ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
NOTA FINAL 19,5/20.FELICITACIONES MUY BUENA GUIA. Actividad de aprendizaje 1.1. Del texto guía Investigación operativa, tomo I, de los problemas propuestos que se encuentran al final del capítulo II, resuelva los problemas 20 y 48, la solución debe ser manual y digitalizada.
Problema 20 Wild West produce dos tipos de sombreros estilo vaquero. El sombrero tipo 1 requiere el doble de tiempo de trabajo que el de tipo 2. Si todos los sombreros producidos únicamente son de tipo 2, la compañía puede producir un total de 400 sombreros al día. Los limites diarios del mercado son de 150 y 200 sombreros de los tipos 1 y 2, respectivamente. La utilidad del sombrero tipo 1 es de 8 dólares y la del sombrero tipo 2 es de 5 dólares. a) Utilice la solución grafica para determinar el número de sombreros de cada tipo que se debe producir. b) Determine el valor de incrementar la capacidad de producción de la compañía en un sombrero tipo 2 y el rango para la cual es aplicable este resultado. c) Si el límite de la demanda del sombrero tipo 1 disminuye a 120, determine el efecto correspondiente en la utilidad óptima, utilizando el valor unitario del recurso. d) ¿Cuál es el incremento en el valor por unidad en la participación de mercado del sombrero tipo 2? ¿En cuanto se puede incrementar la participación de mercado, al mismo tiempo que rinde el valor calculado por unidad? Formulación del problema: Tipo 1 X1 8 Recursos Capacidad (u) Dem. tipo 1 (u) Dem. tipo 2 (u)
Tipo 2 X2 5 Relaciones 2 1 0
Función objetivo: Maximizar la utilidad diaria.
Z ( MIN ) 8 X 1 5 X 2 Restricciones:
= = =
Sombreros Numero de unidades / día Utilidad ($ c/u) Requerimientos
1 0 1
400 en total 150 máximo 200 máximo
1.- 2 X 1 X 2 400 (Capacidad diaria) 2.- X 1 150 (Demanda máxima para tipo 1) 3.- X 2 200 (Demanda máxima para tipo 2) 4.- X 1 , X 2 0 (Restricciones de no negatividad). LA RESTRICCION No. 1 es desigualdad no una igualdad. Solución por método grafico. Abstracción de las restricciones: 2 X 1 X 2 400 (E1)
X 1 150 X 2 200
(E2) (E3)
Graficamos las ecuaciones: 2X1 +X2 = 400 (E1) X1 X2 0 400 200 0
X1 = 150 (E2) X1 X2 150 0 150 400
X2 = 200 (E3) X1 X2 0 200 200 200
450 400 350 E1
300
E2
A
250
E3
200
Linear (E1)
150
B
Linear (E2)
R.B.F
100
Linear (E3)
50 0 0
50
100
150
200
Vértices de interés de la región básica factible: Punto A: (Ecuaciones E1 y E3) De (E3): X 2 200 En (E1):
2 X 1 200 400 X 1 (400 200) / 2 100 Punto A: (100; 200) Punto B: (Ecuaciones E1 y E2)
250
De (E2): X 1 150 De (E1): 2(150 ) X 2 400
X 2 400 300 100 Punto B: (150; 100) Determinación del punto óptimo
P( X 1 , X 2 ) : Z ( MIN) 8 X 1 5 X 2 A(100; 200) : B(150; 100) :
Z ( A) 8 100 5 200 1800 : Punto optimo Z ( B) 8 150 5 100 1700
Solución óptima La mejor alternativa se presenta cuando X1 = 100 y X2 = 200 es decir, cuando produzca 100 sombreros diarios tipo 1 y 200 sombreros tipo 2, con lo cual la máxima utilidad diaria es $1800. X1 = 100 sombreros tipo 1. X2 = 200 sombreros tipo 2. Z (MAX) = $1800.
Verificación de la solución mediante programa QM.
