GRAVITACIÓN 1. ¿Qué ¿Qué relación relación hay entre entre la aceleraci aceleración ón de la gravedad gravedad universal
?
Rta.:
/
y la constante de la gravitación
2. Calcular Calcular la altura altura de de un satélite satélite geoestacio geoestacionario nario.. 7
Rta.: 3,58 . 10 m 3. Dos satélites se encuentran en orbitas de radio
y
. Calcular la relación entre las
velocidades angulares, angulares, las velocidades velocidades lineales y entre los periodos. periodos. Rta.: (
)
/
; (
)
/
;(
)
/
2
4. En la superf superficie icie de un plan planeta eta esférico, esférico, la aceleració aceleración n de la gravedad gravedad es de 6,25 m/s m/s y a una 2
distancia de 3.000 km km encima de de la superficie de 4 m/s m/s . Calcular el radio del planeta. Rta.: 12.000 km 5. Determin Determinar ar la la acelera aceleración ción de la graved gravedad ad a una una altura altura de de 2.000 km de la superf superficie icie de la Tierra. 2
Rta.: 5,68 m/s
6. Demostrar Demostrar que que la velocidad de un un cuerpo abandonado abandonado a una una distancia h sobre la superficie 2
2
de la Tierra, cuando llega a su superficie es V = 2 g R [1/R – 1/ (R + h)] y que que en el caso caso de 2
que h sea mucho menor que R ( radio de la Tierra). La expresión se reduce a V = 2 g h 2
2
2
Rta.: V =2 g R [ 1/R – 1/ (R + h) ] ; V = 2 g h 7. ¿A qué distancia del centro de la Tierra un cuerpo cuerpo pesa la la décima parte parte de lo que pesa pesa sobre la superficie? Rta.: 20.144 km 8. Suponiend Suponiendo o que que la masa de la la Tierra Tierra es
81 veces mayor que la luna luna,, ¿A qué distan distancia cia del
centro de de la Tierra, un un cuerpo situado entre entre la Tierra y la Luna sería igualmente igualmente atraído por los dos astros? Rta.: 350.272 km 9. Si un cuerpo fuese fuese llevado a la superficie de de un planeta de de forma esférica cuya masa masa fuese 8 veces mayor que que la de la Tierra y cuyo radio fuese 4 veces mayor que que el de la Tierra, ¿Cuál sería el peso del cuerpo con relación a su peso en la Tierra? Rta.: 0,5 W 10. Sabiendo que la masa de la Luna es 0,012 veces la masa de la Tierra y que el radio lunar es 0,27 veces el radio terrestre, ¿Cuál es el periodo de oscilación de un péndulo que que en la Tierra tiene un periodo T = 1 s? Rta.: 2,46 s
74
11. La Tierra gira gira alrededor del Sol en una órbita que que puede ser considerada considerada circular. Manteniendo fijo el radio de esa esa órbita pero imaginando que que la masa del del Sol fuese cuatro veces el valor real, ¿Cuál sería la relación entre la nueva velocidad angular de traslación de la Tierra y la real? Rta.: 2 12. Se sabe que la luz proveniente del Sol tarda tarda en llegar a la tierra 8,5 minutos. Considerando 8
que la velocidad velocidad de la luz es 3 × 10 m/s, calcular el valor de la masa del Sol. 30
Rta.: 2,13 . 10 kg 13. Calcular el periodo de rotación, alrededor alrededor de su eje, de un planeta, de radio R = 6.400 km y de 2 aceleración de la gravedad g = 9,8 m/s , para que una persona en reposo sobre la superficie del planeta, se sienta flotar. Rta.: 1,41 h 14. Un satélite artificial, en órbita circular a 700 km de altitud, completa completa por día un número de vueltas alrededor de la Tierra. Ti erra. Hallar dicho número de vueltas. Rta.: 14,6 vueltas 15. ¿A qué distancia distancia del centro de de la Tierra la intensidad del campo gravitacional gravitacional es igual a su valor en el centro de la Tierra? Rta.: 16. Dos estrellas giran en torno de su centro de masa común. Una de las estrellas tiene una masa M, que es dos veces la masa de la otra. Determinar el periodo de rotación de las estrellas en torno a su centro de masa, sabiendo sabiendo que ambas estrellas estrellas están separadas separadas una distancia distancia d. 3
Rta.: 2
1/2
(d /(3Gm))
17. Un péndulo de longitud L forma un ángulo
con la horizontal debido a una masa M
ubicada a una distancia L de la vertical. vertical. Hallar el valor de la masa masa M. L m M L 2
Rta.: g L (1 – cos cos
)2 /(G /(G tg
)
18. Si la Luna tuviese el triple de la masa que tiene tiene y si su órbita fuese fuese la misma, ¿Cuál ¿Cuál sería sería su periodo de revolución en torno de la Tierra? Rta.: 2
3
1/2
(R /(GM))
19. Cierto sistema sistema de estrellas triples consta de dos estrellas, cada una de masa m, que giran giran en la misma órbita circular circular en torno a una estrella central, de masa masa M. Las dos estrellas están situadas en los extremos opuestos de un diámetro de la órbita circular. Obtener una expresión para el periodo de revolución de las estrellas. estrellas. El radio de la órbita es r. Rta.: 4
3/2
r
1/2
/(G(4M + m))
75
20. Se practica una oquedad oquedad esférica dentro de una una esfera de plomo de de radio R, de modo que su superficie toque la superficie exterior de la esfera de plomo y pase por su centro. centro. La masa de la esfera antes de practicar practicar la oquedad era M. ¿Cuál será la fuerza de atracción gravitacional con que la esfera de plomo ahuecada atraerá a una pequeña masa m que está situada a una distancia distanci a d del centro de la esfera de plomo? ¿Cuál será la nueva energía potencial gravitacional del sistema? 2
2
2
2
Rta.: 1/2 G mM(7d – 8 d R +2 R )/ d .(2d .(2d – R )
; - 1/4 G mM( mM(7d– 7d– 4 R )/ d.(2 d.(2d d–R)
21. Tres estrellas de masa M cada una, formando una estrella triple, giran en torno torno de su centro de masa común y están están situadas en los vértices de un triángulo triángulo equilátero de lado L. a) ¿Con qué qué velocidad velocidad deben deben moverse moverse las las estrellas estrellas para para que giren giren todas todas ellas bajo bajo la influencia de sus fuerzas gravitacionales, en una órbita c ircular que circunscribe al triángulo, con la condición de que se siga conservando el triángulo equilátero? b) ¿Cuál ¿Cuál es el periodo periodo de de cada una una de de las estrellas estrellas? ? c) ¿Cuál ¿Cuál es la fuerza fuerza resultante resultante en el centro centro de masa masa del sistema sistema? ? 1/2
Rta.: a) (G M/ M/ L )
;
b) 2
3
1/2
(L /(3 G M))
;
0
22. Hallar el peso de de un cuerpo de masa m en el centro centro de la Tierra. Rta.: 0 23. Sabiendo que el período de la Luna es aproximadamente aproximadamente 28 días, calcular la distancia distancia entre la Tierra y la Luna.(Considerar Luna.(Considerar el radio de la Tierra de 6.370 km) 8 Rta.: 3,89 . 10 m 24. El valor de la constante de gravitación universal en el Sistema Internacional es . Deducir el valor de dicha constante si las unidades de la misma
= 6,673 6,673 × 10 2
deben ser kgf . km . kg -18
Rta.: 6,809 . 10
-2 2
-2
kgf km kg
25. Deducir la fórmula que nos permita calcular calcular el periodo T de un satélite cuya cuya órbita se encuentra a una una altura h = R sobre la superficie terrestre en función del radio terrestre terrestre R, la masa de la Tierra M y las constantes adecuadas. Rta.: 4
1/2
R ( 2R / G M )
26. ¿A qué altura sobre la superficie de la Tierra y a qué velocidad velocidad debe girar girar un satélite 24
6
para que que de 4 vueltas en 24 h? M = 5,97 5,97 × 10 kg ; R = 6, 6, 37 × 10 m. Rta.: 10.388 km ; 4,87 km/s 27. Tres satélites artificiales A, B y centro de la Tierra. A
C se encuentran en órbitas circulares en torno al
y B están en órbitas de radios iguales, en tanto que C se
encuentra más alejado de de la Tierra. Suponga Suponga que mA > mB > mC ¿Cómo son los periodos de los satélites entre si? Rta.: TA = TB < TC
76
28. Un satélite artificial de 1.540 kg es lanzado a una órbita circular alrededor de la Tierra y a una altura de 15.000 15.000 km sobre la superficie superficie terrestre. Sabiendo que que el radio terrestre terrestre es de 6.370 km y que la aceleración aceleración de la gravedad gravedad en la superficie superficie es de 2
9,8 m/s , calcular: a) La velo velocid cidad ad del del satéli satélite. te. b) Su perí períod odo. o. c) La fue fuerz rza a centr centríp ípet eta. a. Rta.: 4,31 km/s
; 31.127 s ; 1.341 N
29. A partir de las leyes de gravitación, calcular el valor de la aceleración de la gravedad. 2
Rta.: 9,81 m/s
30. De dos planetas planetas de masas iguales pero de radio diferentes, ¿Cuál tiene tiene mayor aceleración aceleración de la gravedad en su superficie? Rta.: menor radio 31. ¿A qué qué altura sobre la superficie superficie de la Tierra y a qué qué velocidad de órbita tiene que girar girar un satélite para que quede estacionado sobre un punto fijo de la Tierra? Suponer que la órbita del satélite es concéntrica concéntrica con la circunferencia circunferencia de la Tierra y que además se se encuentra encuentra en el plano ecuatorial. M = 5,97 × 1024 kg ; R = 6,37 × 106 m. 7
Rta.: 3,59 . 10 m ; 3,07 3,07 km /s 32. Dos satélites satélites iguales están en órbitas circulares de igual radio, uno alrededor de la Tierra y el otro alrededor alrededor de la Luna. ¿Cuál ¿Cuál de los satélites satélites emplea menor tiempo en efectuar un giro? Rta.: satélite terrestre 33. ¿Por qué los astronautas astronautas cuando cuando están en la
Luna dan grandes saltos saltos con mayor mayor
facilidad que en la la Tierra? Justificar Justificar Rta.: FL < FT 34. Dos masas M y m se hallan separadas por una distancia d. Se desea que la fuerza de atracción gravitacional sobre una partícula ubicada a una distancia d/2 de cada masa sea cero. ¿A qué distancia de la masa M se debe colocar una segunda se gunda masa m? 1/2
Rta.: Rta.: ½ d (1 + (m / ( M – m ))
35. Un satélite geoestacionario geoestacionario permanece a una cierta distancia D del centro de la Tierra, sobre un punto del ecuador terrestre. Determinar el periodo del satélite que describe una órbita circular de radio 2D. Rta.: 67,88 h
77
TRABAJO Y ENERGÍA 1. Una Una mas masa a punt puntua uall m parte del reposo y se desliza sobre la superficie de una esfera sin rozamiento, de radio r. Tome el nivel de la energía potencial en el punto superior. Determine en función al ángulo que se indica: a) La variac variación ión de la la energía energía potencia potenciall de la masa. masa. b) La energí energía a ciné cinétic tica. a. c) Las aceleraci aceleraciones ones radial radial y tange tangencial ncial.. d) El ángulo ángulo en que que la masa masa abandon abandona a la esfera. esfera. Rta.: Rta.: a) – m g r (1 – cos ) ; b) m g r (1 – cos ) ; c) g sen
, 2g (1 – cos ) ; d) 48,19° 48,19°
2. Se hace hace girar un cuerpo en en una circunfer circunferencia encia vertic vertical al por medio medio de una cuerda cuerda.. Demostrar Demostrar que la tensión de la cuerda en el punto más bajo excede a la tensión en el punto superior en seis veces el peso del cuerpo. Rta.: a.: 6 m g 3. El cable cable de un elevador elevador que pesa 17.800 17.800 N, revienta revienta rompe cuando cuando el elevador elevador estaba estaba en reposo en el primer piso, de modo que la base del del elevador queda a una una distancia d = 3,66 m por encima de un resorte amortiguador cuya constante elástica es k = 146 N/m. Un dispositivo de seguridad sujeta a los ríeles de guías de modo que se provoca una fuerza de fricción de 4.450 N que se opone al movimiento del eleva dor. Encontrar: Encontrar: a) La velocidad velocidad del elevador elevador un momento momento antes antes de que llegue llegue al resorte. b) La distan distancia cia de compresión compresión del resorte resorte.. c) La distanc distancia ia que el elevador elevador rebota rebota hacia hacia arriba arriba por por su pozo. pozo. d) La distancia distancia total total que recorrerá recorrerá el elevador antes de quedar quedar en reposo. reposo.
d k
Rta.: Rta.: a) 7,33 m/s
;
b) 0,9 m
;
c) 2,72 m
;
d) 14,88 m
K=146000 N/m
4. Una masa M suspendida suspendida por medio de un resorte en el punto superior A de un anillo circular, situado situado en plano vertical, vertical, cae deslizándose sobre sobre el anillo. Calcular Calcular la constante constante k del resorte para la cual la reacción reacción que ejerce el anillo sobre sobre la masa masa M en el punto inferior B es igual a cero. En la la posición inicial el resorte tiene su longitud longitud natural. R = 20 cm ; AM = 20 cm ; M =5 kg. cm
O
M
R B
Rta. Rta.:: 490 490 N/m N/m 78
5. El bloque bloque de de masa masa m =60 =60 kg está sometido sometido a una fuerza fuerza F que varía varía según según el grafico F=f(X). En la la posición posición A el resorte resorte de constante k = 100 N/m tiene su longitud natural l0 =1 m. Sabiendo que que parte del reposo y que en B su velocidad velocidad es de 3 m/s, determinar: a) El trabajo trabajo que que realiza realiza la fuerza fuerza F. b) El trabaj trabajo o realizad realizado o por la la fuerza fuerza de de rozamient rozamiento. o. F 10 N
A
x F
x 2
k 30° B
Rta.: Rta.: a) 13 J
;
b) 202,2 202,2 J
6. Un resorte ideal sin masa se puede comprimir
1 m mediante una fuerza de 100 kgf. Ese
mismo resorte se coloca en la parte inferior de un plano inclinado, sin rozamiento que forma un ángulo ángulo de 30° con respecto a la horizontal. Una masa M = 10 kg se suelta a partir partir del reposo en la parte superior superior
del plano inclinado y queda en reposo momentáneamente momentáneamente
después de comprimir el resorte 2 m. a) ¿A qué distan distancia cia resbaló resbaló la masa antes antes de de quedar en reposo? reposo? b) ¿Cuál es la velocidad de la la masa cuando cuando está a punto de de hacer contacto contacto con el resorte? M
30°
Rta. Rta.:: a) 40 m
;
b) 19,3 19,3 m/s m/s
7. El bloque A de masa 0,5 kg se encuentra a una altura H = 5 m sobre un plano inclinado 30°, donde
k = 0,10. Desde allí se desliza libremente libremente y choca con el resorte de de constante
k = 0,30 kg/cm, que se encuentra en la base del plano. a) Deducir Deducir el valor valor de la altura altura H’, despu después és del rebote. rebote. b) ¿Cuánto ¿Cuánto se comprime comprime el resorte resorte en la posición posición final de equilibri equilibrio? o? c) ¿Qué ¿Qué distancia distancia recorre recorre el bloque bloque hasta alcanza alcanzarr la posición posición de equilibrio? equilibrio? A M
H=5 m 30°
Rta.: Rta.: a) 3,5 m
; b) 0,01 m
k
; c) 57,8 m 79
8. Un plano plano inclinado inclinado un ángulo ángulo de 30° 30° con respecto respecto a la horizonta horizontal, l, tiene un bloque bloque de masa
m= 1 kg que comprime el resorte resorte de constante k= 50 kgf/cm, una
distancia x0= 2 cm. cm. Sabiendo Sabiendo que después después de que la masa M es disparada disparada por el resorte, alcanza una distancia distancia horizontal horizontal d= 1,45 m contada a partir del del final del del plano inclinado inclinado de altura h= 0,25 m, calcular calcular el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano. h
M 30°
d
Rta. Rta.:: 0,22 0,22 9. Se desea desea lanz lanzar ar una una masa masa M = 50 g con ayuda ayuda de de un resorte resorte de consta constante nte k= 8 N/m N/m de de tal forma que la masa sortee un obstáculo de 33 cm de altura, situado a 66 cm del resorte y caiga en un punto a 90 cm del resorte. Calcular cuanto se debe comprimir el resorte y en que dirección se la debe colocar.
33 cm
66 cm 90 cm
Rta.: Rta.: 0,32 0,32 m ; 61,93° 61,93° 10. Un cuerpo de de masa m = 2 kg, parte del reposo del punto punto A. En la parte parte horizontal de la vía, el coeficiente de rozamiento rozamiento cinético es 0,2. La masa comprime al resorte, de constante constante k= 100 N/m, una distancia de 30 cm antes de detenerse y regresar. Calcular la velocidad de la masa en el punto B y el trabajo de la fuerza de rozamiento desde desde A hasta B. A
12 m
5m
B
Rta. Rta.:: 7,26 7,26 m/s m/s ; – 45,2 45,29 9J 11. La masa m cae a partir del del reposo a lo largo de una una vía sin rozamiento. Calcular en el punto A: a) La velo velocid cidad ad de de la mas masa. a. b) La fuerza fuerza normal normal que que ejerce ejerce la vía sobre sobre la masa. masa. c) Las compon componentes entes normal normal y tangencial tangencial de la acelera aceleración ción de de la masa. m =0,5 kg R=1,0 m R 3m
30° A 2
Rta.: Rta.: a) 7 m/s ; b) 26,95 26,95 N ; c) 49 m/s 80
2
; 8,49 m/ s
12. Un cuerpo A desliza desde una una altura H, partiendo del punto punto A, en una una vía sin rozamiento y sale despedido por el borde derecho que forma un ángulo de 45° con la la horizontal. Calcular Calcular la altura H mínima para que el cuerpo cuerpo sea capaz de atravesar atravesar la fosa de 20 m de longitud. m
45°
H
h = 3m 20 m
Rta. Rta.:: 11,7 11,7 m 13. Hallar la velocidad inicial V0 con que debe soltarse el bloque para que su alcance horizontal sea de h= 1 m. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y todos los planos es 0,5.
h 45°
45° 2h
h/2
h
Rta. Rta.:: 5,57 5,57 m/s m/s 14. El bloque de masa m= 10 kg se encuentra en una posición en la cual el resorte (k= 100 N/m) tiene su longitud natural l0= 0,30 m. El bloque desliza sobre la superficie horizontal y luego sobre la cilíndrica cilíndrica de radio R= 0,15 m. En la posición indicada, indicada, a 30° respecto a la vertical, el bloque se despega despega de la superficie. Despreciando Despreciando el rozamiento, determinar determinar la velocidad V0 que debe tener el bloque inicialmente.
2R k m
30°
m
R
Rta. Rta.:: 0,92 0,92 m/s m/s 15. El clavo esta situado a una distancia d por debajo debajo del punto punto de suspensión. Demostrar que d debe ser por lo menos 0,6 L, si se quiere
que la bola de una vuelta
completa en un círculo cuyo centro sea el
clavo. d
Rta. Rta.:: 0,6 0,6 L
81
16. Una partícula de masa m se mueve en un un círculo círculo vertical vertical de radio radio R, dentro de una vía sin sin rozamiento. rozamiento. Cuando m se encuentra encuentra en la posición posición más baja, lleva una velocidad v0. ¿Cuál ¿Cuál deberá ser el mínimo valor de de v0 para que la masa m logre dar dar una vuelta completa en el circulo sin despegarse de la vía? Si la velocidad en el punto más bajo es sólo del del 75% del valor valor calculado anteriormente, la partícula se moverá hasta cierto cierto punto P, en el cual se despegara de la vía y seguirá moviéndose según la trayectoria marcada con línea de puntos. Encontrar la posición angular
del punto punto P donde la partícula se se despegará la
vía.
P
R
1/2
Rta. Rta.:: (5 g R) R)
; arcsen (1/3)
17. Una partícula resbala resbala por un carril cuyos extremos están elevados, mientras que su parte central es plana. La La parte plana tiene una longitud L = 2m. Las porciones curvas del carril no tienen fricción y en la parte plana el coeficiente de fricción cinética es
k=
0,2. La partícula se
suelta en el punto punto A que está a una altura h= 1 m sobre la parte parte plana del carril. carril. ¿Dónde se detendrá finalmente la partícula? m h L
Rta.: Rta.: en el medi medio o de la la vía 18. Un resorte resorte de constante k= 200 kg/m está está comprimido comprimido 20 cm y empuja a una una masa M= 5 kg sobre una una mesa horizontal. horizontal. Si inicialmente la masa M se encuentra a 2 m del borde borde la mesa y en reposo, calcular la distancia distancia D en que la masa masa toca el piso. El coeficiente de rozamiento rozamiento cinético entre entre la mesa y la masa es es 0,2 y la altura de la mesa es de 1 m. D
k M
H=1m
Rta.: 1,26 m 82
19. Un cuerpo de masa 5 kg parte del reposo en la posición A. Sobre dicho cuerpo actúan una fuerza fuerza F= 10 N constante constante y un resorte de constante constante de k = 75 N/m, cuya longitud natural es 55 cm. No existe rozamiento. Hallar: a) El trabajo trabajo hecho hecho por la fuerza fuerza F desde desde A hasta B. b) La fuerza fuerza en el resorte resorte cuando cuando pasa pasa por por B. c) La veloci velocidad dad del del cuerpo cuerpo cuando cuando pasa pasa por B. B.
