ELECTROTÉCNIA. Academia Militar Zaragoza

Curso 2012/13

Transparencias de la asignatura:

Fundamentos de Electrotecnia Grado en Ingeniería de Organización Industrial 2º curso, 2º cuatrimestre • •

•

•

Miguel Ángel García García Joaquín Mur Amada Iván Cristóbal Monreal Nabil El Halabi

Tema 1 Leyes de Kirchhoff. Referencias de polaridad

Índice Tema 1.‐ Leyes de Kirchhoff. Referencias de polaridad. 1.1. Generalidades. ‐

1.2. Unidades. ‐

1.3. Definiciones. ‐

1.4. Referencias de polaridad. ‐

1.5. Leyes de Kirchhoff. ‐

1.5.1 Primera ley de Kirchhoff. ‐

1.5.2 Segunda ley de Kirchhoff. ‐

1.1. Generalidades •

•

•

Se Se llama circ circui uitto el eléct éctri rico co a un conjunto de elementos conectados entre sí en donde existe la posibilidad de que circule una corrien corriente te eléctric eléctrica. a. La Teoría de Circuitos se dedica al estudio de las propiedades y el compo comportam rtamient iento o de los circuit circuitos os eléctricos.

Analizar un circuito consiste en hallar para cada elemento de dicho circuito: –

la diferencia de potencial existente entre sus bornes

–

la corriente eléctrica que lo atraviesa

1.2. Unidades •

Se Se va a utilizar fundamentalmente el sistema internacional de unidades ( S.I. S.I. ) ) Magnitud

Unidad (S.I.)

Carga eléctrica (q)

Culombio (C)

Tensión o caída de tensión (u)

Voltio (V)

Corriente eléctrica o intensidad (i)

Amperio (A)

Resistencia (R)

Ohmio ()

Capacidad (C)

Faradio (F)

Coeficiente de autoinducción (L)

Henrio (H)

Densidad de flujo magnético (B)

Tesla (T)

Flujo magnético ()

Weber (Wb) = T m2

Intensidad de campo magnético (H)

∙

Amperio por metro (A/m)

1.3. Definiciones •

Se define la corriente eléctrica como el número de cargas que circulan por una sección dada de un conductor por unidad de tiempo debido a la existencia de una diferencia de potencial eléctrico entre sus extremos.

i(t )  •

d q(t ) d t

Se define la tensión entre dos puntos 1 y 1' como la di differ eren enci cia a en entr tre e lo loss po potten enci cial ales es el eléc éctr tric icos os de esos puntos.

u11' (t )  V1  V1'


•

Se define rama de un circuito al elemento o grupo de elementos que presenta dos terminales y del que se puede conocer la relación entre la tensión entre sus terminales y la corriente que lo atraviesa. Se define nudo de un circuito al punto de unión de dos o más ramas.

R1

5

6

B 4 C

A

eg(t)

R2

1

ig(t)

+

C R4

3 L

R3

2 D

1.4. Referencias de polaridad •

Para indicar la tensión en bornes o la intensidad que circula por un elemento de un circuito: no basta con indicar el valor de dichas magnitudes, también es necesario determinar el sentido en que circula –

–

–

•

la corriente por el elemento, o bien cuál de sus dos extremos se encuentra a mayor potencial eléctrico. Para poder determinar de una forma sencilla estos sentidos, es necesario asignar a cada elemento de un circuito lo que se denominan referencias de polaridad .

Por convenio , se toma como sentido de la corriente el opuesto al movimiento de los electrones, esto es, el sentido del movimiento de unas supuestas cargas ideales positivas.


Referencia de polaridad de intensidad: –

–

Dado un conductor por el que circula una corriente eléctrica, la forma de dar una referencia de corriente a dicho conductor consiste en dibujar sobre él una flecha en sentido arbitrario. Otra manera de establecer la referencia de corriente en un conductor consiste en la utilización de un doble

subíndice

1’ i(t)

i11' (t) = – i1'1(t)

1 Primera forma

Segunda forma


Referencia de polaridad de tensión: –

–

una forma de dar referencia a la tensión que existe entre estos dos puntos es a través de los subíndices, colocando en primer lugar el subíndice correspondiente al punto a mayor potencial eléctrico

dibujar una flecha que, partiendo del punto supuesto a mayor potencial eléctrico, apunte al terminal a menor potencial. El terminal supuesto a mayor potencial se señala con el signo “+”.

u11‘ (t) = V1 –V1' Primera forma

1 +

u(t) Segunda forma

1’

1.5. Leyes de Kirchhoff •

1.5.1. Primera Ley de Kirchhoff (1ª L.K.) –

La suma algebraica de todas las intensidades que entran (salen) en (de) un nudo a través del conjunto de conductores que concurren en él es, en todo instante, cero. isalen (t )  0 ientran (t )  0





algebraica

i1

i2

i

algebraica

entran

(t )   i salen (t )

i3 i4

Ejemplos:

i1  i2  i3  i4  0

i1  i2  i3  i4  0

i1  i3  i2  i4


Generalización de la 1ª L.K. –

La suma algebraica de las intensidades que entran (salen) en (de) un recinto cerrado por todos los conductores que atraviesan su frontera es, en todo instante, cero isalen (t )  0 ientran (t )  0





i1

i2

algebraica

i

algebraica

entran

(t )   isalen (t )

Ejemplos: i4

i1  i2  i3  i4  0 i3

i1  i2  i3  i4  0

i1  i4  i2  i3


1.5.2. Segunda Ley de Kirchhoff –

La suma algebraica de las tensiones a lo largo de cualquier trayectoria cerrada de un circuito es, en todo instante, cero. Ejemplos: B

u1(t)

Trayectoria ABCDEA .............. u1 (t )  u2 (t )  u3 (t)  u4 (t)  u5 (t)  0

u2(t)

A+ u5(t)

+

u6(t)

+

u3(t)

+ E +

u4(t)

+ C

D

Trayectoria ABEA .................. u1 (t )  u6 (t )  u5 (t)  0 Trayectoria EBCDE ............. u6 (t )  u2 (t )  u3 (t )  u4 (t)  0 

 u6 (t )  u2 (t )  u3 (t)  u4 (t) Trayectoria EBAE ............... u6 (t )  u1 (t )  u5 (t)  0 

 u6 (t )  u1 (t)  u5 (t)

uEB (t )  u6 (t )  u5 (t )  u1 (t )  u4 (t )  u3 (t )  u2 (t ) 

   

Trayectoria EAB

Trayectoria EDCB

Referencias •

•

PARRA, V. M.; ORTEGA, J.; PASTOR, A.; PEREZ, A.: “Teoría de Circuitos (Tomo I)” . Universidad Nacional de Educación a Distancia (UNED). BAYOD, A.A.; BERNAL, J.L.; DOMINGUEZ, J.A.; GARCIA GARCIA, M.A.; LLOMBART, A.; YUSTA, J.M.: “Análisis de circuitos eléctricos I”. Colección Textos Docentes, vol. 58. Prensas Universitarias de Zaragoza.

Tema 2 Elementos de circuitos

Índice Tema 2.‐ Elementos de circuitos. 2.1. Elementos ideales de circuitos. ‐

2.1.1. Dipolos. ‐

2.1.1.1. 2.1.1.2. 2.1.1.3. 2.1.1.4. 2.1.1.5.

Resistencia. Condensador. Bobina. Fuentes independientes. Fuentes dependientes.

‐

‐

‐

‐

‐

2.1.2. Cuadripolos. ‐

2.1.2.1. Bobinas acopladas magnéticamente. 2.1.2.2. Transformador ideal. ‐

‐

2.2. Elementos reales de circuitos. ‐

2.2.1. 2.2.2. 2.2.3. 2.2.4. 2.2.5. 2.2.6. 2.2.7.

Resistencia. Condensador. Bobina. Fuente real de tensión. Fuente real de intensidad. Voltímetro. Amperímetro.

‐

‐

‐

‐

‐

‐

‐

2.3. Asociación de resistencias. Divisores de tensión e intensidad resistivos. ‐

2.1. Elementos ideales de circuitos

2.1. Elementos ideales de circuitos •

•

Se denomina dipolo a todo circuito eléctrico, compuesto por uno o varios elementos simples, que presenta dos terminales accesibles. Se denomina cuadripolo a todo circuito eléctrico, compuesto por uno o varios elementos simples, que presenta cuatro terminales accesibles. 1

1 Dipolo

1’

2 Cuadripolo

1’

2’

2.1. Elementos ideales de circuitos •

Caracterizar un elemento de un circuito consiste en expresar una relación funcional entre la intensidad que circula a través de él y la caída de tensión entre sus terminales.

u   f (i ) •

i  g(u)

Estas ecuaciones, que modelan matemáticamente el comportamiento de dichos elementos, se denominan ecuaciones de definición.

2.1.1. Dipolos El signo de las ecuaciones de definición depende del sentido relativo entre las referencias de tensión y de intensidad.

•

1

i(t)

+

1

i(t)

1

i(t)

1

i(t)

+

u(t)

u(t)

u(t) +

1’

1’

+

1’

u(t) + 1’

+

2.1.1.1. Resistencia Representación: •

•

Al circular por ella una corriente eléctrica, disipa energía en forma de calor. La caída de tensión entre sus terminales es proporcional a la corriente que circula a través de ella Ley de Ohm.

1

R 1’

Ec. de definición:

u(t )   R i(t ) ∙

R: Resistencia (se mide en ohmios, )

2.1.1.1. Resistencia •

Otra ecuación de definición: 1

i(t )   G u(t ) ∙

G 1’

•

Se cumple que:

G: Conductancia (se mide en siemens, S)

G

1 R


Ejemplos: 1

1

i(t)

R

+

u(t)

i(t)

R

+

u(t )   R i(t ) ∙

1’

∙

u(t )   R i(t ) ∙

1’

u(t)

i(t )   G u(t )

i(t )   G u(t ) ∙


Casos particulares: –

–

Si R = 0 (G = ), se cumple que la caída de tensión entre sus terminales es, en todo instante, igual a cero (u(t )=0). A este elemento se le denomina cortocircuito. Si R =  (G = 0), se cumple que la corriente que circula por ella es, en todo instante, igual a cero ( i (t ) = 0). A este elemento se le denomina circuito abierto.

1

i(t)  0

+ u(t) = 0

R=0

1’

i(t) = 0 1

+ u(t)  0 1’

R=

2.1.1.2. Condensador •

•

•

Elemento constituido por dos conductores enfrentados separados por un medio aislante llamado dieléctrico. Al aplicar una tensión entre estos dos conductores se depositan cargas eléctricas de signos contrarios en cada uno de ellos, apareciendo un campo eléctrico en el medio aislante. La cantidad de carga depositada es proporcional a la diferencia de potencial entre las placas.

1

i(t)

+ + + + + + +

C

u(t) ‐ ‐‐ ‐ ‐ ‐

1’

q(t )  C  u(t ) C: Capacidad (se mide en faradios, F)

2.1.1.2. Condensador 1 •

Representación:

C 1’

•

Ecuaciones de definición:

q(t )  C  u(t ) i(t )  C 

du(t) dt

dq(t ) dt u(t )  

1 C



t



 C 

i( )d

i(t )  C 

du(t ) dt 1

du(t) dt

1 t      i( )d  t i( )d   u(t 0 )  t i( )d  C C t0

t

0

u(t )  u(t 0 ) 

0

1

C 

t

t 0

i( )d


•

A partir de: i(t )  C 

du(t) dt

Se deduce que: –

–

La tensión en bornes del condensador ha de ser una función continua en el tiempo, ya que la existencia de puntos de discontinuidad supondría la existencia de instantes en los que la intensidad fuera infinita, algo físicamente imposible. Si la tensión en bornes de un condensador tiene un valor constante en el tiempo (caso de corriente continua), su derivada respecto del tiempo es cero y, por lo tanto, i (t ) = 0 t , es decir, no circulará intensidad por el condensador. En estas condiciones, el condensador se comporta como un circuito abierto.


En un tema posterior, se justificará que: –

A frecuencias altas, un condensador se comporta como un cortocircuito (elemento que, en todo instante, presenta una tensión cero entre sus terminales).

2.1.1.3. Bobina «Regla de la mano derecha» •

•

Elemento constituido por un conductor arrollado en forma de hélice alrededor de un núcleo. Cada una de las vueltas del arrollamiento se denomina espira. Al circular una intensidad por el conductor arrollado, se crea un campo magnético en el interior del núcleo de la bobina proporcional a la intensidad y en la dirección del eje de la bobina. El sentido de este campo es el del avance de un sacacorchos que gira con la corriente («regla del sacacorchos»).

_ B i(t)

+

i(t)

u(t)

N   (t )   L  i(t ) L: coeficiente de autoinducción (se mide en henrios, H)

2.1.1.3. Bobina 1 L •

Representación: 1’

•

Ecuaciones de definición:

N   (t )   L  i(t )

N

Ley de Faraday:

u(t )  L

di(t) dt

d (t ) dt

u(t )

i(t )  

1

L

L

N

t



di(t ) dt

d ( t )

u(t )

L

di(t) dt

u(t )  L

di(t) dt

dt

u( )d

t 1 t 1 t     u( )d  t u( )d   i(t 0 )  t u( )d  L L 0

0

i(t )  i(t 0 ) 

0

1

t

u( )d  L t 0

2.1.1.3. Bobina •

•

A partir de: u(t )  L

di(t) dt

Se deduce que: –

–

La intensidad que circula por una bobina ha de ser una función continua en el tiempo, ya que la existencia de puntos de discontinuidad implicaría la existencia de instantes en los que la tensión entre sus bornes fuera infinita, algo físicamente imposible. Si la intensidad que circula por una bobina es constante en el tiempo (caso de circuitos de corriente continua), su derivada con respecto al tiempo es cero y, por lo tanto, la tensión en bornes de la bobina es en todo instante cero. En estas condiciones, la bobina se comporta como un cortocircuito.

2.1.1.3. Bobina •

En un tema posterior, se justificará que: –

A frecuencias altas, una bobina se comporta como un circuito abierto (elemento por el que, en todo instante, circula una intensidad cero).

2.1.1.4. Fuentes independientes •

Fuente ideal independiente de tensión: –

–

Se trata de un elemento de circuito que establece entre sus terminales una tensión bien definida a lo largo del tiempo. Dicha tensión es, además, independiente del resto del circuito al cual está conectada la fuente. 1

i(t)

+ + u(t)

1’

eg(t)

u(t )   eg (t )


Ejemplo: Fuente ideal independiente de tensión continua

(Notar como el valor de la tensión en bornes de la fuente es independiente del resto del circuito) i2(t)

i1(t) 1 + eg(t)= 4 V

+

+ R1 = 2 

u1(t) 1’

u1(t ) = 4 V i 1(t ) = 4/2 = 2 A

eg(t)= 4 V

1

+ R2 = 4 

u2(t) 1’

u2(t ) = 4 V i 2(t ) = 4/4 = 1 A


Fuente ideal independiente de intensidad : –

–

Se trata de un elemento de circuito que suministra una intensidad bien definida a lo largo del tiempo. Dicha intensidad es, además, independiente del resto del circuito al cual está conectada la fuente. i(t) 1

+ u(t)

ig(t)

1’

i(t )   ig (t )


Ejemplo: Fuente ideal independiente intensidad continua

de

(Notar como el valor de la corriente que suministra la fuente es independiente del resto del circuito) i1(t)

i2(t)

1

+

+ ig(t)= 2 A

1

R1 = 2 

u1(t) 1’

i 1(t ) = 2 A u1(t ) = i 1(t )∙R1 = 4 V

ig(t)= 2 A

R2 = 4 

u2(t) 1’

i 2(t ) = 2 A u2(t ) = i 2(t )∙R2 = 8 V


Casos particulares: –

–

Si una fuente de tensión es constantemente de valor cero, esto es eg(t ) = 0 (para todo t ), se trata de un cortocircuito. Si una fuente de intensidad es constantemente de valor cero, esto es, i g(t ) = 0 (para todo t ), se trata de un circuito abierto.

i(t)  0 1

+ u(t) = 0

eg(t) = 0

1’

i(t) = 0 1

+ u(t)  0

ig(t) = 0 1’

2.1.1.5. Fuentes dependientes •

Elementos tales que la tensión o intensidad que suministran depende de la tensión o intensidad en otra parte del circuito.

eg(t) = =  u(t) ∙

+ ‒

Circuito eléctrico

eg(t) = =  i(t) ∙

+ ‒

Circuito eléctrico

: adimensional

+ : ohmios [] i(t) u(t) Fuente de tensión dependiente de tensión Fuente de tensión dependiente de intensidad , , ,  son constantes ig(t) = =  u(t) ∙

: siemens [S]

Circuito eléctrico

ig(t) = =  i(t) ∙

Circuito eléctrico

: adimensional + u(t) i(t) Fuente de intensidad dependiente de tensión Fuente de intensidad dependiente de intensidad

2.1.2. Cuadripolos •

Como ya se ha dicho, se denomina cuadripolo a todo circuito eléctrico, compuesto por uno o varios elementos simples, que presenta cuatro terminales accesibles. 1

2 Cuadripolo

1’

•

2’

Cuadripolos que se van a estudiar: bobinas acopladas magnéticamente, transformador ideal.

2.1.2.1.

•

•

•

Bobinas acopladas magnéticamente

Dos circuitos se dice que están acoplados cuando intercambian energía. Las variables que se presentan en cada uno de ellos no dependen únicamente de los parámetros de sus propios elementos, sino que también dependen de parámetros de acoplamiento o mutuos. Propiedad: Dado un medio magnético lineal, se cumple que el flujo magnético en una sección debido a la acción conjunta de dos intensidades es igual a la suma de los flujos en esta misma sección debido a la acción de cada intensidad considerándolas por separado.

Representación: 2

1 L1 1’

L2 2’

2.1.2.1. •


Análisis de los flujos:

1

i1(t)

21(t)

i2(t)

2

1 (t )  11 (t )   12 (t ) 2 (t )  22 (t )   21 (t ) flujo de dispersión

S2(t)

S1(t)

11 (t )  21 (t )   S1 (t ) 22 (t )  12 (t )   S 2 (t )

L2

L1

1 (t )  11 (t )  12 (t )  S 1 (t )  21 (t )  12 (t ) 2 (t )  22 (t )  21 (t )  S 2 (t )  12 (t )  21 (t ) flujo mutuo m (t )  21 (t)   12 (t )

1 (t )  11 (t )  12 (t )  S 1 (t )  m (t ) 2 (t )  22 (t )  21 (t )  S 2 (t )  m (t )

Circuitos

Máquinas

12(t) 1’

2’

 1 (t ) : Flujo total que abarca una espira de la bobina 1  2 (t ): Flujo total que abarca una espira de la bobina 2  ij (t ): Flujo que abarca una espira de la bobina "i "debido a que circula intensidad por la bobina "j"

2.1.2.1.