El límite de la restricción de capacidad se aumenta a 401. Restricciones:
2 X 1 X 2 400 1 X 1 150 X 2 200
(E11) (E2) (E3)
Abstracción de las restricciones:
2 X 1 X 2 400 1 X 1 150 X 2 200
450
(E11) (E2) (E3)
X2
E2
E11
400 E1 350 300 250 200 E3 150
A1
D
C
E3
A
100
R.B.F
B
50 0 0
50
100
E2 150
E1 200
X1
250
Según el grafico se determina que el punto óptimo A cambia a A1. Punto A1: (Ecuaciones E11 y E3) De (E3): X2 = 200 De (E11): 2X1 + 200 = 401 X1 = (401 – 200)/2 = 100,5 Punto A1: (100,5; 200) Según el punto óptimo inicial A (100; 200), el nuevo punto óptimo A1 representa un aumento en 0,5 unidades en la producción de sombreros tipo 1, pero no cambia la cantidad de producción de sombreros tipo 2, por cada 1 unidad adicional en el límite para la capacidad total de producción. Efecto neto en la ganancia: Nueva función objetivo: Z1 (MAX) = 8x100,5+5x200 = 1804 Cambio neto: Z1 – Z = 1804 – 1800 = 4
Entonces el precio dual para esta restricción es 4; es decir que cada aumento en 1 unidad en el límite de la capacidad total de producción, la ganancia diaria aumenta en $4. Rango de aplicación de este resultado. Puntos de interés: C(150; 200) y D(0; 200) El límite de capacidad puede aumentar hasta llegar al punto C.
2 X 1 X 2 2(150 ) 200 500 El límite de capacidad puede disminuir hasta llegar al punto D.
2 X 1 X 2 2(0) 200 200 Para mantener el precio dual de $4 para esta restricción, el rango de variación puede bajar hasta un mínimo de 200 y aumentar hasta un máximo de 500 unidades. c) Análisis de sensibilidad para la restricción “demanda de sombrero tipo 1”. El límite de la restricción de capacidad se aumenta a 151. Restricciones:
2 X 1 X 2 400 X 1 150 1 X 2 200
(E1) (E21) (E3)
Abstracción de las restricciones:
2 X 1 X 2 400 X 1 151 X 2 200
(E1) (E21) (E3)
450 X2 400
E21
350 300 250
E1
200
A
E2
150 R.B.F
100
E3
B
50 X1
0 0
50
100
150
200
250
Según el grafico se determina que el punto óptimo A no cambia, ya que esta restricción no es efectiva. El punto óptimo inicial A (100; 200) no se altera, ni la ganancia diaria máxima.
Efecto neto en las ganancias: Cambio neto = 0 El precio dual asociado para esta restricción es 0; es decir que para cualquier aumento en el límite del valor máximo de la demanda de sombreros tipo 1, la solución óptima y la ganancia diaria no sufre cambio alguno. Rango de aplicación de este resultado. Punto de interés: A(100; 200) El límite de demanda puede aumentar en forma ilimitada. El límite de demanda puede disminuir hasta llegar al punto A: X 1 100 Para mantener el precio dual de $0 para esta restricción, el rango de variación puede bajar hasta un mínimo de 100 y aumentar en forma ilimitada. Si el límite de demanda del sombrero tipo 1 disminuye a 120, está dentro del rango de validez del correspondiente precio dual, entonces la utilidad óptima obtenida de $1800 se mantiene. d) Análisis de sensibilidad para la restricción “demanda de sombrero tipo 2”. El límite de la restricción de demanda se aumenta a 201. Restricciones:
2 X 1 X 2 400 X 1 150 X 2 200 1
(E1) (E2) (E31)
Abstracción de las restricciones:
2 X 1 X 2 400 X 1 150 X 2 201
(E1) (E2) (E31)
450 X2 400
E
350 300
E31
250
A2
200
E1
A
E2
150
E3
100
R.B.F
B
50 X1
0 0
50
100
150
200
250
Según el grafico se determina que el punto óptimo A cambia a A2.