0,50 m F
A m B 0,50 m
Rta.: Rta.: a) 5 J
; b) 3,5 N ; c) c) 1,53 m/s
20. Un bloque de masa m= 2 kg se comprime contra un resorte de constante k= 1,5 kg/cm. En estas condiciones queda situado a una distancia L= 0,25 m del punto B donde termina la superficie horizontal. horizontal. La superficie curva de radio R= 0,5 m no tiene rozamiento y la superficie horizontal tiene un coeficiente de rozamiento cinético
k=
0,1 con el bloque. El bloque se
despega de la superficie en el punto A. ¿Cuánto se comprime comprime el resorte?
R 150°
m
L
Rta.: 0,18 ,18 m 21. Una partícula de 0,5 kg sujeta a una cuerda sigue una circunferencia vertical. Cuando pasa por el punto A, la tensión de la cuerda es de 10 kgf. Si la cuerda se suelta cuando la partícula está en B, calcular la distancia D. B
30°
R=1m
A
C
Rta.: 13,8 m 83
22. El gráfico representa la la variación de la intensidad de la fuerza F en función del desplazamiento desplazamiento x. la fuerza es siempre paralela al al desplazamiento. A partir partir de dicho gráfico, calcular: a) El trabajo trabajo realizado realizado por la fuerza fuerza F entre entre x =0 y x=10 b) La potencia potencia desarrollada, desarrollada, sabiendo sabiendo que que el tiempo empleado empleado fue de 30 s. s. F(N) 8
6
4
2
2
Rta.: Rta.: a) 32 J
4
6
8
X(m)
10
; b) 1,07 1,07 W
23. Una esfera esfera de 10 kg de masa gira en una circunferencia circunferencia vertical vertical – Al pasar por por el punto A, la tensión de la cuerda es de 1.545 N. si sale disparada en B, calcular a que altura h choca la muralla. B 45°
R=1m h
8,6 m
A
Rta. Rta.:: 3,39 3,39 m 24. En la vía sin rozamiento, desde el punto punto A se deja caer un un cuerpo a partir partir del reposo. Calcular: a) La altura h de la la que que se deja caer para para que recorra la distancia BC en 0,1 s. b) El valor de de la fuerza aplicada por la vía sobre el bloque en el punto punto D. m= 2 kg
C h
B
h/6 h/6 h/6
Rta.: Rta.: a) 4,1 m ; b) 156,8 156,8 N 84
25. Un cuerpo cuerpo de masa masa m= 10 kg esta suspendido de una cuerda de 1 m de longitud. longitud. Se coloca el sistema en posición horizontal y se lo suelta. Sabiendo que la cuerda se rompe para una tensión de 10 kgf, calcular en que posición esto ocurre. Una vez rota la cuerda, decir que trayectoria trayectoria describirá el cuerpo y sí cae o no sobre la mesa. Dar la distancia horizontal horizontal a partir del punto de rotura. L
L
L
L
L
Rta. Rta.:: 0,22 0,22 m 26. Un balde que contiene agua, con una masa total de 10 kg , se encuentra girando en una circunferencia circunferencia vertical de de radio r = 2 m. Si la la velocidad en el punto punto más alto de su trayectoria trayectoria es de 5 m/s, calcular la tensión de cuerda cuerda en el punto más bajo de su trayectoria. Rta.: 615 N 27. El bloque de masa m= 1 kg de la figura desliza sobre un plano plano inclinado a partir partir de la posición indicada. indicada. El resorte que que está unido al bloque tiene una una longitud natural natural l0 = 10 cm y se encuentra inicialmente perpendicular al plano inclinado. La constante elástica de resorte es k=500 N/m, el coeficiente de rozamiento cinético
k=
0, y el ángulo
= 53°. Sabiendo que el
bloque queda finalmente en reposo a una distancia d= 15 cm de su posición original, calcular:
M
V0 d = 15cm
20 cm
a) La veloci velocidad dad inicia iniciall v0 del bloque. b) El máximo máximo valor valor de de la fuerza fuerza normal normal en el el tramo recorrido.
53°
Rta.: Rta.: a) 1,97 m/s ; b) 65,9 N
28. Un motociclista motociclista de circo que con su moto tiene una una masa de 200 kg, avanza hacia hacia una pista que forma un rulo rulo (circunferencia vertical) vertical) de radio R= 3 m, con una velocidad de de 63 km/h, efectuando efectuando una vuelta completa, antes de salir por el lado derecho de la pista. a) ¿Cuál ¿Cuál es la la velocidad velocidad en el punto punto B?
B
b) ¿Cuál ¿Cuál es la fuerza fuerza que ejerce ejerce la pista pista sobre sobre la moto en el mismo punto? C
c) ¿Cuáles ¿Cuáles son los vectores vectores veloci velocidad dad y aceler aceleració ación n en el punto C? d) ¿Cuál ¿Cuál es la mínima mínima velocidad velocidad con que que el motociclist motociclista a debe avanzar para dar la vuelta completa?
A 2
Rta.: Rta.: a) 13,73 m/s ; b) 10.608 10.608 N ; c) – 15,73 j (m/s) (m/s) , 82,48 i – 9,8 j (m/s ) ; d) d) 43,65 m/s
85
R
29. Un cuerpo de 98 N sube sube el plano inclinado de la figura a partir del punto A, con una velocidad inicial v0= 54 km/h. Se desea saber: a) La veloc velocid idad ad instan instantá tánea nea al al pasar pasar por por B. b) La dist distan anci cia a d. d. c) El tiempo tiempo total que tarda tarda el móvil móvil de de ir de de A hasta C.
k=
0,4 ; L= 3 m ; h= 1,8 m
B L V0
h C
A
Rta.: Rta.: a) 13,07 m/s
; b) 2,13 m
d
;
c) 0,41 s
30. Sobre un cuerpo obra una sola sola fuerza en un movimiento rectilíneo. En la figura se muestra una gráfica de la velocidad en función del tiempo para ese cuerpo. Encontrar el signo (positivo o negativo) del trabajo efectuado por la fuerza sobre el cuerpo en cada uno de los intervalos AB, BC , CD y DE. v C
B
t
D A E
Rta.:
+
;
0
;
-
; +
31. Desde el punto A de la pista circular circular sin rozamiento y de radio R= 2 m se suelta un bloque de masa m = 500 g que está está comprimiendo un un resorte de de constante k= 20 kgf/cm una una distancia x, tal como se muestra en la figura. Si el e l bloque desliza sobre la pista sin despegarse, calcular: a) El míni mínimo mo valor valor de de x. x. b) Las aceleraciones aceleraciones normal y tangencial del bloque al pasar por el punto punto B.
B k
R m A
Rta. Rta.:: a) 0,0 0,05 m
;
b) 12,5 12,5 m
32. Un juego de feria consiste consiste en un carro carro de masa masa M sujeto a un brazo de de longitud L. L. El carro se suelta desde la posición más alta, donde estaba en reposo. Cuando el carro pasa por la posición horizontal, horizontal, ¿Cuál será la variación de la energía potencial? potencial? Cuando el carro carro pasa por la posición más baja, que valor tendrá su energía cinética, la aceleración neta él y la fuerza neta sobre un hombre hombre de masa masa m que se encuentra encuentra sobre el carro. Rta.: Rta.: - m g L
;
2mgL
; 4g
; 5mg 86
33. La masa puntual m= 50 g de la figura se se sujeta apretando apretando un resorte de constante constante k=
k= 20 N/cm una una longitud longitud L= 5 m y coeficiente de de rozamiento rozamiento cinético cinético
0,4. Al
terminar la trayectoria plana entra en una vía circular lisa que está en un plano vertical y que tiene un radio R= 2 m. Al salir de la trayectoria circular la pista tiene otro tramo plano y recto BC, de longitud indefinida, pero con el mismo coeficiente de rozamiento. a) ¿Cuál ¿Cuál es es el míni mínimo mo valo valorr de x0 que asegure asegure que la masa m recorre la parte parte circular circular de la pista sin despegarse? b) Bajo las condi condiciones ciones de la pregunta pregunta anterior, ¿a qué distancia
d del
punto B se detiene detiene finalmente finalmente la
R m A
masa m?
B L
Rta.: Rta.: a) 0,059 0,059 m
;
C d
b) 12,5 12,5 m
34. De dos dos resortes resortes de constantes constantes k1 y k2 sujetos del techo cuelgan masas iguales M. Si k1 < k 2 y los resortes tienen masas despreciables, ¿Cuál de ellos almacena más energía potencial? Rta. Rta.:: resor resorte te 1 35. Calcular la altura H a la cual se despega el cuerpo M del dro de radio R, si parte del punto A en reposo y no no existe rozamiento. rozamiento. M A
H
R
Rta.: 5 R/3 36. El cuerpo cuerpo de masa masa 2 kg comprime el resorte de constante constante elástica 300 N/m. Las superficies planas son son rugosas mientras mientras que el rizo (radio (radio R=1 m) es liso. El coeficiente de rozamiento rozamiento cinético entre las las superficies planas planas y el cuerpo es de 0,2. Calcular: a) La compresión compresión mínima del del resorte de modo modo que el cuerpo cuerpo pase justo por el punto punto A. b) La distancia horizontal a partir partir de de B donde el cuerpo cuerpo se se detiene. detiene. (la figura muestra al cuerpo sin comprimir al resorte) A
k m
1m 30° 2m
Rta. Rta.:: a) 0,55 0,55 m
; 12,5 12,5 m 87
2m
37. Un objeto de de 250 g se empuja contra contra el resorte (k= 600 n/m) y se se suelta desde la posición A. despreciando el rozamiento, determinar la deformación mínima del resorte para la cual el objeto viajará alrededor alrededor del aro BCD (R= 0,60 m) permaneciendo permaneciendo en todo momento en contacto contacto con el e l aro. D
C k
R W B
Rta.: 11,07 cm 38. Un cuerpo se mueve mueve una distancia de 10 m bajo la acción acción de de una fuerza F que tiene un valor constante constante de de 5,5 kgf durante los 6 primeros
6
metros y disminuye luego hasta un valor de 2 4
kgf como se muestra en la figura. Encontrar el trabajo realizado:
2
a) Durante Durante los primeros primeros 6 metros metros..
Rta.: Rta.: a) 970,2 970,2 J
2 4 6 8 10 Distancia (m)
0
b) Durante Durante los últimos últimos 4 metros. metros.
F W
; b) 398,37 398,37 J
39. En la posición que muestra muestra en la figura se tie ne un cuerpo de masa m = 10 kg, en reposo sobre una superficie rugosa. La superficie horizontal tiene un coeficiente de rozamiento resorte en la la posición
A tiene tiene
k=0,3
y el
du longitud longitud natural. natural. Luego se comprime comprime el resorte, de
constante k= 100 kgf/cm, una una longitud de 5 cm y se suelta. Desde el punto punto B hasta hasta el punto C la superficie superficie es cilíndrica, cilíndrica, sin rozamiento y 2m
de radio radio R= 1m. Hallar: a) La dista distancia ncia d, d, a partir partir del centro centro del cilindro, a la cual cae el cuerpo. b) La velocidad velocidad del cuerpo cuerpo en el punto punto B para la cual el cuerpo no se despega de la superficie cilíndrica.
Rta.: Rta.: a) 1,59 1,59 m
;
m A
B = 0,3
=0
R C d
b) no exist existe e
40. Se dispara un proyectil proyectil verticalmente hacia arriba, desde la superficie superficie de la tierra, con una velocidad inicial de 10 km/s. No tomando en cuenta el efecto retardador de la atmosfera, ¿a qué altura sobre sobre la superficie de la tierra llegaría? Considerar el radio terrestre R= 6.370 km Rta.: a.: 25632 5632 km
88
41. Dos resorte A y B son idénticos salvo que kA < kB. ¿Cómo son entre sí los trabajos realizados en cada resorte: a) Al deformarlo deformarloss la misma distanci distancia. a. b) Al aplicarles aplicarles la misma misma fuerza fuerza F. Rta.: a) WA < WB
;
b)
WA > WB
42. El cuerpo de masa m = 500 g, firmemente firmemente adherido al resorte se suelta suelta a partir del del reposo. Con los grafico de la fuerza del resorte FR, la fuerza de rozamiento Fr y la fuerza F en función del desplazamiento x, determinar:
y
a) La constante constante elástica elástica del resorte k b) El coeficiente de rozamiento cinético
F
k
k entre el plano
30°
m
y el cuerpo.
x
c) Una fórmula que que permita obtener la la energía cinética en función del desplazamiento x. d) El valor de x con el cual la velocidad del cuerpo es
f(N)
nuevamente cero.
F
Los gráficos se han confeccionado considerando que las
3,5
fuerzas actúan sobre el cuerpo con respecto al sentido
FR
positivo establecido en la figura.
2
-1,575
Rta. Rta.:: a) 200 200 N/m N/m ;
2
b) 0,5 0,5
; c) - 100 100 x + 5,46 x
;
x(cm) Fr
d) 5,46 cm
43. ¿Qué trabajo es necesario realizar para que en el tiempo t sea posible subir una escalera mecánica del aeropuerto, que se mueve hacia abajo? La altura de subida es h, la velocidad de la escalera es v y el ángulo que la escalera forma con la horizontal horizontal es Rta. Rta.:: m g (v t sen sen
.
+h)
44. Por un plano inclinado un ángulo
con respecto a la horizontal y de longitud L, cuya mitad
superior carece de rozamiento, mientras que la mitad inferior la tiene ( k), se deja resbalar un cuerpo. Representar Representar en un gráfico su velocidad en función del camino recorrido. 45. El sistema de la figura consiste en un un plano plano inclinado un ángulo
con un generador generador eléctrico
que sirve sirve para para encender encender una lámpara incandescente de potencia potencia P. El generador gira por medio de un bloque de masa M que se se desliza por el plano con velocidad velocidad constante. constante. Sabiendo que el rendimiento rendimiento del generador generador es entre el plano y el bloque es
k,
calcular la distancia x que deberá recorrer el bloque en un
tiempo t para que la lámpara alumbre al máximo.
M
Rta. Rta.:: P t / (
M g ( sen sen
-
y que que el coeficiente coeficiente de rozamiento cinético
k cos
)) 89
46. Un cuerpo cuerpo de de masa M= 5 kg parte del reposo reposo en la posición posición A como se muestra muestra en la figura. Sobre dicho cuerpo cuerpo actúan una fuerza F = 10 N constante y un un resorte de constante constante k= 75 N/m cuya longitud natural es 50 cm. Hallar:
k 0,50 m
F M A
B 0,50 m
Rta.: Rta.: a) - 0,24 0,24 J
;
b) 40,51 40,51 N , 52,75 52,75 N
47. El bloque de masa m mostrado en la figura, se desliza inicialmente sobre la superficie horizontal IO sin rozamiento con velocidad v constante. Al llegar al punto O pasa a deslizarse sobre la superficie horizontal OF, con un coeficiente coeficiente de rozamiento cinético
k.
Hallar la distancia que recorrerá el bloque antes de detenerse, medida a partir del punto O. v
M
F
O
I k
2
Rta.: 1/2 v / (g 48. Dos resortes
k)
A y B son idénticos salvo que kA= 3kB. ¿Cómo son entre sí los trabajos
realizados en cada cada resorte al aplicarles aplicarles la misma fuerza fuerza F? Rta.: a.: 1/3 49. Un cuerpo de peso W sube por un plano inclinado que forma un ángulo
con la horizontal,
por la acción de de una fuerza variable F, paralela al plano. Hallar el trabajo trabajo mecánico realizado por el peso cuando cuando el cuerpo alcanza alcanza una altura h, por encima del del punto de partida. partida. Rta.: - W h 50. Un bloque desliza hacia abajo con velocidad constante sobre un plano inclinado un ángulo con la horizontal. Después se lanza hacia arriba sobre el mismo plano con una velocidad v 0. Determinar la distancia s que recorrerá sobre el plano inclinado antes de detenerse y lo que ocurrirá después. 2
Rta.: v0 / (4 g sen )
90
51. El trabajo trabajo realizado por por una fuerza fuerza constante constante F(newton) que actúa actúa sobre un cuerpo durante durante un tiempo t (minuto) (minuto) para elevar una altura altura h (m) es W (joule). Calcular el trabajo, en joule, que que realizará para elevarlo a la misma altura pero en un tiempo 2t. Rta.: W 52. Un bloque de masa m se suelta a partir del reposo de la posición A y desciende sobre la pista de la figura, supuestamente sin rozamiento, deteniéndose en C, después de
A
comprimir el resorte de constante elástica
C
k. En estas condiciones, calcular la máxima
k
deformación sufrida por el resorte. 1/2
Rta.: Rta.: ( 2m g (hA – hC) / k)
B
t(s)
53. Una bomba bomba con un rendimiento igual a 40%, es accionada accionada por un motor que le suministra suministra una potencia de 1/4 CV (1 (1 CV = 735 W). Esa Esa bomba colecta agua agua en reposo y la deposita deposita en un reservorio a 49 m de altura, llegando con velocidad despreciable. En esas condiciones, hallar la cantidad de de litros de agua que el reservorio recibe por hora. Rta.: 551 54. Dos bloques idénticos de masa masa m están unidos unidos a los extremos extremos de de un resorte ideal ideal de constante constante elástica k y longitud natural natural Lo. El sistema se sitúa sitúa en posición vertical apoyado apoyado sobre una mesa como se indica en la figura. El bloque superior se desplaza hacia abajo una distancia d, d, partiendo de su posición de equilibrio y a continuación continuación se libera sin velocidad velocidad inicial. Hallar: a) El máximo máximo valor valor de la reacc reacción ión de de la mesa mesa b) El mínimo valor de la distancia distancia d para que que el bloque bloque inferior inferior llegue a separarse separarse de de la mesa. m
d
m
Rta.: Rta.: a) 2 m g + k d
; b) 2 m g / k
55. Calcula Calcularr el mínimo ángulo ángulo
para que el péndulo de masa m y longitud L llegue justamente
a la posición horizontal horizontal indicada en la figura, después después que la cuerda gire alrededor del clavo O fijo.
L
L/2
Rta.: a.: 60°
91
56. Una cinta cinta transportadora transportadora debe levantar 20 fardos de 1.800 kg cada uno, hasta una altura de 10 m, no debiendo emplear más de 15 minutos para hacerlo. Si el rendimiento del sistema es del 75%, determinar la potencia
10 m
mínima del motor requerida en HP. Rta.: 7 HP
15 m
57. Una cuerda cuerda enrollada en la polea de un motor levanta un un cuerpo del del piso, con aceleración aceleración constante desde el reposo. Construir el gráfico de la potencia P desarrollada por el motor, en función de la altura h alcanzada alcanzada por el cuerpo. 58. Un collar collar de masa m se acopla acopla a un un resorte y se desliza sin rozamiento rozamiento a lo largo de una verilla circula circula de radio radio R, la cual cual se encuentra encuentra en
B
un plano horizontal. El resorte no está deformado
m
k
cuando está en C y su constante constante es k. Si el collar A
se abandona en reposo en B, hallar la velocidad
C
del collar cuando pasa por el punto C. (AC= 1,4 R)
O R
1/2
Rta. Rta.:: 1,2 1,2 R ( k / m)
59. En la la figura, el cuerpo de de 0,2 kg es lanzado a partir del del reposo por por el resorte de constante 3
elástica 6 . 10 N/m y describe describe la la trayectoria trayectoria
G
D , E , F , G , H e I sin perder perder contacto contacto con la trayectoria.
Despreciando
el
rozamiento,
H
calcular la mínima compresión del resorte para
C
que esto ocurra. Rta. Rta.:: 0,01 0,01 m
D 10 cm
F 10 cm
E
I
60. El carro de de una montaña rusa rusa sin fricción, parte del punto punto A con velocidad v0, como se indica en la figura. Supóngase que puede ser considerado como una partícula y que siempre se mantiene sobre su carril. a) ¿Con qué velocidad velocidad pasará pasará por los puntos puntos B y C? b) ¿Qué desaceleración desaceleración constante constante se requeriría requeriría para detenerlo detenerlo en el punto punto E si se se aplican los frenos en el punto D? A
B
H
C
H
H/2
D a
b
a 2 1/2
Rta.: a) v0 , (g h + v0 )
;
E L 2
b) 1/2 (2 g h + v0 ) / L
92
CANTIDAD DE MOVIMIENTO 1. Un perro perro que pesa 10 10 libras está está sobre sobre una batea de de tal manera manera que queda queda a 20 pies de una ribera. Camina Camina 8 pies sobre la la batea hacia hacia la costa y ahí ahí se detiene. La batea pesa pesa 40 libras y se puede suponer que no hay fricción entre el agua y ella. ¿A qué distancia de la orilla estará al transcurrir transcurrir este tiempo? Rta.: 13,6 pie 2. Una Una bola bola de masa masa m y de radio R se encuentra colocada en el interior de una esfera hueca más grande, que tiene su misma masa y un radio interno 2R. Esta combinación está en reposo sobre una superficie sin fricción tal como se muestra en la figura. Se suelta la bola pequeña y finalmente se detiene en el fondo. ¿Cuál será la distancia que se habrá movido la esfera durante durante este proceso?
