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ESFUERZO EN EL SUELO Sabemos de los principios de mecánica que el esfuerzo se define fuerza aplicada sobre área: d = dF / dA. En suelos esta aplicación es distinta a la de los otros materiales, puesto que el suelo no es homogéneo, sino que es un sistema de partículas donde se encuentran presentes las tres fases de la materia: sólido, liquido y gaseoso. Los
sólidos son relativamente incompresibles y soportan esfuerzos cortantes estáticos. El agua es incompresible y no tiene resistencia al corte. El aire es compresible, y no tiene resistencia al corte .
Cada una de estas fases va a reaccionar de manera distinta ante las solicitaciones externas, es por eso, que debe determinarse la distribución de esfuerzos entre las fases para poder establecer el efecto del esfuerzo en la masa.
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ESFUERZO EFECTIVO Es el esfuerzo que se produce en los contactos entre partículas de suelo, y se denota como: ´= Pi .
Ac
Considerando una masa de suelo que contiene particulas de diferentes tamaños y formas, con poros o espacios vacios entre dichas particulas, los cuales no contienen agua, es decir ,la muestra está seca. Sobre el área A de la sección transversal de la muestra se encuentra actuando una carga Q.
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El esfuerzo no se distribuye uniformemente en toda la masa de suelo, sino que tiene un valor máximo en los puntos de contacto y disminuye dentro de cada partícula. Donde: P = Fuerza aplicada. A = Area de la sección transversal de la masa de suelo. de aplicada contactoen entre partículas. Ac Pi == Area Fuerza los las contactos.
Para determinar el valor del esfuerzo efectivo se tendrían que medir tanto las fuerzas que corresponden a cada contacto como el área de contacto en cada uno de los puntos donde se encuentran aplicadas dichas fuerzas. Esto fisicamente resulta imposible, por lo que estos esfuerzos no pueden ser determinados directamente, sino que se calculan por medio de otros parámetros, que si pueden ser medidos, como la presión de poros.
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PRESION DE POROS Es la presión que ejerce el agua sobre los espacios vacíos del suelo. Es un perpendicularmente esfuerzo de compresión, puestolasque el agua noSe tiene componente actúa y en todas direcciones. denota por . de corte, y El área sobre la que actúa la presión de poros es el área de vacíos, la cual se puede calcular como la diferencia entre el área total de la masa de suelo (A) y las áreas de contacto entre las partículas (Ac). O sea: Av = A - Ac. Para obtener la fuerza actuante sobre los poros, se debe multiplicar la presión de poros por el área donde actúan: U = * Av
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La fuerza soportada por el esqueleto mineral del suelo, es la sumatoria de todas las fuerzas, aplicadas en cada uno de los contactos: P´ = ∑ Pi La fuerza total aplicada a la masa de suelos es la suma de lo que soporta el esqueleto mineral del suelo, más lo que soportan los poros del suelo: P = P´ + U Como U = * Av = * (A - Ac), entonces P = P´ + Av * = P´ + (A - Ac) * Para calcular los esfuerzos actuantes, se dividen ambos lados de la expresión anterior entre el área de la masa A: P = P´ + (A - Ac) * y = P A A A A .
Sustituyendo: = ´ + (A - Ac) * y llamamos a la relación Ac = a A A Entonces: = ´ + A - a * = ´ + ( 1 - a )* A http://slide pdf.c om/re a de r/full/e sfue rz o-e n-e l-sue lo
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Como: = ´ + ( 1 - a ) *
y
a = Ac A .
El valor a es despreciable, puesto que las áreas de contacto son muy pequeñas si se les compara con el área total A de la masa de suelo. La expresión se transforma en: = ´ + ( 1 - 0 ) * = ´ +
´ = - La expresión presenta al esfuerzo efectivo en función de dos variables: el esfuerzo total y la presión de poros. Ambos pueden ser medidos o estimados si se conocen la densidad del suelo, el espesor de los estratos y la ubicación del nivel freático. Esta expresión fue propuesta por Terzaghi en la década de los 20. http://slide pdf.c om/re a de r/full/e sfue rz o-e n-e l-sue lo
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Donde: P = Fuerza total aplicada a la masa de suelo. P'= Fuerza aplicada en los contactos, o carga soportada por el esqueleto mineral. A = Área transversal de la masa de suelo. Ac = Área de contacto entre las partículas. Av = Área de vacíos. = Presión de poros = Esfuerzo total ' = Esfuerzo Efectivo El principio de esfuerzo efectivo, es el concepto más importante en la mecánica de suelos, ya que ha permitido analizar científicamente la deformación y resistencia de los suelos.
