Universidad Autónoma de Santo Domingo (UASD)-CURNA Centro Universitario Regional Nagua ASIGNATURA Matemática Básica
SECCIÓN N-2
Tema Trabajo Final
Maestra Lic. Reyna Tavares
Sustentado por Virginia Pérez Guzmán
100240914
Fecha 29 de Julio 2017. Nagua, Prov. Maria Trinidad Sánchez, Rep. Dom.
[email protected]
Funciones Trigonométrica
HISTORIA DE LA TRIGONOMETRÍA. La historia de la trigonometría comienza con los babilonios y los egipcios. Estos últimos establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los tiempos de la Grecia clásica, en el siglo II a. C. el astrónomo Hiparco de Nicea construyó una tabla de cuerdas para resolver triángulos. Comenzó con un ángulo de 71° y yendo hasta 180° con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r. Tres siglos después, el astrónomo Claudio Ptolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico base 60de los babilonios. Durante muchos siglos, la trigonometría de Ptolomeo fue la introducción básica para los astrónomos.
Su libro de Astronomía, el Almagesto, también tenía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro mostraba ejemplos de cómo utilizar dicha tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Ptolomeo. Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos hindúes utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas. A finales del siglo VIII los astrónomos árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría, tanto para triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas
Padre de la trigonometría, su aplicación y su importancia. El matemático y astrónomo Griego Hiparco De Nicea, considerado el Padre de la Trigonometría, construye una tabla de cuerdas que equivale a la moderna.
Aplicación Puede ser aplicada en el diseño y fabricación de todas las piezas que se producen en máquina, en el sector de construcción, arquitectura, iluminación, desplazamiento de fluidos, física, química, estática, cinemática y dinámica, en corriente alterna, en magnetismo y electromagnetismo, ondas, luz y sonido, difracción e interferencia, resonancia y en casi todas las ramas de la ingeniería. Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia que no podía ser medida de forma directa. Astronomía para medir distancias estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación. El Canadarm 2, un brazo manipulador robótico gigantesco de la Estación Espacial Internacional. Este manipulador es operado controlando los ángulos de sus articulaciones. Hoy en día la posición sobre la Tierra se puede localizar de forma muy precisa usando el sistema de posicionamiento global (GPS) de 24 satélites en órbita exacta, que están difundiendo constantemente su posición. Un pequeño instrumento electrónico de mano recibe sus señales y nos devuelve nuestra posición con
un error de 10-20 metros (aún es más preciso para usos militares, los patrocinadores del sistema). Se usa una gran cantidad de trigonometría . En ingeniería civil se usa para el trazo y levantamiento en terrenos, en la construcción de estructuras exactas como armaduras principalmente, en calcular empuje hidrostático, pendientes para cuencas de agua y para el módulo de elasticidad de los materiales, con ayuda de trigonometría se obtiene el circulo de mohúr, este círculo te indica los esfuerzos y deformaciones Máximas y mínimas en una estructura. Ha participado en distintos experimentos de la ciencia, en la Geografía por ejemplo, en el año 1806, la corona británica inicio un ambicioso estudio consistente en medir las alturas de las montañas (monte Everest) que se extendían a lo largo del meridiano. los cálculos se basaban en mediciones de distancias y ángulos hechos a pie de campo con ayuda de teodolitos, también para medir la altura de un edificio, para calcular el ángulo de tiro para dar en el blanco y para todo esto multiplicado por 100 o 1000. En la arquitectura, la medida de los ángulos es imprescindible en esta área, ya que para la creación de un plano se debe medir con exactitud los ángulos de cada pared y columna, debido a que esta podría desplomarse si sus ángulos no son rectos (90º), esto se debe al fundamento de que una deformidad pequeña con el tiempo se convierte en una grande. La trigonometría la podemos aplicar en las telecomunicaciones. De tal manera que en esta empleamos y podemos dar a conocer las distintas circunferencias de radio o unidad, dando a entender la Gran longitud de señal que se puede expandir en las telecomunicaciones, Como la longitud de onda de una señal depende de su frecuencia, esto también depende del tamaño de la antena que resección la onda. La base matemática sobre la que se desarrollan las telecomunicaciones consistía en justificar matemáticamente conceptos físicos descritos hasta ese momento de forma únicamente cualitativa Con este objeto, introdujo el concepto de onda electromagnética, que permite una descripción matemática adecuada de la interacción entre electricidad y magnetismo mediante sus célebres ecuaciones que describen y cuantifican los campos de fuerzas. También se
desarrolló el transmisor de radio generando radiofrecuencias entre 31 MHz y 1.25 GHz, todo esto dependen de las funciones trigonométricas.
