FERROCARRILES
Unidad 2 - dinámica de trenes
UCA. Facultad de Ciencias Fisicomatemáticas e Ingeniería
FERROCARRILES Unidad 2 Dinámica de Trenes 2a - Resiste Resistencia nciass al al avance avance del tren tren
20 / 8 / 2015
FERROCARRILES La locomotora de.e poder entre'ar los es%uer&os ue en cada momento demanda el movimiento deseado del tren" ( de.e *acerlo sin ue en nin'/n momento sus ruedas patinen o deslicen lo mismo ue en la conducci!n correcta de un autom!vil de.e evitarse ue las ruedas deslicen so.re la super%icie vial$+ Además de superar la resistencia ue opone la %ormaci!n remolcada" la locomotora de.e vencer las resistencias del mismo ori'en %,sico a su propio movimiento) (a ue los e%ectos ue act/an so.re los coc*es o va'ones remolcados se mani%iestan en la locomotora" aunue con di%erencias cuantitativas de.idas a la di%erencia entre los ve*,culos+
Unidad 2 - dinámica de trenes RESISTENCIAS AL MOVIMIENTO Resistencias a m!"imient! de !s trenes Como sucede con todo ve*,culo" para ue un tren t ren avance de.en vencerse resistencias de diversa causa# se las clasi%ica como resistencias# i$ ordinaria) ii$ de.ida de.ida a las pendientes) pendientes) iii$ de.ida a las curvas+ Una ve& comprendidos los mecanismos ue crean estas resistencias" se considerará la resistencia adicional ue plantea la inercia de las masas en movimiento+ •
-----------------•
•
Resistencia ordinaria" Ro# es la la ue ocurre en la v,a v,a *ori&ontal ( recta+ Su causa son distintos tipos de %rotamiento ( disipaci!n de ener',a ue a%ectan al ve*,culo ( a la v,a+ Resistencia de.ida a pendientes" pendientes" Rp# cuando el tren de.e su.ir una pendiente" *a( ue vencer la %uer&a de la 'ravedad+ Cuando la v,a sube *a.lamos de rampa, ( la 'ravedad se suma a la resistencia ordinaria+ Si la v,a va descendiendo" *a.lamos de una pendiente. La %uer&a de la 'ravedad en este caso a(uda al movimiento" ( se resta de la resistencia ordinaria+ Resistencia de.ida a las curvas" Rc# al recorrer una curva Inevita.lemente se producen es%uer&os de %ricci!n o %rotamiento adicionales entre ruedas ( rieles" ue se suman a la resistencia ordinaria+
La resistencia total es por lo tanto# R 9 Ro: Rp : Rc 6ara sostener el movimiento a velocidad constante" la %uer&a tractiva F de.erá i'ualar la resistencia total+ En el caso más 'eneral# F 9 R 9 Ro: Rp : Rc
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Tracci!n %erroviaria Resistencias al movimiento de los trenes Dinam!metro Jovimiento Elemento tractor# Animal de tiro Locomotora Tractor so.re 'omas
F
Ha'!n o coc*e peso T$
La %uer&a a aplicar para mantener el movimiento uni%orme de.e ser i'ual a la resistencia total al avance+ 5
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Resistencias al movimiento de los trenes •
Resistencia ordinaria" en v,a *ori&ontal ( recta" ( a velocidad constante+ K Se presenta siempre" por el %rotamiento con los rieles ( con el aire" por los %rotamientos internos en el ve*,culo o entre ve*,culos" ( los e%ectos disipativos en la v,a ( el terreno+
Resistencias adicionales# aparecen se'/n sea el tra&ado ( el movimiento del tren# K En las rampas ( pendientes# para vencer la %uer&a de la 'ravedad o utili&arla$+ K En las curvas *ori&ontales# para vencer las resistencias por el %rotamiento con los rieles+ 6
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Resistencias al movimiento de los trenes R 9 Ro : Rp : Rc R en ;'% ;ilo'ramos %uer&a$ Ro Rp Rc
< ;'% 9 "B
Resistencia ordinaria+ Resistencia de la rampa o pendiente+ Resistencia de la curva+
Se introducen los coe%icientes de 4resistencia unitaria5" por unidad de peso+ Siendo T el peso del ve*,culo en toneladas <+=== ;'% 9 < ton$# R 9 r o T : r p T : r c T 9 r o : r p : r c$ T r o" r p ( r c se e3presan en ;ilo'ramos por tonelada 3333 333 ;'%ton$+ 7
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Resistencia ordinaria
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FERROCARRILES Resistencia !rdinaria Es la ue su%re el ve*,culo o tren ue se mueve en una v,a recta" *ori&ontal ( a velocidad constante+ Sus %uentes son varias# •
•
•
Fuer&as e3ternas aplicadas al ve*,culo# o Fricci!n rueda-riel+ o Fricci!n de los dispositivos de captaci!n de la corriente elctrica con la l,nea de contacto+ o Fricci!n del aire en los costados del tren+ o Resistencia del aire en el %rente del tren" en el espacio entre ve*,culos ( depresi!n en la cola del tren+ Ener',a disipadas en el propio ve*,culo o en su interior# o Fricci!n de los co1inetes del rodado del ve*,culo+ o Ener',a disipada en la suspensi!n+ Fricci!n en los en'anc*es ( aparatos de c*oue+ o o Jovimientos internos de la car'a" %ricci!n interna ( con la ca1a del ve*,culo+ Ener',a ue se disipa en el e3terior del ve*,culo# o Ener',a a.sor.ida por la %ricci!n del .alasto o entre los durmientes ( el .alasto+ o Ener',a disipada en el terreno+
6ara vencer la resistencia ordinaria la %uer&a tractiva de.e e%ectuar un tra.a1o ue se convierte ,nte'ramente en calor disipado en las super%icies ue %riccionan" en el aire o en la v,a ( el terreno+
Unidad 2 - dinámica de trenes *ori&ontal+ Esta resistencia es mu( .a1a ( este *ec*o %,sico es la ra&!n /ltima de la su.sistencia del %errocarril como modo de transporte" (a ue es varias veces menor a su similar en los caminos de cualuier otro tipo+ De a*, el *ec*o ue el %errocarril es" en principio" un modo e%iciente en el uso de la ener',a+ 6ero las ruedas no son cil,ndricas) son tronco-c!nicas ( esto introduce un %rotamiento adicional+ A/n en condiciones ideales cuando la rueda 'ira M=N s!lo uno de sus planos diametrales 'ira sin desli&ar+ La parte interna de la rueda" de ma(o diámetro" avan&ar,a más pero no puede *acerlo ( %ricciona al riel+ La parte e3terna" de diámetro menor" avan&ar,a menos" po lo tanto es arrastrada ( tam.in %ricciona+
co1inete
ρ