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ESFUERZO TOTAL Es generado por el peso de la masa de suelo, peso del agua y estructuras sobre el mismo actuando por efecto de gravedad, es decir, es el peso del suelo y todo lo que este encima del punto evaluado. Se calcula en un punto determinado, multiplicando el espesor del estrato por el peso unitario del suelo. = * Z Si son varios estratos se calcula por separado el peso de cada estrato y luego se suman: = ∑i n i * Zi La presión de poros para en condiciones hidrostáticas se calcula de modo similar: multiplicando la densidad del agua por la profundidad del punto en cuestión Zw. = w * Zw http://slide pdf.c om/re a de r/full/e sfue rz o-e n-e l-sue lo
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CÁLCULO DE ESFUERZOS EN
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CONDICIÓN HIDROSTÁTICA Una masa de suelo esta en condición hidrostática cuando esta en reposo y al colocar piezómetros en diferentes puntos y a diferentes profundidades, en cualquier punto el agua se eleva hasta el mismo nivel piezométrico, es decir, el nivel freático.
= w * Zw http://slide pdf.c om/re a de r/full/e sfue rz o-e n-e l-sue lo
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Para aplicar la relación entre el esfuerzo efectivo y la presión de poros , se supone que hidrostáticas el suelo se encuentra totalmente sumergido y que el agua está en condiciones (no se mueve). = ´ + sat * Z = ´ + w * Z ´ = sat * Z - w * Z = (sat - w) * Z = ´* Z
Donde: sat - w = ´, es el peso sumergido. En condición saturada de del contacto en una magnitud igual alalapresión flotación agua. es menor que en condición húmeda, Ya que condición saturada la presión de poros es mayor, entonces ´ = - . mientras que en condición húmeda ´ = donde la presión de poros es menor que en condición saturada. http://slide pdf.c om/re a de r/full/e sfue rz o-e n-e l-sue lo
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Perfiles comunes de esfuerzos totales, efectivos y presiones de poros.
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Esfuerzo Total (σ)
Presion de Poros (u)
Esfuerzo Efectivo (σ’)
A γ’ = γsat- γw
γsat Z
Z* γsat
Z* γw
Z* γ’
B Agua
Suelo Saturado
γw
Z1
Z1* γw Z1* γw
γsat Z2 Z1* γw+Z2* γsat
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(Z1+Z2)* γw
Z2*( γsat- γw)
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Esfuerzo Total (σ)
Presion de Poros (u)
Esfuerzo Efectivo (σ’)
Edificio 2
C Suelo Humedo
γh
Suelo Saturado
γsat Z2
Z1* γh
Z1
Z1* γh
Z1* γh+Z2* γsat
Z2* γw
Z1* γh+Z2* γ’
D Suelo Saturado Suelo Saturado Suelo Saturado
γsat1
Z1
Z1* γw Z2* γsat2
γsat2
Z2* γ’ 2 Z2* γw
Z2 Z3* γsat3
γsat3
Z3
Z3* γ’ 3 Z3* γw
Σni=1 Zi* γsati
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Z1* γ’ 1
Z1* γsat1
Σni=1 Zi* γw
Σni=1 Zi* γ’
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EJERCICIO: Dado el siguiente perfil, determinar el diagrama de esfuerzos totales, presion de poros y esfuerzos efectivos.
1 2
2m
h1 = 1,75 T/m3
D10 (1) = 0,030 cm h2 = 1,90 T/m3
SAT2 = 2,05 T/m3
2m
D
3
3m
10 (2)
= 0,015 cm
SAT3 = 2,00 T/m3
D10 (3) = 0,05 cm
4
3m SAT4 = 2,08 T/m3
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EJERCICIO: Dado el siguiente perfil, determinar el diagrama de esfuerzos totales, presion de poros y esfuerzos efectivos. dMax.= 2,1 T/m 3
GC = 95
%
w = 9
%
9 m
h1 = 1,82 T/m3
1
6m
SAT1 = 1,95 T/m3
D
= 0,030 mm
10 (1)
h2 = 1,85 T/m3
2
5m SAT2 = 2,00 T/m3
D
10 (2)
3
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4m
= 0,05 mm
SAT3 = 2,10 T/m3
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CÁLCULO DE ESFUERZOS EN
CONDICIÓN HIDRODINÁMICA La condición hidrodinámica de los suelos ocurre cuando el agua gravitacional que está en estado de reposo, es sometida a un gradiente hidráulico lo que origina un aumento en la presión del líquido y esto se transforma en energía cinética transfiriéndole movimiento a través del suelo.
