MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
2. SOLICIATIONES MÁXIMAS Sobre la viga central
0 1 , 1
1,00 5 3 ,
7,30
2%
0 2 ,
1,00
2%
0 2 ,
0 2 ,
5 2 ,
0 2 ,
DESAGÜE D=0,10 m 1c/5 m
DESAGÜE D=0,10 m 1c/5 m
2,50
2,50
5 3 ,
5 2 ,
0 2 ,
0 1 ,
1,05
,60
2,70
,60
2,70
,60
1,05
SECCIÓN TRANSVERSAL DEL PUENTE-DIMENSIONES PUENTE-DIMENSIONES
2.1. Propiedades geométricas de la sección simple A 0,695 m 2: Y s 0,95 m; Y i 1,05 m ; I 0,3456 m 4
,80 0 2 , 5 1 ,
,20
0 0 , 2
0 2 , 1
5 2 , 0 2 ,
,60 SECCIÓN TRANSVERSAL DE LA VIGA CENTRO DE LA LUZ
2.2 Avalúo de cargas y máximas solicitaciones Longitud aferente de la losa: 3,3 m. Peso propio de la losa= 1,58 t/m Peso propio de la viga= 1,67 t/m SUMA: Carlos Ramiro Vallecilla B
3,25 t/m 2
MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
2. SOLICIATIONES MÁXIMAS Sobre la viga central
0 1 , 1
1,00 5 3 ,
7,30
2%
0 2 ,
1,00
2%
0 2 ,
0 2 ,
5 2 ,
0 2 ,
DESAGÜE D=0,10 m 1c/5 m
DESAGÜE D=0,10 m 1c/5 m
2,50
2,50
5 3 ,
5 2 ,
0 2 ,
0 1 ,
1,05
,60
2,70
,60
2,70
,60
1,05
SECCIÓN TRANSVERSAL DEL PUENTE-DIMENSIONES PUENTE-DIMENSIONES
2.1. Propiedades geométricas de la sección simple A 0,695 m 2: Y s 0,95 m; Y i 1,05 m ; I 0,3456 m 4
,80 0 2 , 5 1 ,
,20
0 0 , 2
0 2 , 1
5 2 , 0 2 ,
,60 SECCIÓN TRANSVERSAL DE LA VIGA CENTRO DE LA LUZ
2.2 Avalúo de cargas y máximas solicitaciones Longitud aferente de la losa: 3,3 m. Peso propio de la losa= 1,58 t/m Peso propio de la viga= 1,67 t/m SUMA: Carlos Ramiro Vallecilla B
3,25 t/m 2
MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
Momento debido al peso propio de la sección simple s imple más el peso de la losa M D
3,25 * 412
683 t .m
8
2.3.Cargas sobreimpuestas Nota: El peso del andén y de la baranda es 0,29 t/m. Carpeta asfáltica: 3,3*2,2*0,05=0,36 t/m Andén y barandas= 2*0,29/3= 0,19 t/m SUMA 0,56 t/m Momento debido a las cargas sobreimpuestas 0,56 * 41
M DS
2
118 t .m
8
Nota: no se tuvo en cuanta el peso de los diafragmas cada tercio de la luz. 2.4. Avalúo de la carga viva y máximo momento por carga viva. Línea de carga para flexión: w = 1,44 t/m. P= 12 t. Línea de carga para cortante: w= 1,46 t/m. P= 16 t. Factor de rueda. F . R
S
1,7
3,3 1,7
1,94
Factor de impacto: I
16 40 41
0,198
Momento por carga viva M L
1,44 * 412 12 * 41 426 t .m .Referido a la línea de cargas. 8 4
M ( L I )
0,5 * 426 426 * 1,94 * 1,198 198
495 495 t .m . Referido a la línea de ruedas
3. Ancho efectivo de la sección compuesta.
Criterios 41
10,25 m
bef
bef
0,20 12 * 0,20 2,60 m. Rige
bef
3,3 m
4
Carlos Ramiro Vallecilla B
3
MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
Relación modular. 350 350 n
1,12
280 280
Ancho efectivo de la sección compuesta en concreto de 350 kg/cm2. 2,60
bef
1,12
2,32 m
Propiedades geométricas de la sección compuesta en concreto de 350 kg/cm 2. A Y i Y s I
1,159 159 m
2
1,47 m 0,73 m
0,6539 m
Y simple
0,73
4
0,20
0,53 m 0 2 ,
2,32 0 2 , 5 1 ,
0 0 , 2
,20
0 2 , 1
5 2 , 0 2 ,
,60
4. Valoración de la fuerza de tensionamiento
Momento de servicio: M servicio 683 118 495 1296 t .m
Convención de signos: son negativos los esfuerzos de compresión. Criterio. La fibra inferior en el centro de la luz de la sección compuesta se encuentra sometida al máximo esfuerzo a tracción admisible. De acuerdo con el CCDSP-95, este esfuerzo es igual a: f c,tracción
1,6 f ´c
1,6 350
Carlos Ramiro Vallecilla B
2
30 kg / cm
300 t / m
2
4
MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
En consecuencia: i
300
P t
*1,4 *1,47
P t
1,159
0,6539
1296 *1,47 0,6539
P t
651
t
Suponiendo pérdidas totales (instantáneas más diferidas) del orden del 25 % , se tiene una fuerza de tensionamiento , para t=0, igual a: P t 0
651
0,75
868 t
Esfuerzos sobre el concreto sobre la sección simple para una fuerza de tensionamiento de 868 t en el centro de la luz. Momento debido al peso de la sección simple M D
1,67 * 41
2
8
351 t .m
Po consiguiente el esfuerzo en la fibra inferior de la sección simple es igual a:
i
868 0,695
868 * 0,98 *1,05 0,3456
351 *1,05 0,3456
2767
t / m
2
Este esfuerzo excede el esfuerzo admisible a compresión del concreto (0,55 f´ ci) (-0,55*3150= -1733 t/m2) por lo que el tensionamiento se debe fraccionar. Máximo esfuerzo admisible en el acero de tensionamiento, de acuerdo con el CCDSP-95: f sP
0,80 f Py
0,80 * 16000
12800 kg / cm
2
Primer tensionamiento
Se aplica arbitrariamente una fuerza igual al 60 % de la fuerza total de tensionamiento .Esto es: P 60% 0,60 * 868 521 t
Determinación del número de toronesde 0,5 pulg de diámetro ( ASP= 0,987 cm2) para el primer tensionamiento P 60%
521000 12800 * 0,987
41 torones
Se toman cinco cables con 10 torones cada uno.
