Puentes Colgantes
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La motivación para escoger este tema surge desde hace mucho tiempo cuando estuve de viaje en Pereira, Colombia. En ese lugar hay un puente colgante, no muy grande pero lo suficiente como para llamar mi atención. En ese momento me llamo la atención precisamente el cableado cab leado del puente y me pregunté durante mucho tiempo como podría ser posible ue tuviera euilibrio y ue u e el mismo puente sostuviera las cuerdas. Por ello es esta e!ploración matem"tica uiero abordar el tema de las cuerdas en los puentes colgantes y como se puede ver un desarrollo matem"tico en el mismo, si esta est" relacionada a alguna ecuación matem"tica con la ue se pueda representar y asimismo entender un poco los principios b"sicos para la construcción de puentes colgantes. #dem"s si se puede determinar una ecuación universal para la construcción de todos los puentes o si para cada puente hay ue determinar una ecuación propia. Para ello hay ue encontrar, por medio de la ecuación de la forma y forma y = ax2, el coeficiente de dilatación de la par"bola $a $a%. Pero primero se debe abordar la información b"sica de los puentes colgantes con sus respectivas fuer&as ue lo contienen.
'n puente colgante es auel cuyo tablero se sostiene mediante cables de acero desde una estructura a la ue van sujetas, a diferencia de los puentes tradicionales ue est"n apoya apoyado doss sobr sobree pila pilass o arco arcos. s. Los Los puent puentes es fuer fueron on util utili& i&ad ados os inic inicia ialm lmen ente te en las las civili&aciones asi"ticas y africanas para evitar algunos obst"culos presentados por el medio, sobretodo en regiones monta(osas. )e tiene calculado ue en el siglo *+, en la llegada de los espa(o espa(oles les,, había había m"s de - infrae infraestr struct uctura urass colgant colgantes es de la civili civili&aci &ación ón inca inca ya instaladas. Eran de apro!imadamente / metros de longitud.
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El dise(o actual de los puentes colgantes fue desarrollado a principios del siglo ** en 0ran 1reta(a. Los primeros puentes son el puente de 2enai y el de Con3y, ambos puestos en funcionamiento en 45-6 en el 7orte del País de 0ales . 8esde entonces se han construido puentes colgantes en todo el mundo. Esta tipología de puente es pr"cticamente la 9nica solución posible para salvar grandes luces $superiores a un :ilómetro%, por ejemplo, cuando sea peligroso para el tr"fico marítimo a(adir apoyos centrales temporales o permanentes, o no sea viable a(adir apoyos centrales. 0eneralmente los puentes colgantes est"n conformados por un puente sostenido por un arco invertido formado por numerosos cables de acero, del ue se suspende el tablero del puente mediante tirantes verticales.
Los puentes colgantes se componen principalmente por ; estrucutras fundamentales $como se es mostrado en la grafica anterior%< Torres< )on las encargadas de sostener los cables de acero principales.
Com9nmente se encuentran cuatro columnas o torres por cada puente colgante, organi&adas en parejas, de forma ue se reparta euitativamente el peso del cable principal ue forma la par"bola. Las fuer&as ue sostienen el puente se concentran en esta estructura ya ue el peso total del puente recae sobre estas columnas. Tensores< )e encuentran en gran cantidad en este tipo de estructuras. )on los
encargados de sostener el peso del tablero y repartirlo a lo largo del cable principal. Las fuer&as ue se presentan en estos tensores son variables ya ue dependen del peso total del tablero $incluidos todos los objetos móviles ue estén en ese preciso momento sobre el puente% Tablero< En esta parte estructural transitan los diferentes objetos móviles
$automóviles, motocicletas, peatones%. Es sostenida por los tensores. Pilar< Los pilares de un puente se encuentran enterrados en su mayoría de e!tensión
en la tierra, ya ue sostienen las columnas. La profundidad en la ue deben ser insertadas se relaciona directamente con la altura y el peso de las torres. 'n puente colgante es una estructura ue resiste por su forma y principales ue actuan sobre él son<
las fuer&as
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Fuerza de tracción< Es el esfuer&o interno al ue est" sometido un
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cuerpo por
la aplicación de dos fuer&as ue act9an en sentido contrario y tienden a deformarlo o estirarlo. Estas deformaciones pueden ser permanentes o temporal. Este concepto est" estrechamente ligado al material del ue este compuesto un objeto. )i un objeto tiene la característica de ser fle!ible,
este
puede volver a su antigua forma y estado después de ue la fuer&a deja de ser ejercida. En el caso de los puentes colgantes, esta fuer&a es la encargada de sostener en si el tablero y los cables de acero. E!iste una fuer&a de tracción entre el tablero y los tensores, también entre los tensores y el cable principal y finalmente todas estas fuer&as desembocan en la interacción entre el cable principal y la columna
Fuerza de compresión< Es la fuer&a contraria a la fuer&a de
tracción. 8os fuer&as ue act9an en sentidos opuestos tienden a comprimir un objeto. En el caso del puente se percibe en las torres ue lo sostienen, específicamente se habla de dos fuer&as contrarias en este caso= la fuer&a gravitacional y la fuer&a ue sostiene las bases de las columnas.
