
1 (96 "6,:3%(: "6,6(% 1 6,(6 Gadi peluangnya sebesar 6,(6. DISTRIBUSI NORMAL. Di antara sekian banyak distribusi, barangkali distribusi normal merupakan distribusi yang se'ara luas banyak digunakan dalam berbagai penerapan. Distribusi normal merupakan distribusi kontinu yang mensyaratkan variabel yang diukur harus kontinu misalnya tinggi badan, berat badan, dan sebagainya. $ara%t&risti% Distribusi $ur'a Normal (
(. . /. 2. 3.
!urva berbentuk genta "µ1 Md 1 Mo% !urva berbentuk simetris !urva normal berbentuk asimptotis !urva men'apai pun'ak pada saat >1 µ uas daerah di ba=ah kurva adalah (* Q di sisi kanan nilai tengah dan Q di sisi kiri.
Persamaan matematika bagi distribusi probabilitas a'ak normal tergantung pada dua parameter, yaitu µ dan σ atau nilai tengah dan simpangan bakunya. &ungsi kepadatan probabilitas normal dapat dituliskan sebagai berikut. 2
f ( x )
=
1
σ 2π
1 x − µ − e 2 σ
, untuk -µ R>Rµ
di mana )
π 1 /,(2(39 e 1 ,7(:: Bila nilai-nilai µ dan σ diketahui, maka kita dapat menggambarkan kurva normal itu dengan pasti. Bagaimanapun bantuk dan ketinggian dari kurva normal sangat tergantung pada dua variabel ini.
% 3 . 6 , 6 , @ " m r o n d
3 . (
6 . (
3 . 6
6 . 6 -2
-,
6
,
2
Distribusi kurva normal dengan µ sama dan σ berbeda : . %
6
3 . 6 , ( , @ " m r o
5 . 6
2 . 6
n d . 6
6 . 6 -5
-2
-,
6
,
2
Distribusi kurva normal dengan µ dan σ berbeda 3 . 6 % ( , 3 , @ " m r
2 . 6
/ . 6
o n
.
d
6
( . 6
6 . 6 6
,
2
5
:
(6
Distribusi kurva normal dengan µ berbeda dan σ sama Distribusi Normal Standar. !eluarga distribusi normal memiliki jumlah yang banyak sekali, akibat pengaruh rata-rata dan simpangan baku. ;kan tetapi, untuk men'ari probabilitas suatu interval dari variabel random kontinu dapat dipermudah dengan menggunakan batuan distribusi normal standar. Distribusi normal standar adalah distribusi normal yang memiliki rata-rata " µ% 1 6 dan simpangan baku "σ% 1 (. Bentuk fungsinya adalah. f ( Z ) =
1 2π
e
− 1 Z 2 2
Dalam bentuk diagram atau kurva "disebut kurva normal standar%, distribusi normal standar digambarkan ) &(')
0,4 0,3 0,2 0,1
-3
-2
-1
0
1
2
3
!urva distribusi normal standar Dari bentuk kurva distribusi normal standar tersebut, dapat diketahui sifatpsifat distribusi terebut, yaitu ) (. kurva simetris terhadap sumbu 8.