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Si en dos puntos diferentes de una misma masa continua de agua hay cantidades diferentes de energía, es decir, no se alcanza el mismo nivel piezométrico, se producirá un movimiento de las partículas de agua hacia los puntos de menos energía, para tratar de equilibrar la Esfue rz o e n El Sue lo - slide pdf.c om
diferencia; y la diferencia carga se gasta en el trabajo el agua. Se presentan en estosdegráficos algunos casos de flujodedemover agua en diferentes direcciones y sentidos.
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h es la altura que asciende el agua en un pequeño tubo con respecto a un plano de referencia arbitrario. Esta altura es conocida como carga piezométrica y es una medida de la energía que tiene el agua. La energía del agua viene dada por la suma de la energía potencial (elevación), la energía de presión y la energía cinética (velocidad). p h Z w
V
2
2* g
Z = Elevación sobre un Datum arbitrario. P = Carga de Presión.,
w V2 = Carga de Velocidad.
2*g
En los suelos el flujo es laminar, y como la velocidad es muy pequeña se considera valor tiende a cero, por tanto, la ecuación anterior puede expresarse que comosusigue: p h Z
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w
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GRADIENTE HIDRÁULICO Es la pérdida o disipación de altura hidráulica por unidad de longitud, medida en la dirección en que ocurre el flujo.
i = Dh . L Donde: i = Gradiente hidráulico = Dh/L (adimensional) Dh = Pérdida de carga. L = Longitud de recorrido del flujo.
La ley de Darcy expresa la perdida de carga Dh que se requiere para mover el agua a través del suelo una distancia L con un gasto q, es decir: Dh = q * L k*A Siempre y cuando el flujo sea laminar, que es el caso corriente de los suelos, a excepción de las gravas gruesas. http://slide pdf.c om/re a de r/full/e sfue rz o-e n-e l-sue lo
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El valor Dh es la pérdida de energía causada por la viscosidad, la fricción y los efectos de inerciaymientras poros irregulares rugosos.el agua va circulando a través de los canales de los Cuando hay flujo las presiones de poros tienen un comportamiento diferente debido a la presión de filtración que se produce por la fricción entre el agua en movimiento y las paredes de los vacíos del suelo. La presión de poros en este caso será la combinación de la presión de poros hidrostática y la presión de filtración, tal como se presenta en la siguiente expresión: = Dh Df
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La presión de filtración actúa en la misma dirección y sentido del flujo del agua, numéricamente es igual por el ypeso unitario del agua. al producto de la perdida de carga hidráulica
Df = Dh * w
El agua puede moverse en distintos sentidos y direcciones. En esta parte del tema se analizará el comportamiento del suelo cuando el movimiento del agua se da en dirección vertical.
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FLUJO DESCENDENTE Cuando flujolasespresiones descendente las presiones de poros se calculan como de la diferenciaelentre de poros en condición hidrostática y la presión filtración. = Dh - Df
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Dh
varia linealmente con el espesor del estrato de suelo, lo cual puede ser demostrado de la siguiente manera:
Donde: Dh = Pérdida de carga. L = Espesor del Estrato. i = Gradiente hidráulico = Constante
i = Dh Dh = i * L L Perdida de carga en L = 0 Dh(0) = i * L = Dh * 0 = 0 H Perdida de carga en L = H/2 Dh(H/2) = i * L = Dh * H = Dh H 2 2 Perdida de carga en L = H
Dh(H)
.
= i * L = Dh * H = Dh H
Quedando demostrado que la variación es lineal y se puede expresar la presión de filtración en función del gradiente hidráulico por medio de la siguiente expresión, mencionada anteriormente: Df = Dh * w = i * L * w “El
gradiente hidráulico es la pendiente de las alturas piezometricas, y la perdida de energía uniforme es
debida a que el suelo se supone homogéneo e isótropo” http://slide pdf.c om/re a de r/full/e sfue rz o-e n-e l-sue lo
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En cuanto a los esfuerzos efectivos tenemos: ´ = - = Dh - Df y ´ = - (Dh - Df ) = - Dh + Df ´h = - Dh
´ =
´h + Df
Lo cualproporción evidencia que que laenpresión flujo descendente, se incrementan en la misma de filtración,los y elesfuerzos diagramaefectivos de esfuerzos totales, presiones de poros y esfuerzos efectivos queda asi:
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FLUJO ASCENDENTE El flujo es ascendente cuando la altura piezométrica en el punto inferior es mayor que en el punto superior. Las presiones de poros en este caso se calculan como la suma de las presiones de poros en condición hidrostática y la presión de filtración. = Dh + Df
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En cuanto a los esfuerzos efectivos tenemos: ´ = - = Dh + Df y ´ = - (Dh + Df ) = - Dh - Df ´h = - Dh
´ =
´h - Df
Lo cual indica quepresión para flujo ascendente esfuerzos en igual proporción que la de filtración, y ellosdiagrama de efectivos esfuerzos disminuyen totales, presiones de poros y esfuerzos efectivos queda asi:
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¿Que tiende a ocurrir cuando el flujo es Ascendente? Cuando flujo eslos ascendente, fricción y las paredes de los vacíos tiende a ellevantar granos delasuelo. El entre valor eldeagua la presión de filtración puede crecer tanto que los esfuerzos efectivos se hacen cero. La resistencia al corte de un suelo granular es directamente proporcional a los esfuerzos efectivos; por lo que, cuando estos se igualan a cero el suelo pierde su resistencia al corte y se produce lo que se conoce como ebullición del suelo granular. Este fenómeno de ebullición está limitado a los suelos sin cohesión y se conoce con el nombre de Licuefacción.