Importancia la trigonometría es una de las muchas ramas de la matemática en la cual no solo se utiliza para la construcción de edificios, como mucha gente en el mundo piensa, sino también para la medición de distancias entre algunos puntos geográficos y en sistemas de navegación por satélites, también para hallar ángulos de inclinación o de peralte en una carretera; la trigonometría tiene muchas aplicaciones y puedes resolver problemas de la vida diaria y como ya saben también se utiliza mucho en la ingeniería; ve a tu alrededor y veras siempre una figura geométrica, un ángulo, un triángulo, sistema de fuerzas, entre otros. Y en general la trigonometría es quizá la parte de mayor uso en la vida diaria y en algún momento de tu vida vas a poder ver esta materia en tu vida cotidiana ya sea directa o indirectamente.
Triangulo y sus partes. Un triángulo en geometría plana, es un polígono de tres segmentos que determinan tres puntos del plano no colineales. Los puntos comunes a cada par de segmentos se denominan vértices del triángulo y los segmentos son los lados del triángulo.
Triángulo: de lados y de ángulos interiores
Vértices Cada uno de los puntos que determinan un triángulo. Tal como los vértices de un polígono, suelen ser denotados por letras latinas mayúsculas: ABC Si AB + BC..AC no existe triángulo que determine A, B y C. Un triángulo se nombra entonces como cualquier otro polígono, designando sucesivamente sus vértices, por ejemplo ABC . En el caso del triángulo, los vértices pueden darse en cualquier orden, porque cualquiera de las 6 maneras posibles ( ABC , ACB, BAC , BCA, CAB, CBA), corresponde a un recorrido de su perímetro. Esto ya no es cierto para polígonos con más vértices.
Lados Cada par de vértices determina un segmento, que se conoce como lado del triángulo. No interesa el orden de los vértices para nombrar un lado de modo AB, BA nombran a un mismo lado. Los lados del triángulo se denotan, como todos los segmentos, por sus extremos: AB, BC y AC.
Ángulos Cada par de lados con origen común el vértice de un triángulo y que contienen dos de esos lados concurrentes se llama ángulo del triángulo u ocasionalmente- ángulo interiorLa notación general para el ángulo entre dos segmentos OP y OQ prolongados y que concurren en el extremo O es: POQ.
Funciones trigonométricas en un triángulo y rectángulo. Las funciones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en
una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos. Para definir las razones trigonométricas del ángulo: a del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivos será:
La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.
El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo
El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo
. .
Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango: 1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa. 2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa. 3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente. 4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto. 5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente.
6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto.
Resolución de triangulo y rectángulo. Que es resolver un triangulo. La resolución de triángulos (del latín solutio triangulorum) es uno de los principales problemas de los que se ocupa la trigonometría. Consiste en determinar las dimensiones características de un triángulo (sus ángulos y las longitudes de sus lados), cuando algunos de estos datos son conocidos. El triángulo se encuentra en un plano o en una esfera. Aplicaciones que requieren la resolución de triángulos incluyen la geodesia, la astronomía, la construcción y la navegación.
Notación de los elementos de un triángulo. Un triángulo de forma general tiene seis características principales (véase el cuadro): tres lineales (las longitudes de los lados a, b, c) y tres angulares (α , β , γ ). En los problemas clásicos de trigonometría en el plano se deben especificar tres de las seis características y determinar las otras tres. En este sentido, un triángulo puede ser determinado por completo únicamente en los siguientes casos: 12
Tres de sus lados ( LLL)
Dos lados y el ángulo incluido ( LAL)
Dos lados y un ángulo no comprendido entre ellos ( LLA), si la longitud del lado adyacente al ángulo es menor que la longitud del otro lado.