Carlos Ramiro Vallecilla B
5
MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
Estos 50 cables, tensionados al máximo esfuerzo admisible, resisten una fuerza igual a: P 60% 50 * 0,987 *12800 631600 kg
En cada cable de 10 torones se ejerce una fuerza igual a P cable
631,6
5
126 t
Segundo tensionamiento
Diferencia de fuerza de tensionamiento P
868
631 ,6
236 ,4 t
Número de torones de 0,5 pulg de diámetro ( A SP = 0,987 cm2) No
236400
0,987 *12800
19
torones
Se toman 20 torones distribuidos en dos cables de 10 torones cada uno. Fuerza de tensionamiento en el centro de la luz debida a los cables de segundo tensionamiento: P
20 * 0,987 * 12800
252672 kg 252 ,7 t
Resumen del tensionamiento TENSIONAMIENTO
No cables No.torones No.torones/cable Fuerza/cable
PRIMER TENSIONAMIENTO
5
50
10
126 t
SEGUNDO TENSIONAMIENTO
2
20
10
126 t
Nota: la fuerza de 126 t corresponde a la fuerza en el centro de la luz durante la transferencia. 5. Ecuación de los cables de tensionamiento
La ecuación que describe la posición de cada cable de tensionamiento es una parábola de la forma y= kx2. En esta ecuación: X se mide a partir del centro de la luz. Y se mide desde la base de la viga al centroide del acero de tensionamiento. La figura siguiente muestra la posición supuesta de los siete cables de tensionamiento sobre apoyo. Nótese que los cables 6 y 7 se tensionan una vez el concreto de la losa ha alcanzado una resistencia de 245 kg/cm 2. Carlos Ramiro Vallecilla B
6
MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
2,00m
1,50m
7 6
m 5 3 ,
5 4
m 5 3 ,
m 0 1 , 2
3
m 5 3 ,
m 0 1 , 2
2
m 5 3 ,
1
m 0 3 ,
6
5
7 4
2
1
,150
3
,070
POSICIÓN DE LOS CABLES EN EL CENTRO DE LA LUZ
POSICIÓN DE LOS CABLES SOBRE APOYO
En consecuencia y de acuerdo con la trayectoria supuesta de los cables de tensionamiento, se obtienen las siguientes ecuaciones: y1
y 2
y 3
y 4
y 5
0,23 20 ,5
2
x
0,58 2
20 ,5
x
0,93 20 ,5
2
x
1,28 2
20 ,5
x
1,55 20 ,5
2
x
2
2
2
2
2
0,07
0,000547
x
0,07
0,001380 x
2
0,07
0,002213 x
2
0,07
0,003046 x
2
0,15
0,003688 x
2
2
0,07
0,07
0,07
0,07
0,15
La tabla siguiente resume los valores de las ordenadas (m) de cada uno de los cinco cables de primer tensionamiento, cuya trayectoria es descrita por las ecuaciones precedentes. Se tomaron arbitrariamente intervalos cada 2 m. X(m)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20,5
CABLE1 0,070 0,072 0,079 0,090 0,105 0,125 0,149 0,177 0,210 0,247 0,300 CABLE2 0,070 0,076 0,092 0,120 0,158 0,208 0,269 0,341 0,423 0,517 0,650 CABLE3 0,070 0,079 0,105 0,150 0,212 0,291 0,389 0,504 0,637 0,787 1,000 CABLE4 0,070 0,082 0,119 0,180 0,265 0,375 0,509 0,667 0,850 1,057 1,350 CABLE5 0,150 0,165 0,209 0,283 0,386 0,519 0,681 0,873 1,094 1,345 1,700
Ecuación de los cables de segundo tensionamiento y 6 y 7
1,95 18,5 1,95 17
2
2
x 2 0,15 0,0056976 x 2 0,15
x 2
0,15 0,006747x
Carlos Ramiro Vallecilla B
2
0,15
7
MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
1,67 t/m
x 20,50m
20,50m
Ecuación para la determinación de la excentricidad de los cables de primer tensionamiento e
1,05
y
Ecuación para la determinación de la excentricidad de los cables de segundo tensionamiento e
1,47
y
Módulos de sección inferior y superior, respectivamente, de la sección simple. 0,3456
W i
W s
0,3291
1,05 0,3456
0,3638
0,95
m
3
m
3
Ecuación para el cálculo de la fuerza efectiva de tensionamiento en cualquier sección de la viga en función de los coeficientes de fricción involuntaria P x P o e
y de curvatura
k
( kx )
e = base de los logaritmos naturales ( e=2,71828) Coeficientes supuestos de fricción y curvatura involuntaria
0,25
k 0,003/ m
6.2 Estado de esfuerzos en el concreto, en la sección simple, durante la transferencia Ecuación general para el cálculo de los esfuerzos: N
i
N
P j
P j e j
j 1
j 1
A N
C
M c K 1
W i
W i
N
C
P P e j
s
j 1
A
M
j j
j 1
W s
c
K 1
Carlos Ramiro Vallecilla B
W s 9
MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
ESTADO DE ESFUERZOS EN EL CONCRETO
Caso de carga : fuerza de preesfuerzo más peso propio de la vi ga Primer tensionamiento : 50 torones en 5 cables con 10 torones cada uno Fuerza en el centro de l a luz = 632 t X se mide del centro de la luz a los apoyos Los cables 1,3 y 5 se tensi onan desde un mismo extremo Los cables 2 y 4 se tensionan desde el extremo opuesto Peso propio de l a sección simple : 1,67 t/m X(m) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 A (m2) Ws Wi
18
20,5
0,695 0,695 0,695 0,695 0,695 0,695 0,695 0,695 0,695 0,695 0,695 0,3638 0,3638 0,3638 0,3638 0,3638 0,3638 0,3638 0,3638 0,3638 0,3638 0,3638 0,3291 0,3291 0,3291 0,3291 0,3291 0,3291 0,3291 0,3291 0,3291 0,3291 0,3291
µα1
0,000
0,001
0,001
0,002
0,002
0,003
0,003
0,004
0,004
0,005
0,006
µα2
0,000
0,001
0,003
0,004
0,006
0,007
0,008
0,010
0,011
0,012
0,014
µα3
0,000
0,002
0,004
0,007
0,009
0,011
0,013
0,015
0,018
0,020
0,023
µα4
0,000
0,003
0,006
0,009
0,012
0,015
0,018
0,021
0,024
0,027
0,031
µα5
0,000
0,004
0,008
0,012
0,016
0,019
0,023
0,027
0,031
0,035
0,040
Kx
0
0,006
0,012
0,018
0,024
0,03
0,036
0,042
0,048
0,054 0,0615
P1
126
127
128
129
130
131
131
132
133
134
135
P2
126
125
125
124
123
122
121
120
119
118
117
P3
126
127
128
130
131
132
133
134
135
136
138
P4
126
125
124
123
122
121
120
119
118
117
115
P5
126
128
129
130
131
133
134
135
137
138
140
e1
0,980
0,978
0,971
0,960
0,945
0,925
0,901
0,873
0,840
0,803
0,750
e2
0,980
0,974
0,958
0,930
0,892
0,842
0,781
0,709
0,627
0,533
0,400
e3
0,980
0,971
0,945
0,900
0,838
0,759
0,661
0,546
0,413
0,263
0,050
e4
0,980
0,968
0,931
0,870
0,785
0,675
0,541
0,383
0,200 -0,007 -0,300
e5
0,900
0,885
0,841
0,767
0,664
0,531
0,369
0,177 -0,044 -0,295 -0,650
Suma Pe Suma P
609 632
605 633
589 634
562 635
525 637
475 638
415 639
343 640
260 642
165 643
30 645
MD(t.m)
351
348
338
321
298
268
231
187
137
80
0
-204 -1692 -1732 SI
-221 -1676 -1732 SI
-250 -1648 -1732 SI
-292 -1605 -1732 SI
-346 -1549 -1732 SI
-413 -1479 -1732 SI
-493 -1395 -1732 SI
-586 -1296 -1732 SI
-693 -1182 -1732 SI
-847 -1018 -1732 SI
Esf. Sup. -199 Esf. Inf. -1694 Esf. Adm -1732 CUMPLE SI
Esfuerzo sobre el acero en el cable más tensionado ( 140 t): f ps
140000 10 * 0,987
14184 kg / cm 2 0,90 f py 0,90 *16000 14400 kg / cm 2
Carlos Ramiro Vallecilla B
10
MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
6.3. Esfuerzos sobre la sección simple debidos a la fuerza de tensionamiento y al peso propio de la sección simple más el peso de la losa:D= 1,67+1,58=3,25t/m ESTADO DE ESFUERZOS EN EL CONCRETO
Caso de carga : fuerza de tensionamie nto más peso propio de la viga más peso de l a losa Primer tensionamiento : 50 torones en 5 cables con 10 torones cada uno Fuerza en el centro de l a luz = 632 t X se mide del centro de la luz a los apoyos Los cables 1,3 y 5 se tensi onan desde un mismo extremo Los cables 2 y 4 se tensionan desde el extremo opuesto 2
Esfuerzo admisible a compresión sobre el concreto : -0,40f´c= -0,4*3500=-1400 t/m Peso propio de l a sección simple más peso de la losa: 3,25 t/m Pérdidas del 15 % de fuerza de tensionamiento X(m) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2
