303.04 Curvas verticales 303.04.01
Generalidades
Los tramos consecutivos de rasante, serán enlazados con curvas verticales parabólicas, cuando la diferencia algebraica de sus pendientes sea mayor del 1%, para carreteras pavimentadas y del 2% para las demás. Dichas curvas verticales parabólicas, son definidas por su parámetro de curvatura K, que equivale a la longitud de la curva en el plano horizontal, en metros, para cada 1% de variación en la pendiente, así:
Donde, K : Parámetro de curvatura curvatura L : Longitud de la curva curva vertical A : Valor Absoluto Absoluto de la diferencia algebraica de las pendientes 303.04.02
Tipos de curvas verticales
Las curvas verticales se pueden clasificar por su forma como curvas verticales convexas y cóncavas y de acuerdo con la proporción entre sus ramas que las forman como simétricas y asimétricas. En la Figura 303.02 se indican las curvas verticales convexas y cóncavas y en la Figura 303.03 las curvas verticales simétricas y asimétricas. Figura 303.02 Tipos de curvas verticales convexas y cóncavas TIPO 1
TIPO 2
TIPO 2
2 + P
-P 1
1 + P
- P P 2
A = P 1 + P 2 L
- P
A = - P1 + P 2
A = P1 - P 2
1
P +
L
2
L
CURVAS VERTICALES CONVEXAS
- P
1
TIPO 3 - P P1
2 + P
TIPO 4
TIPO 4
2
P +
- P P2
A = - P1 - P 2 L
A = - P1 + P 2 L
1 + P
A = P1 - P 2 L
CURVAS VERTICALES CONCAVAS P1 = Pendiente de entrada P2 = Pendiente de salida
A = Diferencia de pendientes L = Longitud de la curva
K = Variación por unidad de pendiente: L K = A
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192
Figura 303.03 Tipos de curvas verticales simétricas y asimétricas PIV
2 + P
- P 1 1 + P
- P 2
L 2
L 2
PIV
L 2
L 2
L
L
CURVAS VERTICALES SIMETRICAS
PIV
2 + P
- P 1 1 + P
- P 2
L1
PIV
L2
L1
L
L2 L
CURVAS VERTICALES ASIMETRICAS L = Longit ud de la curva
L1 = L ongitud rama de entrada
L2 = L ongitud rama de salida
La CURVA VERTICAL SIMÉTRICA está conformada por dos parábolas de igual longitud, que se unen en la proyección vertical del PIV. La curva vertical recomendada es la parábola cuadrática, cuyos elementos principales y expresiones matemáticas se incluyen a continuación, tal como se aprecia en la Figura 303.04.
Figura 303.04 Elementos de la curva vertical simétrica Y V I P E y
y
V T P
X
V C P P 1
Y
X
x
P 2
x
L 2
L
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193
Donde: PCV
:
Principio de la curva vertical
PIV
:
Punto de intersección de las tangentes verticales
PTV
:
Término de la curva vertical
L
:
Longitud de la curva vertical, medida por su proyección horizontal, en metros (m).
S1
:
Pendiente de la tangente de entrada, en porcentaje (%)
S2
:
Pendiente de la tangente de salida, en porcentaje (%)
A
:
Diferencia algebraica de pendientes, en porcentaje (%)
E
:
Externa. Ordenada vertical desde el PIV a la curva, en metros (m), se determina con la siguiente fórmula:
X
:
Distancia horizontal a cualquier punto de la curva desde el PCV o desde el PTV.
Y
:
Ordenada vertical en cualquier punto, también llamada corrección de la curva vertical, se calcula mediante la siguiente fórmula:
La curva vertical asimétrica está conformada por dos parábolas de diferente longitud (L1, L2) que se unen en la proyección vertical del PIV. Ver Figura 303.05.
Figura 303.05 Elementos de la curva vertical asimétrica Y
1
y
V C P P 1
Y
V I P E
2
y
X
V T P
X x2
x1
P 2
L2
L1 L
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194
Donde: PCV
: Principio de la curva vertical
PIV
: Punto de intersección de las tangentes verticales
PTV
: Término de la curva vertical
L
: Longitud de la curva vertical, medida por su proyección horizontal, en metros (m), se cumple: L = L1 L2 y L1 ≠ L2.
S1
: Pendiente de la tangente de entrada, en porcentaje (%)
S2
: Pendiente de la tangente de salida, en porcentaje (%)
L1
: Longitud de la primera rama, medida por su proyección horizontal en metros (m).
L2
: Longitud de la segunda rama, medida por su proyección horizontal, en metros (m).
A
: Diferencia algebraica de pendientes, en porcentaje (%).
