CAPITULO V
os m o os energ cos son muy impor tantes dentro del calculo de estru ruccturas y se basan fundamentalmente en consecuencia de la aplicación de cargas en unaa estru un estruct ctur ura. a.
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
Ahora se definirá cómo se calcula el trabajo hecho por una fuerza y un momento sobre una estructura.
Cuando se está en el rango elástico lineal, se tiene:
P
Rango Elástico Lineal d
Es importante distinguir cuando una fuerza se aplica o no en forma
P+F
C
B
P
D
’
A
G Rango Elástico Lineal
F
P
El principio de conservación de la energía para estructuras se enuncia como sigue: “El trabajo efectuado sobre una estructura elástica por fuerzas aplicadas estáticamente estáticamente (en forma forma gradual) gradual) es igual al trabajo realizado por las las fuerzas fuerzas internas, i nternas, o sea, sea, la ener energía gía de deformación almacenada en la estructura” Matemáticamente Matemáticamente se expresa como: We=Wi e=Wi ó Ue=W Ue=Wii "Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
La forma for ma de energía más común considerada en el Análisis de Estructuras es la energía potencial elástica.
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
Se presenta a continuación la energía de deformación para varios los tipos más comunes de estructuras usadas en la Ingeniería Civil.
Armaduras
Vigas
Pórticos
Consideraciones Consideraciones importantes: impor tantes: •
•
•
Las defor maciones por fuerzas cor tantes en las vigas suelen despreciarse rse debido a que son bastante pequeñas a comparación de las debidas por flexión Las defor maciones por fuerzas axiales en pór ticos son mucho menores que las debidas a flexión y suelen despreciarse en el análisis. Cuando alguna de las funciones F(x), V(x), M(x) y T(x) no son continuas en los elementos, entonces este debe dividirse en segmentos ta es on e as anteriores unciones s o sean para que la suma o integral sea continua. Luego, se suma la contribución de ca a e emen o para o ener a energ a e e or mac n o a . "Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has aflicción;has conocido mi alma en las angustias." angustias." Salmo 31: 7
Fue introducido por Johan Bernoulli Ber noulli en 1717. Es una poderosa herramienta analítica en muchos problemas de mecánica estructural. Este principio puede ser enunciado de dos maneras:
Principio de desplazamientos virtuales para los cuerpos rígidos: El método de Müller-Breslau para el trazado de líneas de influencia está basado en esta forma for ma de expresar el principio pr incipio..
Principio de fuerzas virtuales para los cuerpos deformables: Se emplea para el cálculo de deflexiones.
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has aflicción;has conocido mi alma en las angustias." angustias." Salmo 31: 7
El rin rinci io de des lazamientos virtu rtuales ara los cuer os rí idos se enuncia así:
“Si un cuerpo rígido se encuentra encuentra en equilibrio bajo un sistema de uer uerzas zas si se su eta eta a cua uall uier ier des laza lazami mien entto virt virtu ual de cuerpo rígido, el trabajo virtual realizado por las fuerzas externas es cero”
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has aflicción;has conocido mi alma en las angustias." angustias." Salmo 31: 7
El rin rinci ci io de fuer fuerza zass virtu virtual ales es ara ara los los cu cuer er os defo deforma rmabbles les se enuncia así:
“Si una estructura deformable está en equilibrio bajo un sistema virtu rtual de ue uerzas ares si se su eta a cual uier ier deformación real pequeña, coherente con las condiciones de apoyo continuidad continuidad de la estructur estructura, entonces el traba traba o virtual externo realizado por las fuerzas externas (y pares externos) virtuales que actúan a través de los desplazamientos (y rotaciones) externos reales es igual al trabajo trabajo interno virtual vir tual realizado por las fuerzas internas (y pares internos) que actúan a tra través de los desplazamientos (y rotaciones) internos reales” "Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has aflicción;has conocido mi alma en las angustias." angustias." Salmo 31: 7
A licaci licacione oness al cálcul cálculo o de deflex deflexion iones es •
endien endientes tes
Armaduras:
•
EA
N= Fuerza axial interna debida a cargas reales. n=fuerza axial interna debida a la aplicación de carga virtual unitaria
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has aflicción;has conocido mi alma en las angustias." angusti as." Salmo 31: 7
A licaci licacione oness al cálcul cálculo o de deflex deflexion iones es •
endien endientes tes
Vigas: Si bien en una viga es posible tener fuerzas axiales, corta rtantes y momentos flectores sólo se consideran rominentes el momento flector y la fuerza corta rtante. Para la gran mayoría de vigas se desprecia el trabajo interno efectuado or las fuerzas cor tantes vir tuales ue actúan a través de las deforma rmaciones causadas por esas corta rtantes. En este caso, es posible calcular deflexiones y pendientes.