A (m ) Ws Wi
20,5
0,695 0,695 0,695 0,695 0,695 0,695 0,695 0,695 0,695 0,695 0,695 0,3638 0,3638 0,3638 0,3638 0,3638 0,3638 0,3638 0,3638 0,3638 0,3638 0,3638 0,3291 0,3291 0,3291 0,3291 0,3291 0,3291 0,3291 0,3291 0,3291 0,3291 0,3291
µα1
0,000
0,001
0,001
0,002
0,002
0,003
0,003
0,004
0,004
0,005
0,006
µα2
0,000
0,001
0,003
0,004
0,006
0,007
0,008
0,010
0,011
0,012
0,014
µα3
0,000
0,002
0,004
0,007
0,009
0,011
0,013
0,015
0,018
0,020
0,023
µα4
0,000
0,003
0,006
0,009
0,012
0,015
0,018
0,021
0,024
0,027
0,031
µα5
0,000
0,004
0,007
0,011
0,015
0,018
0,022
0,026
0,030
0,033
0,038
Kx
0
0,006
0,012
0,018
0,024
0,03
0,036
0,042
0,048
0,054 0,0615
P1
107
108
109
110
110
111
112
112
113
114
115
P2
107
107
106
105
104
104
103
102
101
101
100
P3
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
P4
107
106
106
105
104
103
102
101
100
99
98
P5
107
108
110
111
112
113
114
115
116
117
119
e1
0,980
0,978
0,971
0,960
0,945
0,925
0,901
0,873
0,840
0,803
0,750
e2
0,980
0,974
0,958
0,930
0,892
0,842
0,781
0,709
0,627
0,533
0,400
e3
0,980
0,971
0,945
0,900
0,838
0,759
0,661
0,546
0,413
0,263
0,050
e4
0,980
0,968
0,931
0,870
0,785
0,675
0,541
0,383
0,200 -0,007 -0,300
e5
0,900
0,885
0,841
0,767
0,664
0,531
0,369
0,177 -0,044 -0,295 -0,650
Suma Pe Suma P
518 537
514 538
501 539
478 540
446 541
404 542
353 543
292 544
221 545
140 546
25 548
MD(t.m)
683
677
657
625
579
521
449
365
267
157
0
-1221 -280 -1400 SI
-1205 -301 -1400 SI
-1180 -332 -1400 SI
-1144 -374 -1400 SI
-1100 -426 -1400 SI
-1046 -489 -1400 SI
-983 -562 -1400 SI
-911 -644 -1400 SI
-831 -737 -1400 SI
-719 -865 -1400 SI
Esf. Sup. -1227 Esf. Inf. -271 Esf. Adm -1400 CUMPLE SI
Carlos Ramiro Vallecilla B
11
MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
6.4. Cálculo del momento debido a la carga viva. El momento flector debido a la carga vivase calcula en secciones tomadas arbitrariamente cada 2 m, medidas a partir del centro de la viga, recurriendo a la definición de línea de influencia, tal como se muestra el la figura siguiente. 12 t 1,44t/m
18,50m
22,50m
L.I. MX=2m 10,152
M(L+I)=1,198*1,94*0,5(0,5*1,44*10,152*41+10,152*12)=489t.m 12 t 1,44t/m
16,50m
24,50m
L.I. MX=4m 9,860
M(+I)=1,198*1,94*0,5(0,5*1,44*9,860*41+9,860*12)=476t.m 12 t 1,44t/m
14,50m
26,50m
9,372
M(+I)=1,198*1,94*0,5(0,5*1,44*9,372*41+9,372*12)=452t.m 12 t 1,44t/m
12,50m
28,50m
L.I. MX=8m 8,689
M(+I)=1,198*1,94*0,5(0,5*1,44*8,689*41+8,689*12)=419t.m
x 10 m M ( L I ) 1,198 *1,94 * 0,5(0,5 * 1,44 * 7,811 * 41 7,811 *12) 377 t .m x
12 m M ( L
x
14
m
I )
1,198 * 1,94 * 0,5(0,5 * 1,44 * 6,738 * 41 6,738 * 12)
325 t .m
M ( L I )
1,198 * 1,94 * 0,5(0,5 * 1,44 * 5,470 * 41 5,470 * 12 )
264 t .m
x 16 m M ( L I ) 1,198 *1,94 * 0,5(0,5 *1,44 * 4,00 * 41 4,00 *12) 193 t .m x
18
m
M ( L I )
1,198 * 1,94 * 0,5(0,5 * 1,44 * 2,348 * 41 2,348 * 12 )
113 t .m
6.5. Esfuerzos sobre la sección compuesta debidos a la fuerza de tensionamiento de los cables 6 y 7, a la carga viva y a las cargas sobreimpuestas. Se suponen pérdidas durante la etapa de servicio, iguales al 15 %. Carlos Ramiro Vallecilla B
12
MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
Por otra parte, en este estado de esfuerzos debe tenerse en cuenta que la sección simple ha sido sometida a esfuerzos que deben sumarse a los esfuerzos que se presentan sobre la sección compuesta.No se tuvo en cuenta el aumento del área de la sección en el bloque de anclaje. Son positivas las excentricidades por debajo del eje centroidal de la sección. ESFUERZOS SOBRE EL CONCRETO . SECCIÓN COMPUESTA
Caso de carga: esfuerzos sobre la sección simpl e más cargas sobreimpuestas más carga viva Cargas sobreimpuestas: 0,56 t/m Los cables 6 y 7 se tensionan desde extremos opuestos. Se suponen pérdidas de f uerza de preesfuerzo del 15 % en etapa de servicio Fuerza de preesfuerzo efectiva por cable en e tapa de se rvicio : 0,85*126,4=107 t Exentricidad del cable 6 : e6=1,47-y6 Excentricidad del cable 7: e 7=1,47-y7 Son positivas las ex centricidades por debajo del eje centroidal X(m) 0 2 4 6 8 10 12 2
A (m )
1,159
1,159
1,159
1,159
1,159
1,159
1,159
14
16
18
20,5
1,159
1,159
1,159
1,159
Ws
0,8958 0,8958 0,8958 0,8958 0,8958 0,8958 0,8958 0,8958 0,8958 0,8958 0,8958
Wi
0,4448 0,4448 0,4448 0,4448 0,4448 0,4448 0,4448 0,4448 0,4448 0,4448 0,4448
Ys
0,53
Esf. sup. -1227 Esf. Inf. -271
0,53
0,53
0,53
0,53
0,53
0,53
0,53
0,53
0,53
0,53
-1221 -280
-1205 -301
-1180 -332
-1144 -374
-1100 -426
-1046 -489
-983 -562
-911 -644
-831 -737
-719 -865
µα6
0
0,0059 0,0119 0,0178 0,0237 0,0297 0,0356 0,0415 0,0474 0,0534 0,0608
µα7
0
0,007
0,014 0,0211 0,0281 0,0351 0,0421 0,0491 0,0562 0,0632 0,072
Kx
0
0,006
0,012
0,018
0,024
0,03
0,036
0,042
e6
1,320
1,297
1,229
1,115
0,955
0,750
0,500
0,203 -0,139 -0,526
e7
1,320
1,293
1,212
1,077
0,888
0,645
0,348
-0,002 -0,407
P6
107
108
110
111
112
114
115
116
118
P7
107
106
104
103
102
100
99
98
96
P6+P7
214
214
214
214
214
214
214
214
214
119
Suma Pe
282
277
261
234
197
150
92
23
-56
-63
MDS
118
117
113
108
100
90
77
63
46
27
0
M(L+I)
494
489
476
452
419
377
325
264
193
113
0
Esf. Sup. Esf. Inf. Esf. Adm Esf. Adm CUMPLE
-1678 284 -1400 300 ≈si
-1672 274 -1400 300 ≈si
-1655 252 -1400 300 ≈si
-1628 214 -1400 300 ≈si
-1589 164 -1400 300 ≈si
-1541 102 -1400 300 ≈si
-1482 24 -1400 300 ≈si
-1414 -65 -1400 300 ≈si
-1335 -166 -1400 300 si
-1098 -384 -1400 300 si
-719 -865 -1400 300 si
Carlos Ramiro Vallecilla B
0,048
0,054 0,0615
119
13
MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
De la tabla precedente se concluye que el máximo esfuerzo actuante a compresión, -1678 t/ m 2, es ligeramente mayor (168-140 = 28 kg/cm 2) que el máximo esfuerzo admisible a compresión, -0,40f´ c= -04*3500=-1400 t/m2, indicado por el CCDSP-95. Es de notar que de acuerdo con las Normas Colombianas de Diseño y Construcción Sismo Resistente NSR.98, el máximo esfuerzo admisible sobre el concreto a compresión y para cargas totales es igual a 0,60 f´ c (C.18.4). En consecuencia:-0,60 *3500 = -2100 /m2>-1678 t/m2. Ejemplo del cálculo de esfuerzos en la sección X= 8 en la tabla precedente. Esfuerzo a compresión en la fibra ubicada a 0,53 m por encima del eje centroidal de la sección compuesta (unión viga-losa).
s
1144
(112
102 )
1,159
(112 * 0,955
102 * 0,888 ) * 0,53
0,6539
(99 ,75 419 ) * 0,53 0,6539
1589
Esfuerzo a tracción en la fibra inferior de la sección compuesta.
i
374
(112
102 )
1,159
(112 * 0,955
102 * 0,888)
0,4448
(99,75 419 ) 0,4448
164
t / m
2
Gráficamente: m 0 2 ,
-185
2,32m -1144
220
-579
160
m 5 0 , 1
-445
-420
m 3 5 ,
,20m
-544 -1589
m 7 4 , 1
(t/m2 )
m 9 1 ,
,60m
-374 SECCIÓN SIMPLE
-185
-444 SECCIÓN COMPUESTA
1167
164 ESFUERZOS RESULTANTES
6.7 Diámetro del ducto. El área mínima del ducto de preesfuerzo debe ser 2,5 veces el área neta de los torones contenidos en el ducto. En consecuencia para un cable de 10 torones se tiene. Aducto 2,5 * 10 * 0,987 24,68cm 2 ducto
Carlos Ramiro Vallecilla B
4 * 24,68 5,60cm 6 cm
14
t / m
2
MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
Se toma un ducto metálico de 6 cm de diámetro. 7. Diseño a cortante.