Un lado y los dos ángulos adyacentes a él ( ALA)
Un lado, el ángulo opuesto a él y un ángulo adyacente ( AAL)
Tres ángulos ( AAA) sobre la esfera (pero no en el plano).
Para todos los casos en el plano, se debe especificar al menos la longitud de uno de los lados. Si sólo se dan los ángulos, no es posible determinar las longitudes de los lados, ya que cualquier triángulo semejante es una solución del problema.
Ley del seno y el coseno y sus aplicaciones. El triángulo ABC es un triángulo rectángulo y lo usaremos para definir las funciones seno y coseno. En un triángulo rectángulo, el seno (abreviado como sen o sin) es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa. sen α = cos β = |BC| / |AB| = |BC| / 1 = |BC| = a Para cualquier triangulo se verifica el Teorema del seno que demuestra que: «Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos» El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa. Si usamos una circunferencia unitaria (con radio igual a uno), entonces la hipotenusa, AB, del triángulo se hace 1, por lo que las relaciones quedan cos α = sen β = |AC| / |AB| = |AC| / 1 = |AC| = b Para cualquier triangulo se verifica el Teorema del coseno que demuestra que: «El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido»
y sus propiedades.
Historia En el siglo XVII se acomete el estudio preciso de las leyes naturales (con las funciones) y de sus variaciones (con el Cálculo Diferencial). Pero se trataba de conceptos teóricos que debían aplicarse a medidas experimentales, sobre las que luego había que realizar cálculos laboriosos. Se ponían en evidencia dos requisitos importantes: por una parte, disponer de un sistema universal de medidas; y, por otra, mejorar la capacidad de cálculo. Lo primero no se alcanza plenamente hasta 1792, cuando la Academia de Ciencias de París establece el Sistema Métrico Decimal, un triunfo imperecedero del racionalismo impuesto por la Revolución Francesa (ver grabado de la derecha). Pero la mejora de los cálculos, tanto en rapidez como en precisión, era una línea de avance permanente desde el siglo XV, que había fructificado ya en el siglo XVI en un concepto decisivo: el logaritmo.
Importancia, definición, tipos. La importancia de los logaritmos está en que gracias a ellos, se facilita la resolución de cálculos muy complejos, lo que ha contribuido enormemente al avance de la ciencia. Si bien es cierto que son elementos de estudios fundamentales en la matemática, lo importante de los logaritmos está en las posibilidades de aplicación que tienen en la vida real. Sin los logaritmos y su contribución, sería imposible conseguir muchísimos de los avances que hasta ahora han sido posibles. Entre los muchos avances a los que ha contribuido está el de la astronomía. También tiene múltiples aplicaciones en la geodesia, en la navegación marítima y la matemática aplicada. En la economía, los cálculos realizados con los logaritmos ayudan a conocimiento de la oferta y la demanda. En la banca, por ejemplo, ayuda al calcular el crecimiento de los depósitos. También se puede aplicar a la estadística, en la que sus cálculos ayudan a conocer el crecimiento de población. Otra de las aplicaciones que tienen los logaritmos está en la música, cuyos pentagramas tienen relación con la escala logarítmica. La
topografía es otro de los usos que tiene, ayudando a conocer la altitud de un edificio.
Definición En matemáticas lo que es un logaritmo de un número es el exponente al cual otro valor fijo, la base, debe llegar para producir este número. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 para base 10 es 3, porque 10 a la potencia de 3 es 1000. Teniendo que 10×10×10=1000− y por lo tanto es 103.
Tipos Logaritmos decimales : Son los que tienen base 10. Se representan por log (x) , la base 10 no se escribe, queda implícita.
