Matematika për ekonomi dhe biznes
Dr.sc. Xhevdet Thaqi prof.ass. Fakulteti i Ekonomik Univerziteti i AAB
FUNKSIONI KUADRATIK • Funksionet Funksionet e formës: f(x)= a·x 2+ b·x + c, c, quhen funksione kuadratike. • Zona e perkufizimit perkufizimit është (Domeni) D f: R apo intervali (-, ). • Grafiku i funksionit kuadratik është lakore e cila quhet parabolë. parabolë. • Koeficientet e funksionit kuadratik janë numra apo konstante, dhe identifikohen si: si: • a - termi (koeficienti) i katrorit, b –termi (koeficienti) linear dhe c - termi (koeficienti) i lire.
Shenja dhe vlera e ekoeficientit a • eshte konkav nese a>o, dhe konveks nese a<0. • Varësisht nga fakti se D>0 apo D<0, përcaktohet posicioni i grafikut ndaj boshtit Ox., prandaj në figuarat e më poshtme nuk paraqesim boshtin Ox. • Poashtu varësisht nga vlera apsolute e koeficientit a, “krahët” e grafikut janë më të hapur apo më të mbyllur,…
Çvendosja e grafikut f(x)=ax
2
Nëse e çvendosim grafikun e funks. f(x)= x 2 për p-njësi drejt anës së djathtë, dhe për k – njësi në drejtim të kahjes pozitive të boshtit y, fitojmë grafikun e funksionit: g(x) = a(x - p)2 + k Shembull: Ne figurë kemi f(x)= x2, të çvendosur për 4.58 njësi në drejtim pozitiv te boshtit x dhe per 3.92 njësi në drejtim pozitiv të boshtit y, kemi fituar funksionin f(x)= (x – 4.58)2 + 3.92
Ekuacionet kuadratike
>0
=0
<0
GrAFIKU I FUNKSIONIT KUADRATIK Te llogaritet
Shenohen në grafikun e funksionit
Duke zbatuar formulen gjenden rrenjet e ekuacionit kuadratik x 1 dhe x2
Nese rrenjet jane reale, ato caktohen ne boshtin x si pika x 1 dhe x2
Njehsohen koordinatat e kulmit:
Kulmi: V (x v ; yv)
xv = (x1+x2)/2 ose xv= -b/2a, dhe yv = f(xv) – zevend. në funksion vlera e xv.
Boshti i simetrisë së grafikut: drejtza e cila kalon nëpër piken x v
Prerja me boshtin y, x=0, y=c, pra Pikeprerja me boshtin Oy, dhe duke pika (0 ; c)
shfrytezuar simetrine mund te caktohet edhe pika simetrike me te.
Vetite e funksionit kuadratik • Konkaviteti i funksionit: •
Nëse a > 0 funksioni eshte konkav “ ”.
•
Nëse a < 0 funksioni eshte konveks “”.
• Intervalet e monotonise (rritja dhe zvoglimi i funksionit) • Nese a>0, funksioni f(x) eshte zvoglues ne (-∞;xv), dhe rrites ne intervalin (xv ;+ ∞). • Nese a<0, funksioni f(x) eshte rrites ne intervalin(-∞;xv), dhe zvogelues ne intervalin (x v ;+ ∞). • Shenja e funksionit kuadratik: • Ne rastin e funksionit kuadratik dallojme: • Nese a>0, pozitiv ne (-, x1), dhe (x2, ) negativ ne (x1, x2), • Nese a<0, pozitiv ne (x 1, x2), negativ ne (-, x1), dhe (x2, ) Max dhe min.
2
Shembull: Eshte dhene funksioni f(x)= x +x - 3.75
ushtrime a) Vizatoni grafikun e funksioneve: f(x)= (x + 5 ) 2 - 8 h(x) = x 2 - 4 x + 4
g(x) = -3 x 2 - 6 x + 12 t(x) = - x
2
+ 3x
Zgjidhni ekuacionet e meposhtme: 1) 2) 3) 4) 5) 6)
0,5 x 2 + 8 = 0 3 x 2 + 2,5 x = 0 (2 x ) 2 - 3 = 6 3x(7-x)=0 2 x2 - 3 x + 1 = 1/ 2 ( 2x + 2) 6 (1/ 3 X+ 1/ 2) = x 2 + 3
Gjeni numrat e plotë të cilet plotësojne kushtet e dhëna me posht: a) Ndryshimi ndermjet katrorit të trefishit të një numri dhe katrorit të dyfishit të tij është 125. b) Prodhimi i numrit (të plotë) pasardhes dhe paraardhesit është 399. c) Trefishi i katrorit të pasardhesit të një numri është 147.