´
´
Δ
= h - f
Fenómeno típico de suelos granulares, cuando pierden resistencia al corte y se produce una separación entre las partículas que hace ´ = 0
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En estos casos en que los esfuerzos efectivos se hacen cero, la presión de filtración se iguala al peso del suelo. ´ = 0
´ h - Δf = 0
H * ´ – Dh * w 0
H * ´ = Dh * w
Dh
H Como Dh = i
ic = ´
= ´ . w
.
w ic será el Gradiente Hidráulico Crítico, y lo definiremos, como el gradiente al cual se produce la ebullición del suelo.
H
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En función de la Gravedad Específica de los Solidos (Gs) y la Relación de Vacíos (e) desarrollaremos una expresión para el ic.
ic = ´ ´ = sat - w sat = Gs + e * w . w .
1+e ´ = Gs + e * w – w = w * Gs + e - 1
ic = Gs - 1
.
1+e
1+e
1+e
Las relaciones de vacíos de la gran mayoría de las arenas están comprendidas entre 0,3 y 1,2. Por otro lado, la gravedad específica de estos suelos oscila entre 2,65 y 2,70. Si se aplica la formula en esos intervalos se tiene que: Para e = 0,3 Para e = 1,2
Gs = 2,65 Gs = 2,70 Gs = 2,65 Gs = 2,70
ic = 1,27 ic = 1,31 ic = 0,75 ic = 0,77
“Según estos resultados, en un deposito de arena, para cualquier Gs practico, se pueden encontrar valores de ic entre 0,75 y 1,31. De modo, que es importante resaltar que los valores de gradiente hidráulico critico en arenas están cercanos a la unidad ”. http://slide pdf.c om/re a de r/full/e sfue rz o-e n-e l-sue lo
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Como se produce la licuefacción con las sacudidas sísmicas fuertes:
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Edificios de estructura de hormigón armado con cerramientos y particiones interiores de fábrica, dañados por el terremoto de Nigata, Japón; 16 de Junio de 1964; magnitud Richter 7,5
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Ejercicio: Bajo las condiciones indicadas en la figura, se pide calcular los esfuerzos totales, neutrales y efectivos en las fronteras de los estratos
L
γw
2L
1
γsat, K1
2L
2
γsat, K2
L K2= 2*K1
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Ejercicio: En el perfil estratificado indicado determine las presiones totales, neutrales y efectivas en las fronteras indicadas, además calcule el factor de seguridad a la licuefacción donde sea necesario. 0,9L L
Sat/cap. γsat1, γh1,
1
k1
L
2L
2
γsat2,
k2
3L
3
γsat3,
k3
γsat1=
1,5 γw =1,2 γh1 γsat2= 1,7 γw γsat3= 1,9 γw k2= 2k1 k3= 6k1
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA Las fuerzas de filtración afectan no solamente a los suelos sin cohesión, sino también a los suelos cohesivos, sólo que lo hacen de modo distinto, porque en suelos arcillosos la cohesión existente entre las partículas las mantiene unidas de modo tal que se levanta toda la masa de suelo, y no partículas individuales como en los suelos granulares.
A modo deel explicar comportamiento de los suelos cohesivos, pondremos siguienteelcaso:
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA: Esfue rz o e n El Sue lo - slide pdf.c om
Se tienen dos estratos de suelo diferente: un suelo cohesivo que descansa sobre un material muy permeable o suelo sin cohesión. Se necesita realizar una excavación en el estrato cohesivo, para lo cual se debe determinar la profundidad a excavar y el espesor del estrato luego de realizada la excavación (tc), de tal manera que resulte seguro al levantamiento. Para realizar la excavación, se colocan dos tablestacas en el suelo, y se procede luego a abatir el nivel del agua por medio de bombeo tratando de mantenerla seca. Por otra parte, se desprecian las fuerzas de fricción que se originan cuando se hinca la tablestaca.
