1 Regine Douady- Relacion enseñanza aprendizaje- Dialéctica Instrumento Objeto- Juego de Marcos
Profesora Deriard-Matematica Deriard-Matematica y su Enseñanza- Didáctica
PRINCIPIOS PRINCIPIOS
Introducción
Nuestro proyecto es el siguiente: “Elaborar y testear hipótesis sobre la forma en que pueden adquirirse los conocimientos matemáticos en situación de clase durante todo el curso primario”. Sin embargo, estas hipótesis que plantearemos sólo tienen sentido en su realiación efecti!a a tra!"s de proyectos reales de ense#ana. En consecuencia, no podremos testearlos sino indirectamente por medio de una ense#ana efecti!a. $recisemos nuestro proyecto: “%onstruir “%onstruir y realiar realiar una ense#ana ense#ana que ponga en marcha marcha particular particularmente mente las hipótesis hipótesis elaboradas elaboradas y testear su impacto en la masa de alumnos, a tra!"s del desarrollo efecti!o del proceso. &a eficacia del aprendia'e pro!ocado(, determinado en relación a las e)pectati!as standard ciertas, pero sobre todo de acuerdo con nuestras pre!isiones, representa para nosotros el *ndice de un hecho didáctico. $ensamos que hemos e)tra*do parámetros pertinentes de la formación escolar de conocimientos sobre la que e'ercimos una acción+. Su e!idencia constituye para nosotros una !alidación !alidación del con'unto de nuestra gestión”. 1. A propósito de la formación de los conocimientos
$recisemos el marco de nuestro traba'o. %omo hipótesis hipótesis sobre la adquisición adquisición de conocimientos conocimientos,, adoptamos adoptamos la idea central de $iaget con respecto a la formación de conocimientos, idea que por otra parte formula independientemente de la ense#ana y del conte)to social, segn la cual “ los conocimientos no proceden ni de la sola experiencia de los objetos ni de una progra programac mación ión innat innata a prefor preformad mada a del sujeto sujeto,, sino sino de constr construcc uccion iones es sucesi sucesivas vas con elaboraciones consta constante ntess de estruc estructur turas as nue!as nue!as”. ”. $ara $ara $iaget $iaget,, “el equilib equilibrio rio es el factor factor fundam fundament ental al del desarr desarrollo ollo cognosciti!o”. En efecto, dice, “durante los per*odos iniciales e)iste una raón sistemática de desequilibrio, que es la asimetr*a de las afirmaciones y negaciones. -e esto resulta que la equilibración progresi!a es un proceso indispensable para el desarrollo, cuyas manifestaciones se modifican... en el sentido de un me'or equilibrio en su estructura cualitati!a como en su campo de aplica ción”. En otros t"rminos, el proceso proceso general de formación formación de los conocimientos conocimientos ser*a el siguiente: siguiente: “En cada caso comenar*a por el e'ercicio de un esquema inicial de asimilación cuya acti!ación estar*a tarde o temprano trabada por perturbaciones: las compensaciones obtenidas se traducir*an en una nue!a construcción cuyas regulaciones, que caracterian sus fases, ser*an a la !e, compensadoras, teniendo en cuenta la perturbación implicando as* la formación al menos !irtual de la negación/ y formadoras en relación a la construcción, y esto hasta la constitución de una nue!a estructura equilibrada y el desarrollo posterior de procesos análogos”. 0 ni!el de aprendia'e, aprendia'e, en la medida en que determinados errores errores aparecen como un factor de equilibrio contradicción por e'emplo/, comprendemos que puedan tener un rol producti!o. Esto se produce sobre todo en una situación colecti!a colecti!a donde tenemos necesidad necesidad de !alidación. !alidación. En efecto, efecto, para e)plicar y desechar desechar errores, debemo debemoss constr construir uir argume argumento ntoss para para con!en con!encer cer reeq reequil uilibr ibraci ación/ ón/.. -e este este modo, modo, consid considera eramos mos que la ense#ana debe e)aminar los primeros desequilibrios naturales del ni#o. &a ense#a ense#ana na tiene la obliga obligació ción n de organi organiar ar tan efica eficamen mente te como como sea posible, posible, un juego de desequilibrios-reequilibrios al ni!el de concepciones de los alumnos. Este 'uego puede e!olucionar segn los momentos, de manera indi!idual o colecti!a. 0greguemos a esto que entre los sucesores de $iaget, los seguidores de la escuela de 1inebra de $sicolo $sicolog* g*a a Social, Social, han demost demostra rado do que la apropia apropiació ción n colect colecti!a i!a de conoci conocimie miento ntoss puede preceder preceder a la apropiación indi!idual. 2ntentaron e)plicar el fenómeno en el marco de la teor*a constructi!ista de $iaget. E)plican, por e'emplo, la eficacia del conflicto socio-cognoscitivo socio-cognoscitivo mediante la integración de centraciones opuestas en un nue!o esquema. 