•


Relación entre los flujos y las intensidades: i1(t)

N1   11 (t )  L1  i1 (t )

21(t)

1

S1(t)

N1   12 (t )  M12  i2 (t ) N2   21 (t )  M21  i1 (t )

i2(t)

2

S2(t) L2

L1

12(t)

N2   22 (t )  L2  i2 (t ) 1’

2’

Donde: L1 y L2 : coeficientes de autoinducción de las bobinas, M12 y M21: coeficientes de inducción mutua y sus unidades son HENRIOS (H)

2.1.2.1. •


Determinación del signo en las ecuaciones: –

–

Dibujar las bobinas acopladas en representación espacial y dar también referencias para los flujos (engorroso). Utilizar el concepto de terminales correspondientes. Se llaman así al conjunto de terminales ( un terminal de cada una de las bobinas acopladas) para los que se verifica que, •

si entra (o sale) por ellos simultáneamente intensidad en cada una de las bobinas, se originan líneas de campo magnético comunes del mismo sentido. 1

i1(t)

i2(t)

2

i1(t)

2

Terminales correspondientes: 1 y 2’

Terminales correspondientes: 1y2 1’

1

2’

1’

i2(t)

2’

2.1.2.1.

•


Ecuaciones de definición: 1 (t )  11 (t )   12 (t ) 2 (t )  22 (t )   21 (t )

1

Multiplicar por N1 y N2, y derivar

N1 N2

d1 (t ) dt d2 (t ) dt

 N1  N2

M

d11 (t ) dt d22 (t ) dt

 N1  N2

L1

d 12 (t )

2 L2

1’

dt d 21 (t )

2’

dt

Ley de Faraday y relación entre flujos e intensidades u1 (t )  N1 u2 (t )  N2

d11 (t ) dt d22 (t ) dt

 N1  N1

d 12 (t ) dt d 21 (t ) dt

 L1  L2

di1 (t ) dt di2 (t ) dt

 M12  M21

En general, se cumple que M12 = M21 = M.


u1 (t )  L1 u2 (t )  L2


 M12  M21


2.1.2.1. •


Signo de las ecuaciones de definición: Términos que contienen Li : Se miran las referencias de tensión e –

intensidad sobre la bobina “i”. Si ambas llevan el mismo sentido sobre esta bobina, el signo del término es “+”. En caso contrario, signo “ ”. Términos que contienen Mij: Se miran las referencias de la tensión “i”, la intensidad “j” y los terminales correspondientes. Si la intensidad “j” entra por terminal marcado de la bobina “j” (se puede razonar de la misma manera en el caso de que le intensidad “j” salga por el terminal marcado), la intensidad equivalente que circulando por la bobina “i” crearía el mismo efecto, sería una intensidad que entrase por el terminal marcado de la bobina “i”. Si dicha intensidad equivalente en la bobina “i” lleva sobre ella el mismo sentido que le referencia de la tensión “i”, el signo del término es positivo. En caso contrario, signo “ ”. ‒

–

‒

2.1.2.1.

•


Ejemplo: i1(t)

1

M12 = M21

i2(t)

2

+

u1(t)

L1

L2

+ 2’

1’

u1 (t )   LL11 u2 (t )   L2 2

u2(t)

di di11(t(t))

dt dt di22(t ) dt

M12  M 12 12

M M21 21

di di222(t(t)) dt dt di di11(t (t )) dt

2.1.2.2. Transformador ideal •

•

•

Es un elemento constituido por dos o más bobinas acopladas magnéticamente. El acoplamiento magnético entre las bobinas se consigue gracias a que éstas están arrolladas sobre un núcleo encargado de conducir el campo magnético que crean las intensidades que pueden circulan por dichas bobinas. Si la relación entre las intensidades que circulan por las bobinas y el flujo magnético en el núcleo es lineal, se hablará del transformador lineal.


Un transformador se considera ideal cuando cumple las siguientes condiciones: –

–

–

–

–

1) Las bobinas que lo forman carecen de resistencia. 2) No existe flujo de dispersión en las bobinas. El acoplamiento entre ellas es perfecto. 3) La permeabilidad magnética del medio que conduce el campo magnético es infinita. 4) Dicho núcleo magnético carece de histéresis y en él no se inducen corrientes parásitas. 5) No existen capacidades parásitas entre las espiras de las bobinas ni entre éstas.

1 +

i1(t)

i2(t)

u2(t)

u1(t) 1’

u1 (t )  N1 u2 (t )  N2

2 +

2’

d 1 (t ) dt d 2 (t ) dt


Ecuaciones de definición: u1 (t )  N1 u2 (t )  N2

d 1 (t )

1 +

dt d 2 (t )

u2 (t )  N2

d S1 (t ) dt d S 2 (t ) dt

 N1  N2

1’

u2 (t )  N2

d m (t ) dt d m (t ) dt

2 + u2(t) 2’

a:1

d m (t ) dt d m (t )

a

dt

u1 (t ) u2 (t )

N1

: Relación de transformación

N2 1ª Ec. de definición

No existen flujos de dispersión u1 (t )  N1

i2(t)

u1(t)

dt

1 (t )  S 1 (t )   m (t ), 2 (t )  S 2 (t )   m (t ) u1 (t )  N1

i1(t)



N1

u1 (t)

N2

u2 (t )

 a


No confundir a:1 con a=1

Ecuaciones de definición: –

a:1 

Ley de Ampère:

   H  dl 





  B  S

 m (t ) 

N  i(t )

H l 



N  i(t )

   N  i(t )

 S

Permeabilidad infinita

N1  i1 (t )  N2  i2 (t )  0

N2

a 1

B    H

1 l

N1

1 +

: 1  N1 : N2

N1 N2

 1  N1  N2

i1(t)

i2(t)

u1(t) 1’

2 + u2(t)

a:1

2’

2ª Ec. de definición

N1  i1 (t )  N2  i2 (t )  0


Determinación del signo en ecuaciones de definición: –

Primera ecuación ( •

–

u1 (t ) u2 (t )



N1 N2

)

Si ambas referencias de tensión parten de o llegan a terminales correspondientes, signo “+”. En caso contrario, signo “–”.

Segunda ecuación ( N1  i1 (t )  N2  i2 (t )  0 ) •

Si ambas referencias de intensidad entran o salen por terminales correspondientes, signo “+”. En caso contrario, signo “–”.


Ejemplos: 1 +

i1(t)

i2(t)

u1(t)

u2(t)

1’

1 +

+ 2’

a:1

i1(t)

i2(t)

u1(t) 1’

2

2 + u2(t)

a:1

2’

u1 (t ) u2 (t )



N1 N2

 a

N1i1 (t )  N2 i2 (t )  0

u1 (t ) u2 (t )



N1 N2

 a

N1i1 (t )  N2 i2 (t )  0

2.2. Elementos reales de circuitos

2.2.1. Resistencia •

2.2.1. Resistencia –

En el mercado es posible encontrar resistencias de muy diversos tipos: •

Fijas

•

Variables: –

Potenciométros

–

Con la tensión

–

Con la temperatura

–

Con la luz

–

Etc.

Potenciómetros

VDR (tensión) LDR (luz)

NTC, PTC (temperatura)


Parámetros de una resistencia: •

•

•

•

Resistencia Potencia máxima que es capaz de disipar (de ¼ W, ½ W, 1 W , etc) Tolerancia máxima (desde 0,5% hasta 10%) Los valores se indican: –

–

Escritos en la superficie (100  ± 10%) Mediante colores.

franjas

de

2.2.2. Condensador •

2.2.2. Condensador –

Diferentes tipos: electrolíticos, de papel, de poliéster, cerámicos, etc, (según el dieléctrico).

Poliéster –

Polipropileno

Electrolítico

Tántalo

Parámetros de un condensador: •

•

•

Capacidad. Tensión máxima que es capaz de soportar sin perforarse. Tolerancia (mediante valores o colores).

2.2.3. Bobina •

2.2.3. Bobina –

–

La bobina es el elemento comportamiento real más comportamiento ideal.

en se

el que su aleja del

Existen diferentes tipos según su núcleo.

Núcleo de aire

Núcleo ferrromagnético

Núcleo toroidal

Multitoma

2.2.4. Fuente real de tensión •

U

2.2.4. Fuente real de tensión –

Eg

En una fuente indepen diente de tensión real , se observa que la tensión en sus bornes disminuye con forme aumenta la inten sidad que se solicita a dicha fuente. ‐

I

‐

‐

Rg +

Eg =

u(t )  eg (t )  Rg  i(t ) Rg

I +

U

Resto circuito

Circuito equivalente de una fuente real de tensión continua

+

eg (t)

Lg

i(t) +

u(t)

Resto circuito

Circuito equivalente de una fuente real de tensión sinusoidal

2.2.5. Fuente real de intensidad •

2.2.5. Fuente real de intensidad En una fuente real de intensidad se observa que conforme aumenta la tensión entre sus bornes va disminuyendo la intensidad que suministra.

Ig

I

–

U

i(t )  ig (t )  Gg  u  t  i(t)

I +

Ig

Gg U

Resto circuito

Circuito equivalente de una fuente real de intensidad continua

+

ig (t)

Yg

u(t)

Resto circuito

Circuito equivalente de una fuente real de intensidad sinusoidal

2.2.6. Voltímetro •

2.2.6. Voltímetro –

Instrumento que sirve para medir la tensión existente entre dos puntos de un circuito eléctrico. 1

–

V

1’

Se conecta en paralelo con los dos puntos entre los que se desea medir la tensión. i(t)

R1

iV=0

Voltímetro ideal

+

+

eg(t)

R2 i(t)

U

V

2.2.6. Voltímetro –

Comportamiento ideal del voltímetro: No circula intensidad

iV0

iV ideal = 0

por el voltímetro. –

Comportamiento real del Circula cierta voltímetro: intensidad por el voltímetro. Este comportamiento se puede modelar colocando una resistencia interna (Rv) en paralelo con un voltímeto ideal.

–

Voltímetro ideal Voltímetro real con resistencia interna infinita

RV

V iV

Circuito equivalente de un voltímetro real Rv viene indicada por el fabricante

Si Rv = Voltímetro ideal

2.2.7. Amperímetro •

2.2.7. Amperímetro –

Instrumento empleado para medir la intensidad que circula por un circuito. 1

1’

A

–

Se conecta en serie con la rama del circuito en la que se desea medir la intensidad. R1 +

eg(t)

+

uA = 0

Amperímetro ideal

A R2

2.2.7. Amperímetro –

Comportamiento ideal del amperímetro: No hay caída de

uA0

+

tensión entre sus bornes. –

–

Comportamiento amperímetro: Se

real

RA

del

produce una cierta caída de tensión entre sus bornes. Este comportamiento se puede modelar colocando una resistencia interna (RA) en serie con un amperímetro ideal. Amperímetro ideal Amperímetro real con resistencia interna cero.

+

uA

A +u

A ideal=0

Circuito equivalente de un amperímetro real RA viene indicada por el fabricante

Si RA = 0 Amperímetro ideal

2.3. Asociación de resistencias

2.3. Asociación de resistencias Asociación de resistencias en serie:

•

i(t)

1

R1

+ u (t) 1 +

R2

…

+ u (t) 2

Rk + u (t) k

…

Rn + u (t) n

1’



1 i(t)

Req

+

u(t)

u(t) u1 (t )  R1  i (t ) u2 (t )  R2  i(t ) 

uk (t )  Rk  i (t ) 

un (t )  Rn  i(t )

Segunda Ley de Kirchhoff

 n  u(t )   uk (t )    Rk   i(t ) k 1  k 1  n

Ley de Ohm

u(t )  Req  i(t)

n

Req

  Rk k 1

1’

2.3. Asociación de resistencias •

Divisor de tensión: i(t)

1

R1

+ u (t) 1

R2 + u (t) 2

+

 n  u(t )    Rk   i(t)  k 1  uk (t )  Rk  i(t)

…

Rk

…

+ u (t) k

Rn

1’

+ u (t) n

u(t)

uk (t ) u(t)



Rk n

R

k

k 1

uk (t ) 

Rk n

R

u(t )

k

k 1

Expresión del divisor de tensión

2.3. Asociación de resistencias Asociación de resistencias en paralelo:

•

i(t) + u(t)

…

…

i(t)

i1(t)

i2(t)

ik(t)

in(t)

G1

G2

Gk

Gn

…





ik (t )  Gk  u(t )

Geq

… 1

i1 (t )  G1  u(t ) i2 (t )  G2  u(t )

+ u(t)

Primera Ley de Kirchhoff

 n  i(t )   ik (t )    G j   u(t ) k 1  k 1 

Req



1 R1



1

 

R2

n



Ley de Ohm

in (t )  Gn  u(t )

i(t )  Geq  u(t )

n

Geq

1

∙∙∙

  Gk k 1

Rn

2.3. Asociación de resistencias •

Divisor de intensidad: i(t) + u(t)

…

…

i1(t)

i2(t)

ik(t)

in(t)

G1

G2

Gk

Gn

…

…

 n  i(t )    Gk   u(t )  k 1  ik (t )  Gk  u(t )

ik (t ) i(t)



Gk n

 k 1

Gk

ik (t ) 

Gk n

G

i(t )

k

k 1

Expresión del divisor de corriente

Referencias •

•


Tema 3 Energía y potencia

Índice Tema 3.‐ Energía y Potencia. 3.1.‐Definiciones. 3.2.‐Energía y potencia en dipolos. 3.2.1.‐Resistencia. 3.2.2.‐Condensador. 3.2.3.‐Bobina. 3.2.4.‐Fuente ideal de tensión. 3.2.5.‐Fuente ideal de intensidad.

3.3.‐Energía y potencia en cuadripolos. 3.3.1.‐Bobinas acopladas magnéticamente. 3.3.2.‐Transformador ideal.

3.1. Definiciones


Para las referencias de la figura, se define la potencia absorbida como:

1 i(t)

+ Dipolo

u(t) 1’

pabs (t )  u(t )  i (t) •

Y la energía como:

w (t) 



t



Recordar que:

absorbida

p( ) d  w(t 0 ) 

(suponiendo que w(‐) = 0)

— Si pabs(t ) > 0, el dipolo absorbe potencia. — Si pabs(t ) < 0, el dipolo cede potencia.



t

t 0

p( ) d

—

Se cumple que:

pced (t )  pabs (t )

3.2. Energía y potencia en dipolos


La potencia absorbida por una resistencia, para las referencias dadas, se calcula como: u(t )  R  i(t)  i(t)  G  u(t)   

pabs (t )  u(t )  i(t )

1

i(t)

+ R

u(t)

1’

2

pabs (t )  R  i (t )  2

–

u (t ) R

 G  u2 (t )

La energía absorbida por una resistencia se calcula:

w(t ) 



t



R  i ( )d  2

2

t

u ( )



R



d

La energía absorbida por una resistencia:

‐ Es siempre positiva ‐ Se disipa en forma de calor: Ley de Joule

3.2.2. Condensador –

La potencia absorbida por un condensador es: du(t )     i ( t ) C  dt 

pabs (t )  u(t)  i(t ) pabs (t )  C  u(t ) –

w(t ) 



t



du(t ) dt

La energía almacenada por un condensador es:

C  u( )

du( ) d 

d 

1 2 2 C  u du  C u (t)  u (  ) u (  ) 2



u (t )

1

w(t )  C  u (t ) 2 2

(suponiendo que u(‐) = 0)

1

i(t)

+ C

u(t) 1’

La potencia que cede un condensador siempre es a costa de la energía que ha almacenado en forma de campo eléctrico entre sus placas. La energía almacenada en un condensador sólo depende del valor de la tensión en ese momento y no de la forma en la que varía esta tensión.

3.2.3. Bobina La potencia absorbida por una bobina es:

–

1 i(t)

+

di(t )     u ( t ) L  dt 

pabs (t )  u(t)  i(t )

pabs (t )  L  i (t )



t



L  i ( )

di ( ) d 

d 

w(t ) 



i (t )

i (  )

1 2

L  i di 

L

1’

dt

La energía almacenada por una bobina es:

–

w(t ) 

di (t )

u(t)

1 2

L i (t )  i (  ) 

L  i (t ) 2

(suponiendo que i(‐) = 0)

2

2

La potencia que cede una bobina siempre es a costa de la energía que ha almacenado en forma de campo magnético en su núcleo. La energía almacenada en una bobina sólo depende del valor de la intensidad en ese momento y no de la forma en la que varía esta intensidad.

3.2.4. Fuente de tensión –

La potencia absorbida por una fuente ideal de tensión es:

pabs (t )  u(t )  i(t )

u(t )  eg (t ) 

1

+

–

w(t ) 





p( ) d 



t



eg(t) 1’

La energía almacenada por una fuente de tensión es: t

+

u(t)

pabs (t )  eg (t )  i (t )

eg ( )  i( ) d

i(t)

3.2.5. Fuente de intensidad –

La potencia absorbida por una fuente ideal de intensidad es: 1

i(t)

+

pabs (t )  u(t )  i(t )

i(t)  ig (t) 

1’

pabs (t )  u(t )  ig (t )

–

La energía almacenada por una fuente de intensidad es:

w(t ) 



t



p( ) d 



t



ig(t)

u(t)

u( )  ig ( ) d

3.3. Energía y potencia en cuadripolos

3.3. Energía y potencia en cuadripolos •

•

Un cuadripolo puede absorber potencia por cada par de terminales Así pues, para las referencias de la figura, se define la potencia absorbida como:

1 i1(t)

i2(t) 2

+

+

u1(t)

2’

1’

pabs (t )  u1 (t )  i1 (t )  u2 (t )  i2 (t ) •

Y la energía absorbida como:

w(t) 



t

u1 ( )  i1 ( )  u2 ( )  i2 ( ) d   







u2(t)

Cuadripolo



3.3.1. Bobinas acopladas magnéticamente –

La potencia absorbida es:

pabs (t )  u1 (t )  i1 (t )  u2 (t )  i2 (t ) pabs (t )  L1i1 (t )

1

i1(t)

i2(t)

M12

+

+

di (t ) di (t )  di (t )   M  i1 (t ) 2  i2 (t ) 1   L2i 2(t ) 2 dt dt dt  dt 

di1 (t )

u1(t)

2

L1

u2(t)

L2

2’

1’

pabs (t ) 

–

d  1

1  2 2 L i ( t )  M i ( t )  i ( t )  L i ( t ) 1 2 2 2  11  dt  2 2 

La energía almacenada es: t

1

1



2

2

2 2 w(t)   p( )d  L1i1 (t )  M i1 (t )  i2 (t )  L2i2 (t )

u1 (t )  L1 u2 (t )  L2


M M


La potencia que cede siempre es a costa de la energía que ha almacenado en forma de campo magnético en su núcleo.

3.3.2. Transformador ideal –

La potencia absorbida es:

pabs (t )  u1 (t )  i1 (t )  u2 (t )  i2 (t )  1  pabs (t )  a  u2 (t )   i2 (t )   u2 (t )  i2 (t )  a 

pabs (t )  0 –

La energía almacenada es:

w(t ) 



t



p( ) d  0

1

i1(t)

i2(t)

2

+

+

u2(t)

u1(t) 1’

2’

a:1

u1 (t )  a  u2 (t ) 1

i1 (t )   i2 (t ) a La potencia que absorbe el primario de un transformador ideal es igual a la potencia que cede el secundario. El transformador ideal no absorbe ni cede potencia.

3.4. Balance de potencia en un circuito

3.4. Balance de potencia en un circuito •

Para cualquier circuito se cumple que, en todo instante, la suma algebraica de la potencia absorbida por todos sus elementos es siempre igual a cero.

 p

abs

 p

ced

(t )

elementos activos

(t )  0  pabs (t )

elementos pasivos

Referencias •

•


Tema 4 Métodos de análisis de circuitos

Índice Tema 4.‐ Métodos de análisis de circuitos.