Punto A2: (Ecuaciones E1 y E31) De (E31): X2 = 201 De (E1): 2X1 + 201 = 400 X1 = (400 – 201)/2 = 99,5 Punto A2: (99,5; 201) Según el punto óptimo inicial A (100; 200), el nuevo punto óptimo A2 representa una disminución en 0,5 unidades en la producción de sombreros tipo 1, por cada 1 unidad adicional en el límite máximo para la demanda y producción de sombreros tipo 2. Efecto neto en la ganancia: Nueva función objetivo: Z2 (MAX) = 8x99,5+5x201 = 1801 Cambio neto: Z2 – Z = 1801 – 1800 = 1 Entonces el precio dual para esta restricción es 1; es decir que cada aumento en 1 unidad en el límite de la demanda de sombreros tipo 2, la ganancia diaria aumenta en $1. Rango de aplicación de este resultado. Puntos de interés: B(150; 100) y E(0; 400) El límite de capacidad puede aumentar hasta llegar al punto E.
X 2 400 El límite de capacidad puede disminuir hasta llegar al punto B.
X 2 100 Para mantener el precio dual de $1 para esta restricción, el rango de variación puede bajar hasta un mínimo de 100 y aumentar hasta un máximo de 400 unidades. SON 200 UNIDADES
NOTA 4,5/5. Problema 48 Remítase al problema 33 a) Resuelva el problema en forma grafica para encontrar la combinación optima de productos. Para que los apartados (b) a (d) de este problema, considere que cada caso por separado. Convierta además a millares todas las unidades y resuelva gráficamente. b) Suponga que el número máximo de unidades del producto A que pueden venderse es 9000 (en lugar de 8000, como en el caso base) ¿Cuál es el efecto de la solución? ¿Cuál es el efecto de los beneficios? ¿Cuál es el precio dual para la restricción que limita las ventas del producto A? c) Suponga que el número máximo de unidades del producto B que pueden venderse es 13000 (y no 12000, como en el caso base) ¿Cuál es el efecto en los beneficios? ¿Cuál es el precio dual para la restricción que limita las ventas del producto B?
d) Suponga que hay 31000 horas de trabajo disponibles, en lugar de las 30000 del caso base. ¿Cuál es el efecto en el problema? ¿Cuál es el efecto de los beneficios? ¿Cuál es el precio dual de la restricción del número de horas de trabajo? e) Remítase a los apartados (b), (c) y (d) anteriores. Determine en forma grafica los intervalos del término independiente en los cuales se mantienen los precios duales de las tres restricciones.
Del problema 33: Una compañía vende dos productos diferentes, A y B. La información del precio de venta y de los costos unitarios es la siguiente:
Producto A $60 $30 $30
Precio de venta Costo unitario Beneficios unitarios
Producto B $40 $10 $30
Los dos productos se fabrican en un proceso de producción común y se venden a dos mercados distintos. El proceso de producción tiene capacidad de 30000 horas de trabajo. Se requieren tres horas para producir una unidad A y una hora para producir una unidad B. El mercado se ha estudiado y los funcionarios de la compañía consideran que el número máximo de unidades de A que pueden vender es 8000; el máximo de B es 12000 unidades. Los productos se pueden vender en cualquier combinación, con las limitaciones anteriores. Formulación del problema: A X1 30 Recursos
Relaciones
Mano obra (horas) Demanda A (unid) Demanda B (unid)
3 1 0
B X2 30
= = =
Productos Miles de unidades Utilidad ($ c/u)
Demanda 1 0 1
30000 8000 como máximo 12000 como máximo
Función objetivo: Maximizar los beneficios por las ventas.
Z ( MAX ) 30 X 1 30 X 2 Restricciones: 1.- 3 X 1 X 2 30 (Miles horas de mano de obra) 2.- X 1 8 (Demanda de A en miles) 3.- X 2 12 (Demanda de B en miles) 4.- X 1 , X 2 0 (Restricciones de no negatividad).
