1
METODA KONAČNIH ELEMENATA
2
1. UVOD 1.1. Uvodne napomene o MKE
Metoda konačnih elemenata (MKE) ili The Finite Element Method (FEM) je numerički postupak za diferencijalnih približno rešavanje graničnih i početnih problema, odn. običnih ili parcijalnih diferencijalnih jed način načina sa datim graničnim i početnim uslovima.
Granični problem (Boundary value problem, Field problem) određen je sa parcijalnom diferencijalnom jednačinom definisanom unutar nekog domena V ili i sa odgovarajućim graničnim uslovima na konturi (statički problem). Na primer, može da se traži raspodela raspodela temperature, ili intenziteta magnetnog polja polja unutar neke oblasti, ili raspodela pomeranja i sila u preseku u linijskom nosacu, ugiba u ploči i sl. U matematičkom smislu, takvi problemi se definišu diferencijalnim jednačinama ili u obliku integralne formulacije. Obe matematičke formulacije problema mogu da budu osnov za (približnu) numeričku formulaciju primenom MKE. MKE. Domen definisanosti problema, odnosno nepoznate veličine, može da bude linijski (1D), površinski (2D) ili prostorni (3D). Odgovarajuće koordinate koje definišu domen su nezavisno promenljive veličine (koordinate), dok je tražena veličina nepoznata funkcija koordinata. Ako je domen problema linijski (1D), granični problem je definisan sa običnom diferencijalnom jed način načinom. U slučaju kada je domen 2D i li 3D, problem je definisan sa parcijalnom diferencijalnom diferencijalnom jed način načinom.
Rešenje graničnog problema je poznata raspodela tražene veličine unutar posmatranog domena. Početni problem (Initial value problem) određen je sa parcijalnom diferencijalnom jednačinom definisanom unutar nekog prostornog domena domena V ili il i , kao i u vremenskom domenu t > 0, (dinamički problem) U slučaju problema početnih vrednosti, osim graničnih uslova na konturi domena, neophodni su i
odgovarajući početni uslovi u početnom trenutku t = t0 Početni uslovi predstavljaju poznate vrednosti funkcije problema i njenih izvoda po vremenu, u svim tačkama domena definisanosti, uključujući i granicu, u početnom trenutku vremena t = t0. Suština MKE je diskretizacija (podela) posmatranog domena na izabrane pod-domene, odn. na konačne elemente, usvojenog oblika, pri cemu su ti pod-domeni konačnih dimenzija i sa izabranim nim tačkama na granici, a moguće i u unutrašnjosti konačnog elementa čvor nim Konačni elementi su jednostavnih oblika: oblika: linijski segmenti, trouglovi, četvorougli, četvorougli, paralelopipedi i sl.
Cilj je da se stvarni fizički domen problema izabranim konačnim elementima što bolje prikaže u računskom domenu prikazanom preko usvojene mreže konačnih elemenata Cilj je da se postigne što bolje poklapanje fizičkog i računskog domena. Pojedinačni konačni elementi mogu da se shvate kao mali delovi posmatranog domena i u pitanju su mali konačni delovi, a ne infinitezimalni (beskonačno mali) delovi. Konačni elementi su međusobno povezani samo u čvornim tačkama. Nepoznata veličina unutar konačnog elementa izražava se kao linearna kombinacija poznatih poznatih funkcija raspodele unutar elementa i nepoznatih vrednosti funkcije u čvornim tačkama konačnog elementa Često se za nepoznate vrednosti u čvornim tačkama konačnih elemenata, osim glavne nepoznate veličine, biraju još i prvi izvodi nepoznate po koordinatama koje definišu domen.
3
diskretizacija računske oblasti konačnim elementima (veća i manja gustina mreže) nim tačkama konačni elementi su međusobno povezani samo u čvor nim
Unutar svakog konačnog elementa (kao male oblasti računskog domena) usvaja se jednostavna raspodela nepoznatih, nepoznatih, npr. u obliku polinoma (linearnog, kvadratnog ili kubnog) i nepoznatih vrednosti u čvor nim nim tačkama. Stvarna raspodela nepoznatih veličina unutar konačnih elemenata je drugačija, odn. komplikovanija,
pa je zato rešenje dobijeno primenom MKE približno. Što je mreža konačnih elemenata kojom se opisuje računski domen problema gušća, to je odstupanje između tačnog i približnog rešenja manje.
preko pravilnih poligona upisanih u krug Određivanje broja preko
Sa povećanjem broja stranica poligona upisanog u krug dobija se bolja aproksimacija broja
Usvojene funkcije raspodele nepoznatih unutar elementa zovu se interpolacione funkcije (shape functions), dok su vrednosti nepoznatih u čvor ovima ovima elementa čvor ne ne nepoznate (nodal unknowns). Osim osnovne nepoznate veličine (npr. komponente pomeranja), za čvor ne ne nepoznate mogu da se usvoje i izvodi i zvodi osnovne nepoznate po prostornim koordinatama. Na primer, u analizi ploča primenom MKE, za čvor ne ne nepoznate biraju se veličine w,
w x
w ,
y
4
gde je w ugib ploče (pomeranje u pravcu ose z upravno na ploču), dok su oko osa u ravni ploče.