7.1 Cálculo de la fuerza cortante en una sección a h/2 de la cara del apoyo. De acuerdo con el CCDSP-95, el cortante último máximo se puede calcular a una distancia igual a h/2 (h altura de la viga) de la cara del apoyo. (A.8.7.4.1.4). Para una altura de la sección compuesta igual a 2,2 m , h/2 es 1,10 m. El apoyo de la viga tiene una longitud de 0,50 m, en consecuencia la sección de interés está localizada a 1,6 m del borde de la viga. Gráficamente: 1,60m
m 0 2 , 2
VIGA
,50m
Vu
1,10m
ESTRIBO
Fuerza cortante en una sección a 1,6 m de la cara del apoyo, debida a: Al peso propio de la losa(1,67 t/m): V D 34,2 1,67 * 1,6 31,5 t
Al peso propio la sección (1,58 t/m) V S 32,4 1,58 * 1,6 30 t
Alas cargas sobreimpuestas (0,56 t/m): V D S 11,48 0,56 *1,6 10 ,6 t
A la carga viva. Línea de carga: w
1,5
41 28
300
1,46
t / m
:P
16 t
De la línea de influencia de la fuerza cortante en una sección a 1,6 m del apoyo se obtiene el siguiente valor para la fuerza cortante debida a la carga viva.
Carlos Ramiro Vallecilla B
15
MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
16 t 1,46 t/m
41,00m 0,960
1,60m 39,40m 0,040
V ( L I )
0,5 *1,198 *1,94(0,5 * 0,96 * 39,4 *1,46 16 * 0,960) 49,9
t
Fuerza cortante última. Grupo de carga I. Resistencia última. V u
1,331,5 30 10,6 1,67 * 49,9 202 t
La tabla siguiente resume la fuerza cortante última en secciones de la viga , tomadas arbitrariamente cada 2 m. El valor de V D incluye el peso propio de la viga y de la losa X(m) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18,9
FUERZA CORTANTE ÚLTIMA VD VDS V (L+I) 0 0 18 6,5 1,1 21 13 2,2 24 19,5 3,4 27 26 4,5 30 32,5 5,6 33 39 6,7 37 45,5 7,8 40 52 9,0 44 61,4 10,6 50
Vu 39 55 72 88 105 121 140 156 175 202
Resistencia al esfuerzo cortante suministrada por el concreto. De acuerdo con el CCDSP-95, la resistencia al corteV c provista por el concreto, debe ser el menor de los valores V cio Vcw. 7.2. Cálculo de la fuerza cortante V ci resistida por el concreto ( falla por flexión y corte) La ecuaciones que permiten calcular el valor de la fuerza cortante V ci , resistida por el concreto, son: V ci 0,16 f ´c bw d P V d Carlos Ramiro Vallecilla B
V i M cr M ma x 16
MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
d P
M cr I Y t
0,80h
I Y t
0,8 * 2,2 1,76
1,6
0,6539 m
f ´c
f Pe
m
f d
4
1,47 m
f Pe= Esfuerzo de compresión en el concreto debido solamente a las fuerzas efectivas de preesfuerzo después de ocurridas todas las pérdidas en la fibra extrema precomprimida. La tabla siguiente resume el cálculo del esfuerzo f Peen la fibra extrema precomprimida en la sección bajo estudio (a 1,6 m de la cara de la viga). Se tomaron las fuerzas y las excentricidades de los cables enla sección x=18 m. (18 m ≈18,9 m)., referidas a la sección simple en etapa de servicio. 5
5
P i f Pe
i 1
1,159
1,47 P i ei
i 1
0,6539 Cálculo del esfuerzo f Pe a 1,6 m del apoyo. CABLE 1 2 3 4 5 SUMA
P(t) 114 101 116 99 117 547 2
esf.inf( t/m )
e(m) 0,803 0,533 0,263 -0,007 -0,295
Pe 91,54 53,83 30,51 -0,69 -34,52 140,68
788
f d= Esfuerzo debido a las cargas muertas sin mayorar, en la fibra extrema de la sección donde se causen esfuerzos de tensión por la aplicación de cargas externas (fibra extrema precomprimida) . Cargas muertas: peso propio de la viga más peso propio de la losa. Es decir: d
1,58 1.67
3,25 t / m
Momento en la sección a 1,6 m del eje del puente producido por las cargas muertas sin mayorar: M d 66,63 * 1,6 1,625 * 1,6 2 102 t .m Carlos Ramiro Vallecilla B
17
MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
En consecuencia, el esfuerzo debido a las cargas muertas sin mayorar, en la fibra inferior y en la sección de interés (1,60 m) es: f d
102 * 1,47 0,6539
230 t .m
Ecuación para el cálculo de f d en cualquier sección de la viga medido a partir del centro de la luz. : f d
M dx 0,4448
(682,9 1,625 x 2 ) 0,4448
Sustituyendo en la ecuación del momento de fisuración por flexión en la sección (1,6 m de la cara del apoyo) debido a las cargas aplicadas externamente M cr , se obtiene: M cr
I
1,6 Y
f ´c
f Pe
f d
0,6539
t
1,47
1,6
350 *10 788
230
381 t .m
Cálculo de V d Vd = fuerza cortante en la sección debida a las cargas muertas sin mayorar. De los cálculos precedentes: V d
3,25 * 20,5
3,25 * 1,6
61 t
Ecuación para el cálculo de V d en cualquier sección V d
66,63 3,25 x
Cálculo de V i: Fuerza de corte mayorada en la sección debida a las cargas aplicadas externamente y que ocurre simultáneamente con M max. Mmax= Momento máximo mayorado en la sección debido a las cargas aplicadas externamente. Las cargas aplicadas externamente son la carga muerta sobreimpuesta, 0,56 t/m y la carga viva debida a la línea de cargas, w= 1,46 t/m y P= 16 t. Para la mayoración de las cargas externas se emplea el método de la resistencia última y el grupo de cargas I. Fuerza cortante en la sección a 1,6 m de la cara del apoyo debidaa la carga muerta sobreimpuesta: Carlos Ramiro Vallecilla B
18
MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
V ds
0,56 * 20,5
0,56 * 1,6
10,58 t
Fuerza cortante en la sección a 1,6 m de la cara del apoyo debida a la carga viva. De la línea de influencia de la fuerza cortante en una sección a 1,6 m del apoyo: V ( L I )
0,5 *1,198*1,94(0,5 * 0,96 * 39,4 *1,46 16 * 0,960) 49,9
t
En consecuencia: V i 1,310,58 1,67 * 49,9 122 t
Cálculo de Mmax Mmax = momento en la sección bajo estudio, proveniente de las cargas aplicadas externamente. M ds
11,48 * 1,6 0,28 * 1,6
2
17,65 t .m
De la línea de influencia del momento en la sección a 1,6 m de la cara del apoyo se obtiene el valor del momento producido por las cargas vivas. 12 t 1,44 t/m
41,00m
1,60m
39,40m
1,534
M ( L I )
0,5 * 1,198 * 1,940,5 * 41 * 1,534 * 1,44 12 * 1,534 74 t .m
Sustituyendo los valores numéricos calculados se obtiene el siguiente valor para el momento M max: M m ax 1,3(17,65 1,67 * 74) 183 t .m
El valor de la fuerza V ci , resistida por el concreto es : V ci
0,16 f ´c bw d P V d
V i M cr M ma x
0,16 350 *10 * 0,20 *1,76 61
122 * 381 183
325 t
La tabla siguiente resume el cálculo de la fuerza cortante resistida por el concreto Vci , en secciones tomadas arbitrariamente cada 2 m, medidas desde el centro de la viga hacia los apoyos. Carlos Ramiro Vallecilla B
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X(m) 0,16√f´
bwdP
c
Vd
V ds
V (L+I) V i(t) P(t)
Pe
fPe
d(t/m
2
4
) I(m ) Yt (m)
Mcr
Mmax V ci(t)
0 2
10,5 10,5
0,0 6,5
0,0 1,1
18 21
39 46
787 800,0 2477 752 791,0 2427
1535 1521
0,654 1,47 0,654 1,47
552 536
1227 1215
28 37
4 6 8
10,5 10,5 10,5
13,0 19,5 26,0
2,2 3,4 4,5
24 27 30
54 62 70
753 762,0 2363 754 712,0 2251 755 643,0 2097
1477 0,654 1,47 1404 0,654 1,47 1301 0,654 1,47
527 510 487
1180 1121 1040
48 58 69
10 12
10,5 10,5
32,5 39,0
5,6 6,7
33 37
79 88
756 554,0 1898 757 445,0 1654
1170 0,654 1,47 1009 0,654 1,47
457 420
822,6 87 673,5 104
14 16 18,9
10,5 10,5 10,5
45,5 52,0 61,4
7,8 9,0 10,6
40 44 50
98 758 315,0 1362 107 759 165,0 1026 122 547 140 787
819 600 230
375 323 381
500,6 129 304,9 176 183,9 325
0,654 1,47 0,654 1,47 0,654 1,47
7.3. Cálculo de la fuerza cortante resistida por el concreto V cw. Falla en el alma de la viga. La ecuación para el cálculo de la fuerza cortante resistida por el concreto Vcw es: V cw
0,93 f ´c
0,3 f Pc bw d P V P
Cálculo de f Pc.
f Pc es el esfuerzo en el centroide de la sección debido a la fuerza de preesfuerzo , una vez han ocurrido todas las pérdidas.