Si el radio mostrado corresponde a la rodadura sin desli&amiento so.re el riel" el resto de la llanta desli&a 4*acia adelante5 o 4*acia atrás5+ En una vuelta de la rueda se disipa una ener',a 2+ F2 9 2 / 2 π
ρ 15
Fuer&as e3ternas al ve*,culo Resistencia a la rodadura Resistencia producida por la rodadura propiamente dic*a+ Aparece en la super%icie de contacto rueda-riel+ Estar,a presente a/n si la rueda %uera del todo lisa ( el riel i'ualmente per%ecto) ( si la rueda %uera cil,ndrica ( el riel estuviera per%ectamente
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Si .ien la %ricci!n de los rieles con las pesta7as de las ruedas no de.er,a idealmente ocurrir en una v,a recta" en la práctica el contacto ocurre porue las inevita.les irre'ularidades de la v,a impulsan los e1es *acia uno u otro lado" ( el rodado c!nico los *ace serpentear+ En este movimiento llamado 4movimiento de la&o5 un 'rado de %ricci!n no permanente puede aparecer entre la cara interna de la ca.e&a de los rieles ( las pesta7as+
contacto
.o'uis
Ca1a del va'!n
Fricci!n de los dispositivos de captaci!n de ener',a elctrica En los trenes de tracci!n elctrica la ener',a ue lle'a a los motores del tren es captada por un dispositivo ue *ace contacto con la l,nea ue conduce el polo 4vivo5 de la ener',a+ •
•
Si la l,nea es area" se llama *ilo de contacto o catenaria" ( el dispositivo captador es el pant!'ra%o+ E1emplo# trenes del %errocarril Roca ( las l,neas del Su.te" e3cepto la 0+ Tam.in del tranv,a inactivo estacionado %rente a la UCA+ La l,nea de contacto puede ser un per%il de acero paralelo a los rieles" con el cual ro&a un dispositivo llamado patin. E1emplo" trenes de los %errocarriles Jitre" Sarmiento" Urui&a ( de la l,nea 0 del Su.te+
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Resistencia ordinaria •
Resistencia ordinaria" en el movimiento *ori&ontal" rectil,neo ( uni%orme# Ro K Frotamiento en los co1inetes+ K Ro&amiento en la super%icie rueda-riel+ K Ro&amiento ocasional de las pesta7as contra la cara interna del riel+ K Frotamiento del pant!'ra%o o del pat,n ue captan la corriente elctrica trenes elctricos$+ K Resistencia aerodinámica %rontal ( 4de cola5+ K Fricci!n con el aire lateral e in%erior+ K De%ormaci!n plástica de la v,a+ K Jovimientos anormales# sacudidas ( oscilaciones de la car'a se transmiten a la suspensi!n ( a los acoplamientos" disipándose la ener',a como calor+ 11
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Resistencia ordinaria
Fuer&as aplicadas so.re el ve*,culo# K K K K
Fricci!n rueda-riel+ Fricci!n de los patines ( pant!'ra%os+ Fricci!n del aire en los costados del tren+ Resistencia del aire en el %rente ( cola del tren" ( en el espacio entre ve*,culos+
Ener',a disipada en el ve*,culo# K K K K
Fricci!n de los co1inetes del rodado del ve*,culo+ Ener',a disipada en la suspensi!n+ Fricci!n en los en'anc*es ( aparatos de c*oue+ En la car'a" %ricci!n interna ( con la ca1a del ve*,culo+
Ener',a disipada %uera del ve*,culo# K Ener',a a.sor.ida por la %ricci!n del .alasto o entre los durmientes ( el .alasto+ K Ener',a disipada en el terreno+
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Fricci!n llanta-riel co1inete
ρ
Si el radio mostrado corresponde a la rodadura
sin desli&amiento so.re el riel" el resto de la llanta desli&a 4*acia adelante5 o 4*acia atrás5+ En una vuelta de la rueda se disipa una ener',a 2+ F2 9 2 / 2 π ρ
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Fricci!n pesta7a-riel
Pi'&a'ueo de los e1es por e%ecto de las llantas c!nicas
FUETE K Ferrocarriles Jetropolitanos K Jelis Ja(nar ( Qon&ále& Fernánde& K Jadrid 2==2
contacto
.o'uis
Ca1a del va'!n
Hista en planta - El serpenteo de los e1es *ace oscilar los .o'ies alternando las ruedas ue *acen contacto con los rieles+
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Fricci!n con las l,neas de alimentaci!n elctrica Del pant!'ra%o con la l,nea area superior
Del pat,n con el tercer riel FUENTE: Sheilah Frey – Railway Electrification
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Fricci!n del aire ( e%ectos aerodinámicos La %ricci!n del aire ocurre a lo lar'o de todo el tren" en el costado" tec*os ( parte in%erior+ En el %rente ( la cola del tren aparecen e%ectos de aerodinámica+ Tam.in en el espacio entre va'ones+ En trenes mu( veloces es mu( importante+ 6ara atenuarlo se usa el dise7o aerodinámico ( el carenado+ K Los %rentes ( cola se dise7an 4con %orma de avi!n5+ K Los costados de.en ser lisos" se tapan las discontinuidades entre ve*,culos ( la parte in%erior cercana al rodado+ 18
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La locomotora de vapor tradicional ten,a muc*os puntos creadores de tur.ulencias+
Locomotora aerodinámica Mallard – record mundial con tracci!n vapor# <2 mp* 9 2=2 ;m* en <MB
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6rimer tren de alta velocidad S@IGASE ap!n <> Helocidad má3ima 22= ;m*
0OEIQ == ;m*
AIR0US == ;m*
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Unidad 2 - dinámica de trenes REFE M== ;m*
REFE M== ;m*
A6 M== ;m*
Trenes de alta velocidad actuales K M== M?= ;m*
COCORDE 2+=== ;m*
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FERROCARRILES Par montado
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Frotamiento en co1inetes 6esta7a Llanta
6eso suspendido
eje
Ju7!n Rodamiento o co1inete de %ricci!n 24
Tr!cha
Se mide a <= mm de.a1o de la super%icie de rodadura
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Frotamiento en co1inetes
eje
Una vuelta de la rueda disipa por %rotamiento una ener',a en el co1inete+ 25
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Esuemas de co1inetes Fricci!n
Rodamiento
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Frotamiento en co1inetes En una una vue vueltlta a del del e1e e1e se se dis disip ipa a por por %ric %ricci ci!n !n en los co1inetes una cantidad de ener',a < depende del tipo de co1inete$+ Si la la ru rueda titiene ra radio en una vuelta avan&a L 9 2 π ρ + 6ara 6ara sost sosten ener er el mov movim imie ient nto o de. de.e e e3i e3ist stir ir una %uer&a F tal ue # F 2 π ρ 9 < F< 9 < 2 π ρ