w x i w y obrtanja
Unoseći prikazivanje nepoznate veličine u svakom konačnom elementu (preko poznatih interpolacionih funkcija unutar elementa i nepoznatih čvor nih nih vrednosti) u diferencijalne jed način načine graničnog problema, i “sabiranjem” doprinosa pojedinih konačnih elemenata, dolazi se do sistema algebarskih jed način nim nepoznatim. načina po čvor nim
Proces “sabiranja” pojedinih konačnih elemenata u cilju prikazivanja kompletnog računskog domena zove se “assembly”. Rešavanjem sistema algebarskih jednačina dobijaju se čvorne nepoznate, odn. vrednosti traženih veličina (osnovnih nepoznatih) u svim čvorovima usvojene mreže. Imajući u vidu poznatu interpolaciju nepoznate veličine unutar svakog konačnog elementa, koja se izražava preko već određenih čvornih vrednosti nepoznate, dobija se (približna) raspodela nepoznate veličine unutar cele računske oblasti. Ukoliko je mreža konačnih elemenata gušća, odn. ukoliko je veličina konačnih elemenata manja, dobijeno približno rešenje manje odstupa od tačno t ačnog. Ako se posmatra dinamički problem, odn. problem početnih vrednosti, primenom MKE MKE vrši se diskretizacija domena domena (diskretizacija po prostoru), pa se dolazi do sistema običnih diferencija dif erencijalnih lnih načina po vremenu po čvor nim jed način nim nepoznatim. Prema tome, posle prostorne diskretizacije domena posmatranog problema primenom MKE dolazi se do: - sistema algebarskih jed način načina - za statički problem - sistema običnih diferencijalnih jed način za dinamički problem načina po vremenu – za
(a) diskretizacija računske oblasti konačni m elementima (b) u jed način načini za čvor “i” čvor “i” sadržan je doprinos svih konačnih elemenata oko čvora “i”
1.2. Racunski modeli realnih problema
Posmatrani realan fizicki problem treba da se (dobro) razume. Za fizicke pojave i probleme od interesa postoje odgovarajuće matematičke formulacije. f ormulacije. j e (nacelno) Ako može da se odredi analiticko rešenje matematičke formulacije problema, problem je rešen. Ako je matematička formulacija problema suviše kompleksna, analiticko rešenje (cesto) nije moguće. U takvim slučajevima matematička formulacija se uprošcava i/ili se traži numeričko rešenje.
MKE je najpoznatija i najviše korišcena metoda za numerička rešavanja posmatranih realnih problema. MKE ima niz prednosti u odnosu na druge numeričke postupke: - MKE može da se primeni na bilo koji granični i/ili početni problem: prenos t oplote, naponsku analizu, analizu magnetnih i elektromagnetnih polja, analizu kretanja fluida, probleme interakcije interakcije fluida - konstrukcije, tla - konstrukcije, itd
5
- u primeni MKE nema geometrijskih ogranicenja: MKE može da se primeni na domen bilo kakve geometrije, odn. oblika - nema nikakvih ogranicenja po pitanju graničnih uslova i opterećenja koje deluje - materijalne osobine nisu ogranicene, ogranicene, npr., na izotropiju (jednaka fizicka svojstva u svim pravcima), već mogu da budu proizvoljne, ukljucujuci i različite u svakom elementu - u istom računskom modelu mogu da se istovremeno primenjuju konačni elementi koji su
međusobno različitog ponašanja (konačni elementi za proste štapove, za gredene elemente, za kablove, za ploče i ljuske itd) - primenom MKE mogu da se posmatraju i nelinearni problemi: problemi: geometrijski i/ili materijalno - računski model formiran primenom MKE najviše odgovara realnom prototipu - numerička aproksimacija može da se poboljša povećanjem gustine mreže konačnih elemenata: globalno, ali i lokalno, u zonama gde je veći gradijent promene nepoznatih veličina - imajući u vidu sve veće mogućnosti računara, računski modeli mogu da budu jako veliki: nx106 nepoznatih
MKE ne može da se realizuje “pešice”, bez računara. Postoje brojni komercijalni programi zasnovani zasnovani na MKE, kao i slobodni (Open Source) programi za istraživacke potrebe MKE računarski programi mogu da budu - opšte namene (praktično, za bilo kakav problem) - specijalizovani, za neku konkretnu klasu problema (npr. za uticaje zemljotresa zemljotresa na konstrukcije, za analizu mostova, zgrada, za analizu fluida (CFD - Computational Fluid Dynamics), za geotehničke probleme, . . . )
Praktično da nema oblasti u inženjerstvu i fizici (pa i hemiji - Computational Chemistry) gde se ne koristi MKE
Vrhunski MKE programi opšte namene: MSC Nastran, NISA, FEMAP/NX Nastran, ANSYS, ADINA, ABAQUS Vrhunski programi orjentisani na dinamičke probleme: MSC Marc, LS-DYNA, Extreme Loading for Structures (AEM) MKE programi orjentisani na analizu konstrukcija: Sofistic, SAP2000, Robot Millennium, Advance, AxisVM, Tower, Lisa, Diana, STAAD MKE programi orjentisani na analizu zgrada i mostova: ETABS, SAFE, CSI Bridge, Lusas
Open Source FEM programi opšte namene: FreeFEM++, GetFEM++, OOFEM Open Source FEM programi specifične namene - za seizmicku analizu: OpenSees, SeismoStruc, SASSI - za analizu fluida i interakciju fluida i konstrukcije: OpenFOAM - za analizu dinamičke interakcije tla i konstrukcije: SASSI
6
ANSYS - moguć nosti u primeni na konstrukcije:
Numerički model automobila:
Numerički model kontakta tocak – šina:
7
Numerički model složene pojave:
Numerički model celično-betonske hale – računski model (Tower):
Numerički model stambeno-poslovne zgrade:
8
Program zasnovan na MKE može da koristi svako ko dovoljno nauči “user interface”. Međutim, takvom korisniku nameću se razna pitanja, npr: - koji konačni elementi treba da se koriste i sa kojom gustinom - da li treba na nekim mestima domena da bude gušća mreža - koji nivo detalja fizickog problema treba da bude prikazan - da li je značajni aspekt ponašanja posmatranog problema linearan ili nelinearan / statički ili dinamički - koji parametri u dijalogu za neki algoritam treba da se usvoje - kolika ce da bude tačnost dobijenih rezultata - kako da se proveri da li su rezultati dobri - itd . . .