3tiliaremos tambi"n estas ideas, pre!iendo en particular fases colecti!as en determinados momentos de nuestra ense#ana. -ado esto, $iaget y sus sucesores se sitan siempre fuera del conte)to de ense#ana. En particular, no dan condiciones sobre las situaciones de ense#ana que permitan crear desequilibrios y compromet comprometer er el 'uego de las regulaciones. regulaciones. 3na lectura lectura literal de sus conclusiones conclusiones dio lugar a una e)plotación e)plotación e)tensa, pero inefica, de los caracteres positi!os y negati!os de los ob'etos cuadrado 4 no cuadrado5 ro'o4no ro'o/... 0s*, todo el aporte de $iaget, por más importante que sea, es insuficiente para que podamos construir direct directame amente nte un aprend aprendia ia'e 'e en clase, clase, cuyos cuyos result resultado adoss sean sean pre!i pre!isib sibles les,, por lo menos menos con una gran gran probabilidad y cuyas condiciones sean reproducibles. $iaget no toca el problema de la relación entre la ense#ana y el aprendia'e, relación que es uno de los temas de estudio de la didáctica de la disciplina ense#ada y en el caso de las matemáticas, el de su didáctica. 6rente 6rente a ese problema problema y para responder, responder, al menos en parte, 1. 7rousseau 7rousseau elaboró elaboró una teor*a teor*a de las situaciones didácticas. $ara "l, en efecto, las concepciones de los alumnos, son el resultado de un intercambio permanente con las situaciones de problemas en las que son in!olucrados y en el curso de las cuales los conoci conocimie miento ntoss anteri anteriore oress son mo!ili mo!iliado adoss para para ser modifi modificad cados, os, comple completad tados os o recha rechaados ados.. -a una clasificación de las situaciones de clase pero no da condiciones sobre los problemas susceptibles de ser!ir eficamente como contenidos en estas situaciones. -icho de otro modo, no estudia particularmente las relaciones entre contenidos y situaciones. 6rente al mismo problema de la formación de los conocimientos, 1. 8ergnaud declara, luego de $iaget en una fórmula esquemática: “la acción es fuente y criterio del saber”. 0qu* acción puede querer decir resolución de proble problemas mas.. $roble $roblema ma tomado tomado en el sentid sentido o amplio amplio de situac situación ión proble problemát mática ica ubicad ubicada a en un campo campo conceptual apropiado. &a consideración de tal campo contribuye a dar sentido al problema y a los distintos conceptos en 'uego. $ermite e)plicar en parte, las conductas de resolución. 0demás, insistimos, como 1. 1 2
En un sentido que precisaremos, y que no se reduce a las performances. (aria!les de control de "uy #rousseau$
2 Regine Douady- Relacion enseñanza aprendizaje- Dialéctica Instrumento Objeto- Juego de Marcos 8ergnaud y otros, sobre el rol del tiempo en la construcción de los conocimientos. 0 menudo son necesarios !arios a#os para construir un concepto. 6inalmente todo otro orden de e)plicación abordado en los traba'os de 9. %he!allard toma en cuenta las con!enciones y h ábitos en la construcción de los conocimientos. En cuanto a nosotros, somos procli!es, para lograr nuestro ob'eti!o, a proponer realiaciones de aprendia'e en clase. &o haremos, por una parte apoyándonos sobre la teor*a de las situaciones 7r.(/, y por otra, formulando sobre el aprendia'e, hipótesis complementarias a las de $iaget, 8ergnaud y otros. En contraposición !amos a precisar y sistematiar un 'uego de regulaciones cuyo ob'eti!o es el aprendia'e de las matemáticas del %$ al %+. %omo se trata de situaciones de clase pri!ilegiaremos lo que puede tener una realiación efecti!amente colecti!a. Profesora Deriard-Matematica y su Enseñanza- Didáctica
2. A propósito de la enseñanza
&as caracter*sticas a considerar para delimitar la ense#ana en tanto que ob'eto de estudio son de !arios órdenes y no obstante imbricadas. Se#alaremos tres. 0lgunas están implicadas en toda forma de ense#ana. Son, por e'emplo, las relati!as a la actitud a priori de los ni#os frente a la escuela, a la e)istencia de un m*nimo de disciplina, de atención, a la disponibilidad de una masa de conocimientos y hábitos en el momento de enfrentar un asunto nue!o, a una cierta administración del tiempo escolar. Sin embargo, la determinación de esos factores y la realiación más o menos satisfactoria de las condiciones planteadas, depende, entre otras cosas, de la forma de ense#ana. ;tro orden de caracter*sticas trata del aspecto social del aprendia'e, de las relaciones maestro4alumnos, alumnos4 alumnos. ;tras, que nos ser!irán para formular nuestras hipótesis, toman sentido en el seno de la ense#ana que describimos. $re!iamente, precisemos el conte)to en el que traba'amos.