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Fricc Fricci! i!n n en en el el cont contac acto to ca1a ca1a - .o'u .o'uii
Ca1a del va'!n
6lacas centro de .o'ui
El aporte a la resistencia responde a la misma le( del caso de los co1inetes# F2 9 2 2
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Resistencia ordinaria i$ r o es mu( .a1a+ Unos pocos ;ilo'ramos-%uer&a 2 ! M$ consi'uen sostener el movimiento de una tonelada .ruta tara : car'a /til$+ Se e3presa por unidad de peso del tren# r o ;'%ton$ 9 Ro ;ilo'ramos$ T toneladas$ < ton 9 <+=== ;ilo'ramos %uer&a <+=== da+ En el tiempo r o *a disminuido por varios motivos# K Introducci!n de los co1inetes a rodillos" en lu'ar de los de %ricci!n+ K Carenado de locomotoras ( ve*,culos" reduciendo em.olsamiento de aire+ K Aerodinámica de los trenes mu( veloces+ 31
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Resistencia ordinaria
ii$
En la práctica se usan %!rmulas emp,ricas" derivadas de ensa(os con material rodante real+ Al'unos e1emplos# F!rmulas europeas con H en ;m* ( r o en ;'%ton # F!rmula de Clar; velocidades .a1as$ r o 9 2"> : H2 <+=== F!rmula de Er%urt velocidades medias$ r o 9 2"> : H2 <+M== 32
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iii$
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Resistencia ordinaria
'órm(as de Da"is tradici!naes )ensay!s de hace medi! si*! en Estad!s #nid!s+ Locomotoras diesel r oL 9 ="? : ?2? ALH 26L Ha'ones < ve*,culo$ r o" 9 ="? : M AH H 2n Wv Coc*es < ve*,culo$ r oc* 9 ="? : < Ac* H 2n Wc* rodadura co1inetes aerodinámica r oL- r ov -" r oc* 9 Resistencia al movimiento uni%orme en ;'%ton 6L 9 6eso de la locomotora toneladas peso - ton$ WL 9 6eso promedio por e1e locomotora ton$ WH - Wc* 9 6eso promedio por e1e va'!n o coc*e ton$ nH - nc* 9 cantidad de e1es va'!n o del coc*e AL- Av- Ac* 9 super%icie %rontal locomotora" va'!n o coc*e m2$ H 9 Helocidad en ;m*
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Otras %!rmulas usuales Se utili&a una versi!n de la %!rmula de Davis aplica.le a las %ormaciones de coc*es automotores elctricos+
Coc*e ca.e&a de %ormaci!n r o 9 ="? : ? A H 2 n + W Coc*es restantes de la %ormaci!n r o 9 ="? :
9 Resistencia al movimiento uni%orme en ;'%ton 9 6eso promedio por e1e en ton 9 cantidad de e1es de cada coc*e casi siempre >$ 9 super%icie %rontal coc*e m2$ 9 Helocidad en ;m*
En este par de %!rmulas se calcula una resistencia para el coc*e ca.e&a de tren ( otra para el resto de la %ormaci!n+ La /nica di%erencia está en el trmino cuadrático en H+ La relaci!n entre los trminos cuadráticos es apro3imadamente la ue se vio en las %!rmulas anteriores ue ocurr,a entre las locomotoras ( los coc*es+ En estas %!rmulas el trmino aerodinámico del primer coc*e es casi i'ual al de las locomotoras+ En nuestro pa,s se *a utili&ado la si'uiente %!rmula para el caso de los trenes elctricos de la L,nea Roca+ 2
ro 9 <"= : ="=M? H : X="=2B : ="==VB -<$Y H ro H
9 Resistencia al movimiento uni%orme en ;'%ton 9 6eso total de la %ormaci!n de coc*es en ton 9 Helocidad en ;m*
En este caso la %!rmula en el trmino cuadrático en H aparecen los coe%icientes ="=2B aplica.le a un /nico coc*e Kel coc*e ca.e&a de trenK ( ="=VB aplica.le a los - < coc*es ue lo si'uen+ Cada coc*e sucesivo aporta a la resistencia aerodinámica al'o más de la cuarta parte ue lo ue corresponde al coc*e ca.e&a de tren+ @a( muc*as más %!rmulas" más o menos sencillas" siendo las más conocidas de ori'en europeo o norteamericano+ 6ara material rodante nuevo provisto por un %a.ricante internacional de presti'io la %!rmula de.e ser in%ormada por ste" ue dispone de los recursos para *a.er e%ectuado los ensa(os de campo ue determinan los coe%iciente ue me1or a1ustan las %!rmulas a la realidad+ 0uscando en Internet 46ue.lo5 4Colorado5 4USA5 se encontrará in%ormaci!n so.re el centro de ensa(os ue la AAR KAsociaci!n de Ferrocarriles AmericanosK administra en ese lu'ar de los Estados Unidos+ *ttp#WWW+aar+com *ttp#WWW+railWa(-researc*+or'Transportation-Tec*nolo'(Center
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iv$
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Resistencia ordinaria
'órm(as de Da"is $ara trenes e,ctric!s Coc*e ca.e&a de %ormaci!n r o 9 ="? : ? A H 2 n + W Coc*es restantes de la %ormaci!n r o 9 ="? :
9 Resistencia al movimiento uni%orme en ;'%ton 9 6eso promedio por e1e en ton 9 cantidad de e1es de cada coc*e casi siempre >$ 9 super%icie %rontal coc*e m2$ 9 Helocidad en ;m*
El trmino cuadrático es para el coc*e de ca.e&a siete veces ma(or ue para coc*e ue lo si'ue" porue el primer coc*e soporta la resistencia aerodinámica so.re toda su secci!n %rontal+ En los coc*es sucesivos esa presi!n se e1erce s!lo en parte+ Z menos si los coc*es están intercomunicados+
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v$
Unidad 2 - dinámica de trenes
Resistencia ordinaria
'órm(as $ara trenes e,ctric!s L-nea R!ca
r o 9 <"= : ="=M? H : X="=2B : ="==VB -<$Y H2 r o H
9 Resistencia al movimiento uni%orme en ;'%ton 9 6eso total de la %ormaci!n de coc*es en ton 9 Helocidad en ;m*
En el trmino cuadrático en H# ="=2B representa la resistencia aerodinámica %rontal del coc*e ca.e&a de tren+ ="==VB representa la menor resistencia %rontal de los coc*es sucesivos+ Am.os trminos inclu(en la resistencia aerodinámica lateral de los ve*,culos+ 36
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Resistencia de las rampas ( pendientes
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Inclinaci!n de la rasante %erroviaria Su.iendo# se denomina rampa. 0a1ando# se denomina pendiente. *
i9*L
L
Ra&ones tecnol!'icas limitan el valor de i Se e3presa en 4mil,metro metro5 o en 4por mil5
En llanura var,a entre = ( ="==?