Numeričko modeliranje konstrukcija (posmatranog problema) nije jednostavan posao. Potrebno je dovoljno poznavanje puno toga vezano za fizicki problem koji se posmatra: - teorija konstrukcija (statika, dinamika, stabilnost, . . . ) - specifičnosti materijala (beton, celik, drvo, opeka, . . . ) - specifičnosti odgovarajucih konstrukcija (AB, prednapregnute, celicne, spregnute, zidane konstrukcije, . . . ) - načine prikazivanja pojedinih opterećenja: uticaj vetra, zemljotresa, uskladištenog materijala u silosu, vodotornju, rezervoaru za naftu, . . . - detalja raznih postupaka i algoritama u specifičnim nelinearnim i/ili dinamičkim analizama
Podrazumeva se da onaj ko vrši numeričku analizu u dovoljnoj meri poznaje i računarski program koji koristi, kao i mogućnosti i ogranicenja programa. Osim toga, potrebno je da se dovoljno poznaje i sama metoda konačnih elemenata, kao i
aproksimacije koje su usvojene i sadržane u samoj MKE. Naravno, i pored svega veoma lako mogu da se naprave razne greške u opisivanju problema računarskom programu. Racunari rade onako kako je napravljen program, a ne onako kako bi korisnik želeo da račun ar radi
9
2. NAPOMENE O NU MERIČKIM METODAMA
Opšte napomene Najbolji način rešenja graničnog ili početnog problema je dobijanje analitickog rešenja. Ima puno razloga zbog čega nije moguće da se odredi analitičko rešenje: - domen definisanosti problema je suviše nepravilan i komplikovan za analiticko opisivanje - domen može da bude formiran od nekoliko razl ičitih materijala čije podoblasti teško mogu da se
matematički opišu - anizotropne osobine materijala su velika smetnja analitickom rešavanju - nelinearni članovi u diferencijalnim jed načinama problema onemogućavaju nalaženje analitickog rešenja U slučajevima kada ne postoji analitičko rešenje, određuje se numeričko rešenje kao približno rešenje
posmatranog problema. Svakako da je bolje približno numeričko rešenje problema nego nikakvo rešenje. Numeričkim rešenjima dobijaju se vrednosti u diskretnim tačk ama za jedan skup nezavisnih
parametara. Sa promenom tih nezavisnih parametara kompletna procedura rešavanja se ponavlja i menja. Dobijena približna rešenja u diskretnim tačkama ipak daju neki uvid u prirodu ponašanja fizickog problema koji se posmatra. Ima više numeričkih postupaka za rešavanje graničnih i početnih problema. Numerički postupci mogu da se svrstaju u tri osnovne grupe: 1 metoda konačnih razlika (diferencni postupak, “finite difference method”) 2 metode težinskih ostataka (“weighted residual methods”) 3 varijacione metode (“variational methods”)
Pri tome, svaka od navedenih metoda pretstavlja više podgrupa (odn. varijanti) numeričkih metoda. 2.1. Metoda konačnih razlika
Metoda konačnih razlika zasniva se na aproksima čiji izvoda u diferencijalnoj jed načini graničnog problema. Metoda je pogodna za 2D probleme, posebno za oblasti koje su pravougaonog oblika (granice su paralelne sa koordinatnim osama). Ispisujuci diferencijalnu jed načinu u tačkama preseka ortogonalne mreže domena definisanosti problema (u čvor nim tačkama), uz odgovarajucu aproksimaciju izvoda, dobija se sistem algebarskih jed načina po nepoznatim vrednostima tražene funkcije u čvor ovima.