ec*procamente, !arios instrumentos pueden ser adaptados a un mismo problema. No obstante,cada uno tiene un cierto ámbito de !alide. &os instrumentos pueden pertenecer a diferentes marcos: f*sico, geom"trico, num"rico, gráfico y otros5 teniendo cada marco sus ob'eti!os, relaciones y formulaciones. $or objeto, entendemos el concepto matemático, considerado como ob'eto cultural que tiene su lugar en una construcción más amplia que es la del conocimiento inteligente en un momento dado, reconocido socialmente. &a actividad principal en matemáticas, en el cuadro escolar, o en los centros de in!estigación profesional cf. ap"ndice/, consiste en resol!er problemas, en plantear cuestiones. El in!estigador puede declarar resuelto un problema si puede 'ustificar sus declaraciones segn un sistema de !alidación propio de las matemáticas. En este camino, crea conceptos que 'uegan el papel de instrumentos para resol!er problemas. %uando pasa a la comunidad cient*fica, el concepto es desconte)tualiado para que pueda ser!ir nue!amente. Se con!ierte as*, en ob'eto de saber. b) En relación con el alumno
$ara el alumno, el carácter instrumental puede ser impl*cito o e)pl*cito. -escribamos al situación más precisamente. 3n alumno es enfrentado a un problema que debe resol!er. Esto forma parte de su pacto con el maestro. Sus propias concepciones le permiten poner en 'uego un procedimiento gracias a nociones y t"cnicas que sabe utiliar, sobre las cuales puede hacer manifestaciones pero de las que no necesariamente conoce las condiciones de uso y sus l*mites. 0dmitamos que resuel!a as*, al menos parcialmente, su problema. El obser!ador e)terior puede reconocer que las hipótesis matemáticas que 'ustifican las decisiones del alumno son satisfechas, sin que el alumno est" en condiciones de formularlas. Esas nociones que el obser!ador e)terior reconoce, diremos que el alumno las hace funcionar impl*citamente, o que pone en marcha instrumentos conceptuales implícitos o, simplemente, instrumentos impl*citos. $or el contrario, si el alumno puede formularlas y 'ustificar su empleo diremos que usa instrumentos e)pl*citos. $or otra parte, el dominio de !alide de los instrumentos de que dispone el alumno e!oluciona en el transcurso de la escolaridad. $or fin, llamaremos “práctica” a todo uso adaptado, por los alumnos, de instrumentos e)pl*citos o impl*citos, sea que esos instrumentos hayan sido ob'eto de institucionaliación o no.
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. A propósito de las relaciones entre matemáticas! enseñanza " aprendizaje
>ecordemos que, para nosotros, tener conocimientos en matemáticas es ser capa de pro!ocar el funcionamiento como instrumentos e)pl*citos adaptados en problemas que les dan el sentido 4 con o sin "nfasis en la formulación del problema. Estos conocimientos inter!ienen para resol!er problemas o para plantear interrogantes respecto de ellos. Esto se produce en particular si las condiciones habituales de uso no son e)actamente satisfechas en el problema planteado. En este caso, tener conocimientos, es tambi"n poder adaptarlos, hacer de todo para intentar responder igual al problema cf. %ap. 28 7 ? >@ (/. -icho de otro modo, adoptamos un punto de !ista dinámico frente al conocimiento en matemática. En estas condiciones, una ense#ana es efica en la medida en que da lugar, en el alumno, a adquisiciones, en el sentido precedente, de conocimientos matemáticos. a) Objetos de saber - objetos de enseñanza
9. %he!allard introdu'o, el concepto de transposición didáctica %h.(/ para informar sobre la transformación necesaria operada sobre los conocimientos elegidos para ser ense#ados antes de que estos saberes puedan ser efecti!amente ense#ados. &os matemáticos aseguran la creación matemática segn una g"nesis que depende esencial pero no solamente/ de los problemas a resol!er. &a escuela desarrolla una g"nesis artificial diferente, habida cuenta de las coacciones a las que está sometida: por e'emplo, la presión del tiempo, la comple'idad del campo cient*fico y los problemas con el origen de la noción descontextualizada elegida para ser ense#ada y la recontextualización artificial a la que se la conduce antes del despo'o recuperado. &as con!enciones sociales, los te)tos oficiales 4programas, instrucciones, comentarios4 los libros escolares e'ercen una presión determinante sobre esta transformación. 0hora bien, esos te)tos “ampliamente marcados por una concepción deducti!ista en el andar de la matemática” son poco propicios a una construcción de conocimientos efica para resol!er los problemas 7al. (/. $ara nosotros, un ob'eto de ense#ana debe ser “fiel” al ob'eto de saber al cual corresponde. $ara ello, debe tener las siguientes caracter*sticas: 4el concepto subyacente es un instrumento adaptado a los problemas elegidos para los alumnos. -icho de otro modo, las propiedades esenciales que los cient*ficos utilian son mantenidas en los problemas del alumno/. 4&a di!ersidad de los aspectos que entran en 'uego en la significación del concepto está con!enientemente representada en el con'unto de los problemas retenidos. b) Objetos reales - objetos de enseñanza - Representaciones.