? ^!
En ondulado" var,a entre ="==? ( ="=
^!
En monta7a" var,a entre ="= ( ="=2? ( e3cepcionalmente *asta >= ^! - = ^!
2? ^!
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Inclinaci!n de la rasante %erroviaria *
i9*L
α
L
Con i 9 ="=2? 9 2? ^o
arct' [ 9 ="=2?
O sea ue [ 9 \ t' [ 9 ="=2? 6or ser mu( suaves las pendientes %erroviarias resulta siempre ue # sen [ \ t' [
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Resistencia de las rampas i$ Fuer&a ue se opone al movimiento
Rp α α
T Resistencia de la rampa#
r p \
Rp 9 T sen α \ T t' α
T t' α T 9 t' α 9 valor de la pendiente
Si i 9 > ]
t' a 9 ="==>
(
r p 9 ="==>
r p 9 ="==> ;'% ;'% 9 > ;'% <+=== ;'% 9 > ;'% ton La %!rmula práctica es#
Rp ;'%$ 9 T ton$ 3 i ] $
Esta resistencia puede ser positiva rampas$ o ne'ativa en las pendientes" siendo en tal caso una %uer&a motri&$+
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Resistencia de las rampas ii$ Es caracter,stica esencial del %errocarril la .a1a resistencia al movimiento+ La %!rmula de Davis calcula la resistencia ordinaria r o en el orden de 2 a > ;'%ton+ Una rampa de tan s!lo el >^o crea una resistencia adicional de > ;'%ton+ Es como si el tren *u.iera duplicado su 4peso5" o más+ Las pendientes %erroviarias de.en ser mu( .a1as" idealmente unas pocas unidades de 4por mil5+ K De lo contrario" la venta1a esencial del %errocarril se pierde+ K Discusi!n# `posi.ilidades de los %errocarriles transandinos 42
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Resistencia de las curvas
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0ase r,'ida i$
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Resistencia en curvas *ori&ontales i$ Troc*a t
so.reanc*o
Radio de la curva R
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Inscripci!n en una curva
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Resistencia en curvas *ori&ontales ii$ Se de.e al ma(or ro&amiento de las ruedas so.re los rieles al acomodarse el rodado a la curvatura de la v,a# K La pesta7a de la rueda anterior-e3terna de la .ase r,'ida %rota contra la cara interna del riel e3terno+ K La .ase r,'ida 'ira ( las ruedas %rotan so.re las caras de los rieles so.re los cuales apo(an+ El par montado se despla&a *acia el riel e3terno+ K La rueda e3terna rueda so.re un radio ma(or ue la interna+ K Si una de las ruedas no res.ala" la otra lo *ace+ F!rmula emp,rica de Desdouit# r c 9 ?== t R" siendo r c 9 resistencia a la curvatura *ori&ontal en ;'%ton t 9 troc*a m$ R 9 radio de la curva m$
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Resistencia en curvas *ori&ontales iii$ E1emplo Troc*a 4anc*a5 9 <"V m Radio de la curva# R = B== m Resistencia# rc 9 ?== 3 <"V B== 9 <"=>V ;'% ton La curva euivale a una rampa del < ^o Sea un tra&ado con una rampa del >^o ( una curva
como la anterior+ Si la r o 9 2"? ;'%ton e1emplo anterior$ La rampa a're'a > ;'%ton+ La curva a're'a otros < ;'%ton La resistencia total es# 2"? : > : < 9 V"? ;'%ton
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Rampa compensada E1emplo# tra&ado en recta con una pendiente del ^o+ K r o 9 ;'%ton+ K Con esta pendiente constante un tren de diseño de cierto peso puede circular manteniendo constante cierta velocidad" tam.in de diseño+ K En la curva de B== m de radio la resistencia aumentará en < ;'%ton+ K El tren no podr,a pasar manteniendo su velocidad+ K En la &ona de la curva se disminu(e la pendiente para ue la resistencia total de rampa : curva se manten'a constante+ K En este caso se reduce la rampa a ? ^o+ K De ese modo la resistencia de rampa : curva es i'ual a#
r o : r c 9 ? ;'%ton : < ;'%ton 9 ;'%ton
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FERROCARRILES Otr!s .act!res /(e c!ntri0(yen a a resistencia En los tra&ados %erroviarios no se pasa directamente de un alineamiento recto a uno en curva+ En una unidad posterior se verá el planteo de las curvas de transici!n+ Del mismo modo en un cam.io de pendiente la transici!n no es a.rupta) se empalman am.as pendientes con una curva vertical" c!ncava *acia arri.a$ o conve3a+ Curvas de transici!n *ori&ontales En situaci!n ideal en una v,a per%ectamente recta am.os .o'uis de un va'!n están per%ectamente alineados con el e1e de la v,a+ Cuando el va'!n *a recorrido la curva de transici!n ( se encuentra (a en la curva de radio constante" sus dos .o'uis *a.rán 'irado respecto de la ca1a `c!mo calcular,amos ese án'ulo$+ Esa rotaci!n produce %ricci!n so.re la placa de asiento del .o'ui+ O sea disipaci!n de calor ( un %actor adicional de resistencia+
Unidad 2 - dinámica de trenes no cam.ia" ( desaparece la %ricci!n+ 8sta s!lo reaparece al recorrer la transici!n al salir de la curva+ Curvas verticales Si un tren recorre un tramo recto ( *ori&ontal ( la locomotora entra en una pendiente .a1ando$ los va'ones ue la si'uen en ausencia de %renado se acelerarán por un .reve lapso *asta ue los aparatos de c*oue se compriman totalmente+ Cuando ese mismo tren sale de la pendiente e in'resa en una rampa" mientras recorre la curva de enlace los va'ones ue si'uen inmediatamente a la locomotora tenderán a retrasarse" ( sus en'anc*es se estirarán" a%lo1ando la compresi!n de los aparatos de c*oue+ En los dos casos a lo lar'o del cam.io de pendiente se produce a.sorci!n de ener',a por %ricci!n en el aparato de tracci!n ( c*oue" ue la tracci!n de.erá compensar+