Metoda konačnih razlika zasniva se na definičiji prvog izvoda funkcije jedne promenljive f(x): df ( x ) dx
f ( x ) lim
f ( x x ) f ( x ) x
x0
U metodi konačnih razlika, koristeći malu, ali konačnu vrednost x, prvi izvod se aproksimira sa izrazom: df ( x ) dx
f ( x )
f ( x x ) f ( x ) x
Na primer, posmatra se diferencijalna jed načina 1. reda, data sa f x 0 u domenu f ( x 0)
0 x 1 i
sa graničnim uslovom
f (0) A const
Aproksimacija prvog izvoda funkcije jedne promenljive
10
Diferencijalna jed načina može da se aproksimira diferencnim postupkom kao f ( x x ) f (x ) x
x 0
Iz ove jednačine dobija se rešenje za f ( x x ) : f ( x x ) f ( x ) x x
Sa ovakvim rešenjem može da se formuliše rekurzivno rešavanje problema. Usvoji se neki (relativno) mali korak integracije x koji se dobija kada se domen integracije l =1,0 podeli na izabran broj delova x
1
n
gde je, na primer, n=100 Posmatraju se diskretne vrednosti promenljive x xi1 xi x i 0,1,..., n 1
pri čemu je x0 = 0, a xn = 1 Rešenje za traženu funkciju f(x) dobija se u diskretnim vrednostima tačaka intervala xi, primenom rekurzivnog izraza: fi1 fi xi x
i
0,1,..., n 1
pri čemu je, zbog datog graničnog uslova, f 0 = A Naravno, diferencijalne jednačine problema su uvek složenije od prikazanog primera. Ako se posmatra drugi izvod funkcije jedne promenljive, on se prikazuje kao prvi izvod prvog izvoda i dobija se f ( x h ) 2 f ( x ) f ( x h ) f ( x ) h2
gde je h= x Slično se aproksimiraju treći i viši izvodi.
Metoda konačnih razlika proširuje se na aproksimiranje funkcija dve i tri promenljive f(x,y) i f(x,y,z) (2D i 3D problemi)
Za rešavanje diferencijalne jednačine savijanja ploča
w
q D
dugo je bio primenjivan diferencni postupak (do pojave MKE).
11
2.2. Metode težinskih ostataka Neka je posmatrani fizički problem, u domenu , koji može da bude 1D do 3D, definisan sa diferencijalnom jednačinom L(u ) f 0
(21)
U jed načini (21) uvedene su oznake: L u(x) f
- odgovarajući (linearni) diferencijalni operator - nepoznata funkcija problema, koja zavisi od koordinata x unutar prostora , pri čemu funkcije u(x) zadovoljavaju date granične uslove na granicama domena - vektor slobodnih članova u jednačinama
Granični uslovi na konturi domena mogu da budu: 1. esencijalni - uslovi po pomeranjima (kinematički granični uslovi): vrednosti generalisanih pomeranja zadate su na delu konture 2. prirodni - uslovi po silama (naponima): vrednosti izvoda generalisanih pomeranja, kojima se prikazuju sile ili naponi, zadate su na delu konture Nepoznata funkcija problema u(x) aproksimira se sa približnom funkcijom u ( x ) : u( x ) u( x )
(22)
pri čemu približna funkcija u( x ) zadovoljava granične uslove po pomeranjima, ali ne mora da zadovoljava uslove po silama. Kako je u ( x ) približno rešenje jednačine (21), unoseći približno rešenje, jednačina (21) neće biti zadovoljena.
Drugim rečima, unoseći približno rešenje u (21) dobija se ostatak ili rezidijum: L(u) f R(u) 0
(23)
Kako je jedn. (21) sistem jed načina, odn. matrična jednačina, to je rezidijum R(u ) vektor. Naravno, kada bi u ( x ) bilo tačno rešenje, onda bi vektor ostatka R(u ) bio jednak nultom vektoru.
Ideja metode je da se traži da se vektor greške, odn. vektor ostatka R(u ) svede na nulti vektor “u prosečnom smislu”. Naime, izaberu se težinske funkcije, u ovom slučaju vektor težinskih funkcija, W (u ) i traži se da
integral skalarnog proizvoda vektora težinskih funkcija i vektora ostatka unutar domena bude jednak nuli:
T T I (u ) W (u) R( u) d W ( u) L(u) f d 0
(24)
Pri tome težinske funkcije u vektoru W (u ) moraju da zadovoljavaju granične uslove po pomeranjima (esencijalne uslove). Skalarni proizvod dva vektora (u Euklidskom 2D/3D prostoru) jednak je nuli ukoliko su ti vektori međusobno ortogonalni.
Isto važi i u n-dimenzionalnom prostoru: ako su dva n-dimenzionalna vektora međusobno ortogonalna, onda je njihov skalarni proizvod jednak nuli. Prema tome, integralna jed načina (24) predstavlja uslov ortogonalnosti projekcije vektora ostatka na
izabrani vektor težinskih funkcija. Metode rezidijuma, ili Metode težinskih ostataka sastoje se u nalaženju funkcija u za koje će integralna jed načina (24) da bude zadovoljena. Ako je jednačina (24) zadovoljena za bilo koji vektor težinskih funkcija, onda će vektor ostatka R(u ) da se približava nultom vektoru.
12
Na taj način, približno rešenje u( x ) aproksimira nepoznato tačno rešenje u( x). Sva rešenja u( x ) koja zadovoljavaju (21) moraju da zadovoljavaju i (24) bez obzira na izbor težinskih funkcija.
Dimenzija vektora težinskih funkcija jednaka je broju nepoznatih (odn. broju stepeni slobode) datog problema.
