DISTRIBUSI WEIBULL

DISTRIBUSI WEIBULL Distribusi Distribusi Weibull ini diperke diperkenalk nalkan an oleh ahli fsikawan fsikawan Swedia Swedia Waloddi Weibull pada tahun tahun 1939. Distribusi Distribusi Weibull biasanya digunakan digunakan untuk menyelesai menyelesaikan kan masalah-m masalah-masalah asalah yang menyangk menyangkut ut lama waktu(umu waktu(umur) r) suatu obek yang mampu bertahan hingga akhirnya obek tersebut tidak ber!ungsi sebagaimana mestinya ( rusak atau mati). Distri Dis tribus busii Weibel Weibelll memili memiliki ki parame parameter ter " dan #$ dimana dimana "%& dan #%&. 'entuk distibusi peluangnya nya adalah sebagai berikut

 α  α −1 − ( x / β )  x ≥ 0  α   x e  f  W  ( x; α ) =  β   yang  lain  0 α 

 x

α  α −1 −( t  / β )α  −( x / β ) α  = 1 − t  e dt  e β α 

=  P ( X  ≤  x) = ∫ 

 F W  ( x; α , β )

0

ungsi distribusi kumulati! Weibull 

Pembuktian *isal 

()  t   β

: 1

α 

α 

 z → t   z  β

=

=

dz 1 = α  α t (α −1) dt   β dz

1

 =  β

 α t ( α 

1

−

α 

)

dt 

*aka  x

∫ 0

() α 

 x

 x

α  ( α − 1 ) −  β − z  t  e d t = e dz α   β 0

∫

=

−

 z  x

|

−

e

0

( )| e −

 t   β

α 

 x

=

−

=

() −e −(−e− )

0

−  x

α 

 β

0

=

( ) +1 −e

+

() 1−e

−

 x  β

α 

−  x

α 

 β

 ,ika #+1 maka distribusi weibull menadi distribusi eksponensial  ,ika #%1 maka kuranya mirip loneng dan menyerupai kura normal tetapi agak menong /rafk distribusi weibull untuk dan berbagai nilai parameter dilukiskan pada gambar berikut ini

0iri khusus dari distribusi ini adalah adanya parameter skala (") parameter bentuk (#). arameter skala (sale parameter) adalah enis khusus dari parameter numerik yang menunukkan besarnya distribusi data. Semakin besar nilai parameter skala maka distribusi data akan semakin menyebar dan sebaliknya. Sedangkan parameter bentuk (shape parameter) adalah enis khusus dari parameter numerik yang

menunukkan bentuk dari kura (untuk lebih elas dapat dilihat pada gambar diatas.

Mean dan Varian Distribusi Weibull adalah:  µ  x

1   =  E ( X ) = β Γ  1 +     α   

2     2 1          σ 2 = β 2 Γ1 +  − Γ1 +       α       α      x

embuktian μ = E(x) =

#

Γ 

(14

∞

2()

+

∫  x f  ( x ) dx

−∞

∞

2()

+

∫  x

α  α −1 − ( x / β )α   x e β α 

d

−∞

∞

2()

+

∫  x −∞

α −1 + 1

α  β α 

e

− ( x / β )α 

 d

α  β α 

∞

2()

+

∫  x α 

+

− ( x / β )α 

 d

−∞

∞

2()

e

()  x  β

∫ α 

−∞

α 

e

− ( x / β )α 

 d

*isal 

()  x  β

α 

+ t

+

 x  β

+

( t )

1

( t )

α 

1



α 

#

1

1

( t )

α 

d

+

α  #



+

−∞ → t =0



+

∞ → t =∞

∞

2()

+

∫

−

1

 dt

−t  1

αte

0

α  # ( t )

∞

1

∫e

1

− t 

 β ( t )

α 

− 1+ 1

2()

+

2()

(1 + ) + #  Γ  α 

dt 

0

 1

5ar() + 2(67) 8 (2(6)) 7 ∞

7

2( ) +

∫  x

2

dx

−∞ ∞

2(7) +

∫  x + − dx 2 α  1

−∞

−

α 

1

 dt Ingat rumus gamma!

∞

7

2( ) +

∫  x + dx α  1

−∞ ∞

2(7) +

∫  x  x dx α 

−∞ ∞

2(7) +

()  x  β

∫αx

−∞

α 

e

− ( x / β )α 

 d

*isal 

()  x  β

α 

+ t

+

 x  β

+

( t )

1

( t )

α 

1



α 

#

1

1

( t )

α 

d

+

α  #



+

−∞ → t =0



+

∞ → t =∞

∞

7

2( ) +

∫ t 

2( ) +

( t )

−

1

 1

+ −1 α  α 

−t 

2

 β e dt 

2

∫ t   β α 

2

−t 

e dt 

0

∞

2( ) +  β 7

1

α 

0

∞

7

1

 dt

α  #

0

1+

1

− t  1

∫ α t t  e α 

∞

2(7) +

1

−

2

2

∫ t  e− dt  α 

t 

0

2

2

 β  Γ ( 1 +  ) 2( ) + α  7

*aka 5ar()

+ 2(67) 8 (2(6)) 7

 dt

( )−¿ ( ( + )) ( + )−( ( + ))

2

5ar()

+

 β  Γ  1+

2

2

2

+  β  Γ  1 α 

5ar()

 β Γ  1

α 

 Γ  1

1

1

2

α 

2

α 

nth Sal dan Pembahasan 1. Sebuah mesin !otokopi mempunyai masa hidup yang berdistribusi weibull dengan #+ &. dan "+ 3. 'erapa peluang mesin tersebut beroperasi lebih dari 1 tahun : Dik  # + &. "+3 +1 e + 7.;17 Dit  %1:  ,awab  (%1) + 1-  ( <1 ) + 1- (1)

( ) 1− e −

+ 1- ( +

1

0,8

3

)

( ) e −

1

3

0,8

+ (7$;17-1$9=317=) + &$1>13& ?nalisis  ,adi$ peluang mesin tersebut beroperasi lebih dari 1 tahun adalah &$1>13& atau 1>$13&@. 7. Sebuah mesin !otokopi mempunyai masa hidup yang berdistribusi weibull dengan #+ &. dan "+ 3. 'erapa peluang mesin tersebut beroperasi kurang dari 1 tahun: Dik  #+ &. "+3 +1 e + 7.;17 Dit   < 1 :  ,awab   ( <1 ) + (1)

+

( ) 1− e −

1

3

0,8

+ 1 8 &$1>13& + &.=1A ?nalisis  ,adi$ peluang mesin tersebut beroperasi kurang dari 1 tahun adalah &.=1A atau =.1A@ 3. Waktu sampai gagal bekeranya sebuah pelat gesek (dalam am) pada sebuah kopling dapat dimodelkan dengan baik sebagai sebuah ariabel aak Weibull dengan α = &$= dan  β + =&&&. Bitunglah waktu sampai-gagal rata-rata dari pelat gesek tersebut dan hitunglah probabilitas pelat gesek tersebut akan mampu bekera sekurang-kurangnya A&&& am.