A i*(a /(e en e cas! de as c(r"as h!ri1!ntaes2 a .ricción y $!r ! tant! a resistencia se mani.iesta en a c(r"a "ertica3 Est!s e.ect!s n! !s c!ntem$an as .órm(as $rácticas Esta resistencia aparece s!lo durante la transici!n+ Una ve& en la curva la posici!n relativa de am.os .o'uis respecto de la ca1a
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Unidad 2 - dinámica de trenes
Fricci!n en la transici!n de recta a curva *ori&ontal
0o'uis alineados con e1e de ca1a 0o'uis rotados respecto del e1e de la ca1a Hista en planta K al pasar de recta a curva los .o'uis 'iran respecto de la ca1a del va'!n o coc*e$ produciendo %ricci!n en la placa centro de .o'ui" donde asienta la ca1a so.re el .o'ui+
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Unidad 2 - dinámica de trenes
Fricci!n en la transici!n entre pendiente ( rampa
pendiente
rampa
Hista en corte lon'itudinal K en la pendiente los acoples están comprimidos) en la rampa están estirados+ En la curva de enlace se pasa de uno a otro estado" produciendo %ricci!n+
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Unidad 2 - dinámica de trenes
En cuanto a las rampas" vemos ue ellas a%ectan muc*o más ne'ativamente al %errocarril ue a la carretera+ Si como se di1o antes la resistencia ordinaria es M ;'%ton ( <2 ;'%ton para el %errocarril ( la carretera respectivamente" veamos el e%ecto de tener ue su.ir por una rampa del M]+ Esta rampa crea una resistencia adicional de M ;'%ton" pero esto es i'ual para la carretera ( para el %errocarril+ En el e1emplo dado las resistencias pasan a ser# M : M 9 ] para el %errocarril ( <2 : M 9 ] para la carretera Una rampa del M] ="M^$ para el ve*,culo por carretera es insi'ni%icante) mientras ue es mu( importante para el %errocarril+ El consumo ener'tico en el %errocarril se duplica : <==^$ mientras ue en la carretera crece solamente un 2?^+ De a*, ue la venta1a ener'tica del %errocarril se relativi&a o se anula cuando se trata de cru&ar 'randes cadenas monta7osas como los Andes+ Z so.re todo si la car'a ue se transporta no es de alta densidad+ E4ercici! )m(y+ teóric! de tracción Ima'inemos ue un dispositivo le aplica una %uer&a tractiva F a una %ormaci!n en reposo" la pone en movimiento ( la acelera mantenindose F invaria.le esta es la suposici!n arti%icial$+ La resistencia var,a con la velocidad con al'una de las %!rmulas mostradas" o sea R 9 % H$+ El pro.lema es calcular como var,an la lon'itud recorrida" la velocidad ( la aceleraci!n en %unci!n del tiempo+ Z tam.in" como var,a la velocidad en %unci!n de la distancia recorrida+ 6edimos calcular las %unciones# 3 9 % < t$
)
H 9 % 2 t$
)
a 9 % M t$
)
H 9 % > t$
Siendo F constante ( R 9 % H$ 9 2"> : H <+===$ 3 T por la le( de eWton#
F - R 9 J+ a
o sea#
2
F - 2"> : H <+===$ 3 T 9 T '$ 3 dHdt F R ;'r$
F
R H$
La aceleraci!n disminu(e con la velocidad ( se anula cuando F 9 R+ `En cuánto tiempo se alcan&a la velocidad má3ima
H ;m*$
Resolviendo la ecuaci!n di%erencial tendremos H 9 % 2 t$ podremos deducir las demás %unciones+ Este caso es sencillo" pero la realidad es ue la %uer&a tractiva no es constante en los casos prácticos ( la soluci!n matemática puede ser complicada+ @ace dcadas se resolv,a este tipo de pro.lemas con á.acos+ @o( la planilla E3cel nos permite una alta apro3imaci!n al resultado+ El alumno de.erá entonces desarrollar la soluci!n al pro.lema usando esa *erramienta+
FERROCARRILES
Unidad 2 - dinámica de trenes
Comparaci!n %errocarril-cami!n El %errocarril tiene una resistencia ordinaria al avance muc*o menor ue el automotor so.re la carretera pavimentada+ El aumento de resistencia de.ido a una rampa es i'ual para el %errocarril ue para el cami!n+ Una rampa ue para el cami!n es moderada ( ue al autom!vil no lo a%ecta" para el %errocarril es mu( da7ina+ El cruce de una cadena monta7osa es muc*o más di%icultoso para el %errocarril ue para el automotor+
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FERROCARRILES
Unidad 2 - dinámica de trenes
Resistencia al movimiento Una pendiente de llanura del ="M ^ 9 M ^o duplica la resistencia en el %errocarril ( se nota mu( poco en el cami!n+ Ferrocarril Cami!n
M <2
0
;'% ton ;'% ton
: <==^ : 2?^
Una pendiente de monta7a del M ^ 9 M= ^o tiene el si'uiente e%ecto# Ferrocarril Cami!n
M <2
MM ;'% ton >2 ;'% ton
: <===^ : 2?=^
FERROCARRILES
Unidad 2 - dinámica de trenes
A %uer&a de tracci!n constante la aceleraci!n disminu(e F R ;'%$
F
R H$
H ;m*$
FERROCARRILES
Unidad 2 - dinámica de trenes
Lon'itud virtual
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FERROCARRILES
Unidad 2 - dinámica de trenes
