MAKALAH INTERPOLASI MAJU

i

34

MAKALAH INTERPOLASI MAJU
Makalah ini Diajukan untuk Memenuhi Tugas
Mata Kuliah Metode Numerik
Dosen Pengampu: Nendra Mursetya Somasih Dwipa, M.Sc

Disusun oleh:
Kelompok 5/7A2

Paryati Dwi Jayanti (14144100021)
Ariyandhini Mukti Dwi Pertiwi (14144100039)
Eka Novi Lestari (14144100049)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA
2017
KATA PENGANTAR
Puji syukur saya panjatkan kehadirat Allah SWT, yang atas rahmat dan karunia-Nya sehingga penyusun dapat menyelesaikan makalah metode numerik dengan harapan dapat bermanfaat dalam menambah ilmu dan wawasan kita.
Makalah ini dibuat dalam rangka memenuhi tugas mata kuliah metode numerik. Dalam membuat makalah ini, dengan keterbatasan ilmu pengetahuan yang penyusun miliki, penyusun berusaha mencari sumber data dari berbagai sumber informasi, terutama dari media internet dan media cetak. Penyusun juga ingin mengucapkan terima kasih kepada seluruh pihak yang telah ikut serta membantu dalam pembuatan makalah ini dan beberapa sumber yang kami pakai sebagai data dan acuan.
Dalam penulisan makalah ini penyusun merasa masih banyak kekurangan-kekurangan baik pada teknis penulisan maupun materi, mengingat akan keterbatasan kemampuan yang penyusun miliki. Tidak semua bahasan dapat dideskripsikan dengan sempurna dalam makalah ini. Untuk itu kritik dan saran dari semua pihak sangat penyusun harapkan demi penyempurnaan pembuatan makalah ini.Akhirnya kami selaku penyusun berharap semoga makalah ini dapat memberikan manfaat bagi seluruh pembaca.

Yogyakarta, Desember 2017

Penyusun

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR i
DAFTAR ISI ii
BAB I 1
PENDAHULUAN 1
A. Latar Belakang 1
B. Rumusan Masalah 1
C. Tujuan 2
BAB II 3
KAJIAN PUSTAKA 3
A. Metode Numerik 3
B. Angka Signifikan/Bena 4
1. Pengertian Angka Bena 4
2. Aturan-aturan tentang Angka Bena 5
3. Aturan Pembulatan 7
4. Aturan-aturan pada Operasi Aritmetika Angka Bena 8
5. Contoh Soal 8
C. Deret Taylor 9
1. Pengertian Deret Taylor 9
2. Contoh SoalDeret Taylor 10
D. Deret Mc. Laurin 12
1. Pengertian Deret Mc. Laurin 12
2. Contoh SoalDeret Mc. Laurin 12
E. Error/Galat 13
1. Pengertian Error/Galat 13
2. Nilai Galat 14
3. Macam-macam Error/Galat 15
F. Metode Biseksi 17
1. Pengertian Metode Biseksi 17
2. Langkah menggunakan metode biseksi 18
3. Algoritma Metode Biseksi 18
G. Metode Regula Falsi 19
1. Pengertian Metode Regula Falsi 19
2. Algoritma Metode Regula Falsi 21
H. Metode Newton Rapshon 21
1. Pengertian Metode Newton Raphson 21
2. Algoritma Newton Raphson 21
I. Metode Secant 22
1. Pengertian Metode Secant 22
2. Algoritma Metode Secant 22
BAB III 24
PEMBAHASAN 24
A. Pengertian Polinom Interpolasi Maju 24
B. Algoritma Polinom Interpolasi Maju 28
C. Contoh Soal dan Penyelesaian Polinom Interpolasi Maju 28
BAB IV 31
STUDI KASUS 31
BAB V 33
KESIMPULAN 33
DAFTAR PUSTAKA 34

BAB I
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Metode numerik adalah teknik-teknik yang digunakan untuk memformulasikan masalah matematis agar dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan. Secara harafiah metode numerik berarti cara berhitung dengan menggunakan angka-angka. Perhitungan ini melibatkan sejumlah besar operasi-operasi hitungan yang berulang-ulang.
Interpolasi adalah suatu cara untuk mencari nilai di antara beberapa titik data yang telah diketahui. Dalam kehidupan sehari-hari, interpolasi dapat digunakan untuk memperkirakan suatu fungsi di mana fungsi tersebut tidak terdaftar dengan suatu formula, tetapi didefinisikan hanya dengan data-data atau tabel yang tersedia.
Ada berbagai macam interpolasi berdasarkan fungsinya, di antaranya adalah interpolasi linier, interpolasi kuadrat, dan interpolasi polinomial. Dengan berbagai macam metode antara lain metode Newton dan metode Lagrange, namun disini kita akan membahas dengan metode Newton. Berdasarkan dua macam tabel selisih tersebut, maka ada dua macam Polinom Newton-Gregory, yaitu polinom Newton-Gregory Maju dan Polinom Newton-Gregory Mundur atau dapat disebut Polinom Newton Maju dan Polinom Newton Mundur
Rumusan Masalah
Apa pengertian Polinom Newton Maju?
Bagaimanakah algoritma dari Polinom Newton Maju?
Bagaimanakah contoh dan penyelesaian dengan menggunakan Polinom Newton Maju
Bagaimanakah aplikasi Polinom Newton Maju dalam kehidupan sehari-hari?
Tujuan
Tujuan yang ingin dicapai dalam penyusunan makalah ini adalah:
Memahami apa yang dimaksud dengan Polinom Newton Maju.
Memahami algoritma dari Polinom Newton Maju
Memahami bagaimana cara menyelesaikan persoalan non linier menggunakan Polinom Newton Maju
Memahami dan mengetahui aplikasi Polinom Newton Maju dalam kehidupan sehari-hari.