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LEVANTAMIENTO DE UN ESTRATO DE ARCILLA Esfue rz o e n El Sue lo - slide pdf.c om
Observemos que las fuerzas verticales actuantes son el peso del suelo y la presión de poros que tienden a levantar el fondo de la excavación, puesto que el flujo es ascendente. El nivel piezométrico en la superficie del estrato sin cohesión es mayor que el nivel piezométrico en el fondo de la excavación, por lo que el agua tiende a subir, pero como la permeabilidad del estrato de arcilla es tan baja, esto resulta muy difícil y se generan presiones en el fondo del rectángulo.
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El suelo está saturado, por tanto para calcular su peso se usa el peso unitario saturado, entonces:
Peso del Suelo = tc * sat La presión de poros es la suma de la presión hidrostática y la de filtración: = Dh + Df
= tc * w + Dh * w = ( tc + Dh ) * w
Haciendo equilibrio de fuerzas verticales: ∑Fv = 0
Peso del Suelo -
= 0
tc * sat = ( tc + Dh ) * w tc * sat = tc * w + Dh * w tc * ( sat - w ) = Dh * w tc = Dh * w = Df .
( sat - w )
´
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El espesor tc, es el espesor crítico de la excavación, es decir, es el espesor mínimo para el cual la excavación es segura. Por lo tanto:
En espesores < de tc se produce el levantamiento del fondo de la excavación.
En espesores > de tc la excavación es estable.
Este fenómeno puede darse también parcialmente, socavación, cuando se forman túneles o cavernas por arrastre de finos que generan inestabilidad y lo que puede ser más grave, el colapso del suelo.
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EJERCICIO:
Se pretende realizar una excavación en un estrato de arcilla de 10 mts. de espesor, que descansa sobre un estrato de arena. Se pide: a) Calcular la profundidad máxima de excavación sin que se produzca inestabilidad o levantamiento del fondo. b) ¿Qué profundidad de agua libre debe bombearse a modo de poder llevar la excavación hasta 8 mts. de profundidad?
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1m N K
10 m
habat
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N
Dh
K
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FLUJO EN MEDIOS POROSOS El agua puede fluir a través de la masa de suelo, en cualquier estado en que este se encuentre, aun y cuando el este muy compactado, el agua puede fluir a través de la masa de suelo, ya que los poros están interconectados entre si permitiendo el flujo de agua en ese medio poroso, moviéndose esta a lo largo de caminos ondulantes y rugosos que existen entre un poro y otro, lo cual genera pérdidas de energía o carga piezométrica originadas por la fricción, al igual que ocurre cuando el flujo de agua es por tuberías o por canales abiertos.
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Hasta ahora el estudio del flujo en medios porosos se ha limitado al caso unidimensional (flujo ascendente y descendente), en el que los parámetros del fluido tales como presión, velocidad, temperatura etc., son constantes en cualquier sección transversal que sea perpendicular a la dirección del flujo. En esta parte del tema se estudiará el flujo del agua en tres dimensiones que es el caso más general, para lo cual se trabajará con la ecuación fundamental de flujo. Posteriormente se realizan simplificaciones debido a que el análisis tridimensional de los problemas de filtración resulta muy complejo, y se trabaja métodos aproximados que permiten su resolución en con dos dimensiones.
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ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE FLUJO Esfue rz o e n El Sue lo - slide pdf.c om
Base teórica de la Red de Flujo y para otros métodos de resolución de problemas de filtración.
HIPOTESIS: Dominio Saturado. La Presión y
la Velocidad son función únicamente de la posición.
El esqueleto mineral del suelo es
perfectamente rígido. Componente vertical del flujo
z
y
x, y, z
x
Elemento cúbico de suelo a través del cual se produce flujo laminar q con componenetes x, y, z
dz
dx
dy
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q q x q y q z
Por continuidad: qentrante = qsaliente Esfue rz o e n El Sue lo - slide pdf.c om
qentrante Vx.dy.dz Vy.dx.dz Vz.dx.dy qsaliente
Vx Vy Vz Vx x .dx dy.dz Vy y .dy dx.dz Vz z .dz dx.dy
Igualamos :
Vx.dy.dz Vy.dx.dz Vz.dx.dy Vx
Vx Vy Vz .dx dy.dz Vy .dy dx.dz Vz .dz dx.dy x y z
Vx Vy Vz Simplificamos y llegamos a la ecuación de Continuidad: 0
x y z
2 h 2 h 2 h Aplicamos Ley de Darcy (V = -k*i = -k * h/ L): kx. 2 ky. 2 kz. 2 0 x y z
2 h 2 h 2 h Asumimos el suelo Isotrópico (kx = ky = kz): 2 2 2 0 2 h x y z ECUACIÓN DE LAPLACE
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ECUACIÓN DE LAPLACE:
2 h 2 h 2 h 2 2 2 0 2 h x y z La ecuación de Laplace describe matemáticamente el flujo de agua en la región considerada. Expresa la suma de la variación de los gradientes hidráulicos en las direcciones X, Y y Z es Nula.