Solución por método grafico. Abstracción de las restricciones: 3 X 1 X 2 30 (E1)
X1 8 X 2 12
(E2) (E3)
Graficamos las ecuaciones: X1 = 8 (E2) X1 8 8
3X1 + X2 = 30 (E1) X1 X2 0 30 10 0
X2 =12 (E3) X1 0 10
X2 0 30
35 X2 30 25 20 E1 15
A
B
10
E2 E3
C
5
D X1
0 0
5
10
Vértices de interés de la región básica factible: Punto A: (0 ;12) Punto D: (8; 0) Punto B: (Ecuaciones E1 y E3) De (E3): X2 = 12 En (E1):
3 X 1 12 30 X 1 (30 12) / 3 6 Punto B: (6; 12) Punto C: (Ecuaciones E1 y E2)
15
X2 12 12
De (E2): X1 = 8 De (E1):
3(8) X 2 30 X 2 30 24 6 Punto C: (8; 6)
Determinación del punto óptimo
P ( X 1 , X 2 ) : Z ( MAX ) 30 X 1 30 X 2 A(0; 12) : B (6; 12) : C (8; 6) : D(8; 0) :
Z ( A) 30 0 30 12 360 Z ( B ) 30 6 30 12 540 : Punto optimo Z (C ) 30 8 30 6 420 Z ( D ) 30 8 30 0 240
Solución óptima La mejor alternativa se presenta cuando X1 = 6000, X2 = 12000 es decir, cuando se producen y venden 6000u de A y 12000u de B, para obtener el máximo beneficio de $540. X1 = 6000u de A. X2 = 12000u de B. Z (MAX) = $540000 Verificación de la solución mediante programa QM.
b) Suponer que se puede vender 9000 unidades de A.
Restricciones:
3 X 1 X 2 30 X1 8 1 X 2 12
(E1) (E21) (E3)
Abstracción de las restricciones:
3 X 1 X 2 30 X1 9 X 2 12
(E1) (E21) (E3)
35 X2 30
E21
25 20
E1
A
15
B
E2 E3
10 R.B.F
5
C X1
D
0 0
5
10
15
Según el grafico se determina que el punto óptimo A no cambia, ya que esta restricción no es efectiva. El punto óptimo inicial B (6; 12) no se altera, ni la ganancia máxima. Efecto neto en las ganancias: Cambio neto = 0 El precio dual asociado para esta restricción es 0; es decir que para cualquier aumento en el límite del valor máximo de la demanda de A, la solución óptima y la ganancia no sufre cambio alguno. Rango de aplicación de este resultado. Punto de interés: B(6; 12) El límite de demanda puede aumentar en forma ilimitada. El límite de demanda puede disminuir hasta llegar al punto B: X 1 6 Para mantener el precio dual de $0 para esta restricción, el rango de variación puede bajar hasta un mínimo de 6000 y aumentar en forma ilimitada.
c) Suponer que se puede vender 13000 unidades de B. Restricciones:
3 X 1 X 2 30 X1 8 X 2 12 1
(E1) (E2) (E31)
Abstracción de las restricciones:
3 X 1 X 2 30 X1 8 X 2 13
(E1) (E2) (E31) X2
35
E 30 25 20
B1 B
15
A
E1
E31
E2 E3
10 R.B.F
C
5 X1
D
0 0
5
10
15
Según el grafico se determina que el punto óptimo B cambia a B1. Punto B1: (Ecuaciones E1 y E31) De (E31): X2 = 13 En (E1): 3X1 + 13 = 30 X1 = (30 – 13)/3 = 5,67 Punto B1: (5,667; 13) Según el punto óptimo inicial B (6; 12), el nuevo punto óptimo B1 representa una disminución en 333 unidades en la venta del producto A, por cada 1000 unidades adicionales en el límite máximo para la venta del producto B. Efecto neto en la ganancia: Nueva función objetivo: Z1 (MAX) = 30x5,667+30x13 = 560 mil Cambio neto: Z1 – Z = 560000 – 540000 = 20000 Entonces el precio dual para esta restricción es 20000; es decir que cada aumento en 1000 unidades en el límite de venta del producto B, la ganancia óptima aumenta en $20000.
