ditribusi teoritis

QOLIMATUL SADIYAH
13.05.51.0224

RIDLO SETIAWAN
13.05.51.0201

DHIKA SEPTIAWAN
13.05.51.0228

DIEGO LANA S.
13.05.51.0016

HANA NAFISAH R.
13.05.51.0085

Variabel acak X

variabel acak diskrit

variabel acak kontinu

Variabel acak diskrit
adalah variabel acak yang mempunyai nilai-nilai terhingga atau tak terhingga tetap terbilang. Jadi, variabel acak X dapat bernilai x1, x2, x3..., xn atau x1, x2, x3 .... xn ...; xi € R.

Variabel acak kontinu adalah variabel acak yang nilai-nilainya tak terhingga dan tak terbilang. Jadi, nilai-nilai variabel acak kontinu X dapat merupakan semua nilai dalam satu interval yang terhingga, yaitu (- , ), dimana banyaknya bilangan yang terkandung pada interval tersebut adalah tak terhingga dan tak terbilang.

Kumpulan pasangan nilai-nilai dari variabel acak X dengan probabilitas nilai-nilai variabel acak X, yaitu P(X =x) .
Distribusi X dapat dituliskan dalam bentuk tabel atau dalam bentuk pasangan terurut.

distribusi probabilitas X
(distribusi X )

1

0 F(x) 1

2

Jika ,maka F(x1) < F(x2) ,dikatakan fungsi F(x) monoton tidak turun

4

F(x) diskontinu dari kiri tetapi kontinu dari kanan

3

RUMUS
10.2

P(a X b) = F(b) –F(a)

RUMUS
10.4

1
E(c)
=
c

2
E(bX)
=
bE(X)

3
E(a+bX)
=
a+bE (x)

variabel acak

D. NILAI HARAPAN MATEMATIS

Bila variabel acak X mempunyai fungsi probabilitas f(x) = P(X=x) maka harapan atau ekspektasi matematis atau harapan teoritis dari X yang di tulis E (X) adalah suatu fungsi yang dirumuskan sebagai berikut

Rumus 10.3

F(x) =P(X x) =

Ʃx =ƩxP = ,

00+00X ,

23
Contoh 10.1
Pada pelemparan tiga uang logam, bila X menyatakan banyaknya muncul muka (m), tentukanlah :
nilai-nilai variabel acak X;
distribusi probabilitas X;
gambarlah distribusi probabilitas X!
13
Gambar dari distribusi probabilitas X untuk pelemparan dua uang logam diatas adalah sebagai berikut :

Gambar 10.2
X
P(X=x)
12
11
Pasangan nilai-nilai variabel acak X dengan probabilitas dari nilai-nilai X, yaitu P(X = x)
Dapat dinyatakan dalam Tabel 10.2 seperti berikut.
X = x
0 1 2
P(X =x)
¼ ½ ¼
Bisa juga pasanagn nilai-nilai dari variabel acak X dengan probabilitas dari nilai-nilai X, yaitu P(X = x) dituliskan dengan pasangan terurut,yaitu:
{x1,P(X = x1)},{(x2,P( X = x2)}, {x3,P(X = x3)},...
10
B. Distribusi Probabilitas
Pada ruang sampel S tersebut bila X menyatakan banyaknya muncul muka pada S, sebagaimana relasi tersebut, maka nilai dari X adalah X=0, X=1, dan X=2

Nilai X=1 berkaitan dengan titik sampel (b,b), dengan probabilitas :

P(X = 1) = P{(b,b)}= ¼

Nilai X =1, berkaitan dengan titik sampel (b,m) atau (m,b) fdengan probabilitas:

P (X = 1)= P{(b,m)}＋ P{(m,b)} = ¼＋¼ =½

Nilai X=2, berkaitan dengan tiotik sampel (m,m) dengan probabilitas:

P (X = 2)= P{(m,m)}= ¼
9

8

7
Jawab :
Telah kita ketahui pada pembahasan Bab 9, bahwa pelemparan tiga uang logam mempunyai ruang sampel:

S = {(m,m,m), (m,m,b), (m,b,m), (b,m,m), (b,b,m), (b,m,b), (m,b,b), (b,b,b)}

karena X menyatakan banyaknya muncul muka pada S maka nilai-nilai dari X adalah X=0, X=1, X=2, dan X=3.
Probabilitas dari nilai-nilai X adalah :
= P =0=P{ , , }=18
= P =1=P , , +P , , +P , , =18+18+18=38
= P =2= P , , +P , , +P , , =18+18+18=38
= P =3= P , , = 18