. mempunyai titik tertinggi "6,
1 2π
%, dengan
1 2π
1 6,2
/. 'ekung keba=ah untuk interval > 1 -( sampai > 1 0( dan 'ekung ke atas untuk nilai > di luar interval tersebut. 2. meluas atau melebar tanpa batas ke kiri dan ke kanan serta mendekati sumbu > se'ara 'epat begitu bergerak dari > 1 6 ke kiri maupun ke kanan. 3. luas seluruh daerah di ba=ah kurva dan di atas sumbu > sebesar ( unit. Entuk mengubah distribusi normal umum menjadi distribusi normal standar, gunakan nilai . Bentuk rumusnya adalah ) Z =
X − µ
σ
Dimana ) 1 variabel normal standar > 1 nilai variabel random µ 1 rata-rata variabel random σ 1 simpangan baku variabel random ilai adalah angka atau indeks yang menyatakan penyimpangan suatu nilai variabel random ">% dari rata-rata "µ% dihitung dalam satuan simpangan baku " σ%. #ontoh Soal) Harga saham di B4G mempunyai nilai tengah ">%1296,7 dan standar deviasinya (22,7. Berapa nilai untuk harga saham 566N Ga=ab) Diketahui) ilai µ 1 296,7 dan σ 1 (22,7 Maka nilai 1" > - µ% σ 1 "566 + 296,7%(22,7 1 6,75 Luas Di Ba)a* $ur'a Normal. uas daerah kurva normal antara @ 1 a dan @ 1 b dinyatakan sbb) b
P"a ≤ @
≤ b% =
∫ a
b
f"@%d@
=
∫ a
1 2πσ
2
− 12 @ − µ ÷ e σ 2 d@
2 . 6
/ . % @ " m r o n
6
. 6
d
( . 6
6 . 6 -2
-,
6 @
,
2
a
b
uas daerah P"aR@Rb%1 luas daerah di arsir #ontoh ) P< TS mengklaim berat buah mangga B adalah /36 gram dengan standar deviasi 36 gram. Bila berat mangga mengikuti distribusi normal, berapa probabilitas bah=a berat buah mangga men'apai kurang dari 36 gram, sehingga akan diprotes oleh konsumen.
+!+,,
Penyelesaian )
+!//,
+!//,
Penyelesaian ) P":66R>R(.666%N Hitung nilai ( 1 ":66-966%36 1 -,66* 1 "(.666-966%36 1 ,66 Gadi) P":66R>R(.666% 1P"-,66RR,66%* P"-,66R% 1 6,277 dan P",66% 1 6,277 Sehingga luas daerah yang diarsir adalah 1 6,27706,2771 6,9322. Gadi P":66R>R(.666% 1 P"-,66 R R,66% 1 6,9322. Gadi 93,22 produksi berada pada kisaran :66-(.666 jam. Gadi jika P< Work 4le'tri' mengklaim bah=a lampu bohlamnya menyala :66-(.666 jam, mempunyai probabilitas benar 93,22, sedang sisanya 2,35 harus dipersiapkan untuk garansi. DISTRIBUSI $AI-$UADRAT 0 , 1 2*i Squar&3. Distribusi kai-kuadrat sangat berguna sebagai kriteria untuk pengujian hipotesis mengenai varians dan juga untuk uji ketepatan penerapan suatu fungsi apabila digunakan untuk data hasil observasi atau data empiris. Dengan demikian, kita dapat menentukan apakah distribusi pendugaan berdasarkan sampel hampir sama atau mendekati distribusi teoritis, sehingga kita dapat menyimpulkan bah=a populasi dari mana sampel itu kita pilih mempunyai distribusi yang kita maksud "misalnya, suatu populasi mempunyai distribusi binomial, Poisson, atau ormal%. Misalnya sebuah dadu yang mempunyai 5 mata "mata (, , /, 2, 3, 5% dilemparkan ke atas sebanyak /66 kali. Dalam jangka panjang, kita harapkan untuk melihat masing-masing mata tersebut mun'ul dengan frekuensi yang sama, yaitu masingmasing mun'ul 36 kali. Dalam prakteknya, frekuensi mata dadu yang mun'ul sekitar 36, =alaupun dadu itu termasuk fair di'e. Dengan menggunakan kaikuadrat, kita dapat menentukan apakah suatu dadu dapat diatakan fair setelah membandingkan frekuensi dari masing-masing mata dadu tersebut. ;pabila i 1 "6,(% 1 variabel normal dengan rata-rata 6 dan variens sama dengan (, atau 4"% 1 6, σ Z 1 (, maka jumlah Z ( + Z + + Z k sama dengan χ k dengan derajat kebebasan sebesar k. χ k
= ∑ Z i
!alau suatu himpunan yang terdiri n variabel a'ak > 1 I> iJ, dimana >i ∼ n"µ, σ% untuk semua i "i 1 (, , ?, n%, maka kita dapat memperoleh variabel seperti yang dimaksud di atas, dengan rumus. Z i
=
X i
− µ
σ
∼ 96,(%,
i 1 (, , ?., n.