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SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE LAPLACE EN 2 DIMENSIONES Esfue rz o e n El Sue lo - slide pdf.c om
FUNCIÓN POTENCIAL DE LA VELOCIDAD = ( x, y) = constante = -k*h + c
Es dependiente del potencial hidráulico y su variación genera velocidad en el agua. h . k Derivando con respecto a X y a Y: x x
h h Vy k . x y
Vx k .
Entonces:
Vx x
h k . y y Vy y
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y; y aplicamos la ecuación de Continuidad:
2 2 2 2 0 2 x y
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ECUACIÓN DE LAPLACE: 2 2 2 2 0 2 x y satisface
la ecuación de Laplace, siendo la solución de la misma en dos dimensiones. define
para cada valor de esa constante una linea continua cuyos puntos tiene igual potencial hidráulico h; y son denominadas “Lineas Equipotenciales”
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FUNCIÓN DE FLUJO =
( x, y) = constante
Vy
.D y 0 .D x x y Vy.D x Vx.Dy 0
Vx
Dx
Por continuidad: qentrante = qsaliente
Dy
Entonces:
D x
Vx Vy
* .D y
Asumiendo: Vx Vy x
y
Resolvemos derivando con respecto a X y a Y; y aplicamos la ecuación de Continuidad:
2 2 2 2 0 2 x y
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ECUACIÓN DE LAPLACE:
2 2 2 2 0 2 x y cumple con la ecuación de Laplace, por lo tanto es una solución a la misma en dos dimensiones.
define para cada valor de la constante una linea continua que representa la trayectoria de agua. Se denominan “Lineas de Flujo” ó “Lineas de Corriente”
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RELACIÓN ENTRE LAS LINEAS EQUIPOTENCIALES Y LINEAS DE FLUJO O DE CORRIENTE Considerando las derivadas totales a lo largo de cada una de las curvas:
y x x y
y y x x
Pendientes y designo lo cual en es condición deRecíprocas Ortogonalidad y contario, son Ortogonales cada punto de intersección.
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REDES DE FLUJO Esfue rz o e n El Sue lo - slide pdf.c om
La red de flujo es la solución gráfica la ecuación de Laplace en 2 dimensiones. Desafortunadamente la ecuación de Laplace es matemáticamente integrable solo en condiciones de frontera muy simples, por lo que en la práctica es necesario emplear otros métodos diferentes de la integración para obtener la red de flujo. Uno de esos métodos es el procedimiento gráfico de Forcheimer, que resulta ser muy simple de aplicar cualquiera sea el problema de flujo uniforme en dos dimensiones.
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El espacio entre cualquier par de líneas de flujo consecutivas es un canal de flujo, en el trazado de la red se debe seleccionar un cierto número de canales de flujo,
Nf , tal que el gasto de infiltración a través de cada canal sea el mismo: Dq = q / Nf La pérdida de carga entre cualquier par de líneas equipotenciales consecutivas es la misma e igual a Dh'. Donde Dh´ = Dh / Nd. (Dh es la pérdida de carga total y Nd el número de caídas de potencial). El ancho del canal es a y la distancia entre las caídas equipotenciales es b, para cualquier elemento considerado. El gasto que circula por cualquier elemento es Dq = k * i * A El gradiente hidráulico del elemento es i = Dh´ / b = ( Dh / Nd ) / b Entoces Dq = k * ( ( Dh / Nd ) / b ) * a * L, donde L es el ancho de la red en la tercera dimensión.