14

Maka distribusi probabilitas X adalah :
TABEL 10.2

Gambar dari distribusi X adalah :

15

X=x
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P =
136 236 336 436 536 636 536 436 336 236 136
X=x
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Contoh 10.2

Pada pelemparan dua dadu, misalkan X adalah kejadian yang menyatakan jumlah muka dua dadu, maka distribusi probabilitas dari X adalah :

16
b. Nilai- nilai dari fungsi distribusi kumulatif F(x)
adalah sebagai berikut

F(0) = P(X 0) = P(X=0) = f(0)=18

F(1) = P(X 1) = P(X=0)+P(X=1) = 18+38=48

F(2) = P(X 2) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) = 18+38+38=78

F(3) = P(X 3) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+p(X=3) = 18+38+38+18=88=1

22
Contoh 10.3
Pada pelemparan 3 uang logam pada contoh 10.1 tentukanlah
a. Nilai – nilai dari fungsi distribusi probabilitas f(x)
b. Nilai –nilai dari fungsi distribusi kumulatif F(x)

Jawab:
a. Perhatikan jawaban contoh 10.1
f(x) = P(X=x), maka nilai – nilai f(x) adalah:

f(0) = P(X=0) =18

f(1) = P(X=1) =38

f(2) = P(X=2) =38

f(3) = P(X=3) =18

21
Dengan memakai fungsi distribusi kumulatif F(x) kita dapat menentukan probabilitas dari variabel acak X pada interval a X b, yaitu:

20
Sifat distribusi kumulatif

19
Rumus 10.1

F(x) =P(X x) =

Jika varibel acak x mempunyai fungsi probabilitas f(x) maka fungsi distribusi kumulatif dari x, yaitu F(x) di rumuskan sebagai berikut :

x

,

18
C. Distribusi fungsi X dan distribusi kumulatif X

Untuk variabel acak X diskrit :

f(x) = P(X=x)
f(x) 0
=1
Untuk variabel acak X kontinu :

P(α f(x) 0
fxdx=1

Jika X adalah variabel acak dan P(X=x) adalah distribusi probabilitas dari X ,maka fungsi F(X) = P(X =x) disebut fungsi probabilitas X atau fungsi frekuensi X atau fungsi padat peluang X.
Sifat fungsi f(x) adalah sebagai berikut:
17

Suatu fungsi acak X yang bernilai riil dimana nilai-nilainya ditentukan oleh titik sampel-titik sampel S

dengan S merupakan ruang sampel dari suatu hasil percobaan statistik
6

Perhatikan bahwa garis relasi X itu, setiap anggota S berpasangan dengan tepat satu anggota Rx. Relasi X seperti ini disebut pemetaan atau fungsi X. Oleh karena S oleh fungsi X dipetakan ke himpunan bagian bilangan riil Rx {0,1,2}, maka dikatakan fungsi X bernilai Rill.

Oleh karena titik sampel-titik sampel S, yaitu (b,b), (b,m), (m,b), dan (m.m) terjadi secara acak atau random, maka fungsi X disebut fungsi acak atau fungsi random. Dengan demikian, fungsi X yang didefinisikan pada S merupakan fungsi acak yang bernilai riil
5