4.1.‐ Introducción. 4.2.‐ Impedancias y admitancias operacionales. 4.3.‐ Representación de los circuitos. 4.4.‐ Equivalencias entre ramas. 4.4.1.‐ Equivalencia entre fuentes reales. 4.4.2.‐ Elementos en paralelo y en serie con fuentes ideales. 4.5.‐ Métodos de análisis de circuitos. 4.5.1.‐ Acerca del número de ecuaciones e incógnitas. 4.5.2.‐Método de análisis por nudos. 4.5.3.‐ Método de análisis por mallas. 4.6. Casos especiales. 4.6.1.‐ Circuitos con fuentes ideales de tensión. 4.6.2.‐ Circuitos con fuentes ideales de intensidad. 4.6.3.‐ Circuitos con bobinas acopladas magnéticamente. 4.6.4.‐ Circuitos con transformadores ideales. 4.6.5.‐ Circuitos con fuentes dependientes.

4.1. Introducción

4.1. Introducción •

Analizar Analiz ar un circuit circuito o consiste en determinar la tensión y la intensidad, en función del tiempo, en cada uno de los elementos que componen dicho circuito.

•

Datos iniciales: la configuraci configuración ón del circuito circuito,, el valor de las las fuentes de tensión tensión e intensidad del circuito circuito,, el valor de los elementos elementos que constituyen constituyen el circuito circuito,, las tensiones e intensidades intensidades iniciales iniciales en cada una de las ramas del circuito. circuito. A partir de estos datos, mediante las leyes de Kirchhoff y las ecuaciones de definición de los elementos, se obtiene la solución del circuito (tensiones e intensidades en cada elemento del circuito). – – – –

•

•

En es estte ca cap pít ítu ulo se van a estu tud dia iarr mét étod odo os que sis isttema mati tizzan el análisis de circuitos.

4.2. 4. 2. Im Impe peda danc nciias y y admitancias admitancias operacionales

4.2.1. Definición de impedancia y admitancia operacional •

•

operador Se define el op (operador derivada) como: y su inversa como:

Ecuaciones de definición de los distintos elementos en función del operador D

1 D



D

D

d dt

dt

Resistencia

Bobina

Condensador

u(t )  R ∙i (t )

di (t ) u(t )  L ∙ dt

du(t ) i(t )  C ∙ dt

u(t )  R ∙i (t )

u(t )  L ∙D ∙i (t )

i(t )  C ∙D ∙u(t )

i (t )  G ∙u(t )

i (t ) 

1 L∙D

u(t )

∙

u(t ) 

1 C ∙D

i (t )

∙

4.2.1. Definición de impedancia y admitancia operacional •

En general: 1 i(t)

Z(D)

1’

1 i(t)

+ u(t)

Y(D)

1’

Se cumple que:

+ u(t)

u(t) = Z(D) i(t) ∙

1 Z (D)  Y (D)

i(t) = Y(D) u(t) ∙

Z(D): impedancia operacional Y(D): admitancia operacional

Resistencia

Bobina

Impedancia operacional

Z (D)  R

Z (D)  L ∙D

Admitancia operacional

Y (D)  G

Y (D) 

Condensador

1 L∙D

Z (D) 

1 C ∙D

Y (D)  C ∙D

4.2.2. Asociación 4.2.2. Asociación de impedancias A) En serie: 1

i(t)

Z2(D)

Z1(D)

…

Zk(D)

… +

+ u (t) + u (t) 2 k u(t)

+ u (t) 1

Zn(D)

1’

un(t)

uk (t )  Z k (D)∙i (t )  uk (t )   u(t )  Z eq (D)∙i (t )  u(t )

u(t )  Z1 (D)∙i (t )  Z 2 (D)∙i (t )    Z k (D)∙i (t )    Z n (D)∙i (t )

 u(t )   Z k (D)∙i (t )  k 1  u(t )  Z eq (D)∙i (t )  

Z eq (D) 

n



Z k (D)

k 1

uk (t )  u(t )

 Z (D) k

Z k (D) n

 Z (D) k

k 1

Divisor de Divisor de tensión

Ejemplo: LD

1 i(t) R

+

n

k 1

u(t )  u1 (t )  u2 (t )    uk (t )    u n (t ) n

Z k (D)

u(t)

1’

Z R (D)  R

  ZT (D)  ZR (D)  ZL (D)  R  LD Z L (D)  LD 

4.2.2. Asociación 4.2.2. Asociación de impedancias B) En paralelo: i(t)

1

+ u(t)

… ik(t)

in(t)

Y1(D) Y2(D)

Yk(D)

Yn(D)

…

…

i1(t)

… i2(t)

1’

ik (t )  Yk (D)∙u(t )  ik (t ) Yk (D)   n i(t )  Yeq (D)∙u(t )  i(t )

Y (D) k

k 1

i(t )  i1 (t )  i2 (t )    i k (t )    i n (t ) i(t )  Y1 (D)∙u(t )  Y2 (D)∙u(t )    Yk (D )∙u(t )    Yn (D )∙u(t )

 i(t )   Yk (D)∙u(t )  k 1  i(t )  Yeq (D)∙u(t )   n

Yeq (D) 

n



Yk (D)

k 1

ik (t )  i(t )

Yk (D) n

Y (D) k

k 1

Divisor de Divisor de intensidad

Ejemplo: 1 i(t)

+ u(t)

G 1’

YR (D)  G 1 LD

 1 1  GLD  ( ) ( ) ( ) Y D Y D Y D G      1  T R L LD LD YL (D)   LD 

4.2.2. Asociación de impedancias C) Asociación tipo puente: 1 i(t)

+ u(t)

El puente se dice equilibrado si:

A

M

i1

i2

Z1 im Zm

Z2 N

i4

i3

Z3 1’ B

Z4

uMN

 0  i m  0

entonces: Si uMN  0  uAM  uAN y uMB  uNB

 Z1 ∙i 1   Z1 ∙i1  Z2 ∙i 2 u AN  Z2 ∙i 2  u AM

dividiendo:

 Z3 ∙i 3   Z3 ∙i3  Z 4 ∙i 4 uNB  Z 4 ∙i 4 

Z3 ∙i3

uMB

Como im  0  i1  i3 e i2  i4

Z1 ∙i1

Z1 Z3



Z 2 Z 4

Puente equilibrado



Z2 ∙i 2 Z4 ∙i 4

4.2.2. Asociación de impedancias •

Caso particular: Puente de Wheatstone –

–

Se llama así en el caso de que todas las impedancias del puente sean resistencias. Se utiliza, principalmente, para medir resistencias con alta precisión. 1 i(t)

A

+ R1 iG

M

u(t)

R3

R2 G

‒

R1 y R2 resistencias fijas de valor conocido

‒

R3 resistencia variable de valor conocido

‒

G: Galvanómetro. Instrumento que indica si

N

hay circulación de intensidad o no a través

Rx

de él, y el sentido que ésta lleva

1’ B ‒

‒

Se varía R3 hasta que G indica que iG = 0

Puente equilibrado

Rx: Resistencia cuyo valor se desea medir

R1 R3



R2 Rx

R x 

R2R3 R1

4.2.2. Asociación de impedancias D) Asociación en estrella y en triángulo: a

a

Z1 Z2

Z1 Z3

b

b

c

c

Asociación en estrella

Z3 Z2

Asociación en triángulo

4.3. Representación de los circuitos

4.3. Representación de circuitos •

Definiciones: Rama: Elemento o grupo de elementos de un circuito que presenta dos terminales y del que se puede conocer su ecuación de definición. En el circuito de la figura podemos considerar que tenemos 6 ramas (se podrían contar hasta 8, en función de si se consideran las fuentes como reales o bien como ideales) Nudo: Punto de unión de dos o más ramas. El circuito de la figura tiene 4 nudos (A, B, C y D). Grafo reticular : Representación de un circuito resultado de sustituir cada rama de su esquema por un segmento orientado. Lazo: Conjunto de ramas de un circuito que forman una línea cerrada (1 ‐4‐5; 1‐2‐3; 3‐4‐ 6; 2‐3‐4‐5; 2‐5‐6; etc.). Malla: Lazo de un circuito que no contiene a otro lazo en su interior. En el circuito de la figura sólo hay tres mallas: (1 ‐2‐3; 1‐4‐5; 3‐ 4‐6).

R1

5

–

6

B

1/CD 4 R2 eg(t) + R4

A

C

1

3

LD

R3

2 D

–

5

–

6

B

4

–

–

A

C

1 3 2 D

Grafo reticular

ig(t)

4.4.

Equivalencias entre ramas

4.4.1. Equivalencia entre fuentes reales •

Dos dipolos activos se dicen equivalentes respecto de sus terminales si, al cargarlos con el mismo receptor, la tensión entre sus bornes y la intensidad que entra (sale) de ellos es la misma. Z(D) i (t) 1 + eg(t)

+ uZ(t)

1

+

Z’(D)

u1(t)

Receptor

i2(t) 1 iZ’(t) + Receptor

u2(t)

ig(t) Y’(D)

1’

1’

u1 (t )  eg (t )  uZ (t )  eg (t )  Z (D)∙i1 (t ) u2 (t )  Z (D)∙i Z ' (t )  Z (D)(ig (t )  i2 (t ))  '

'

 Z ' (D)∙ig (t )  Z ' (D)∙i2 (t )

4.4.1. Equivalencia entre fuentes reales Fuente de tensión:

u1 (t )  eg (t )  Z (D)∙i1 (t )

Fuente de intensidad: u2 (t )  Z (D)∙ig (t )  Z (D)∙i2 (t ) '

'

Para que las fuentes sean equivalentes:

u1 (t )  u2 (t )  u(t ) i1 (t )  i2 (t )  i(t )

entonces: eg (t)  Z (D)∙i(t )  Z (D)∙ig (t )  Z (D)∙i (t ) '

'

Z (D)  Z '(D) eg (t )  Z (D)∙ig (t )

4.4.1. Equivalencia entre fuentes reales Zg(D)

1

ig (t ) 

+

eg (t )

1

Zg (D)

eg(t)

ig(t) 1’

eg (t )  Zg (D)∙ig (t )

Zg(D) Yg(D) 1’

Zg (D)fuente tensión  Zg (D)fuente intensidad •

•

La flecha de la fuente de intensidad ha de apuntar hacia el terminal marcado con el “+” de la fuente de tensión

Atención: La equivalencia entre fuentes reales es sólo válida para el resto de los elementos del circuito al cual están conectadas, no para los elementos que forman la fuente real.

4.4.2. Elementos en paralelo y en serie con fuentes ideales •

Elementos en paralelo con una fuente ideal de tensión 1

1

+ eg(t)

Z(D)

ig(t)

+

+

+

u(t)

eg(t)

u(t)

u(t )  eg (t )

1’

1’ •

En ambos casos:

Elementos en serie con una fuente ideal de intensidad i(t) 1’

+

1

ig(t)

Z(D)

eg(t)

i(t) 1’

1

ig(t)

En ambos casos:

i(t )  ig (t )

Atención: Estas equivalencias son sólo válidas para los elementos del resto del circuito, no para los elementos que intervienen en ella.

4.5. Métodos de análisis de circuitos

4.5.1. Acerca del número de ecuaciones e incógnitas •

Balance de ecuaciones e incógnitas que se tienen al realizar el análisis de un circuito: –

Incógnitas: •

–

Si el circuito tiene r ramas, tendremos 2r incógnitas correspondientes a la tensión y la intensidad de cada rama.

Ecuaciones linealmente independientes: De las ecuaciones de definición de cada rama se obtienen r ecuaciones linealmente independientes. Mediante la aplicación de la primera Ley de Kirchhoff se pueden obtener n1 (n = número de nodos del circuito) ecuaciones linealmente independientes. Mediante la aplicación de la segunda ley se pueden obtener r (n 1) ecuaciones linealmente independientes. Número de ecuaciones lin. independientes: r +(n1)+[r (n1)] = 2r •

•

•

‐

–

•

‐

Si número de ecuaciones linealmente independientes = número de incógnitas El sistema tiene solución única

4.5.2. Método de análisis por nudos •

Consiste en aplicar la primera Ley de Kirchhoff a cada uno de los nudos del circuito, excepto a uno de ellos que se toma como referencia, utilizando para ello las tensiones de nudo. –

–

–

Tensiones de nudo: Cada una de las tensiones de los n‐1 nudos restantes al nudo de referencia (uB0(t), uC0(t) y uD0(t)) Criterio de aplicación de la 1ª LK : Suma de las intensidades que salen de un nudo por los elementos pasivos que concurren en él = Suma de las intensidades que entran al nudo provenientes de fuentes. Es deseable que todas las fuentes presentes en el circuito sean fuentes de intensidad (en el caso de fuentes reales de tensión, aplicar la equivalencia de fuentes reales)

R1

A

B

1/CD R2 eg(t) +

C

R4

ig(t)

R3

LD D

R1

B

+ uB0(t) 1/CD R eg(t) 0 ref

2

uD0(t)LD

+

uC0(t) + + D

C

R4

R3

ig(t)

4.5.2. Método de análisis por nudos –

Recomendaciones y notas: •

•

•

Elección del nudo de referencia :

Se puede escoger a tal fin cualquier nudo del circuito; sin embargo, se recomienda elegir aquel nudo al que concurran un mayor número de ramas por resultar las ecuaciones, en general, más sencillas. A la hora de determinar los nudos del circuito, hay que asegurarse de que todos y cada uno de los elementos del circuito está situado entre dos nudos. Si dos o más nudos del circuito están unidos por un cortocircuito, eléctricamente todos esos nudos son sólo uno y, en consecuencia, todos han de tener igual nombre.

R1

B

+ uB0(t) 1/CD eg(t)/R2 0 ref

R2 uD0(t)LD

uC0(t) + + D

C

R4

R3

ig(t)

4.5.2. Método de análisis por nudos Aplicación de la 1ªLK a todos los nudos (siguiendo el criterio dado), excepto al nudo de referencia R1 B + uB0(t) 1/CD uB0 (t ) uB0 (t )  uC0 (t ) uB0 (t )  uD0 (t )    ig (t ) Nudo B: eg(t)/R2 ig(t) 1 R1 R4 R 4 R2 CD 0 C ref uC0(t) + 1 1 1 R3 uD0(t)LD   CD   uB0 (t )  CD  uC0 (t )  uD0 (t )  ig (t ) + R4  R4  R1 •

D

R1 Nudo C:

uC0 (t ) R2



uC0 (t )  uB0 (t )

1

CD



+ uB0(t) 1/CD

uC0 (t )  uD0 (t ) eg (t ) R3



R2

eg (t ) 1 1 1 CD  uB0 (t)    CD  uC0 (t )  uD0 (t )  R3  R3 R2  R2

B

eg(t)/R2 0 ref

R2

C

R4

uC0(t) + R3 uD0(t)LD + D

ig(t)

4.5.2. Método de análisis por nudos Nudo D:

uD0 (t) LD



uD0 (t)  uC0 (t) R3



R4

 ig (t )

1 1 1 1  uB0 (t )      uD0 (t )  uC0 (t )   ig (t ) R4 R3  R3 LD R4  1

Nota: Las intensidades siempre se consideran saliendo por los elementos pasivos, independientemente del nudo que estemos considerando

Escribiendo las ecuaciones en forma matricial:

R1

uD0 (t)  uB0 (t)

+ uB0(t) 1/CD

B

eg(t)/R2 0 ref

R2 uD0(t)LD

uC0(t) + +

C

R4

ig(t)

R3

D

 1  1  1     CD CD    R4  R4  R1    uB0 (t )   ig (t )    1 1 1  ∙uC0 (t)  eg (t) R2  CD  CD          R2  R3  R3   uD0 (t )  ig (t )   1 1 1  1 1         R R 4 3  R3 LD R4   


Los elementos de la primera matriz tienen dimensiones de admitancias, los de la segunda tienen dimensiones de tensiones y los elementos de la tercera, dimensiones de intensidades. En general, se puede escribir:

Yij   ui (t )   iial (t ) donde:

Y ij  : Matriz de admitancias de nudo (matriz simétrica)

ui (t ) : Vector de tensiones de nudo  iial (t ) : Vector de intensidades de alimentación de nudo Y ii : Admitancia propia de nudo Y ij

i  j

: Admitancia mutua de nudo


Escritura sistemática de las ecuaciones: Yii: Suma de las admitancias de los elementos pasivos que concurren en el nudo i. Yiji j: Suma, con signo ‒, de las admitancias de los elementos pasivos que comparten el nudo i y el nudo j ui(t): Tensiones de nudo (incógnitas). iial(t): Suma algebraica de las intensidades provenientes de fuentes que entran en el nudo i. Estas intensidades se toman positivas si entran en el nudo i y negativas si salen de dicho nudo. –

–

–

–

≠


YBB

•



R1

eg(t)/R2

R4

0 ref

R2

 CD 

R3



R3



LD



R4

Y BC : El nudo B y el nudo C comparten el condensador C YBC  CD

R2 uD0(t)LD

uC0(t) + +

C

R4

ig(t)

R3

D •

Y DD: En el nudo D concurren la resistencia R3 , el condensador L y la resistencia R4. 1 1 1 Y DD

•

 CD 

B

+ uB0(t) 1/CD

Y CC : En el nudo C concurren la resistencia R2 , el condensador C y la resistencia R3. 1 1 YCC 

•

R1

Y BB: En el nudo B concurren la resistencia R1 , el condensador C y la resistencia R4. 1 1

Y BD: El nudo B y el nudo D comparten la resistencia R4. Y BD

•



1 R4

Y CD: El nudo C y el nudo D comparten la resistencia R3. 1 Y CD



R3


•

Matriz simétrica  Y CB=Y BC , Y DB=Y BD , Y DC =Y CD

R1

i Bal : Al nudo B le llega la intensidad proveniente de la fuente i g(t), y entra en dicho nudo.

+ uB0(t) 1/CD

iBal (t )  ig (t )

•

eg(t)/R2

i Cal : Al nudo C le llega la intensidad proveniente de la fuente eg(t)/R2 , y entra en dicho nudo.

iCal (t )  eg (t) / R2 •

i Dal : Al nudo D le llega la intensidad proveniente de la fuente i g(t), y sale de dicho nudo.

iDal (t )  ig (t )

B

0 ref

R2 uD0(t)LD

uC0(t) + +

C

R4

ig(t)

R3

D

 1  1  1 CD CD        R4  R4  R1    uB0 (t )  ig (t )    1 1 1  ∙uC0 (t )  eg (t ) R2  CD  CD          R2  R3  R3      uD0 (t )  ig (t )   1 1 1  1 1         R R 4 3  R3 LD R4   


Una vez resuelto el sistema (que, en el caso más general, se tratará de un sistema de ecuaciones diferenciales), a partir de las tensiones de nudo, se pueden determinar las tensiones e intensidades en todos y cada uno de los elementos del circuito. R1

R1

B

+

uB0(t) 1/CD eg(t)/R2 0 ref

R2 uD0(t)LD

C

uC0(t)

R4

ig(t) A

+ D

B

uR1 + 1/CD+ iC uB0(t) + uC R2 eg(t) + R4

+

R3

iR1

uD0(t)LD

uC0(t)

C

+

R3

+

ig(t)

uR1 (t )  uB 0 (t ) iR1 (t ) 

uB 0 (t ) R1

D

uC (t )  uB 0 (t)  uC 0 (t ) iC (t )  CD ∙ uB 0 (t)  uC 0 (t) 


En el ejemplo empleado, el circuito analizado no es el circuito original, sino que se trata de un circuito equivalente a éste. A la hora de calcular tensiones e intensidades en el circuito original a partir del circuito equivalente, atención a las ramas “transformadas” y los elementos que las forman. Circuito equivalente Circuito original R1 R1 B B

1/CD 0 ref

uC0(t)R2

eg(t)/R2

uR2 + LD

C

+

R4

uR2

ig(t) A

R3

1/CD R2 eg(t) + +

uC0(t) +

iR 2 (t ) 

uC 0 (t ) R2

ig(t)

R3

LD

D

uR 2 (t )  uC 0 (t )

C

R4

D

Distintas !!!!!

uR 2 (t )  uC 0 (t )  eg (t ) iR 2 (t ) 

uC 0 (t )  eg (t ) R2



4.5.2. Método de análisis por mallas •

Consiste en aplicar la segunda Ley de Kirchhoff a cada malla del circuito, utilizando para ello las

intensidades malla. –

–

–

–

de

circulación

R1

de

Intensidades de circulación de malla: Intensidad que es común a todos las ramas que forman una malla Criterio de aplicación de la 2ª LK : Caídas de tensión positivas las origina la intensidad de la malla considerada. Es deseable que todas las fuentes presentes en el circuito sean fuentes de tensión (en el caso de fuentes reales de intensidad, aplicar la equivalencia de fuentes reales) Nota: El sentido de las intensidades de circulación de malla es arbitrario, a elección de cada cual.