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has aflicción;has conocido mi alma en las angustias." angusti as." Salmo 31: 7
A licaci licacione oness al cálcul cálculo o de deflex deflexion iones es •
endien endientes tes
Vigas: La expresión derivada a parti rtir la aplicación del principio del traba o a vi as se resentan a continuación: L
0
Mmdx EI
M= momento flector debido a cargas reales. m=momento flector debido a la aplicación de carga virtual unitaria
La anterior expresión expresión debe debe ser evaluada evaluadass en tramos tramos en los cuales la función de momento sea continua.
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has aflicción;has conocido mi alma en las angustias." angustias." Salmo 31: 7
A licaci licacione oness al cálcul cálculo o de deflex deflexion iones es •
endien endientes tes
Pórticos: La expresión derivada a parti rtir la aplicación del principio del traba o a ór ticos se resenta a continuación: L
0
Mmdx EI
M= momento flector debido a cargas reales. m=momento flector debido a la aplicación de carga virtual unitaria
La anterior expresión expresión debe ser ser evaluada evaluada en tramos tramos en los cuales cuales la .
"Me gozaré gozaré y alegraré en tu misericordia,porque misericordia,porque has visto mi aflicción;has aflicción;has conocido mi alma en las angustias." angustias." Salmo 31: 7
A licaci licacione oness al cálcul cálculo o de deflex deflexion iones es
endien endientes tes::
Es posible que en vigas o pórticos se tengan otras posibles situaciones ue caus causen en defl deflex exio ione ness. Aun ue es oc ocoo el a orte orte de est estas a la ener ener ía de deformación, la cual será en forma primaria debida a flexión, se ex ondrán de i ual forma rma. Las acciones adicionales ue se incluirán son debidas a fuerza axial fuerza cortante cor tante,, momentos momentos torsores tor sores
"Me gozaré gozaré y alegraré en tu misericordia,porque misericordia,porque has visto mi aflicción;has aflicción;has conocido mi alma en las angustias." angustias." Salmo 31: 7
mdx
EA
NnL
L
o
Vvdx GAs
L
0
Ttdx JG
0
M = momento debido a cargas reales N = fuerza normal debida a cargas reales n= fuerza normal debida a cargas virtuales = v= fuerza cortante debido a cargas virtuales T=momento T=momento torsor debido a cargas reales reales t=mo t=momen mento to tors torsor or debido debido a car car as virtu virtual ales es A=ar A=area ea o secci seccion on tran transv svers ersal al As= As= area area de corte corte = momento olar de inercia I= momento de inercia E= modulo de elasticidad G=modulo G=modulo de corte cor te "Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has aflicción;has conocido mi alma en las angustias." angustias." Salmo 31: 7
TRABAJO VIRTUAL EN PORTICOS
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
RVE=0.5KN VE=0 .5KN
RVA=1.5KN A=1. 5KN
RHA=O RHA= O
"Me gozaré gozaré y alegraré en tu misericordia,porque misericordia,porque has visto mi aflicción;has aflicción;has conocido mi alma en las angustias." angustias." Salmo 31: 7
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
TRABAJO VIRTUAL EN CERCHAS
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has aflicción;has conocido mi alma en las angustias." angusti as." Salmo 31: 7
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has aflicción;has conocido mi alma en las angustias." angustias." Salmo 31: 7
"Me gozaré gozaré y alegraré en tu misericordia,porque misericordia,porque has visto mi aflicción;has aflicción;has conocido mi alma en las angustias." angustias." Salmo 31: 7
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
PRIMER TEOREMA DE
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
TEOREMA DE CASTIGLIANO En 187 1879 Alberto rto Castigliano ano, ingeni eniero italiano iano de ferr errocar ocarri rilles, publicó un libro don donde escribía un método para deter minar el desplazamiento de un cuerpo, sólo se aplica a cuer os de tem eratura constante , de material con com orta rtamiento elástico lineal; es decir nos ayuda a calcular las deflexiones producidas en una viga a causa de una determi rminada carga que debe soporta rtar y por ende nos ayuda a elegir gir el mejor materia rial para la const nstrucc rucció iónn de estás segú egún su resistencia cia y para que pro propós pósito la nece necessita itamos. Si se va a calcular el desplazamiento en un punto, el teorema establece que ese desplazamiento es igual a la integra gral calculada entre cero y la longitud de la barra rra, del momento flector por la deriv rivada del momento flector respecto a una fuerza P todo entre el módulo de elasticidad del mater ial por el mom omen ento to de iner inerci ciaa del del área rea tran transv sver ersa sal, l, resp respec ecto to a x
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
Estas Estas ecuacion ecuaciones es se pueden pueden utili utilizar zar para para portico y una cercha cercha TRABAJO TRABAJ O VIRTUAL VIRTUAL
PRIMER TEOREMA DE CASTIGLIANO
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
CALCULAR CALCULA R LA DEFLEXION DEFLEXI ON Y ROTACION ROTACION EN EL PUNTO C DE LA VIGA
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
PROBLEMAS
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has aflicción;has conocido mi alma en las angustias." angusti as." Salmo 31: 7
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7