BAB II
KAJIAN PUSTAKA
Metode Numerik
Metode numerik adalah teknik untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan yang diformulasikan secara matematis dengan menggunakan operasi hitungan (arithmatic) yaitu operasi tambah, kurang, kali, dan bagi. Terdapat banyak jenis metode numerik, namun pada dasarnya, masing -masing metode tersebut memiliki karakteristik umum, yaitu selalu mencakup sejumlah kalkulasi aritmetika. Solusi dari metode numerik selalu berbentuk angka dan menghasilkan solusi hampiran. Hampiran, pendekatan, atau aproksimasi (approximation) didefinisikan sebagai nilai yang mendekati solusi sebenarnya atau sejati (exact solution). Sedangkan galat atau kesalahan (error) didefinisikan sebagai selisih nilai sejati dengan nilai hampiran.
Metode numerik dapat menyelesaikan permasalahan matematis yang sering nonlinier yang sulit diselesaikan dengan metode analitik. Metode analitik disebut juga metode sejati karena memberi solusi sejati (exact solution) atau solusi yang sesungguhnya, yaitu solusi yang memiliki galat (error) sama dengan nol. Jika terdapat penyelesaian secara analitik, mungkin proses penyelesaiannya sangat rumit, sehingga tidak effisien. Contohnya: menentukan akar-akar polynomial. Jadi, jika suatu persoalan sudah sangat sulit atau tidak mungkin digunakan dengan metode analitik maka kita dapat menggunakan metode numerik sebagai alternatif penyelesaian persoalan tersebut.
Metode numerik ini disajikan dalam bentuk algoritma-algoritma yang dapat dihitung secara cepat dan mudah. Pendekatan yang digunakan dalam metode numerik merupakan pendekatan analisis matematis, dengan tambahan grafis dan teknik perhitungan yang mudah. Algoritma pada metode numerik adalah algoritma pendekatan maka dalam algoritma tersebut akan muncul istilah iterasi yaitu pengulangan proses perhitungan. Dengan metode pendekatan, tentunya setiap nilai hasil perhitungan akan mempunyai nilai error (nilai kesalahan)
Penggunaan metode numerik biasanya digunakan untuk menyelesaikan persoalan matematis yang penyelesaiannya sulit didapatkan dengan menggunakan metode analitik, yaitu:
Menyelesaikan persamaan non linear
Menyelesaikan persamaan simultan
Menyelesaikan differensial dan integral
Menyelesaikan persamaan differensial
Interpolasi dan Regresi
Masalah multivariabel untuk menentukan nilai optimal yang tak bersyarat
Keuntungan penggunaan Metode Numerik:
Solusi persoalan selalu dapat diperoleh
Dengan bantuan komputer, perhitungan menjadi cepat dan hasilnya dapat dibuat sedekat mungkin dengan nilai sesungguhnya
Kekurangan penggunaan Metode Numerik:
Nilai yang diperoleh adalah hampiran(pendekatan)
Tanpa bantuan alat hitung (komputer), perhitungan umumnya lama dan berulang-ulang.
Angka Signifikan/Bena
Pengertian Angka Bena
Angka bena (significant figure) atau angka berararti telah dikembangkan secara formal untuk menandakan keandalan suatu nilai numerik.Angka bena merupakan jumlah angka yang digunakan sebagai batas minimal tingkat keyakinan.Angka bena terdiri dari angka pasti dan angka taksiran.Letak angka taksiran berada di akhir angka bena.
Contoh:
Bilangan 45.389; angka 9 adalah angka taksiran
Bilangan 4, 785; angka 5 adalah angka taksiran
Aturan-aturan tentang Angka Bena
Angka bena adalah setiap angka yang bukan nol pada suatu bilangan
Contoh:
Bilangan 4678; terdiri dari 4 angka bena
Bilangan 987, 654; terdiri dari 6 angka bena
Angka bena adalah setiap angka nol yang terletak di antara angka-angka bukan nol.
Contoh:
Bilangan 201003 terdiri dari 6 angka bena
Bilangan 2001, 400009 terdiri dari 10 angka bena
Angka bena adalah angka nol yang terletak di belakang angka bukan nol yang terakhir dan dibelakang tanda desimal.
Contoh:
Dari aturan b dan c dapat diberikan contoh angka bena adalah sebagai berikut:
Angka nol yang terletak di belakang angka bukan nol terakhir dan tanpa tanda desimal bukan merupakan angka bena.
Contoh:
Angka nol yang terletak di depan angka bukan nol yang pertama bukan merupakan angka bena.
Contoh:
Semua angka nol yang terletak di belakang angka bukan nol yang terakhir, dan terletak di depan tanda deimal merupakan angka bena.
Contoh:
Untuk menunjukkan jumlah angka bena, kita dapat memberi tanda pada angka yang merupakan batas angka bena dengan garis bawah, garis atas, atau cetak tebal
Contoh:
56778 adalah bilangan yang memiliki 5 angka signifikan
adalah bilangan yang memiliki 5 angka signifikan
56778 adalah bilangan yang memiliki 5 angka signifikan
Penulisan angka bena dalam notasi ilmiah mengikuti aturan bentuk umum notasi ilmiah yaitu dengan adalah bilangan riil yang memenuhi dan n adalah bilangan bulat.
Contoh:
Bilangan 29000 jika ditulis dalam notasi ilmiah menjadi
Bilangan 2977000 jika ditulis dalam notasi ilmiah menjadi
Bilangan 14, 98 jika ditulis dalam notasi ilmiah menjadi
Bilangan 0, 006 jika ditulis dalam notasi ilmiah menjadi
Bilangan -0, 00029 jika ditulis dalam notasi ilmiah menjadi
Aturan Pembulatan
Pembulatan suatu bilangan berarti menyimpan angka bena dan membuang bukan angka bena dengan mengikuti aturan-aturan berikut:
Jika digit pertama dari bukan angka bena lebih besar dari 5, maka digit terakhir dari angka bena ditambah 1. Selanjutnya buang bukan angka bena.
Contoh:
Jika bilangan 567864 akan dibulatkan menjadi 4 angka bena, maka ditulis menjadi 5679
Jika bilangan 145,89 akan dibulatkan menjadi 4 angka bena, maka ditulis menjadi 145,9
Jika bilangan 123,76 akan dibulatkan menjadi 3 angka bena, maka ditulis menjadi 124
Jika digit pertama dari bukan angka bena lebih kecil dari 5, maka buang bukan angka bena
Contoh:
Jika bilangan 13416 akan dibulatkan menjadi 3 angka bena, maka ditulis menjadi 134
Jika digit pertama dari bilangan bukan angka bena sama dengan 5, maka:
Jika digit terakhir dari angka signifikan ganjil, maka digit terakhir angka signifikan ditambah 1. Selanjutnya buang angka tidak signifikan
Contoh:
Jika digit terakhir dari angka signifikan genap, maka buang angka tidak signifikan
Contoh:
Aturan-aturan pada Operasi Aritmetika Angka Bena
Hasil penjumlahan atau pengurangan hanya boleh mempunyai angka dibelakangkoma sebanyak angka di belakang koma yang paling sedikit pada bilanganbilanganyang dilakukan operasi penjumlahan atau pengurangan.
Contoh
0,4567 + 4,677 = 5,1337 (dibulatkan menjadi 5, 134)
345,31 + 3,5= 348,81 (dibulatkan menjadi 348, 8)
Hasil perkalian atau pembagian hanya bolehmempunyai angka bena sebanyak bilangan dengan angka bena paling sedikit.
Contoh:
6, 78 x 8, 9123 = 60, 425394 ditulis menjadi 60, 4
420 : 2, 1 = 200 ditulis menjadi 2, 0 x 102
46, 5 x 1,4 = 65, 1 ditulis menjadi 6, 5 x 101