Logaritmos neperianos o naturales: Son los que tienen base e. este número tiene gran importancia en las Matemáticas. No es racional y su valor, con seis cifras decimales, es e = 2,718281… Este tipo de logaritmos se representa por ln (x) o L(x) la base e tampoco se escribe, se subentiende cuando aparece ln. Algunos ejemplos de logaritmos neperianos son: ln 1 = 0; puesto que e0 = 1 ln e2 = 2; puesto que e2 = e2 ln e−1 = −1; puesto que e−1 = e−1
Como buscar logaritmo en la calculadora. 1. En la calculadora el logaritmo se puede sacar en cualquier base solo hay que hacer lo siguiente por ejemplo: Solucionaremos: Log en base 6 de 17: 1) Se saca el "log" en base 10 de 17 que nos dará 1.23044 2) Luego sacamos el logaritmo en base 10 de 6 el cual debe dar como resultado 0.77815. 3) Luego esos dos resultados del punto uno y dos los dividimos así 1.23044/0.77815 lo cual debe darnos 1.58125, entonces, Log 6 (17)=1.58125.
Propiedades de logaritmo y su aplicación. 1- Logaritmo de la unidad El logaritmo de 1 en cualquier base es igual a 0.
Log b (1) = 0 ; con b ≠ 1. Ej: log 5 (1) = 0 porque
50 =1
Log 7 (1) = 0 porque 70 = 1 log 20 1 = 0
200 = 1
⇔
2- Logaritmos de la base El logaritmo de la base es igual a 1. Log b (b) = 1 ; con b ≠ 1. Ej: Log 5 (5) = 1
⇔
51 = 5
Log 6 (6) = 1
⇔
log12 (12) = 1
61 = 6 121 = 12
⇔
3- Logaritmo de una potencia con igual base: El logaritmo de una potencia de un número es igual al producto entre el exponente de la potencia y el logaritmo del número. logb bn = n, con b ≠ 1 Ej: log6 6 3 = 3
4- Logaritmo de un producto El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. logb (a • c) = logb a + logb c Ej: logb (5 • 2) = logb 5 + logb 2 Función exponencial y logaritmo. Las funciones exponencial y logarítmica de base a , a > 0 y a ≠ 1, son inversas una de la otra, por lo que sus gráficas son simétricas respecto de la bisectriz del primer cuadrante. Se puede desplazar el punto azul situado en la gráfica de la función exponencial. ¿Cómo son las pendientes de las tangentes a las gráficas de las funciones exponenciales y logarítmicas de la misma base en puntos simétricos respecto a la bisectriz del primer cuadrante? El valor puede cambiarse con el cursor deslizante o especificándolo en el campo de entrada. Puedes emplear la letra e para representar al número e = 2.718281828459045... Pero pulsando el botón [a = e = 2.7182818284...], se obtiene igualmente a = e, de forma exacta. Las gráficas son entonces las de la función exponencial por antonomasia, y = ex, y su inversa, la función logaritmo natural o neperiano, y = ln(x). ¿Hay números que coinciden con su logaritmo? Investiga en que bases sucede y para cuantos números ocurre en cada caso. El botón [a = e^(1/e) = 1.444667...] puede resultar útil para esto.
Teoría combinatoria.
Historia El nacimiento y desarrollo de la combinatoria ha sido paralelo al desarrollo de otras ramas de las Matemáticas, tales como el álgebra, teoría de números, y probabilidad. Desde tiempos muy remotos ha habido problemas de combinatoria que han llamado la atención de los matemáticos:
El término “combinatoria” tal y como lo usamos actualmente fue introducido por Wihem Leibnizen su Dissertartio de Arte Combinatoria. De gran importancia para la consolidación de la combinatoria fue el artículo de Ars Conjectandi (el arte de conjeturar) de J.Bernouilli » ; este trabajo estaba dedicado a establecer las nociones básica de probabilidad. Para esto fue necesario introducir también un buen número de nociones básicas de combinatoria pues se usaron fuertemente como aplicaciones al cálculo de probabilidades. Se puede decir que con los trabajos de Leibniz y Bernoulli se inicia el establecimiento de la c El problema de los cuadrados mágicos, que son matrices de números con la propiedad de que la suma de los elementos de cualquier columna, fila o diagonal es el mismo número, aparece en un viejo libro chino fechado 2200 a. C. Los cuadrados mágicos de orden 3 fueron estudiados con fines místicos. Los coeficientes binominales, que son los coeficientes enteros del desarrollo de (a+b) fueron conocidos en el siglo XII. El triángulo de Pascal » que es una disposición triangular de los coeficientes binominales fue desarrollado en el siglo XIII. combinatoria como una nueva e independiente rama de las matemáticas.