E
: Externa. Ordenada vertical desde el PIV a la curva, en metros (m), se determina con la siguiente fórmula:
X1
: Distancia horizontal a cualquier punto de la primera rama de la curva medida desde el PCV
X2
: Distancia horizontal a cualquier punto de la segunda rama de la curva medida desde el PTV
Y1
: Ordenada vertical en cualquier punto de la primera rama medida desde el PCV, se calcula mediante la siguiente fórmula:
Y2
: Ordenada vertical en cualquier punto de la primera rama medida desde el PTV, se calcula mediante la siguiente fórmula:
En el proyecto de curvas verticales, es necesario tomar en consideración los siguientes criterios:
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195
Debido a los efectos dinámicos, para que exista comodidad es necesario que la variación de pendiente sea gradual, situación que resulta más crítica en las curvas cóncavas, por actuar las fuerzas de gravedad y centrífuga en la misma dirección. Generalmente se proyectan curvas verticales simétricas, es decir, aquellas en las que las tangentes son de igual longitud. Las tangentes desiguales o las curvas verticales no simétricas son curvas parabólicas compuestas. Por lo general, su uso se garantiza sólo donde no puede introducirse una curva simétrica por las condiciones impuestas del alineamiento. El criterio de comodidad, se aplica al diseño de curvas verticales cóncavas en donde la fuerza centrífuga que aparece en el vehículo al cambiar de dirección se suma al peso propio del mismo. Generalmente queda englobado siempre por el criterio de seguridad. El criterio de operación, se aplica al diseño de curvas verticales con visibilidad completa, para evitar al usuario la impresión de un cambio súbito de pendiente. El criterio de drenaje, se aplica al diseño de curvas verticales cóncavas o convexas en zonas de corte, lo cual conlleva a modificar las pendientes longitudinales de las cunetas. El criterio de seguridad, se aplica a curvas cóncavas y convexas. La longitud de la curva debe ser tal, que en todo su desarrollo la distancia de visibilidad sea mayor o igual a la de parada. En algunos casos el nivel de servicio deseado puede obligar a diseñar curvas verticales con la distancia de visibilidad de paso.
303.04.03
Longitud de las curvas convexas
La longitud de las curvas verticales convexas, se determina con las siguientes fórmulas: a) Para contar con la visibilidad de parada (Dp). Cuando Dp < L;
Cuando Dp > L;
Donde, para todos los casos: L : Longitud de la curva vertical (m) Manual de Carreteras “Diseño Geométrico”
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196
Dp: Distancia de visibilidad de parada (m) A : Diferencia algebraica de pendientes (%) h1 : Altura del ojo sobre la rasante (m) h2 : Altura del objeto sobre la rasante (m) La Figura 303.06, presenta los gráficos para resolver las ecuaciones planteadas, para el caso más común con h 1 = 1,07 m y h 2 = 0,15 m.
Figura 303.06 Longitud mínima de curva vertical convexa con distancias de visibilidad de parada Altura de Ojo = 1.07 m = h1 Altura de Objeto = 0.15 m = h2
Linea de Visibilidad Dp h1
h2
P( + % )
P (- % )
LONGITUD MINIMA DE CURVA CONVEXA "L" L = Longitud de la curva vertical (m) Dp = Distancia de Visibilidad de Frenado (m) V = Velocidad de Diseño (Km/h) A = Diferencia Algebraica de Pendientes (%)
Para Dp > L
Para Dp < L
404 L = 2Dp - A
L = ADp² 404
16
) % ( S14 E T N E I 12 D N E P E10 D A C I 8 A R B E 6 G L A A I 4 C N E R 2 E F I D = A 0
0
h / m k 0 3 = V
h / m k 0 4 = V
h / m k 0 5 = V
) O D A E D N O D E R (
h / m k 0 6 = V
h / m k 0 7 = V
E A J N E D R A L N h I O m / 0 k E N C 8 V = A T R Y O h M A m / k 9 0 V =
/ h 0 k m 0 1 V = / h 1 0 k m V = 1 h 0 k m/ V = 1 2
100
200
300
400
500
600
700
LONGITUD MINIMA DE CURVA VERTICAL, L (m)
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197
b) Para contar con la visibilidad de adelantamiento o paso (Da). Cuando: Da < L
Cuando: Da > L
Donde: Da : Distancia de visibilidad de adelantamiento o Paso (m) LyA
: Idem (a)
Se utilizará los valores de longitud de Curva Vertical de la Figura 303.07 para esta condición, asimismo se aplicaran las mismas fórmulas que en (a); utilizándose como h 2 = 1.30 m, considerando h 1 = 1.07 m.
