GEOMETRIA DEL ESPACIO I DIRIGIDA
1. AB y CD son dos segmentos segmentos ortogonales ortogonales que miden 6 y 8cm calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de AD y BC .
4. Se tiene una circunferencia de 11 cm de diámetro y un punto P exterior al plano que contiene a dicha circunferencia. Si la distancia del punto P al plano y aun punto de la circunferencia son 12 y 13 cm respectivamente, calcular la máxima distancia del punto P a la circunferencia. A) 15
B) 18
C) 20
D)25
E)24
5. Dado un cuadrado ABCD de centro “O” se CP traza perpendicular al plano que contiene al cuadrado, si 2AB=CP . Calcular la media del ángulo formado por OP y AD A) 3
B) 4
A)90°
C) 5
D) 6
D)
B)
21cm
C) E) 2
29cm
C)37°
143
E) 8
D)
2. En un plano P, se tienen el rectángulo ABCD, fuera del plano se ubica el punto E, tal que los triángulos EAB y ECD son equiláteros, calcular la distancia del punto E al plano P, si las áreas de una de las regiones triangulares equiláteras y de la 2 región rectangular son 16 3cm y 80cm2 respectivamente. A) 22cm
B)120°
127
E)
2
2
6. En un plano Q se se ubican los puntos puntos A, P y C tal que PA = PC por P se traza PB m APC = 90°
perpendicular al plano Q si , PB = 6cm. AC = 8 2 cm . Calcular la medida del ángulo que forman
PB
y la recta que
pasa por los puntos medios de
AC y BC
23cm
A)37° 6cm
3. En un triá triáng ngul ulo o ABC ABC,, rec recto to en B; en AB se ubica el punto P por el cual se traza PQ perpendicular al plano que contiene a dicho triángulo, si (BC) (AP) = 20, AC = 4 y
D)45°
B)53°
C)60° E)30°
AB 7. Según la figura Q, C es punto de tangencia, AD = 6 y r = 2. Calcular el área de la región ACD (C : punto de tangencia).
PQ = 12. Calcular la distancia de Q a AC . A) 5 D) 10
B) 12
C) 13 E) 11
Página 1
A) 2 5
C) 4 5
5
B)
D) 3 5
10. ABCD - EFGH es un exaedro regular. Calcular la medida del ángulo que forman EM y DN.
E) 5 5
8. En la figura, G es el baricentro de de la región región triangular triangular ABC y PG es perpen perpendicula dicularr al plano que contiene al triángulo ABC. Si: m PBA PBA = m CBP; CBP; AC=1 AC=12 2 y PG= PG= 17. 17. Cal Calcu cula lar r la distancia distancia de P a AB .
A) 60
B) 45
D) 90
E) 120
C) 30
11. Sea ABC un triángulo equilátero de lado L, por B se traza traza la perpen perpendicul dicular ar BT al plano plano que contiene al triángulo tal que: BT = L/2. Calcular el área de la región triangular ATC. A) 3 2
B)
D) 5
26
C)
23
E)
30
9. En el gráfico A, B y C pertenecen pertenecen al plano Q. Si PA , PB y PC form forman an en el plan plano o ángulos de 45, 30 y 53, además PC = 15. Calcule: PA/PB
A) L2
B) 2L2
D) L2/4
C) L2/2 E) L2/6
12. Dado un triángulo rectángulo ABC recto en B se traza AM perpendicular, al plano que contiene a dicho triángulo, se traza AQ
MC (Q
en MC ), si
QC
3
AB
2
MQ ,
calcular la m MBA.
A)
2
D) 3/4
B)
2/2
C)
A) 53º/2
B) 45º
D) 53º
E) 30º
C) 37º
2/4
E) 5/6
Página 2
- La intersección de 3 planos es siempre una recta. A) VVVV B) FFFF
DOMICILIARIA
1. Si OA es perpendicu perpendicular lar al plano P, OA=5, r=2 y T es es punto punto de de tangenc tangencia. ia. Hallar Hallar AM , si: TM=8.
C) FVFV D) VVFF
E) FVFF
5. Si ABCD es un rectángulo y PC perpendicular a ABCD, AB = 6u, BC = 8u y PC = 12u. Hallar Hallar OP siendo siendo O el centro centro del rectángulo. A) 9 D)
B) 12 95
C)
93
E)
97
2. Si la distancia distancia de un punto a un plano Q es 6u y la distancia del punto a una recta contenida en el plano es 9u. Hallar la distancia desde la proyección de dicho punto al plano hacia la recta. A) 2 6
B) 3 5
D) 2 7
C) 4 6
A) 10
B) 12
E) 5 3
D) 15
E) 20
3. Sea AB un segmento segmento exterior exterior a un plano
C) 13
6. En la figura se muestra un cubo. Calcular Calcular la medida del ángulo que forman PQ y MN.
Q. Si las distancias desde A y B al plano miden 12 y 4. Hallar la proyección de AB sobre el plano, si además: AB = 10. A) 4 D) 8
B) 6
C) 9 E) 5 A) 45
4. Decir si es verdadero verdadero (V) o falso (F): - Si una recta es paralela a un par de planos, entonces dichos planos son paralelos entre sí. - Dos rectas perpendiculares a un mismo plano, son paralelas entre sí. - Por un punto exterior a un plano, sólo pasa una recta paralela a dicho plano.
D) 30
B) 60
C) 90 E) 120
7. La distancia de un punto A a otro B contenido en un plano P es 8m. La distancia de A al plano P es 5m. Hallar la longitud de la proye proyección cción del segmento segmento AB sobre el plano P. Página 3
A) 4 m
B) 3
C)
37 D) 4
D) 39 E) N. A. 8. Tres planos planos paralelos paralelos determinan sobre sobre una una recta secante L1, los segmento segmentos s AE y EB y sobre otra recta secante L2 los segmentos CF y FD . Si: Si: AB = 8, 8, CD = 12 y FD - EB = 1. Hallar CF. A) 6 D) 4
9. Si los planos planos P, Q, R y T son paralelos. paralelos. Halle: k-n, si: n+k=8.
D) 4
B) 3/4
13
C) 5/3
D) 5/4
C) 9 E) 2
B) 2
E) 2
11. Dado un rectángulo ABCD contenido en un P, sea M un punto de BC y AQ P. Tal que AQ = 3, CD = 4 y m QPB = m < CPD. Calcular BP / PC. A) 4/3
B) 8
A) 1
2
E) 3/5
12. En un triángulo rectángulo A o B, se traza un cuadrante de centro POQ tangente a AB en T (P en OB y Q en OA ) sea RO perpendicular al plano que contiene al triángulo ABO. Calcular SQRP si AT = 1, TB = 4 y m < ORQ = 45º. A) 6
3
B) 6
D) 2
3
E) 4
2
C) 8
3
C) 3 E) 6
10. Dado el gráfico, calcular BB’ si OO’ = 4, AA’ = 5, OA = AB y O’A’ = A’B’ A
O
L 1
B
O ’ A ’ B ’
A) 3
3
L
B) 2
3
C) 4
3
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