R m
2R m
Rta.: R/2 3. Ricardo, cuya masa masa es de 80 kg y Carmelita Carmelita disfrutan disfrutan un atardecer en una canoa canoa de 30 kg. Cuando la canoa se encuentra en reposo en aguas tranquilas, se intercambian sus lugares, que están separados una distancia de 3 m y que que están localizados simétricamente simétricamente respecto al centro de la canoa. Ricardo nota que la canoa se mueve 0,40 m respecto de un tronco sumergido y con ello calcula la de Carmelita. ¿Cuál es esta masa? Rta.: 58 kg 4. Un objeto de de 5 kg con una una rapidez rapidez inicial de 15 m/s, incide sobre una una lámina lámina de de acero con un ángulo de 45° y rebota con la misma rapidez y con el mismo ángulo, ángulo, según según se indica en la figura. ¿Cuál es el cambio del ímpetu del objeto en dirección y magnitud? m
45°
45°
Rta.: 212,13 j ( kg m/s ) 5. Un cuerpo de 8 kg de de masa masa se está está moviendo con una velocidad de 2 m/s, m/s, sin influencia de ninguna fuerza externa. En cierto instante ocurre una explosión interna que divide al cuerpo en dos fragmentos que que tienen 4 kg de masa cada cada uno. La La explosión suministra una una energía traslacional de 16 J al sistema formado por los dos fragmentos. Ninguno de los dos fragmentos fragmentos se sale de la línea original del movimiento. movimiento. Determinar la rapidez rapidez y el sentido del movimiento de cada uno de los fragmentos después de la explosión. Rta.: 0 ; 4 i ( m/s ) 93
6. Una vasija vasija que estaba estaba en reposo, reposo, explota explota rompiéndos rompiéndose e en tres fragmentos fragmentos.. Dos de ellos, que tienen igual masa, vuelan perpendicularmente perpendicularmente entre sí y con la misma rapidez de 30 m/s. El tercer fragmento tiene tres veces la masa de cada uno de los otros dos. ¿Cuál es la dirección y magnitud de su velocidad inmediatamente después de la explosión? Rta.: 14,14 m/s ; 135° 7. Un proyectil se dispara dispara desde un cañón cañón con una velocidad de 1.500 pies/s a un ángulo de de 60° respecto de la horizontal. El proyectil explota en dos fragmentos de igual masa, 50 s después de haber abandonado el cañón. Uno de los fragmentos, cuya rapidez justo después de la explosión es cero, cae verticalmente. ¿A qué distancia del cañón cae el otro fragmento, suponiendo que el terreno está a nivel? Rta.: 25.514 m 8. Un cuer cuerpo po de masa masa m está colocado sobre una cuña de masa M, que a su vez se apoya sobre una mesa horizontal. horizontal. Todas las superficies son lisas lisas y sin fricción. fricción. Si el sistema sistema parte del reposo, estando el punto P del cuerpo a una distancia h por encima de la mesa, encontrar la velocidad de la cuña en el instante en que el punto P toca la mesa. m P h M 2
2
Rta.: ( 2m h g cos
2
/ (m + M) / (M + m sen
))1/2
9. Una plataforma plataforma de ferroc ferrocarril, arril, cuyo peso peso es W, puede rodar sin fricción sobre un carril horizontal recto, como se muestra en la figura. Inicialmente el hombre de peso w está parado sobre la plataforma que se mueve a la derecha con velocidad v0. ¿Cuál será el cambio de velocidad de la plataforma si el hombre empieza a correr hacia la izquierda, de tal manera que su rapidez con relación a la plataforma es v rel, justo antes de que salte por el extremo izquierdo? w
W
V0
Rta.: w vrel / (w (w + W) 10. ¿Cuál debe ser ser la mínima velocidad velocidad v0 de una masa m, para que luego de chocar contra la masa 2m vuelca a subir al punto más alto del rizo? m V0 R=1m 2m
Rta.: 20,04 m/s 94
11. Un platillo de de 200 g de masa, masa, suspendido de un cierto resorte, resorte, lo alarga 10 cm. Se deja caer una bola de barro de 200 g desde una altura de 30 cm, partiendo del reposo. Hallar la máxima distancia que se desplaza el platillo hacia abajo.
m
30 cm
Rta.: 0,30 m 12. Las dos masas de la derecha están inicialmente en reposo y un poco separadas. La masa de de la izquierda incide con una rapidez de v0. Suponiendo que las colisiones eran frontales, demostrar: a) Si M < m hay dos colisiones y encontrar todas las velocidades velocidades finales. b) Si M > m hay tres colisiones y encontrar todas las velocidades finales. V0
m
M
m
13. Un automóvil cuya cuya masa es de 1.500 kg avanza a lo largo de una calle en dirección dirección norte con una velocidad velocidad de 50 km/h. al llegar a la bocacalle bocacalle choca con un camión cuya masa es 5.000 kg y que avanza por la calle transversal en dirección oeste con una velocidad de 60 km/h. Si c omo consecuencia del choque ambos vehículo quedan unidos, dar la velocidad inmediatamente después del choque y la e nergía cinética perdida durante el mismo. Rta.: 47,57 km/h
; 271648 J
14. Una partícula partícula de masa m desliza a partir del reposo desde el punto A en una vía sin rozamiento. Abandona Abandona la vía en el e l punto B y en el punto C (punto más alto de su trayectoria) choca elásticamente contra otra partícula de masa M = 2m, que estaba inicialmente en reposo. Calcular la máxima altura H’ a la que se elevará M. m R= 30 cm H= 100 cm
A
M=2m
H O R
M
R
C B
Rta.: 0,75 m
95
H’
15. Demostrar Demostrar que la fuerza que actúa entre dos cuerpos que chocan inelásticamente durante durante un tiempo t es:
F= m1 m2 (v1 – v2)/[( m1 + m2) t ]
16. Calcular Calcular el trabajo hecho por una bala de 0,10 g para atravesar un bloque y la fuerza de rozamiento media existente entre la bala y el bloque. Las velocidades inicial y final de la bala son respectivamente 300 y 250 m/s. La bala atraviesa el bloque en 0,5 s. Rta.: 1,375 J
; 0,01 N
17. Dos péndulos, ambos de longitud L, están colocados originalmente originalmente como se indica el la figura. El primer péndulo se suelta y pega contra el segundo. Suponga que el choque es completamente inelástico y que no se tiene en cuenta las masas de las cuerdas ni ningún efecto de rozamiento. ¿Hasta qué altura se el eva el centro de masas después del choque?
d 2
m1
m2
2
Rta.: m1 d / (m1 + m2)
18. Un cuerpo de masa m1 = 2 kg resbala sobre una mesa sin fricción con una velocidad de 10 m/s. directamente enfrente enfrente de él y moviéndose en su misma misma dirección está está otro cuerpo de de masa m2 = 5 kg cuya velocidad es de 3 m/s. A la parte posterior de m2 se sujeta un resorte sin masa con una constante constante elástica k= 1.120 N/m. Cuando los cuerpos cuerpos chocan, ¿Cuál será la máxima compresión del resorte? V02 V01 k m2 m1
Rta.: 0,25 m 19. Una bola de masa m es proyectada con una velocidad vi en el ánima de una pistola de resorte de masa M que inicialmente está en reposo sobre una superficie sin fricción. La masa
m se atora en el ánima en el punto de máxima compresión del resorte. No se pierde energía por fricción. ¿Qué ¿Qué fracción de la energía cinética inicial de la bola se almacena almacena en el resorte? V0 M
m
Rta.: M / (m (m + M) 96
20. Demostrar Demostrar que la aceleración del centro de masas m asas del sistema de la figura es 2
2
acm= g (m1 – m2) / (m1 + m2)
m1 > m2
m1 m2
21. Una bala bala de masa m y velocidad v pasa a través de un péndulo péndulo de masa masa M, saliendo con velocidad v/2. La esfera pendular cuelga del extremo de una cuerda de longitud L. ¿Cuál es el menor valor de v para el cual el péndulo completará una circunferencia entera? entera? O
v/2 v M 1/2
Rta.: 2 M (5 g L)
/(2m1)
22. El bloque bloque A parte del reposo y se desliza cuesta abajo abajo hasta chocar elásticamente con B. ¿A qué distancia del punto C se detendrá cada bloque sabiendo que el coeficiente de rozamiento k=
entre los bloques y todas las superficies es A
0,18 h= 4,9 m
m
h 2m 30°
B C h
Rta.: 11,06 m
; 3,36 m
23.La 23. La masa m de la izquierda se mueve con velocidad v0 hacia la derecha y choca elásticamente con la masa m/2 que está en reposo en el centro. La masa del centro avanza luego luego hacia la derecha y choca choca con una masa masa M que también está en reposo reposo y más hacia la derecha, derecha, de tal forma que estas estas últimas quedan pegadas pegadas después del último último choque. Calcular Calcular el valor de la masa M en función función de m, para que luego de de los dos dos choques, todas las masas tengan la misma velocidad. Se desprecia el rozamiento entre los bloques y el piso. V0 M m
m/2
Rta.: M= 3 m/2 97
24. Las partículas de masas m1 y m2 chocan como se indica en la figura. Sabiendo que m2 está inicialmente en reposo, calcular la mínima velocidad v 0 que debe tener m1 para que m2 pueda subir hasta la parte superior del plano inclinado. El choque es perfectamente perfectamente elástico.
h
=0 V0
m1
Rta.: (m1 + m2) (2 g L)
m2
1/2
/(2m1)
25. Una bala de masa m = 10 g se mueve con con velocidad v0 y se incrusta en un bloque de masa M = 990 g, el cual se encuentra inicialmente en reposo unido unido a un un resorte de de constante k = 2 N/m. El resorte resorte se comprime 2 cm. Calcular v0 si el coeficiente de rozamiento entre el bloque y la superficie es 0,2. Calcular el trabajo hecho por la bala al penetrar en el bloque. V0
k M
m
Rta.: 28,14 m/s
; 3,36 m
26. Sobre un cuerpo cuerpo de masa m= 5 kg, actúa una fuerza F, tal tal como se indica en el diagrama. Si para t1= 2s la velocidad de la masa es 4 m/s, hallar su velocidad, en m/s, para t2= 5s. F(N)
8 5 t(s) 2
5
Rta.: 7,9 m/s 27. El barco barco transportador transportador de minerales, cuya cuya masa es M, pasa bajo un dispositivo cargador a una velocidad v0, recibiendo una masa m de minerales durante un tiempo t. Calcular el valor de la aceleración aceleración media del navío durante el tiempo de cargado.
M
Rta.: m v0 / ((M + m) t) 98
28. Dos masas
M1
y
M2
que se encuentran sobre un plano horizontal sin
rozamiento, comprimen un resorte de constante k, una longitud x. Si las masas se sueltan a partir del reposo, expresar las velocidades de cada masa en función de M1 , M2 , k y x , en el instante que la fuerza del resorte es cero. k
M1
M2 2
1/2
Rta.: M2 x ( k / M1 M2 + M2 ))
2
1/2
; x (k M1 / (M1 M2 + M2 ))
29. Una bala de masa m= 2 g se mueve horizontalmente a la velocidad v= 500 m/s y atraviesa una bola de madera de masa masa M= 1 kg que cuelga en reposo de una cuerda cuerda de longitud L= 1 m, como se muestra en la figura. Luego de atravesar la bola, la bala queda con una velocidad de 100 m/s. a) ¿Con qué qué velocidad velocidad comienz comienza a a moverse moverse la bola de de madera madera luego de ser atravesada por la bala? b) ¿Cuál ¿Cuál es la altura altura máxima que que alcanza alcanza la bola bola respecto respecto de la posición que se muestra en la figura?
v
c) ¿Cuál ¿Cuál es el trabajo trabajo de de la fuerza fuerza de fricción fricción entre entre la bola bola y la bala? Rta.: a) 0,8 m/s
m
; b) 0,03 m
M
; c)239,68 J
30. 30. Una Una masa masa m y velocidad v pega perpendicularmente contra una pared y rebota sin disminuir su velocidad. Si el tiempo que dura el choque es t. ¿Cuál es la fuerza media ejercida por la pelota sobre la pared? Rta.: 2 m v/t 31. Una masa m1 avanza con una velocidad v0 hacia otra masa m2 que descansa en reposo sobre una superficie horizontal sin rozamiento. ¿Qué relación tiene que haber entre las masas, para para que después después del choque, choque, m1 rebote para atrás con una velocidad v 0/2? ¿Cuál es entonces la la expresión que nos permite calcular la velocidad velocidad de m2 después del choque? Rta.: m2= 3 m1 ; 1/2 v0 32. Sabiendo que que la fuerza que ejerce la pista circular de la figura sobre sobre la masa m= 2 kg, es seis veces su peso, calcular la la mínima masa M del otro bloque que que se encuentra encuentra en reposo sobre la superficie superficie horizontal, para que el bloque bloque m, luego de chocar chocar elásticamente con el bloque M, rebote hacia hacia atrás y alcance alcance el punto B sin despegarse de de la pista. R= 5 m B A
m R 120° M
Rta.: 12,59 kg 99
33. Dos cuerpos cuerpos se dirigen el uno hacia el otro y chocan elásticamente. elásticamente. Si M1 tiene una velocidad V1
y M2=M1 /2
tiene una velocidad v = 2v1. Determinar las
velocidades finales de ambos cuerpos. c uerpos. Rta. Rta.:: - v1
; 2 v1
34. Considérese Considérese un choque elástico elástico en una dirección dirección entre un cuerpo cuerpo dado A que llega llega a un cuerpo B
que está inicialmente inicialmente en reposo. reposo. ¿Cómo ¿Cómo escogería usted usted la masa masa de B en
comparación comparación con la masa de A para que B rebote con la máxima máxima velocidad? Rta.: mA >> mB 35. ¿Qué fracción de la energía cinética inicial es transmitida por una partícula de masa m, que se mueve con velocidad v, en un choque frontal elástico con otra partícula de masa inicialmente en reposo? Expresar el resultado en función de la razón valor de
m’
m’ / m. ¿Para qué
la transferencia es máxima y cuánto vale?
36. Un cuerpo de de masa M avanza con velocidad v0 hacia otro de masa m que esta en reposo, como se muestra en la figura. Ambos cuerpos chocan elásticamente, rebotando el cuerpo de masa M hacia la izquierda izquierda y el de masa masa m hacia la derecha hasta chocar elásticamente contra la pared. ¿Cuál debe ser la relación m/M si los cuerpos terminan moviéndose hacia la izquierda con la misma velocidad final u? V0 m
M
Rta.: 3 37. Un hombre hombre de masa M, que lleva puesto patines, está parado sobre la superficie congelada de un lago. Lleva en sus bolsillos una esfera de plomo de masa m. Arroja horizontalmente la esfera de plomo con una velocidad relativa u respecto de sí mismo. ¿Con qué velocidad v se mueve el hombre con respecto al lago después de tirar la esfera? Suponga que no hay rozamiento entre el hombre y la superficie congelada del lago. Rta.: m u / (m + M) 38. Sobre un un riel sin rozamiento un deslizador 1, de masa masa m, se aproxima con velocidad v 0 al deslizador 2, de masa M, inicialmente en reposo. Suponiendo que el choque es elástico demostrar que la velocidad del centro de masa del sistema es la misma antes y después del choque. 39. Un hombre de masa M, que lleva puesto patines, está parado sobre la superficie congelada de un lago. Lleva en sus bolsillos dos esferas de plomo de masa m cada una. En forma sucesiva arroja horizontalmente las dos esferas de plomo con una velocidad relativa u respec respecto to de sí mismo. ¿Con qué velocidad v se mueve el hombre con respecto al lago después de tirar las dos esferas? Suponga que no hay rozamiento entre el hombre y la superficie congelada del lago. Rta.: m (2M + 3m) u / (M + 2m) / (M + m) 100
40. Tres bolas de plastilina se mueven mueven en la forma que se
1 kg
indica en la figura y al chocar en un punto continúan
15 m/s
moviéndose moviéndose como una sola. Hallar:
30°
0,5 kg
a) La veloci velocidad dad de de la masa masa combin combinada ada
5 m/s
inmediatamente después del choque. b) La pérd pérdida ida de ene energí rgía. a.
7,5 m/s
Rta.: a) 5,16 i + 1,25 j (m/s)
;
b) 12 kgrm
1,5 kg
41. La masa masa m de la izquierda se mueve con velocidad v0 hacia la derecha y choca elásticamente con la masa M que está en reposo en el centro. La masa del centro avanza luego hacia la derecha y choca con la masa m que también está en reposo y más hacia la derecha, de tal forma que estas últimas quedan pegadas después del último choque. Calcular el valor de la masa M en función de m, para que luego de los dos choques, todas las masa tengan la misma velocidad. Se desprecia el rozamiento entre los bloques y el piso. V0 M m
m
1/2
Rta.: M= (2 – 1) m 42. Dos hombres hombres de igual masa se mueven sobre patines patines especiales, que que van sujetos al piso sobre sendos carriles paralelos y sin fricción. Uno de los hombres viaja a velocidad v perseguido por el otro que lleva sobre sus hombros a un niño de masa m y que viaja con una velocidad 2v. En el instante en que se cruzan, el niño se pasa al hombro del otro patinador. La masa combinada de cada cada hombre y su patín es 2m. a) Escriba la fórmula que que permita calcular calcular la velocidad de ambos ambos hombres después después de que el niño realizó el traspaso en función de los datos que se mencionan en el problema. b) ¿Se pierde pierde o se gana energía energía en el proceso? proceso? Justifique Justifique con una una fórmula. fórmula. 43. Una masa masa m1= 12 kg que se mueve con una velocidad velocidad v1=4 m/s y choca choca elásticamente elásticamente contra una una masa masa m2 que se encuentra en reposo. Rta.: a) 36 kg
;
b) 2 m/s
44. Una bomba bomba de masa m y velocidad v0 explota en tres fragmentos fragmentos de la forma indicada en la figura. Las masas de los fragmentos 2 y 3 son m/2 y m/3 respectivamente, en tanto que la velocidad del del fragmento 3 es el triple de de v0. Los fragmentos salen disparados de tal manera que la dirección de m1 es perpendicular a las direcciones de m2 y m3, siendo las direcciones de m2 y m3, opuestas. m2
a) Hallar Hallar las velocid velocidad ades es v1 y v2 de los fragmentos 2 y 3. b) ¿La energía energía mecánic mecánica a aumenta, aumenta, disminuy disminuye e o es la misma?
m
Justificar. V0
Rta.: a) v1= 6 v0 , v2= 2 v0
;
b) aumenta
101
m1 m3
45. El grafico de de la figura representa la variación de una fuerza F aplicada a una masa m1=20 kg que se mueve a lo largo de una línea recta sin rozamiento desde un punto A hasta un punto B. a) Ha Hall llar ar la la veloc velocid idad ad de de la masa masa m1 en el punto B si la del punto A es la tercera parte del del módulo de la velocidad del patín de la figura de 40 kg, luego de que un hombre de 60 kg haya saltado con un ángulo de 20° con la horizontal y una velocidad de 10 m/s (el patín se encontraba inicialmente en reposo). b) Si m1 choca en el punto B con una masa m 2= 20 kg kg que avanza en sentido opuesto opuesto con una velocidad de 3/2 de la de m1, hallar el módulo y el sentido de la velocidad después del choque si el mismo es completamente inelástico. F(kgf) 6
3
t(s) 2
3
5
46. Un cuerpo de masa masa m= 10 kg descansa descansa sobre una cuña cuña de masa M= 100 kg y una una inclinación de
= 30° , la cual cual a su su vez descansa descansa sobre una mesa horizontal, como se muestra en la
figura. Despreciar el rozamiento en todas las superficies. Suponiendo que el punto P del bloque se encuentra a una distancia distancia h= 2 m y que es sistema sistema se encuentra encuentra inicialmente en reposo, encontrar encontrar la velocidad de la cuña en el instante en que el punto P llega a la mesa. m
h M
Rta.: 0,51 m/s 47. En un plano plano horizontal, absolutament absolutamente e liso, se encuentran encuentran en reposo dos bloques 1 y 2, de masas iguales a m, unidas por por un resorte de constante constante k y longitud normal normal L. En dirección dirección al bloque de la izquierda se mueve un tercer tercer bloque con una una velocidad v cuya masa también es
m. Calcular Calcular las velocidades de de los bloques bloques 1 y 2 en el momento momento de máxima deformación deformación del del resorte y la distancia entre los mismos en ese instante. Demostrar que los bloque unidos por el resorte se moverán siempre en un mismo sentido. V0 k 3
Rta.: 1/2 v
1
2
1/2
; L ± 1/2 v (2 m / k)
102
48. Dos péndulos, cada cada uno de 1,20 m de longitud, están suspendidos del mismo punto, como se muestra en la figura. La masa M 1 es 10/5 UTM y la masa M2 es 5/3 UTM. Si se suelta M1 a partir del reposo y desde la posición horizontal, determinar las alturas máximas que alcanzan las masas. M1
M2
Rta.: 0,010 m ; 1,43 m 49. Un cuerpo cuerpo de masa m =2 kg está inicialmente en reposo. reposo. En el instante instante t=0, actúan sobre sobre él dos fuerzas F1 y F2 que varían con el tiempo de acuerdo al grafico indicado en la figura. Calcular Calcular la velocidad del cuerpo después de 6 segundos de la aplicación de las fuerzas F1 y F2. F(N) 12
t(s) 2
6
-4
Rta.: 8 m/s 50. En un choque elástico en una dirección y en un mismo sentido entre dos masas m1 y m2, encontrar encontrar la velocidad vel ocidad del centro de masa de las dos partículas, sabiendo que sus velocidades antes del choque eran v1 y v2 respectivamente. Rta.: (m1 v1 + m2 v2) / (m1 + m2) 51. Un cuerpo de masa m=5 kg se mueve mueve hacia la izquierda izquierda con una velocidad de 10 m/s, durante 2 segundos. Calcular la variación de su cantidad de movimiento expresada en unidades del SI. Rta.: 0 52. Un jugador de fútbol patea un tiro libre aplicando una fuerza de 30 kgf a una pelota de 0,5 kg de masa, durante 0,10 s. Hallar la velocidad con que sale disparada di sparada la pelota. Rta.: 212 km/h 53. Dos cuerpos A y B, de masas m y 10 m , se hallan unidos por un resorte comprimido como se muestra en la figura. Se sueltan los los bloques y el bloque A adquiere una velocidad VA. El resorte tiene una constante k. Calcular la distancia x que estaba comprimida el resorte. B
k
10 m
A m
Rta.: (1,1 m/ k)1/2
103
54. Dos trozos de de arcillas de masas masas mA = 0,250 kg y mB = 0,500 kg, chocan. Siendo VA1= 10 m/s y VB1= 100 m/s. Tras el choque ambas masas se desplazan unidas. Determinar Determinar la pérdida porcentual de energía a causa del c hoque. Rta.: 27 % 55. Un cañón y n proyectiles están dentro de un carro de ferrocarril sellado de longitud L. El cañón dispara hacia la derecha y el carro retrocede hacia la izquierda. Las balas permanecen en el carro después de chocar contra la pared del mismo a una velocidad V. Después de que se hayan disparado todos los proyectiles, hallar la velocidad del carro.