El comieno de la ense#ana de las matemáticas corresponde a una modeliación de lo real: el espacio ambiente y los ob'etos reales desplaables. El ni#o puede actuar sobre el mundo real y modificarlo. $uede no ser capa de tener una !isión global instantánea. 3n rol de las representaciones es el de dar cuenta de esta globalidad, reteniendo sólo una parte bien elegida de la información, de modo de tener una disponibilidad permanente.
Esta pedagog*a utilia esencialmente y en orden in!ariable el m"todo “aprendo, aplico”. Se podr*a hablar de una mecánica “ objeto-instrumento ” yAo “ significante-significado ”. Se trata en efecto de una representación de nociones matemáticas que el alumno debe aprender, seguida de problemas o e'ercicios de aplicación fabricados para que el alumno pueda utiliar lo que aprendió sin transformación. 0demás, debe hacerlo segn reglas de 'uego que no siempre son e)plicitadas pero que sir!en de referencia para e!aluar su traba'o. 0 menudo el maestro “muestra” y el alumno sólo tiene que “hacer lo mismo”. Se sabe que para la mayor*a de los alumnos, esta pedagog*a no conduce a una construcción de conocimientos. -estaquemos que no hay bsqueda de 'uego de desequilibrios4reequilibraciones. 0demás, los problemas raramente ponen en 'uego los caracteres esenciales de la nociones B, es decir aquellos que 'ustifican cient*ficamente su uso. En particular, los alumnos raramente son comprometidos en una dialéctica de prueba correspondiente a un planteo abierto para ellos. &os partidarios del m"todo “aprendo, aplico” esperan, yendo de lo general a lo particular, dar a los alumnos elementos para !arios usos y as* conducirlos a un aprendia'e efica. $ero este m"todo corre el riesgo, llegado el caso, de ocultar la correspondencia significado4significante mencionada en b/. En fin, los conceptos son generalmente presentados en un cierto marco y las aplicaciones requeridas no salen de all*. Esto hace dif*ciles, por una parte, las interacciones de los diferentes marcos de inter!ención del concepto y, por otra, la articulación con otros conceptos. d) Otra organización de la enseñanza de las matemáticas.
$ara construir una ense#ana diferente, restituyendo su sentido a los instrumentos que los alumnos utilian, asegurando a los ob'etos correspondientes una presentación institucional, debemos caracteriar otra organiación de la ense#ana. En esta organiación, el ense#ante tiene en cuenta oficialmente la construcción del saber de los alumnos por los alumnos mismos . Esta organiación está fundada desde el punto de !ista cognosciti!o, sobre tres puntos: la dial#ctica instrumento-objeto 5 la dial#ctica viejo-nuevo5 el juego de marcos . -esde el punto de !ista de los intercambios del alumno con el medio en el seno del cual e!oluciona, la organiación se apoya %
Es &erdaderamente incompati!le con este tipo de enseñanza. En efecto, una enseñanza s'lo es admisi!le para el maestro si le arantiza un porcenta)e de *+ito en su clase. Esto lo conduce, en el m*todo aprendo-aplico, a no e)ecutar randes pro!lemas o a seccionarlos en pequeñas cuestiones.