Cálculo de Vp
VP es la componente vertical de la fuerza de preesfuerzo efectiva en la sección La tabla siguiente resume el cálculo de al fuerza cortante resistida por el concreto Vcw en secciones escogidas cada 2 m, a partir del centro de la viga La tabla siguiente resume el cálculo de la fuerza cortante V cw , resistida por el concreto, en secciones tomadas arbitrariamente cada 2 m .
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20
MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
DISEÑO A CORTANTE . CÁLCULO DE V cw X(m) P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
α1
α2
α3
α4
α5
α6
α7
V P 0,93√fc f Pc
V cw
0
107 107 107 107 107 106 107 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0
174
645 129
2
108 107 108 106 108 108 106 0,0022 0,0055 0,0089 0,0122 0,0148 0,0228 0,0270 10
174
648 140
4
109 106 109 106 110 110 104 0,0044 0,0110 0,0177 0,0244 0,0295 0,0456 0,0540 20
174
651 150
6
110 105 110 105 111 111 103 0,0066 0,0166 0,0266 0,0366 0,0443 0,0684 0,0810 30
174
651 160
8
110 104 111 104 112 112 102 0,0088 0,0221 0,0354 0,0487 0,0590 0,0912 0,1080 40
174
651 170
10
111 104 112 103 113 114 100 0,0109 0,0276 0,0443 0,0609 0,0738 0,1140 0,1349 50
174
653 180
12
112 103 113 102 114 115
99 0,0131 0,0331 0,0531 0,0731 0,0885 0,1367 0,1619 60
174
654 190
14
112 102 114 101 115 116
98 0,0153 0,0386 0,0620 0,0853 0,1033 0,1595 0,1889 70
174
654 201
16
113 101 115 100 116 118
96 0,0175 0,0442 0,0708 0,0975 0,1180 0,1823 0,2159 80
174
655 211
0
174
472 156
18,9 114 101 116
99 117
0
0,0207 0,0522 0,0837 0,1151 0,1394
0
0
45
Ejemplo del calculo de V cw en la sección x = 18,9 m , es decir a 1,6 m de la cara del apoyo.
Cálculo de f Pc.
f Pc es el esfuerzo en el centroide de la sección debido a la fuerza de preesfuerzo , una vez han ocurrido todas las pérdidas. f P c
114 101 116 99 117 1,159
472 t / m 2
Cálculo de Vp
VP es la componente vertical de la fuerza de preesfuerzo efectiva en la sección En la tabla siguiente se resume el cálculo de la componente vertical de la fuerza de preesfuerzo en la sección. Nuevamente se toman de manera aproximada las fuerzas de preesfuerzo, una vez descontadas las pérdidas en la sección X= 18 m. ( y no en x= 18,9 m) CABLE
P(t)
tanα≈α
Pα
1
114
0,0207
2,36
2
101
0,0522
5,27
3
116
0,0837
9,70
4
99
0,1151
11,40
5
117
0,1394
16,31
SUMA
547
45
Ejemplo del cálculo de V P. Cable 1. Ecuación del cable: Carlos Ramiro Vallecilla B
21
MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
y1
0,000547 x
2
0,07
tan y´ x
18 m
2 * 0,000547 *18,9 0,0207
La componente vertical de la fuerza de preesfuerzo del cable 1 es: V P 1 P 1 tan 1 114 * 0,0207 2,36 t
De la misma manera se procede con los cables restantes Resultante horizontal de la fuerza de preesfuerzo: 547 t Resultante vertical de la fuerza de preesfuerzo: 42,9 t Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación de V wc, se obtiene: V cw
0,93
f ´c
0,3 f Pc bw d P V P
0,93 *10
350
0,3 * 472 0,20 *1,76 42 ,9 154 t
Representación gráfica de las fuerza actuantes sobre el concreto en la sección a 1,6 m del apoyo. (No incluye la fuerza cortante resistida por el concreto). 18,59t 1,70 t/m 3,81 t/m
1,60m
Vu= 202 t
VP= 42,9 t
Ru
CARGA MUERTA: 3,81 t/m CARGA VIVA: W= 0,5*1,46*1,198*1,94=1,70 t/m P = 0,5*16*1,198*1,94=18,59 t
Comparando: Vci ( 311 t )> V cw ( 154 t). En consecuencia se toma la fuerza cortante resistida por el concreto en la sección a 1,6 m del apoyo, igual a 193 t.
V s
Fuerza cortante resistida por el acero: V u 0,85
V cw
202 0,85
154 84 t
La ecuación para el cálculo de V s es: V s
Av f y d P
S
Se toman estribos # 4( A v= 1,27 cm2) con dos ramas . Por consiguiente la separación S de los estribos es: Carlos Ramiro Vallecilla B
22
MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
S
2 *1,27 *10
4
* 42000 *1,76
84
0,22
m
S toma conservadoramente un estribo # 4 c/0,20 m, en una longitud de 2 m, desde la cara del apoyo. Separación máxima de los estribos: 0,75h = 0,75*2,2= 1,65m ó 0,60 m. Se toma una separación máxima entre estribos igual a 0,60 m Gráficamente: 0,8 S1 4# 4,L=6m
No se indica la armadura de la losa
5 0, 1
,2 0
0 0 2. 2. / m 4 A
4
8
5
6,
2 # L
=
0 /
A48# 4 c/0,20 L= 5,62 m C
2, 4 2 # 0 1
m 0
3, 3 =
5 1 3 A
+
c 2 ,1 2
L
0,2
P34#4 L=3,15m
0,54 0,6
Nótese el incremento de resistencia al esfuerzo cortante que significa la introducción fuerzas de preesfuerzo en la sección. Efectivamente si la viga en estudio fuera en concreto reforzado, el concreto de la misma estaría en capacidad de resistir una fuerza cortante igual a: V c
0,53 f ´c bw d P
0,53 350 *10 * 0,20 *1,76 34,9 t 154 t
La tabla siguiente muestra la separación de los estribos # 4 , en secciones tomadas arbitrariamente cada 2 m.
Carlos Ramiro Vallecilla B
23
MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
X(m) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18,9
Vci 24 34 45 56 67 84 101 125 169 324
SEPARACIÓN DE LOS ESTRIBOS V cw Vu Vs 129 39 22 140 55 31 150 72 40 160 88 48 170 105 57 180 121 58 190 140 64 201 156 59 211 175 37 154 202 84
S(m) 0,86 0,61 0,47 0,40 0,33 0,32 0,29 0,32 0,51 0,22
Notas:
Para la determinación de la separación S de los estribos, se toma el menor valor entre Vci y Vcw , en cada sección.
En la zona de la viga para x= 16 se presenta la máxima componente vertical de la fuerza de preesfuerzo de los cables 6 y 7. En consecuencia la separación entre estribos aumenta.