Fuerza gravitacional< Es la fuer&a ue e!perimentan todos los
objetos, por el hecho de tener masa determinada. >iene un valor de ?,5 m@sA en la tierra y su vector siempre se dirige hacia abajo $hacia el centro de la tierra%. Esta fuer&a se relaciona estrechamente con el peso, en este caso de toda la estructura del puente. )e mantiene en euilibrio ya ue es contraria a la fuer&a normal, la cual tiende a tener el mismo valor ue la fuer&a de gravedad pero en sentido contrario.
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Fuerza de flexión< Esta fuer&a se presenta como un tipo
de deformación en un objeto, ocasionado por una presión en un sentido perpendicular al eje longitudinal del objeto involucrado. En el caso de un puente se observa principalmente en el tablero de éste y la presión es representada por los automóviles ue circulan sobre él y deforman un poco su eje longitudinal.
El gráfico anterior presenta con diferentes colores las fuerzas presentes en un puente colgante (rojo: fuerza de tracción, amarillo: fuerza de compresión, verde: fuerza de flexión)
La Bísica establece ue a pesar de ue estas fuer&as est"n interactuando entre sí de manera simult"nea, la estructura no se mueve, es decir ni se despla&a ni rota, y a esto se le llama condición de euilibrio est"tico de un cuerpo. En primer lugar, es necesario aclarar ue es posible plantear ue un puente colgante se encuentra en euilibrio est"tico, ya ue este no tiene despla&amiento alguno tanto en el eje hori&ontal como vertical, es decir ue permanece en reposo. a definiendo en si el concepto de euilibrio est"tico, se tiene como primera y b"sica condición ue la sumatoria de las fuer&as ue act9an sobre el objeto sea cero. Esta condición se simboli&a con la siguiente fórmula<
∑ F =0 En este caso, en esta ecuación se debe reempla&ar y sumar todas las fuer&as ue est"n involucradas en el puente colgante< Fuerza de Tracción + Fuerza de Compresión+ Fuerza Gravitacional + Fuerza Normal+ Fuerza de Flexión = 0
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Es importante definir por otro lado ue las fuer&as ue son opuestas también deben dar como resultado una fuer&a ue euivalga a cero. Como por ejemplo en el caso de la fuer&a gravitacional y la fuer&a normal o entre la fuer&a de tracción y la fuer&a de fle!ión. Por otro lado en el puente se cumple el Caso de euilibrio ue plantea ue !n o"jeto sujeto a dos fuerzas está en e#uili"rio si y solo si las dos fuerzas son de igual magnitud, opuestas en dirección y tienen la misma l$nea de acción%& 8espués de aclarar las condiciones b"sicas de euilibrio de un Puente colgante me surgió una serie de preguntas < D8e ué manera incide la medida del arco del cable principal en el funcionamiento de un puente colgante DFué sucede si la medida de este arco cambia, es decir si disminuye o aumenta Fuiero considerar ahora la grafica de este puente , puesto en un sistema de referencia<
'na hipótesis es ue este arco se ajusta a una par"bola y ue esta par"bola tiene ue tener una medida est"ndar ue es igual para todo tipo de puentes colgantes, ya ue gracias a esta es posible ue el puente se sostenga y esté en euilibrio. )i la forma del cable principal de un puente colgante es una par"bola la función matem"tica ue la representaría seria de la forma< fx! = ax" +bx + c $ En la #ue a, " y c son n'meros reales y en el caso de a no es cero)
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Digamos entonces que trabajamos con una escala en metros. Teniendo en cuenta que la exresi!n de la "unci!n de la ar#bola con $%rtice &'(') es de la "orma
y
= a x 2 ( me etre$o a a*rmar que la