Regine Douady- Relacion enseñanza aprendizaje- Dialéctica Instrumento Objeto- Juego de Marcos en las tres formas de dial"ctica acción, formulación, validación/ 1. 7r. (/ y tambi"n sobre las inter!enciones del ense#ante en momentos bien elegidos por "l. 6inalmente, desde el punto de !ista del contrato didctico, la organiación necesita una institucionalización de conocimientos y un medio para que el alumno controle por sí su aprendizaje. ás adelante describimos este funcionamiento, remarcando las dos palancas sobre las cuales decidimos actuar: el sentido dial"ctica instrumento4ob'eto/ y el juego de dese$uilibrios-ree$uilibraciones 'uego de marcos/, y describiendo para eso un cierto rol del ense#ante. Profesora Deriard-Matematica y su Enseñanza- Didáctica
%. &ial#ctica instrumento-objeto
El funcionamiento de la dial"ctica instrumento4ob'eto -.2.;./@ está caracteriada por la organiación esquemática siguiente: -ado un problema inicial: 6ase a/ “antiguo”: &a primera etapa consiste en la puesta en marcha de un ob'eto conocido como instrumento e)pl*cito para iniciar un procedimiento de resolución del problema o por lo menos de una parte del p roblema. Es decir, se mo!ilia lo “antiguo” para resol!er parcialmente el p roblema. 6ase b/ b!squeda" En la +da. etapa, el alumno encuentra dificultades para resol!er completamente su problema5 ya sea porque su estrategia es muy costosa en cantidad de operaciones, en riesgo de errores, en incertidumbre sobre el resultado .../ o porque esta estrategia no funciona más. Se orienta al alumno para que busque otros medios me'or adaptados a su situación. >econocemos all* el comieno de una fase de acción. El alumno puede entonces poner en macha impl*citamente instrumentos nue!os, por la e)tensión del campo de !alide, o por su naturalea misma. Esquemáticamente hablaremos en esta etapa de “nue!o impl*cito”. -esde la óptica de los alumnos, las concepciones en 'uego si es posible colecti!amente/ en ese momento, entrarán en conflicto o en resonancia con las antiguas. &os errores o contradicciones pueden con!ertirse en las posturas de procesos dial"cticos de formulación y !alidación para resol!er los conflictos y asegurar las integraciones necesarias. $ero puede ser tambi"n que con!icciones contradictorias queden sin respuesta siendo fecundas cf. 22 la bsqueda de un cuadrado de área dada/. 6ase c/ explicitación" En la etapa anterior algunos elementos tu!ieron un rol importante, casi decisi!o y son susceptibles de ser apropiados para ese momento del aprendia'e. Están formulados en t"rminos de ob'etos o en t"rminos de prácticas5 con su condición de empleo circunstancial. Se trata de “nue!o e)pl*cito” susceptible de reempleo y familiariación. Intervención del maestro
$uede suceder que durante el transcurso de las fases b/ o c/, el maestro se de cuenta de que la situación peligra con bloquearse si no inter!iene o que lo descubra demasiado tarde y tenga que desbloquearla. Segn su análisis de la situación didáctica, debe tomar la decisión de inter!enir o no, y si es necesario, tendrá que elegir el momento y la forma de la inter!ención respetando la libertad de acción de los alumnos incertidumbre/. 6ase d/ institucionalización" El maestro pasa, desde ese momento, a una etapa de institucionaliación de lo que es nue!o y retiene con las con!enciones en curso, e!entualmente definiciones, teoremas y demostraciones. Esto nue!o que se retiene está destinado a funcionar, posteriormente como antiguo. 6ase e/ #amiliarización $ reinversión 0 continuación damos a los alumnos di!ersos problemas destinados a pro!ocar el funcionamiento como instrumentos e)pl*citos de lo que ha sido institucionaliado, a desarrollar hábitos y destreas, a integrar el saber social con el saber del alumno. Esos problemas simples o comple'os sólo ponen en 'uego lo conocido. 'ase f ( a) complejidad de la tarea o nuevo problema: Cuedan por utiliar los nue!os conocimientos dentro de una situación comple'a que implica otros conceptos conocidos o buscados por el aprendia'e. El nue!o ob'eto es susceptible de con!ertirse en antiguo para un nue!o ciclo de la dialéctica instrumento-objeto%
Observaciones
(/ Esta descripción del funcionamiento de la dial"ctica instrumento4ob'eto no implica que cada ciclo llegue necesariamente a una e)tensión del saber del alumno, socialmente reconocido. $ara un mismo a lumno y para un mismo ob'eto, pueden ser necesarios !arios ciclos. +/ Es posible que hábitos y prácticas familiares esperen muchos a#os antes de que aparecan ob'etos de saber 22 !ariables 4 funciones/. El proceso que acabamos de describir comprende !arias fases basadas en un problema a resol!er que comprende a todos los alumnos. Sin embargo, si la colecti!idad “clase” resuel!e el problema, todos no reaccionarán indi!idualmente de la misma manera, frente al saber contenido en el problema, frente a conocimientos4instrumentos mo!iliados. En las situaciones de comunicación, el saber se difunde di!ersamente segn los alumnos. ;ficialiar algunos conocimientos que sólo han sido tiles, darles categor*a de ob'eto matemático es una condición de homogeneiación de la clase y para cada uno una manera de 'alonar su saber y por ende, de asegurar su progresión. Esta es la función principal de las situaciones de institucionaliación. ;tra función es la de integrar el saber social, los hábitos y las con!enciones con el saber del alumno. 0demás, la estructuración personal del saber es de !ital importancia en matemática para que e)ista efecti!amente saber. Esta estructuración ha estado muy comprometida en el proceso desarrollado. No obstante,
En franc*s D././.