χ n
χ n
= ∑ x − µ σ i
= kai-kuadrat dengan derajat kebebasan sebesar n.
;pakah yang dimaksud dengan derajat kebebasan. Misalnya kita diminta untuk menentukan 3 nilai >, yaitu > (, >, >/, >2, >3, dimana syaratnya sudah ditentukan bah=a rata-ratanya. > 1 3. Gadi, jumlah kelima nilai > tersebut adalah 3. !alau nilai @(, @, @/, dan @2 kita tentukan misalnya @ ( 1 2, @ 1 3, @/ 1 5, dan @2 1 7, maka nilai @3 tidak bebas lagi untuk menentukannya. ilai @ 3 harus membuat jumlah kelima nilai @ tersebut menjadi 3. Dengan demikian >3 1 3 + ">( 0 > 0 >/ 0 >2% 1 3 + "2 0 3 0 5 0 7% 1 /. Gadi > 3 1 /. kita mempunyai 2 kebebasan "satu kali tidak% di antara 3 pilihan, dengan kata lain hanya mempunyai derajat kebebasan sebanyak 2 yaitu "3 + (%. !alau harus memilih dari n elemen derajat kebebasannya 1 n + (. Di dalam soal kita hanya memperkirakan satu penduga "1>%, sehingga derajat kebebasan ada "n + (%. ;pabila harus memperkirakan k penduga, maka derajat kebebasan ada "n + k%. !alau k 1 , yaitu a dan b" a penduga dari ; dan b penduga dari B%, dalam persoalan regresi 8 1 ; 0 B> 0 ε, maka derajat kebebasannya "n + %. Bentuk kurva kai-kuadrat sangat dipengaruhi oleh besar ke'ilnya nilai derjat kebebasan. Makin ke'il nilai derajat kebebasan, bentuk kurvanya makin men'eng kekanan dan makin besar nilai derajat kebebasan "n → ∞%, bentuk kurvanya makin mendekati bentuk funsi normal. !ai-kuadrat merupakan fungsi kontinu dan nilainya tidak pernah negatif. ilai rata-ratanya makin meningkat kalau nilai derajat kebebasan juga makin meningkat. !urva !ai-!uadrat dengan derajat kebebasan
x
=
( χ
x
f"χ%
υ2 υ/ υ υ(
υ 1 derajat kebebasan υ( υ υ/ υ2
(
E χ υ
1 µ 1 υ
Lata-rata kai-kuadrat denga derajat kebebasan sebesar υ adalah sama dengan υ.
( )
Var χ υ 1
σ 1 υ
Entuk keperluan perhitungan nilai χ, suatu tabel kai-kuadrat telah dibuat menurut berbagai nilai derajat kebebasan. Dalam tabel, derajat kebebasan sering diberi simbol υ, r, atau n dan sering disngkat d.o.f atau d.f. Dalam memba'a tabel kaikuadrat, agar diperhatikan simbol "notasi% dibagian atas yang digunakan dalam tabel tersebut.
ilai χ dengan nilai derajat kebebasan yang berbeda dan tingkat probabilitas yang berlainan dapat dilihat dalam tabel χ. 2ara M&mba4a Tab&l ,. Misalkan α 1 probabilitas bah=a kai-kuadrat mengambil nilai sama atau lebih besar dari nilai yang terdapat pada tabel kai-kuadrat dengan derajat kebebasan sebesar υ. ilai kai-kuadrat dari tabel diberi simbol χ α ,υ . P ( χ
≥ χ , = α α υ
!alau υ 1 (6, dan α 1 (6 maka luas daerah dari kurva kai-kuadrat berdasarkan tabel kai-kuadrat terletak di sebelah kanan dari χ ( 6,(6 ), ( n ) 1 (5,66
α 1 6,( "atau (6% P"χ O (5% 1 6,(6 (5 Sebagian dari tabel !ai-!uadrat adalah sebagai berikut.