Težinske funkcije moraju da budu diferencijabilne i da imaju nulte vrednosti na granicama konture gde su zadati granični uslovi po pomeranjima (moraju da zadovoljavaju esencijalne granične uslove). U zavisnosti od izbora težinskih funkcija postoje razne varijante Metode težinskih ostataka. Osnovne varijante Metode težinskih ostataka, za minimizaciju rezidijuma, su 1. Metoda kolokacije (collocation method) 2. Metoda podoblasti (sub-domain method) 3. Metoda najmanjih kvadrata (least square method)
4. Galerkinova metoda (Galerkin’s method) Najviše se koristi Galerkinova metoda težinskih ostataka (posebno kao osnov za formulaciju MKE). Galerkinova varijanta metode težinskih ostataka prikazaće se na primeru skalarne diferencijalne jednačine jedne promenljive (obična dif. jed.): L y( x) f ( x) 0
a xb
(25)
Sa L(. . .) označen je (linearni) diferencijalni operator.
U zavisnosti od reda diferencijalne jednačine dati su i odgovarajući granični uslovi. Jed načina (25) množi se sa proizvoljnom funkcijom w( x) i integrali u granicama a i b: b
w( x ) L y( x ) f ( x )dx 0
(26)
a
Jed načine (25) i (26) su međusobno ekvivalentne jer je w( x) proizvoljna funkcija. Nepoznata funkcija y( x) koja predstavlja rešenje diferencijalne jednačine (25) traži se u obliku približnog rešenja kao linearna kombinacija izabranih probnih funkcija i ( x) i nepoznatih koeficijenata ci. Dakle, nepoznata funkcija y( x) traži se u obliku: y ( x ) u ( x)
n
c ( x) i
i
i 1
pri čemu izabrane probne (bazne) funkcije i ( x ) zadovoljavaju esencijalne granične uslove (u ovom slučaju uslove na konturi domena x=a i x=b). Kako je u( x) neko približno prikazivanje nepoznate tražene funkcije y(x), unoseći u( x) u dif. jedn. (25),
jednačina, naravno, neće biti zadovoljena. Unoseći pretpostavljeni oblik rešenja u jedn. (25) dobija se ostatak (rezidijum) r ( x): r( x) L u( x) f ( x) 0
Ideja (cilj) metode težinskih ostataka je da se odredi približno rešenje, odnosno nepoznati koeficijenti ci uz poznate probne funcije, tako da ostatak r ( x) bude jednak nuli u prosečnom smislu. Zato se postavlja uslov (26) u koji se unosi približno rešenje u( x), u kojem figurišu nepoznati koeficijenti ci, kao i proizvoljna funkcija w( x): b
b
a
a
w( x ) r( x )dx w ( x ) L y( x ) f ( x )dx 0
13
Galerkinova metoda težinskih ostataka za težinsku funkciju w( x) usvaja probne funkcije
i ( x ) :
wi ( x ) i ( x ) i 1,2,..., n
Dobija se sistem jed načina po nepoznatim koeficijentima ci:
n c j j ( x ) f ( x ) dx 0 a i ( x) L j 1 b
i 1,2,..., n
Izračunavanjem integrala dobija se sistem od n jednačina po nepoznatim koeficijentima ci. Rešavanjem dobijenog sistema i određivanjem koeficijenata ci dobija se približno rešenje za traženu funkciju y( x): n
y ( x ) u ( x) ci i ( x) i 1
U slučaju matrične diferencijalne jed načine, npr. (21), pretpostavljeno približno rešenje (22) je vektor sa probnim funkcijama kao elementima.
Približna funkcija se usvaja u vidu zbira proizvoda nepoznatih (vektora) koeficijenata ci i poznatih probnih (baznih) funkcija y( x) u ( x)
i ( x ) :
c ( x) i
i
(27)
i
Probne (bazne) funkcije (“trial functions”) zadovoljavaju granične uslove po pomeranjima posmatranog problema.
U Galerkinovoj metodi težinskih ostataka težinske funkcije se usvajaju tako da budu jednake sa probnim funkcijama:
1 ( x ) W ( x ) ( x ) (28) ( x ) i
n
Uslov za anuliranje vektora ostatka u prosečnom smislu (a ne u svim tačkama domena) dat je sa integralnom jed načinom (24). Jed načina (24) u slučaju Galerkinove metode težinskih ostataka glasi: I (u )
c i
i
j ( x ) L i ( x ) f d 0
za j 1, 2,...n
(29)
Galerkinova metoda težinskih ostataka najcešće dovodi do simetričnih matrica u dobijenim jednačinama, pa je zato dominantna varijanta metode težinskih ostataka upravo Galerkinova metoda. Kao ilustracija Galerkinove metode težinskih ostataka posmatra se numeričko rešavanje 1D diferencijalne jednačine 2
y ( x ) 10 x 5
0 x 1
(30)
sa graničnim uslovima y(0) = y(1) = 0 Tačno (analitičko) rešenje jednačine (30) može da se dobije kao y ( x )
5 6
x4
5 2
x2
10 3
x
(31)
Prisustvo kvadratnog člana u dif. jed. (30) ukazuje da je pogodno da se za probne funkcije usvoje polinomi.