0 Regine Douady- Relacion enseñanza aprendizaje- Dialéctica Instrumento Objeto- Juego de Marcos para perfeccionarla, el alumno tiene necesidad de poner a prueba e!entualmente en reno!ados ensayos, solo, los conocimientos que cree haber adquirido y determinar lo que sabe. Dsta es la función de los ejercicios. Profesora Deriard-Matematica y su Enseñanza- Didáctica
En esa estructura que podemos llamar & actividades - institucionalización - ejercicios', hemos demostrado toda la importancia del primer término% (in los otros dos términos, su incidencia en la apropiación de conocimientos correría el peligro de ser insuficiente para el alumno%
-estaquemos que no es necesario que todas las nociones deseadas por el aprendia'e sean introducidas en una dial"ctica instrumento4ob'eto. 0lgunas pueden estar dadas directamente por el ense#ante o por la lectura de un manual. El docente debe definir una estrategia para la distribución entre problemas y aporte directo para la organiación de la materia que se !a a ense#ar y definir una estrategia de adaptación a las reacciones de la clase, para una determinada organiación.
*+ ,uego de marcos
El 'uego de marcos traduce la intención de e)plotar el hecho de que la mayor*a de los conceptos puede inter!enir en distintos dominios, diversos marcos físico, geométrico, numérico, grfico u otros. $ara cada uno de ellos se traduce un concepto en t"rminos de ob'etos y relaciones que podemos llamar los significados del concepto en el marco. &os significantes que tiene asociados pueden e!entualmente simboliar otros conceptos en el marco de los significados. Es el caso de representaciones gráficas de funciones y de representaciones en el plano, de con'untos de elementos materiales5 algebraicos u otros, cuyas propiedades geom"tricas, topológicas o combinatorias podemos estudiar. Esto se obtiene de las correspondencias entre significados de un mismo concepto en marcos diferentes, por un lado, y entre significados de conceptos diferentes representados en el mismo marco por los mismos significantes, por otro. $ero, para los alumnos en tren de aprendia'e, los conceptos funcionan de manera parcial y diferente segn los marcos. $or consiguiente, las correspondencias están incompletas. 0demás, ese estado heterog"neo de los conocimientos !ar*a segn el alumno. $ara introducir y suscitar el funcionamiento de los conocimientos, elegimos problemas donde aquellos inter!ienen en dos marcos como m*nimo. $ri!ilegiamos los marcos en los que la imperfección de correspondencias creará desequilibrios que se trata de compensar. Es el caso, por e'emplo, si se !erifican las dos condiciones siguientes: 4las significantes de un marco representan significados de conceptos distintos, teniendo cada uno sus propiedades. El estudio autónomo de uno de los sistemas de significados puede entonces conducir a resultados cuya traducción en otro sistema, pro!ee enunciados no pre!isibles o no e!identes. Es as* como la intradisciplina puede accionar eficamente. 4las adquisiciones de los alumnos son diferentes en cada uno de los marcos, para cada uno de los significados. &o esfueros desplegados para la bsqueda de un equilibrio podrán traducirse en una superación del ob'eti!o fi'ado pro!ocando un nue!o desequilibrio y as* sucesi!amente hasta la construcción de un modelo estable para todas las operaciones que quieran hacerse. Intervención del enseñante
&a gestión hecha por el maestro, en el momento de balances locales y e'ercicios que se apoyan en las producciones de los alumnos durante sus bsquedas, los diferentes cambios de marcos realiados por los alumnos, los recuerdos y balances globales que el maestro organia y anima son otros tantos medios de difusión de los conocimientos dentro de la clase. Esos momentos se sitan en el transcurso de la fase b/, para pre!er o superar un bloqueo e!entualmente local, o en el curso de las fases c/ o e/ 222 'uego del blanco, crónica/. . .ondiciones sobre los problemas susceptibles de comprometer una &+I+/+ 0&ial#ctica Instrumento/bjeto)
Cuedan por e)presar algunas condiciones sobre los problemas para que ciertas relaciones del alumno con el problema est"n aseguradas, y que la dial"ctica instrumento4ob'eto y el 'uego de marcos sean posibles. Enunciamos las condiciones que hemos conser!ado ? a/ El enunciado tiene sentido en el campo de conocimientos del alumno. b/ El alumno debe poder considerar lo que puede ser una respuesta al problema. Esto es independiente de su capacidad para concebir una estrategia de respuesta o una !alidación de una proposición de respuesta. c/ =eniendo en cuenta sus conocimientos, el alumno puede emprender un procedimiento. $ero la respuesta no es evidente. Esto quiere decir que no puede suministrar una respuesta completa sin desarrollar una argumentación que lo conduca a p