M v m
56. Un hombre hombre de masa m se halla parado sobre un tablón de de longitud L y masa M, apoyado en una superficie sin rozamiento, en la posición mostrada en la figura. Posteriormente se desplaza una distancia L/2 hacia la izquierda. izquierda. Calcular la distancia d que se desplazará el extremo B del tablón. L/4
L/2
L/4 m M
Rta.: 1/2 m L / (m + M) 57. Un objeto de masa m a una velocidad v golpea una placa de acero con un ángulo a y rebota a igual velocidad velocidad y ángulo. Determinar Determinar el cambio de la cantidad cantidad de movimiento P. m
Rta.: 2 m v sen
j
58. Una ametralladora ametralladora dispara sus proyectiles de 50 g con una velocidad de 1000 m/s. El tirador, manteniéndola en sus manos, puede ejercer una fuerza media de 180 N contra ella. Determinar el número máximo de proyectiles que puede disparar por minuto. Rta.: 216
104
59. Dos bloques A y B, ambos de masa M, se hallan hallan reposo sobre una superficie horizontal sin rozamiento. El bloque
A
lleva adherida a él una masa m.
Posteriormente, Posteriormente, el bloque bloque A dispara dispara la masa m con velocidad relativa u, ésta efectúa un choque perfectamente perfectamente elástico con el bloque B y rebota, chocando nuevamente nuevamente con el e l bloque A al al cual se adhiere. Calcular las velocidades velocidades finales finales de A y B. x A
B
m
u M
M
2
Rta.: 2 M m u / (m + M)
3
2
; 2 M m u / (m + M)
60. Dos partículas de masas m1 = 5kg y m2= 8 kg , se mueven mueven con velocidades V1= 4 m/s y V2=16m/s, como se se muestra en la figura. figura. Las partículas partículas chocan inelásticamente inelásticamente y continúan unidas. Hallar la cantidad de movimiento final. v1 m1 v2 m2
Rta.: Rta.: - 20 i + 128 j (kg (kg m/s) m/s) 61. Un cuerpo A de de masa masa igual igual a 6 kg desliza con una una cierta velocidad inicial inicial en una vía sin rozamiento y choca elásticamente elásticamente con el cuerpo B de masa igual igual a 3 kg, que que inicialmente se encuentra encuentra en reposo. Calcular la velocidad velocidad inicial del del cuerpo A para que que el cuerpo B sea capaz de atravesar la fosa de 12 m de longitud mostrada en la figura. A
B 12 m
A
Rta.: 14,85 m/s 62. Una rana de masa m está subida a un patín de masa M, como se muestra en la figura, estando el patín inicialmente en reposo. La rana salta con una velocidad v formando un ángulo
con la horizontal, justo en el momento que el cuerpo 1 pasa por D.
a) ¿Cuánto ¿Cuánto vale la velocid velocidad ad del patín patín después después de saltar saltar la rana? b) ¿A qué distancia de de su posición inicial la rana toca el suelo? suelo? Despréciese la altura del patín. patín. M
Rta.: a) m v0 cos
/M
;
2
b) v0 sen 2 105
/g
63. Los cuerpos 1 y 2 están dispuestos como se indica indica en la figura, en los los puntos puntos A y B (está a 80 m del origen O). O). Sabiendo que en la posición A el resorte se encuentra con su longitud natural y que el cuerpo 2 es lanzado con una velocidad v0 y formando un ángulo
con la horizontal, justo en el momento que el cuerpo 1 pasa por D.
a) ¿Cuál ¿Cuál es la velocid velocidad ad v0 y el ángulo ángulo , con que que sale el cuerpo 2, si ambos ambos cuerpos cuerpos chocan en C, ubicado en el punto punto medio de de OD y OB y que el cuerpo 1 tarda 4 s en ir de D a C? b) ¿Cuál ¿Cuál es la compr compresión esión del resorte, resorte, si si AD= 2m y
k=
0,30 Y
entre el plano plano y el cuerpo cuerpo 1?
1 A
c) Si m1=m2=5 kg, calcular a qué distancia, a partir del origen de coordenadas indicado en la figura, caerá el cuerpo 2, sabiendo que el coeficiente de rozamiento es 1 y que el cuerpo 1 sale después después del choque choque con un ángulo de 45° con el sentido positivo del eje x.
D C
h
V0 2
O
x
B
64.Dos 64. Dos satélites satélites A y B de masas masas mA = mB, se encuentra girando en una misma orbita circular de radio R, alrededor de la tierra, pero en sentidos de rotación opuestos. Si el choque de los satélites es completamente inelástico, calcular la velocidad de los satélites unidos, después del choque. ¿Qué trayectoria describirán los satélites unidos, después del choque? Rta.: 0 ; movimiento rectilíneo 65. Un cuerpo de masa m1= 100 kg está en reposo sobre una mesa larga y sin fricción, una de cuyos extremos termina en una pared. Otro cuerpo de masa m 2 se coloca entre el primero y la pared y se pone en movimiento hacia la izquierda izquierda con velocidad constante constante v2i, como se ve en la figura. Suponiendo Suponiendo que todas las colisiones sean elásticas, elásticas, encontrar el valor de m2 para el cual ambos cuerpos se mueven con la misma velocidad después que m 2 choca primero con m1 y después con la pared. La pared tiene una masa infinita. v2i m2
m1
Rta.: 33,3 kg 66. En la figura se muestra un émbolo sin rozamiento, rozamiento, suspendido de un resorte de masa despreciable y de constante constante k= 19,6 N/m, la masa del émbolo es M= 1,5 kg. Posteriormente, sobre el émbolo choca en forma completamente inelástica un trozo de masilla de masa m=0,5 kg a una velocidad de 14,7 m/s. Determinar la altura altura a la que se eleva el émbolo tras el choque.
k M v m
Rta.: 0,95 m 106
67. A una masa m= 1 kg, que se desplaza inicialmente con una velocidad constante constante V= 10i – 4j (m/s) se le aplica una una fuerza constante F= 20 i + 25 j (N) durante durante un tiempo de 2 segundos. Hallar la velocidad final de la masa. Rta.: 50 i +46 j (m/s) (m/s) 68. Una bola, con velocidad inicial de 10 m/s, choca elásticamente con otras otras dos bolas idénticas, cuyos centros están sobre una línea perpendicular a la velocidad inicial y que originalmente estaban en contacto entre sí. La primera bola se apuntó directamente al punto de contacto y ninguna bola tiene fricción. Encontrar las velocidades de las tres bolas después de la colisión. 2
V0 1
3
Rta.: 2 m/s
; 6,93 m/s
; 6,93 m/s
69. Un carro lanzador de misiles con una masa M, dispara horizontalmente horizontalmente un cohete con masa m y retrocede hacia arriba de un plano inclinado liso, elevándose hasta una altura h. Encuéntrese Encuéntrese la velocidad inicial del cohete.
m
h
M
1/2
Rta.: M(2 g h)
/m
70. La carreta carreta de masa M de la figura figura se mueve sin rozamiento rozamiento sobre un un plano horizontal con una velocidad veloci dad v0. En la parte delantera de la carreta se coloca un cuerpo de masa m y velocidad inicial igual a cero. Las dimensiones del cuerpo en relación con la longitud de la carreta pueden ser despreciadas. El coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la carreta es . ¿Para qué longitud L de la carreta el cuerpo no caerá de de la misma? m M
V0
L 2
Rta.: 1/2 Mv0 / (
m + M))
71. Considérese Considérese un choque elástico elástico en una una dirección dirección entre un cuerpo dado dado A que llega llega a un cuerpo B
que está inicialmente inicialmente en reposo. reposo. ¿Cómo ¿Cómo escogería usted la masa de B en
comparación comparación con la masa masa de de A para que B rebote con la máxima máxima cantidad de movimiento? Rta.: mB >> mA
107
72. Dos bloques A y B, B, ambos ambos de masa M= 10 kg, se hallan hallan inicialmente inicialmente en reposo sobre una superficie horizontal sin rozamiento. El bloque A lleva adherida una masa m= 5kg. Posteriormente el bloque A dispara la masa m con una una velocidad velocidad relativa u= 27 m/s. m/s. La masa masa m efectúa un un choque choque completamente completamente elástico con el bloque B y rebota, chocando chocando nuevamente con el bloque bloque A, al cual se adhiere finalmente. finalmente. Hallar las velocidades velocidades finales de los bloques A y B. x A
m
B u M
M
Rta.: Rta.: - 9 m/s
; 12 m/s
73. Un bloque de masa M = 30 kg se suelta suelta desde una altura altura h = 2 m sobre el plato, de masa m= 10 kg, de una balanza de resorte. Asumiendo que el impacto es perfectamente elástico, determinar la máxima deflexión x del plato. La constante constante del resorte es k= 20 kN/m. M h m x k
Rta.: 0,225 m 74. Una partícula partícula de masa m posee una velocidad v0 cuando se encuentra en la parte inferior de un cuerpo en forma de cuña de masa M, que en ese mismo m ismo instante está en reposo. Siendo el ángulo de la cuña y sabiendo que todas todas las superficies son lisas, hallar hallar la máxima altura a que llega la partícula sobre la cuña y el tiempo que que tarda tarda en alcanzarla. M= 1 kg ; M= 2 kg ; v0= 5 m/s ;
= 30°
V0 M m
Rta.: 0,96 m
;
0,765 s
75. Varios niños niños empujan, partiendo partiendo del reposo, reposo, un vagón de de masa M sobre una una vía horizontal, aplicando sobre sobre él una fuerza horizontal constante constante F durante un tiempo t. En ese momento empieza a llover copiosamente, de manera que caen
litros de agua, de densidad
tiempo t. Hallar la nueva velocidad del vagón al cabo de ese tiempo t. Rta.: 2 F t /(M +
) 108
en un
76. Dos esferas A y B, que tienen masas diferentes pero desconocidas, desconocidas, chocan elásticamente elásticamente entre sí. Inicialmente A está en reposo y B se mueve con una velocidad v0. Después Después del choque choque B se mueve con una trayectoria trayectoria perpendicular perpendicular a la original con una una velocidad vo/2. vo/2. Determinar la dirección de de la trayectoria trayectoria de la masa A, con respecto respecto a la de B. Rta.: 90° + arctg (1/2) 77. Una bola es lanzada verticalmente hacia hacia arriba con velocidad velocidad inicial v0. Posteriormente choca sucesivamente con el suelo, perdiendo en cada choque una fracción de su energía cinética. Hacer el gráfico de
v = f(t) que mejor representa el fenómeno. fenómeno. (adoptar el sistema de
referencia hacia arriba) 78. Dos cuerpos cuerpos de masas m1 = 1,5 m2 se mueven sobre una superficie horizontal sin rozamiento con velocidades velocidade s v2= 1,5 v1 en sentidos opuestos. Sabiendo que después del choque oblicuo la masa m2 sufre un desvío
de su dirección original que su velocidad u2= v1, hallar la nueva
velocidad de la masa m1 y su desvió angular. V1
1
V2
2
Rta. Rta.:: - v1 / 1,5 79. Los gráficos representan las velocidades velocidades en función del tiempo, de dos objetos esféricos homogéneos e idénticos, que colisionan frontalmente. Si
es la cantidad de movimiento
del sistema formado formado por los los dos objetos y E la energía cinética del del mismo sistema, ¿Cuál de las dos magnitudes se conserva?
v
v
v/2
v/2 t
t
Rta.: cantidad de de movimiento 80. Una bola es abandonada abandonada desde una altura H, sobre una superficie horizontal plana. Sabiendo que después de de chocar contra la superficie, superficie, la bola asciende hasta una altura H/2, determinar el coeficiente de restitución del choque. 1/2
Rta.: 1/2 2
81. Un pescador pescador de masa m se encuentra encuentra en el extremo extremo de un bote de de masa M y longitud L, en un lago tranquilo. Estando inicialmente el sistema en reposo, el pescador comienza a caminar sobre el bote hasta alcanzar el otro extremo. Suponiendo que no existe rozamiento entre el agua y el bote, hallar el desplazamiento del bote al terminar el recorrido y lo que ocurre con el sistema. Rta.: m L / (m + M) 109
82. Un carrito A, A, de masa m, y otro B, de masa 3m, unidos por un resorte de masa despreciables e inicialmente estirado, son mantenidos en reposo sobre una superficie plana y horizontal. Cuando los dos carritos son liberados simultáneamente, el resorte los empuja uno contra otro y el carrito A adquiere, después que el resorte estuviera relajado una velocidad de 1,5 m/s. Calcular la velocidad adquirida por el carrito B. Rta.: Rta.: - 0,5 m/s 83. Un proyectil proyectil de masa m y velocidad v acierta a un objeto de masa M, inicialmente inmóvil. El proyectil atraviesa el el cuerpo de masa M y sale de de él con una velocidad velocidad v/2. El cuerpo cuerpo que que fue acertado desliza por una superficie sin rozamiento, subiendo una rampa hasta una altura H. determinar la velocidad inicial v del proyectil. 1/2
Rta.: 2 M (2 g h) h)
/m
84. Un bote de masa M, inicialmente en reposo tiene instalada una ametralladora. ametralladora. El arma dispara horizontalmente N balas por segundo durante un intervalo de tiempo T. cada bala tiene una masa m y es disparada con velocidad Vo. Considere también que T es pequeño y que M >> TNm. Desprecie además la resistencia que el agua ejerce sobre el bote. Teniendo en cuenta estas aproximaciones, aproximaciones, hallar la distancia d istancia recorrida por el bote al cabo del tiempo T. 2
Rta.: 1/2 N m v0 T / M 85. Dos péndulos A y B, de masas m y 5m/3, respectivamente, cuelgan verticalmente de dos hilos de masas despreciables, cuya longitud es L. El péndulo A se eleva hasta una posición tal que el hilo forme con la vertical un ángulo ángulo de 45° y desde desde allí se suelta. Sabiendo que la relación entre las las alturas alturas a que suben los cuerpos cuerpos A y B después después del del primer choque vale 0,034 , el coeficiente de restitución vale, aproximadamente:
45
L
A B
Rta.: 0,80 86. Un hombre hombre de masa masa M= 80 kg, que lleva puesto puesto patines, patines, está parado parado sobre la la superficie congelada congelada de un lago. Lleva en sus sus bolsillos dos esferas de plomo de de masa m= 0,5 kg cada una. En forma sucesiva arroja horizontalmente las dos esferas de plomo con una velocidad relativa u= 2 m/s respecto a sí mismo. ¿Con qué velocidad v se mueve el hombre con respecto al lago después de tirar las dos esferas? Suponga que no hay rozamiento entre el hombre y la superficie congelada del lago. Rta.: 0,025 m/s 87. Un mono de masa M que se encuentra encuentra a una altura H del piso, se lanza a recoger recoger un cesto de frutas de masa m que se encuentra en el piso, usando una cuerda ligera de longitud L justamente debajo del punto de suspensión de M
la cuerda, a una distancia L. Hallar la relación entre las velocidades del mono inmediatamente antes y después de tomar el cesto.
L
Rta.: (M + m) / M m 110
h
88. Un proyectil se dividió en tres partes, que se separan formando ángulo de 120° como se indica en la figura. Sabiendo que la relación entre las cantidades de movimiento es p1 > p2 = p3 , determinar la dirección en que se movía el proyectil antes de dividirse. P2 120° P1
120° 120° P3
Rta. Rta.:: - i 89. Dos bloques bloques de masas M y m se encuentran inicialmente moviéndose sobre una superficie horizontal sin rozamiento con una velocidad v0. Repentinamente se libera un resorte de constante k que se encontraba encontraba comprimido entre entre las dos masas y la masa M se detiene. Hallar la deformación inicial del resorte. V0 M
m
1/2
Rta.: (M (M + m)/(k m))
90. Un proyectil proyectil de masa m y velocidad v se incrusta en el primero de n bloques de masa M= 3m que descansan descansan en reposo sobre sobre una superficie horizontal sin rozamiento. rozamiento. Hallar la cantidad cantidad de bloque que estarán en movimiento para cuando la velocidad del sistema sea 1 % de la velocidad inicial del proyectil. (suponer que todos los choques son completamente inelásticos) M
n bloq bloque uess Rta.: 33 91. El plano inclinado de de masa M de la figura figura está en reposo sobre sobre una superficie superficie horizontal sin rozamiento. Contra él choca elásticamente una bola de masa
m que se mueve
horizontalmente horizontalmente con velocidad v0 y rebota en dirección vertical con velocidad v 1. Calcular la velocidad v1. V1
V0 M 1/2
Rta.: v0((M – m) /M)
111
V2
92. La velocidad velocidad de la partícula de de masa m= 30 kg que se mueve sobre el eje x, varía con el tiempo como se indica en la figura. Calcular el valor de la fuerza media, en N, que actúa actúa sobre la partícula partícula en el intervalo t1= 5 s y t2= 35 s. V(m/s) 10 T(s) 0 -10
5 10 10
20
30 35 40
Rta.: Rta.: - 20 N 93. Dos bolas A y B, de masas
mA= 2 mB, tienen inicialmente las velocidades vA y vB= 3/8 vA,
que se se muestran en la figura. figura. Si el coeficiente de restitución e= 0,5 , determinar determinar la velocidad después del choque de la bola A. v A
vB
m A
mB
Rta.: 5/16 vA 94. Dos carros de una montaña rusa de masa m1 y m2 , salen sin velocidad desde dos alturas diferentes h1 y
h2
y chocan en la recta AB, con un coeficiente de restitución de 0,8 ,
recorren el rizo vertical de de radio R1, bajan por una pendiente de altura H
y recorren una
circunferencia circunfere ncia horizontal de de radio R2 con ángulo de peralte peralte 45°. Si se desea desea que el carro más lento llegue al punto C
y que el carro más rápido no
derrape en el punto D, calcular los mínimos valores
m1 m2 h
de h1 y h2 sabiendo que m1= 100 kg , m2= 50 kg, R1= 1,96 m , R2=40,33 m y H = 8,07 m. Rta.: 10 m
;
2R1 C
h A
H B
D
2,5 m
R2
95. Se deja caer un pesado pesado martillo de masa masa M= 3.000 kg desde una altura h= 3m sobre el extremo de un pilote de masa m= 1.000 kg, y penetra en el suelo una una distancia distancia d= 50 cm. Encontrar: a) La resistencia resistencia del suelo, suponiendo que que es constante constante y que el pilote y la masa masa M permanecen juntos durante el impacto. b) El tiempo tiempo en que el pilote pilote se encuentr encuentra a en movimiento movimiento..