A

B

1/CD R2 eg(t) +

C

R4

ig(t)

R3

LD D

R1

A

B

i3(t) 1/CD i1(t) R2 eg(t) + R4 C

LD

i2(t)

R3 D

ig(t)


Aplicación de la 2ªLK a todas las mallas del circuito (siguiendo el criterio dado). Malla 1: R1 i1 (t ) 

R1

1

 i1 (t )  i3 (t )  eg (t )  R2 (i1 (t )  i2 (t ))  0 CD 1  R   R  i (t )  R i (t )  1 i (t )  e (t ) g 2 2 3  1 CD 2  1 CD   Malla 2: R2  i2 (t )  i1 (t )  eg (t )  R3  i2 (t )  i 3 (t )  LDi 2 (t )  0

R2 i1 (t )   R2  R3  LD  i2 (t )  R3 i3 (t )  eg (t ) Malla 3: R4 ig (t )  R4 i3 (t )  R3  i3 (t )  i 2 (t ) 

1 CD

i 3 (t )  i 1 (t )   0

1  i1 (t )  R3i2 (t )   R4  R3   i3 (t)  R4 ig (t) CD CD   1

B

i1(t) 1/CD R eg(t) A

2

+

+

C

R4ig(t)

i3(t) R4 R3

i2(t) LD D


Escribiendo estas ecuaciones en forma matricial: R  1  R  1 CD 2   R2  1   CD 

•

R2 R2

 R3  LD R3

  i1 (t )  eg (t )  CD     R3 ∙ i (t )  eg (t ) 2    1  i3 (t )  R4 ig (t ) R4  R3   CD  

1

Los elementos de la primera matriz tienen dimensiones de impedancias, los de la segunda tienen dimensiones de intensidades y los elementos de la tercera, dimensiones de tensiones. En general, se puede escribir:

 Zij    ii (t )   eial (t )

4.5.2. Método de análisis por mallas donde:  Z ij  : Matriz de impedancias de malla (matriz simétrica)

 ii (t ) : Vector de intensidades de alimentación de malla  eial (t ) : Vector de tensiones de alimentación de malla Z ii : Impedancia propia de malla Z ij •

i  j

: Impedancia mutua de malla

Escritura sistemática de las ecuaciones: Zii: Suma de las impedancias de los elementos pasivos que pertenecen a la malla i.

–

4.5.2. Método de análisis por mallas –

Ziji j: Suma algebraica de las impedancias de los elementos pasivos que pertenecen simultáneamente a la malla i y a la malla j ≠

•

•

–

–

Signo positivo: Las intensidades de ambas mallas llevan el mismo sentido sobre la impedancia considerada. Signo negativo: Las intensidades de ambas mallas tienen sentidos contrarios sobre la impedancia considerada.

ii(t): Intensidades de circulación de malla (incógnitas). eial(t): Suma algebraica de los valores de las fuentes de tensión que pertenecen a la malla i. •

•

Signo positivo: Si la intensidad de la malla considerada sale por el terminal marcado con “+” de la fuente. Signo negativo: Si la intensidad de la malla considera entra por el terminal marcado con “+” de la fuente.


Z11

•

R1

Z 11: A la malla 1 pertenecen la resistencia R1 , el condensador C y la resistencia R2. 1

 R1 

CD

i1(t) 1/CD R eg(t)

 R2

A

Z 22: A la malla 2 pertenecen la resistencia R2 , la resistencia R3 y la bobina L. Z22

•

 R4  R3 

CD

Z 12: La malla 1 y la malla 2 comparten la resistencia R2. i 2 lleva sentido contrario a i 1 sobre R2. Z12

 R2

+

C

R4ig(t)

i3(t) R4 R3 D

 R2  R3  LD

Z 33: A la malla 3 pertenecen la resistencia R4 , la resistencia R3 y el condensador C. 1 Z33

2

+

i2(t) LD •

•

B

Z 13: La malla 1 y la malla 3 comparten el condensador C. Z 13

•



1 CD

Z 23: La malla 2 y la malla 3 comparten la resistencia R3. Z23

 R3


•

Matriz simétrica  Z 21=Z 12 , Z 31=Z 13 , Z 32=Z 23 e1al : A la malla 1 pertenece la fuente eg(t) e i 1(t) entra por el “+”. e al (t )  eg (t ) e2al : A la malla 2 pertenece la fuente eg(t) e i 2(t) sale por el “+”. e2al (t )  eg (t ) e3al : A la malla 3 pertenece la fuente R4i g(t) e i 3(t) entra por el “+”.

R1 i1(t) 1/CD R eg(t)

1

•

•

e3al (t )  R4 ig (t)

R  1  R  1 CD 2   R2  1   CD 

R2 R2

 R3  LD R3

B

2

A

+

+

C

R4ig(t)

i3(t) R4 R3

i2(t) LD D

  i1 (t )  eg (t )  CD     e t ( ) R3 ∙ i (t )  g 2    1  i3 (t )  R4 ig (t ) R 4  R3   CD  

1


Una vez resuelto el sistema (que, en el caso más general, se tratará de un sistema de ecuaciones diferenciales), a partir de las intensidades de malla, se pueden determinar las tensiones e intensidades en todos y cada uno de los elementos del circuito. R1

R1

B

i1(t) 1/CD R eg(t) A

2

uR1

+

+

C

R4ig(t)

i3(t) R4 R3

i2(t) LD D

A

iR1

B

iC + i1(t) 1/CD + uC R2 eg(t) +

C

g

i2(t) LD

R4

ig(t)

iR1 (t )  i1 (t) uR1 (t )  R1 ∙i1 (t )

R3 i3(t) D

iC (t )   i1 (t )  i3 (t ) uC (t ) 

1 CD

 i1 (t)  i3 (t)

∙


En el ejemplo empleado, el circuito analizado no es el circuito original, sino que se trata de un circuito equivalente a éste. A la hora de calcular tensiones e intensidades en el circuito original a partir del circuito equivalente, atención a las ramas “transformadas” y los elementos que las forman. Circuito equivalente Circuito original R1 R1 B B i3(t) + 1/CD 1/CD + i (t) R2 eg(t) + R2 eg(t) + + R4 g R i (t) 4g A C A C uR4 iR4 i3(t) R4 + R3 R3 uR4 LD LD iR4 D

iR 4 (t )  i3 (t ) uR 4 (t )  R4 i3 (t )

D

Distintas !!!!!

iR 4 (t )  i3 (t )  ig (t ) uR 4 (t )  R4  i3 (t )  ig (t )



4.6. Casos especiales

4.6.1. Circuitos con fuentes ideales de tensión •

•

En el caso de análisis por mallas no es ningún problema, ya que el método prefiere fuentes de tensión (no importa si ideales o reales). En el caso de análisis por nudos , y al tratarse de una fuente ideal de tensión, que no conocemos como convertir en fuente de intensidad, será necesario encontrar una forma de solventar este inconveniente. Procedimiento: Se da una referencia a la intensidad que circula por la fuente ideal de tensión. Esta intensidad (que circulará por la fuente ideal de tensión) se trata, a todos los efectos, como la intensidad suministrada por una fuente de intensidad. –

–

4.6.1. Circuitos con fuentes ideales de tensión –

–

Se ha añadido una incógnita al problema (la intensidad que circula por la fuente), por lo que hay que añadir una ecuación adicional a las ecuaciones resultantes del análisis del circuito por el método de los nudos. Esta ecuación adicional se construye poniendo el valor conocido de la fuente ideal (su tensión), en función de las incógnitas principales del problema (en este caso las tensiones de nudo).

4.6.1. Circuitos con fuentes ideales de tensión •

Ejemplo: Analizar por el método de los nudos eg(t)

eg(t)

+

R1

uA0(t) R1

C

A

R3

+ ie(t)

Incógnita añadida

ig(t)

R2

0

A

uB0(t)

R3

ig(t)

B

R2

1  1 R R  1 2  1  R 2 



1 

 u (t) i (t)  i (t ) e   A0    g  1 1  uB0 (t )   0    R2 R3  R2

B

2 ecuaciones, 3 incógnitas: uA0(t), uB0(t) e ie(t) Ecuación adicional: eg (t )  uA 0 (t )

Lo que sabemos de la fuente: eg(t) En función de las incógnitas: uA0(t), uB0(t)

Por lo tanto: 3 ecuaciones, 3 incógnitas

SOLUCIÓN ÚNICA

4.6.2. Circuitos con fuentes ideales de intensidad •

•

En el caso de análisis por nudos no es ningún problema, ya que el método prefiere fuentes de intensidad (no importa si ideales o reales). En el caso de análisis por mallas , y al tratarse de una fuente ideal de intensidad, que no conocemos como convertir en fuente de tensión, será necesario encontrar una forma de solventar este inconveniente. Procedimiento: Se da una referencia a la tensión que cae en bornes de la fuente ideal de intensidad. Esta tensión (que cae en bornes de la fuente ideal de intensidad) se trata, a todos los efectos, como se tratan las tensiones en bornes de las fuentes de tensión. –

–

4.6.2. Circuitos con fuentes ideales de intensidad –

–

Se ha añadido una incógnita al problema (la tensión en bornes de la fuente), por lo que hay que añadir una ecuación adicional a las ecuaciones resultantes del análisis del circuito por el método de las mallas. Esta ecuación adicional se construye poniendo el valor conocido de la fuente ideal (su intensidad), en función de las incógnitas principales del problema (en este caso las intensidades de circulación de malla).

4.6.2. Circuitos con fuentes ideales de intensidad Ejemplo: Analizar por el método de las mallas

•

eg(t)

+

R1

eg(t)

+

R1

Incógnita añadida

i1(t) C

ig(t) R3

A

R2

C

ig(t) R3

A

+ ui(t) i2(t) R2

B

R1 0 

 i1 (t) eg (t)  ui (t )      R2  R3  i 2 (t )  ui (t )  0

B

2 ecuaciones, 3 incógnitas: i1(t), i2(t) y ui(t) Ecuación adicional: ig (t )  i2 (t )  i1 (t )

Lo que sabemos de la fuente: ig(t) En función de las incógnitas: i1(t), i2(t)

Por lo tanto: 3 ecuaciones, 3 incógnitas

SOLUCIÓN ÚNICA

4.6.3. Circuitos con bobinas acopladas magnéticamente •

•

Los circuitos que contengan bobinas acopladas magnéticamente y/o transformadores ideales, se analizarán mediante el método de las mallas (salvo casos especiales en los que se pueda obviar el acoplamiento magnético). Es posible la escritura directa de las ecuaciones de malla, si bien, en el caso de presencia de bobinas acopladas magnéticamente y/o transformadores la regla para dicha escritura se hace más complicada (buscar en la bibliografía en caso de interés)


•

•

En el caso de presencia de bobinas acopladas magnéticamente, se recomienda aplicar la 2ªLK a cada malla. Para aplicarla, se suman las tensiones en todos los elementos de cada malla y se hace esta suma igual a cero. Se recomienda empezar la suma de tensiones en un punto de la malla y terminarla en ese mismo punto, teniendo en cuenta que las tensiones en las bobinas acopladas no sólo se deben a que circula intensidad por ellas, sino que también se deben a que circula intensidad por las bobinas con las que están acopladas. En el caso de presencia de transformadores ideales, se recomienda aplicar la 2ª LK a cada malla incluyendo la caída de tensión en los devanados del transformador y escribir más adelante las ecuaciones de definición del transformador de acuerdo a las referencias consideradas. Recordar el criterio de escritura de la 2ª LK en el método de análisis por mallas: Caídas de tensión positivas las crea la intensidad de la malla considerada en cada momento.


Ejemplo: L1D

eg2(t)

+

eg1(t)

i1(t) R2

+

R1 i2(t) MD

L2D

En la bobina L 1 cae tensión debido a que circula intensidad por ella (en este caso i1(t)), pero también debido a que circula intensidad por la bobina L2 (en este caso i2(t)). Idem para la bobina L 2

R3

Malla 1: L1D∙i1 (t )  MD ∙i2 (t )  R1  i1 (t )  i2 (t )  R2i1 (t )  eg 1 (t )  0    

Caída de tensión en bobina L1

Malla 2: eg 2 (t )  L2D ∙i2 (t )  MD ∙i1 (t )  R3i2 (t )  R1  i 2 (t )  i 1 (t )   0    


L1D  R1  R2  R  MD  1

R1  MD  i1 (t ) eg1 (t )       L2D  R3  R1  i2 (t )  eg 2 (t )


Ejemplo:

Por el criterio expresado: L1D

eg2(t)

+

eg1(t)

i1(t)

+

+

+

L 2D i2(t)

R1

+

+

R2 MD

R3

Caída de tensión positiva en L2 como elemento de la malla 1 Caída de tensión positiva en L2 como elemento de la malla 2

Malla 1: L1D∙i1 (t )  MD ∙ i1 (t )  i2 (t )   L2D ∙ i1 (t )  i 2 (t )   MD ∙i 1 (t )  R 2i 1 (t )  e g 1 (t )  0  

 



Malla 2: eg2 (t )  R1i2 (t )  R3i2 (t )  L2D ∙ i2 (t )  i1 (t )   MD ∙i 1 (t )  0   


L1D  L2D  R2  2MD  MD  L2D 

MD  L2D  i1 (t )  eg1 (t )       L2D  R3  R1  i2 (t ) eg 2 (t )

4.6.3 Escritura directa de las ecuaciones de malla con circuitos que contengan bobinas acopladas magnéticamente.


Inspeccionar el circuito por si hay algún par de bobinas acopladas atravesadas por dos intensidades de malla diferentes i k (t) y i m(t). En tal caso, añadir en la posición Z km de la matriz (y en su simétrica Z km ):  MD

si en una bobina ik(t) entra por  y en la otra im(t) sale por 

 +MD

en otro caso [en las dos bobinas las intensidades entran por  o en las dos bobinas salen por  ]


Ejemplo: L1D

eg2(t)

+

eg1(t)

L2D i2(t)

i1(t) R2

MD

R3

Sistema sin magnéticos:

+

R1

L1D  L2 D  R2  L2D 

considerar

acoplamientos

L2 D   i1 (t)  eg1 (t )      L2 D  R3  R1   i2 (t )  eg 2 (t )

i1(t) atraviesa dos bobinas acopladas a la vez, entrando en ambas bobinas por  hay que añadir un término +2MD en la diagonal (1,1)

L2D L1D  L2D  R2  2MD   i1(t)  eg 1 (t )    i ( t )   e (t )    L D L D R R 2 2 3 1 2    g2  Signo + porque i 1(t) entra en ambas bobinas por  i1(t) entra por  en L1 e i2(t) sale por  en L2  hay que añadir en la posición (1,2) y en (2,1) de la matriz el término

L1D  L2 D  R2  2MD L2 D  MD   i1 (t)  eg1 (t )    i (t )   e (t )     L D MD L D R R 2 2 3 1 2    g2 

MD





4.6.4. Circuitos con transformadores ideales •

Ecs. transformador:

Ejemplo: ip(t)

+

up(t)

eg2(t)

u p (t ) +

+

eg1(t)

is(t) +

R1 i2(t)

i1(t) R2

a:1

us(t)

R3

us (t ) i p (t ) is (t )

a





u p (t )  aus (t )

1

a

i1 (t ) 

1

a

i2 (t )

i p (t )  i1 (t ) is (t )  i2 (t )

Malla 1: u p (t )  R1  i1 (t )  i2 (t )   R2i1 (t )  eg1 (t )  0 Malla 2:

e (t )  us (t )  R3i2 (t )  R1  i2 (t )  i1 (t )   0

 g2

aus (t )  R1  i1 (t )  i2 (t )   R2i1 (t )  eg1 (t )  0



e (t )  us (t )  R3i2 (t )  R1  i2 (t )  i1 (t )   0 1 i1 (t )  i2 (t ) a

 g 2

incógnitas: us (t ), i1 (t ), i2 (t )

4.6.5. Circuitos con fuentes dependientes •

•

•

El tratamiento de las fuentes dependientes es idéntico al seguido con las fuentes independientes. Por cada fuente dependiente, será necesario agregar una ecuación expresando la tensión o la intensidad de la que depende dicha fuente en función de las incógnitas principales del método de análisis utilizado (las tensiones de nudo en el caso del métodos de nudo o las intensidades de circulación de malla en el caso del método de mallas). En algunos casos, y si se reagrupan las ecuaciones una vez escritas, es posible que la matriz de admitancias de nudo/impedancias de malla, no sea simétrica.

Referencias •

•


Tema 5 Teoremas Fundamentales del Análisis de Circuitos

Índice Tema 5.‐ Teoremas fundamentales del análisis de circuitos. 5.1. Introducción. ‐

5.2. Teorema de Superposición. ‐

5.3. Teorema de Thévenin. Equivalente Thévenin. ‐

5.4. Teorema de Norton. Equivalente Norton. ‐

5.5. Equivalente Thévenin y equivalente Norton. ‐

5.1. Introducción


•

Un teorema es una proposición que hay que demostrar por medio de un razonamiento lógico a partir de hechos o de hipótesis de los cuales el teorema es la consecuencia evidente (opuesto a problema). Consta de tres partes: – – –

•

hipótesis, que es lo que se supone; tesis, que es lo que se afirma; y demostración, que es lo que prueba la tesis.

Los teoremas que a continuación se van a exponer pueden representar una alternativa o un complemento a los métodos de análisis que usualmente se aplican.


•

Un circuito lineal es aquel cuyo comportamiento puede caracterizarse por medio de una ecuación diferencial lineal. Una propiedad importante de los circuitos lineales es que, si todas las fuentes de un circuito lineal son multiplicadas por una cantidad constante, las respuestas de dicho circuito se verán multiplicadas por esa misma constante ( principio de linealidad ).

5.2. Teorema de superposición

5.2. Teorema de superposición •

•

Si en un circuito lineal actúan varias fuentes de excitación de forma simultánea, la respuesta (tensión o intensidad) de dicho circuito será igual a la suma de las respuestas de dicho circuito cuando actúa cada una de las fuentes de excitación por separado. Este teorema es válido para circuitos que incluyan fuentes dependientes.