Rango de aplicación de este resultado. Puntos de interés: C(8000; 6000) y E(0; 30000) El límite de capacidad puede aumentar hasta llegar al punto E.
X 2 30000 El límite de capacidad puede disminuir hasta llegar al punto C.
X 2 6000 Para mantener el precio dual de $20000 para esta restricción, el rango de variación puede bajar hasta un mínimo de 6000 y aumentar hasta un máximo de 30000 unidades. d) Suponer que existen 31000 horas de trabajo disponibles. Restricciones:
3 X 1 X 2 30 1 X1 8 X 2 12
(E11) (E2) (E3)
Abstracción de las restricciones:
3 X 1 X 2 31 X1 8 X 2 12
(E11) (E2) (E3)
35 X2
E11
30 25 20 E1 15
B B2 F
A
E2 E3
10
C
5
X1
D
0 0
5
10
15
Según el grafico se determina que el punto óptimo B cambia a B2. Punto B2: (Ecuaciones E11 y E3) De (E3): X2 = 12 En (E1): 3X1 + 12 = 30 X1 = (31 – 12)/3 = 6,333 Punto B2: (6,333; 12)
Según el punto óptimo inicial B (6; 12), el nuevo punto óptimo B2 representa un aumento en 333 unidades en la venta del producto A, pero se mantiene el nivel óptimo de ventas del producto B. Efecto neto en la ganancia: Nueva función objetivo: Z2 (MAX) = 30x6,333+30x12 = 550 mil Cambio neto: Z2 – Z = 550000 – 540000 = 10000 Entonces el precio dual para esta restricción es 10000; es decir que cada aumento en 1000 horas en el límite de la mano de obra, la ganancia óptima aumenta en $10000. Rango de aplicación de este resultado. Puntos de interés: A(0; 12000) y F(8000; 12000) El límite de capacidad puede aumentar hasta llegar al punto F.
3 X 1 X 2 3 8 12 36 El límite de capacidad puede disminuir hasta llegar al punto A.
3 X 1 X 2 3 0 12 12 Para mantener el precio dual de $10000 para esta restricción, el rango de variación puede bajar hasta un mínimo de 12000 y aumentar hasta un máximo de 36000 horas de mano de obra. e) Determinar en forma grafica el rango de variación de cada restricción, para mantener sus precios duales. Del cálculo de los rangos de variación en los literales anteriores, se tiene el siguiente resumen: 1.- Para la restricción mano de obra: 3 X 1 X 2 30
(E1)
El término independiente para esta restricción puede variar entre 12000 y 36000, manteniendo su precio dual de $10000, por cada 1000 horas adicionales. 2.- Para la restricción limite de ventas para A: X 1 8
(E2)
El término independiente para esta restricción puede variar entre 6000 y el infinito, manteniendo su precio dual de $0. 3.- Para la restricción limite de ventas para B: X 2 12 El término independiente para esta restricción puede variar entre 6000 y 30000, manteniendo su precio dual de $20000, por cada 1000 unidades adicionales. Los rangos de variación para cada una de las restricciones, se verifica con el resumen dado en la siguiente tabla de rangos.
NOTA 5/5. Actividad de aprendizaje 1.2. Problema 56 Weenies and Buns es una planta procesadora de alimentos que fabrica hot-dog y pan para hot-dog. Muelen su propia harina para el pan a una tasa máxima de 200 libras por semana. Cada pan requiere 0,1 libras. Tienen un contrato con Pigland, Inc., que especifica la entrega de 800 libras de productos de chancho cada lunes. Cada hot-dog requiere ¼ de libra de producto de chancho. Se cuenta con suficiente cantidad del resto de los ingredientes de ambos productos. Por último, la mano de obra consiste en 5 empleados de tiempo completo (40 horas por semana). Cada hot-dog requiere 3 minutos de mano de obra y cada pan de 2 minutos de mano de obra. Cada hot-dog proporciona una ganancia de $0,20 y cada pan de $0,10. Weenies and Buns desea saber cuántos hot-dog y cuantos panes deben producir cada semana para lograr la ganancia más alta posible. a)Formule un modelo de programación lineal. b)Use el método grafico para resolver el modelo. Tabla de resumen:
Alimentos Recursos Harina (lb) Prod. Chancho (lb) Mano obra (minutos) Ganancia ($ c/u)
Hot-dog 0 0,25 3 0,20
a) Formulación del problema: Asignación de variables. X1 = Numero de hot-dog por semana a producir. X2 = Numero de panes por semana a producir.