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198
Figura 303.07 Longitud mínima de curvas verticales convexas con distancias de visibilidad de paso Altura de Ojo = 1.07 m = h1 Altura de Obstaculo = 0.30 m = h2
Linea de Visibilidad Da
h1
h2
) P ( + %
P ( - % ) LONGITUD MINIMA DE CURVA CONVEXA "L"
Para Da < L
Para Da > L
L = Longitud de la curva vertical (m) D = Distancia de Visibilidad de Paso (m)
L = 2Da - 946 A
V = Velocidad de Diseño (Km/h) A = Diferencia Algebraica de Pendientes (%)
L = ADa² 946
12 ) 11 % ( S E T10 N E I D9 N E P E 8 D A C I 7 A R B 6 E G L A 5 A I C N 4 E R E F I 3 D = A 2
5 7 1 = a D
0 4 = d V
0 0 2 a = D
5 0 3 = a D 0 4 3 = D a
0 5 = d V
0 6 d = V
1 0 = 8 D a
8 5 0 D a =
0 = 7 d V
0 = 8 V d
9 0 V d = d = 1 0 0 V
1 0 V d = 1
8 5 0 D a = 7 0 0 D a =
1
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
LONGITUD MINIMA DE CURVA VERTICAL PARABOLICA, L (m)
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199
Los valores del Índice K al que se refiere el Art. 303.04.01 para la determinación de la longitud de las curvas verticales convexas para carreteras de Tercera Clase, serán los indicados en la Tabla 303.02. Tabla 303.02 Valores del índice K para el cálculo de la longitud de curva vertical convexa en carreteras de Tercera Clase
Longitud controlada por visibilidad de parada
Longitud controlada por visibilidad de paso
Velocidad de diseño km/h
Distancia de visibilidad de parada
Índice de curvatura K
Distancia de visibilidad de paso
Índice de curvatur aK
20
20
0,6
30
35
1,9
200
46
40
50
3,8
270
84
50
65
6,4
345
138
60
85
11
410
195
70
105
17
485
272
80
130
26
540
338
90
160
39
615
438
303.04.04
Longitud de las curvas cóncavas
La longitud de las curvas verticales cóncavas, se determina con las siguientes fórmulas: Cuando : D < L
Cuando : D > L
Donde: D
: Distancia entre el vehículo y el punto donde con un ángulo de 1º, los rayos de luz de los faros, interseca a la rasante.
Del lado de la seguridad se toma D = Dp, cuyos resultados se aprecian en la Figura 303.08.
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200
Figura 303.08 Longitudes mínimas de curvas verticales cóncavas Rayo de la Luz Delantera
- % ( P e n d )
) e n d P ( + %
D
1 ° 0 '
0 .8 0 m
LONGITUD MINIMA DE CURVA CONCAVA "L"
L = Longitud de la curva vertical (m) D = Distancia desde los Faros a la rasante (m) V = Velocidad de Diseño (Km/h) A = Diferencia Algebraica de Pendientes (%) D = Dp Dp > L
Dp < L
120+3,50 Dp) A
L= 2Dp-(
L=
A Dp² 120+3.5 Dp
16 ) % ( 14 S E T N12 E I D N E P10 E D A C I 8 A R B E G L 6 A A I C N 4 E R E F I D = 2 A
0
4 = k /h m k 0 3 = V
0
) O ) D O A 8 L 2 D = E U 1 A k 8 = E C A J 1 2 k N L D = /h 3 E A k N = /h m C D R O h k h ( k / L m D / 8 A k 0 E k m 0 k m N . 4 0 R 0 O 4 ( = I 0 5 0 4 2 5 = 8 6 V = = N C k = 2 = k E V h V / E k = V h A T / A J h k m R / m N E 0 k Y O R k m A 0 D = 9 L 7 M V 0 = 7 1 2 A V = 6 = 5 = k V k 7 3 h k = / h m / h k k m / 0 1 0 k m 1 0 = 1 1 2 0 = V V V =
100
200
300
400
500
600
700
L=LONGITUD MINIMA DE CURVA VERTICAL CONCAVA (m)
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201
Adicionalmente, considerando que los efectos gravitacionales y de fuerzas centrífugas afectan en mayor proporción a las curvas cóncavas, se aplicará la siguiente fórmula:
Donde: V
: Velocidad de proyecto (km/h)
L
: Longitud de la curva vertical (m)
A
: Diferencia algebraica de pendientes (%)
Los valores del Índice K al que se refiere el Artículo 303.04.01 para la determinación de la longitud de las curvas verticales cóncavas para carreteras de Tercera Clase, serán los indicados en la Tabla 303.03. Tabla 303.03 Valores del índice K para el cálculo de la longitud de curva vertical cóncava en carreteras de Tercera Clase
Velocidad de diseño (km/h)
Distancia de visibilidad de parada (m).
Índice de curvatura K
20
20
3
30
35
6
40
50
9
50
65
13
60
85
18
70
105
23
80
130
30
90
160
38
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202