Área mínima de los estribos. Av ,m in
3,5bw S
f y
S m ax
2 *1,27 * 4200 3,5 * 20
152 cm
Límite de Vs V s 2,1 f ´c bw d P 2,1 350 * 20 *176 138291 kg 138 t
Espaciamiento de los estribos reducido a la mitad. V s 1,05 f ´c bw d P 1,05 350 * 20 *176 69146 kg 69,1 t 8. ÁNGULO DE SALIDA DE LOS CABLES
Derivada de la ecuación de la trayectoria de los cables. Ecuación de los cables: y
kx 2
dy dx
y´ tan 2kx
Carlos Ramiro Vallecilla B
24
MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
Sustituyendo los valores numéricos en cada una de las ecuaciones de los cinco cables del primer tensionamiento, se obtiene el siguiente ángulo de salida y1 ´
2 * 0,000547293
x
0,0010946 * 20 0,02243
y 2 ´
2 * 0,001380131
x
0,002760262 * 20,5 0,05658
y 3 ´
2 * 0,00221297
x
0,00442594 * 20,5 0,0907317
y 4 `
2 * 0,00304581
x
0,124878
y 5 ´
2 * 0,003878 x
0,1590
ar tan(0,02243 )
1 17´
3 14´
5 11´
7 07`
9 02`
2,00m
1,50m
m 0 1 ,
13º25¨
12º03¨
7 9º02¨
6 5
7º07¨
4 5º11¨
3 3º14¨
2
1º17¨
1
2,00m
,50m
1,00m
1,00m
ÁNGULO DE SALIDA DE LOS CABLES
9. LONGITUD DE LOS CABLES ENTRE APOYOS
Le ecuación de la longitud de una parábola de la forma: y
a
b
2
x 2
Es igual a: a L 2a b b
2
4a b
2
2a 1 0,5 LN b
4a b
2
1
Gráficamente: y
y=kx
a
x
Carlos Ramiro Vallecilla B
2
b
25
MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
La tabla siguiente resume la longitud entre anclajes de los siete cables de tensionamiento. LONGITUD DE LOS CABLES ENTRE ANCLAJES
CABLE
a(m)
b(m)
L(m)
1
0,23
20,5
41
2
0,58
20,5
41,02
3
0,93
20,5
41,06
4
1,28
20,5
41,11
5
1,63
20,5
41,16
6
1,95
18,5
37,27
7
1,95
17
34,3
10. ALARGAMIENTO DE LOS CABLES
La fórmula para el cálculo del alargamiento de los cables es: L
PL E sP A sP
Para un cable de 10 torones de 0,5 pulg, y para un módulo de elasticidad del acero de preesfuerzo igual a 2.000.000 kg/cm2, se obtiene: E sP A sP
10 * 0,987 * 2.000 .000
19.740 .000 kg 19 .740 t
Para el cálculo de los alargamientos se toma la fuerza efectiva P durante la transferencia en el centro de la luz,. ALARGAMIENTO DE LOS CABLES
CABLE
P(t)
L(m)
EA(t)
ΔL(m)
1
126
41
19740
0,2617
2
126
41,02
19740
0,2618
3
126
41,06
19740
0,2621
4
126
41,11
19740
0,2624
5
126
41,17
19740
0,2628
6
106
37,27
19740
0,2001
Un cálculo más detallado del alargamiento de los cables de tensionamiento requiere considerar la variación de la fuerza de preesfuerzo a lo largo de la luz así como el acortamiento del concreto, tal como se muestra a continuación (cálculos referidos al cable 1). y1
0,000547 x
kx
2
0,07
tan 0,001094 x
0,25 * 0,001094 x 0,003 x 0,0032735 x
Carlos Ramiro Vallecilla B
26
MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
Ecuación para el cálculo de P x del centro de la luz al anclaje activo Px
126e
0, 0032735 x
Ecuación para el cálculo de P x del centro de la luz al anclaje pasivo Px
126 e
0 , 0032735 x
FUERZA EFECTIVA. CABLE 1 x(m)
0
uα+kx
0
0,0131 0,0262 0,0393 0,0524 0,0671
1
1,0132 1,0265 1,0401 1,0538 1,0694
e
(uα+kx)
Px(t) e
126
-(uα+kx)
Px(t)
4
8
128
1
12
129
131
16
20,5
133
135
0,987 0,9742 0,9615 0,949 0,9351
126
125
123
122
120
118
Gráficamente: P(t) 137 135 133 131 129 127
126
125 123 121 119 117 115 20,5
16
12
4
8
0
4
x
8
12
16
20,5
L(m)
x
Ecuación para el cálculo del alargamiento del cable de tensionamiento. L 1 1 L P x dx E A E A E A E A sP sP sP sP c c c c 0 0 0 L
P x dx
L
P x dx
Cálculo de la integral mediante la regla de Simpson: Nota: se supone en los cálculos siguientes que 4m es el intervalo para la integración numérica.
Carlos Ramiro Vallecilla B
27
MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
S
1
4
2
4
2
4
2
4
2
4
1
Pef.
135
133
131
129
128
126
125
123
122
120
118
SPef.
135
532
262
516
256
504
250
492
244
480
118
SUMA
3789
41
x
P dx x
3
0
* 3789
4 3
* 3789 5052
Para un módulo de elasticidad del concreto igual a: E c
12500
f ´c
12500 315
221852
2
kg / cm
Se obtiene: 1 1 L 5052 0,259 m 0,288 m 4 7 2218520 * 0,695 2 * 10 * 9,87 * 10
Como se puede apreciar, la diferencia de resultados es mínima. 11. Perdida por penetración de cuña.
Dato: penetración de cuña= 6mm. Cálculos referidos al cables1 (compuesto por 10 torones de 0,5 pulg de diámetro) W W
Lc E sP AsP p
Distancia desde el anclaje móvil hasta el punto en que la fuerza de rozamiento por penetración
de cuña es cero. P 2pW Pérdida de fuerza de preesfuerzo entre dos puntos de la viga. Lc
Penetració n de cuña.
Para el cable 1, de 10 torones de 0,5 pulg de diámetro, se tiene: Fuerza en el anclaje = 135 t. Fuerza de preesfuerzo a una distancia igual a 4,5 m del apoyo =133 t. p
135
133
4,5
0,444 t / m
Si se supone que el módulo de elasticidad del acero de preesfuerzo es 2*10 7t/m2 , se tiene un longitud W igual a: 6 *10 * 2 *10 *10 * 0,987 *10 3
W
7
0,444
4
16,33 m
Por consiguiente la pérdida de fuerza de preesfuerzo en el anclaje, debida a la penetración de cuña es igual a: Carlos Ramiro Vallecilla B
28
MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
P
2pW 2 * 0,444*16,33 14,50 m.
Gráficamente: P(t) 16,33m 137 135 133 131 P=14,5 t
129 127
127,75 126
125 123 120,5 119 117 115 20,5 16
12
4
8
0
4
x
8
12
16
20,5
L(m)
x
Fuerza efectiva en el cable 1 una vez descontada la pérdida por penetración de cuña 7,25
x 16 m P 1 120 ,5
16 ,33
x 12 m P 1 120 ,5 x 8 m P 1 120 ,5
7,25 16 ,33
7,25 16 ,33
* 4,5 122 ,5 t
* 8,5 124 ,3 t
*12 ,5 126 t
En la tabla siguiente se resume el cálculo de la pérdida por penetración de cuña para los cables de primer tensionamiento. PÉRDIDA POR PENETRACIÓN DE CUÑA CABLE Panclaje(t) P,X=4,5m Δp(t) W(m) ΔP(t) x=20,5
x =16m
x =12m
x =8
x =4
1
135
133
0,444
16,33
14,52
120,48
122,5
124,4
126,2 no infuye
2
136
134
0,444
16,33
14,52
121,48
123,5
125,25
127
no infuye
3
138
135
0,667
13,32
17,76
120,24
123,2
125,9
128,6
131,2
4
139
136
0,667
13,32
17,76
121,24
124,2
126,9
129,6
132,2
5
140
137
0,667
13,32
17,76
122,24
125,2
127,9
130,6
133,2
Verificación de los esfuerzos en la sección simple, sometida a la fuerza de preesfuerzo más su peso propio, incluyendo las pérdidas por corrimiento en el anclaje. Carlos Ramiro Vallecilla B
29
MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
ESTADO DE ESFUERZOS EN EL CONC RETO INFLUENCIA DEL CORRIMIENTO EN EL ANCLAJE
Caso de carga : fuerza de preesfuerzo más peso propio de la viga Primer tensionamiento : 50 torones en 5 cables con 10 torones cada uno Fuerza en e l centro de la luz = 632 t X se mide del centro de la luz a los apoyos Los cables 1,3 y 5 se tensionan desde un mismo extremo Los cables 2 y 4 se tensionan desde el otro extremo Peso propio de la sección simple : 1,67 t/m Corrimiento e n el anclaje= 6 mm X(m) 0 4 8 12 16 20,5 2
A (m ) Ws Wi
0,695 0,695 0,695 0,695 0,695 0,695 0,3637895 0,3637895 0,3637895 0,3637895 0,3637895 0,3637895 0,3291429 0,3291429 0,3291429 0,3291429 0,3291429 0,3291429
µα1
0,000
0,001
0,002
0,003
0,004
0,006
µα2
0,000
0,003
0,006
0,008
0,011
0,014
µα3
0,000
0,004
0,009
0,013
0,018
0,023
µα4
0,000
0,006
0,012
0,018
0,024
0,031
µα5
0,000
0,008
0,016
0,023
0,031
0,040
Kx
0
0,012
0,024
0,036
0,048
0,0615
P1
126
128
126,20
124,40
122,50
120,48
P2
126
125
123
121
119
117
P3
126
131,20
128,60
125,90
123,20
120,24
P4
126
124
122
120
118
115
P5
126
133,20
130,60
127,90
125,20
122,24
e1
0,980
0,971
0,945
0,901
0,840
0,750
e2
0,980
0,958
0,892
0,781
0,627
0,400
e3
0,980
0,945
0,838
0,661
0,413
0,050
e4
0,980
0,931
0,785
0,541
0,200
-0,300
e5
0,900
0,841
0,664
0,369
-0,044
-0,650
Suma Pe Suma P
609 632
595 641
519 630
402 619
246 608
29 595
MD(t.m)
351
338
298
231
137
0
-199 -1694 -1733 ≈SI
-214 -1705 -1733 ≈SI
-298 -1579 -1733 SI
-420 -1410 -1733 SI
-574 -1206 -1733 SI
-777 -945 -1733 SI
Esf. Sup. Esf. Inf. Esf. Adm. CUMPLE
12. Cuadro de tensionamiento de la viga Carlos Ramiro Vallecilla B
30
MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
CUADRO DE TENSIONAMIENTO CABLE
TORONES
TENSIÓN EN F =0,5 pulg EL GATO (t)
1 2 3
10
TENSIÓN EN LONGITUD ENTRE EL CENTRO DE LA LUZ (t) ANCLAJES(m)
135
10
136
10
138
107
41,00
107
41,02
107
41,06
ALARGAMIENTO (cm)
26,17 26,18 26,21
ORDEN DE TENSIONAMIENTO O T
1 N E I M A
2 N O I S N
3 E T R
4
10
139
41,17
26,28
5
37,29
20,00
6
5
10
140
6
10
118
107
7
119
107
34,32 18,42
E
4
41,11
107
10
26,24
107
M I R P
-
7
O
A N G N
D O
N O
U S
N
I E S
T E E T
I M
TENSIONAMIENTO EFECTIVO EN EL CENTRO DE LA LUZ=29636 tm/VIGA LONGITUD DE TORONES DE 0,5 PULG(ENTRE ANCLAJES)=2770 m/VIGA TENSIONAMIENTO EFECTIVO POR TORÓN=10,7 t TENSIONAR LAS VIGAS DESDE UN EXTREMO
Cálculo del tensionamiento efectivo en el centro de la luz. (Después de descontadas todas las pérdidas) T . E .