Pan 0,1 0 2 0,10
Disponible 200 800 5x40x60
Función objetivo: Maximizar la ganancia total.
Z ( MAX ) 0,2 X 1 0,1X 2 Restricciones: 1.- 0,1X 2 200 (Harina disponible por semana) 2.- 0,25 X 1 800 (Contrato de entrega semanal de productos de chancho) 3.- 3 X 1 2 X 2 12000 (Mano de obra semanal disponible) 4.- X 1 , X 2 0 (Restricciones de no negatividad).
b) Solución por método grafico, usando programa QM.
Vértices de interés de la región básica factible: Punto A: (3200; 0) Z(A) = $640 Punto B: (3200; 1200) Z (B) = $760 El punto B (3200; 1200) es optimo. Solución óptima Se obtiene la mayor ganancia cuando X1 = 3200 y X2 = 1200 es decir, cuando se produzca y venda 3200 hot-dog y 1200 panes, con lo cual se alcanza la máxima ganancia total de $760 semanal. X1 = 3200 hotdogs. X2 = 1200 panes. Z (MAX) = $760.
NOTA 2,5/2,5. Problema 64 Metalco Company desea hacer una nueva aleación con 40% de aluminio, 35% de Zinc y 25% de plomo a partir de varias aleaciones disponibles que tienen las siguientes propiedades:
Propiedad Porcentaje de aluminio Porcentaje de Zinc Porcentaje de plomo Costo ($ / libra)
1 60 10 30 22
2 25 15 60 20
Aleación 3 45 45 10 25
4 20 50 30 24
5 50 40 10 27
El objetivo es determinar las proporciones de estas aleaciones que deben mezclarse para producir la nueva aleación a un costo mínimo. Formule un modelo de programación lineal y resuelva en computadora. Formulación del problema:
Propiedad Porcentaje de aluminio Porcentaje de zinc Porcentaje de plomo Costo ($ / libra)
Aleación y asignación de variables 1 (X1) 2 (X2) 3 (X3) 4 (X4) 5 (X5) 60 25 45 20 50 10 15 45 50 40 30 60 10 30 10 22 20 25 24 27
Requerimiento
40 35 25
Asignación de variables: Xi = Cantidad de libras a usar de cada aleación para obtener la nueva mezcla. Sea: XT = X1+X2+X3+X4+X5 = 100 lb. Cantidad total de la nueva mezcla a obtener. Función objetivo: Minimizar los costos de obtención de la nueva mezcla.
Z ( MIN ) 22 X 1 20 X 2 25 X 3 24 X 4 27 X 5 Restricciones: 1.- 0,6 X 1 0,25 X 2 0,45 X 3 0,2 X 4 0,5 X 5 0,4 X T 40 (Porcentaje de aluminio) 2.- 0,1X 1 0,15 X 2 0,45 X 3 0,5 X 4 0,4 X 5 0,35 X T 35 (Porcentaje de zinc) 3.- 0,3 X 1 0,6 X 2 0,1X 3 0,3 X 4 0,1X 5 0,25 X T 25 (Porcentaje de plomo) 4.- X i 0 (Restricciones de no negatividad). Solución en computadora.