ar#bola tra+ada en el cable del uente tiene un coe*ciente a menor que 1 , ma,or que '( orque se arecia que la ar#bola es abierta , adem#s con base en el sistema de re"erencia que esta tra+ado en la gra*ca ( las coordenadas del $%rtice son &-2''(')&2''(')( aora quiero calcular el $alor de a. 0i tomo un unto de la ar#bola , lo reemla+o en la "unci!n uedo obtener a. Se reemplazan los valores tanto de x como de y . 200
¿ ¿ 50= a ¿ Se despeja el coefciente a 50 40000
=a
Se simplifca la racción lo que mas se pueda para hallar el resultado a
=
1 800
a ecuaci!n de la ar#bola quedara de la siguiente "orma
y
=
1 800
x
2
0e odra ensar tambi%n que la dilataci!n de la ar#bola deende de la longitud del uente( ara $eri*car esto $o, a considerar otro caso como ejemlo
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P 4' m
1'5 m
l $%rtice de esta gra*ca tiene las coordenadas &4'(') , corta en el eje , en el unto &'(2'). dem#s a, un unto P&7'(3') que asa or la "unci!n "&x). Se reemplazan los valores (x,y) 2
30= a (90 )
Se despeja a 30 8100
a
=
=a
1 270
a medida del arco incide el "uncionamiento del uente colgante( ,a que deende de la longitud de ilar a ilar. a medida del arco debe coincidir con la longitud entre los ilares( que es de 1'5 m( , con la altura de las torres. a dilataci!n de la ar#bola es
1 270
$eces la
ar#bola normal. Gasta este punto la ecuación de la par"bola es< y = ax 2**. )in embargo es posible observar ue dicha par"bola est" m"s abierta ue una par"bola normal por lo tanto HaH4 ya ue e!iste dos leyes ue afirman< 4. )i el valor de $a% de la ecuación de una par"bola es mayor a 4 la abertura de esta es menor a la de la normal, es decir m"s cerrada.
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-. )i el valor de $a% de la ecuación de una par"bola es menor a 4 y mayor a la abertura de esta es mayor a la de la normal, es decir m"s abierta I. )i el valor de $a% de la ecuación de la par"bola es menor a cero la abertura de la par"bola ser" hacia abajo.
La
ecuación
de
la
par"bola de
este puente es
y
= ax 2- 100.
Con
al
base
resultado obtenido me surgieron diferentes preguntas y cuestiones con respecto a la fórmula de la par"bola anteriormente anali&ada. D#caso es posible aplicar esta ecuación en las par"bolas de todos los puentes colgantes DEs siempre la misma ecuación sin importar las medidas de cada puente colgante Para anali&ar las preguntas anteriores tomare como referencia otros puentes colgantes famosos a nivel mundial
El 0olden 0ate, ubicado en )an Brancisco $California%. Construido entre 4?II y 4?IJ. Consta de -J m de anchura ue corresponden a 6 carriles $carros, bicicletas y peatones.
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l coe*ciente a se uede determinar de la siguiente manera Cuando x9128' or otro lado ,915( aora reemla+ando estos $alores en la ecuacion 640
¿ ¿ 157= a ¿ 157 409600
=a
a =0,00039
El puente japonés #:ashiK ai:oK 1ridge fue construido entre 4?56 y 4??5. Este puente est" ubicado en la localidad de obe en Mapón. )us medidas se pueden observar en la siguiente imagen<
El coeficiente a para este puente es< 2
297= a ( 995 ) 297 990025 a
=a
=0,00031
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El Gumber 1ridge. Este puente
est"
nglaterra,
locali&ado
en la localidad
en de
Gessle y fue construido entre 4?Jy 4?54.
El coeficiente a para este es< 4//,/ N a$J/%155,5 497025 a=
=a
0,00031
Con respecto a los puentes ya trabajados se puede elaborar una tabla con las medidas correspondientes y los valores de a.
Nombre del puente
Golde n Gate
Akashi Kaiko Bridge
Humber Bridge
128'
177'
141'
23'
27
155(5
Distancia entre el punto medio del tablero las torres (±1m)
64'
775
'5
!alor de (a) en la ecuaci"n #a
%$'('''3 7
'('''31
'('''31 3
Longitud total del tablero (±1m) Altura de las torres desde el tablero (±1m)
Las siguientes graficas surge de la tabla anterior ya establecida, donde se puede ver la variación de los puentes seg9n sus medidas.