Contoh Soal
[(4,84 : 0, 40) x 2, 32] – [9, 12 x (4, 05 x 0, 212)]
[(3, 12 x 4, 87) + (0, 49 : 0, 7)]
0, 00000121 : 1, 1
Hasil pengukuran panjang tali yang diperoleh oleh siswa A adalah 0, 50300 m. Maka banyak angka penting hasil pengukuran tersebut adalah …
Penyelesaian
[(4,84 : 0, 40) x 2, 32] – [9, 12 x (4, 05 x 0, 212)]
= [12, 1 x 2, 32] – [9, 12 x 0, 8586]
Pembulatan sesuai aturan angka bena pada perkalian dan pembagian
= [12 x 2, 32] – [9, 12 x 0, 859]
= 27, 84 – 7, 83408
Pembulatan sesuai aturan angka bena pada perkalian
= 28 – 7, 83
= 20, 17
Pembulatan sesuai aturan angka bena pada pengurangan
= 20
[(3, 12 x 4, 87) + (0, 49 : 0, 7)]
= [15, 1944 + 0, 7]
Pembulatan sesuai aturan angka bena pada perkalian dan pembagian
= [15, 2 + 0, 7]
= 15, 9
0, 00000121 : 1, 1
= 1, 1 x 10-6
Banyak angka penting dari bilangan 0, 50300 adalah 5 angka penting