M
c) La energía energía cinética cinética que que se pierd pierde e en el impacto impacto.. Rta.: a) 171500 N
;
b) 0,174 s
; 22050 J m H
d
112
CINEMÁTICA CINEMÁTICA DE ROTACIÓN. 1. Un autom automóvil óvil que viaja viaja a 97 km/h, tiene ruedas de 76 cm de diámetro. a) ¿Cuál ¿Cuál es la rapidez rapidez angular angular de las las ruedas ruedas alrededor alrededor del eje? eje? b) Si las las ruedas ruedas se detuvi detuviesen esen uniforme uniformement mente e en 30 vueltas , ¿Cuál sería la aceleración angular? c) ¿Cuánto ¿Cuánto avanz avanza a el automóvil automóvil dura durante nte este este periodo periodo de de frenado? frenado? 2
Rta.: a) 70,91 rad/s
b) 13,34 rad/s
c) 71,61 m
2. Un método método para medir la velocidad velocidad de la la luz emplea una una rueda giratoria. Un haz de de luz pasa por una ranura en el borde exterior, exactamente en el tiempo necesario para pasar por la siguiente ranura de la rueda. a) Calcular Calcular la la velocidad velocidad angul angular ar de la rueda rueda.. b) Calcular Calcular la velocid velocidad ad de un punto punto de la periferia periferia.. R= 5cm
C=299792458 m/s
Rta.: a) a) 3770 rad/s
500 dientes
b) 18 188,5 m/s
3. Una rued rueda a A de radio ra= 10 cm , está acoplada mediante una banda B a otra rueda C de radio
rc = 25 cm, tal como se muestra en la figura. La rueda A aumenta su rapidez angular a partir 2 del reposo con un ritmo uniforme de /2 rad/s . Determinar el tiempo que le toma a la rueda C, alcanzar una rapidez rotacional de 100 rev/min, suponiendo que la banda no resbala. B
r C
r A A
C
Rta.: 16,7 s -2
4. Un inse insect cto o de de masa masa 8.10 g, camina hacia afuera, con una rapidez constante de 1,6 cm/s, a lo largo de una línea radial marcada en la tornamesa de un tocadiscos que gira con una velocidad angular angular constante constante de 33,33 rpm. Encontrar: a) La velo veloci cid dad b) La aceleración aceleración del insecto insecto según un un observador en el piso, cuando cuando el insecto está a 12 cm del eje de rotación. c) ¿Cuál ¿Cuál debe ser el coeficient coeficiente e de fricción fricción mínima para para que el insecto insecto llegue llegue al borde borde de la tornamesa, de 16 cm de radio, sin resbalar? Rta.: a) 0,42 m/s
2
b) 1,47 m/s
113
c) 0,20
5. La rapidez rapidez angula angularr del motor motor de un automóvil automóvil aumenta aumenta de de 1.200 rpm hasta 3.000
rpm en 12 s. a) ¿Cuál ¿Cuál sería la aceleración aceleración angular angular suponien suponiendo do que fuese uniforme uniforme? ? b) ¿Cuántas ¿Cuántas revolucio revoluciones nes efectúa efectúa la máquina durante durante este tiempo? tiempo? Rta.: a) 15,71 rad/s
2
b) 420 rev
6. La tornam tornamesa esa de de un fonógr fonógrafo, afo, que que gira gira a 78 rpm, se frena y se detiene 30 s después de haber desconectado desconectado el motor. a) Encontr Encontrar ar su aceleració aceleración n angular angular (uniforme) (uniforme) b) ¿Cuántas ¿Cuántas revolucion revoluciones es efectúa efectúa en dicho dicho tiempo? tiempo? 2
Rta.: a) 0,27 rad/s
b) 20 rev
7. Un disco disco uniforme uniforme gira alrededo alrededorr de un eje fijo, partiendo partiendo del reposo reposo y acelerándo acelerándose se con aceleración angular constante. En un tiempo dado está girando a 10 rev/s. Después de completar 60 rev más, su rapidez angular es de 15 rev/s. Calcular: a) La acel acelera eració ción n angu angular lar.. b) El tiempo tiempo requer requerido ido para para compl completar etar las las 60 rev mencionadas. c) El tiempo tiempo requerido requerido para para alcanza alcanzarr la rapidez rapidez angular angular de 10 rev/s. d) El número de revoluciones efectuadas desde el reposo hasta el tiempo tiempo en que el el disco alcanza la rapidez angular de 10 rev/s. 2
Rta.: a) 6,54 rad/s
b) 4,8 s
c) 9,6 s
d) 48 rev
1,5 rad/ rad/ss hasta 8. Un vol volan ante te comp comple leta ta 40 rev al desacelerarse desde una rapidez angular de 1,5 detenerse totalmente. Suponiendo que tenga una aceleración u niforme. a) ¿Cuál ¿Cuál es el tiempo tiempo requerid requerido o para llega llegarr al reposo. reposo. b) ¿Cuál ¿Cuál es la aceler aceleració ación n angula angular? r? c) ¿Cuánto ¿Cuánto tiempo tiempo se requie requiere re para complet completar ar la mitad mitad de las 40 rev? Rta.: a) 335,1 s
-3
2
b) 4,48 .10 rad/s
c) 98,15 s
9. La Tierra Tierra gira gira alrededor alrededor del Sol casi casi en un círculo a) ¿Cuál es la velocidad angular de la Tierra (Considerada (Considerada como una partícula) alrededor del Sol y b) su rapidez rapidez lineal lineal media en su órbita órbita? ? c) ¿Cuál ¿Cuál es la acelerac aceleración ión centrípe centrípeta ta de la Tierra Tierra respecto respecto al Sol? Sol? -7
Rta.: a) 2. 10 rad/s
4
b) 3 . 10 m/s
-3
2
; 6 . 10 m/s .
10. ¿Cuál es la rapidez angular de un automóvil que toma una curva circular de 110 m de radio a
48 km/h? Rta.: 0,12 rad/s
114
DINÁMICA DINÁMICA DE ROTACIÓN ROTACIÓN 1. En el sistema sistema que se se muestra muestra en la figura, figura, calcular: calcular: a) La aceler aceleració ación n angula angularr del sistema. sistema. b) La acelerac aceleración ión angula angularr del sistema sistema cuando cuando m1 haya caído 20 cm a partir del reposo. m1 = 10 kg ; m2= 5 kg ; m3= 5 kg ; R= 25 cm
m3 R
m2
m1 2
Rta.: a) 11,2 rad/s rad/s
;
b) 4,23 rad/s
2. Determinar Determinar para el sistema de la figura la aceleración angular angular del disco disco y la aceleración aceleración lineal de las masas m1 y m2. Calcular la tensión en cada cuerda. Los espesores de ambos discos son iguales a e. m1=600 g ; m2= 500 5 00 g ; M= 800 g
; R= 8 cm ; r= 6 cm
M r R
m2 m1 2
Rta.: 22,62 rad/s
;
2
1,81 m/s
;
2
1,36 m/s
; 4,79 N
; 5,58 5,5 8 N
3. Un bloque de 26,8 N de peso se coloca en un plano inclinado 30° con respecto a la horizontal, y mediante una una cuerda paralela paralela al plano y que que pasa por una polea polea que está está en la parte superior, va va unido a un bloque colgante colgante que que pesa 80 N. La polea pesa 8,9 N y tiene un radio de 0,10 m. Encontrar Encontrar la aceleración aceleración del bloque bloque que está suspendido y la tensión de la cuerda a cada cada lado de la polea. La polea es un disco uniforme. uniforme.
26,8N 80N 30° 2
Rta.: 5,87 m/s
;
29,45 N
;
32,08 N 115
4. En el sistema sistema que que se muest muestra ra en la la figura: figura: a) Calcular la aceleración aceleración del del sistema en el instante que que se corta el hilo AB. b) Calcular la velocidad del sistema cuando cuando la barra está en la posición vertical. vertical. m1= 5 kg ; m 2= 4 kg ; m3= 6 kg ; m 4= 10 kg ; R= 40 cm ; l= 2m ; x= 0,5 m ; h= 5m
A
x
B
m1 m2 h
m3
L m4
2
Rta.: a) 3,57 rad/s
;
b) 2,35 rad/s
5. Una regla de de longitud longitud L= 1 m se sostiene sostiene vertica verticalment lmente e con un un extremo extremo en el piso piso y se le deja deja caer. Encontrar Encontrar la velocidad del otro extremo extremo cuando este pega contra el piso suponiendo suponiendo que el extremo apoyado sobre el piso no resbale.
Rta.: 5,4 m/s 6. El sistema sistema de la figur figura a consta consta de de dos discos discos giratorio giratorioss de masas masas m1 y m2 y radio R1 y R2 unidos por una cuerda que se ajusta perfectamente sobre su borde. Lleva además los accesorios accesorios indicados indicados en el gráfico, gráfico, donde donde m4 es una masa esférica. a) Encontr Encontrar ar la posición posición de equilibrio equilibrio del sistema sistema (la dibujad dibujada a no lo está) b) Si se suelta suelta el aparato aparato en la posición dibujada, dibujada, encontrar encontrar la velocidad de de M y la aceleración aceleración angular de la barra en el momento de pasar pasar por la posición de equilibrio. m1 m1 = 12 kg m2 = 6 kg m3 = 30 kg m4 = 70 kg M = 3400 kg
R1
R1 = 0,5 m R2 = 0,25 m r = 0,1 m = 0,2 m =2m
R2
r
m3 M
Rta.: a) 90°
;
b) 0,082 m/s
m2
m4
; 0
7. Un cilindro de 0,30 m de longitud y 0,025 m de radio pesa 26,7 N. Dos cuerdas están arrolladas alrededor alrededor del cilindro, cada una de ellas cerca de los extremos extremos y los extremos de las cuerdas se encuentran fijos en ganchos colocados en el techo. El cilindro se sostiene horizontalmente con las dos cuerdas. Encontrar la tensión de las cuerdas al desenrollarse.
r
Rta.: 4,45 N
L 116
8. El cili cilind ndro ro de masa masa m1= 20 kg está unida por una cuerda sujetada a su eje. La cuerda pasa por una polea cilíndrica de masa m 2= 10 kg y está unida en su otro extremo a una masa m3= 50kg. Sabiendo que el cilindro rueda sin resbalar, calcular: a) La aceler aceleració ación n lineal lineal del sistem sistema. a. b) La tens tensión ión de la la cuerda cuerda que tira el cilindro. cilindro. c) La tens tensión ión en la cuerd cuerda a que cuelg cuelga a a m3. d) La fuerza fuerza de rozamiento rozamiento entre entre el cilindro cilindro y el plano inclinado. e) El mínimo mínimo coeficien coeficiente te de rozamiento rozamiento entre el cilindro y el plano inclinado. f) Hallar Hallar la velocidad velocidad lineal lineal del sistema sistema cuando cuando m3
30°
baja 30 cm a partir de la posición de reposo. 2
Rta.: a) 4,61 m/s
b) 236,35 N
c) 259,41 N
d) 46,12 N
e) 0,27
f) 1,66 m/s
9. Un proyec proyectil til de masa m= 0,10 kg choca choca una varilla varilla homogénea homogénea de masa masa 8 kg. kg. La bala bala queda queda incrustada en el extremo inferior. La varilla puede girar alrededor del punto A, por donde cuelga y tiene una longitud de 1 m. Siendo la velocidad inicial de la bala de 50 m/s, calcular la velocidad angular de la barra inmediatamente después del choque y la pérdida de energía.
M
m
Rta.: 1,81 rad/s
;
L
V0
120,47 J
10. Dos cilindros de radios radios R1= 2m y R2= 1m y masas masas m1= 20 kg
y m2= 10 kg, respectivamente,
están apoyados apoyados en ejes perpendiculares perpendiculares al plano de la figura. El cilindro mayor está girando 0=
inicialmente con una velocidad angular
3 rad/s. El cilindro pequeño se mueve hacia la
derecha hasta tocar al grande y en un momento dado, deja de haber resbalamiento entre los dos, y los dos cilindros giran a razones constantes constantes y en direcciones opuestas. opuestas. a) Encontr Encontrar ar la velocidad velocidad angula angularr final del cilindro cilindro más más pequeño. pequeño. b) ¿Se conserva conserva la energía cinética del sistema? sistema? En caso negativo, hallar la variación de la energía cinética del sistema?
R2
R1
I1 I2
Rta.: l1
0R1R2/(l2 R1
2
2
+ l1 R2 )
117
11. En un un parque de juegos hay hay una pequeña pequeña calesita de 1,22 m de radio y 175 kg de masa. Su radio radio de giro es de 0,915 m. Un muchacho muchacho de masa 43,8 kg corre con una velocidad de de 3,05 m/s en dirección tangente a la periferia de la calesita cuando cuando ésta se encuentra en reposo y salta a la calesita. Despreciando los rozamientos, encontrar la velocidad angular de la calesita. 2
Rta.: 0,77 rad/s
12. Un disco macizo y homogéneo homogéneo de aluminio aluminio de 10 cm de radio y 5 cm de espesor puede puede girar alrededor de un eje que pasa por O. Se dispara hacia la periferia del disco, en dirección tangente, una bala bala de plomo de 30 g de masa con una velocidad velocidad de 300 m/s, quedando ésta incrustada en el extremo del disco. Calcular la velocidad angular del sistema después del choque y la energía cinética que se pierde en el choque.
al=
3
2,7 g/cm .
V0 m
O R
Rta.: 412,85 rad/s 1131,17 J 13. Una cucaracha cucaracha de masa m corre en sentido contrario a las manecillas del reloj, alrededor del borde de un disco disco circular, montado montado sobre un eje vertical de radio R y masa M, con cojinetes cojinetes sin fricción. La velocidad de la cucaracha con relación al piso es v , mientras que el disco gira en el sentido sentido de las manecillas con con una rapidez angular angular
. La cucaracha cucaracha encuentra un migaja de
pan en el borde y por supuesto se detiene. a) ¿Cuál es la velocidad velocidad angular del platillo después que que se detiene detiene la cucaracha? cucaracha? b) ¿se conserva conserva la la energía? energía? Si no, hallar hallar la condició condición n para que que se conserve. conserve. Rta.: a) (M R
0 –
2 m v) / (M R + 2 m R)
14. El sistema que se muestra en la figura está compuesto de un hilo de masa despreciable con una masa m en su extremo y una barra uniforme de masa 4m. El hilo y la barra están fijos en el punto A al plano de la hoja y se suelta a partir del reposo. reposo. La masa choca elásticamente elásticamente con la barra. Deducir las fórmulas fórmulas que nos permitan permitan calcular la velocidad velocidad de la masa masa m y la velocidad angular de la barra después del choque en función de g, l y A 3/4
m
4m
Rta.: Rta.:
(1,5 g (1 – cos ))1/2
;
( 1,5 g ( 1 – cos ))1/2 118
.
15. El sistema de la figura consiste en una polea cilíndrica de radio R= 50 cm y masa
m1= 2 kg, unida rígidamente a una varilla de longitud L = 2 m y masa m2= 1kg, que puede girar alrededor del apoyo fijo en A. Se aplica un golpe seco a la varilla, que dura 5 milisegundos , de tal manera que el sistema da una vuelta completa alrededor del punto A ¿Cuál es el mínimo valor de la fuerza F que actúa durante el golpe seco, si se supone que dicha intensidad es constante? R
L
F
Rta.: 787,82 N 16. Tres masas puntuales puntuales iguales en los vértices de un triángulo equilátero están unidas por una lámina triangular de masa despreciable. despreciable. a) Determin Determinar ar el momento momento de inerci inercia a Iz con respecto al eje normal que pasa por el centro geométrico C. b) Evalua luar Iy para el eje y representado. c) Evaluar Ix para el eje x representado. representado. Y
C
2
Rta.: a) m a
;
b)
2
ma
;
c)
x
2
ma
17. Hallar el momento de inercia inercia del sistema con respecto respecto a un eje que pasa por por O y es perpendicular perpendicular al plano de la figura. Todas las varillas son uniformes, de la misma sección y con una masa
Rta.:
kg por metro lineal.
3
2
2
3
(b + 2 a b + 2 a b + a ) 119
18. Si el sistema que se muestra parte parte del reposo, calcular: a) El momento momento de inerc inercia ia de la polea polea con con respecto respecto a su su eje. b) La acelera aceleración ción angular angular del del sistema. sistema. c) El número número de de vueltas vueltas que que da el sistema sistema en en los primer primeros os 20 s. s. d) La energí energía a cinética cinética del sistem sistema a cuando cuando la la masa masa m2 sube 1m. e) La variación variación de de energía potenc potencial ial del sistema sistema en los primeros primeros 10 s.
R A A
B RB
m1
Rta.: a) 0,17 kg/m
2
m2 2
;
b) 23,71 rad/s
; c) 755 rev
; d) 147 J
; e) – 17427 J
19. Un cilindro cilindro rueda rueda sin deslizar desde una altura H sobre un plano plano inclinado inclinado 30°. En un punto situado a 2/3 H se traba el giro y el cilindro cilindro comienza a deslizar. Determinar Determinar el valor de
k
para que el cilindro se detenga justo al final del plano.
H 2/3H 30°
Rta.: 0,77 20. En la figura la barra está pivotada en el punto A. Si inicialmente se encuentra en reposo son =0°, hallar la velocidad angular de la barra en función al ángulo. Determinar además la velocidad lineal del centro de masa cuando la barra toca el suelo. La longitud de la barra es L=4m.
A 1/2
Rta.: Rta.: (3 g (1 – cos ))
; 5,42 m/s
21. Un cilindro, una esfera y un cubo se lanzan sucesivamente a partir del reposo y recorren todos la mismas distancias sobres un mismo plano inclinado de 30°. El cilindro y la esfera ruedan, en tanto que el cubo desliza. El coeficiente de rozamiento entre el cubo y la superficie es 0,36. Si la velocidad final del cilindro es 1 m/s ¿Cuál es la velocidad final de la esfera y la del cubo? Rta.: 1,04 m/s
; 0,75 m/s 120
22. La puerta que se muestra en la la figura, es homogénea, homogénea, de masa M, ancho ancho a y se halla suspendida de sus goznes formando un ángulo
con la pared. Si se aplica una fuerza F,
perpendicular al plano de la puerta y actuando durante un intervalo de tiempo muy pequeño t, ¿Cuál ¿Cuál será el mayor mayor valor de
para que la puerta se cierre, cierre, suponiendo suponiendo que que el rozamiento
en los goznes goznes produce una una desaceleración desaceleración constante constante ? El momento momento de inercia de de la puerta con respecto al eje que pasa por su centro de masa es l= 7/4 Ma2.
90°
a
Rta.: F
2
2
2
2
t / (8 M a
F
)
23. El sistema que se muestra en la figura parte del reposo. La masa masa m1 es esférica y la masa m2 es una polea cilíndrica. Calcular: a) La acelera aceleració ción n lineal lineal inicial inicial del del sistema. sistema. b) La velocidad velocidad angular de la barra cuando pasa pasa por su posición vertical. vertical. m= 1kg k=
;
m1= 3 kg
0,2 ;
;
m2= 12 kg
;
M = 30 kg
;
r1= 10 cm ; r2= 80 cm
; l= 1 m ;
= 60° m2
m1 m
r
r1
M
2
Rta.: a) 4,23 m/s
; b) 4,27 rad/s rad/s
24. Se tienen dos esferas de masas m y 3m, de radios radios r y 2r, unidos por una varilla de masa M=5m. El sistema sistema puede girar alrededor alrededor del centro de la esfera menor en un plano plano vertical. Calcular la velocidad lineal del centro de masa del sistema al pasar por la posición vertical. 3m m
M= 5m
L= 5r
1/2
Rta.: 8,02 r
121
25. Sabiendo que no hay rozamiento entre la mesa horizontal horizontal y el cilindro, cili ndro, calcular la relación r/R para que el cilindro ruede sin resbalar. La cuerda está enrollada por el eje de 2
radio r. lcm=1/3MR
F
r
R
Rta.: 1/3 26. El péndulo físico que se muestra en la figura es de aluminio y consta de una varilla, de 90 cm de largo y 0,25 kg de masa, y de una esfera de 20 cm de diámetro y 10 kg de masa. Una bala de plomo de 50 g, dispara horizontalmente, horizontalmente, choca centralmente con la masa masa esférica. Luego Luego del choque la bala queda incrustada en la esfera. Sabiendo que como consecuencia del choque el péndulo oscila con una amplitud máxima de 30°, calcular: a) La velocid velocidad ad angular angular del sistema sistema después después del choque. choque. b) La velocid velocidad ad de la bala bala antes antes del choque. choque. c) La pérd pérdida ida de de energía energía mecá mecánic nica. a.
40cm
V0 20cm m
Rta.: a) 1,62 rad/s
;
b) 329,1 m/s
;
c) 2694,34 J
27. ¿Cuál es la mínima velocidad velocidad que tiene que llevar el proyectil de masa m para que al chocar chocar e incrustarse incrustarse en el extremo extremo inferior de una una barra homogénea de de longitud L, masa M y que se encuentra en el otro extremo por un eje, dé una vuelta completa alrededor de dicho eje, después del impacto?
L
m
M
V0
2 1/2
Rta.: (2/3 (M + 3m) (M + 2m) g L /m )
122
2
28. La esfera hueca y de masa M y momento momento de inercia I= 5/9 MR con respecto a un diámetro, parte parte del reposo desde una altura h= 1,27 m sobre la base de de un plano inclinado un ángulo de 30° y rueda sin deslizar deslizar hasta chocar chocar contra el bloque bloque de masa 3M, inicialmente en reposo. El choque es frontal y elástico y se supone que durante el mismo no varis la velocidad angular de la esfera. a) Si M = 3kg 3kg y la máxima máxima compresión compresión del resorte resorte es 60 cm, ¿Cuál ¿Cuál es la constante constante k del mismo? b) ¿Cuál es el mínimo valor del del coeficiente de rozamiento estático entre la esfera y el plano inclinado para que ésta ruede sin resbalar? M s
h
3M 30° k=0
Rta.: a) 100 N/m
;
b) 0,21
29. Un carrete tiene tiene un radio interior r1 y un radio exterior r2 y un momento de inercia I0 respecto del centro de masa. El carrete tiene enrollado un hilo, según se indica en la figura, e n el cual actúa una fuerza constante F. Hallar la aceleración angular del carrete si el mismo gira sin deslizar, en función de r1, r2 , I0, F y m (Masa del carrete) carrete) r 2 r 1
F
2
Rta.: F (r2 – r1) / (l0 + m r2 ) 30. En el esquema de la figura un cuerpo C de masa mC= 12kg se encuentra suspendido de una cuerda que pasa por una polea B, sin rozamiento, de masa mb= mC/3 y radio R. El otro extremo de la cuerda está enrollado alrededor de un cilindro A de masa ma= mC/4 y que tiene dos ruedas cilíndricas de masas m C/6 cada una y de radios iguales al doble del cilindro. Calcular: a) La acel acelera eració ción n del bloq bloque ue C b) La aceler aceleració ación n del centro centro de de masa masa del bloque bloque A. c) La tensión tensión de la cuerda cuerda a cada cada lado de la polea. d) La fuerza fuerza de rozamiento entre entre las ruedas y las superficies. superficies. 2R
R
R
B
A
C 37° 2
Rta.: a) 4,96 m/s
;
2
b) 3,31 m/s
; 123
c) 58,08 N
;
48,11 N
; d) 16,20 N
31. Una cuerda se encuentra arrollada a un cilindro. Una persona estira dicha cuerda de tal forma que el cilindro rueda sin deslizar aplicándole una fuerza igual a tres veces el peso del cilindro. Determinar la aceleración del cilindro. F
Rta.: 39,2 m/s
2
32. Una esfera y un cilindro, que tienen la misma masa y el mismo radio, parten del reposo y bajan rodando por el mismo plano inclinado
= 30°. ¿Cuál es la relación de sus velocidades al
llegar a la base del plano? 1/2
Rta.: (15/14)
33. Sobre un plano plano inclinado 30° 30° se encuentra un bloque de m1= 600 N. Una cuerda inextensible, que pasa por una polea de masa M, une este bloque a otro de masa m 2. Calcular la variación de tensión que soporta la cuerda. m1=m2=M M
m2
m1
30°
Rta.: 60 N 34. Un bloque de masa m= 5 kg desliza por una superficie inclinada 30°
y que tiene un
coeficiente de de rozamiento de de 0,25 con el bloque. bloque. La cuerda cuerda atada el bloque está está arrollada a una polea de masa M= 20 kg y de radio R=20 cm. Calcular la aceleración del bloque y la tensión que soporta la cuerda. M
m 30°
2
Rta. Rta.:: 0,93 0,93 m/s m/s
; 9,3 N
124
35. Calcular Calcular el alargamiento del resorte y la aceleración del sistema. El coeficiente de rozamiento entre todas las superficies es Mp= 10 kg de masa. masa. M= 50 kg
k=0,4.