L!n*it(d "irt(a En nuestro pa,s *ace más de V? a7os ue no se constru(en nuevas l,nea %rreas+ @ace poco *u.o el pro(ecto de la compa7,a HALE de e3traer mineral de potasio de un (acimiento en el sur de Jendo&a" a ser e3portado por el puerto de 0a*,a 0lanca+ Como el transporte sumar,a varios millones de toneladas anuales" de un /nico ori'en a un /nico destino" se pro(ect! construir una l,nea %rrea entre el (acimiento R,o Colorado ( la estaci!n C*ic*inales" so.re la l,nea 0a*,a 0lanca-euun+ Se trata.a de construir unos M?= ;m de v,a %rrea para unir dos puntos separados por una distancia 'eodsica de M== ;m recorriendo un terreno accidentado+ `c!mo se determina el tra&ado !ptimo Ima'inemos ue se trata de unir dos puntos de un territorio accidentado ( se plantean dos tra&ados# –
–
–
Corto" <== ;m con pocas curvas ( rampas de *asta el 2?]+ Una locomotora puede arrastrar all, ?= toneladas+ O .ien# Lar'o" <22 ;m de tra&ado sinuoso con rampas de *asta el ]3 La misma locomotora puede arrastrar <+M== ton+ Construir el tra&ado corto cuesta <+=== millones US" ( el tra&ado lar'o <+?== millones US+ `Cuál conviene
altimetr,a B h1
L1
A
altimetr,a
B h2
L2 A
planimetría B A 1
`Cuál es el tra&ado más conveniente Como un elemento de 1uicio para dar una respuesta" se introduce el concepto de lon'itud virtual ue responde al criterio de encontrar el tra&ado ue *a'a m,nimo el consumo ener'tico+ Dado un tra&ado %erroviario real de cierta lon'itud ue comprende tramos en recta" en curva ( en rampa o pendiente se de%ine como lon'itud virtual la de un tramo ideal en recta *ori&ontal ue da lu'ar al mismo consumo de ener',a+ En un tramo de v,a donde las resistencia unitarias r o " r p " r c son constates" la ener',a 'astada en tracci!n es# 9 R 3 L 9 T r o : r p : r c$ L La misma ener',a se 'astar,a" sin pendientes ni curvas" en la lon'itud virtual LH
FERROCARRILES &endientes n!ci"as e in!c(as Una pendiente ue e3presada en 4por mil5 supera la resistencia r o : r c no permite aprovec*ar en la .a1ada la ener',a potencial acumulada en la su.ida se denomina 4pendiente nociva5+ El trmino 4nocivo5 es sin!nimo de da7oso o per1udicial+ 6or lo contrario" una pendiente ue e3presada en por mil no supera r o : r c permite ue en la .a1ada se recupere la ener',a potencia" ( se denomina 4pendiente inocua5+ El trmino 4inocuo5 si'ni%ica 4ue no *ace da7o5 RAE$+ O0ser"ación s!0re a "e!cidad en !s các(!s Un tren ue recorre un tra&ado accidentado tiene variaciones de velocidad ue *acen variar la resistencia ordinaria+ Al calcular la lon'itud virtual el trmino r oi de.e ser la resistencia calculada
a la velocidad correspondiente+ Si la velocidad var,a en %orma continua" la sumatoria anterior de.er,a convertirse en una inte'ral+ Esto es una %ine&a te!rica sin importancia práctica+ Un análisis práctico puede *acerse con una planilla de cálculo+
Jás importante es el *ec*o de los trenes tienen lon'itud) los de car'a pueden medir entre ?== ( <+2== m en nuestro pa,s" ( .astante más en EEUU o donde *a( transporte minero+ En ese caso mientras la locomotora recorre un tremo recto en pendiente la cola del tren puede estar movindose en una rampa o en una curva+ `C!mo se calcular,a la resistencia en un caso as,
Unidad 2 - dinámica de trenes
FERROCARRILES
Unidad 2 - dinámica de trenes
Lon'itud Hirtual i$ 6ara unir dos puntos de un territorio accidentado planteamos dos tra&ados# K Corto" <== ;m con pocas curvas ( rampas de *asta el 2? ^53 Una locomotora puede arrastrar ?= toneladas+ O .ien# K Lar'o" <22 ;m de tra&ado sinuoso con rampas de *asta el ^53 La misma locomotora puede arrastrar <+M== ton+ K El tra&ado corto cuesta <+=== millones US" ( el lar'o <+?== millones US+ 62 `Cuál es el más econ!mico
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Lon'itud Hirtual ii$ altimetr,a 0 *<
L<
A altimetr,a A
0 *2
L2
L2 L< *2 9 *<
planimetr,a 0 A
M
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Unidad 2 - dinámica de trenes
Lon'itud Hirtual iii$ r o 9 > ;'%ton 2%0
L
<+=== m
-2%0
<+=== m
2+=== m
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Lon'itud Hirtual iv$ Lon'itud en recta ( *ori&ontal ue reuiere el mismo consumo ener'tico tra.a1o mecánico$ ue el tra&ado en estudio# 9 R 3 L 9 T r o : r p : r c$ L 9 Ro 3 Lv 9 T r o Lv Lv 9 L 3 r o : r p : r c$ r o Supon'amos# r o 9 > ;'% ton L 9 <+=== m con rampa del 2^! en v,a recta# Lv 9 <+=== m 3 > : 2 : =$ > 9 <+?== metros Con una pendiente del 2 por mil" r p 9 - 2 ;'% ton Lv 9 <+=== 3 > K 2 : =$ > 9 ?== metros En la .a1ada se recupera parte de la ener',a consumida+ La lon'itud virtual suma es i'ual ue si la v,a %uera *ori&ontal+ 65
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Unidad 2 - dinámica de trenes
Lon'itud Hirtual v$ r o 9 > ;'%ton 2%0
-2%0
L
<+=== m
<+=== m
2+=== m
Lv
<+?== m
?== m
2+=== m
Si la pendiente .a1ando$ es en valor a.soluto menor ue la resistencia ordinaria" *a( ue *acer %uer&a para ue el tren contin/e a velocidad constante+ La pendiente se denomina inocua+ La ener',a 'astada en la su.ida se recupera en la .a1ada+ 66
FERROCARRILES
Unidad 2 - dinámica de trenes
Lon'itud Hirtual vi$ Otro caso r o 9 > ;'%ton 6%0
L
<+=== m
-6%0
<+=== m
2+=== m
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Unidad 2 - dinámica de trenes