Solución óptima La mejor alternativa para obtener 100 libras de la nueva mezcla propuesta se presenta cuando X1 = 4,35; X2 = 28,26; X3 = 67,39; X4 = 0 y X5 = 0 es decir, cuando se mezclan 4,35 libras de aleación 1; 28,26 libras de aleación 2; 67,39 libras de aleación 3, nada de aleación 4 y nada de aleación 5, a un costo mínimo de $2345,65. X1 = 4,35 libras de aleación 1. X2 = 28,26 libras de aleación 2. X3 = 67,39 libras de aleación 3. X4 = 0 libras de aleación 4. X5 = 0 libras de aleación 5. Z (MIN) = $2345,65
NOTA 2,5/2,5. Actividad de aprendizaje 1.3. Problema 88 La Electrocomp Corporation fabrica dos productos eléctricos: acondicionadores de aire y grandes ventiladores. El proceso de ensamble de cada uno es similar en el sentido que ambos requieren una cierta cantidad de alambrado y taladrado. Cada acondicionador de aire requiere 3 horas de alambrado y 2 de taladrado. Cada ventilador debe pasar por 2 horas de alambrado y 1 hora de taladrado. Durante el siguiente periodo de producción, están disponibles 240 horas de tiempo de alambrado y se puede utilizar hasta 140 horas de tiempo de taladrado. Cada acondicionador de aire vendido produce una ganancia de $25. Cada ventilador ensamblado puede ser vendido con una ganancia de $15. Formule y resuelva esta situación de mezcla de producción de programación lineal para encontrar la mejor combinación de acondicionadores de aire y ventiladores que produzcan la ganancia máxima. Use el método grafico para hallar la solución. Tabla de datos: Recurso Alambrado (h) Taladrado (h) Ganancia ($ c/u)
Acondicionadores 3 2 25
Ventiladores 2 1 15
Formulación del problema: Asignación de variables: X1 = Cantidad de acondicionadores de aire a producir. X2 = Cantidad de ventiladores a producir. Función objetivo: Maximizar la ganancia.
Z ( MAX ) 25 X 1 15 X 2
Disponible 240 140
Restricciones: 1.- 3 X 1 2 X 2 240 (Tiempo de alambrado disponible) 2.- 2 X 1 X 2 140 (Tiempo de taladrado disponible) 3.- X 1 , X 2 0 (Restricciones de no negatividad). Solución por el método simplex. Variables de holgura:
3 X 1 2 X 2 S1 240 2 X 1 X 2 S 2 140 Nueva función objetivo
Z ( MAX ) 25 X 1 15 X 2 0S1 0S 2
TABLA I Cj 0 0
Xj S1 S2 Zj Zj - Cj
bn 240 140 0 -----
25 X1 3 2 0 -25 ING.X1
15 X2 2 1 0 -15
0 S1 1 0 0 0
0 S2 0 1 0 0
RELC bn/Xj 80 70 SALE
TABLA II Por tratarse de problemas de maximización, en la fila Zj-Cj deben quedar ceros o valores positivos, esto significa que es necesario eliminar los valores negativos para lo cual tomamos el menor valor negativo, en este caso (-25), es decir, la variable que pertenece a esta columna ingresa (X1) con un coeficiente 25. Determinación de la fila que sale:
240 80 3 Semipivote
bn X1
140 70 2 Pivote
Ingresa X1 y sale S2 Cálculo de los nuevos coeficientes de la siguiente tabla. Nuevo coeficiente (X1) 140/2 = 70 2/2 = 1
Coeficiente S1 240-70x3 = 30 3-1x3 = 0
½ = 0,5 0/2 = 0 ½ = 0,5
2-0,5x3 = 0,5 1-0x3 = 1 0-0,5x3 = -1,5
Los resultados se resumen en la siguiente tabla: Cj 0 25
Xj S1 X1 Zj Zj - Cj
bn 30 70 1750 -----
25 X1 0 1 25 0
15 X2 0,5 0,5 12,5 -2,5 ING.X2
0 S1 1 0 0 0
0 S2 -1,5 0,5 12,5 12,5
RELC bn/Xj 60 SALE 140