5.2. Teorema de superposición Ejemplo: Determinar la intensidad I aplicando el teorema de superposición.

+ U

R1

I

R2

+

Eg1 = 

E g2, U = 0



I2



E g1 R1  R2



R4



R4

R3

U

∙

+

E g1, U = 0

Eg2 =

R4

Superposición:

E g1, E g2 = 0

I  I1  I2  I3 I

I1

E g 2 R1  R2

Por divisor de intensidad:

1

Eg1  E g 2

I3

u

 

R1  R2 1 1 

R2R4





R1  R2



R4

R4

u = R2I

R1  R2

5.3. Teorema de Thévenin. Equivalente Thévenin

5.3. Teorema de Thévenin •

Ante cualquier otro dipolo conectado a él, un dipolo activo es equivalente a una fuente real de tensión , formada por, una fuente ideal de tensión de valor la tensión que aparece entre los terminales del dipolo activo si éstos se encuentran a circuito abierto, y en serie una impedancia de valor la impedancia vista desde los terminales del dipolo pasivo correspondiente al activo dado. Thévenin

Zeq 1

1

Dipolo activo

Cualquier dipolo 1’

+

Cualquier dipolo

u0(t) 1’

5.3. Teorema de Thévenin •

Determinación de los valores de la fuente real: Dipolo activo a circuito abierto i(t)=0

Dipolo pasivo

1

1

+

Dipolo activo

u0(t)

1’ •

•

Dipolo pasivo

Zeq(D)

1’

El circuito pasivo correspondiente al activo dado se construye haciendo cero todas las fuentes independientes del circuito. Las fuentes dependientes se dejan tal cual están en el circuito, es decir, no se tocan. El equivalente Thévenin de un dipolo activo es la fuente real que le es equivalente.

5.4. Teorema de Norton. Equivalente Norton

5.4. Teorema de Norton •

Ante cualquier otro dipolo conectado a él, un dipolo activo es equivalente a una fuente real de intensidad , formada por, una fuente ideal de intensidad de valor la intensidad que circula entre los terminales del dipolo activo si éstos se cortocircuitan, y en paralelo una impedancia de valor la impedancia vista desde los terminales del dipolo pasivo correspondiente al activo dado. Norton

1 1

Dipolo activo


icc(t)

Zeq 1’

Cualquier dipolo

5.4. Teorema de Norton •

Determinación de los valores de la fuente real: Dipolo activo en cortocircuito

Dipolo pasivo

1

1

+ Dipolo activo

icc(t)

u(t)=0

1’ •

•

Dipolo pasivo

Zeq(D)

1’

El circuito pasivo correspondiente al activo dado se construye haciendo cero todas las fuentes independientes del circuito. Las fuentes dependientes se dejan tal cual están en el circuito, es decir, no se tocan. El equivalente Norton de un dipolo activo es la fuente real que le es equivalente.

5.5. Equivalente Thévenin y equivalente Norton

5.5. •

Equivalente Thévenin y Equivalente Norton

El equivalente Thévenin y el equivalente Norton de un mismo dipolo activo, son fuentes reales equivalentes. Zeq(D) 1

+

u0(t)

Siempre se cumple que:

Eq. Thévenin 1’

1

u0 (t )  Zeq (D) icc (t ) ∙

Dipolo activo

1 1’

Eq. Norton

icc(t)

Zeq(D) 1’

Referencias •

•


Tema 6 Análisis de circuitos en régimen estacionario sinusoidal

Índice Tema 6.‐ Análisis de circuitos en régimen estacionario sinusoidal. 6.1. Introducción. 6.2. Generación de una tensión sinusoidal. 6.3. Formas de onda sinusoidales. Propiedades. ‐

‐

‐

6.3.1. Formas de onda sinusoidales. 6.3.2. Valores asociados a formas de onda sinusoidales. ‐

‐

6.4. Circuitos alimentados con fuentes sinusoidales. 6.5. Determinación del Régimen Estacionario Sinusoidal (RES). ‐

‐

6.5.1. Determinación del Régimen Estacionario Sinusoidal por el método de los coeficientes indeterminados. 6.5.2. Determinación del Régimen Estacionario Sinusoidal por el método simbólico. ‐

‐

6.6. Impedancias y Admitancias complejas. Asociación de impedancias complejas. ‐

6.6.1. Impedancias y admitancias complejas. 6.6.2. Asociación de impedancias complejas. ‐

‐

continúa …

Índice 6.7. Elementos pasivos en régimen estacionario sinusoidal. ‐

6.7.1. 6.7.2. 6.7.3. 6.7.4. 6.7.5.

‐

‐

‐

‐

‐

Resistencia. Bobina. Condensador. Bobinas acopladas magnéticamente. Transformador ideal.

6.8. Leyes de Kirchhoff en régimen estacionario sinusoidal. ‐

6.8.1. Primera ley de Kirchhoff en régimen estacionario sinusoidal. 6.8.2. Segunda ley de Kirchhoff en régimen estacionario sinusoidal. ‐

‐

6.9. Métodos de análisis de circuitos en régimen estacionario sinusoidal. ‐

6.10. Teoremas fundamentales en régimen estacionario sinusoidal. ‐

6.10.1. Teorema de superposición. 6.10.2. Teorema de Thévenin. 6.10.3. Teorema de Norton. ‐

‐

‐

6.11. Estudio de circuitos básicos en régimen estacionario sinusoidal. ‐

6.11.1. 6.11.2. 6.11.3. 6.11.4.

‐

‐

‐

‐

Circuito RC. Circuito RL. Circuito RLC. Resumen.

6.1. Introducción

6.1. •

Introducción

Generació Genera ción, n, tra transpo nsport rte, e, dis distri tribuc bución ión y co consum nsumo o de la ene energí rgía a eléctrica se lleva a cabo principalmente en forma sinusoidal.

Inicialmente, • In

el principal uso de la electricidad era la iluminación. A medida que la energía eléctrica cobró importancia como fuente de energía, comenzó la disyuntiva entr en tre e cor orri rien entte al altter erna na y cor orri rien entte con onti tinu nua, a, ad adop opttán ándo dose se finalmente como mayoritario el uso de la corrient corriente e alterna.

•

La pri princi ncipal pal ventaja ventaja de la co corri rrient ente e alt altern erna a sob sobre re la continu continua a es la eficiencia en el transporte de la energía eléctrica.

•

Se van a ver los fundamentos del análisis de circuitos en régimen estacionario sinusoidal, utilizando para ello el método simbólico desarrollado por Steinmetz. Para el análisis de dicho dichoss circu circuito itos, s, se utiliz utilizarán arán los número númeross com complejos plejos..

6.2. Generación de una tensión sinusoidal

6.2.

Generación de una tensión sinusoidal

• Bobina rectangular de N espiras situada en un campo

magnético uniforme. B S dS

 = t

N

– Flujo que atraviesa una espira:



 

dS  B  A  cos  B dS S

– Flujo que atraviesa las N espiras de la bobina:

  N  B  A  cos

6.2.

Generación de una tensión sinusoidal

bobina gira gira con una veloc velocidad idad angula angular r  , el flujo que • Si la bobina la atraviesa variará con el tiempo:

(t )  N  B  A  cos  t

Ley y de indu duccci ció ón de Fara rad day” ay”,, se ind ndu uci cirrá un una a • Por la “Le fuerza electromotriz en bornes de la bobina de valor: u(t )  

d (t ) dt

 N  B  A    sen t  N   m    sen t

forma más general general,, se puede escrib escribir: ir: • De forma u(t )  U0 cos   t   u 

donde U0 es es el valor máximo que alcanza la tensión generada en bornes de la bobina.

6.3. Formas de onda sinusoidales. Propiedades

6.3.1. Formas de onda sinusoidales •

Se dice que una forma de onda es sinusoidal si sigue la ecuación: F 0 : Amplitud

f (t )  F0sen(t   )

donde:

 : Pulsación t   : Fase de la onda  : Fase inicial

•

Para toda forma de onda sinusoidal se verifica que:

∙T  2   =2 f •

donde:

T : periodo (s) f : frecuencia (Hz)

Toda forma de onda sinusoidal se puede expresar en forma seno o coseno, con sólo cambiar su fase inicial: f (t )  F0 sen(t   )  F0 cos(t     2) f (t )  F0 cos(t   )  F0 sen(t     2)

6.3.2. Valores asociados a formas de onda sinusoidales •

Valor de pico: Distancia vertical entre el cero y el valor máximo (o el mínimo)de la forma de onda. En ondas sinusoidales coincide con la amplitud(F 0).

•

Valor de pico a pico: Distancia vertical entre el valor máximo y el valor mínimo de una forma de onda. En ondas sinusoidales, dos veces la amplitud (2F 0).

•

Valor medio: Promedio

integral en un período. F 0 T 1 T sen t dt  0 fm  f (t ) d t  0 0 T T





•

Ciclo: Porción de onda comprendida en un intervalo igual a un periodo.

•

Frecuencia: Nº de ciclos que tienen lugar en una unidad de tiempo. 1 T f  1  f  T ∙


Valor eficaz: Es el resultado de: 1

T 

T



–

El valor eficaz de cualquier forma de onda siempre es distinto de cero.

–

Interpretación física del valor eficaz:

0

f (t )dt 

F 0

Fef

2

2

 Sólo en el caso de formas de onda sinusoidales 

• El

valor eficaz de una tensión alterna es el valor de la tensión continua que, aplicada a una resistencia, produce la misma disipación de calor que el producido por dicha tensión alterna aplicada a esa misma resistencia.

•

El valor eficaz de una intensidad alterna es el valor de la intensidad continua que, circulando por una resistencia, produce la misma disipación de calor que el producido por dicha intensidad alterna circulando por esa misma resistencia.


Desfase entre dos ondas: •

d suele expresarse en grados

Para medir el desfase entre dos ondas, se comparan estados homólogos de ambas ondas que estén separados por menos de un semiperiodo (1 y 2 ó 1’ y 2’, pero no 1 y 2’, por ejemplo). • Adelanta lo que primero sucede y, teniendo en cuenta que el eje horizontal es un eje de tiempo creciente, el punto 1 sucede antes que el punto 2. Por lo tanto, en el ejemplo, la onda 1 adelanta a la onda 2.

6.3.3. Propiedades de las formas de onda sinusoidales • Las ondas sinusoidales cumplen las siguientes

propiedades matemáticas: ‐

‐

‐

Al sumar o restar varias ondas sinusoidales de la misma frecuencia se obtiene otra onda sinusoidal de la misma frecuencia. Al derivar o integrar cualquier número de veces una onda sinusoidal se obtiene otra onda sinusoidal de la misma frecuencia. El producto de dos formas de onda sinusoidales, es otra forma de onda sinusoidal (aunque no de la misma frecuencia).

6.4. Circuitos alimentados con fuentes sinusoidales

6.4. Circuitos alimentados con fuentes sinusoidales • Sea un circuito: R +

+

i(t)

uR(t)

eg(t) = E0 cos (t + u)

+

uL(t)

• Aplicando la 2ª ley de Kirchhoff al circuito:

LD

eg (t )  uR (t )  uL (t )

• Y a partir de las ecuaciones de definición de los

elementos del circuito:

uR (t)  R  i(t )

uL (t )  LD i (t ) ∙

6.4. Circuitos alimentados con fuentes sinusoidales • La

ecuación diferencial que comportamiento del circuito es:

rige

el

R  i (t )  LD i (t )  eg (t ) ∙

• Y dado que la fuente de tensión es sinusoidal:

R  i(t )  LD i(t )  E0 cos( t   u ) ∙

• La intensidad que circula por el circuito (es decir,

su respuesta) es la solución de esta ecuación diferencial.

6.4. Circuitos alimentados con fuentes sinusoidales • Solución: Intensidad que circula por el circuito i(t) 1 IV1

600m

1 200m s e r e p 1 t m o a-200m l P n i 1 V I

-600m

-1.00

100m

300m

500m TIME in seconds

700m

900m

6.4. Circuitos alimentados con fuentes sinusoidales • Solución completa de la ecuación diferencial: i(t )  ihomogénea (t)  i particular (t )

• Ecuación diferencial homogénea: R  i(t )  L – Es

di(t ) dt

0

Solución

ih (t ) 

E0 R



E 0 R

e

 t

R L

el modo natural del circuito, constituye su régimen transitorio. – Se amortigua con el tiempo. – No depende de la forma de onda de la fuente de excitación del circuito.

6.4. Circuitos alimentados con fuentes sinusoidales • Solución de la ecuación diferencial homogénea: 1 IV1

25.0

15.0 s e r e p 1 t m o a 5.00 l P n i 1 V I

1

-5.00

-15.0

100m

300m


700m

900m

6.4. Circuitos alimentados con fuentes sinusoidales • Solución particular: – Se prueba una solución que tenga la misma forma que

la excitación del circuito: i p (t )  I0 cos( t   i )

–

Esta solución constituye el régimen permanente o régimen estacionario del circuito.

– Queda totalmente determinada calculando el valor de

la amplitud I0 y el valor del ángulo  i .

6.4. Circuitos alimentados con fuentes sinusoidales • Solución particular de la ecuación diferencial: 1

Régimen permanente o régimen estacionario

IV1

2.00

1.00 s e r e p 1 t m o l a P n i 1 V I

0

-1.00

1 -2.00

1.10

1.30

1.50 TIME in seconds

1.70

1.90

6.4. Circuitos alimentados con fuentes sinusoidales • Solución completa i(t): 1

IV1

600m

1 200m s e r e p 1 t m o a-200m l P n i 1 V I

=

-600m

Régimen Estacionario Sinusoidal (RES)

-1.00

100m

300m


700m

900m

1 IV1

1 IV1

25.0

400m

15.0

=

200m

s e r e p 1 t m o a 5.00 l P n i 1 V I

1

+

s e r e p 1 t m o a l P n i 1 V I

0

-5.00

-200m

-15.0

-400m

100m

300m


700m

900m

1

1.10

1.30

1.50 TIME in seconds

1.70

1.90

6.5. Determinación del Régimen Estacionario Sinusoidal

6.5. Determinación del Régimen Estacionario Sinusoidal • El régimen estacionario de un circuito viene dado

por la solución particular de la ecuación diferencial que rige el comportamiento de dicho circuito. • Formas de determinar los parámetros de la

solución particular: –

Método de los coeficientes indeterminados o cualquier otro que permita la resolución de la ecuación diferencial.

– Método

simbólico.

6.5.1

Determinación del RES por el método de los coefs. indeterminados

– Método de los coeficientes indeterminados: • Se

considera una solución particular de la ecuación con la misma forma que el término independiente, donde I0 y i son los coeficientes a determinar. i p (t )  I0 cos( t   i )

• Esta solución ha de satisfacer la ecuación diferencial:

LI0sen( t  i )  RI0 cos( t   i )  E 0 cos( t   u ) •

Desarrollando las sumas de senos y cosenos se llega a:

i  LI0sen t cos i  LI0 cos  t seni  RI0 cos  t cos i  RI0sen  t sen  E0 cos  t cos u  E0sen t sen u

6.5.1

Determinación del RES por el método de los coefs. indeterminados •

Agrupando términos e igualando coeficientes, se obtiene: RI0 cos i

  LI0 seni  E0 cos u

u RI0seni   LI0 cos i  E0sen

• Ecuaciones

que constituyen un sistema de ecuaciones que permite calcular las incógnitas I0 y i.

•

Elevando al cuadrado los dos miembros de ambas ecuaciones: 2

2

2

2 u   2 L2 I02 sen2i  2R LI02 cos i seni  E02 cos

2

2

2

2 u   2 L2 I02 cos2 i  2R LI02 cos i seni  E02 sen

R I0 cos i R I0 sen  i

6.5.1

Determinación del RES por el método de los coefs. indeterminados • Sumando

miembro a miembro ambas ecuaciones: 2 2

R I0

  2L2I02  E02

• y despejando, se obtiene:

I0 •

E 0

 R

2

  2L2

Si dividimos ambas ecuaciones:

Rseni  Lcos i tg  u  Rcosi  Lsen i • que

también puede escribirse:

tg  u



tg  i  1

 L R

 L R

tg  i

6.5.1

Determinación del RES por el método de los coefs. indeterminados • Si

se denota por tg  a la expresión: tg  

• se

R

obtiene que: tg u

• y,

 L

 tg(i   )

por lo tanto:

i

 u  

• Esto

es, la solución particular de la ecuación diferencial queda: i p (t ) 

E 0 R

2

  L

2 2

cos( t  u

  )

6.5.2 Determinación del RES por el método simbólico – Método simbólico: •

Consiste en la resolución analítica de circuitos en régimen estacionario sinusoidal mediante la aplicación del cálculo complejo a través del método vectorial complejo.

•

El método se basa en la fórmula de Euler:

e •

j t

 cos  t  jsen t

siendo j  1

Esta ecuación representa, en el plano complejo, un vector unitario que gira en el sentido contrario a las agujas del reloj, con una velocidad angular de  radianes/segundo.

6.5.2 Determinación del RES por el método simbólico • Sea una forma de onda sinusoidal:

f (t )  F0 sen( t   ) • Esta

función sinusoidal se puede considerar como el resultado de proyectar en el eje vertical un vector giratorio, tal y como puede verse en la figura siguiente. 

Im

t F0

F0

F0 (sen t + )



F0 sen Re

t = 0



 t

t

6.5.2 Determinación del RES por el método simbólico

6.5.2 Determinación del RES por el método simbólico •

En t = 0, el número complejo forma un ángulo  con el eje horizontal. De acuerdo con el álgebra de los números complejos y la fórmula de Euler , este número se puede representar por la forma:

 F0e j   F0 cos  j F0 sen

F0 • Ahora

bien, si el vector que representa al número complejo gira en sentido contrario a las agujas del reloj con una velocidad angular de  rad/s, en el instante t el vector habrá barrido un ángulo t , que sumado a la fase inicial significará que el ángulo que forma el vector con el eje real será:   2 f



 t  

 : pulsación  radianes / segundo  f : frecuencia  Herzios 

• En

estas condiciones, el vector giratorio F 0 (FASOR) se puede representar en la forma: F0

 F0 e j (t  )   F0 e j  e jt  F0 e jt

6.5.2 Determinación del RES por el método simbólico –

La aplicación del método simbólico para determinar la solución particular de la ecuación diferencial se basa en la transformación del circuito al campo complejo, basándose en la posibilidad de representar las ondas sinusoidales mediante fasores. – Transformación del circuito al campo complejo: • La

fuente de excitación es sinusoidal, por lo que se le puede asociar un fasor:

E0

 E0 u  (E0 e j  )e j t  E0 cos(t  u )  j E0 sen(t  u ) u

• Sustituyendo

en la ecuación diferencial la fuente sinusoidal por su fasor asociado, se tendrá:

R  i(t )  LD i (t )  E 0 ∙

6.5.2 Determinación del RES por el método simbólico – En

cuanto a la intensidad que circula por el circuito, también será sinusoidal, y se le podrá asociar un fasor: I0

–

 I0 i  (I0 e j  )e j t  I0 cos(t  i )  j I0 sen(t  i ) i

Sustituyendo en la ecuación diferencial: j

RI0 e i e

jt

 j LI0 e j  e jt  E0 e j  e j t u

i

(R  j L) I 0 –

 E 0

Puede verse que esta ecuación se trata ahora de una ecuación en números complejos, en vez de una ecuación diferencial.