; m=10 kg
La polea es cilíndrica y de masa
; k= 1.100 N/m Mp
m
k
M 30° 2
Rta.: Rta.: 0,043 0,043 m ; 0,55 m/s . 36. El carrito indicado consiste en una plataforma simplemente apoyada en rodillos uniformes. La plataforma pesa 4,5 kg, cada uno de los rodillos pesa pesa 2 kg y tiene 10 cm de radio. Si el movimiento es de rodamiento puro, calcular la aceleración de la plataforma, si la fuerza aplicada es de 16 N. Si el carrito parte del reposo, hallar la velocidad de la plataforma al cabo de 3 s. F A 2
Rta. Rta.:: 2,67 2,67 m/s m/s
B
; 8 m/s
37. En la figura figura se tiene un hilo del del cual cuelga un un peso W= 5 kg, y se halla enrollado a un cilindro de radio radio R=10 cm, provisto de dos varillas varillas de longitud l= 70 cm y de masa m= m= 4,9 kg. La 2
inercia del cilindro con respecto a un eje que pasa por su centro es I 0= 0,05 kg m . Calcular: a) La aceleraci aceleración ón angular angular del conjunto conjunto cilindro cilindro varilla varillas. s. b) La velocidad velocidad del del bloque un instan instante te antes de tocar tocar el piso. piso. c) Si un instante después después del choque choque del bloque contra contra el piso aplicamos una una fuerza en la cara lateral del cilindro, calcular el valor de dicha fuerza de modo que el conjunto se detenga en 10 s.
l
l
W
h
2
Rta.: a) 2,88 rad/s
;
b) 0,76 m/s
125
;
c) 12,53 N
38. Una esfera está está suspendida de de un punto A por medio de una varilla de masa de 1 kg y longitud 40 cm rígidamente vinculada a la esfera. esfera. La esfera es de madera, su masa es 4 kg y el radio es 10 cm. Se dispara dispara una una bala bala de 100 g horizontalmente, horizontalmente, con una velocidad v0, para chocar contra la esfera en un punto medio, y la misma atraviesa la madera reduciendo su velocidad en un 25 %. Encontrar la velocidad mínima de de impacto de la bala para que después del choque el sistema esfera varilla dé por lo menos una vuelta entera alrededor de A. Rta. Rta.:: 768,2 768,25 5 m/s 39. Hallar la velocidad velocidad v con que la masa m llega al suelo en función de los datos de la figura. 2
ICM=1/2 Mr . M R m k
h 1/2
Rta.: (4 m g h (1 – cotg ) / (2m + M))
40. Calcular el valor de la fuerza media que el cuerpo ejerce contra el suelo cuando choca choca contra el mismo, mismo, sabiendo que el tiempo de de contacto contacto es 0,1 s y que M1= 2 M2=3M3= 10 kg. El choque es perfectamente elástico. M3
M1 2m M2
Rta.: - 686 N 41. Si se lanza una esfera a partir del reposo en el punto, como se muestra en la figura, y rueda sin resbalar a lo largo de de la pista. a) ¿Cuánto vale h si la esfera alcanza el punto punto B sin despegarse de la pista y con la mínima velocidad posible? b) ¿Qué parte parte de la la energía total en B es debida a la traslación? ¿Qué parte parte es debida a la rotación? El radio de la esfera es 2 cm y el momento de inercia de la esfera respecto a un diámetro es 2
2/5 mr . R= 1 m A m B h
R
Rta.: Rta.: a) 2,67 m ; b) 5/7 ; 2/7 126
42. La figura muestra tres cortes transversales transversales de diferentes ruedas, de igual masa. ¿Cuál de ellas tiene mayor momento de inercia y por qué? I
II
III
Rta.: l1 > l2 > l3 43. En la figura las masas de las bolas A y B es M y giran giran alrededor del eje vertical con una velocidad angular
, a una distancia L del mismo. Se obliga al collar C a desplazarse hacia
abajo hasta que las bolas se encuentran encuentran a una distancia L/3 del eje. ¿Qué trabajo se realizó en este desplazamiento? L
L
A
B
C
Rta.: a.: 8 M L
2
2 0
44. Considérese Considérese el sistema que aparece en la figura. Sobre un plano inclinado 30° se encuentra un cilindro de de masa M= 10 kg y radio R, alrededor alrededor del cual se ha enrollado una una cuerda paralela al plano que pasa también por una polea de masa despreciable y se une finalmente con un cuerpo de masa m. La tensión de la cuerda y la fuerza de rozamiento cinético ejercida por el plano sobre el cilindro son suficientes para que éste permanezca permanezca en su sitio a medida que gira, mientras la cuerda se desenrolla y el cuerpo de masa m desciende con aceleración a. El coeficiente de rozamiento rozamiento cinético entre entre el plano y el cilindro es 0,25. Calcule la la aceleración con que desciende el bloque de masa m.
M m 30°
2
Rta. Rta.:: 1,31 1,31 m/s m/s
127
45. Dar la aceleración y la fuerza de rozamiento rozamiento en la figura sabiendo que la masa M= 2m= 10 kg. m
m M 30° 2
Rta. Rta.:: 3,68 3,68 m/s m/s
; 9,19 N
46. El sistema sistema que se muestra en la figura comienza comienza a moverse moverse a partir partir del reposo. reposo. El cuerpo A es un cilindro de masa mA= 6 kg que es arrastrado arrastrado hacia arriba arriba por el bloque de de masa mC por medio de una cuerda que pasa por una polea cilíndrica de masa m B= 2 kg. a) ¿Cuál es el máximo peso del bloque C, C, suponiendo que que el cilindro suba rodando rodando sin resbalar? b) En estas condiciones, ¿Cuál es la aceleración del sistema y las tensiones en la cuerda? c) ¿Cuál es la energía cinética total del del sistema sistema cuando cuando el bloque bloque C ha bajado bajado 1 m? d) ¿Cuál ¿Cuál es la fuerza de rozamien rozamiento to que actúa actúa sobre el cilindro cilindro A? A?
S=0,3
;
k=0,2
mB
m A mC 30°
Rta.: a) 17,05 kgf
2
; b) 5,09 m/s
; 80,31 N ; 75, 21 N ; c) 196,49J ; d) 15,27 N
47. En el sistema que se muestra en la figura, hallar: a) La tens tensión ión de la cuer cuerda da.. b) La aceleraci aceleración ón de los bloques bloques m1= 5 kg y m 2= 10 kg El coeficiente coeficiente de rozamiento cinético cinético entre m1 y m2 es rozamiento cinético entre m2 y el plano inclinado es
2=
mp
m1 1
2
60°
Rta.: Rta.: a) 55,24 N
; 56,82 N
2
; b) 1,58 m/s 128
0,2
y el coeficiente de
0,1. La masa de la polea es mp= 2kg
y el radio de la misma es r = 10 cm.
m2
1=
48. Una barra metálica metálica delgada de longitud d y masa m puede girar libremente en torno de un eje horizontal que lo atraviesa perpendicularmente a la distancia d/4 de uno de sus extremos. La barra se suelta a partir del reposo en la posición horizontal. Calcular la velocidad angular adquirida por la barra después de haber recorrido el ángulo indicado en la figura. d
d/4
Rta.: Rta.: (24/7 (24/7 g sen
1/2
/d)
49. Un bloque de de masa m, que puede deslizar sin rozamiento sobre un plano inclinado un ángulo con respecto a la horizontal, está ligado por un hilo inextensible y sin peso, que pasa por una polea de radio R y masa M, a una masa m’ (m < m’) suspendida como se indica en la figura. Soltando el sistema desde el re poso, calcular la velocidad v de m’ después de caer una altura h. m
m m’ h 1/2
Rta.: Rta.: (4 g h (m’ – m sen ) / (3m (3m + 2m’) 2m’))) . 50. La barra barra AB de la figura se encuentra en un plano plano horizontal, horizontal, tiene una longitud L= 1m y una 5
masa M= 1 kg. En el extremo A está unido a un resorte de constante elástico elástic o K= 10 N/m, y en la posición indicada indicada en la figura no esta deformado. deformado. Una partícula de de masa m= 0,10 kg y velocidad v0= 50 m/s choca contra la barra y queda incrustada en ella. Considerando que el choque es instantáneo, instantáneo, que que no hay rozamiento rozamiento entre la barra barra AB y el plano horizontal, y que el resorte no se desvía de su posición original; original; calcular la máxima máxima deformación del resorte. El momento de inercia de una barra con respecto a un eje perpendicular a la misma y que pasa 2
por su centro de masa masa es I= ML /12 A L/4
C
3L/4 V0 B
Rta. Rta.:: 2,64 2,64 cm 129
m
51. La barra de masa m y longitud L es soltada desde el reposo sin girar. Cuando cae una una distancia L, el extremo A golpea el gancho gancho S, que proporciona proporciona una una de la barra después de girar 90°.
conexión permanente. Determine la velocidad angular
Considere el peso de la barra durante el impacto como una fuerza no impulsiva. L A L S
Rta. Rta.:: 5 rad/ rad/ss 52. Un cilindro cilindro de cobre de masa M y de radio R gira alrededor alrededor de su eje con una velocidad angular
0.
Si aumenta la temperatura temperatura del cilindro cilindro en un valor valor
t ; varía la velocidad del del
mismo? Justifique su respuesta. Rta. Rta.:: dism dismin inuy uye e 53. La barra barra de masa M= 10 kg y longitud longitud L= 1 m que se se muestra en la figura, se encuentra encuentra inicialmente en reposo, en un plano horizontal, horizontal, fijada en el punto O y unida a dos resortes resortes verticales idénticos de contante k= 100 N/cm y longitud longitud natural L0. Se aplica un impulso rápido en el extremo extremo A de la barra por medio de una fuerza F= 1.000 N y que actúa actúa durante un pequeñísimo intervalo
-3
t= 10 s. determinar:
a) La veloci velocidad dad angular angular de de la barra barra justo después después de de terminar terminar el intervalo intervalo t. b) La máxi máxima ma altura altura que que alcanza alcanzará rá el el extremo extremo A de la barra barra..
K
K
L0
O L/2
Rta.: Rta.: a) 0,3 rad/s
L/2
b) 0,49 cm
54. Determinar para para el sistema de la figura las aceleraciones aceleraciones de de las masas masas m1 conocidos
y m2, siendo
m1, m2 , M , r , R y m M m R
m2
m1 2
2
2
2
Rta.: 2 gR(m1R – m2r)/((2m2 + m)r + (2m1+M)R ) ; 2gr(m1R – m2r)/((2m2 + m)r + (2m1+M)R 130
55. El sistema de la figura está formado por por disco circular M1= 10 kg, kg, de radio R= 0,20 m, unido unido rígidamente rígidamente a una barra barra M2= 5 kg, de longitud L= 1 m. m. El péndulo indicado está formado por un hilo ideal ideal de longitud longitud L y una una masa masa puntual puntual m= 1 kg en su extremo. extremo. En la posición indicada m parte del reposo y choca inelásticamente inelásticamente contra la parte inferior de la barra M2, quedando de esta forma adherida a ella. Después del choque el sistema formado por M1 , M2 y m adquiere una una velocidad velocidad angular de 1 rad/s. determinar el ángulo inicial . R
M1
L m
M2
Rta.: 54° 29’ 54,26” 56. Una barra de longitud L y masa Mb está pivotada en su centro. En cada extremo de la barra hay un motor cohete de masa MC que produce produce un empuje empuje T. Determinar Determinar la aceleración angular de la barra.
L
Rta.: 12 T / (L (Mb + 6 Mc)) 57.Una 57. Una bala de masa masa m= 10 g situada situada a una una distanci distancia a l=4 m de longitud longitud l y masa M=100 g, tal como se indica indica en la figura, figura, es disparada disparada contra contra la barra formando un ángulo
con la
horizontal de forma tal que impacta en la barra justo cuando alcanza su máxima altura en el extremo superior de la misma. Sabiendo que que k= 100 N/m y que el resorte se comprimió 5 cm calcular el valor de .
k 3L/4
V0
A L/4
m L
Rta.: 50° 37’ 7,03” 131
B
58. Una varilla de masa M y longitud 5R lleva en un extremo una esfera de masa 2M y radio R. El otro otro extremo está sujeto a una una pared por por medio de un clavo. clavo. Si se suelta la varilla a partir de la posición horizontal, deducir una fórmula que nos permita calcular la velocidad angular
, cuando ésta pasa por la posición vertical.
2R
5R 1/2
Rta.: (
g/R ) .
59. El péndulo físico que que se muestra en la figura está compuesto por por una varilla de longitud L= 5R y masa m y de una esfera de radio R y masa masa M= 2m. 2m. La varilla está sujeta sujeta en el punto O a un eje horizontal. Deducir las fórmulas que nos permiten calcular: a) La posición posición del centro de masa del péndulo respecto respecto al eje que que pasa por O. b) El momento momento de inercia inercia del del péndulo péndulo respecto respecto al eje que pasa pasa por O. O. c) La velo velocid cidad ad angu angula larr
0
que tiene que tener el péndulo en la posición que se muestra, para
que dé una vuelta completa alrededor de O. d) La fuerza fuerza que que hace el eje que que está en O sobre el péndulo en la posición posición que que se muestra y en las condiciones mencionadas en la pregunta c.
5R
2R
Rta.: a)
R
;
2
b)
mR
;
c) (
1/2
g/R)
;
d)
mg
60. En la figura figura se muestra una masa masa M= 12 kg suspendida suspendida de dos cuerdas, una enrollada enrollada 2
alrededor de un cilindro de radio igual a 0,1 m y 0,05 kg m de momento de inercia, y la otra enrollada alrededor de un cilindro de radio igual a 0,15 m
y
2
0,12 kg m de momento de
inercia. La masa masa se suelta desde el reposo y desciende una altura h= 6 m. Calcular: a) La velo velocid cidad ad final final de la mas masa a M. b) La acel acelera eració ción n de la masa masa M. c) La tens tensión ión en amba ambass cuerd cuerdas. as. r 2
r 1
M h
Rta.: a) 7.95 m/s
2
; b) 5,27 m/s
; c) 26,33 N 132
; 28,11 N
61. Un hombre se encuentra encuentra sobre una plataforma giratoria con los brazos extendidos y sosteniendo dos masas idénticas m, girando inicialmente a una velocidad angular mayor que Rta.:
2
>
1.
Demostrar que la velocidad angular
2
después de bajar los brazos es
1. 1
62. Una varilla varilla homogénea homogénea de masa masa M= 20 kg y longitud longitud l= 1 m está suspendida suspendida por un extremo de una charnela charnela sin rozamiento. Un pequeño pequeño trozo de masilla de masa m= 200 g se adhiere a la varilla al nivel de su centro centro de masa. masa. Antes de adherirse adherirse la velocidad velocidad v= 20 m/s de la masilla era horizontal. Hallar el ángulo máximo de desviación de la varilla respecto a la vertical.
L/2
m
L v
M
Rta.: 4° 26’ 26’ 43,44” 63. Una masa de de 18 kg en reposo sobre sobre una superficie horizontal sin fricción, está está unida a un resorte cuya constante constante de elasticidad es 2.400 N/m y a una cuerda enrollada sobre un volante 2
circular de 0,36 m de radio y momento de inercia l= 1,20 kg m , como se muestra en la figura. El resorte se encuentra encuentra estirado 0,20 m en la posición posición inicial. Si el sistema se suelta suelta de esta posición, ¿Cuál es la velocidad cuando el resorte tiene su s u longitud natural? v k M
Rta.: 1,88 m/s 64. El diámetro de una piedra de afilar de 60 kg es de 1 m. su radio de giro k es 0,232m. Se presiona una una herramienta contra contra el borde con una fuerza normal de 50 N. El coeficiente cinético de rozamiento rozamiento entre la herramienta herramienta y la la piedra es
0,6
y existe existe un momento
constante de rozamiento de de 5 N m entre el eje de de la piedra y sus cojinetes. cojinetes. a) ¿Qué ¿Qué fuerza debe debe aplicarse aplicarse normalment normalmente e en el extremo de la manivela manivela de 0,5 m de longitud para que que la piedra adquiera del reposo una velocidad velocidad de 120 rev/ min en 9 s? b) Tras alcanzar alcanzar una una velocidad de 120 rev /min ¿Cuál ha de ser la fuerza fuerza normal que se ha de ejercer en el extremo e xtremo de la manivela para que se mantenga constante esta velocidad? c) ¿Cuánto ¿Cuánto tiempo tiempo empleará empleará la piedra de afilar afilar en llegar llegar al reposo desde desde la velocidad velocidad de 120rev/min, si solo actúa sobre ella el rozamiento del eje? Rta.: a) 49,04 N
;
b) 40 N
;
c) 8,11 s 133
65. La varilla de masa m y longitud longitud L que que se muestra en la figura, se pone a oscilar oscilar alrededor del punto punto
O
en un plano vertical. Si se se suelta la varilla desde una posición posición
horizontal, deducir una fórmula que permita calcular la velocidad angular
de la misma
cuando pasa por su posición vertical. O L
O 1/2
Rta.: (3 g / L)
66. Una bala de masa m= 50 g avanza en línea recta con una una velocidad v0= 300 m/s, atravesando el tambor cilíndrico de madera, como se muestra en la figura. La bala sale del otro lado con una velocidad velocida d vf = 200 m/s. El tambor de radio R= 50 cm
y de peso P= 75 kgf, está
inicialmente en reposo y sujeto a un eje fijo, sin rozamiento en O. Suponiendo que en el proceso la masa de madera del tambor astillada por la bala es despreciable, calcular la velocidad angular del tambor después que la bala lo atraviese. A continuación se observa que debido al rozamiento con el aire, el tambor tarda 1,5 minutos en detenerse. Si suponemos que la aceleración angular del frenado es constante, calcular el número de vueltas que dio el tambor hasta detenerse detenerse y el torque ejercido por el rozamiento del aire sobre el tambor. Vf
V0
R
O
Rta.: 0,27 rad/s
; 1,96
-2
; 2,78. 10 N.m
67. Una esfera homogénea parte parte del reposo en el extremo superior de la vía que se muestra en la figura y rueda sin resbalar hasta hasta que sale disparada en el extremo de la derecha. Si H= 62,2 m, h= 19,5 m
y la vía es horizontal horizontal en el extremo extremo derecho, determinar ¿A qué distancia a la
derecha del punto A llegará la bola a la base horizontal?
H x
h
Rta.: 48,77 m 134
68. Un cuerpo cuerpo de masa m está unido unido a una cuerda cuerda ligera ligera enrollada enrollada al eje de una rueda de radio R, tal como se indica en la figura. El radio del eje es r y se apoya en cojinetes fijos sin rozamiento. Cuando se abandona partiendo del reposo, el cuerpo desciende una distancia h en un tiempo t. Hallar el momento de inercia I de la rueda y su eje en función de los datos del problema. I
r
m
Rta.:
2
2
mr (g t – 2 h) / h
69. La masa masa de una una barra cilíndrica uniforme uniforme de 2 cm de radio es igual a 4 kg y tiene tres cuerdas enrolladas alrededor del mismo. Los extremos de la cuerda están fijos al techo, como se muestra en la figura. Si la barra se mantiene horizontal y se suelta desde el reposo, calcule la aceleración de translación de la varilla a medida que cae y la tensión en cada una de las cuerdas. La La barra se mantiene horizontal durante durante la caída.
2R 2
Rta.: 6,53 m/s
; 4,36 N
70.La 70. La varilla varilla AB de longitud L= 50 cm y masa m= 5 kg, está soldada a un disco uniforme de masa M= 3 kg y radio R= 12,5 cm, que gira alrededor del punto punto A, tal como se indica en la figura. Un resorte resorte de constante k= 80 N/m está unido al disco disco y se encuentra con su longitud longitud natural cuando la varilla está en posición horizontal. Si se suelta el conjunto desde el reposo, hallar la velocidad angular del sistema después que ha girado 90°. M m R
B
A
Rta.: 6,96 rad/s
135
71. La figura muestra dos bloques, bloques, cada uno de masa m, suspendidos de los extremos de una barra rígida carente de peso, de longitud L1 + L 2, siendo L1 < L2. La barra está sostenida sostenida en posición horizontal horizontal como se muestra muestra en la figura y luego se deja caer. Calcular Calcular las aceleraciones lineales de los dos bloques cuando comienza a moverse. L1
L2
m
m 2
2
Rta.: g L1 (L2 – L1) / 2 (L1 + L2 )
;
2
2
g L2 (L2 – L1) / 2 (L1 + L2 )
72. Un cuerpo rígido está hecho de tres varillas idénticas aseguradas aseguradas entre sí en forma de letra H. El cuerpo está libre de girar en torno a un eje horizontal que pasa por una de las piernas de la H, tal como se muestra en la figura. Se permite que el cuerpo caiga a partir del reposo desde una posición en que el plano de la H es horizontal. ¿Cuál es la velocidad angular del cuerpo cuando el plano de la H es vertical?