reguntas que no sabe responder inmediatamente. d/ El problema es rico F. &o que significa que la red de los conceptos implicados es bastante importante, pero no demasiado para que el alumno pueda administrar su comple'idad, si no solo, por lo menos en equipo o dentro de la colecti!idad clase. e/ El problema est abierto por la di!ersidad de preguntas que el alumno puede plantear o por la !ariedad de estrategias que puede poner en marcha y por la incertidumbre que se desprende con respecto al alumno. &as condiciones c/, d/, e/, eliminan un recorte del problema en preguntas demasiado peque*as. f/ El problema puede formularse en dos marcos diferentes, teniendo cada uno su lengua'e y su sinta)is y cuyos significados constituyentes forman parte, parcialmente, del campo de conocimientos del alumno. 0
ualquiera sea el tipo, y sa!emos que ay toda una panoplia. Para cateor4as de pro!lemas ("l. 1$. 5 omple)idad y apertura son nociones relati&as al alumno. 6n pro!lema es rico y a!ierto para una clase si lo es para una cantidad considera!le de alumnos de la clase. Por e)emplo el 789. 7 :clarado en 5. 3
3 Regine Douady- Relacion enseñanza aprendizaje- Dialéctica Instrumento Objeto- Juego de Marcos g/ El conocimiento buscado por el aprendia'e es el medio cient*fico de responder eficamente al problema. Es un instrumento adaptado% Profesora Deriard-Matematica y su Enseñanza- Didáctica
+ uestras ipótesis
&a organiación que proponemos, por su carácter interacti!o instrumento4ob'eto, cambios de marcos .../, obliga al alumno a tratar una información a menudo abundante, que emana de !arias fuentes y que se e)presa indistintamente, con correspondencias !oluntariamente/ parciales entre los di!ersos modos de e)presión. &a situación es por construcción, moti!o de desequilibrio. &a bsqueda para me'orar las correspondencias y la argumentación desarrollada con este fin, son medios de reequilibración. Esto nos conduce a plantear las siguientes ipótesis4 a/ $odemos construir efecti!amente conocimientos haciendo 'ugar la dial"ctica instrumento4ob'eto en dos marcos, por lo menos, respetando sin embargo los umbrales de dos tipos: 4E)iste una masa cr*tica heterog"nea de conocimientos antiguos y de hábitos, culturales y t"cnicos los pre requeridos/ ba'o forma de instrumentos e)pl*citos en un campo conceptual dado que permita al alumno adentrarse en la resolución de un problema rele!ante de ese campo y por consiguiente, comprometer la dial"ctica instrumento4ob'eto. 4E)iste un umbral cr*tico de interrogación deba'o del cua l la refle)ión no se conecta condiciones (/, +/ y B/. >elaciones alumno4problema/. b/ &a realiación de las condiciones descriptas en a/ supone otra hipótesis: para un determinado nmero de ob'etos matemáticos podemos encontrar problemas que solicitan dos o tres marcos entre los cuales una dinámica es posible y susceptible de crear la dial"ctica instrumento4ob'eto. =al !e esto sir!a para relacionar la eficacia a la hipótesis a/. c/
%asi todas las e)periencias que se apoyan en las hipótesis formuladas precedentemente re!elaron, en cuanto a los ense#antes, un atractivo y un malestar para poner en marcha el tipo de ense#ana que ambicionan. &a inclinación se e)plica por el hecho de que el maestro está con!encido de la importancia de la acti!idad del alumno en la adquisición de sus conocimientos. $or otra parte, el maestro tiene un contrato con la institución escolar, con los padres, con los alumnos. Este contrato lo compromete a asegurar y an a garantiar la progresión del saber de los alumnos y por lo mismo le impone presiones. ás precisamente, el ense#ante tiene la tarea de guiar a los alumnos de su clase, en su con'unto y no a un reducido nmero de ellos/, de un estado supuesto de conocimientos, caracteriado por un grupo de conceptos y relaciones entre conceptos/, a otro estado de conocimientos caracteriado por otro grupo. El traba'o cognosciti!o del alumno consiste entonces en crear el nue!o grupo con la ayuda del maestro y tambi"n de sus propias adquisiciones las que no son nicamente producciones de la escuela/ y, circunstancialmente contra sus concepciones primiti!as. &a progresión del saber a mediano y largo plao está establecida por la institución programas/ y el maestro en su totalidad debe respetarla. $ara eso debe pre!er y organiar la progresión a corto t"rmino entre dos marcos impuestos. Se tranquilia si su progresión efecti!amente realiada a corto plao, respeta sus pre!isiones. $ero el maestro G puede garantizar que los alumnos, en su conjunto lo haa seguido en su progresión haa alcanzado el objetivo propuestoH. $ara que los alumnos puedan alcanar su tarea de aprendia'e, el docente debe transmitirles el deseo de aprender y con!encerlos de que, con su ayuda, ellos podrán lograrlo. No podemos ol!idar que la percepción que los alumnos tienen del maestro es para "ste un elemento importante en sus elecciones didácticas. Establece un equilibrio entre las distintas presiones de toda naturalea/ en las que está inmerso. Nuestras hipótesis conducen a un cambio de esta percepción. 