Se resuelve planteando la igualdad de módulos y argumentos: R

2

  2L2

  i –

 u

I0

∙

 E0 siendo 

 arctg

 L R

Si en vez de utilizar valores de amplitud si se utilizan valores eficaces, algo habitual en ingeniería eléctrica, la ecuación se escribirá:

(R  j L)I  E –

Este proceso de transformación para conseguir que las ecuaciones diferenciales pasen a ser ecuaciones algebraicas, suele denominarse “transformar el circuito al campo complejo” .

6.5.2 Determinación del RES por el método simbólico – Una vez resuelta la ecuación o sistemas de ecuaciones

en números complejos, se tendrán los fasores correspondientes a las respuestas de los circuitos. – Para hacer la transformación inversa, y obtener así la expresión temporal de las respuestas de los circuitos, se tomará la parte real o la parte imaginaria de los números complejos que representan a estos fasores en función de si las excitaciones se han expresado en forma coseno (parte real) o en forma seno (parte imaginaria). i (t )  Re I   2 I cos( t   i )

si fuentes en forma coseno

i (t )  ImI   2 I sen( t   i )

si fuentes en forma seno

∙

I  I  i ∙

6.5.2 Determinación del RES por el método simbólico • Procedimiento para realizar la transformación de un

circuito al campo complejo: – Comprobar que todas las fuentes de excitación del circuito

son de la misma pulsación. Si no lo son, y se desea analizar el circuito por el método simbólico, será imprescindible hacerlo aplicando el teorema de superposición. – Comprobar que todas las fuentes de excitación del circuito una única forma seno o coseno, y si no la tienen transformarlas sumando o restando /2 a su fase inicial. – Sustituir las expresiones temporales de las fuentes de excitación del circuito por sus fasores asociados. Dichos fasores se escribirán como números complejos cuyo módulo es el valor eficaz y como argumento la fase inicial de cada una de las fuentes.


Sustituir las expresiones temporales de las distintas variables del circuito por sus fasores asociados.

–

En las impedancias operacionales del circuito, se sustituye el operador derivada, D, por j

• En la siguiente página se ve un ejemplo de esta

transformación. – En amarillo, circuito en el dominio del tiempo. – En azul, circuito en el campo complejo.

6.5.2 Determinación del RES por el método simbólico R

+

+

i(t)

+ u (t) R

eg(t) = E0 cos (t+u)

R +

+ uL(t)

+

LD

i(t )  ihomogénea (t)  i particular (t) i particular (t )  iestacionario (t)

+ j L

UL

Eg

 UR  UL

uL (t )  LD  i (t )

R  i(t )  LD  i (t )  E 0 cos( t   u )

UR

+

Eg

eg (t )  uR (t )  uL (t ) uR (t)  R  i(t )

I

UR

 R I

UL

 j L  I

(R  j L) I  E R

2

  2L2

∙

I E



E

I R

  i

 u  I  I  i

i

 u



‐

2

  2L2

siendo   arctg

 L R

i(t )  Re(I)  2 I cos(t   i ) ∙

6.6. Impedancias y admitancias complejas. Asociación de impedancias

6.6.1. Impedancias y admitancias complejas • Dado un dipolo pasivo, se definen: –

Impedancia compleja: relación entre la tensión compleja en bornes del dipolo y la intensidad compleja que lo atraviesa. Z 

U I

Z Z

 Z  Z  R  jX

Forma polar Forma binómica

R : Resistencia X : Reactancia

Representación: 1

Z

I +

U

Z : Ohmios () 1’

Unidades:

R : Ohmios () X : Ohmios ()

6.6.1. Impedancias y admitancias complejas –

Admitancia compleja: relación entre la intensidad compleja que atraviesa un dipolo y la tensión compleja entre sus bornes. Y 

Y

I U

Y

 Y  Y  G  jB

Forma polar Forma binómica

G : Conductancia B : Susceptancia

Representación: 1

Y

I +

G : Siemens (s)

1’

Unidades: U

B : Siemens (s) Y : Siemens (s)

6.6.1. Impedancias y admitancias complejas – Siempre se cumple que:

Z 

– Atención: Y



1

1 Y

pero G 

Z

1

y B

R

1 X

– Comprobación:

Y

1

1

Z

R  jX

 



– Entonces:

R  jX

 R  jX  R  jX  G

R R

2

X

2



R R

2

X

B

2

j

X R

X R

2

 X2

2

 X

2

 G  jB

6.6.2. Asociación de impedancias complejas • Asociación de impedancias complejas en serie: 1

Z1

I

Zk …

+ U 1 +

 Z1 I U2  Z 2  I U1

Zn …

+ U 2

+ U k

1’



+ Un

Zeq

1 I +

1’

U

U

Segunda Ley de Kirchhoff

 n  U   U k    Z k   I k 1  k 1  n

 U k  Z k  I

 Un

Z2

 Zn I

Ley de Ohm U  Z eq  I

n

Z eq

  Z k k 1

6.6.2. Asociación de impedancias complejas • Divisor de tensión: 1

Z1

I

Zk

Z2 …

+ U 1

+ U 2

+ U k

+

 n  U    Z k   I  k 1  U k  Z k  I

…

Zn

1’

+ U n

U

U k U



Z k n

 Z

k

k 1

U k 

Z k n

 Z

U

k

k 1

Expresión del divisor de tensión

6.6.2. Asociación de impedancias complejas • Asociación de admitancias complejas en paralelo: 1 +

U

I

…

I1 Y1

I2

In

Ik

Y2

Yn

Yk …

1 +

…



 Y 1 U I2  Y 2 U  Y k  U

 In

1’

Primera Ley de Kirchhoff

 n  I   I k   Y k   U k 1  k 1  n

 Ik

Yeq

…

1’

I1

U

I

Ley de Ohm  Y n U

I  Y eq  U

n

Y eq

 Y k k 1

6.6.2. Asociación de impedancias complejas • Divisor de intensidad: 1

I

…

…

+

I1

I2

Ik

In

U

Y1

Y2

Yk

Yn

…

…

1’

 n  I   Y k   U  k 1  I k  Y k  U

I k I



Y k n

Y

k

k 1

I k 

Y k n

Y

I

k

k 1

Expresión del divisor de intensidad

6.7. Elementos pasivos en RES

6.7. Elementos pasivos básicos en régimen estacionario sinusoidal •

A continuación se ven las impedancias complejas de los distintos elementos pasivos básicos que forman parte de los circuitos eléctricos.

•

Hay que recordar que para transformar las impedancias operacionales al campo complejo, se sustituye el operador derivada, D, por el número complejo j . • Recordar también que cualquier circuito pasivo puede representarse mediante su impedancia equivalente, de manera que:

1

Z

I +

U

Z



Z



U I

 R  jX  Z  Z

UZI ∙

1’

R

2

 X 2

 Z  arctg

X R

UZI ∙

u

  Z   i

6.7.1. Resistencia 1

i(t) R

1’

Z (D)  R

+ u(t)

I

1

+

u(t )  R i (t ) ∙

R

1’

Z

R

U

R  0 Z  R  R  j 0   X  0

Z

 Z  R  R  R 0º   Z  0º

U  R  I U  R 0º  I   u   i

Resistencia: u= i Tensión e intensidad están en fase Diagrama vectorial

6.7.2. Bobina 1

i(t) LD

1’

Z (D)  LD

I

1

+ u(t)

+

u(t )  LD i (t ) ∙

jL

1’

Z

 j L

U

R  0 Z  jL  0  j L   X   L  0

 Z   L Z  jL   L 90º   Z  90º

U   L  I U   L 90º  I   u   i  90º

Bobina: u= i+90º  u i La tensión adelanta 90º a la intensidad Diagrama vectorial

6.7.2. Bobina I

1

+

jL

1’

Z

 j L

U

El valor depende de la frecuencia  Z   L Z  jL   L  90º   Z   90º →

Si  = 0 (corriente continua)  Z = L = 0

→

Cortocircuito

Si 

→

Circuito abierto

→

 (alta frecuencia)  Z = L

→



6.7.3. Condensador 1

i(t) 1/CD

1’

Z (D) 

+ u(t)

u(t ) 

1

1

+

CD Z

i (t )

∙

CD

I 1/jC

1

 j

1

C

1’

Z



U

R  0   0  j  1  C  X   0  C  1

1 jC

Z

j



j  jC 

  j

1

C

  j

1

 C

 Z  1   90º   C  C  Z  90º 1

U  1  I 1  U 90º  I    C  C u   i  90º Diagrama vectorial

Condensador: u= i 90º  u< i ‐

La tensión retrasa 90º respecto de la intensidad

6.7.3. Condensador 1/jC

I

1

Z +

Z

1’

U

  j

1

C



1 jC



→

j  jC 

  j

1

 C

 Z  1 El valor depende de la frecuencia 1    90º   C  C  Z   90º →

Si  = 0 (corriente continua)  Z = 1/C Si 

j

→

 (alta frecuencia)  Z = 1/C = 0



→

→

Circuito abierto

Cortocircuito

6.7.4. Bobinas acopladas magnéticamente Para las referencias y terminales correspondientes indicados:

1

i1(t)

MD

i2(t)

+

u1(t)

2

+

L1D

u2(t)

L2D

1’

1 U1

1’

u1 (t )  L1 D i1 (t )  MD i2 (t)

U1

∙

u2 (t )  L2 D i2 (t )  MD i1 (t ) ∙

∙

jM

I2

2

+

+

2’ ∙

I1 jL1

jL2

U2 2’

 jL1 I1  j M I2 U 2  jL2 I 2  j M I 1 ∙

∙

∙

∙

6.7.5. Transformador ideal Para las referencias y terminales correspondientes indicados:

1

i1(t)

i2(t)

+

1’

1

2 u2(t) 2’

a:1

N1u1 (t )  N2u2 (t) 

u1 (t ) u2 (t )

N1 i1 (t )  N2 i2 (t )  0 

i2 (t )



1

2

+

U2

U1 1’

a:1

N1 U1

 N2 U2 

a

i1 (t )

I2

+

+

u1(t)

I1

N1 I 1

2’ U1 U2

 N1 I1  0 

I1 I2

a 1

1

a

a

 

a

Diagrama vectorial

180º

6.8. Leyes de Kirchhoff en RES

6.8.1. 1ª Ley de Kirchhoff en RES –

La suma de todas las intensidades complejas que entran (salen) en (de) un nudo a través del conjunto de conductores que concurren en él, es siempre cero.

I

I1

I

I2 I3 I4

entran

0 entran

I  I

salen

0

salen

Ejemplos: I1  I2

 I3  I4  0

I 1  I 2  I3  I4  0

I 1  I3

 I2  I4

Atención: Notar que las sumas son vectoriales, NO EN MÓDULO En general: I1  I2  I3  I4  0

6.8.2. 2ª Ley 2ª Ley de de Kirchhoff Kirchhoff en en RES –

La suma de las tensiones complejas a lo largo de cualquier trayectoria cerrada de un circuito, es siempre cero. B

U1 A+ + U5

Ejemplos: U2

U6 + E +

U4 D

+ C

Trayectoria ABCDEA .................. U1  U 2  U 3 Trayectoria

+

Trayectoria

U3

Trayectoria

U EB

 U 4  U5  0 ABEA ..................................... U1  U 6  U 5  0 EBCDE ....... U 6  U2  U 3  U 4  0  U 6  U 2  U 3  U 4 EBAE ................. U 6  U1  U 5  0  U 6  U1  U 5

U 5  U1  U 4  U 3  U 2  U6      Tray Trayec ecttoria oria EAB EAB

Tray Trayec ecto tori ria a EDCB DCB

Atención: A tención: Notar EN MÓDULO MÓDULO Notar que que las sumas son vectoriales, NO EN En general: U1  U2  U3  U4  U5  0

6.9. Métodos de análisis de circuitos en RES

6.9. Método de análisis de circuitos en RES • Métodos de análisis: – Método de nudos. – Método de mallas.

• Las variables empleadas en los métodos de

análisis (tensiones de nudo e intensidades de malla) serán fasores y vendrán representadas por números complejos. • Los sistemas de ecuaciones resultantes de aplicar

el método de análisis elegido a un circuito, serán sistemas de ecuaciones en números complejos, en vez de sistemas de ecuaciones diferenciales.

6.10. Teoremas fundamentales Teoremas fundamentales en RES

6.10.1. Teorema de superposición • Dad Dado o un cir circui cuito to lineal, lineal, la res respue puest sta a de dicho circuit circuito o

cua cu ando actúan en él de manera simultánea varias fuentes de ex excitación, citación, es igual a la suma de las respuestas del circuito si actúa cada fuente de excitación de manera independiente. – Este

teorema es de uso imprescindible para analizar, por el

méttod mé odo o si simb mból ólic ico o, ci cirrcu cuit itos os en lo loss qu que e ha hay ya fu fuen enttes de distintas formas de onda, o bien en el caso de que, aun siendo todas las fuentes sinusoidales, no tengan todas la misma pulsación.

6.10.2. Teorema de Thévenin • Ante cualquier otro dipolo conectado a él, un dipolo

activo es eq act equivalente a una fuente real de tensió ión n , formada por por,, una fuente ideal de tensión de valor la tensión que aparece entre los terminales del dipolo activo si éstos se encuentran a circuito abierto, y en serie una impedancia de valor la impedancia vista desde los ter ermi mina nale less de dell di dipo polo lo pa pasi sivo vo co corr rres espo pond ndie ien nte al ac acti tivo vo dado. Thévenin Zeq

Dipolo activo

Cualquier dipolo

+

U0

Cualquier dipolo

6.10.2. Teorema de Thevenin • Determinación de los valores de la fuente: Dipolo activo a circuito abierto I=0

Dipolo pasivo

1

1

+

Dipolo activo

U0 1’

Dipolo pasivo

Zeq(D) 1’

• El circuito pasivo correspondiente al activo dado, se

construye haciendo cero todas las fuentes independientes del circuito. Las fuentes dependientes se dejan tal cual están en el circuito, es decir, no se tocan.

6.10.3. Teorema de Norton • Ante cualquier otro dipolo conectado a él, un dipolo

activo es equivalente a una fuente real de intensidad , formada por, una fuente ideal de intensidad de valor la intensidad que circula entre los terminales del dipolo activo si éstos se cortocircuitan, y en paralelo una impedancia de valor la impedancia vista desde los terminales del dipolo pasivo correspondiente al activo dado. Norton 1 1

Dipolo activo


Icc

Zeq 1’

Cualquier dipolo

6.10.3. Teorema de Norton • Determinación de los valores de la fuente real: Dipolo activo en cortocircuito

Dipolo pasivo

1

1

+ Dipolo activo

Icc(t)

U=0

1’

Dipolo pasivo

Zeq(D)

1’

• El circuito pasivo correspondiente al activo dado se

construye haciendo cero todas las fuentes independientes del circuito. Las fuentes dependientes se dejan tal cual están en el circuito, es decir, no se tocan.

6.11. Estudio de circuitos básicos en RES

6.11.1. Circuito RC 1

+

I

+ U R

U

U  UR

R +

UC

1’

j(1/C)

‐

 UC  RI  ( j

1

C

)I  (R  j

1

)I  C

2   Z  R2   1     C  1   Z  R  j 1  C     arctg  C  0  Z R

2  U  R2   1  I U  Z I     C   u  i   Z  u  i ∙

∙

• La tensión retrasa a la intensidad un ángulo igual al argumento de la impedancia  Z .

6.11.1. Circuito RC 1

Im +

I

R

+ U R

U

UC

1’

UC UR

Z

I

i

U

u

+

Re

j(1/C)

‐

6.11.2. Circuito RL I

1

+

+ U R

U

U  UR

R +

UL

 U L  RI  j LI  (R  j L)I

jL

 Z  R2   2 L2  Z  R  j L    L  0 arctg   Z  R

1’

U  R 2   2 L2 I U  Z I   u  i   Z  u  i ∙

∙

• La tensión adelanta a la intensidad un ángulo igual al argumento de la impedancia  Z .

6.11.2. Circuito RL Im

1

+

Z i

UL

R

+ U R

U

U

I

UL 1’

UR I

u

+

Re

jL

6.11.3. Circuito RLC 1

+

I

U  UR

R

+ U R

+

UL

U

+

Uc

1’

jL

 U L  UC  RI  j LI  j

1

 C

I

  1   R  j   L  I   C    

j(1/C)

2     Z  R2    L  1    C      si  1 1  ) Z  R  j( L    L  C   C  si  Z  arctg R     si    ‐

L L L

1

 C 1

 C 1

 C

  Z  0   Z  0   Z  0

6.11.3. Circuito RLC 2    U  R2    L  1  I   C    U  Z I   si  Z  0  u   i          u i Z si  Z  0  u   i si   0      u i  Z  ∙

∙

•

En función del valor del condensador, de la bobina y de la pulsación  , el ángulo de la impedancia equivalente puede ser mayor, menor o igual cero, y , por lo tanto, la tensión puede adelantar, retrasar o estar en fase, respectivamente, respecto de la intensidad que recorre el circuito. – Caso

particular: si L = (1/C)

RESONANCIA

6.11.3. Circuito RLC L

Im

UC

U

UL

1

+

I

1

  Z  0

 C

R

+ U R

+

UL

U

+

Uc

Z i

UR 1’

I

u

Re

jL j(1/C)

‐

6.11.3. Circuito RLC L

Im

UL

UC

1

+

R

+ U R

+

UL +

Uc

UR 1’

i

I

  Z  0

 C

U

U

Z=0

I

1

u

Re

jL j(1/C)

‐

6.11.3. Circuito RLC L

Im

1

 C

  Z  0

UL UC UR

1

+

I

i

Z

U

I

R

+ U R

+

UL

U

+

Uc

u

1’

Re

jL j(1/C)

‐

6.11.4. Resumen • El desfase entre la tensión en bornes y la

intensidad que circula por un dipolo pasivo, que puede representarse mediante su impedancia equivalente, es siempre igual al argumento de dicha impedancia equivalente. 1

Z

I +

UZI

1’

U

 R  jX Z  Z  Z Z

UZI ∙

∙

u

 Z  i  u  i   Z

(Ejemplo con impedancia de carácter inductivo)

6.10.4. Resumen • En RES, se pueden clasificar los elementos pasivos

(también llamados impedancias o cargas) en los siguientes tipos: Cargas

U respecto de I

Resistivas puras

En fase

Inductivas puras

Adelanta 90º

Capacitivas puras

Retrasa 90º

Carácter inductivo

Adelanta un ángulo  Z

Carácter capacitivo

Retrasa un ángulo  Z (HELICE)

6.10.4. Resumen •

En general, el valor de la impedancia de los elementos pasivos depende de la frecuencia, tanto su módulo como su argumento.

•

Si nos fijamos en una impedancia de carácter inductivo, tenemos que:

 Z  R2   2 L2  Z  R  j L    L  0 arctg   Z  R •

Si aumenta la frecuencia de la fuente de excitación, es decir, aumenta su pulsación, tanto el módulo de la impedancia Z, como su argumento  Z , aumentan su valor.

Referencias •

PARRA, V. M.; ORTEGA, J.; PASTOR, A.; PEREZ, A.: “Teoría de Circuitos (Tomo I)” . Universidad Nacional de Educación a Distancia (UNED).

•

BAYOD, A.A.; BERNAL, J.L.; DOMINGUEZ, J.A.; GARCIA GARCIA, M.A.; LLOMBART, A.; YUSTA, J.M.: “Análisis de circuitos eléctricos I”. Colección Textos Docentes, vol. 58. Prensas Universitarias de Zaragoza.