Deret Taylor
Pengertian Deret Taylor
Deret Taylor merupakan dasar untuk menyelesaikan masalah dalam metode numerik, terutama penyelesaian persamaan diferensial.
Teorema Taylor: Hanya ada satu deret pangkat dalam x-c memenuhi untuk f(x) sehingga:

=
Berlaku untuk semua dalam beberapa interval di sekitar c dengan

Deret: disebut deret Taylor
Teorema tersebut dijelaskan sebagai berikut:
Jika kontinu dalam selang (c-h, c+h) dengan 0 h dan andaikan f didefinisikan sebagai:
(1)
Untuk semua x dalam selang (c-h, c+h), maka:

Jika pada fungsi-fungsi turunan tersebut ditetapkan x = c maka diperoleh:
Jika harga-harga dimasukkan ke (1) maka diperoleh:

Contoh SoalDeret Taylor
Tentukan deret taylor dari di sekitar z = i!
Penyelesaian:

Jadi deret taylor dari di sekitar z = i adalah

Tentukan deret taylor dari di sekitar x = h!
Penyelesaian:

Jadi deret taylor dari di sekitar x = h adalah

Deret Mc. Laurin
Pengertian Deret Mc. Laurin
Bila deret taylor diterapkan c = 0, maka terjadi deret Mac. Laurin yaitu:

Catatan:
Sering dikatakan deret taylor daalam bentuk x – c dari suatu f (x) adalah uraian Taylor tentang f di sekitar titik c, sedangkan deret Mac. Laurin uraian Maclaurin tentang f di sekitar titik asal (c = 0).

Contoh SoalDeret Mc. Laurin
Deretkan di sekitar c = 0
Penyelesaian:

Deretkan di sekitar 0!
Penyelesaian:

Deretkan dalam deret Mac. Laurin
Penyelesaian:

Error/Galat
Pengertian Error/Galat
Error/Galat/kesalahan berasosiasi dengan seberapa dekat solusi hampiran terhadap solusi sejatinya. Semakin kecil galatnya maka semakin teliti solusi numerik yang didapatkan.
Galat= "Nilai sejati ( nilai sebenarnya ) –Nilai hampiran (aproksimasi)"
Ukuran galat kurang bermakna karena tidak menceritakan seberapa besar galat itu dibandingkan dengan nilai sejatinya. Untuk mengatasi interpretasi nilai galat tersebut , maka galat harus dinormalkan terhadap nilai sejatinya. Gagasan ini melahirkan apa yang dinamakan galat relatif.

dengan
= error relatif sebenarnya
= nilai sebenarnya
Contoh:
Misalkan nilai sejati = 20/ 6 dan nilai hampiran = 3, 3333. Hitunglah galat, galat mutlak, galat relatif, dan galat relatif hampiran
Penyelesaian
Galat =
Galat mutlak = "0, 000333 …" = 0, 000333…
Galat relatif =
Galat relatif hampiran =
Nilai Galat
Besarnya kesalahan atas suatu nilai taksiran dapat dinyatakan secara kuantitatif dan kualitatif. Besarnya kesalahan yang dinyatakan secara kuantitatif disebut kesalahan absolut. Besarnya kesalahan yang dinyatakan secara kualitatif disebut dengan kesalahan relatif.
Nilai eksak dapat diformulasikan sebagai hubungan antara nilai perkiraan dan nilai kesalahan sebagai berikut:

Dimana:
v = nilai eksak
v' = nilai perkiraan
= nilai kesalahan/galat
Berikut adalah penjelasan dari kesalahan absolut dan kesalahan relatif.
Kesalahan Absolut
Kesalahan absolut menunjukkan besarnya perbedaan antara nilai eksak dengan nilai perkiraan:
Kesalahan absolut tidak menunjukkan besarnya tingkat kesalahan, tetapi hanya sekedar menunjukkan selisih perbedaan antara nilai eksak dengan nilai perkiraan.
Kesalahan Relatif
Kesalahan relatif menunjukkan besarnya tingkat kesalahan antara nilai perkiraan dengan nilai eksaknya yang dihitung dengan membandingkan kesalahan absolut terhadap nilai eksaknya (biasanya dinyatakan dalam %)