107 * ( 41 41,02 41,06 41,1 41,17 37,29 34,32)
29636
t
Cálculo del número de torones de 0,5 pulg de diámetro por cable de 10 torones: No. torones. 10 * ( 41 41,02 41,06 41,1 41,17
37 ,29 34 ,32 )
2770 m / viga
13. Momento último de la sección.
Del grupo de cargas I, método de la resistencia última: M u 1,3 M D 1,67 M ( L I )
Sustituyendo los valores numéricos: M D
683 118
801 t .m
M ( l I ) 495 t .m
M u 1,3801 1,67 495 2116 t .m
Carlos Ramiro Vallecilla B
31
MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
El momento resistente para secciones rectangulares viene dado por las siguientes ecuaciones: A Ps
70 * 0,987
69 ,09
7 * 40 15 * 30
d
70 Ps
cm
10,43 cm d P 2,20 0,1043 2,10 m
69 ,09
A Ps b w d P
2
232 * 210
0,00142
Para acero de baja relajación debe tomarse: P 0,28
Igualmente: 1
0,85
f ´c 280
70
* 0,05
0,85
350
280
70
* 0,05
0,80
f f Ps f Pu 1 ( P )( P Pu ) 1 f ´c
f Ps 18900 1 (
a
A Ps f Ps
0,85 f ´c b
0,28 0,00142 *18900 )( 0,80 350 69 ,09 *18393
0,85 * 350 * 232
) 18393 kg / cm 2
18,41 cm
La sección se comporta como rectangular. En consecuencia:
M u A Ps f Ps (d P
a 18,41 ) 0,90 69,09 * 18393 ( 210 ) 229648264 2 2
kg .cm 2296 t .m
El momento último resistente Mu= 2296 t.m es mayor que el momento último actuante 2116 t.m. En consecuencia el diseño es satisfactorio. 14. verificación del acero mínimo .
De acuerdo con el CCDSP-95, la cantidad total de acero de preesforzado y no preesforzado debe ser la adecuada para desarrollar un momento último en la sección crítica de por lo menos 1,2 veces el momento e agrietamiento M* cr .Es decir: M u
1,2 M *cr
Carlos Ramiro Vallecilla B
32
MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
M *cr
( f r f pe ) S c M d / nc ( S c / S b 1)
Md/nc = Momento por carga muerta sobre la sección simple. M d / nc
1,67 * 412 8
351 t .m
2 f r= Módulo de rotura del concreto en kg/cm . Para concreto de peso normal:
f r 2,0 350 2,0 350 37 kg / cm 2
f pe = Esfuerzo de compresión en el concreto debido solamente a las fuerzas efectivas de preesfuerzo después de ocurridas todas las pérdidas en la fibra extrema precomprimida. Para pérdidas en etapa de servicio iguales al 15 % , se tiene el siguiente esfuerzo en la fibra extrema precomprimida, resultado de sumar los esfuerzos en la sección simple más los esfuerzos en la sección compuesta. f pe
0,85 * 5 *126 0,695
4 * 0,85 *126 * 0,98 *1,05 0,3456
2 * 0,85 *126 *1,32 *1,47 0,6539
771 1276
293
1* 0,85 *126 * 0,90 *1,05 0,3456
185 636
3161 t / m
2 * 0,85 *126 1,159
2
Sc= Módulo de sección compuesta en la fibra extrema precomprimida. S c
0,6539 1,47
0,4448 m
3
Sb=Módulo de sección simple en la fibra extrema precomprimida. S b
0,3456 1,05
0,3291
m
3
Sustituyendo los valores numéricos en M*cr , se obtiene: M *cr
0,4448 (370 3161 )0,3291 351 1 1038 t .m 0,3291
2296
t .m
1,2 *1038
1246 t .m
La sección cumple con los requisitos de acero mínimo. 14. revisión de los límites de ductilidad.
Carlos Ramiro Vallecilla B
33
MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
De acuerdo con el CCDSP-95, los elementos de concreto preesforzado deben diseñarse para que el acero y el concreto fluyan en condiciones de capacidad última. En general el índice de refuerzo en secciones rectangulares debe cumplir la siguiente relación: P f Ps f ´c
0,36 1
De acuerdo con los cálculos precedentes: 0,00142 *18393 350
0,074 0,36 * 0,80 0,288
La sección cumple con los requisitos de ductilidad. 15. Longitud de apoyo de la viga.
La longitud mínima de apoyo para puentes (A.3.5.9.3) con categoría de comportamiento sísmico C es: N
30,5 0,25 L 1,00 H
Donde: H= Altura promedio, en m, de las columnas o pilas que soportan el tablero hasta la siguiente junta de expansión. H es cero para puentes de una luz. L=Para puentes de una luz, L es la longitud del tablero. N
30,5 0,25 * 41 40,75
cm
50
cm
El diseño es satisfactorio. 16. avalúo de las pérdidas de fuerza de preesfuerzo.
De acuerdo con el Código Colombiano de Diseño Sísmico de puentes -1995, las pérdidas de fuerza de preesfuerzo se calculan de acurdo con la siguiente ecuación: f s
SH ES CRc
CR s
f s s pérdida total excluyendo la fricción, kg/cm 2
16.1. Pérdida por retracción de fraguado del concreto SH , kg/cm2. Carlos Ramiro Vallecilla B
34
MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
debidas a la retración de fraguado, kg/cm 2
SH Pérdidas
Para miembros postensados: SH 0,80(1190 10,5RH ) RH
Media anual de la humedad relativa del ambiente, en porcentaje
Se supone una humedad relativa del 75 % en el sitio de emplazamiento del puente. En estas condiciones: SH
0,80 (1190
10 ,5 * 75 )
322 kgc2
16.2. Pérdida por acortamiento elástico ES, kg/cm 2. Para miembros postensados: ES
E s=
0,5 E s f cir
E ci
Módulo de elasticidad del acero de postensado. Se puede suponer 2000000 kg/cm2.
E ci =
Modulo de elasticidad el concreto en el momento de la transferencia , el cul se
puede calcular así: 1,5
E ci
0,14(wc )
f ´c i
E ci
0,14(2400)
1,5
280
2
275438 kg / cm
f cir E sfuerzo en el concreto en el centro de gravedad del acero de preesfuerzo debido a la fuerza de preesfuerzo y a la carga muerta de la viga inmediatam ente después de la transferencia.