3n desequilibrio y un malestar se desencadenan mientras llega el establecimiento de un nue!o equilibrio. 0dmitimos que el docente pre!", en su progresión, una fase de acción. $ara que la acción sea real, es necesario que el alumno tome iniciati!as, haga elecciones entre posibilidades di!ersas, que pueda plantear preguntas ane)as y relacionar 'alones intermediarios pertinentes para su problema. >ecordemos oportunamente que la acción es eficaz si el alumno tiene un control sobre los efectos producidos5 esto le permite modificar las condiciones de producción cuando los efectos no son los esperados. $ara que el 'uego de la acción pueda desarrollarse de manera satisfactoria, la situación debe de'ar un margen de libertad al alumno, que le permita especialmente e)plotar lo contingente y hacer 'ugar sus comportamientos cognosciti!os propios. Es decir, la situación debe implicar una parte de incertidumbre. -e esta manera, se hace cargo de las diferencias posibles entre los alumnos. 0dmitimos que el docente tenga en cuenta los comportamientos y producciones de los alumnos en la organiación y el contenido de sus secuencias de ense#ana. En cuanto a la trayectoria cognosciti!a de cada alumno, el maestro, ine!itablemente, asistirá a una incertidumbre que tiene consecuencias: 4$rimeramente es una duda sobre los contenidos que podrá institucionaliar y sobre el momento de su institucionaliación. En efecto, hay que pre!er otro ordenamiento del tiempo escolar, por e'emplo para una cuestión dada, una prolongación del tiempo de traba'o del alumno a corto plao. 0 largo plao, podemos pensar que no es lo mismo. ás an, podemos apostar a un conocimiento me'or construido, me'or estructurado y en consecuencia más efica, más ágil y más adaptable a los impre!istos. 0 mediano plao que preocupa al
5 Regine Douady- Relacion enseñanza aprendizaje- Dialéctica Instrumento Objeto- Juego de Marcos maestro/ la trayectoria real global de la clase peligra con des!iarse notablemente de la trayectoria pre!ista. El maestro puede aceptar una des!iación demasiado pronunciada, incompatible con sus dificultades. 4Es tambi"n una incertidumbre con respecto a la e!aluación de los alumnos, es decir, sobre el control de su aprendia'e. Es su responsabilidad de ense#ante la que está en 'uego. $or todas estas raones, el malestar e!idenciado no nos sorprende. Se#alemos, sin embargo, que hemos encontrado ense#antes completamente cómodos en lo que hace al control de esas situaciones de aprendia'e. En resumen, para que el con'unto de alumnos de una clase alcance un ob'eto cognosciti!o fi'ado por el maestro, "ste debe resol!er una contradicción: 4si a priori establece una manera de alcanarlo, no tiene ninguna garant*a de que los alumnos lo sigan5 4si sigue a los alumnos, corre el riesgo de perder el control del ob'eti!o apuntado. Esta contradicción por parte del ense#ante están en dualidad con la contradicción del alumno. Este debe enfrentar lo desconocido con los medios conocidos que posee. -ebe responder al pedido del maestro: aprender sus lecciones y resol!er sus problemas. $ero tiene una duda: n o está seguro de saber desempe#arse, an si aprendió bien sus lecciones. &a construcción del conocimiento para el alumno, corresponde a la resolución de una contradicción5 cómo relacionar lo nue!o con lo desconocido, cuando la mayor*a de los medios de acción no muestran lo conocido, y si lo hacen, cómo controlar lo nue!o que se ha producido. 1eneralmente pensamos que la ense#ana debe resol!er una contradicción entre la necesidad de ubicarse en la continuidad de lo que saben los alumnos y la necesidad de hacer progresar el conocimiento “esumiendo, todas nuestras iniciati!as apuntan a crear desequilibrios, pero de modo tal que los alumnos puedan participar acti!amente en su propio reequilibrio dentro del plano cognosciti!o. %on tal moti!o, actuamos sobre los contenidos dial"ctica instrumento4ob'eto5 'uego de marcos/, o sobre las relaciones sociales situaciones de comunicación, conflictos socio4cognosciti!os .../. -ebemos destacar que e)isten, sin duda, condiciones e)tra4cognosciti!as necesarias para que la reequilibración sea posible para y por el alumno. %itemos, a t*tulo de e'emplo, las condiciones relati!as a las relaciones de fuera entre los alumnos dentro de un grupo de traba'o ya se trate de un peque#o equipo o de toda la clase/, a las relaciones afecti!as entre el maestro y los alumnos, al inter"s que manifiestan los padres por el traba'o de sus hi'os, etc.. Profesora Deriard-Matematica y su Enseñanza- Didáctica