Imajući u vidu homogene uslove na granicama x x i x x , polinomne funkcije koje zadovoljavaju homogene granične uslove na istim granicama mogu da budu a
b
14 ( x )
p
x xa x xb
q
Traži se približno rešenje samo sa jednom probnom funkcijom, pa je najjednostavnija probna funkcija koja zadovoljava date granične uslove: ( x ) x ( x 1)
Prema tome, približno rešenje je pretpostavljeno u obliku y( x ) c1 x( x 1)
Prvi i drugi izvodi približnog rešenja su onda y( x) c1 (2 x 1)
y 2c1
Vidi se da izabrano približno rešenje ne zadovoljava diferencijalnu jednačinu, jer je dobijeno da je 2. izvod konstantan, a u dif. jed. je kvadratna funkcija (ipak se nastavlja analiza). Unoseći dobijeni drugi izvod približnog resenja u dif. jed. (30) dobija se ostatak (rezidijum): 2
R( x, c1 ) 2c1 10 x 5
Jasno se vidi da ostatak nije jednak nuli. Sa ovim je integral (24) dat u obliku I
1
0
x( x 1)(2c1 10 x 5)dx 0
c1 4
2
Prema tome, približno rešenje dif. jed. je funkcija y
4 x( x 1)
(32)
Uporedni prikaz tačnog i približnog rešenja sa jednom probnom funkcijom
Posmatra se približno rešenje sa dve probne funkcije: 1 ( x ) x( x 1)
2 ( x ) x
2
( x 1)
Prema tome, približno rešenje traži u se obliku 2
y ( x ) c1 x ( x 1) c2 x ( x 1)
Drugi izvod približnog rešenja dobija se kao y 2c1 2c2 (3x 1)
Unoseći drugi izvod približnog rešenja u dif. jed. dobija se ostatak: 2
R( x, c1 , c2 ) 2c1 2c2 (3x 1) 10 x 5
Jednačine za osrednjeni minimum rezidijuma sada glase I1
1
0
x( x 1) R( x, c1, c2 ) dx 0
15
I 2
1
x ( x 1) R( x, c1, c2 ) dx 0 2
0
Unoseći rezidijum R( x; c1; c2) u jed načine I 1 = 0 i I 2 = 0 dobija se
I1
1
0
I 2
x( x 1) 2c1 2c2 (3x 1) 10 x2 5 dx 0
1
x ( x 1) 2c1 2c2 (3x 1) 10 x2 5 dx 0 2
0
Integracijom dobija se sistem jed načina po koeficijentima ci, prikazano u matričnom obliku, kao
1 3 1 6
4 c 6 3 2 c 3 4 15 1
1
2
Rešenje jednačina I 1 = 0 i I 2 = 0 je c1
19
c2
6
5 3
tako da se približno rešenje sa dve probne funkcije dobija, posle sređivanja, u obliku y ( x )
5 3
x3
3 2
x2
19 6
x
Ovo rešenje znatno bolje prikazuje tačno rešenje koje je dato sa y ( x )
5 6
x4
5 2
x2
10 3
x
(33)
Uporedni prikaz tačnog i oba približna rešenja sa jednom i sa dve probne funkcije
2.3. Varijacione metode
Fizicki zakoni (npr. u Mehanici) mogu da se formulišu u obliku uslova da izvesni integrali dostignu ekstremnu vrednost. Varijacione metode su zasnovane na primeni varijacionog računa, koji se bavi ekstremnim vrednostima funkcionala - funkcija drugih funkcija. Princip o minimumu potencijalne energije je primer varijacionog principa u Mehanici: Od svih moguć ih pomeranja, koja zadovoljavaju geometrijske granične uslove, stvarna pomeranja su ona za koja ukupna potencijalna energija ima minimum
Na primer, može da se posmatra linijski (1D) problem sa domenom definisanosti x [ x1 , x2 ] : I (u )
x2
x1
du ( x ) d 2u ( x ) x, u ( x ), , ,... dx dx dx 2
16 2
du( x ) d u( x ) gde je (...) funkcional funkcija u( x), , , ... 2 dx dx
Varijaciona formulacija je da se odredi ona funkcija u( x) i odgovarajuci funkcional ekstremnu vrednost funkcionalu I (u).
(...) koja
daje
Varijacione metode se zasnivaju na principu stacionarnosti funkcionala. Uslov stacionarnosti funkcionala prikazuje se uslovom da je prva varijacija funcionala jednaka nuli:
x, u ( x ),
du ( x ) d 2u ( x ) , , ... 2 dx dx
0
Može da se pokaže da je uslov stacionarnosti za više-dimenzionalni problem (21) integralna jed načina data sa: I (u )
u L(u ) f d 0
U jed načini (34) sa
u
(34)
označena je varijacija promenljivih u .
, sa stanovišta diferencijabilnosti i zadovoljenja graničnih uslova, samo one funkcije koje zadovoljavaju (21) čine funkcional stacionarnim, odnosno zadovoljavaju uslov (34). Iz skupa dopustivih funkcija
u
Ako se uporede uslovi (34) i (24) vidi se da predstavljaju, formalno gledano, isti uslov ako je W (u ) u
Najpoznatija varijaciona metoda je metoda Ritz-a, koji je i “otac” varijacionog računa.