dengan:
v = nilai eksak
= kesalahan relatif
= kesalahan absolut
Semakin kecil kesalahan relatifnya, maka nilai perkiraan yang diperoleh akan semakin baik.
Contoh:
Pengukuran kabel listrik 40 meter dari sebuah toko alat-alat elektronika. Setelah diukur ulang oleh pembeli A, kabel tersebut memiliki panjang 39, 96 meter. Berapa kesalahan absolut dan kesalahan relatif hasil pengukuran yang dilakukan oleh si pembeli?
Penyelesaian
Diketahui: v = 40 meter
v'= 39, 96 meter
Ditanya: Berapa besar kesalahan absolut dan kesalahan relatif?
Jawab:
Kesalahan absolut: meter
Kesalahan relatif: meter
Macam-macam Error/Galat
Penyelesaian secara numerik dari suatu persamaan matematis hanya memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai sebenarnya. Berikut adalah tiga macam kesalahan dasar:
Galat Bawaan (Inhern)
Galat bawaan biasanya merujuk pada galat dalam nilai data yang terjadi akibat kekeliruan dalam menyalin data, salah membaca skala atau kesalahan karena kurangnya pengertian mengenai hokum-hukum fisik dari data yang diukur.
Contoh: Pengukuran selang waktu 3, 1 detik: terdapat beberapa galat karena hanya dengan suatu kebetulan selang waktu akan diukur tepat 3, 1 detik.
Beberapa batas yang mungkin pada galat inheren diketahui:2,3± 0,1 detik. Berhubungan dengan galat pada data yg dioperasikan oleh suatu komputer dengan beberapa prosedur numerik.
Galat Pemotongan
Pengertian galat pemotongan biasanya merujuk pada galat yang disebabkan oleh penggantian ekspresi matematika yang rumit dengan rumus yang lebih sederhana. Istilah ini berawal dari kebiasaan mengganti suatu fungsi rumit dengan deret Taylor terpotong (hanya diambil berhingga suku).
Contoh :
Deret Taylor tak berhingga :
Sin x
Dapat dipakai menghitung sinus sebarang sudut x dalam radian. Jelas kita tidak dapat memakai semua suku dalam deret untuk perhitungan, karena deretnya tak berhingga; kita berhenti sesudah sampai pada sejumlah suku yang berhingga, misalnya x7 atau x9.
Suku-suku yang dihilangkan (jumlahnya tak berhingga) menghasilkan suatu galat dalam hasil perhitungan. Galat ini disebut galat pemotongan atau pemenggalan, yaitu yang disebabkan oleh pemotongan suatu proses matematika yang tak berhingga.Kebanyakan prosedur yang dipakai dalam perhitungan numerik adalah tak berhingga, sehingga galat jenis ini penting untuk dipelajari.
Galat Pembulatan
Akibat pembulatan angka Terjadi pada komputer yg disediakan beberapa angka tertentu misal; 5 angka:
Penjumlahan 9,26536 + 7,1625 = 16,42786
Ini terdiri 7 angka sehingga tidak dapat disimpan dalam komputer kita dan akan dibulatkan menjadi 16,428
Metode Biseksi
Pengertian Metode Biseksi
Ide awal metode ini adalah metode tabel, di mana area dibagi menjadi N bagian. Hanya saja metode biseksi ini membagi range menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung akar dan bagian yang tidak mengandung akar dibuang. Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan.
Dinamakan metode biseksi (Bi Section) didasarkan atas teknis metode ini adalah "belah dua". Metode Biseksi diformulasikan berdasarkan Teorema 1.1 yang menyatakan bahwa bila fungsi (x) kontinu dalam selang/interval (a,b), dan ( ) dan (b) berlawanan tanda, maka ( ) = 0 untuk suatu bilangan α sedemikian hingga <α< b .
Dengan metode Biseksi, nilai α pertama kali diaproksimasi dengan memilih x0 yang didefinisikan dengan x0 = a+b2. Bila (x0) = 0 atau (x0) "dekat" kepada nilai 0 untuk suatu nilai toleransi yang diberikan maka x0 adalah nilai akar dari (x0) = 0. Sebaliknya bila (x0) 0 atau (x0) "dekat" kepada nilai 0 tetapi tidak memenuhi suatu nilai toleransi yang diberikan, maka berdasarkan Teorema 1.1 ada dua kemungkinan yakni nilai akar berada di antara dan xo atau nilai akar berada di antara xo dan b. Dari salah satu kemungkinan ini, metode Biseksi kembali akan digunakan. Secara geometris, metode Biseksi yang dikemukan di atas diilustrasikan melalui gambar grafik berikut ini.

Gambar 2. Grafik Metode Biseksi
Langkah menggunakan metode biseksi
Untuk menggunakan metode biseksi, terlebih dahulu ditentukan batas bawah (a) dan batas atas (b). Kemudian dihitung nilai tengah : x = a+b2
Dari nilai x ini perlu dilakukan pengecekan keberadaan akar. Secara matematik, suatu range terdapat akar persamaan bila f(a) dan f(b) berlawanan tanda atau dituliskan : f(a) . f(b) < 0
Setelah diketahui dibagian mana terdapat akar, maka batas bawah dan batas atas di perbaharui sesuai dengan range dari bagian yang mempunyai akar.