6,6( (,5( 2,:7 (,26
6,23 2,/3 9,/2 (9,/6
,7( 9,2 (5,66 :,26
3 "6,63% /,:2 ((,(6 (:,/6 /(,26
/6 26
6,56 9,(6
9,/6 /9,/6
26,/6 3(,:6
2/,:6 33,:6
DISTRIBUSI 5. Salah satu perbandingan yg dilakukan dalam statistik adalah perbandingan variabilitas atau variansi dari dua buah sampel. Statistik yg dipergunakan dalam membandingkan variansi buah sampel dinamakan distribusi &. Gika S( dan S adalah variansi dari buah sampel random yg tak saling bergantung "independen% dengan ukuran n ( dan n yg diambil dari populasi normal dengan variansi X( dan X, maka statistik &) F =
2 2 S 1 * σ 1 2
2
S 2 * σ 2
Mengikuti distribusi & dengan derajat kebebasan v (1n(-( dan v1n-(. Distribusi & bersifat asimetrik . bentuknya bergantung pada derajat kebebasannya Perbandingan variansi ) Distribusi & ν=06+!7+3
α
ν=08!6+3
0
f
0
f α
Gika fY "v(,v% menyatakan nilai kritis f dengan luas ekor kanan Y untuk derajat kekebasan v(,v, maka) "perhatikan urutan v( dan v% f 1−α (ν 2 ,ν 1 ) =
1
f α (ν 1 ,ν 2 )
!arena ada dua derajat kebebasan yg menentukan bentuk Distribusi & maka, tabel distribusi lebih terbatas, hanya ditabelkan nilai kritis & untuk beberapa nilai luas ekor kanan yg populer dipakai "misalnya Y13%
anti distribusi & akan dipakai untuk memeriksa kesamaan rata-rata dari beberapa grup sampel yg diambil se'ara independen. ;da dua faktor yg akan menentukan apakah perbedaan rata-rata sampel memang nyata atau tidak yaitu) (. ariasi di dalam sampel "=ithin% . ariasi antar sampel "bet=een% DISTRIBUSI t. Distribusi t selain digunakan untuk menguji suatu hipotesis juga untuk membuat pendugaan interval. Biasanya, distribusi t digunakan untuk menguji hipotesis mengenai nilai parameter, paling banyak dari populasi "lebih dari , harus digunakan &%, dan dari sampel yang ke'il misalnya n R (66, bahkan seringkali n C /6. Entuk n yang 'ukup besar "n O (66, atau mungkin 'ukup n /6% dapat digunakan distribusi normal, maksudnya tabel normal dapat digunakan sebagai pengganti tabel t. !alau 1 "6,(% 1 variabel normal dengan rata-rata 6 dan simpangan baku (, 2 dam χ υ 1 kai-kuadrat dengan derajat kebebasan υ, maka variabel t dapat diperoleh dengan 'ara berikut. Z t = 2
χ υ υ
;rtinya, fungsi mempunyai distribusi t dengan derajat kebebasan sebesar υ. ariabel t dapat mengambil nilai negatif maupun positif, oleh karena pada dasarnya variabel t ini berasal dari variabel normal, padahal kita ketahui variabel normal selain mengambil nilai positif juga negatif. ariabel t juga mempunyai kurva yang simetris terhadap t 1 6.
X − µ S *
n
#ontoh ) Seorang peneliti menyatakan rata-rata hasil panen setelah diberi pupuk adalah 366 gram per mm pupuk yg diberikan. Dia kemudian mengambil sampel 3 bat'h panen, dan memutuskan dia akan puas dengan klaimnya jikalau ternyata nilai t dari sampel terletak antara +t6.63 sd t6.63. Peneliti tsb mengasumsikan bah=a bobot hasil panen mengikuti distribusi normal.
X − µ S *
n
=
518 − 500 40 *
25
= 225