17
3. MKE - GREDNI KONA ČNI ELEMENTI
Koristeci Galerkinovu metodu težinskih ostataka, ili neki varijacioni princip Mehanike, osnovne diferencijalne jed načine problema transformišu se u integralne jednačine pojedinacnih konačnih elemenata. Sabiranjem doprinosa svih konačnih elemenata formira se globalni sistem algebarskih jed načina koji definše posmatrani (statički) problem. U slučaju dinamičkog problema osnovne nepoznate u čvor ovima (generalisane koordinate) su funkcije vremena, tako da se dolazi do sistema običnih diferencijalnih jed načina po vremenu 3.1. Gredni elementi - opisivanje pomeranja
Linearna teorija savijanja štapa Koriste se uobičajene pretpostavke linearne teorije savijanja štapa u ravni
Posmatra se savijeni element štapa dužine dx u osi, sa radijusom krivine i centralnim uglom d Dužina proizvoljnog vlakna tog elementa na rastojanju y od ose štapa (za koju je y = 0) je ds ( y )d
Dilatacija vlakna (usled savijanja) na rastojanju y od neutralne ose y = 0 iznosi x
ds dx dx
( y )d d
d
y
Ako je v(x) ugib ose štapa, poluprecnik krivine dat je sa
1 v 2
v
3 2
1
v
Dilatacija proizvoljnog vlakna data je, prema tome, sa x yv
dok je odgovarajuci normalni napon dat sa x Ex Eyv Momenat savijanja M(x) dat je prema relačiji
M ( x ) y x dA Ev y 2dA EJ z v
Normalni napon
x
x
može da se, prema tome, prikaže kao
M ( x ) J z
y
Imajući u vidu inženjersku konvenciju o pozitivnom znaku M(x) (zatezanje donjeg vlakna), kao i da j e y osa usmerena na gore, znak normalnog napona
posmatranog vlakna u preseku
x
(zatezanje/pritisak) odgovara znaku koordinate y
18
Konačni element štapa u ravni, dužine l i koji je izložen samo savijanju, bez normalnih sila, ima dve čvor ne tačke na svojim krajevima. Čvor ne nepoznate su pomeranje i obrtanje u svakom čvor u ( v1 , 1, v 2, 2 )
Pomeranje proizvoljne tačke ose konačnog elementa v(x) izražava se interpolacijom preko čvor nih nepoznatih i položaja preseka x unutar posmatranog konačnog elementa: v v v1, 1 , v2 , 2 , x
Pri tome moraju da budu zadovoljeni sledeci granični uslovi: v( x ) x0 v1
v( x ) x0 1
v( x ) xl v2
v ( x ) xl 2
Imajući u vidu cetiri granična uslova, pomeranje proizvoljne tačke ose konačnog elementa pretpostavlja se u obliku kubnog polinoma: v( x ) a0 a1 x a2 x
2
a3 x
3
(1)
gde su ai (i = 0, 1, 2, 3) konstante koje treba da se odrede iz graničnih uslova. Prvi izvod pretpostavljenog pomeranja dat je sa ( ) a1 2a2 x 3a3 x 2
v x
Unoseći pretpostavljeno prikazivanje pomeranja unutar konačnog elementa u granične uslove, dobija se v ( x 0) v1 a0 v ( x 0) 1 a1 2
v ( x l ) v2 a0 a1l a 2l a 3l v ( x l ) 2 a1 2a2l 3a3l
3
2
Rešavanjem jednačina po nepoznatim koeficijentima ai dobija se rešenje: a0 v1 a1 1 a2 a3
3
l
2
2
l3
v
v1
v
v2
2
1
1
l
2
1
l2
1
1
2 2
Unoseći dobijene konstante ai u pretpostavljeni oblik pomeranja (1), dobija se
3x 2 2 x 3 2x2 x3 3x 2 2 x 3 x3 x2 v( x ) 1 2 3 v1 x 2 1 2 3 v2 2 l l l l l l l l
2
(2)
Dobijeno rešenje može da se prikaže u obliku v( x ) N1 ( x )v1 N 2 ( x)1 N 3 ( x )v2 N 4 ( x)2
Pomeranje unutar konačnog elementa (3) može da se napiše i u matričnom obliku kao
(3)
19
v1 1 v( x ) N1 ( x ) N 2 ( x ) N 3 ( x ) N 4 ( x ) v2 2 Funkcije
Ni ( x ) ,
(4)
prikazane izrazom (2), zovu se interpolacione funkcije ili funkcije oblika ili bazne
funkcije.