Fnksioni eksponencial •
Funksióni exponencial eshte i formes:
• ku a eshte numer real positiv, x -ndryshore e pavarur. • Prandaj funksioni i cili çdo numri real x i korrespondon fuqia a x quhet funksion eksponencial me base a dhe eksponent x . • Shembull 1. Le te jete dhene funksioni • Per x marrim vlera te ndryshme, fitojme vlerat e ndryshores y: x
-3
y = 2 x 1/8
-2
-1
1/4 1/2
0
1
2
3
1
2
4
8
Shembulli 2 Shembulli 2. le te jete: -2
-1
0
1
2
3
4
2
1
1/2
1/4
1/8
Ekuacionet eksponenciale •
Ekuacion exponencial eshte ekuacioni në të cilën e panjohura paraqitet në eksponent. P.sh. ekuacioni është ekuacion exponencial . Për të zgjidhë një ekuacion exponencial duhet të kemi parasysh: 1. 2. 3. Vetite e fuqive:
a0 = 1, a1 = a,
, , am · a
n
= am+n
am : a n = am ( a m) n = a m · n n
- n
a · b
n
= (a · b)
n
an : b
n
= (a : b)
n
Shembull Shembulli 3: Te zgjidhen ekuacionet exponenciale:
1.
,
2.
,
Zgjidhje: 1.
2.
, 3.
3.
Funksioni logaritmik Logaritëm i një numri x me bazë të dhënë a, është exponenti y me
të cilin duhet ngritur bazën a në mënyrë që të fitohet numeri x. Simbolikisht shënojmë: Duke qenë a bazë, x numri, dhe y logaritmi, do të kemi:
Shembull 1. Ne bazë të përkufizimit për logaritmet, lloga ritni vleren e y:
1. 2. 3. 4.
Logaritmi natyral dhe dhjetor Varësisht nga baza e logaritmit, dallojmë dy klasa të veqanta të logaritmeve: logaritmet dhjetore dhe logaritmet natyrale. L o ga r i t m et d h j e t o re : jane ato lo garit me qe kan p er b a z e n umri n 10.
Shenohen simbolikisht me log(x). 2
p.sh.: log10100 =log 100=2, sepse 10 =100 L o ga r i t m et n e p e ri a n e a po l o g ar i t m e t n a t y ra l e : jan e logaritmet te
cilat per baze kan numrin e . S h k r u h en s i m b o l ik i s h t m e ln(x) ose L(x). p.sh. logex=lnx, etj
Vetitë e logaritmeve Vetitë e logaritmeve
N e v a z h d i m p o p er k u j t o j m e d i s a n g a v e t i t e e l o g a r i t m e v e t e c i l a t rrjedhn drejtperdrejt nga perkufizimi i logaritmit:
Pra nga perkufizimi i logaritmit rrjedh se:
- Nuk existon logaritmi i nje numri me base n egative:
-
Nuk existon logaritmi i nje numri negativ:
-
Nuk existon logaritmi i numrit zero:
-
Logaritmi i numrit 1 eshte zero.
-
Logaritmi i numrit a me base a eshte i barabarte me nje:
-
Logaritmi me baze a i nje fuqie te
a
eshte i barabarte me
Funksioni logaritmik Fnksion logarítmik me baze a eshte
funcióni invers i funksionit
exponencial me baze a. Simbolikisht e shenojme: x f ( x ) = l o g a x , a > 0 , a ≠1 , e s h t e i n v e r z i f u n k s i o n i t f ( x ) = a
Shembull. Shqyrtojme funksionin:
Marrim disa vlera te ndryshores x dhe njehsojme vlerat perkatese te f(x), dhe ato i paraqesim ne tabele: x
1/8
1/4
1/2
1
2
4
8
-3
-2
-1
0
1
2
3
Vlerat e fituara i paraqesim ne sistemin koordinativ kendedrejte dhe me bashkimin e tyre fitojme lakoren si ne figuren e mëposhtme:
Funksioni logaritmik Shembulli 2. Shohim tani funksionin:
Duke vepruar ne te njejten menyre si ne shembullin emeparshem, fitojme: x
1/8
1/4
1/2
1
2
4
8
3
2
1
0
-1
-2
-3
Grafiku i te cilit eshte:
Vetitë e funksionit logaritmik Vetite e përgjithshme të funksionit logaritmik janë: 1. Domeni (Fusha e perkufizimit):
,
2. Kodomeni (Fusha e vlerave te funksionit):
.
3. Eshte funksion i vazhdueshem. 4. Eshte injektiv: d.m.th:
a≠1,
dhe x 1x2 vlen logax 1logax 2 .
5. Eshte rrites nese a >1, dhe funksion zvoglues nese a < 1. 6 . L a k o r j a e f u n k . y = l o g a x e s h t e s i m e t r i k e m e l a k o r e n e f u n k s . y = ax
Vetitë e funksionit logaritmik Përveq vetive të cekura më sipër funksioni logaritmik ka edh e këto veti:
1.
shembull:
2.
shembull:
3.
shembull:
4.
shembull:
5.
Ndrrimi i bazave :
,
për shembull:
ushtrime Te zgjidhen ekuacionet logaritmike: 1.
2.
A) Vizatoni grafikun e funksionevelogaritmike 1.
Log3x, log32x, log 33x
2.
Log2x, log2(x-2), log 2(x-3)
B) Te zgjidhen ekuacionet logaritmike
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7.
8.
3.
4.
,