CASO PROBLEMA. TAREA EJE 3 1. Situación sociodemográfica
La población de un estado viene dada, en millones de habitantes, por la función:
( − ) ( () = + + ( − ) donde t es el tiempo en e n años. ●
Exprese claramente el significado de las variables
y .
La variable P representa la población o habitantes del estado, la cual es una variable que depende del tiempo. La variable t es independient independiente e y representa el tiempo de crecimiento o decrecimiento de la función P(t) Encuentre el dominio y el rango de la función (). El domino de la función son todos los números reales, es decir, Dom: (- , ), esto sucede porque ●
∞ ∞
la variable t puede tomar cualquier valor ● Dibuje aproximadamente la gráfica de la función (GeoGebra). Resalte puntos clave del gráfico. ●
Determine la derivada,
´().
● ●
Calcule, analítica y gráficamente, la población máxima de manera aproximada.
● ●
Encuentre el límite cuando t tiende a infinito. ¿qué significa el resultado encontrado?
● ●
El límite es cero, lo cual significa que la población con el tiempo va a ser constante, es decir, 20 habitantes.
Al graficar
( − ) () = + + ( − ) En GeoGebra
( − ) () = + + ( − )
2. Situación casera Luis y María tienen una piscina en su jar dín y al llegar el verano necesitan cambiar el agua de la piscina. Abren el desagüe y la piscina se com ienza a vaciar según la función:
() =
√ + − −
expresa el volumen de agua medido en metros cúbicos, y expresa el tiempo de vaciado medido en horas. Investiga, de manera detallada, hacia qué valor se aproxima e l volumen de la piscina cuando el tiempo que ha transcurrido se aproxima a 2 horas. Presenta un gráfico y una tabla que faciliten e l cálculo.
Corrige es – 4.28 Cuando el tiempo se aproxima a dos horas e l valor de v tiende a menos infinito. Para el valor de 2 horas no esta determinado. Para tal fin, usted debe realizar las siguientes actividades: ●
Encuentre el dominio y el rango de la función ().
●
El dominio: es todos los reales menos el 2
●
El rango es desde menos infinito hasta infinito
●
Dibuje aproximadamente la gráfica de la función. Resalte puntos clave del gráfico.
●
Determine la derivada,
´().
● ●
Encuentre el límite cuando t tiende a 2. ¿Qué significa el resultado encontrado?
●
3. Situación laboral
Un comerciante vende camisetas a un grupo de estudiantes que están organizando un viaje de estudios. Para ello llama al proveedor para hacer el pedido de las camisetas y éste se las suministra según la función:
. + . representa el número de camisetas vendidas y () representa el precio en dólares por () =
camiseta.
●
Dibuje aproximadamente la gráfica de la función. Resalte puntos clave del gráfico.
●
Sabiendo que el comerciante a su vez se las vende a los estudiantes por 8 dólares la unidad. ¿Cuál es el beneficio por camiseta según las camisetas vendidas?
●
Determine la derivada,
´().
● ●
¿Cuánto cobra el proveedor si el come rciante pide 5.000 unidades?
●
¿Cuántas camisetas ha de vender para obtener la máxima utilidad?
4. Situación científica:
La presión atmosférica a nivel del mar es de , / . A ese valor se le llama una atmósfera. Experimentalmente se ha comprobado que por cada kilómetro de altura respecto el nivel del mar, la presión es de 0,9 veces la presión del kilómetro anterior. ●
Escribe una función que dé la presión ( ) en función de la altura ( ).
●
En lugar de f(h) coloque P(x) ● ●
Dibuje aproximadamente la gráfica de la función. Resalte puntos clave del gráfico. Si ascendemos en globo, ¿Qué presión soportaremos cuando nos acercamos a los 5.000 m de altura?
●
Determine la derivada ´().
●
Si subimos indefinidamente, ¿hacia qué valor tiende la presión?
●
Subir indefinidamente se modela como tomar valores cada vez más grandes de n por lo que se pide hallar el límite cuando h->∞ de la función y con ayuda de una tabla de valores se comprueba que tiende al valor 0, pues la razón de la progresión geométrica es me nor que 1 en valor absoluto. ●
Queremos ahora descender a una cima que está a 2.000 m de profundidad bajo el nivel del mar, ¿a qué tiende la presión que iremos soportando al bajar?
Ahora si descendemos, esto es, si est amos por debajo del nivel del mar, esto se modela con que la variable h toma valores negativos “por debajo de 0”. Así nos pide que ocurrirá en las cercanías de los 2 km de profundidad, es decir, tomamos límite c uando n tiende a -2 obteniendo 1’275 kg/cm2 .