Algoritma Metode Biseksi
Definisikan fungsi f(x) yang akan dicari akarnya
Tentukan nilai a dan b
Tentukan torelansi e dan iterasi maksimum N
Hitung f(a) dan. f(b)
Jika f(a) . f(b)> 0 maka proses dihentikan karena tidak ada akar, bila tidak dilanjutkan
Hitung x = a+b2
Hitung f(x)
Bila f(x) . f(a) < 0 maka b = x dan f(b) = f(x), bila tidak a = x dan f(a) = f(x)
Jika "b-a" < e atau iterasi > iterasi maksimum maka proses dihentikan dan didapatkan akar = x, dan bila tidak, ulangi langkah 6.
Metode Regula Falsi
Pengertian Metode Regula Falsi
Metode regula falsi disebut juga metode Interpolasi Linear atau metode Posisi Salah adalah metode yang digunakan untuk mecari akar-akar persamaan nonlinear melalui proses iterasi. Metode regula falsi merupakan metode pencarian akar persamaan dengan memanfaatkan kemiringan dan selilih tinggi dari dua titik batas range. Solusi akar (atau akar-akar) dengan menggunakan metode Regula Falsi merupakan modifikasi dari Metode Bisection dengan cara memperhitungkan 'kesebangunan' yang dilihat pada kurva berikut:

Gambar 3. Representasi grafis metode Regula-Falsi
Metode Regula Falsi menetapkan hampiran akar sebagai perpotongan antara garis yang melalui titik [a, f(a)] dan titik [b, f(b)] dengan sumbu-x. Jika titik potong tersebut adalah tersebut adalah c, maka akar terletak antara (a,c) atau (c, b).
Perhatikan kesebangunan antara dan pada Gambar 1 , sehingga didapatkan persamaan berikut dapat digunakan:

Diketahui :
Tabel 1. Koordinat titik-titik pada Gambar 1
Koordinat
Titik koordinat
A
(a, 0)
B
(b, 0)
C
(c, 0)
P
(b, f(b))
Q
(a, f(a))
R
(c, f(c))
Dari persamaan di atas diperoleh:

Sehingga

Persamaan di atas disebut sebagai persamaan rekursif dari metode Regula Falsi.Nilai c merupakan nilai akar x yang dicari. Sehingga jika dituliskan dalam bentuk yang lain, nilai akar x adalah sebagai berikut:

Dengan kata lain titik pendekatan x adalah nilai rata- rata range berdasarkan F(x).
Pada kondisi yang paling ekstrim "b – ar" tidak pernah lebih kecil dari , sebab salah satu titik ujung selang, dalam hal ini b, selalu tetap untuk iterasi r = 1,2,3,..... Titik ujung selang yang tidak berubah itu dinamakan titik mandek (stagnan point). Pada titik mandek,
"br – ar" = "b – ar" , dimana r = 1,2,3,...
Yang dapat mengakibatkan program mengalami looping. Untyk mengatasi hal ini, kondisi berhenti pada algoritma Regula-Falsi harus ditambah dengan memeriksa apakah nilai f(x) sudah sangat kecil hingga mendekati nol.
Algoritma Metode Regula Falsi
Algoritma Metode Regula Falsi secara singkat dapat dijelaskan sebagai berikut:
Definisikan fungsi f(x)
Tentukan batas bawah (a) dan batas atas (b)
Tentukan toleransi error () dan iterasi maksimum (n)
Tentukan nilai fungsi f(a) dan f(b)
Untuk iterasi I = 1 s/d n

Hitung nilai f(x)
Hitung error = " f(x)"
Jika maka a = c jika tidak b = c
Jika " f(x)", hentikan Iterasi
Akar persamaan adalah x
Metode Newton Rapshon
Pengertian Metode Newton Raphson
Metode newton raphson termasuk metode terbuka seperti halnya metode iterasi titik tetap. Rumus yang digunakan pada metode Newton-Raphson dapat diturunkan secara grafis maupun perluasan deret Taylor.
Algoritma Newton Raphson
Algoritma pada metode newton raphson adalah sebagai berikut:
Tentukan harga fungsi
Tentukan Harga Awal
Tentukan Interval = [a;b] dengan jumlah pembagi
Tentukan toleransi kesalahan dan iterasi maksimum n (jika belum ditentukan)
Hitung nilai fungsi dan turunannya
Hitung nilai menggunakan rumus:

Hitung kesalahan dan bandingkan dengan toleransi kesalahan yang diizinkan
Jika , maka ulangi langkah ke-2
Jika , maka iterasi selesai dan sebagai akar persamaan
Akar persamaan adalah terakhir yang diperoleh.
Metode Secant
Pengertian Metode Secant
Metode secant merupakan salah satu metode terbuka untuk menentukan solusi akar dari persamaan non linear. Metode secant melakukan pendekatan terhadap kurva f(x) dengan garis secant yang ditentukan oleh dua titik. Kemudian nilai akar selanjutnya adalah titik potong antara garis secant dengan sumbu x. Berikut metode secant ditunjukan secara grafis.
Algoritma Metode Secant
Algortima pada metode Secant yaitu:
Definisikan toleransi eror (εs)
Taksir batas atas xidan batas bawah xi-1.
Tentukan f(xi) dan f(xi-1). Jika f(xi) = f(xi-1) maka iterasi tidak dilanjutkan, tetapi jika f(xi) = f(xi-1) maka iterasi dilanjutkan.
Lakukan iterasi dengan menghitung nilai taksiran akar selanjutnya dengan:

Iterasi berhenti jika εrh εs, dengan:

BAB III
PEMBAHASAN
Pengertian Polinom Interpolasi Maju
Polinom Newton-Gregory merupakan kasus khusus dari polinom Newton untuk titik-titik yang berjarak sama. Untuk titik-titik yang berjarak sama, rumus polinom Newton menjadi lebih sederhana. Selain itu, tabel selisih-terbagi pun lebih mudah terbentuk yang disebut dengan tabel selisih. Dinamakan dengan tabel selisih karena tidak ada proses pembagian dalam pembentukan elemen tabel. Ada dua macam tabel selisih, yaitu tabel selisih maju (forward difference), dan tabel selisih mundur (backward difference). Berdasarkan dua macam tabel selisih tersebut, maka ada dua macam polinom Newton-Gregory, yaitu polinom Newton-Gregory maju dan polinom Newton-Gregory mundur.
Polinom Newton-Gregory maju diturunkan dari tabel selisih maju. Penurunan rumus polinom Newton-Gregory Maju dikembangkan berdasarkan pada tabel selisih maju.
Tabel Selisih Maju
Misal diberikan lima buah titik dengan absis x yang berjarak sama. Tabel selisih maju yang dibentuk dari ketiga titik itu adalah:
x
f(x)
f
2 f
3f
4f
x0
f0
f0
2 f0
3 f0
4f0
x1
f1
f1
2 f1
3 f1

x2
f2
f2
2 f2

x3
f3
f3

x4
f4

Lambang menyatakan selisih maju. Arti setiap symbol di dalam tabel adalah:
f0 = f(x0) = y0
f1 = f(x1) = y1
…
f4 = f(x4)
Notasi: fp = f(xp)

f0 = f1 – f0
f1 = f2 – f1
…
f3 = f4 – f3
Notasi: fp = fp+1 – fp

2f0 = f1 – f0
2f1 = f2 – f
2f2 = f3 – f2
Notasi: 2fp = fp+1 – fp

3f2 = 2f1 – 2f0
3f2 = 2f2 – 2f1
Notasi: 3fp = 2fp+1 – 2fp

Bentuk umum:
n+1fp = nfp+1 – nfp n = 0, 1, 2, …

Penurunan Rumus Polinom Newton-Gregory Maju
Penurunan rumus polinom Newton-Gregory Maju didasarkan pada tabel selisih maju.

Bentuk Umum:

dengan demikian polinom Newton untuk data berjarak sama dapat ditulis sebagai:

Persamaan ini dinamakan polinom Newton-Gregory maju. Persamaan di atas dapat juga ditulis sebagai relasi rekursif:

Jika titik-titik berjarak sama dinyatakan sebagai:

dan nilai x yang diinterpolasikan adalah

maka persamaan polinom Newton-Gregory maju dapat juga ditulis dalam parameter s sebagai

yang menghasilkan

atau dalam bentuk relasi rekursif,
rekurens:
basis:
Seringkali persamaan dalam parameter s dinyatakan dalam bentuk binomial:

yang dalam hal ini,

dan
Tahap pembentukan polinom Newton-Gregory maju untuk titik-titik berjarak sama dapat dituliskan sebagai berikut:

Algoritma Polinom Interpolasi Maju
Algoritma pada Polinom Interpolasi Maju:
Tentukan selang f(x)
Tentukan jarak antar selang atau h
Tentukan derajat n
Buatlah tabel selisih maju
Tentukan s

Cari
Contoh Soal dan Penyelesaian Polinom Interpolasi Maju
Contoh soal:
Bentuklah tabel selisih untuk fungsi di dalam selang [0.000, 0.625] dan h = 0.125. Hitung f(0.300) dengan polinom Newton-Gregory maju derajat 3.

Penyelesaian:

Selang f(x) = [0.000, 0.625]
h = 0.125
n = 3
Membuat tabel selisih maju
Tabel selisih maju:
i
x
f(x)

2
3
0
0.000
1.000
-0.111
0.022
-0.006
1
0.125
0.889
-0.089
0.016
-0.003
2
0.250
0.800
-0.073
0.013
-0.005
3
0.375
0.727
-0.060
0.008

4
0.500
0.667
-0.052

5
0.625
0.615

Diketahui: di dalam selang [0.1, 1.7] dan Hitung f(0.8) dengan polinom Newton-Gregory maju derajat 2.
Penyelesaian:

Selang f(x) = [0.1, 1.7]
h = 0.4
n = 2
Membuat tabel selisih maju
Tabel selisih maju:

0.1
0.09983
0.37960
-0.07570
-0.04797
0.5
0.47943
0.30390
-0.12367
-0.02846
0.9
0.78333
0.18023
-0.152134