titik (b,b) dipetakan ke nilai 0, ditulis X (b,b) = 0, sebab titik tersebut tidak mengandung muka (m);
titik (b,m) dipetakan ke nilai 1, ditulis X (b,m) = 1, sebab titik tersebut mengandung 1 muka (m);
titik (m,b) dipetakan ke nilai 1, ditulis X (m,b) = 1, sebab titik tersebut mengandung 1 muka (m);
titik (m,m) dipetakan ke nilai 2, ditulis X (m,m) = 2, sebab titik tersebut mengandung 2 muka (m).
Pada relasi X tersebut, himpunan S disebut daerah asal (domain) sedangkan Rx = {,0,1,2} yang ,merupakan himpunan bagian bilangan rill R disebut daerah nilai atau daerah peta dari X tersebut;
4
Contoh soal dan pembahasan nomor 4
Dalam suatu bisnis tertentu, seorang dapat memperoleh keutungan sebesar R 3.000.000,00 dengan probilitas 0,6 atau menderita kerugian sebesar Rp 1000.000,00 dengan probabilitas 0,4. Tentukanlah nilai harapannya !
Jawab :
Misalkan X = keuntungan yang diperoleh dalam bisnis
P(X=x) = Probabilitas memperoleh keuntungan tersebut.
Maka nilai X1 = 3.000.000 dengan probabilitas P (X= 3.000.000) = 0,6 dan X2 = -1.000.000 dengan probabilitas P (X= -1.000.000) = 0,4.
Nilai harapan X adalah :
E(X) = 3.000.000 (0,6) – 1.000.000 (0,4) = 1.400.000.
Karena nilai harapan positif, maka bisnis itu memberi harapan keuntungan sebesar Rp 1.400.000,00. Makin besar nilai harapan, maka besar juga keuntungannya.

31
Contoh soal pembahasan nomor 5
Suatu pengiriman 6 pesawat televisi berisi 2 yang rusak.
Sebuah hotel membeli 3 pesawat televisi secara acak dari kiriman tersebut. Bila X menyatakan banyaknya televise yang rusak yang dibeli hotel tersebut, tentukanlah:

a. Distribusi probabilitas X
b. Nilai harapan X
c. Simpangan baku X

32

Televisi baik = 4, Televisi rusak = 2, dan televise yang di beli = 3
Kombinasi televisi yang dibeli adalah terdiri atas :

3 baik dan 0 rusak dengan kombinasi 4320
Seluruh kombinasi adalah 63

33

Bila X menyatakan banyaknya televisi rusak, maka nilai-nilai X adalah 0,1, dan 2, masing-masing dengan probabilitas :

P(X = 0) = 432063 = 41(20) = 15
P(X = 1) = 422163 = 62(20) = 35
P(X = 2) = 412263 = 41(20) = 15

34

Catatan X = 0 artinya dari 3 televisi yang dibeli hotel terdapat 0 televisi rusak ( tidak ada rusak )
= 1 artinya dari 3 televisi yang dibeli hotel terdapat 1 televisi rusak
= 2 artinya dari 3 televisi yang dibeli hotel terdapat 2 televisi yang rusak

35
b. Nilai harapan E(X) = (0) 15+ (1) 35 + (2) 15 = 1

c. E(X2) = (0)215 + (1)235 + (2)215= 75
σ2 = E(X2) – E(X) = 75 – 1 = 25 = 0,4
simpangan baku σ = 0,4 = 0,63

Nilai maksimum X = 2, sebab hanya ada 2 televisi rusak.

jadi distribusi probabilitas X adalah sebagai berikut :

Tabel 10.5
X
0
1
2
P (x)
15
35
15
X
0
1
2
P (x)

36
24
Contoh 10.7
Bila X menyatakan munculnya jumlahmuka pada pelemparan dua dadu, tentukanlah mean dan standar deviasi X !
Jawab :
Perhatikan jawaban pada contoh 10.2 dan contoh 10.5
Mean X adalah = =7
Variansi x adalah 2= 2 2
2= =1212 2P = =22136+32236+42336+52436+62536+72636+82536+92436+102336+112236+122136
= 436+1836+4836+10036+18036+29436+32036+32436+30036+24236+14436=197436

Variansi 2=197436 72=1974 176436=21036
Jadi, standar x adalah =21036 =2,42

30
Perhatikan bahwa rumus variasi dapat disederhanakan menjadi rumus berikut ini, dengan memakai sifat-sifat harapan matematis pada
rumus 10.4

Rumus 10.6
Dengan demikian rumus variasi 2 menjadi

28
Pandanglah kembali ruang sampel S yang menunjukan semua hasil yang mungkin terjadi dari pelemparan dua uang logam bersisi muka (m) dan bersisi belakang (b) berikut ini.