Importancia. El estudio de la combinatoria es de gran importancia en otras ramas de la matemática como en la teoría de probabilidad, en estadística y en el desarrollo del binomio de newton. Tiene además importantes aplicaciones como en el diseño de computadoras, en ciencias físicas y sociales. En general la teoría combinatoria es de gran utilidad en todas aquellas áreas donde distintas maneras de agrupar un número finito de elementos tengan importancia. En el análisis combinatorio se distinguen las variaciones, las permutaciones y las combinaciones.
Factorial El factorial de un entero positivo n, el factorial de n o n factorial se define en principio como el producto de todos los números enteros positivos desde 1 (es decir, los números naturales) hasta n. Por ejemplo, {\displaystyle 5!=1\times 2\times 3\times 4\times 5=120.\ }La operación de factorial aparece en muchas áreas de las matemáticas, particularmente en combinatoria y análisis matemático. De manera fundamental el factorial de n representa el número de formas distintas de ordenar n objetos distintos (elementos sin repetición). Este hecho ha sido conocido desde hace varios siglos, en el siglo XII por los estudiosos hindúes. La definición de la función factorial también se puede extender a números no naturales manteniendo sus propiedades fundamentales, pero se requieren matemáticas avanzadas, particularmente del análisis matemático. La función factorial (símbolo: !) sólo quiere decir que se multiplican una serie de números que descienden. Ejemplos: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040
1! = 1.
Permutación La definición intuitiva de permutación, como ordenamientos o arreglos de los elementos de un conjunto se formaliza con el uso del lenguaje de funciones matemáticas. Una permutación de un conjunto X es biyectiva de dicho conjunto en sí mismo.
una función
Entonces, cada correspondencia uno a uno entre el conjunto {1, 2, 3} a sí mismo equivale a una forma de ordenar los elementos. Por ejemplo, la asignación biyectiva dada por 1→1 2→2 3→3 puede hacerse corresponder al ordenamiento "1, 2, 3". Por otro lado, la asignación biyectiva dada por 1→3 2→2 3→1 Puede hacerse corresponder al ordenamiento "3, 2, 1". En la definición de permutación, no se establece condición alguna sobre X , el cual puede incluso ser infinito. Sin embargo, es común considerar únicamente el caso en que X es un conjunto finito al estudiar permutaciones.
Combinación Una combinación es un arreglo donde el orden NO es importante. La notación para las combinaciones es C(n,r) que es la cantidad de combinaciones de “n” elementos seleccionados, “r” a la vez. Es igual a la cantidad de permutaciones de “n” elementos tomados “r” a la vez dividido por “r” factorial. Esto sería P(n,r)/r! en notación matemática. Ejemplo: Si se seleccionan cinco cartas de un grupo de nueve, ¿cuántas combinaciones de cinco cartas habría? La cantidad de combinaciones posibles sería: (9*8*7*6*5)/(5*4*3*2*1) = 126 combinaciones posibles.
P(9,5)/5!
=
Variación En combinatoria, se denomina variación a cada una de las tuplas que pueden formarse tomando elementos de un conjunto. En combinatoria de conjuntos finitos frecuentemente se necesita conocer número de variaciones de un conjunto de elementos tomados en tuplas de n elementos (con o sin elementos repetidos en las tuplas). Las variaciones con repetición de conjuntos de m elementos tomados en tuplas de n elementos es el número de diferentes n-tuplas de un conjunto de m elementos, este resulta ser: {\displaystyle VR_{m}^{n}=m^{n}} Si no se admiten elementos repetidos, entonces el número de n-tuplas en que ninguno de los elementos se repite se llama número de variaciones sin repetición. Este otro número resulta ser: {\displaystyle V_{m}^{n}={\frac {m!}{(m-n)!}}} Nótese que las permutaciones son variaciones sin repetición del total de elementos del conjunto o sea donde m = n, por lo que cada variación sin repetición del conjunto, es una permutación del conjunto original.