1.3
0.96356
0.02810

1.7
0.99166

BAB IV
STUDI KASUS
Sensus penduduk yang dilaksanakan 10 tahun sekali, merupakan suatu proses keseluruhan dari pengumpulan, pengolahan, penyajian, dan penilaian data penduduk. Penelitian ini menggambarkan "Bagaimana Prediksi Banyaknya Penduduk Sulawesi Tengah dengan Menggunakan metode Polinom Newton Gregory Maju". Sumber data yang digunakan adalah data sekunder dan jenis data yang digunakan dalam metode polinom newton Gregory Maju untuk memprediksi banyaknya penduduk Sulawesi Tengah disetiap tahun pada periode 1980 sampai dengan 2010. Hasil penelitian menunjukkan bahwa prediksi dengan menggunakan metode polinom Newton Gregory Maju lebih mendekati data prediksi dari Badan Pusat Statistik yang mana keakuratan metode tersebut dapat dilihat berdasarkan perolehan galat relatifnya (eror).
Pelaksanaan sensus yang dilakukan oleh Badan Pusat Statistik (BPS) Provinsi Sulawesi Tengah dilaksanakan dalam kurun waktu 10 tahun sekali melalui sensus penduduk. Prediksi penduduk pada tahun berikutnya dalam tiap periode sensus perlu dilakukan untuk mengetahui selisih pertambahan penduduk pada tahun tersebut (BPS, 2003). Polinom Newton Gregory merupakan kasus khusus dari Polinom Newton untuk titik-titik yang berjarak sama, dimana rumus polinom Newtinnya lebih sederhana. Selain itu, tabel selisih maju (forward difference) lebih mudah dibentuk.
Peneliti tertarik untuk mengkaji banyaknya penduduk Sulawesi Tengah diantara empat periode sensus, dengan menggunakan metode Polinom Newton Gregory Maju. Selanjutnya untuk melihat kelayakan atau akurasi hasil prediksi ini, akan dikaji tafsiran galat dari metode tersebut. Sedangkan untuk mendapatkan hasil perhitungan dengan lebih cepat akan dibuatkan program komputernya. Harapan peniliti adalah agar dapat dijadikan sebagai aplikasi alternative bagi Badan Pusat Statistik (BPS) untuk memprediksi banyaknya penduduk pada tahun diantara periode tersebut.
Prediksi Polinom Gregory Maju diselesaikan menggunakan persamaan berikut: ditentukan melalui tabel beda terbagi Newton Gregory Maju dengan menggunakan dara sensus penduduk Sulawesi Tengah dengan jarak sensus 10 tahun. Pada penelitian ini digunakan Pesamaan Galat Relatif untuk mengetahui seberapa besar error yang dihasilkan dengan mensubtitusikan hasil prediksi dari metode yaitu nilai sejati serta nilai hampiran. Berikut data prediksi dari metode Polinom Newton Gregory Maju:
Tahun
Prediksi Banyaknya Penduduk (Jiwa)
Galat Relatif Polinom Newton Gregory Maju
Tahun
Prediksi Banyaknya Penduduk (Jiwa)
Galat Relatif Polinom Newton Gregory Maju
1981
1328485
0,01014455
1996
2269804
0,004465699
1982
1368202
0,016672416
1997
2316503
0,005972059
1983
1498737
0,023405893
1998
2363000
0,007694581
1984
1450043
0,030331015
1999
2409246
0,009731615
1985
1492070
0,037249968
2001
1756662
0,001568844
1986
1534770
0,043637836
2002
1802378
0,002730135
1987
1578095
0,050198616
2003
1848427
0,003483706
1988
1621995
0,056979651
2004
1894760
0,003830102
1989
1666422
0,064018198
2005
1941327
0,003770944
1991
1988082
0,000249274
2006
2455192
0,003558163
1992
2034974
0,001174214
2007
2500791
0,003027382
1993
2081956
0,001174214
2008
2545992
0,00209709
1994
2128978
0,00212766
2009
2590747
0,000770642
1995
2222951
0,003169705

Total

BAB V
KESIMPULAN
Metode numerik adalah teknik-teknik yang digunakan untuk memformulasikan masalah matematis agar dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan. Secara harafiah metode numerik berarti cara berhitung dengan menggunakan angka-angka. Perhitungan ini melibatkan sejumlah besar operasi-operasi hitungan yang berulang-ulang.
Untuk mencari nilai diantara beberapa titik data yang telah diketahui gunakan interpolasi. Interpolasi adalah metode untuk mencari nilai diantara data-data yang telah diketahui .Dalam kehidupan sehari-hari, interpolasi dapat digunakan untuk memperkirakan suatu fungsi di mana fungsi tersebut tidak terdaftar dengan suatu formula, tetapi didefinisikan hanya dengan data-data atau tabel yang tersedia. Salah satunya menggunakan Interpolasi Newton Maju.

DAFTAR PUSTAKA

Brown, J. W., and R. C. Churchill. "Complex Variables and Applications," 7th ed. 2003. New York: McGraw-HillCompanies, Inc.
G. A Pratiwi dkk. 2017. Aplikasi Metode Polinom Newton Gregory Maju dan Polinom Newton Gregory Mundur Dalam Memprediksi Banyaknya Penduduk Sulawesi Tengah. JIMT, (Online), Vol. 14, No. 2, (diunduh bulan Desember 2017)
Munir, Rinaldi. 2008 Metode Numertik. Bandung: Informatika
Paliouras, J. D. "Peubah Kompleks untuk Ilmuwan dan Insinyur". 1975. Jakarta: Erlangga

MAKALAH INTERPOLASI MAJU

Recommend Documents