•

BAYOD, A.A.: ”Circuitos monofásicos en régimen estacionario senoidal”. Colección Textos Docentes, vol. 107. Prensas Universitarias de Zaragoza.

Tema 7 Potencia en régimen estacionario sinusoidal

Índice Tema 7.‐ Potencia en régimen estacionario sinusoidal. 7.1. Potencia instantánea. 7.2. Potencia instantánea en dipolos pasivos básicos. ‐

‐

7.2.1. Resistencia. 7.2.2. Bobina. 7.2.3. Condensador. ‐

‐

‐

7.3. Expresión de la potencia en el campo complejo. Triángulo de potencias. ‐

7.3.1. Expresión de la potencia en el campo complejo. 7.3.2. Triángulo de potencias. ‐

‐

7.4. Potencia compleja en dipolos pasivos. ‐

7.4.1. 7.4.2. 7.4.3. 7.4.4.

‐

‐

‐

‐

Dipolo pasivo básico. Resistencia. Bobina. Condensador.

7.5. Factor de potencia. ‐

7.5.1. Definición del factor de potencia. 7.5.2. Efectos de un factor de potencia bajo. 7.5.3. Compensación del factor de potencia. ‐

‐

‐

7.6. Teoremas relacionados con la potencia en RES. ‐

7.6.1. Teorema de Boucherot. 7.6.2. Teorema de la máxima transferencia de potencia. ‐

‐

7.7. Medida de la potencia. ‐

7.1. Potencia instantánea

7.1. Potencia instantánea •

Dado un dipolo, con las referencias de la figura: 1 + u(t)

i(t)

1’ –

Se define la potencia instantánea absorbida por el dipolo como:

pabs (t )  u(t ) i(t ) ∙

–

Teniendo en cuenta que en un circuito en régimen estacionario sinusoidal: u(t )  2 U cos( t   u ) i(t )  2 I cos( t   i )

U e I son valores eficaces


Representando gráficamente estas formas de onda se tiene:

–

– –

La potencia instantánea es una función sinusoidal de frecuencia doble a la de la onda de tensión o intensidad La potencia es cero en los instantes en que i(t)=0 ó u(t)=0 En los instantes en los que p(t) > 0, el dipolo absorbe energía de la fuente de excitación; mientras que en los instantes en los que p(t) < 0, es el dipolo el que devuelve parte de esta energía a la fuente de excitación


Analíticamente: p(t )  u(t )i(t )  2UI cos( t  u )cos( t  i )

•

Expresión que puede escribirse como: p(t )  u(t)i(t )  UI cos(2 t  u

•

 i )  cos(u  i )

O también: p(t )  UI cos(2 t  2u –

  )  UI cos 

siendo 

 u  i

Notar que: Los términos U, I y cos  son constantes, no dependen del tiempo y, por lo tanto, el término UI cos  también es una cantidad constante La potencia instantánea se puede expresar como suma de dos términos, uno constante y otro dependiente del tiempo, sinusoidal, y de frecuencia doble de la de la tensión o la intensidad –

–

7.1. Potencia instantánea Integrando la potencia instantánea a lo largo del tiempo:

•

w (t )  w (0) 



t

0

p(t )dt

t

t

  0 UI cos  dt  0 UI cos(2 t  2u  )dt

Integrando a lo largo de un número entero de periodos de la potencia, se ve que:

•



nT

0

p(t )dt 

–

–



nT

0

UI cos  dt 



nT

0

UI cos(2 t  2u  )dt

 nT  UI cos  0 

El valor medio de la potencia instantánea coincide con el término constante. Este término se denomina potencia media o potencia activa, y su producto por el tiempo es el valor de la energía total suministrada por la fuente de excitación al circuito durante el tiempo considerado. P

Energía transferida intervalo de tiempo



nT  UI cos   nT

 UI cos 

7.1. Potencia instantánea –

Al término sinusoidal se le denomina potencia fluctuante, y muestra las fluctuaciones de la potencia instantánea en torno al valor medio. F (t )  UI cos(2 t  2u

–

  )

Su integral, a lo largo de un número entero de periodos, es cero

7.2. Potencia instantánea en dipolos pasivos básicos

7.2.1. Resistencia i(t )  2 I cos( t   i )

u(t )  R i (t ) ∙

u(t )  2 RI cos( t   i )

pabs (t )  RI cos(2 t  2 i )  RI 2

2

Potencia media P = RI2 •

•

En cualquier instante pabs(t) siempre es mayor o igual a cero, esto es, una resistencia siempre absorbe energía del circuito. Una resistencia no almacena energía

7.2.2. Bobina i(t )  2 I cos( t   i )

u(t )  LD i (t ) ∙

u(t )  2 I L cos( t  i   / 2)

pabs (t )   LI cos(2 t  2i 2

  / 2) 0 Potencia media P=0

•

Se efectúa constantemente una transferencia energética entre la fuente de excitación y el campo magnético asociado a la bobina.

7.2.3. Condensador i(t )  2 I cos( t   i )

i(t )  CD u(t ) ∙

u(t )  2 I(1 /  C )cos( t   i   / 2)

pabs (t )  (1 /  C )I cos(2 t  2i 2

0   / 2)

Potencia media P=0

•

Se efectúa constantemente una transferencia energética entre la fuente de excitación y el campo eléctrico asociado al condensador

7.3. Expresión de la potencia en el campo complejo. Triángulo de potencias.

7.3.1. Expresión de la potencia en el campo complejo •

•

Un dipolo pasivo se puede representar mediante su impedancia compleja equivalente, de parte real R y parte imaginaria X. Multiplicando todos los lados del triángulo por la intensidad que entra en el dipolo

Triángulo de impedancias

Triángulo de tensiones


Multiplicando nuevamente los lados del triángulo de tensiones por la intensidad que entra en el dipolo

UZ I ∙

X I2 ∙

Z R I2 ∙

–

–

Triángulo de potencias

Cateto horizontal : Potencia media absorbida por la parte resistiva. Potencia Activa. Cateto vertical : Es el valor de la amplitud de las oscilaciones de la potencia absorbida en la componente reactiva del dipolo. Potencia Reactiva.

 UI cos  2 reactiva : Q  XI  UIsen

Potencia activa : Potencia

P  RI

2


•

Dado el triángulo de potencias

La hipotenusa de dicho triángulo, de longitud U∙I, tiene dimensiones de potencia y se denomina Potencia

Compleja ( S ). S  P  jQ  UI cos  •

 jUIsen

El módulo de dicho vector, S, recibe el nombre de

Potencia Aparente. S  UI  P

2

 Q2


Expresión general de la potencia compleja •

Sea un dipolo, y las referencias mostradas en la figura: 1 +

I

U

Dipolo

1’ •

La potencia compleja absorbida por el dipolo se calcula:

S abs

U I* ∙

donde I* denota al conjugado de la intensidad compleja I P : potencia activa : W •

(Vatios)

Unidades: Q : potencia reactiva : var (Voltamperios reactivos) S : potencia aparente : VA (Voltamperios)


•

La potencia activa es la potencia consumida por un elemento y que se invierte en realizar un trabajo. Tanto la potencia aparente como la potencia reactiva no tienen significado físico. Se definen porque son útiles para los cálculos electrotécnicos y porque se pueden medir. •

•

La potencia reactiva es un indicador de la energía intercambiada en cada semiciclo entre los elementos que almacenan energía y la fuente de excitación. La potencia aparente es un indicador de la disponibilidad o limitación de una instalación.

7.3.2. Triángulo de potencias •

A partir del triángulo de potencias, se puede escribir: S P

tg 

Q

2

Q

2

P  S cos Q  S sen

como S  U I

P P

P  UI cos 

S

Q  UIsen

cos  

∙


El signo de las potencias activa y reactiva absorbidas por un dipolo, depende del ángulo entre la tensión en bornes del dipolo y la intensidad que lo atraviesa. De esta manera y para las referencias indicadas, se tiene:

 = u i > 0 ‒

Pabs < 0 Generador

 = u i > 0 ‒

Im

U

Qabs > 0 Absorbe Q

Qabs > 0 Inductivo

 

 = u i < 0 Qabs < 0 Cede Q

I



‒

Pabs < 0 Generador

Pabs > 0 Receptor

U

U



Re

 = u i < 0 ‒

U

Pabs > 0 Receptor Qabs < 0 Capacitivo


La especificación de la potencia en máquinas y equipos de corriente alterna es diversa y tiene origen práctico: •

•

•

En máquinas generadoras de corriente alterna y transformadores, se expresa su potencia en forma de potencia aparente (en VA, kVA, MVA). El conocimiento de esta potencia y de la tensión nominal, permite calcular la corriente máxima de diseño de la máquina En motores de corriente alterna se especifica la tensión de alimentación y la potencia mecánica en el eje (en kW o en CV, 1CV = 736 W), de forma que, conociendo el rendimiento, permite saber la potencia activa que absorbe En el caso de las reactancias, la potencia se expresa en forma de potencia reactiva (en var o kvar)

7.4. Potencia compleja en dipolos pasivos

7.4.1. Dipolo pasivo genérico En términos de su impedancia equivalente: 1

I

Z

1’

UZI ∙

+

Z

 R  jX

S U I* ∙

U

S abs

 U I *  Z I I *  (R  jX )I2  RI2  jXI2  Pabs  jQabs ∙

∙

∙

entonces:

 RI 2 2 Qabs  XI Pabs

•

En un dipolo pasivo, siempre R

•

Sin embargo, puede ocurrir que:

 0  Carácter X  0  Carácter X

0 , por lo que: Pabs  0

inductivo  Qabs

0 capacitivo  Qabs  0

7.4.1. Dipolo pasivo genérico En términos de su admitancia equivalente: 1

Y

I

I Y U ∙

+

S abs

1’

Y

 G  jB

S U I* ∙

U

 U I *  U(Y U)*  Y * U U*  (G  jB)U2  GU2  jBU2  Pabs  jQabs ∙

∙

∙

 GU2 entonces: 2 Qabs  BU Pabs

•

En un dipolo pasivo, siempre G

•

Sin embargo, puede ocurrir que:

0 , por lo que: Pabs  0

B  0  Carácter inductivo  Qabs B  0  Carácter

0 capacitivo  Qabs  0

7.4.2. Resistencia Z Y

 R  jX  R

S abs

 G  jB  G Pabs

 RI 2

 U I *  RI 2  0 

U

2

∙

Qabs

R

0

0

7.4.3. Bobina Z Y

 R  jX  j L  G  jB   j

2

S abs

1  L Pabs

0

 U I *  0  j LI2  0  ∙

Qabs

  LI  2

U

2

 L

0

U j  L

7.4.4 .Condensador Z

 R  jX   j

Y

1

 C

S abs

 U I *  0  j

 00

Qabs

2

∙

 G  jB  j C Pabs P abs

I



I

 L

 0  jU2 C

2

 C

  CU2  0

Dipolo pasivo genérico: Z  Z  Z

Dipolos pasivos (cargas) Como:

SIEMPRE  90º ≤ Z

y u

=



Z



+

≤

+ 90º Im

i

 = + 90º U

Im

Re

I

I

U

Re

U I

Tensión como origen de fases

 =  90º Intensidad como origen de fases

7.5. Factor de potencia

7.5. 7. 5.1 1 Defi Defini nici ción ón del factor de factor de potencia •

•

En general general,, en un dipolo dipolo, la pot potenc encia ia activa activa es men menor or que la potencia aparente

Factor de potencia como la relación: Se defin define e el Factor f .d.p. 

•

P S

En régimen est estacionario acionario sinusoidal:

f .d.p. 

P S



UI cos  UI

 cos


•

El ángulo  es es el ángulo entre la tensión compleja en bornes de un dipolo y la intensidad compleja que lo atraviesa. Si el dipolo es pasivo, este ángulo es el argumento de su impedancia equivalente. La tensión de trabajo de un generador es una magnitud esencialmente constante, y viene dada por el diseño de su aislamien aislamiento to y por el campo magnético admisible en su interior, mientras que su corriente máxima viene dada por la sección de sus conduc conductores. tores.


Así pues, la medida de la capacidad de un generador, que viene dada por su potencia aparente, es esencialmente constante. S

Q 1 S

1 2 P1 •

Q 2 P2

Dependiendo del factor de potencia con el que trabaje una instalación, ésta estará mejor o peor aprovechada.

7.5. 7. 5.1 1 Defi Defini nici ción ón del factor de factor de potencia cos = 1 S

cos = 0

Q

S P

Q=0 P=0

•

Observando los dos casos límite: (aprovechamient (aprovechamiento) o) –

–

En el caso de factor de potencia unidad, la potencia activa y la potencia aparente coinciden, con lo cual, la potencia reactiva consumida es cero. En el caso de factor de potencia igual a cero, la potencia reactiva y la potencia aparente coinciden, con lo que la potencia activa es nula

7.5.2. Efectos de un un fact factor or de de potencia bajo •

Para una misma potencia activa, a menor factor de potencia, mayor es la intensi intensidad dad que circula por las líneas. I

•

P U cos 

si P, U=ctes y cos  

 I

Este incremento Este incremento de la int intensi ensidad, dad, como consecuencia consecuencia de un factor de potencia bajo, lleva, entre otros efectos, a un aumento de pérdidas por efecto Joule en los conductores del generador y en las líneas de transporte de energía. Además, aumentan las caídas de tensión en dichas líneas de transporte.

7.5.2. Efectos de un un fact factor or de de potencia bajo •

•

Otro ef Otro efec ectto qu que e se pr prod oduc uce, e, a ca caus usa a de un fac acttor de potencia bajo, es la saturación de la capacidad de un sistema. Generador:

Supongamos el sist sistema: ema:

S  UImax  10000 VA

Rg+jXg + Eg

I

Imax

+

+

100 V

100 V

S = 10 kVA kVA Generación Transporte

Z P = 1 kW cos =0,1

Consumo



S U



10000 100

 100 A

Carga: P  UI cos   1000 W

I

Sistema saturado

P U cos



1000 100 0,1 ∙

 100 A

7.5.2. Efectos de un factor de potencia bajo •

El mismo sistema operando con mejor factor de potencia: Generador:

Rg+jXg +

S  UImax  10000 VA

+

+ 100 V

Eg

I

100 V

S = 10 kVA Generación Transporte

Z P = 1 kW cos =1 Consumo

«Sobran» 90 A –

Imax



S U



10000 100

 100 A

Carga: P  UI cos   1000 W

I

P U cos 



1000 100 1

 10 A

∙

En la primera situación, con un consumidor se alcanza la capacidad máxima del sistema. En el segundo caso es posible alimentar a más usuarios con el mismo sistema.

7.5.2. Efectos de un factor de potencia bajo •

Como se ha visto: –

–

•

•

Las pérdidas en los sistemas eléctricos (tanto en la generación como en el transporte) aumentan cuando se dan factores de potencia bajos. El aprovechamiento de las instalaciones generadoras y de transporte de energía eléctrica es mucho peor si se dan factores de potencia bajos.

El RETB (Reglamento Electrotécnico para Baja Tensión) obliga a que los receptores trabajen con un factor de potencia mayor de 0,9. Si el f.d.p. es menor, será necesario“compensar el factor de potencia” de una instalación.

7.5.3. Compensación del factor de potencia •

•

Dado que las líneas de transporte y la mayoría de receptores presentan carácter inductivo, es decir, absorben potencia reactiva, la compensación del factor de potencia se hace mediante la conexión, en paralelo con el receptor, de baterías de condensadores (elementos que ceden potencia reactiva sin consumir potencia activa). Esta conexión hace que la potencia reactiva total consumida por el sistema compensado sea menor que la potencia reactiva absorbida por el receptor trabajando aislado y, por lo tanto, que aumente el factor de potencia del conjunto. 1 + U 1’

C

Dipolo Receptor

7.5.3. Compensación del factor de potencia Dipolo:

1 + U

Absorbe P Absorbe Q

Dipolo Receptor

C

Conjunto: Absorbe la misma P

1’

Absorbe menos Q Condensador: No absorbe P Cede Q

•

La potencia reactiva que cede un condensador sometido a una tensión U vale: Qced

 XI 2 

U

2

X

  CU2


Al conectar una batería de condensadores en paralelo con un receptor que consume potencia reactiva, la nueva potencia reactiva que absorbe el conjunto será: Qabs total

•

•

 Qabs receptor  Qced condensador

Mientras que la potencia activa del conjunto permanecerá constante, ya que el condensador no absorbe potencia activa. Entonces: Qced condensador

 Qabs receptor  Qabs total


•

Representando esto en el triángulo de potencias:

El valor de la capacidad de la batería de condensadores requerida para pasar de factor de potencia cos a un factor de potencia cos ’ se calcula: Qced condensador

 Q  Q '  Ptg  Ptg '  P (tg  tg ')


Dado que la potencia reactiva que cede un condensador vale: Qced condensador

•

Entonces: CU 2

•

  CU2

 P(tg  tg ')

Con lo que: C 

P(tg  tg ')

 U 2

7.6. Teoremas relacionados con la potencia en RES

7.6.1. Teorema de Boucherot •

En todo circuito alimentado por fuentes sinusoidales de la misma pulsación, se conservan, de manera independiente, la potencia activa y la potencia reactiva.

 

Pabs

0

algebraica

Qabs

0

S

abs

=0

algebraica

Atención:

  Pabs  j  Qabs 0

S

abs

0 

=0

S

abs

0

7.6.2. Teorema de la máxima transferencia de potencia •

De entre las infinitas cargas que pueden conectarse en bornes de un dipolo activo alimentado por fuentes sinusoidales, absorberá la máxima potencia activa la carga para la que se cumpla que el valor de su impedancia compleja sea igual al conjugado de la impedancia compleja del equivalente Thévenin del dipolo al cual se conecta. Zeq

1

Dipolo activo

Z 1’



Z absorbe la máx P si:

1

+

Z

U0

Equivalente Thevenin

1’

Z

 Z *eq *

donde: Z eq

 Req  jX eq


•

En muchas aplicaciones es importante lograr la máxima transferencia de potencia entre el circuito y la carga que alimenta. En otras no se busca esta transferencia máxima, ya que, cuando se da, el rendimiento del circuito es del 50%. (Ejemplo: Transporte de energía eléctrica)

Zeq=Req+ jXeq 1

+

Z=Req jXeq

U0

 Z eq  Z  Req  jX eq  R eq  jX eq  2R eq

Z T

I

I

U0 Z T



U0

2R eq

2



PabsZ

I

2

∙

Re q



2

U0

4R

2 eq

Re q



U0

4Re q

2

U0

1’

Pced fuente

I

2

2 0 2 eq

U

R  R   4R

∙

eq

eq

2Re q



2 0

U

2R e q

 

PabsZ Pced fuente



4Re q 2

U0

2R e q

 0,5


De entre las infinitas resistencias que pueden conectarse en bornes de un dipolo activo alimentado por fuentes sinusoidales, absorberá la máxima potencia activa la resistencia para la que se cumpla que su valor sea igual al módulo de la impedancia compleja del equivalente Thévenin del dipolo al cual se conecta. Zeq

1

Dipolo activo

R 1’



R absorbe la máx P si:

1

+

U0

Equivalente Thevenin

R 1’

R  Z eq donde: Z eq



R eq  X eq 2

2

7.7. Medida de la potencia

7.7. Medida de la potencia •

Potencia aparente: –

Si se conoce el valor eficaz de la tensión en bornes de un elemento, y el valor eficaz de la intensidad que circula por él, se puede conocer la potencia aparente, ya que:

S U I ∙

•

Potencia activa: –

–

El instrumento utilizado para la medida de la potencia activa se denomina Vatímetro. Dado que:

P  U I cos  ∙

∙

7.7. Medida de la potencia –

–

–

Un vatímetro ha de medir la tensión eficaz, la intensidad eficaz y el coseno del ángulo de desfase entre estas dos magnitudes. Para ello, este equipo consta de un elemento que mide la tensión, llamado bobina voltimétrica y que se conecta en paralelo con la tensión que se desea medir; y un elemento encargado de medir la intensidad, denominado bobina amperímetrica y que se coloca en serie con la intensidad a medir. El producto de estas tres magnitudes da como resultado la medida de la potencia activa que absorbe la parte del circuito que se encuentra «aguas abajo» del punto de conexión del vatímetro.