L L
L 1/2
Rta.: 1,5 (g / L)
73. Un disco disco macizo macizo de masa masa m= 100 kg y 2 m de radio se halla pivotado, sin rozamiento, en un plano horizontal como se muestra en la figura e inicialmente se encuentra en reposo. Entonces Entonces se aplica al disco un par motor motor constante durante durante 5 s y se observa que su velocidad angular llega a 25 rad/s. Hallar el valor del momento aplicado y el trabajo realizado por el par motor.
m
Rta.: 1.000 N.m
;
62.500 J 136
R
74. El disco disco de la figura figura tiene una masa masa M= 100 kg y radio R= 1 m, m, y se se halla = 14,7 rad/s, pivotado, sin
inicialmente girando con una velocidad angular
rozamiento, en un plano vertical. Entonces Entonces se tensa la la cuerda AB que lo une al bloque de masa m= 25 kg, el cual empieza a elevarse. Calcular la altura h, a la que se encuentra el bloque cuando el disco se detiene y la potencia desarrollada por la tensión de la cuerda. M R
A
B m
Rta.: 11,025 m
;
3.602 W
75. En la figura figura se representa un disco macizo de de radio R y masa M, que que lleva una cuerda cuerda enrollada y unida a ella un peso W que cae. En estas condiciones demostrar que la tensión en la cuerda y el torque resultante son constantes. M R
W
Rta.: M g W (M g + 2W)
; M g W R (M g + 2W)
76. Sabiendo que el sistema que se muestra en la figura parte del reposo, calcular calcular la velocidad y l a aceleración con que el bloque b loque B llega al suelo. La polea C es cilíndrica. mA=30 kg ; mB= 100kg ; mC= 50 kg ;
K=
0,2 ;
; d = 2m C
A
B k
Rta.: 3,43 m/s
d
2
; 2,95 m/s
77. Una piedra de de amolar en forma de disco disco sólido de 0,6 m de diámetro diámetro y masa 50 kg gira a 1.100 rpm. rpm. Se presiona un hacha contra el borde con una fuerza fuerza normal de 160 N y la piedra se para en 10 s. Calcular Calcular el coeficiente de fricción entre el hacha y la piedra. Ignorar la fricción fricción en los cojinetes. Rta.: 0,54 137
78. Una barra metálica metálica delgada de longitud L y masa m puede girar libremente en torno de un eje horizontal horizontal que lo atraviesa perpendicularmente perpendicularmente a la distancia L/3 de uno de sus extremos. La barra se suelta a partir del reposo en la posición horizontal. Calcular Calcular la velocidad angular adquirida por la barra al pasar por la posición vertical.
90° L/3
Rta.: ( 3 g /L)1/2 79. Un experimento experimento rudimentario para para determinar el coeficiente coeficiente de rozamiento rozamiento estático
S
entre
dos superficies, superficies, consiste en colocar colocar un cuerpo de masa m1 a una distancia d sobre una barra que se encuentra encuentra en posición posición horizontal, de masa masa m2, longitud L y pivotada en su extremo, tal como se indica en la figura. Luego se suelta desde el reposo el sistema y se mide el ángulo con el cual resbala el cuerpo. Se considera que el pivote pivote ejerce un momento resistente resistente M debido a la fricción. Determinar el coeficiente de rozamiento estático barra. M= 1 N m ; m1= 300 g
; m2= 2 kg
S
entre el cuerpo cuerpo y la
; d= 0,40 m ; L= 1,50 m ; =5°. d
m1 m2
L
Rta.: 0,26 80. La figura figura muestra una tabla homogénea de de masa M, longitud L, apoyada apoyada en parte parte sobre una mesa horizontal horizontal rugosa y con su extremo libre a una una distancia d del borde A de la la mesa. mesa. Justo encima de dicho extremo se encuentra una pieza de masa m, la cual se deja caer a partir del reposo desde una altura h. Luego la masa impacta en el extremo de la barra, consiguiendo esto, que el sistema obtenga un movimiento de rotación en torno al borde de la mesa. Suponiendo que la pieza se adhirió a la barra y que la barra no desliza sobre la mesa durante su rotación, calcular: calcular: a) La velocidad velocidad angula angularr del sistema sistema justo después después del del impacto. impacto. b) La máxim máxima a desviació desviación n angular angular de la barra barra..
m
c) Ahora Ahora bien, bien, imaginand imaginando o que en en la posición posición de de máxima máxima desviación angular la barra esta a punto de deslizar
h
L
sobre la mesa. Determinar entonces, el coeficiente de
M
rozamiento estático entre ambas superficies. superficies. M= 2kg ; m= 200 g ; d= 40 cm; L= 100 cm ; h= 180 cm Rta.: a) 2,17 rad/s
; b) 25,95°
;
c) 0,5 138
d
A
81. La rueda de madera de la figura pesa
50 kgf, tiene un radio de 50 cm y está
sujeta en reposo a un eje fijo en el punto O. Una bala de plomo de 150 g, que avanza con una velocidad de 200m/s según la trayectoria trayectoria punteada en la figura, se se incrusta en el borde de la rueda. Calcular la velocidad angular del sistema rueda bala después del choque. V0
O
Rta.: 2,39 rad/s 82. Un automóvil viaja por una ruta horizontal con una velocidad constante constante v durante una distancia d. El peso del automóvil es W y se distribuye distribuye uniformemente en cada una una de las cuatro ruedas del vehículo. vehículo. Si el coeficiente de rozamiento entre las ruedas y el suelo es , el radio de la rueda es r y el rendimiento del motor motor es
, hallar hallar el trabajo trabajo desarrollado desarrollado por el
motor durante la distancia d. (suponer que la tracción es en una sola rueda) Rta.:
Wd/
83. Una barra metálica delgada delgada de longitud L y masa m puede girar libremente entorno de un eje horizontal que lo atraviesa perpendicularmente perpendicularmente a la distancia distancia
L/3
de uno de sus
extremos. La barra se suelta a partir del reposo en la posición horizontal. Calcular la aceleración angular
de la barra cuando ésta forma forma un ángulo de 60° con la horizontal. horizontal. L 60° L/3
Rta.:
g/L
84. ¿Cuál es la distancia distancia d, por debajo del punto de suspensión, a la que se debe golpear una varilla uniforme, uniforme, de longitud
2L, que que cuelga verticalmente, para para que que su movimiento
oscilatorio se inicie sin que se imparta una fuerza de reacción horizontal al punto de suspensión?
d 2L F
Rta.:
L 139
85. El eje del cilindro de la figura está fijo. El cilindro se encuentra inicialmente inicialmente en reposo. En un principio la masa M se mueve hacia la derecha sin fricción fricción con una velocidad v1. Pasa sobre el cilindro hasta la posición mostrada con puntos. Cuando hace contacto por primera vez con el cilindro resbala sobre éste, pero la fricción es lo suficientemente grande como para que el resbalamiento termine antes de que M pierda contacto contacto con el cilindro. El cilindro tiene radio radio R y una inercia rotacional rotacional I. Hallar la velocidad final v2 del bloque M. V1
M
R
2
Rta.: v1 / (1 + l/M)
86. Tres partículas partículas todas ellas de masa m, están unidas entre sí y a un eje rotacional por varillas uniformes de masa M, cada una de las cuales tiene una longitud L. Esta combinación gira alrededor del eje rotacional con una velocidad angular
, de tal manera que las partículas
permanecen alineadas. alineadas. Hallar la energía cinética cinéti ca rotacional K de este sistema. L L
m
m
m
L O
Rta.: (7m +
2
M) L
2
87. Un cubo sólido de lados 2a= 1m y masa M= 1 kg se desliza sobre una superficie sin fricción con velocidad uniforme v0, como se indica en la figura. Choca contra un pequeño obstáculo en el extremo de la mesa que provoca la inclinación del cubo. Encuentre el mínimo valor de v 0 para que el cubo caiga fuera de la mesa. Considerar que el momento de inercia del cubo 2
respecto a un eje a lo largo largo de sus aristas es 8 Ma /3. V0
2a
M
Rta.: 3,29 m/s
140
88. Un cubo sólido de madera de lados de longitud 2a = 1m y masa M= 1 kg , descansa sobre una superficie horizontal. El cubo está restringido a girar alrededor de la arista AB. Se dispara una bala, de masa m= 10 g con una velocidad v sobre la cara opuesta ABCD, a una altura 4a/3. Sabiendo que la bala queda incrustada en el bloque, encontrar el mínimo valor de v requerido para que el cubo se incline hasta caerse sobre la 2
cara ABCD. Considerar que la inercia del cubo con respecto a la arista AB es igual a 8Ma /3 y suponiendo que m << M. 2a D–C v
M
4a/3 A – B
Rta.: 246,76 m/s 89. El cilindro sólido homogéneo de de la figura figura pesa W y está girando a una velocidad angular angular en el sentido de las las manecillas del reloj alrededor alrededor de un eje horizontal fijo que que pasa por O. El coeficiente de rozamiento cinético entre los frenos y el cilindro es constante elástica es k, se deforma
k.
Si el resorte, cuya
cuando se aplican repentinamente repentinamente los frenos, hallar el
tiempo necesario para detener la rotación del cilindro. Se desprecia el espesor de los miembros verticales. L= 1,20 m ; R= 0,80 m ; W= 300 kgf = 10 cm
;
;
k=
0,20 ; k= 15 kgf/cm ;
= 60 rad/s.
L R O L k
Rta.: 6,12 s 90. A una varilla homogénea de masa despreciable están fijas dos esferas de masas m y 3m. La varilla comienza a girar desde el reposo hasta hasta una una cierta velocidad angular
. Sabiendo Sabiendo que la
longitud de la varilla es L, determinar la posición de los ejes en que se realiza menor y mayor trabajo. II
I
3L/4
III
L/4
m 3m
Rta.: W2 < W3 < W1 141
91. Un disco circular macizo macizo de aluminio, de masa M= 2 kg
y radio R= 0,15 m, se
encuentra inicialmente en reposo, en un plano horizontal. Se dispara un proyectil de plomo, de masa m=0,1 kg con una velocidad v0= 200 m/s , que queda incrustado en la periferia del disco. El cable indicado en la figura es inextensible y está unido en sus extremos al disco y a un resorte de constante elástica k= 10.000 N/m , no deformado inicialmente. Determinar: a) La velocidad velocidad angula angularr del disco justo justo después después del choque. choque. b) El máximo máximo ángulo que girará girará el disco. disco. V0 M
R
k
Rta.: a) 121,21 rad/s
; b) 1,27 rad
92. Tres partículas, todas ellas de masa m, están unidas entre sí y a un eje rotacional por tres cuerdas, cada una de las cuales tiene una longitud L. Esta combinación gira alrededor del eje , de tal manera que las
rotacional rotacional que pasa por por el punto O con una velocidad angular
partículas permanecen alineadas. Hallar el momento cinético total de este sistema con respecto al eje rotacional. L L
m
m
m
L O 2
Rta.: 14 m L
2
93. Una esfera hueca uniforme uniforme de masa M, radio R e inercia 2/3 MR , gira alrededor de un eje vertical sobre cojinetes sin fricción. Una cuerda ligera pasa alrededor del ecuador de la esfera, sobre una polea de inercia I y radio r, y se fija a un pequeño objeto de masa m que de no ser así, caería bajo de la acción de la gravedad. Hallar la velocidad del objeto después que ha caído una distancia h a partir del reposo. M.R 1.r
m 2
2
2
1/2
Rta.: ( 6m g r h /(3m r + 3 l + 2M r ))
142
HIDROESTÁTICA 1. Un trozo de fundición fundición de hierro pesa 267 N en el aire y 178 N en en el agua. agua. ¿Cuál ¿Cuál es el volumen de huevos en el trozo trozo de fundición fundición sí el peso especifico del hierro es igual a 7,8 3
g/cm ? -3
3
Rta.: 5,59. 10 m
2. La tensión tensión de una cuerda cuerda prendien prendiendo do un bloque macizo macizo debajo debajo de la superficie superficie de un líquido líquido (de densidad mayor que el bloque) es T0 , cuando el vaso que encierra está en reposo. Hallar la tensión tensión en el hilo cuando cuando el vaso sufre sufre una aceleraci aceleración ón ascenden ascendente te vertical vertical a.
a
-3
3
Rta.: 5,59 . 10 m
3. Una barra homogénea AB de 3,6 m de longitud y que pesa 12 kg está sujeta sujeta en el extremo B por una cuerda y lastrada lastrada por un peso de 6 kg en A. La barra barra flota con la mitad de su longitud sumergida. Despreciando el empuje sobre el lastre calcular la tensión en la cuerda y el volumen de la barra. 3,6 m
B
A 1,8 m
6 kg
Rta.:
2 kgf
3
; 32 32 dm
4. Calcular Calcular hasta que profundidad profundidad llegará llegará una esfera de de madera que pesa 1 kg y que se deja caer a un estanque estanque desde 20 m de altura. Despreciar Despreciar el rozamiento entre la esfera y el agua como también la pérdida de energía en el momento en que la esfera toca el agua (
esf =0,8
3
g/cm )
¿Es el empuje una f uerza conservativa? Rta.: 80 m 5. Un cuerpo cuerpo de volumen volumen V1 flota en agua con un tercio de su volumen sumergido. ¿Qué parte de su volumen quedará sumergido si se coloca sobre él otro cuerpo del mismo material y de volumen V2= V1/2? Rta.: ½ v1
143
6. El cilindro cilindro que se muestra en la está sumergido en agua hasta hasta un tercio de su volumen y sujeta al fondo por medio de un resorte de constante k= 400 N/m, el cual está está estirado una cierta longitud x0. Si se agrega ahora alcohol de densidad relativa 0,8 hasta cubrir totalmente en cilindro, calcular el incremento de deformación y de tensión del resorte. 2 cm
26 cm 2 cm
2 cm
11 cm
2 cm
Rta.: 6,4 6,4 cm
; 25,6 25,6 N
7. El dispositivo dispositivo de la figura es utilizado para evitar que el nivel de agua en el estanque estanque no sobrepase la la altura H. Calcular Calcular dicha altura. Wcil= 10 kg R= 10 cm
;
; Wtap= 1 kg
; L= 1 m ; h= 1 m ;
r= 5 cm. R1
h
H L R0
Rta.: 1,80 ,80 m 8. Una barra homogénea homogénea de peso P= 75 kg flota entre agua agua y mercurio. mercurio. Se sujeta sujeta la barra barra por por el extremo B con un hilo de cobre de 2 mm
2
de sección transversal, de tal manera que la barra
quede en la posición que se muestra en la figura. Calcular: a) La dens densidad idad del del material material de la barra barra.. b) El alarga alargamiento miento del hilo hilo de de cobre. cobre.
¼L ¾L
A
B 1m
3
Rta.: Rta.: a)8087 a)8087,5 ,5 kg/m kg/m
b) 0,91 mm
144
9. El bloque bloque A de la la figura figura está suspendido suspendido mediante mediante una cuerda, cuerda, de de balanza balanza de resorte D, y se encuentra encuentra sumergido sumergido en un un liquido C contenido contenido en el vaso vaso B. El peso del vaso vaso es 0,9072 kg y el del líquido líquido 1,3608 kg. La balanza D indica indica 2,268 kg mientras 3
que la E señala 6,804 kg. El El volumen del bloque del A es 2832 cm . a) ¿Cuál ¿Cuál es el peso específico específico del del líquido? líquido? b) ¿Qué indicará cada balanza si se se saca saca el bloque bloque A fuera del líquido? líquido? D B A C E 3
Rta. Rta.:: a) 1601 1601,69 ,69 kg/m kg/m
b) 6,804 kgf
; 2,268 kgf
10. Un bloque cúbico de madera de de 10 cm de arista flota en la superficie de separación de aceite y agua, estando su cara inferior a 3,5 cm por debajo de dicha superficie. Si la densidad del aceite 3
0,6 g/cm . ¿Cuál es la densidad del bloque?
10 cm
3
Rta. Rta.:: 740 740 kg/ kg/m m
2
11. Una barra barra cilíndrica cilíndrica de 10 kg de masa y 5 cm de sección sección tiene una longitud de 1 m y está unida a una esfera esfera de 0,2 kg de masa y 10 cm de radio. El sistema está sumergido en agua y articulado en 0. Calcular Calcular el valor y sentido de la aceleración aceleración angular en el momento que se suelta. ¿Cuál es la velocidad angular y la aceleración angular en el instante en que se encuentra encuentra en la posición vertical?
O
2
Rta.: 1 rad/s
;
1,41 rad/s
; 0
145
m
m’
12. La esfera hueca de de la figura tiene un radio interior de 4 cm y un radio exterior de 5 cm. La densidad relativa de la sustancia de que está hecha la esfera es 0,9. Hasta que altura altura sobre sobre el nivel de la superficie libre libre del agua agua llegará si se sumerge a 2 m de profundidad?
2m
Rta. Rta.:: 2,55 2,55 m 13. Una pieza de aleación de aluminio y oro pesa 5 kg. Si se suspende de una balanza de resorte y se sumerge en agua, la balanza indica 4 kg. ¿Cuál es el peso del oro en la aleación, si la densidad relativa relativa del oro es 19,3 y la del aluminio 2,7? Rta.: 2,67 ,67 kg kg 14. Sabiendo que que la barra de aluminio de la figura está en equilibrio, calcular: a) La longitud longitud de de la barra barra sumergida sumergida en agua agua y en mercurio. mercurio. b) La fuerza fuerza que que se ejerce sobre sobre la barra barra en el punto punto A. A. 2
La sección transversal de la barra es de 10 cm . La densidad relativa del mercurio es 13,6.
B 5m
Rta.: Rta.: 1,84 1,84 m ; 3,16 3,16 m ; 143,9 143,9 N 15. Una esfera maciza maciza de 30 kg de peso y peso especifico relativo al líquido donde donde se halla sumergida de 0,4 , está sujeta por dos cables I y II, como se indica en la figura. figura. Si se se corta el cable II, al pasar por la posición vertical, calcular: a) La veloci velocidad dad lineal lineal de de la esfera esfera.. b) La acelerac aceleración ión angula angularr en la misma posición posición.. c) La fuer fuerza za en el cabl cable e I. L=1 L=1 m.
1m I
30°
Rta.: Rta.: a) 3,83 m/s
;
b) 0
;
c) 882 N 146
II
16. Un tubo en U de longitud L contiene un líquido de de densidad densidad . Hallar la diferencia de altura entre las columnas c olumnas de líquido en las ramas verticales cuando: a) El tubo tubo tiene tiene una una aceler aceleraci ación ón a hacia la derecha. b) El tubo tubo está montado sobre una una plataforma plataforma horizontal horizontal que gira gira con una velocidad velocidad angular angular alrededor de un eje que coincide con una de las ramas verticales.
L
Rta. Rta.:: a) L a / g
; b) ½ L
2
2
/g
17. El cilindro hueco de madera madera de la figura flota en mercurio con la mitad de su volumen sumergido, estando enganchado enganchado al fondo del recipiente por medio de un hilo de cobre de 1 m 2
de longitud y 5 mm de sección. Calcular la longitud final del hilo de cobre. 2
YCu= 14.103 kg/mm
;
mad=
3
0,7 g/cm
;
Hg=
3
13,6 g/cm .
5 cm
40 cm 5 cm
20 cm
5 cm
5 cm 100 cm
Rta.: 1,0032 m 18. El sistema de de la figura representa una barra homogénea homogénea cilíndrica, de longitud longitud L= 4 m, de de 10kg y 2cm de diámetro diámetro y una esfera hueca de 8 kg y radio exterior R= 15 cm que que se encuentra, unida a la barra en su extremidad mediante un cable ideal. El resorte tiene una constante k=14 kg/cm. Si el sistema se encuentra en posición horizontal, determinar la deformación del resorte.
R
O 1/3L
2/3L
Rta.: 3,8 mm 147
19. Calcular Calcular la fuerza ejercida por el líquido 2 sobre la superficie horizontal de área A que se muestra en la figura y el mínimo valor de h para que el líquido 2 comience a descender descender por el tubo de la derecha. A
H
h
1
2
Rta.: Patm A + g A(
1
h–
2H)
20. Una boya esférica hueca de acero, con radio exterior igual a 25 cm, fl ota en agua con la cuarta parte de su volumen sumergido, para lo cual se fijará al fondo del estanque con ayuda de un hilo de acero. Calcular: a) El radi radio o interi interior or de de la esfera esfera.. 2
b) La mínima sección de acero para que que la fatiga fatiga unitaria no supere el valor valor de 2.500 kg/cm kg/cm . c) La deform deformación ación unitaria unitaria del hilo hilo de acero. acero. 2
3
YAc=14 105 kg/mm
;
Ac=
7,8 g/cm .
Rta.: Rta.: a) 24,73 cm
;
b) 1,3 mm
2
;
-3
c) 1,25 10
21. Un cubo de hielo conteniendo una gota de mercurio está flotando en un vaso con agua. Cuando el cubo se funde ¿se eleva el nivel de agua?. Justificar la respuesta a través de fórmulas. Rta.: descende 22. Una caja cúbica, de de 1 m de arista, se e ncuentra flotando con la mitad de su volumen sumergido, en un líquido líquido cuya densidad densidad relativa es ’= 0,8. Determinar las las masas m1 y m2 de cada una de las dos aristas opuestas sumergidos, si el ángulo masa de las demás partes de la caja.