TABLA III El menor valor negativo (-2,5) en la fila Zj-Cj debemos eliminar, entonces la variable de esa columna ingresa (X2), luego se decide la fila que sale. Determinación de la fila que sale:
30 60 0,5 Pivote
bn X2
70 140 0,5 Semipivote
Ingresa X2 y sale S1 Cálculo de los nuevos coeficientes de la siguiente tabla Nuevo coeficiente (X2) 30/0,5 = 60 0/0,5 = 0 0,5/0,5 = 1 1/0,5 = 2 -1,5/0,5 = -3
Coeficiente X1 70-60x0,5 = 40 1-0x0,5 = 1 0,5-1x0,5 = 0 0-2x0,5 = -1 0,5+3x0,5 = 2
Los resultados se resumen en la siguiente tabla: Cj 15 25
Xj X2 X1 Zj Zj - Cj
bn 60 40 1900 -----
25 X1 0 1 25 0
15 X2 1 0 15 0
0 S1 2 -1 5 5
0 S2 -3 2 5 5
En la fila Zj-Cj ya no hay valores negativos, entonces el proceso ha concluido. Presentamos la solución del problema en una sola tabla. Cj Xj S1 S2 Zj Zj - Cj
bn 240 140 0 -----
0 25
S1 X1 Zj Zj - Cj
30 70 1750 -----
25 X1 3 2 0 -25 ING.X1 0 1 25 0
15 25
X2 X1 Zj Zj - Cj
60 40 1900 -----
0 1 25 0
0 0
15 X2 2 1 0 -15
0 S1 1 0 0 0
0 S2 0 1 0 0
RELC bn/Xj 80 70 SALE
0,5 0,5 12,5 -2,5 ING.X2 1 0 15 0
1 0 0 0
-1,5 0,5 12,5 12,5
60 SALE 140
2 -1 5 5
-3 2 5 5
Para encontrar la solución tomamos las variables de la columna Xj y los valores de la columna bn. Solución óptima Z (MAX) = $1900. X1 = 40u de acondicionadores d aire. X2 = 60u de ventiladores. S1 = S2 = 0 Mediante el plan óptimo de producción se obtiene la máxima utilidad de $1900. Comprobación.
3 X 1 2 X 2 S1 240 3(40) 2(60) 0 240 2 X 1 X 2 S 2 140 2(40) 60 0 140
NOTA 2,5/2,5. Problema 92 El decano de Western College of Business debe planificar las ofertas de cursos de la escuela para el semestre de otoño. Las demandas de los estudiantes hacen necesario ofrecer por lo menos 30 cursos de licenciatura y 20 de posgrado en el semestre. Los contratos del profesorado también dictan que se ofrezcan por lo menos 60 cursos en total. Cada curso de licenciatura impartido le cuesta a la universidad un promedio de $2500 en salarios de profesores, mientras que cada curso de posgrado cuesta $3000. ¿Cuántos cursos de licenciatura y posgrado deberán ser impartidos en el otoño de modo que los salarios de los profesores se mantengan en su mínima expresión?
Tabla de datos: Recurso Licenciatura (cursos) Posgrado (cursos) Total (cursos) Costo ($ c/u)
Licenciatura 1 0 1 2500
Posgrado 0 1 1 3000
Req. mínimo 30 20 60
Formulación del problema: Asignación de variables: X1 = Cantidad de cursos de licenciatura a dictar el próximo semestre. X2 = Cantidad de cursos de posgrado a dictar el próximo semestre. Función objetivo: Minimizar los salarios de profesores.
Z ( MIN ) 2500 X 1 3000 X 2 Restricciones: 1.- X 1 30 (Requerimiento mínimo de cursos de licenciatura) 2.- X 2 20 (Requerimiento mínimo de cursos de posgrado) 3.- X 1 X 2 60 (Requerimiento mínimo del total de cursos) 4.- X 1 , X 2 0 (Restricciones de no negatividad). Solución por método simplex, mediante programa de aplicación QM.
Resumen de la solución dada por QM.
Solución óptima La mejor alternativa se presenta cuando X1 = 40, X2 = 20 es decir, cuando se dictan 40 cursos de licenciatura y 20 cursos de posgrado, para que los salarios sean mínimo de $160000 para el próximo semestre. X1 = 40 cursos de licenciatura. X2 = 20 cursos de posgrado. Z (MIN) = $160000.
NOTA 2,5/2,5.
