6 Transformasi Laplace Invers

 TRANSFORMASI  TRANSFORMASI LAPLACE INVERS IKRIMA ALFI, S.T., M.Eng.

DEFINISI TRANSFORMASI TRANSFORMASI LAPLACE L APLACE INVERS 

Invers Transformasi Laplace adalah suatu metode sederhana untuk mencari fungsi t (f(t)) bila diketahui persamaan fungsi s (F(s)).



Berlaku hubungan timbal balik antara f(t) dan F(s). L −1 Notasi transformasi balik adalah , − 1 L [ F ( s)] =  f  (t ) sehingga





ontoh ! − 1 a.

c.

L

L −1

1  s + 2

1  s

3

= e −2t 

b.

1.2! 1 2 = L −1 = t  3 2! s

2

d.

L −1 L −1

 s  s

2

+ 16

= cos 4t 

4 ( s + 3) + 16 2

= e −3t  sin 4t 

DEFINISI TRANSFORMASI TRANSFORMASI LAPLACE L APLACE INVERS 

Invers Transformasi Laplace adalah suatu metode sederhana untuk mencari fungsi t (f(t)) bila diketahui persamaan fungsi s (F(s)).



Berlaku hubungan timbal balik antara f(t) dan F(s). L −1 Notasi transformasi balik adalah , − 1 L [ F ( s)] =  f  (t ) sehingga





ontoh ! − 1 a.

c.

L

L −1

1  s + 2

1  s

3

= e −2t 

b.

1.2! 1 2 = L −1 = t  3 2! s

2

d.

L −1 L −1

 s  s

2

+ 16

= cos 4t 

4 ( s + 3) + 16 2

= e −3t  sin 4t 

 TABEL  T ABEL TRANSFORMASI TRANSFORMASI LAPLACE LAPL ACE INVERS No

1

F(s)

L-1{F(s)}=f(t)

1

1  s

2

t

1  s

3

2 n

1

t 

 s n +1

n!

4

e

1

at 

 s − a

5

a  s

sin at 

+ a2

2

 s

6  s

2

7

+ a2 a

 s

2

8

− a2

cos at  sinh at 

 s 2

2

cosh at 

!t"#!n D$ng!n %$ngg&n!'!n t!($, t$nt&'!n t)!n*+)%!*" !-!$ "n/$)* 0!)" +&ng*"+&ng*" ($)"'&t 6.

1.

2.

7.

3.

8.

4.

.

5.

1.

SIFAT TRANSFORMASI LAPLACE INVERS 

SIFAT LINEAR

Cnt#

SIFAT TRANSLASI PERESERAN FREKENSI 

 "'!

Cnt#   "'!  %!'! 

%!'!

 TRANSLASIPERESERAN 9AKT 

 "'!



Cnt#  "'! %!'!

%!'!

SIFAT PENBA:AN SKALA 

 "'!



Cnt#  "'! %!'!

%!'!

 TRANSFORMASI LAPLACE INVERS DARI  TRNANTRNAN 

 "'!



Cnt#  "'! %!'! !t!&

%!'!

 TRANSFORMASI LAPLACE INVERS DARI INTERALINTERAL 



 "'!

Cnt# K!)$n! %!'!

%!'!

PERKALIAN DENAN *n  "'!



0!n F;<=, %!'!

 !0" -$)'!"!n 0$ng!n * %$%-&n>!" !'"(!t *$(!g!" menurunkan F(t).  "'! F;
0!-!t @&g! 0"!'&'!n

PEMBAIAN DENAN S 

 "'!

%!'!

 !0" -$%(!g"!n 0$ng!n * ;!t!& -$)'!"!n 0$ng!n 1*< %$%-&n>!" !'"(!t mengintegrasikan F(t) dari 0 sampai t   Cnt# K!)$n! '"t! -$)$# 

P$)&!*!n '$ 0!!% ($nt&' 0!-!t @&g! 0"!'&'!n

SIFAT KONVOLSI 





 "'!

0!n

%!'!

+g 0"*$(&t 'n/&*" 0!)" + 0!n g, 0!n t$)$%!n>! 0"*$(&t teorema atau sifat konvolusi Cnt# '!)$n! 0!n '"t! -$)$#

PECA:AN PARSIAL BENTK 1  T$nt&'!n

I.

II.