Lon'itud Hirtual vii$ Supon'amos a*ora una rampa del por mil Si L 9 <+===m" r o 9 > ;'%ton" p 9 ^! " r p 9 ;'%ton2 r c 9 = ;'%ton Lv 9 <+=== m > : : =$ > 9 2+?== metros Si es una pendiente del por mil" r p 9 - ;'% ton La %!rmula aplicada sin re%le3i!n nos dar,a Lv 9 <+=== m > K : =$ > 9 - ?== metros hhh Tam.in en este caso la lon'itud virtual suma es i'ual ue si am.os tramos %ueran *ori&ontales 2+=== m$+ Este /ltimo resultado s!lo tendr,a sentido si %uera posi.le recuperar la ener',a de la su.ida+
`Se puede recuperar
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Unidad 2 - dinámica de trenes
Lon'itud Hirtual viii$ En el descenso por la pendiente" r p 9 - ;'%ton La resistencia total es ne'ativa# r o : r p 9 > : 9 - 2 ;'%ton Esta resistencia ne'ativa dar,a lu'ar a una aceleraci!n ver resistencia de inercia$+ Fuer&a aceleradora# F ;'%$ 9 2 ;'%ton3 T t$ 9 2 ;'%ton3 m 3 ' a 9 F m 9 2 ;'%ton3 ' a 9 ="==2 3 ' \ ="==2 3 <= m s2 9 ="=2 m s2 En < minuto la velocidad crece = 3 ="=2 9 <"2 ms 9 >"2 ;m* En ? minutos la velocidad crece 2= ;m* De.e aplicarse el %reno para ue el tren no se 4em.ale5" supere la velocidad má3ima permitida ( descarrile+ 69
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Unidad 2 - dinámica de trenes
Lon'itud Hirtual i3$ De.e aplicarse el %reno para ue el tren no se 4em.ale5" supere la velocidad má3ima permitida ( descarrile+ La ener',a 4so.rante5 de la su.ida se disipa como calor en las &apatas de %reno+ En la .a1ada" entonces" no se consume ener',a+ El cálculo correcto de la lon'itud virtual es# En la su.ida# Lv 9 <+=== 3 > : : =$ > 9 2+?== metros En la .a1ada" so.ra ener',a" pero no se recupera+ Lv 9 = Total
Lv 9 2+?== : =$ 9 2+?== m 70
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Unidad 2 - dinámica de trenes
Lon'itud Hirtual 3i$ r o 9 >;'%ton 6%0
-6%0
L
<+=== m
<+=== m
2+=== m
Lv
2+?== m
=m
2+?== m
Si la pendiente .a1ando$ es en valor a.soluto ma(or ue la resistencia ordinaria" la ener',a 'anada en la su.ida no se recupera+ La pendiente se denomina nociva+
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FERROCARRILES
Unidad 2 - dinámica de trenes
Resistencia de inercia
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Unidad 2 - dinámica de trenes F 3 d 9 ="? 3 m + v2
r i 9 Ri 6 9 a ' La resistencia de inercia unitaria es adimensional por ser el cociente de dos aceleraciones+ 6uede e3presarse en eWton por eWton o en ;ilo'ramos %uer&a por ;ilo'ramos %uer&a ( el valor es el mismo+ 6ero" si al i'ual ue otras resistencias ueremos e3presarla en ;ilos %uer&a por tonelada tenemos ue multiplicar el valor anterior por mil+
r i 9 <+=== a ' Z siendo ' \ <= ms 2 la %!rmula práctica resulta# 2
r i ;'%ton$ 9 <+=== a <= 9 <== a ms $ Un tren elctrico del Su.te puede acelerar con a 9 ="B ms2 ( en ese caso la resistencia de inercia es#
r i 9 <== 3 ="B 9 B= ;'%ton
A*ora .ien" cuando se pone en movimiento el ve*,culo %erroviario su masa se translada pero los e1es ( ruedas *acen un movimiento de rotaci!n+ 6oner en rotaci!n esas masas implica tam.in entre'ar ener',a" ue no de.e ser omitida+ Considerando lo cual la %!rmula de conservaci!n de la ener',a se trans%orma en#
F
m
ρ
ρ
ω
ρ
F + d 9 ="? 3 J + H2 : ="? 3 + 2
Esa resistencia es euivalente a una rampa del B= ]" ma(or ue cualuiera de las rampas del %errocarril trasandino+
Siendo el momento de inercia respecto del e1e de rotaci!n la velocidad an'ular en radianes se'undo+
Si el tren acelera euivale a su.ir por una rampa+ Cuando el tren %rena la %uer&a de inercia cam.ia su si'no ( se trans%orma en motri&+
F 3 d 9 ="? 3 J + H2 : ="? 3 3 H2 2
E.ect! de as masas r!tantes Otra %orma de entender la resistencia de inercia es considerar ue durante la aceleraci!n la %uer&a de tracci!n F ue recorre una distancia d reali&a un tra.a1o i'ual a F 3 d ue se trans%orma en ener',a cintica se omiten las otras resistencias$#
F 3 d 9 ="? 3 J 3 H2 < : J 2 $ 9 9 ="? 3 J 3 j 3 H2 La %uer&a de tracci!n de.e entonces ser ma(or" incrementada por un %actor ue euivale a suponer ue no *a( rotaci!n pero ue la masa estática del ve*,culo es ma(or+ El coe%iciente j en va'ones está en el orden de <"=B a <"<=+ Cuando el va'!n lleva car'a" como sta no tiene componente de masas rotantes su contri.uci!n *ace .a1ar el coe%iciente j al orden de <"=M a <"=?+
FERROCARRILES
Unidad 2 - dinámica de trenes
En los coc*es de pasa1eros la situaci!n es más pr!3ima al caso del va'!n vac,o+ El coe%iciente está entre <"=V ( <"=B+ En las locomotoras a vapor .eta varia.a de <"<= a <"" siendo menor en las máuinas especiali&adas para car'a ue ten,an ruedas de menor diámetro+ El caso de las locomotoras elctricas ( diesel elctricas es al'o más complicado" porue *a( ue considerar los motores 'eneralmente uno por e1e$ ue rotan solidariamente con los e1es pero vinculados a travs de un par de en'rana1es con una relaci!n de transmisi!n ue está en el orden de ? a V+
2
< rueda
ρ
motor elctrico riel
Jientras el e1e" la rueda ( el en'rana1e rotan con la velocidad an'ular < el motor elctrico ( el pi7!n rotan con una velocidad varias ma(or 2 9 ; + <+ El coe%iciente de masas rotantes j toma entonces la si'uiente e3presi!n#