Probabilidad. La probabilidad es una medida de la certidumbre asociada a un suceso o evento futuro y suele expresarse como un número entre 0 y 1 (o entre 0% y 100%). Una forma tradicional de estimar algunas probabilidades sería obtener la frecuencia de un acontecimiento determinado mediante la realización de experimentos aleatorios, de los que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables. Un suceso puede ser improbable (con probabilidad cercana a cero), probable (probabilidad intermedia) o seguro (con probabilidad uno). La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, las ciencias, la administración, contaduría, economía y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad discreta de sucesos potenciales y la mecánica subyacente discreta de sistemas complejos, por lo tanto es la rama de las matemáticas que estudia, mide o determina a los experimentos o fenómenos aleatorios.
PRODUCTOS COCIENTES NOTABLES
Productos Notables Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación.1 Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados, y recíprocamente.
Binomio al cuadrado (a ± b) 2 = a 2 ± 2 · a · b + b 2 (x + 3) 2 = x 2 + 2 · x · 3 + 3 2 = = x 2 + 6 x + 9 (2x − 3) 2 =
(2x) 2 − 2 · 2x · 3 + 3 2 =
= 4x 2 − 12 x + 9 Suma por diferencia (a + b) · (a − b) = a 2 − b 2
(2x + 5) · (2x - 5) = (2x) 2 − 5 2 = 4x 2 – 25 Binomio al cubo (a ± b) 3 = a 3 ± 3 · a 2 · b + 3 · a · b 2 ± b 3
(x + 3) 3 = x 3 + 3 · x 2 · 3 + 3 · x· 3 2 + 3 3 = = x 3 + 9 x 2 + 27 x + 27 (2x - 3) 3 = (2x) 3 - 3 · (2x) 2 ·3 + 3 · 2x· 3 2 - 3 3 = = 8x 3 - 36 x 2 + 54 x - 27 Trinomio al cuadrado (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b ·c (x 2 − x + 1) 2 = = (x 2 ) 2 + (-x) 2 + 1 2 +2 · x 2 · (-x) + 2 x 2 · 1 + 2 · (x) · 1= = x 4 + x 2 + 1 - 2x 3 + 2x 2 - 2x= = x 4 - 2x 3 + 3x 2 - 2x + 1 Suma de cubos a 3 + b 3 = (a + b) · (a 2 − ab + b 2 ) 8x 3 + 27 = (2x + 3) (4x 2 - 6x + 9) Diferencia de cubos
a 3 − b 3 = (a − b) · (a 2 + ab + b 2 ) 8x 3 − 27 = (2x − 3) (4x 2 + 6x + 9) Producto de dos binomios que tienen un término común (x + a) (x + b) = x 2 + ( a + b) x + ab (x + 2) (x + 3) = = x 2 + (2 + 3)x + 2 · 3 = = x 2 + 5x + 6
Cocientes notables Los cocientes notables son aquellos que resultan de divisiones exactas entre polinomios, es decir que el resto es igual a cero.
Suma de potencias iguales impares entre la suma de sus bases La suma de potencias de exponentes iguales impares siempre es divisible exactamente entre la suma de sus bases. Se estructura igual que el anterior con la siguiente diferencia en el paso uno El primer factor del resultado será positivo el segundo negativo y de esta manera seguirán alternándose hasta terminar el polinomio. Ejemplos:
Diferencia de potencias iguales pares entre la suma de sus bases La diferencia de potencias de exponentes iguales pares siempre es divisible exactamente entre la suma de sus bases. Se estructura exactamente igual que el anterior sin diferencias. Ejemplos:
Es necesario hacer mención que, si tenemos una suma de potencias iguales pares nunca será divisible exactamente entre la suma de sus bases, tampoco lo será la diferencia de potencias iguales impares si se divide si se divide entre la suma de sus bases.