K!"'!n!# '$0&! )&!* 0$ng!n -$n>$(&t >!"t& ;*2< ;*1<;*3<, *$#"ngg! %$n@!0"

P""#!# #!)g! * >!ng !'!n %$%(&!t *!!# *!t& '&)&ngn>! ($)#!)g! n . A%(" ;*2< = , !)t"n>! *&(*t"t&*"'!n * =2 4=3A %!'! A=43

Cnt# A%(" ;*1< = , !)t"n>! *&(*t"t&*"'!n * =1 2 =12B, %!'! B=212 =16  A%(" ;*3<=, !)t"n>! *&(*t"t&*"'!n *=3 14=4C, %!'! C=72 S$t$!# *$$*!", '$%(!"'!n '$ -$)%"*!!n. S$#"ngg! 

L!t"#!n  T$nt&'!n t)!n*+)%!*" L!-!$ "n/$)* ($)"'&t −1

 L

1. −1

 L

 7 s + 2   s 3 + 3 s 2 + 2 s 

  s 2 + 7 s + 8   ( 1) ( 2) ( 3)    s +  s +  s + 

2. −1

 L

3.

 ( s + 1) ( s + 3)   s ( s + 2) ( s + 4)   

KASS 2 2  +1   s −1  L  3  ( s + 2) 

B$nt&' -$!#!n -!)*"!n>! !0!!#  A  B C  +1 = + + 3 2 ( s + 2) ( s + 2) ( s + 2) ( s + 2) 3  s

".

"".

2

B$)*"#'!n -$n>$(&t 0$ng!n %$ng!"'!n '$0&! )&!*n>! 0$ng!n ;*2< 3 %!'! 0"-$)$# *2  1 = A ;*  2< 2  B ;*2<  C A%(" ;*2< = , *$#"ngg! *&(*t"t&*"'!n * = 2  ;2<2 1 = A ;<  B ;<  C  C=5

KASS 2 .... """.

M$n>!%!'!n '$*"$n ;'!)$n! t"0!' !0! '&)&ng !"n 0!!% -$)*!%!!n "n"< *2  1 = A ;*  2<2  B ;*2<  C *2  1 = A ;*2 4* 4<  B*  2B  C  *2  1 =A *2  4A *  4A  B *  2B  C *2  1 = A *2  ;4A  B<*  4A  2B  C . M&!" %$n>!%!'!n '$*"$n 0!)" -!ng'!t t$)t"ngg", >!"t& * 2 1=A . K$%&0"!n '"t! t"n@!& $'*t)"% >!ng !"n 0!n '"t! *!%!'!n '$*"$n -!ng'!t t$)$n0!#, >!"t& *&'& 'n*t!nt! -!0! '$0&! )&!*n>! 1 = 4A  2B C  1 = 4 ;1<  2B  5  8 = 2B  B = 24  s + 1 1 5 −4 M!'! = + + ( s + 2 ) 3 ( s + 2 ) ( s + 2 ) 2 ( s + 2 ) 3

K!*&* 2 

*$#"ngg! −1

 L

  s 2 + 1  1 5  −4 −1  = L  + +  3 2 3 ( ) 2  s + ( ) ( ) ( ) + + + 2 2 2  s  s  s     = e − 2t  − 4te − 2t  +

5 2

2 − 2 t 

t  e

L!t"#!n ;'!*&* 2< 1.

2.

3.

4.

−1

 L

  s   2 ( )  s − 2  

2    s  2  ( ) ( )  s + 1  s − 1  

−1

 L

−1

 L

−1

 L

   s + 4  2 2  s 1  s 3 + + ( ) ( )  

   s  2   2  s  s 1  s 2 + + ( ) ( )  

KASS III 2 P$n>$(&t ($)($nt&'as + bs + c

D"%!n! as

2

c + bs + t"0!' 0!-!t 0"+!'t)'!n,

%!'! ($nt&' -$!#!n -!)*"!n>!

 As + B

as

Cnt# −1

 L

  ( s − 1)  s ( s 2 + 1)( s 2 + 2)   

2

+ bs + c

KASS III  −1

 L



  ( s − 1)  s ( s 2 + 1)( s 2 + 2)   

B$nt&' -$!#!n -!)*"!n>! !0!!#

( s − 1)

(

 s  s I.

II.

2

+ 1)( s + 2) 2

=

 A  s

+

 Bs + C   Ds + E 

( s

2

+ 1)

+

( s

2

+ 2)

(

)(

 s  s + 1  s + 2 %$ng!"'!n 2

2

:"!ng'!n -$n>$(&tn>! 0$ng!n ( s − 1) =  A( s 2 + 1)( s 2 + 2) + ( Bs + C ) ( s ) ( s 2 + 2) + ( Ds + E ) ( s ) ( s 2 + 1) nt&' *= − 1 = 2 A  A =

−

1 2

)

KASS III  M$n>!%!'!n '$*"$n

III.