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REDES DE FLUJO
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Como Dq = q / Nf entonces q = Dq * Nf = k * ( ( Dh / Nd ) / b ) * a * L * Nf Reordenando q = k * Dh * ( Nf / Nd ) * (a / b ) * L La razón a / b esta fijada por la razón Nf / Nd y es la misma a través de toda la red. Nf y Nd deben seleccionarse de modo que a = b y a / b = 1. Con lo que la ecuación de gasto se transforma en:
q = k * Dh * ( Nf / Nd ) * L
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1)
REGLAS PRÁCTICAS PARA ELABORAR REDES DE FLUJO: Esfue rz o e n El Sue lo - slide pdf.c om
Hacer un dibujo a escala que muestre la masa de suelo, los límites permeables a través de los cuales entra y sale el agua del suelo y las fronteras impermeables que
confinan o limitan el flujo. 2) Dibujar de dos a cuatro líneas de flujo que formen ángulos rectos con los límites permeables a la entrada y a la salida y que sean aproximadamente paralelas a los límites impermeables. 3) Dibujar que formen ángulos rectoscurvilíneo con las líneas de flujo,sean de maneralíneas que elequipotenciales ancho y el largo promedio del cuadrado que forman iguales (a=b). Desde luego, esto es imposible de lograr en el primer tanteo, porque las posiciones de las líneas de flujo son supuestas, pero esta primera red servirá de guía para un segundo tanteo. 4) Se reajustan las líneas de flujo y las líneas equipotenciales hasta que todas las intersecciones sean en ángulo recto y el largo y ancho de cada cuadrado sean iguales. Los tamaños de los cuadrados pueden ser distintos pero la relación a/b = 1 debe mantenerse.
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El logro de una solución exacta requiere de muchos tanteos; y algunos en su soluciónenun número exacto deproblemas canales y/ono de admiten caídas equipotenciales, estos casos debe intentarse con un número de canales y/o caídas equipotenciales fraccionario (media caída o medio canal por ejemplo). Al lograr trazar la red de flujo de cuadrados curvilíneos satisfaciendo las condiciones de frontera del problema, se obtendrá la solución gráfica de este problema para las condiciones frontera problema, se obtendrá la solución gráfica de deeste paradel las condiciones hidrodinámicas establecidas por la ecuación de Laplace.
EJERCICIO: Dada la siguiente red de flujo determine:
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1)
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Altura piezometrica en A. Esfuerzo efectivo en B.
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0m
3m
5m
10m
2) 3) 4) 5)
m 0 0 , 6
Gradiente hidráulico, velocidades de descarga y de filtración en C.
6)
Presiones hidráulicas sobre el tablestacado. Gradiente hidráulico de salida y factor de seguridad contra la arena movediza (licuefacción). Factor de seguridad a la Tubificación.
7) 8)
Presiones hidráulicas sobre el fondo impermeable. Presión de filtración en D.
9)
Caudal de Filtración bajo la presa sabiendo que L= 50 m
D
m 0 0 , 6
A
γd= 1,82 T/m3 k= 2x10-3 cm/seg γsat= 2,18 T/m3
B
m 0 0 , 6
C I
II
III
IV
V
VI
VII
EJERCICIO: Dada la siguiente red de flujo determine:
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γd=
1,82 T/m3 k= 2x10-3 cm/seg γsat= 2,18 T/m3 γconc= 2,35 T/m3
EJERCICIO: Dada la siguiente red de flujo determine:
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γd= 1,82 T/m3 k= 2x10-3 cm/seg γsat= 2,18 T/m3 γconc= 2,35 T/m3
EJERCICIO: Dada la siguiente red de flujo determine:
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γd= 1,82 T/m3 k= 2x10-3 cm/seg γsat= 2,18 T/m3 γconc= 2,35 T/m3
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LINEA SUPERFICIAL DE FLUJO Esfue rz o e n El Sue lo - slide pdf.c om
En algunos casos un límite de las líneas de flujo puede ser una superficie de agua libre o superficie de saturación, que no está determinada por ninguna masa sólida impermeable. Tal es el caso de las presas de tierra cuyo problema de flujo presenta características especiales y por lo tanto se requiere del uso de métodos también especiales para lograr el trazado de la red de flujo. Equipotencial b
a
c
Línea de Flujo
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En la figura, se presenta una presa de tierra de un material heterogéneo é isótropo. La línea 1-2 es una línea equipotencial, puesto que es el contacto entre el suelo permeable y el agua. La línea 1-3 es un contacto entre la frontera impermeable y el material permeable, por lo tanto es una línea de flujo. Entre los puntos 2 y 4 existe una frontera del flujo, donde por debajo de ella el suelo está saturado y por encima no lo está. Ahora bien, esta línea que limita la zona de flujo dentro de la presa recibe el nombre de línea superficial de flujo o línea de saturación. Su forma se desconoce a priori, y también la posición del punto 4, ambos deben ser determinados al menos aproximadamente para poder trazar la red de flujo.
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La línea de saturación además de ser una línea de flujo es también una línea de equipresión, en la que todos los puntos tienendelaelevación misma presión cero. Por lo líneas tanto, el potencial hidráulico depende de la carga únicamente y las equipotenciales la cortaran a intervalos verticales iguales entre si.