Distancia del eje centroidal de la sección simple al punto de aplicación de la resultante de fuerza de preesfuerzo: 1,05-0,10=0,95 m Cálculos referidos a la sección simple. f cir
5 *126
5 *126 * 0,95
0,695
0,3456
2
351 * 0,95 0,3456
1587 t / m 2 158 ,7 kg / cm 2
Obsérvese que los esfuerzos debidos al preesfuerzo y la carga muerta tienen signos contrarios. No se tuvo en cuenta la pérdida por acortamiento elástico ES
0,5 * 2 *10 6 *158,7 275438
576 kg / cm 2
16.3. Pérdida por flujo plástico del concreto, CRc , en kg/cm 2. Carlos Ramiro Vallecilla B
35
MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
CRc
f cds
12 f cir
7
f cds
E sfuerzo en el concreto en el centro de gravedad del acero de preesfuerzo debido a todas las cargas muertas exceptuand o la carga muerta presente en el momento en que se aplica la fuerza de preesfuerzo.
Intervienen en el cálculo de f cdsla carga muerta debida al peso de la losa (1,58 t/m) más las cargas sobreimpuestas (0,56 t/m).Cálculos referidos a lasección compuesta. Distancia del eje centroidal de la sección compuesta al punto de aplicación de la resultante de fuerza de preesfuerzo: 1,47-0,10=1,37m f cds CRc
(332
118 )1,37
0,6539
943 t / m
2
94,3 kg / cm
2
2
12 * 158 ,7 7 * 94,3 1244 kgcm
16.4. Pérdida debida a la relajación del acero de preesforzado, CR s , en kg/cm2. Para miembros postensados y torones de baja relajación: CR s
350
0,07 FR 0,1 ES 0,05 ( SH CRc )
FR =Reducción
en el esfuerzo por la pérdida por fricciónen kg/cm 2, por debajo del
nivel de 0,70 f pu en el punto en consideración. En este ejemplo se supone que FR es cero. CR s
350
0,1 * 576
0,05(322
1244 ) 214 kg / cm
2
Resumen de pérdidas. Retracción de fraguado: 322 kg/cm2 576 kg/cm 2
Acortamiento elástico:
Flujo plástico del concreto: 1244 kg/cm 2 Relajación del acero:
214 kg/cm2
SUMA
2356 kg/cm2.
Pérdida de fuerza de preesfuerzo referida a un cable de 10 torones: P 10 * 0,987
* 2356
23253 kg 23,25 t
Fuerza en el centro de la luz en el instante de la transferencia: 126 t. Fuerza en el centro de la luz una vez han ocurrido las pérdidas que se presentan durante la vida útil del puente: 126-23,25 =102,75 t En porcentaje: Carlos Ramiro Vallecilla B
36
MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
P %
23,25 126
*100 18,45%
El diseño se considera satisfactorio ya que existe una diferencia de tan sólo el 3,45 % entre el valor supuesto (15 %) de las pérdidas de fuerza de preesfuerzo y el valor calculado (18,45%). 17. cálculo de deflexiones
17.1 deflexiones en la sección simple. 17.1.1 Deflexión debida al preesfuerzo Coeficiente de rigidez E cIc de la sección simple Módulo de elasticidad del concreto para una resistencia del concreto, en el instante de la transferencia, igual a 315 kg/cm2. E c
E c I c
12500 315
221852
2218520 * 0,3456
2
kg / cm 766724
t .m
2218520
t / m
2
2
Constantes que intervienen en elcálculo de la deflexión producida por la fuerza de preesfuerzo en el centro de la luz de una viga simplemente apoyada.
P e1
P ?
f
?
EJE CENTROIDAL
e2
e1
CABLE DE PREESFUERZO
L/2
L/2 W Pcos? W=
Pcos?
?W ? W= L/2
4 5WL 384EI
L/2
M=Pe
?M
M=Pe
8Pf L2
L/2
L/2
? M=
2 ML 8EI
CÁLCULO DE DEFLEXIONES
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37
MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
Deflexión en el centro de la luz debida a una carga uniformemente repartida w: 4
w
5wL
384 E c I c
Deflexión debida al momento M. 2
8 ML
M
; M
E c I c
Pe
Ejemplo del cálculo de la deflexión debida al cable 1. Se toma la fuerza en el centro de la luz, durante la transferencia: P 1
126 t
Efecto de la carga equivalente w
8 Pf
2
8 * 126 * 0,23
2
41
L
0,138 t / m
La deflexión debida a la fuerza de preesfuerzo en el cable 1 es igual a: W 1
5WL
4
4
5 * 0,138 * 41 0,0073 m 384 EI 348 * 766724
Efecto de la excentricidad sobre apoyo: Sobre los apoyos el cable 1 presenta una excentricidad, por debajo del eje centroidal, igual a: 1,05-0,30=0,75 m L a deflexión debida a la excentricidad sobre apoyo del cable 1 es: 2
M 1
ML
8 EI
2
126 * 0,75 * 41 0,0259 8 * 766724
m
Por consiguiente, la deflexión total debida al cable de preesfuerzo 1 es igual a: W 1 M 1 0,0073 0,0259 0,0332 m
La tabla siguiente resume las cálculos necesarios para determinar la carga equivalente w (t/m), uniformemente repartida, que el preesfuerzo produce sobre el concreto, así como la excentricidad e(m) de los cables de preesfuerzo sobre apoyo y el momento flector correspondiente que estos producen. Convención: son positivas las deflexiones hacia arriba.
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38
MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
CABLE 1 2
P(t) 126 126
f(m) 0,23 0,58
e(m) 0,75 0,4
W(t/m) M=Pe (t.m) 0,138 94,5 0,348 50,4
3 4
126 126
0,93 1,28
0,05 -0,3
0,558 0,768
6,3 -37,8
5
126 1,55 SUMA
-0,65
0,929 2,740
-81,9 31,5
La deflexión en el centro de la luz, en la sección simple, debida a la fuerza total de preesfuerzo es igual a: 4
P
5 * 2,74 * 41
31,5 * 41
384 * 766724
2
8 * 766724
0,14
m
17.1.2Deflexiónen el centro de la luz, debida al peso propio de la sección simple (D=1,67 t/m), más el peso de la losa (1,58 t/m), cuando el concreto de esta última no ha fraguado: D
5 * (1,67 1,58) * 41 4
0,155
384 * 766720
m
Contraflecha en el centro de la luz: 0,155
0,14 0,015
m
1,5
cm
17.1.3Deflexiónen el centro de la luz debida a la carga viva. Coeficiente de rigidez para la sección compuesta: ( I= 0,6539 m 4) E c I c
10 *12500 350 * 0,6539 1529169 t .m
2
Deflexión debida ala línea de carga (incluye impacto y factor de rueda) w
1,198 * 1,94 * 0,5 * 1,44
P 1,198
(l I )
* 1,94 * 0,5 *12 4
5 * 1,67 * 41
384 * 1529169
1,67 t / m
13,94
t 3
13,94 * 41
48 * 1529169
0,053 m 5,3 cm
Valor máximo admisible de deformación por carga viva: m ax
L
800
4100 800
5,1
cm
5,3
cm
La deflexión por carga viva es menor que la máxima deflexión admisible, por consiguiente el diseño es satisfactorio. 18.
Detalles constructivos
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39
MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
A311+11#4C/0.20 L =3,35m
P22+2+2+2#4, L=4,00m
A2 7+7+7#4C/0.09 L= 1,93 m A4 11# 5 c/.15 A5 10# 5 c/.15
P24#4, L=4,00m
P34#4, L=3,15m
A4 8# 4 c/.20
A5 10# 5 c/.15
ESTRIBOS
P13#4
E3 #3
0,15
E3 #3,L=1,89 m
4 # 4 + 4 1 P
0,75
1 , 0
0 ,4 7
4 # 7 + 7 1 P
1 , 2
E1 #4
5 1 , 0
E2 #3
7 3 , 0
2 3 , 0 1 , 0
P14#4
E2#3 L=1,34m
0,5
0,3
E1 #4,L=5,1m ARMADURA PASIVA CENTRO DE LA LUZ ESC:1_____20
Carlos Ramiro Vallecilla B
40
MANUAL DE PUENTES EN CONCRETO POSTENSADO
A120+20+20# c/.10 L= 054m
5 1
, 0 9 0 . 0 / C m 4 3 # 9 , 7 1 0,05 + 7 = + L 7 2 5 A 1
A4 8# 4 c/.20
, 0
3 mallas .10*.09
A3 10+10#4C/0.20.L =3,35m 0,35
1, 0 2 1,91
A3 20#4C/0.20.L =3,28m
DETALLE DE LA ARMADURA SOBRE APOYO
2 , 0
2 , 0
5 , 0
5 1 , 0
0,05 2 , 1
2
5 2 , 0 2 , 0
0,12
5 1 , 0 3 , 0 5 1 , 0
1,95
1
2
1 2 , 0 5
2 , 2 0 , 0
0,12
Carlos Ramiro Vallecilla B
BLOQUE DE ANCLAJE DIMENSIONES
41