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Distancia entre el punto medio del tablero las torres del puente colgante 12'' 775
1''' 8''
'5
64' Distancia (m)
6'' 4'' 2'' '
:olden :ate
;as/i
umber =ridge Nombre del puete
!alor de (a) en la ecuacion #a$% de la parabola del puente ' '
' ' '
' '
' !alor de (a) ' ' ' ' '
6;as/i
>umber =ridge
:olden :ate
Nombre del puente
#bservaciones
Con base los gr"ficos y a la tabla anteriormente es necesario describir algunas diferencias ue e!isten entre las medidas de los diferentes puentes. En primer lugar se observa una notable diferencia en cuanto a la distancia del punto medio del tablero a las torres de los puentes. El puente con la mayor distancia $??/ m% es el #:ashi ai:o 1ridge, ue como se dijo anteriormente es el m"s largo del mundo. En segundo lugar y con gran diferencia est" el Gumber 1ridge ue cuenta con J/ metros de distancia entre el centro del
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tablero del puente y las torres, un valor muy similar al del 0olden 1ridge, uien en este caso es el de menor longitud< 6; metros. Por otro lado en relación con el valor de $a% en la ecuación y=ax2, de la par"bola del cable principal, sucede todo lo contrario. El puente de mayor longitud, el #:ashi ai:o 1ridge, es el ue tiene un valor de a menor $,-5%, es decir tiene la abertura de la par"bola m"s abierta. En segundo puesto se encuentra el Gumber 1ridge, ue siendo de una longitud intermedia, posee una abertura de par"bola euivalente a $aN ,I4%. Binalmente el 0olden 0ate, el puente colgante de menor longitud entre los tres trabajados, tiene un valor de $a% un poco mayor a los dos puentes mencionados anteriormente ue euivale a ,I? y por consiguiente tiene una abertura m"s cerrada ue el Gumber 1ridge y el #:ashi ai:o 1ridge. Conclusiones
>ras haber reali&ado esta serie de ejercicios y pr"cticas e!isten diferentes observaciones y conclusiones ue han surgido con respecto a la abertura y dirección de la par"bola del cable principal con relación a la longitud total y a la altura del puente colgante. En primer lugar es necesario nuevamente definir ue la abertura de la par"bola se ve directamente influenciada por la longitud total del puente. a raí& de los ejercicios reali&ados es posible concluir ue entre m"s largo sea el puente colgante mayor ser" la abertura de la par"bola del cable principal, ya ue el valor de $a% de la ecuación es un valor, ue si bien es positivo es muy cercano a . En segunda instancia es necesario recalcar ue e!isten puentes colgantes ue tienen una pendiente negativa $a% $menor a % por lo tanto la par"bola del cable est" direccionada hacia abajo. Binalmente es importante agregar ue a pesar de ue por lo general las ecuaciones de la par"bola de la mayoría de los puentes son similares $en el caso trabajado el valor de a varía entre ,-5 y ,I?%, cada uno est" dise(ado de diferente manera y destinado a diferentes funciones $transporte de vehículos livianos, vehículos pesados, peatones, entre otras% por lo tanto no es posible generali&ar ni establecer una 9nica ecuación universal ue
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represente la par"bola de todos y cada uno de los puentes colgantes ue se han construido, ya ue no todos los puentes tienen la misma longitud y altura.
$ibliograf%a<
n!nimo &2'13). Condiciones de equilibrio. ?ecuerado el '1.'3.2'16 de tt//*sica.laguia2'''.com/general/condiciones-de-equilibrio Carrasco( P. &2'11). studio ! uerzas y material. ?ecuerado el '1.'3.2'16 de tt//@i;i.ead.uc$.cl/index./PabloACarrascoA1BC2B='AtrimestreA2 '11studioA-"uer+asA,Amaterial ?engi"o( . &2'15). Puentes. ?ecuerado el '1.'3.2'16 de tts//re+i.com/ieni"4qqmn;t/uentes/ ?omo( . &2''7). Puentes , Eiaductos. ?ecuerado el '1.'3.2'16 de tt//es.slidesare.net/ediiroc;/diseo-de-uentes-48858561 Ealcarce( . &2'14). Fsica ara Ciencias Din#mica quilibrio. Gni$ersidad Ponti*ca Cat!lica de Cile( 0antiago de Cile( Cile. ?ecuerado el '1.'3.2'16 de tt//@@@.astro.uc.cl/Ha$alcarc/FI01'7C/1'ADinamicaAquilibrio.d"
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