S = {(m,m), (m,b), (b,m), (b,b)}

Pada S kita dapat mengamati kejadian banyaknya muncul muka (m), yang kita sebut sebagai variabel X, dengan memakai relasi X pada S ke himpunan bagian bilangan riil Rx sebagai berikut.
3
Pada pendahuluan statistik seringkali yang lebih menarik perhatian untuk diamati adalah nilai-nilai yang ditentukan oleh titik sampel, bukan titik sampel itu sendiri.
Pendahuluan
2
Contoh 10.6

Tentukanlah mean standart deviasi dari banyaknya muka pada pelemparan tiga uang logam!

Jawab :

Perhatikan jawaban pada contoh 10.1 dan contoh 10.4.

Mean adalah = =1,5
Variasi 2= 2 2

2= =03 2P=02P =0+12P =1+22P =2++32P =3
= 018+138+438+918 = 248=3

Maka 2=3 1,52=3 2,25=0,75
Jadi, standar deviasi =0,75=0,87

29
Distribusi teoritis
Kelompok 1
1
Contoh 10.5
Pada pelemparan 2 dadu,tentukanlah harapan matematis jumlah muka 2 dadu

Jawab:
Perhatikan fungsi distribusi probabilitas X pada jawaban contoh 10.2 dimana X menyatakan jumlah muka 2 dadu. Karena X diskrit maka harapan matematis munculnya jumlah muka 2 dadu adalah

26
D. KEGUNAAN NILAI HARAPAN MATEMATIS
Salah satu manfaat yang sangat penting dari harapan matematis adalah dapat dipakai untuk menentukan mean (µ) dan variasi ( 2). Atau standar deviasi (Ơ) dari parameter yang dirumuskan sebagai berikut :

Mean populasi µ ( )
Variasi polulasi :
2= 2=E 2 , 0000 2 ,
3. Standar Deviasi = { 2

27
Contoh 10.4
Pada pelemparan 3 uang logam ,tentukan harapan matematis banyaknya muncul muka pada tiap pelemparan!

Jawab:
Perhatikan fungsi distribusi probabilitas X pada jawaban Contoh 10.1 dimana X menunjukan banyaknya muncul muka.Karena X diskrit ,maka harapan matematis banyaknya muncul muka adalah:

25
Click to edit Master title style
Click to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
22/10/2015

#

22

Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
22/10/2015

#

Click to edit Master subtitle style
22/10/2015

#
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
22/10/2015

#
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
22/10/2015

#

8
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
22/10/2015

#
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
22/10/2015

#

Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
22/10/2015

#
Click icon to add picture
22/10/2015

#

22/10/2015

#
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
22/10/2015

#

22/10/2015

#
Variabel acak diskrit
adalah variabel acak yang mempunyai nilai-nilai terhingga atau tak terhingga tetap terbilang. Jadi, variabel acak X dapat bernilai x1, x2, x3..., xn atau x1, x2, x3 .... xn ...; xi € R.
Variabel acak kontinu adalah variabel acak yang nilai-nilainya tak terhingga dan tak terbilang. Jadi, nilai-nilai variabel acak kontinu X dapat merupakan semua nilai dalam satu interval yang terhingga, yaitu (- , ), dimana banyaknya bilangan yang terkandung pada interval tersebut adalah tak terhingga dan tak terbilang.
distribusi probabilitas X
(distribusi X )
Variabel acak X
variabel acak diskrit
variabel acak kontinu
Kumpulan pasangan nilai-nilai dari variabel acak X dengan probabilitas nilai-nilai variabel acak X, yaitu P(X =x) .
Distribusi X dapat dituliskan dalam bentuk tabel atau dalam bentuk pasangan terurut.
QOLIMATUL SADIYAH
13.05.51.0224
RIDLO SETIAWAN
13.05.51.0201
DHIKA SEPTIAWAN
13.05.51.0228
DIEGO LANA S.
13.05.51.0016
HANA NAFISAH R.
13.05.51.0085
variabel acak
RUMUS
10.4
1
E(c)
=
c
2
E(bX)
=
bE(X)
3
E(a+bX)
=
a+bE (x)
RUMUS
10.2
P(a X b) = F(b) –F(a)

10/22/2015

Second level
Third level
Fourth level
Fifth level

#
0 F(x) 1
1
Jika ,maka F(x1) < F(x2) ,dikatakan fungsi F(x) monoton tidak turun
2
F(x) diskontinu dari kiri tetapi kontinu dari kanan
3

4

10/22/2015

#

ditribusi teoritis

Recommend Documents