j 9 < : < : 2 3 ;2 $ J 3 2 Estando ; en el orden de ? a V se comprende ue el momento de inercia de los motores se multiplica entre 2? ( ?= veces+ Consecuencia de lo cual el %actor de masas rotantes para locomotoras elctricas o diesel elctricas está entre <"M= ( <">= %uente# Jecánica de la Tracci!n" In'+ Emilio astri$+
6kQIA O UTILIPADA
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Resistencia de inercia i$
Le( de eWton# si no *u.iera resistencias la %uer&a tractiva F aplicada al ve*,culo producir,a una aceleraci!n# F 9 m+a eWton" ;'" ms2$ 6ero *a( resistencias al movimiento ordinaria" pendientes" curvas$) siendo la resistencia total R 9 Ro : Rp : Rc) la %uer&a disponi.le para acelerar será menor# F K R 9 J+a O sea#
F 9 R : J a 9 Ro : Rp : Rc : J+a
El trmino J+a act/a en la %!rmula como una cuarta %uer&a de resistencia" la 4resistencia de inercia5" Ri+ Ri 9 J+a 9 a + T ' ' # aceleraci!n de la 'ravedad
"B m s2
Se de%ine tam.in la resistencia de inercia unitaria# r i 9 Ri T 9 a '
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Unidad 2 - dinámica de trenes
Resistencia de inercia ii$ r i 9 a '
Si a ( ' se miden" am.os" en m s2 entonces r i es la resistencia de inercia e3presada en 4;ilos por ;ilo5+ r i ;'%;'%$ 9 a ms2$ "B ms2$ \ a ms2$ <= Si deseamos e3presar esta resistencia i'ual ue las restantes" en 4;ilos por tonelada5" se multiplica la e3presi!n anterior por <+===+ r i ;'% ton$ 9 <=== 3 a ms2$ "B ms2$ \ <== 3 a ms2$ E1emplo# un tren su.ur.ano con locomotora diesel acelera con a 9 ="M m s2 # r i ;'% ton$ 9 <== 3 ="M 9 M= ;'%ton+ 6ara la locomotora" el es%uer&o para dar esa aceleraci!n es euivalente a en%rentar una rampa de monta7a" del M= ^o+ Un tren elctrico del Roca" o del Su.te" acelera con ="B ms2 hhh 77
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Unidad 2 - dinámica de trenes
Resistencia de inercia# masas rotantes i$ El es%uer&o para vencer la inercia implica" tam.in" vencer la inercia de rotaci!n" o sea poner en rotaci!n los e1es" ruedas ( demás 4masas rotantes5+ En la aceleraci!n el tra.a1o de la %uer&a de tracci!n se trans%orma totalmente en ener',a cintica+ m F
F + d 9 ="? + J + v2
d
La %uer&a tractiva recorre una distancia d" e%ectuando un tra.a1o 9 F+d ( la masa m aduiere una velocidad v+ 6ero el movimiento lon'itudinal del ve*,culo implica el movimiento de rotaci!n de ruedas ( e1es+ 6ara alcan&ar 78 i'ual velocidad v *a.rá ue reali&ar ma(or tra.a1o+
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Resistencia de inercia# masas rotantes ii$
El tra.a1o de la %uer&a de tracci!n se trans%orma en ener',a cintica de translaci!n ( de rotaci!n+ Las ruedas ( e1es tienen un momento de inercia total ;' m2 ( 'iran con velocidad an'ular ω (1s$ ω
F
J
ρ
v
En cada instante v9ω+ρ ρ
ρ
F + d 9 ="? + J + v2 : = " ? + + ω2 F + d 9 ="? + J + v2 : ="? + 3 v2 2 Conservaci!n de la ener',a
9 ="? + J + v2 < : J 2 $ 9 9 ="? + J + β + v2 9 ="? + J_ + v2
El ve*,culo se comporta como teniendo una masa %icticia J_ J" incrementada por el %actor de masas rotantes β 9 < : J 2 79
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Resistencia de inercia# masas rotantes iii$
La resistencia de inercia" será# Ri 9 J_ + a 9 J + β + a 9 6'$ + β + a 6ero la resistencia de inercia se e3presa con relaci!n al peso" o sea# r i 9 Ri T 9 J + β + a T 9 β + a ' Finalmente" e3presando r i en ;ilo'ramos por tonelada# r i 9 <== + β + a Siendo# β 9 < : J+ ρ2 coe%iciente de inercia de masas rotantes <"=? a <"2=$ 9 suma de momentos de inercia de masas rotantes ρ 9 radio de las ruedas+
J 9 masa total de los pares montados : la masa ue so.re ellos descar'a+
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Resistencia de inercia# masas rotantes iv$ Disposici!n de los motores elctricos en un .o'ui de locomotora diesel+
Esuema de %uer&as+ Fuente: ing. D!i" #$intein – &$''i(n Diee) *)+'t$i' 81
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Unidad 2 - dinámica de trenes
Relaci!n de transmisi!n
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FERROCARRILES
Unidad 2 - dinámica de trenes
Resistencia de inercia# masas rotantes v$
2 < rueda
ρ
motor elctrico
Si *a( masas rotantes vinculadas por en'rana1es" su de.e ser tomado en cuenta tam.in pero con una velocidad an'ular distinta ma(or$+
riel
< # masas rotantes ue 'iran a la velocidad an'ular del e1e+ 2 # masas ue 'iran con velocidad distinta dada por una relaci!n de transmisi!n ;" tal ue ω2 = ; . ω1 Los motores elctricos de las locomotoras ( coc*es incrementan la masa aparente de la locomotora+ 83
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Unidad 2 - dinámica de trenes
Resistencia de inercia# masas rotantes iv$ F + d 9 ="? + J + v2 : ="? <+ ω12 , 2 + ω22 $ 9 ="? + J + v2 : ="? <+ ω12 , 2 + ;2 . ω12 $ 9 ="? + J + v2 : ="? < , 2 + ;2 $ ω12 El coe%iciente de masas rotantes se modi%ica# β 9 < : <
: 2 + ;2 $ J + ρ 2
En motores de trenes elctricos ; var,a entre ? ( V$
Ha'ones vac,os β = 1,08 / 1,10 ; car'ados β = 1,03 / 1,05 β = 1,07 / 1,08 Coc*es β = 1,10 / 1,15 Locomotoras de vapor Locomotoras elctricas β = 1,30 / 1,40
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Unidad 2 - dinámica de trenes
Fin unidad 2+a 2=B2=
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