7.7. Medida de la potencia –

El símbolo empleado para el vatímetro es: Bobina voltimétrica W

W Bobina amperimétrica

•

Potencia reactiva: –

–

El instrumento utilizado para la medida de la potencia reactiva se denomina Varímetro. Su principio de funcionamiento es el mismo que el del vatímetro, pero utilizando el seno del ángulo de desfase entre tensión e intensidad

var

Referencias •

•

•

PARRA, V. M.; ORTEGA, J.; PASTOR, A.; PEREZ, A.: “Teoría de Circuitos (Tomo I)” . Universidad Nacional de Educación a Distancia (UNED). BAYOD, A.A.; BERNAL, J.L.; DOMINGUEZ, J.A.; GARCIA GARCIA, M.A.; LLOMBART, A.; YUSTA, J.M.: “Análisis de circuitos eléctricos I”. Colección Textos Docentes, vol. 58. Prensas Universitarias de Zaragoza. BAYOD, A.A.: “Circuitos monofásicos en régimen estacionario senoidal”. Colección Textos Docentes, vol. 107. Prensas Universitarias de Zaragoza.

Tema 8 Sistemas trifásicos equilibrados

Índice Tema 8.‐ Sistemas trifásicos equilibrados. 8.1. Introducción. 8.2. Generación de un sistema trifásico. 8.3. Conexiones en estrella y en triángulo. ‐

‐

‐

8.3.1. Conexión en estrella (Y). 8.3.2. Conexión en triángulo (D). ‐

‐

8.4. Conexión de sistemas trifásicos. ‐

8.4.1. 8.4.2. 8.4.3. 8.4.4.

‐

‐

‐

‐

Sistema estrella estrella. Sistema triángulo triángulo. Sistema estrella triángulo. Sistema triángulo estrella. ‐

‐

‐

‐

8.5. Tensiones e intensidades en sistemas trifásicos. ‐

8.5.1. 8.5.2. 8.5.3. 8.5.4.

‐

‐

‐

‐

Tensión de línea o compuesta. Intensidad de línea. Tensión de fase o simple. Intensidad de fase.

8.6. Sistemas trifásicos equilibrados. ‐

8.6.1. 8.6.2. 8.6.3. 8.6.4.

‐

‐

‐

‐

Relación entre magnitudes de línea y fase. Equivalentes monofásicos. Equivalencia de cargas. Potencia en sistemas trifásicos equilibrados.

8.1. Introducción


•

Los sistemas trifásicos son los más habitualmente empleados en la generación, el transporte y la distribución de la energía eléctrica. Esto es debido a que los sistemas trifásicos presentan notables ventajas sobre los monofásicos. Entre estas ventajas se pueden citar: –

–

–

–

Para transportar una determinada energía a una determinada tensión, con unas determinadas pérdidas, es más económico el sistema trifásico ya que supone un ahorro de “cobre” del 25% La potencia instantánea es constante. Esto se refleja en un par totalmente uniforme en los motores trifásicos, y las consiguientes menores vibraciones Los motores trifásicos pueden arrancar por sí mismos, mientras que los monofásicos precisan sistemas de arranque especiales Los sistemas trifásicos son capaces de generar campos magnéticos giratorios


•

Las instalaciones de pequeña potencia (por ejemplo las instalaciones domésticas) son monofásicas, pero no se tratan más que de una derivación de un sistema trifásico. Para conocer y estudiar el funcionamiento de los sistemas eléctricos de potencia se hace necesario entonces conocer el análisis de los circuitos trifásicos. No obstante, hay que tener en cuenta que: –

–

Las técnicas de análisis vistas en el caso de circuitos monofásicos son aplicables directamente a sistemas trifásicos. En muchas ocasiones, el análisis de los sistemas trifásicos se efectúa mediante su reducción a sistemas monofásicos equivalentes, cuyo estudio ya se ha visto.

8.1. Introducción

8.1. Introducción

8.1. Introducción

8.1. Introducción

8.1. Introducción

Transporte

Distribución

8.1. Introducción

Distribución en baja tensión

8.2. Generación de un sistema trifásico

8.2. •

Generación de un sistema trifásico

Como se ha visto: N

a

S



2

uaa'(t) 1

N



S

B a’

0 0 -1 -2

2

4

6

t

8.2.

Generación de un sistema trifásico uaa'(t)

2 1 0 -1

0

2

4

t

6

-2



c’

a

120º

1

b

N

S

b’

B c

a’

ubb'(t)

2

0 -1

0

1

2

3

4

5

6

3

4

5

6

t

-2

ucc'(t)

2 1 0 -1 -2

0

1

2

t

8.2.

Generación de un sistema trifásico 1,5 1 0,5 0 -0,5

0

1

2

3

4

5

6 uaa'(t)

-1

ubb'(t)

-1,5

ucc'(t)

uaa' (t)  U0sen( t) 2   ubb' (t)  U0 sen   t  3  

Ucc' 120º

Uaa'

‐

 

ucc' (t)  U0sen   t 

120º

4 

2    U0sen   t    3  3  

120º

Ubb'

8.2.

Generación de un sistema trifásico

Se dispone de tres fuentes reales de tensión con la misma amplitud y desfasadas 120º entre sí ‐

‐

Fase: cada una de las partes de un circuito trifásico donde se genera, se transporta o se utiliza cada una de las tensiones del sistema Secuencia de fases: orden en el que se suceden los valores máximos de las tensiones en las fases abc: secuencia directa acb: secuencia inversa

8.2.

Generación de un sistema trifásico Secuencia directa

Ucc' Uaa'

c’

a



b N

Ubb'

S

B

b’ c

Uaa'  U 0º

Ubb'  U 120º Ucc'  U 240º  U 120º

a’

8.2.

Generación de un sistema trifásico Secuencia inversa

Ubb' 

Uaa'

a

b’ c

N

Ucc'

S

B

c’ b

Uaa'  U 0º

Ubb'  U 240º  U 120º Ucc'  U 120º

a’

8.3. Conexiones en estrella ( Y ) y en triángulo( )

8.3.1. Conexión en estrella Zga

Fase a

ZLa

a

a

+

Za

Ega ZLa Zgb

a’

a’ b

ZLb

b

+

Fase b

Egb n

Zgc

b’ c

ZLn ZLb ZLc

Zb n’ b’ c

+

Fase c

Zc

Egc ZLc c’

c’

8.3.1. Conexión en estrella •

Se unen entre sí uno de los terminales de cada una de las fases (punto neutro de la estrella) a

Ega

a’ b’

Egb

+

+

Zga

Zgb

a

Zga +

Ega

b

c’ n

Egc

Egc +

Zgc

c

Zgc

n n a’ c’ b’

Egb Zgb b

n

Generador en estrella

c

8.3.1. Conexión en estrella

a a

Za

Za n’

b

Zb

a’ n’ b’ c’

Zc

c

b c

n

Carga en estrella

Zb

Zc

a’ n b’ c’

8.3.2. Conexión en triángulo Zga

Fase a

a

ZLa

a

+

Za

Ega ZLa Zgb

a’ b

ZLb

a’ b

+

Fase b

Zb

Egb ZLb Zgc

b’ c

ZLc

b’ c

+

Fase c

Zc

Egc ZLc c’

c’

8.3.2. Conexión en triángulo •

Se unen el terminal “final” de una fase con el terminal “comienzo” de la siguiente: a c’

Zgc

a’ Ega

a

Egc

b’ Egb

Ega

b

+

Zgb a’

+ b’

a

Zga

Zga

Egb

c

+

Zgb

b

b

c’ Egc

c

Generador en triángulo

+

c

Zgc

8.3.2. Conexión en triángulo

a

a

a

a

c’

a

c’

Za

Za Zc

Za

b

a’ b c

b

a’

Zb

c

a’ b

Zc

b

Zb

c

Zc

b’

Zb

b’ c

b’ c

Carga en triángulo

c’

8.4. Conexión de sistemas trifásicos

8.4.1. Sistema estrella ‐ estrella •

Sistema Y Y ‐

ZLa a

a’’

Zga Za +

Ega Egc Zgc

Znn’

n

Egb

n’

Zb

Zgb b c

ZLb ZLc

b’’ c’’

Zc

8.4.2. Sistema triángulo ‐ triángulo •

Sistema   ‐

ZLa

a

Egc

a’’

Zga Za

Zgc

Zc

Ega b

+

Egb

Zgb c

ZLb ZLc

b’’

c’’

Zb

8.4.3. Sistema estrella ‐ triángulo •

Sistema Y  ‐

a

ZLa

a’’

Zga +

Ega Egc Zgc

Za

n

Egb

Zgb

ZLb

b’’

b c

ZLc

c’’

Zc

Zb

8.4.4. Sistema triángulo ‐ estrella •

Sistema  Y ‐

ZLa

a

Egc

a’’

Zga Za

Zgc

Ega b

+

Egb

Zb

Zgb c

ZLb ZLc

b’’

c’’

n’

Zc

8.5. Tensiones e intensidades en sistemas trifásicos

8.5.1. Tensión de línea o tensión compuesta •

Tensión entre dos conductores de línea. a’

a +

+

Zga +

Uab

Ega Egc Zgc

Uc’a’

Ua’b’ Za

Uca

n

Egb

Zgb

Zc

Zb

b

b’ +

+

Ub’c’

Ubc +

c

+

c’

8.5.2. Intensidad de línea •

Intensidad que circula por cada uno de los conductores de la línea de conexión entre generación y carga. Ia

a

Ia’

a’

Zga +

Ega Egc Zgc

Za

n

Egb

Zgb Ib b

Ic

b’

Ib’

Ic’ c

c’

Zc

Zb

8.5.3. Tensión de fase o tensión simple •

Tensión en bornes de cada una de las fases, ya sea de la generación o de la carga a

a’

+ +

Zga

Uca Egc +

Zgc Egb +

Ua’n’

Uab Ega

Zgb

b’ +

Ubc

+

n’

Zb b c

c’

Za

Zc Ub’n’

Uc’n’

+

8.5.4. Intensidad de fase •

Intensidad que circula por cada fuente de la generación o por cada impedancia de la carga. a

a’ Ia’n’

Iab Zga

Za

Egc

Ica

Zgc Egb +

Ega Zgb

Zb b

b’

c

c’

Ibc

Ib’n’

n’ Zc Ic’n’

8.5.

Tensiones e intensidades a’

a

Uca

+

Zga

Ia’n’

+

+

Uab

Ia’n’

Uab

Za

Egc Zgc Egb +

Uca

Ega Zgb Ubc

b’ Ib’n’

b +

Ubc

Zb Ib’n’

n’ Zc Ic’n’

+

+

c’

Ic’n’

c

En una conexión en triángulo, las tensiones de línea coinciden con las tensiones de fase.

En una conexión en estrella, las intensidades de línea coinciden con las intensidades de fase.

8.6. Sistemas trifásicos equilibrados

8.6. •

Sistemas trifásicos equilibrados

Sistema equilibrado: Cuando son iguales las impedancias en cada de las fases que componen las cargas, son iguales las impedancias internas de las fuentes que representan cada fase de la generación y son iguales las impedancias de las tres líneas que unen generación y carga, y las fuentes de tensión que representan la generación tienen el mismo valor eficaz y están defasadas 120º.

8.6.

Sistemas trifásicos equilibrados

Ejemplo de sistema equilibrado ZL a

Zg

Ega  Egb  E gc  Eg +

Zg

Z

Egb  Ega  1 120º

Ega Egc

a’

∙

n

Egc  Ega  1 120º

Egb

n’

∙

Zg b c

ZL ZL

b’ c’

Z

Z

8.6.1. Relación entre magnitudes de línea y de fase Relación entre tensiones de línea y tensiones de fase

•

Suponiendo sist. eq. secuencia directa: a

U an  UF 0º  origen de fases U bn  UF 120º U cn  UF 120º

+ +

Uab

Uan

Uca

Za

Por 2ª LK:

n

Zb

Zc

b +

Ubn

+

Ucn

Uab  U an  U bn  UF 1 0º  1 120º   3  UF 1 30º 

+

Ubc +

Uab  Uan  U bn U bc  U bn  U cn U ca  U cn  U an

Esto es: Si Uab  Ubc  Uca  UL

Uab  UL  3  UF

c

Las tensiones de línea adelantan 30 º Secuencia directa

a las tensiones de fase correspondientes

8.6.1. Relación entre magnitudes de línea y de fase Secuencia directa: Uan, Ubn, Ucn En triángulo, las tensiones de línea coinciden con las tensiones de fase

U ab  U an  U bn Uab

Ubn

Ucn 30º 120º

60º

120º

Uan 120º

Ubn

Comprobar que en sist. trifásicos equilibrados de secuencia inversa:

Uab adelanta 30º a Uan Comprobar que: Ubc adelanta 30º a Ubn Uca adelanta 30º a Ucn

Uab  UL  3  UF

Las tensiones de línea retrasan 30º respecto de las tensiones de fase correspondientes.

8.6.1. Relación entre magnitudes de línea y de fase Relación entre intensidades de línea e intens. de fase

•

a

Suponiendo sist. eq. secuencia directa:

Ia

I ab  IF 0º  origen de fases I bc  IF 120º I ca  IF 120º

Iab Za

Zc Por 1ª LK:

b

Ib

Ibc

Zb

Ica

I a  I ab  I ca  IF  1 0º  1 120º   3  IF 1 30º  Esto es:

Ic

I a  I ab  I ca I b  I bc  I ab I c  I ca  I bc

Si Ia  Ib  Ic  IL

Ia  IL  3  IF

c

Secuencia directa

Las intensidades de línea restrasan 30 º a las intensidades de fase correspondientes

8.6.1. Relación entre magnitudes de línea y de fase Secuencia directa: Iab, Ibc, Ica En estrella, las intensidades de línea coinciden con las intensidades de fase

I a  I ab  I ca Ica Iab 30º

120º

120º

60º 120º

Ibc

Ica Ia Ia retrasa 30º a Iab Comprobar que: Ib retrasa 30º a Ibc Ic adelanta 30º a Ica

Comprobar que en sist. trifásicos equilibrados de secuencia inversa:

Ia  IL  3  IF Las intensidades de línea adelantan 30º respecto de las intensidades de fase correspondientes.

8.6.2. Equivalentes monofásicos •

Equivalente Y ‐Y Ia

ZL

a

a’

Zg Z +

Ega Egc Zg

ZN

Inn’

n

Egb

n’

Z

Zg b c

Ib

ZL

Ic

ZL

b’ c’

Z

8.6.2. Equivalentes monofásicos E ga  Z g I a  Z L I a  Z I a  Z N I nn '   Z g  Z L  Z I a  Z N I nn ' ∙

∙

∙

E gb  Z g I b  Z L I b  Z I b  Z N I nn '   Z g  Z L  Z I b  Z N I nn ' ∙

∙

∙

E gc  Z g I c  Z L I c  Z I c  Z N I nn '   Z g  Z L  Z I c  Z N I nn ' ∙

∙

Egc

Ega

Ega

∙

E ga  E gb  E gc   Z g  Z L  Z   Ia  Ib  Ic   3Z N Inn '

0

Egb

E ga  E gb  E gc  0

Como: I nn '   I a  I b  I c 

 Z g  Z L  Z  3Z N   I a  I b  I c   0

Sumando

  I a  I b  I c   0  I nn'  0  U nn'  0

Esto es: En un sistema trifásico equilibrado Y Y, los neutros de las estrellas siempre están a la misma tensión. ‐

Si esto es así, podemos unir dichos neutros mediante un cortocircuito, tal y como se ve en el esquema siguiente:

8.6.2. Equivalentes monofásicos •

Equivalente Y ‐Y

Ia

ZL

a

a’

a

Zg

Z +

Ega n

Egc Zg

n’

Egb

Zg

Z

b b

c

c

Ib

ZL

Ic

ZL

b’ c’

Aplicando la 2ªLK a las trayectorias indicadas en la figura, se tiene que:

Z

8.6.2. Equivalentes monofásicos a

Ia 

E ga  Z g  Z L  Z 

b Ib 

E gb  Z g  Z L  Z 

c

Ic 

E gc  Z g  Z L  Z 

Intensidades que también se obtienen si se analizan los tres circuitos monofásicos: Ia

a

ZL

Ib

a’

Z

Ic

b’

+

n’

c

ZL

c’

Zg Z

Z

+

Egc

Egb

Ega n

ZL

Zg

Zg +

b

n

n’

n’

n

Equivalentes monofásicos de un sistema Y Y ‐

Basta con analizar uno los equivalentes para obtener las tensiones e intensidades para el resto de las fases. Sólo habrá que tener en cuenta que estas tensiones e intensidades serán fasores desfasados 120º respecto de las calculadas sobre el equivalente elegido.

8.6.3. Equivalencia de cargas •

Equivalencia estrella‐triángulo a

a

Z D  3Z Y ZY

n

ZY

ZY

Z Y 

ZD

Z D 3 b

b c c

ZD

ZD


Cargas en estrella en paralelo Z1

a

Z1 a

Z1

b

Z1

c

n

Z2 b Z2 c

Z2

Z2 n’

Z2

Z1

Z2

Z1

n n’


Cargas en triángulo en paralelo a

a Z1

b

Z1 Z1 Z1

c

b

c Z2

Z1 Z1

Z2

Z2

Z2

Z2

Z2

8.6.4. Potencia en sistemas trifásicos equilibrados •

Sea un sistema trifásico equilibrado: a b

Carga Trifásica

c

–

La potencia activa absorbida por una fase vale:

PF  UF IF cos ∙

–

Como el sistema es equilibrado, la potencia absorbida por las 3 fases vale:

PT  3PF  3UF IF cos  ∙

8.6.4. Potencia en sistemas trifásicos equilibrados –

Dado que en una carga conectada en estrella se cumple: U F 

UL

3

I L  I F –

Y si la carga está conectada en triángulo se cumple: UF  UL I I F  L

3

–

Entonces, en ambos casos:

UF IF 

1

∙

UL IL ∙

3


–

–

Y entonces se tiene: PT 

3 U L I L c o s 

QT 

3 U L I L s e n 

En los sistemas trifásicos, si se habla de tensión o intensidad y no se indica nada más, se hace referencia, de forma implícita, a magnitudes de línea. Entonces: PT 

3 U I c o s 

Q T 

3 U I s e n 

Atención: U e I son magnitudes de línea, pero: 

 U F , I F




Dado que la potencia compleja vale:

S T  PT  jQ T –

Entonces:

S T  PT  jQ T  –

3 U I  c o s   js e n  

Por lo que la potencia aparente trifásica vale:

S T 

3U I

ST Q T 

Triángulo de potencias trifásicas



 U F , I F



PT



ELECTROTÉCNIA. Academia Militar Zaragoza

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