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Condiciones Generales de Entrada. Esfue rz o e n El Sue lo - slide pdf.c om
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Condiciones Generales de Salida. Esfue rz o e n El Sue lo - slide pdf.c om
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Métodos para determinar la Linea de Saturación. 5/17/2018
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Caso 1 : a2 < 30° En este caso es posible calcular la superficie humedecida a (distancia 4 - 3), por medio de la siguiente expresión: d d h 2
a
cosa 2
2
cos a 2
2
sen
2
a 2
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d = L - M + O,3M
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=> M = h/tg al d =L - O,7M
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Luego de dibujar la presa de tierra a escala, se señala en ella la superficie humedecida aguas abajo "a", calculada por la fórmula anterior. El siguiente paso consiste en el trazado de la línea de saturación usando el método gráfico aproximado de la parábola básica de Kozeny, cuyo procedimiento se describe a continuación: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
Ubicar el punto 2' en la línea freática a una distancia de 0,3M medida desde la cara del talud aguas arriba. La cara aguas abajo del talud es tangente a la parábola en el punto 4. Prolongar la línea en el talud aguas arriba de la presa. Trazar una horizontal por el punto 2 hasta cortar la cara del talud aguas abajo. El punto de intersección es 5. Dividir 4 -5 Y 5 - 2' en el mismo número de partes iguales, no más de 4 o 5, y marcar estos puntos (en 2'- 5 se parte de 5 numerando con letras A -B , etc., en 4 - 5 se parte de 4 numerando A-B-C, etc.). Trazar por 4 - 5 líneas horizontales en los puntos marcados. Unir cada uno de los puntos marcados en la horizontal 2'- 5 con el punto 4. Trazar la línea freática por los puntos obtenidos. Como la línea freática parte perpendicular a la cara del talud aguas arriba, este ajuste debe realizarse manualmente.
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Métodos para determinar la Linea de Saturación. 5/17/2018
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Caso 2 : a2 > 30° En este caso el procedimiento a seguir es: 1.
La parábola tiene su origen a una distancia P del vértice del talud aguas abajo de la presa, es decir este vértice es su foco y es tangente a la vertical que pasa por el punto P. P se calcula por medio de la siguiente expresión: P h 2 d 2 d
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2.
Trazar la parábola básica de Kozeny. En este caso la tangente al origen es una línea vertical.
3.
La distancia desde el punto 4 hasta la intersección de la parábola con el talud aguas abajo es a + Da, y no es realmente el punto por donde sale el agua en el talud, por lo tanto se debe realizar una corrección y encontrar a. Casagrande encontró que la relación es un escalar que puede ser llamado a', y que se relaciona Da a Da
con el angulo a2 según se muestra en la siguiente tabla: Los valores entre estos ángulos pueden interpolarse, yDamidiendo = a´ ( a +a D+aD)a, yseacalcula = ( a + a'Dausando ) - Da la tabla:
a2 ( ° )
a´
30
0.375
60
0.320
90
0.260
120
0.185
150
0.105
180
0
Finalmente se trazan manualmente la entrada y la salida de la línea de saturación.
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EJERCICIO: Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presenta
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EJERCICIO: Determine la Linea Superficial de Flujo de la presa de tierra que se presenta
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a continuación 5/17/2018
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1
2
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Tema 5 : El agua en el Suelo
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Teoría de la sección Transformada: La teoría de la sección transformada, permite reducir al caso de un suelo homogéneo e isótropo un suelo en el que la permeabilidad para el flujo en la dirección horizontal ( kx) y la que tenga para el flujo en la dirección vertical ( ky ) sean diferentes ( kx ≠ Ky ) (por lo general Kx en muchas veces mayor que ky ) La teoría de la sección transformada es un simple artificio de calculo que se logra por una simple transformación de coordenadas y que modifica sobre el papel las dimensiones de la zona de flujo en estudio, en un suelo isotropico hidráulicamente equivalente. Dos tipos de transformaciones se pueden aplicar: a) Haciendo
Kx Y ´
Ky *Y
Se modifican las dimensiones verticales permaneciendo constantes las horizontales
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Tema 5 : El agua en el Suelo
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Teoría de la sección Transformada: b)
Haciendo
X ´
Ky Kx
* X
Se modifican las dimensiones Horizontales permaneciendo constantes las Verticales. En la sección transformada, homogénea e isótropa, la permeabilidad equivalente viene dada por:
k kx* ky
Tema 5 : El agua en el Suelo
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Teoría de la sección Transformada:
0.71b
b
3524,63
5000,00
ky
h
0 0 , 0 0 0 2
k
kx
X ´
kx 2 * ky
Ky Kx
* X
k
1.41h
0 0 , 0 2 8 2
k kx * ky
Y ´
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Kx Ky
* Y
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