1m
m2 m1
Rta.: 302,64 kg
; 97,36 kg
148
vale 30° y se desprecia la
23. En el fondo de un recipiente, que forma un ángulo
= 30° con la horizontal, se
encuentra un cubo de de arista de a= 10 cm, hecho hecho de un material material de densidad relativa ’=7,85. Sabiendo Sabiendo que en estas estas condiciones condiciones el cubo está a punto punto de deslizar, calcular la variación variación de las fuerzas fuerzas normal y tangencial, actuantes actuantes sobre sobre el cubo, cuando cuando
en el
recipiente se vierte un líquido líquido de de densidad densidad relativa relativa ’L=1,5 , de tal manera manera que que el mismo mismo cubre totalmente el cubo (entre el fondo del recipiente y el cubo no hay líquido; considerar la presión atmosférica actuante de 1,033 k gf/cm2)
L
a
Rta.: 7,35 N
; 3,68 N 3
2
24. Dos cuerpos m1 = m 2= 10 kg, que están unidos por un cabo (Y=2,1 .10 kgf/cm ;
= 20 mm)
2
que pasa una polea polea de radio R= 16 cm e inercia I= 4,173 kg.m , se encuentran sumergidos en agua. Determinar Determinar cuan sumergidos sumergidos deben estar en el agua para que que la deformación unitaria unitaria del cabo sea de 0,001. Si se coloca ahora un tercer cuerpo m3= 10 kg, en el extremo derecho del cuerpo 2, calcular la aceleración aceleración inicial del sistema. Considerar Considerar que a= 20 cm ; b= 40 cm y que todos los bloques tienen un espesor a= 20 cm.
3 b
1
2 b
a
Rta.: 8,5 cm
a
2
; 4,25 cm ; 0,51 m/s
25. Un tanque cerrado de altura h2 y sección S se comunica en su parte parte inferior con un tubo que que se eleva a su costado y está abierto en su extremo superior. El sistema está enteramente lleno de aceite. aceite. La altura del del aceite en el tubo es h1 por encima de la base del tanque. Son conocidos h1 , h2 y la densidad del aceite
0.
La presión presión atmosférica equivale equivale a una altura altura H
de mercurio mercurio de densidad . Calcular la presión absoluta absoluta en la cara cara inferior de la tapa S. S.
S
h1
h2
Rta.: g ( H +
0(h1 –
h2 )) 149
26. Un vaso de de masa 1 kg contiene 2 kg de agua y descansa sobre sobre una balanza. balanza. Un bloque de 2 kg de aluminio (
2,70) suspendido de un dinamómetro se
sumerge en agua. Determinar las lecturas de ambas balanzas.
Rta.: 12,34 N
; 36,66 N
27. Una esfera homogénea homogénea de radio R= 9/ sumergida en un líquido de densidad
1/3
L=1,5
cm
y densidad
3
= 0,5 g/cm
está totalmente
3
g/cm . La esfera está presa por medio de un hilo,
a un resorte resorte de constante elástica k= 97 N/m, conforme se muestra muestra en la figura. En esas condiciones condiciones determinar la deformación del resorte.
Rta.: 9,82 cm 28. Un recipiente cilíndrico de 0,5 m de radio de base contiene agua hasta una altura de 1,10 m y dentro de él se halla un globo que inicialmente estaba desinflado por completo. Luego el globo recibe aire por la boquilla a la que está sujeto, inflándose hasta ser una esfera de 0,3 m de radio; en estas condiciones hallar la diferencia de presión entre la presión p 2 en el fondo del recipiente, después de inflarse el globo y l a presión p1 antes de inflarse.
1.10 m
Rta.: 1411,2 Pa 150
29. En los recipientes idénticos mostrados mostrados en la figura, contienen la misma cantidad de agua y soportan la misma fuerza F. Calcular la diferencia de presiones entre los l os puntos A y B. B F
F A
Rta.: 2
h
30. La pasarela flotante de la figura se compone de dos vigas de madera de sección cuadrada, de longitud a= 2 m, lados d= 30 30 cm y 2d y su distancia de centro a centro es L= L= 3 m. Sobre ambas vigas vigas existe un tablero de peso G= 25 kgf. El líquido donde se halla halla flotando es agua y la densidad relativa de la madera es 0,8. En esas condiciones la posición
x
de la carga
P=100 kgf para que que el tablero esté horizontal horizontal es aproximadamen aproximadamente. te. P x
d 2d
L
Rta.: 2,84 m 31. Se tiene un cuerpo hueco de de forma irregular. Se conocen conocen el peso del del cuerpo en el aire W1, el peso del cuerpo en un líquido, W2, el peso específico del cuerpo, líquido,
L.
A
y el peso específico del
Sabiendo que los huecos no se comunican con el exterior, deducir la fórmula que
nos permite calcular el volumen de huecos sin destruir el cuerpo. Rta.: (W1 – W2) /
L –
W1/
A
32. En el tanque cerrado mostrado en la figura el gas contenido en la parte superior del líquido se mantiene a una presión manométrica . El bloque cúbico cúbico de madera que que flota en el líquido, líquido, de densidad
L,
tiene densidad pM y arista a. Hallar la distancia d que el bloque se hunde. a
d
1
Rta.:
M
a/
L
151
33. La tensión en una cuerda, de longitud L, sección transversal A y módulo de elasticidad Y, que mantiene a un cuerpo sólido sólido por debajo de la superficie de un líquido, (cuya densidad es mayor que la del sólido), es T0 cuando el recipiente que lo contiene se encuentra en reposo. Cuando el recipiente tiene una aceleración vertical hacia arriba. a) ¿Cuál ¿Cuál es la deforma deformación ción de la la cuerda cuerda? ?
a
Rta.: T0 A L / (g A Y) 34. Un tubo sencillo en U contiene contiene mercurio, de densidad relativa ’, cuando se echan ’ cm de agua en la rama de la izquierda. El área de la sección transversal de la rama de la izquierda es A1 y el de la derecha derecha es A2=2 A1. Calcular la altura, en cm, que sube el mercurio en la rama de la derecha, a partir de su nivel inicial. A2
A1
Rta.: 0,33 cm 35. Una esfera maciza maciza de densidad en un líquido de densidad
L
A
, se encuentra encuentra sumergida sumergida inicialmente una una profundidad profundidad H
tal que
L
>
A.
Hallar la altura máxima que se eleva la esfera por
encima de la superficie libre del líquido. Rta.: ( L –
A)
/
A
36. En el sistema de la figura, calcular calcular la velocidad del cuerpo al salir a la superficie, sabiendo que la relación entre las densidades del cuerpo y del líquido es de 1/2.
h
1/2
Rta.: (2 g h)
152
37. En el sistema sistema de de la figura la barra barra tiene un un peso peso
G = 10 kgf
y volumen volumen
despreciable y el flotador flotador tiene un un volumen V= 200 litros y peso despreciable. Determinar el aumento de longitud del tensor ubicado a un tercio de la longitud de la barra, sabiendo que el mismo es de acero, de longitud normal de 2 m y diámetro de 6 mm, y que el flotador se encuentra sumergido en el agua hasta la mitad. Hallar las reacciones en el apoyo.
L
Rta.: 0,96 mm ; 0 ; 195 kgf 38. Una esfera de de radio radio 4 cm y densidad relativa 7,8 desciende desciende por por un un plano plano inclinado ( =30) sumergido en agua. El coeficiente de rozamiento entre el plano y la esfera es 0,2. Calcular: a) La fuerza fuerza de rozamiento rozamiento entre entre el plano plano y la esfera. esfera. b) La velocidad velocidad cuando la misma ha descendido una altura de 5 m, suponiendo suponiendo que parte parte del reposo. Rta.: a) 2,55 N
; b) 7,81 m/s
39. En la figura la esfera se se encuentra en el fondo de un lago de 5 m de profundidad. profundidad. Determinar hasta que altura llegará la esfera fuera del agua y que aceleración tiene mientras se encuentra dentro del agua. La densidad relativa de la esfera es 0,8.
5m
Rta.: 1,25 m
2
; 2,45 m/s
40. Se pesa en el aire una bolsa de plástico vacía y luego se pesa cuando está llena de aire a la presión atmosférica. ¿Son los dos pesos distintos? Explique. Ahora se repite los pesos en el vacío. ¿Son ambos pesos iguales? ¿Por qué? Rta.: iguales ; distintos 41. Un cubo está flotando en mercurio tiene sumergida sumergida la cuarta parte de su volumen. Si se agrega suficiente agua para cubrir el cubo, ¿Qué fracción de su volumen quedará sumergida en el mercurio? Rta.: 12/63 /63 V
153
42. En el sistema sistema que se muestra en la figura, figura, la sección sección de la cuerda cuerda AB de acero es 2
de 1,5 mm , la barra CB CB es maciza, homogénea, homogénea, indeformable indeformable y pesa 8 kgf, y la esfera D es de aluminio, hueca, de 2L de volumen y 2 kgf de peso. El agua está inicialmente en el nivel que se muestra en la figura y luego sube hasta la línea de puntos. puntos. Calcular: a) El volum volumen en de de huecos huecos de la la esfera. esfera. b) El alargam alargamiento iento inicial inicial y final final de la cuerda cuerda AB. 2m
A
B
1.5m
D
43. Un bloque de madera de 3,6 kg tiene una densidad relativa de 0,6. Se desea sujetar a dicho bloque de madera una masa de plomo de tal manera que el conjunto flote en agua con el 90% del volumen de madera sumergido. ¿Qué cantidad de masa de plomo se necesita si: a) El plomo se coloca sobre el bloque bloque de madera madera y queda fuera fuera del agua? agua? b) El plomo se coloca debajo debajo del bloque de de madera y queda queda dentro del agua? La densidad relativa del es 11,3 44. Una esfera de densidad
se deja caer desde una altura h a una piscina profunda que
contiene agua agua salada de densidad densidad ’. Si se desprecia desprecia el rozamiento, ¿Cuál es la máxima máxima altura H que alcanza la esfera dentro del agua? Rta.:
h/( ’– )
45. Dos troncos idénticos idénticos se sitúan de manera indicada en la figura. El tronco inferior está atado a la pared vertical mediante cables que forman un ángulo de 45°. El tronco superior está sumergido a medias en el agua. Determinar la densidad de los troncos.
90°
45°
3
Rta.: a.: 667 kg / m
46. Una esfera hueca, de radio interior 9 cm y radio exterior 10 cm, flota en un líquido de densidad relativa 0,8, quedando la mitad fuera del líquido. a) Calcula Calcularr la densidad densidad del materia materiall que forma forma la esfera. esfera. b) ¿Cuál seria seria la densidad densidad de un líquido en el cual cual la esfera esfera hueca pudiera pudiera justamente justamente sostenerse sostenerse cuando está sumergida por completa? 3
Rta.: a.: 1476 476 kg kg/m
3
; 400 kg/m
154
47. Considerar un depósito de fluido sometido sometido a una aceleración ascendente a . Hallar la fórmula que permita calcular la diferencia de presiones entre dos puntos del fluido separados una distancia vertical h. Rta.:
h (a + g)
48. Una pieza de aleación aleación de oro y aluminio pesa 4,5 kgf. Cuando Cuando se suspende de de un balanza de resorte y se sumerge el cuerpo en el agua, la balanza indica 3,6 kgf. ¿Cuál es el peso del oro en la aleación, si la densidad relativa del oro es 19,3 y la del aluminio al uminio 2,5? 49. Un tubo tubo en U contiene inicialmente un líquido de de densidad una de las ramas otro líquido de densidad
2,
tal que
1
>
1. 2.
Posteriormente se agrega en
Calcular la distancia vertical d
entre las superficies libres de ambos líquidos. d h1
h3 h2
Rta.: ( 1 –
2)
h1 /
1
50. El depósito depósito cerrado mostrado en la figura contiene un líquido líquido de densidad . Hallar la presión manométrica en el punto S. S
h2 h1 h
Rta.:
g ( h2 – h1)
51. Un bloque cúbico de madera de 10 cm de arista, flota entre dos capas de aceite y agua, como se indica en la figura, estando su cara cara inferior 2 cm por debajo de la superficie de separación. 3
La densidad densidad del aceite es 0,6 g/cm . Calcular Calcular la presión manométrica en la cara inferior inferior del bloque.
8cm
10cm
10cm
Rta.: 784 Pa 155
52. En el depósito mostrado mostrado de la figura, hallar la diferencia de presiones presiones entre los puntos 2 y 1.
P1
h
y2 P2
y1
Rta.: –
g ( y2 – y1)
53. Un bloque cúbico de metal de densidad
m=
3
1,68 g/cm
y arista arista a= 20 cm, descansa descansa en el
fondo de un estanque de 1,50 m de profundidad de tal manera que el agua no se infiltra entre la base del bloque y el fondo. Hallar la fuerza ejercida en la base del bloque.
h a
Rta.: 65, 65,44 kgf 54. De acuerdo al Principio de Pascal, Pascal, calcular la presión en el punto Q dentro del depósito de la figura. h1 Q
h2
P
Rta.: p +
g h1
156
55. En los recipientes abiertos de la figura se colocan dos fluidos inmiscibles y tales que
1
<
2.
Calcular las presiones manométricas en los puntos Q y R situados a
la misma altura h.
2
h1
Q
h2
Rta.:
g(
1
h1 +
2
h1
1
R h
2
( h2 – h ))
56. Una esfera de densidad
; <
H2O
g(
2
h2
1
h1 +
1
( h2 – h ))
se deja caer libremente sobre la superficie sólida y lisa
regresando a su altura original en T0 segundos. Si la esfera se deja caer desde la misma altura sobre la superficie del agua de un lago, calcular el tiempo que demorará la esfera en alcanzar su altura original. Rta.:
aT0
/ ( a – ) 2
57. La tensión de una varilla de sección sección S= 2/3 cm , pendiendo de un bloque macizo debajo de la superficie de un líquido (de densidad mayor que el bloque), es T0= 19,6 kgf, cuando el vaso que la encierra está en reposo. Conociendo los datos del grafico
vs
determinar la
deformación unitaria de la varilla cuando el vaso sufre una aceleración vertical ascendente 2
a=2,2 m/s y la zona donde se encuentra el material de la varilla en el gráfico
vs .
(kgf/cm2) 50 a
0,25
Rta.: 0,18
;
zona elástica 3
58. Una esfera maciza, de densidad relativa
’ = 0,9 y volumen V= 4.000 cm , está atada a una
plomada de de peso W= 5 kgf mediante una una cuerda inextensible inextensible de longitud L= 1 m. Se sumerge sumerge el conjunto en agua y se mantiene la esfera en la posición indicada en la figura 1 por medio una fuerza F. Si dejamos de aplicar F, calcular: a) La velocidad velocidad del sistema sistema un instan instante te después después de tensarse tensarse la cuerda. cuerda. b) La altura altura máxima máxima que que alcanza alcanza el el peso W. c) La tensión tensión de la cuerda cuerda en el el instante instante en que la plomada plomada alcanza alcanza la la altura altura máxima. máxima.
F L
Rta.: a) 0,62 m/s
;
b) 0,04 m
; 157
c) 20,98 N
59. El manómetro manómetro de émbolos émbolos de la figura figura se compone compone de dos émbolos émbolos de distintos distintos diámetro diámetross D= 2 d unidos unidos rígidament rígidamente e entra sí. sí. El gas gas de presión presión p empuja empuja a estos estos émbolos hacia hacia arriba u con ellos al líquido de de peso específico relativo 13,6 que existe sobre el émbolo superior. superior. Determinar p sabiendo que h= 19 cm. p0 h
D p0
d p
Rta.: 2 atm 3
60. El sistema de la figura está constituido constituido por dos esferas de volúmenes iguales a 10 cm , unidas entre sí por un hilo de aluminio de 1 mm de diámetro. Las esferas se encuentran flotando en un volumen sumergido y la esfera inferior en tres veces más pesada que la superior. a) Determin Determinar ar la deformació deformación n unitaria unitaria del hilo hilo que las une une b) Calcular el nuevo volumen sumergido de la esfera superior superior si el sistema sistema se acelera hacia 2
abajo con una aceleración aceleración de 4,9 m/s .
-7
Rta.: a) 2,23 . 10
;
3
b) 5 cm
61. Calcular Calcular la fuerza que comprime comprime las dos mitades de un cubo de peso W y arista a que flota en un líquido de densidad .
a
2
3
Rta.: ½ W / ( g a )
158
62. Un bloque bloque de madera de masa m flota en agua con el 60 % de su volumen sumergido. Se desea sujetar sujetar a dicho bloque una una masa de plomo de de masa m’ y conjunto flote con el 90% del del volumen de madera densidad relativa ’ de tal manera que el conjunto sumergido. Hallar la masa de plomo m’ necesaria, si el plomo se coloca debajo del bloque de madera y queda dentro del agua. Rta.: a.: ½ ’ m ( ’– 1) 63. En un líquido de densidad densidad
0
flota un paralelepípedo rectangular, hecho de un material de
densidad . La altura altura del paralelepípedo es b, la anchura anchura y longitud, a. a. Demostrar Demostrar que el equilibri equilibrio o es estable estable para la relación relación a/b > (6 Rta.: a/b > ( 6
(1–
/ 0)/
(1 – / 0) /
1/2 . 0)
1/2 0)
64. Suponiendo que se sueltan simultáneamente simultáneamente dos balines de acero dentro del agua siendo el diámetro de una de ellos el doble que el del otro, hallar al llegar al fondo la relación entre la velocidad del balín más grande y el otro balín. Rta.: 1 65. Una masa M de algodón algodón y una una masa m de plomo al ser pesadas en el aire la balanza indica 1kgf. Al repetir las pesadas en el vacío ¿Cuál de los dos es más pesado? Rta.: algodón 66. Un bloque cúbico, cúbico, de 10 cm de arista, arista, pesa 10 N. Se lo sumerge sumerge en líquido, contenido en un recipiente que está moviéndose verticalmente hacia arriba con una aceleración aceleración de g/4, recibiendo un empuje de 8 N. Sabiendo que el líquido en el recipiente alcanza una altura de 10 m, hallar la fuerza que el fondo del recipiente ejercerá sobre el cuerpo, h
cuando éste llegue al fondo. Suponer que en la posición final no existe agua infiltrada entre la base del bloque y el fondo.
a
Rta.: 804 N 67. Un tubo cilíndrico tiene dos secciones diferentes, en las cuales se insertan dos pistones de áreas A y a (A (A = 2a) y masas m y m/2, conectadas entre sí por una varilla como se indica en la figura. Los pistones pueden deslizar sin fricción del líquido contenido entre los pistones, sabiendo que el sistema está en equilibrio. A = 2a
m
a
m/2
Rta.: p0 + 2
gh +3mg/A
159
68. Un cuerpo de densidad densidad líquido de densidad Rta.:
3<
1
<
3.
1
flota en un líquido de densidad
2
y se hunde en otro
Determinar la relación entre sus densidades.
2
69. Un cubo de densidad relativa 0,88 y arista de 50 cm flota entre aceite y agua como indica la figura a. Si por medio de un tensor de cobre se hace flotar al cubo como muestra la figura b, calcular la deformación unitaria unitaria del tensor si el e l diámetro del mismo es 1 mm. a
b
10 cm
-4
Rta.: 2,84 . 10
70. Un pistón (disco circular) circular) con un orificio en el centro, tiene área A. En el orificio se encuentra ajustado un tubo delgado de de radio r y masa despreciable. despreciable. El pistón encaja encaja exactamente dentro de un recipiente y se encuentra inicialmente en la base del cilindro. Si después de depositar dentro del recipiente recipiente una masa masa M de agua, agua, el agua sube sube por un tubo delgado una altura h, calcular la masa m del pistón. 2r h
A
Rta.:
hA
71. En el sistema mostrado en la figura, todos los cuerpos suspendidos tienen igual volumen, las densidades son
1
para los de arriba y
densidades iguales a equilibrio el valor de
2 3
2
para el de abajo, los líquidos de arriba poseen
y el de de abajo densidad
3.
Para que el sistema se encuentre en
es:
p1
p1
p2
p2 p2 p3
Rta.: 3
2 –
2
1
160
72. Las secciones secciones transversales de las las ramas de un tubo tubo doblado en forma de U son A y 2 A respectivamente (Ver figura). figura). En el tubo se encuentra un líquido de densidad densidad . Si en el tubo de la izquierda se coloca un pistón de masa m (ajustado herméticamente, de tal forma que se puede desplazar libremente por aquél), determinar la diferencia de alturas H de los niveles de las dos superficies del líquido.
H
Rta.: m/ ( A) 73.Dos 73. Dos cilindros cilindros circulare circularess de de longitud longitud L = 2 m, m, radios R = 1,25 1,25 cm y r = 1 cm cm y densid densidad ad relativa 2
’, cuelgan de los extremos extremos de una cuerda de aluminio aluminio y sección 2,3 mm , y se sumergen sumergen en agua. Calcular: a) Las Las long longit itud udes es X1 y X2 que cada cilindro entra en el agua sabiendo que la longitud de la cuerd cuerda a es a = 3 m , h = 2 m y e = 1 m. b) El alarga alargamien miento to que que sufre sufre la cuerda cuerda.. e
2R h L
G2
G1 X2
L X1
Rta.: ta.: a) 1,65 1,65 m ; 0,35 0,35 m
b) 0,21 0,21 mm
161