( s − 1) =  As 4 + 3 As 2 + 2 A + Bs 4 + 2 Bs 2 + Cs 3 + 2Cs + Ds 4 + Ds 2 + Es 3 + Es ( s − 1) = ( A + B + D ) s 4 + ( C + E ) s 3 + ( 3 A + 2 B + D ) s 2 + ( 2C + E ) s + 2 A .

ABD= 1<

.

CE=

.

3A2BD= ...3< ..7<

.

2CE=1....4<

.

2A=1 .....5<

BD=12 ..6<

.2< 2BD=32

KASS III  P$)*!%!!n 5< A=12 P$)*!%!!n 2<  4< 2CE=1   CE= C

=1

E= 1

P$)*!%!!n 6<  7< 2BD=32   BD=12 B

=1

D= 12

KASS III  

 !0"

( s − 1)

(

 s  s

2

+ 1)( s + 2) 2

= =



−1  s

2+

−1  s

 s + 1

( s

2+

2

+ 1)

+

 s

( s

2

+ 1)

−1

+

( s

 s − 1

2

2

+ 2)

1

( s

2

+ 1)

−

1

( s

2

 s

2

+ 2)

−

1

( s

2

M!'! 1  s − 1   s 1 1 2+ 2 −   L−1  + − 2 2 2 2  s + 1) ( s + 1) ( s + 2 ) ( s + 2)  (   s   1

1

2

2

= − + cos t  + sin t  − cos 2t  −

1 2

sin 2t 

+ 2)

LATI:AN  T$nt&'!n t)!n*+)%!*" L!-!$ "n/$)* +&ng*" ($)"'&t 1. 2.

3 s + 1

( s − 1) ( s 2 + 1)

3.

K!"0!# P$!#!n P!)*"! K!"0!# P$!#!n P!)*"! !0!!# *$(!g!" ($)"'&t    P$%("!ng 0!)" +&ng*" >!ng 0"($)"'!n #!)&* $("# )$n0!# 0$)!@!tn>! 0!)"-!0! 0$)!@!t -$n>$(&tn>!.  "'! t"0!' 0$%"'"!n, %!'! '"t! #!)&* %$%(!g"n>! 0!#&& 0$ng!n -$%(!g"!n ("!*!.  F!'t)'!n!# -$n>$(&tn>! %$n@!0" +!'t)+!'t) -)"%!n>!  F!'t) "n$!) ;!G(< %$%($)"'!n -$!#!n -!)*"! >!ng ($)($nt&'

 A



F!'t) ;!G (<2 !'!n %$%($)"'!n -$!#!n -!)*"!



F!'t) ;!G (<3 !'!n %$%($)"'!n -$!#!n -!)*"!  A

ax + b

ax + b



+

+

 B

( ax + b ) 2  B

+

C 

( ax + b ) 2 ( ax + b ) 3

F!'t) '&!0)!t ;!G 2(G< !'!n %$%($)"'!n -$!# -!)*"!

P$n>$$*!"!n P$)*!%!!n D"H$)$n*"!  

S$$*!"'!n!# >;t<  >;t<=1, >;<=1, 0!n >J;<= P$n>$$*!"!n 1.  T)!n*+)%!*"'!n L!-!$ '$0&! )&!* -$)*!%!!n 0"H$)$n*"! 0" !t!* %"*!  =;*<=L>;t<, %!'! L >;t<  L>;t<=L1 !t!&

2.

K!)$n! >;<=1, >J;<= %!'!

$n>$$*!"!n P$)*!%!!n D"H$)$n*"! 3.

 T)!n*+)%!*"'!n L!-!$ "n/$)* -$)*!%!!n t*(

Cnt# 2 S$$*!"'!n 1.

2.

A%(" t)!n*+)%!*" !-!$ 0!)" -$)*!%!!n 0"+$)$n*"! 0" !t!* &n!'!n!# >;<=2 0!n >J;<=1, *$$*!"'!n -$)*!%!!n !@!(!) "n" &nt&' %$n$nt&'!n .

D$ng!n %$ngg&n!'!n -$!#!n -!)*"!, 0"0!-!t

Cnt# 2 3.

D$ng!n %$ngg&n!'!n t)!n*+)%!*" L!-!$ "n/$)*, '"t! %$%-$)$# -$n>$$*!"!n >!ng 0""ng"n'!n