Relacija (4) može da se prikaže u skraćenom matričnom obliku kao ( )
v x
N( x )u
(5)
gde je N matrica funkcija oblika (u ovom slučaju matrica vrsta) Ν( x)
N1 ( x)
N 2 ( x)
N 3 ( x)
N 4 ( x)
dok je u vektor čvor nih nepoznatih T u
v1
2
v2
2
Pogodno je da se uvede bezdimenzionalna koordinata :
x l
0 1
(6)
Sa ovim, pomeranje duž konačnog elementa može da se prikaže u obliku: v( x ) 1 32 23 v1 l 1 22 1 32 23 v2 l
2
1 2
(7)
3.2. Gredni elementi - matrica krutosti
Matrica krutosti grednog konačnog elementa, kao i matrica krutosti štapa, povezuje čvor na pomeranja sa čvor nim silama R K u
20
Matrica krutosti za slučaj savijanja Ks može da se izvede na bazi fizickog znacenja elemenata matrice krutosti: Koeficijent matrice krutosti k ij predstavlja čvor nu silu Ri obostrano uklještenog štapa usled jedinicnog čvor nog pomeranja q j = 1, pri cemu su sva ostala pomeranja q i = 0 jednaka nuli, i j
Matrica krutosti konačnog elementa može da se izvede, na primer, na osnovu primene Prve Castigliano-ve teoreme: Za elastican sistem u ravnoteži, parcijalan izvod ukupne potencijalne energije deformacije po generalisanom pomeranju, jednak je generalisanoj sili koja odgovara tom generalisanom pomeranju: U e ui
Ri
(8)
Potencijalna energija deformacije data je sa: Ue
1 2
V
x x dV
(9)
odnosno, u slučaju savijanja konačnog elementa, Ue
1 2
l
EJ z
v
2
dx
0
(10)
Pomeranja konačnog elementa su približno prikazana u obliku (3): v( x ) N1 ( x )v1 N 2 ( x)1 N 3 ( x )v2 N 4 ( x )2
Samo su funkcije oblika zavisne od koordinate x, tako da je potencijalna energija deformacije data sa: Ue
1 2
EJ z
l
N v N N v 1 1
0
2
1
3
2
2
N 4 2 dx
(11)
Prema tome, potencijalna energija deformacije je prikazana kao funkcija generalisanih pomeranja čvor nih tačak a konačnog elementa:
U e U e v1 , 1, v 2, 2
Parcijalni izvog potencijalne energije deformacije po pomeranju v1, jednak je čvor noj sili R1 = T 1: l U e R1 T1 EJ z N1v1 N 21 N 3v2 N 42 N1dx 0 v1
(12)
Parcijalni izvog potencijalne energije deformacije po obtranju 1, jednak je čvor noj sili R2 = M 1: l U e R2 M 1 EJ z N1v1 N 21 N 3v2 N 42 N 2 dx 0 1
(13)
Analogno i za čvor 2, parcijalni izvog po pomeranju v2, jednak je čvor noj sili R3 = T 2: l U e R3 T2 EJ z N1v1 N 21 N 3v2 N 42 N 3dx 0 v2
(14)
l U e R M EJ z N v N N v N N dx
(15)
Najzad, 4
2
0
1
1
2
1
3
2
4
2
4
2
Jed načine (12) do (15) povezuju čvor ne sile i čvor na pomeranja u obliku
21
k k k k
11
k12
k13
k14 v1
21
k22
k23
k24
31
k32
k33
k34
41
k42
k43
k44
v
1
2
2
T M T M
1
1
2
2
Može da se konstatuje da je proizvoljan element matrice krutosti k ij dat u obliku: kij k ji EJ z
l
0
NiN j dx
i, j 1, ... , 4
(16)
Kao što se vidi, matrica krutosti grednog konačnog elementa je simetricna matrica. Pre integracije prikazane sa (16) pogodno je da se pre đe na bezdimenzionalnu koordinatu Bezdimenzionalna koordinata definisana je sa relacijom (6) što predstavlja transformaciju koordinata. Jakobijan transformacije je dat sa l, tako da je
l
0
f ( x)dx
1
0 f ()ld
Takođe, diferenciranje po x u transformačiji koordinata (u prelasku na ), dato je sa d dx
1 d
l d
Prema tome, imajući u vidu funkcije oblika prikazane preko koordinate u izrazu (7), koeficijenti k ij dati sa (16) mogu da se prikažu i kao kij k ji
EJ z l
3
2
2 d N i d N j
l
d
2
0
d
2
d
i , j 1, ... , 4
(17)
Imajući u vidu funkcije oblika N i() prikazane sa (7), koeficijenti k ij određuju se integracijom: k11 k12
EJ z l
3
k 21
k13 k31 k14
k 41
1
12 6 d 0
EJ z l
3
EJ z l
3
EJ z l
3
12 EJ z
l
3
1
12 66 4 ld
0
1
0
12 6 6 12 d
6 EJ z
l
1
12 66 2 ld
0
2
12 EJ z
l
3
6 EJ z
l
2
Slično se određuju i ostali elementi matrice krutosti. Posle sređivanja, matrica krutosti konačnog elementa koji je izložen savijanju (ima 4 stepena slobode, bez aksijalnog naprezanja) data je u obliku:
Ke
EJ z l
3
6l 12 6l 4l 2 12 6l 2 6l 2l
12 6l 12
6l
2l 6 l 2 4l 6l
2
(18)
22
4. MKE - GREDNI
KONAČNI ELEMENTI U RAVNI
4.1. Varijacioni postupak - savijanje u ravni
Posmatra se diferencijalno mali element dx izdvojen iz pravog štapa u ravni x, y. Diferencijalne jed načine ravnoteže sila koje deluju na izdvojeni element su dN
p x 0,
dx
dT dx
p y 0,
dM dx
T mz 0
(1)
Uz zanemarenje raspodeljenih momenata savijanja m z, diferenciranjem po x trece od jedn. (1) i uzimanjem u obzir druge jed načine, dobija se 2
d M dx
2
p y ( x ) 0
Momenat savijanja može da se izrazi preko krivine štapa, odn. preko drugog izvoda ugiba po koordinati x, M ( x ) EJ z v( x)
(može i M = -EJv“), tako da je diferencijalna jed načina savijanja štapa u ravni data u obliku 4
d v
EJ z
dx
4
py ( x ) 0
(2)
Posmatra se konačni element grednog štapa u ravni sa dve čvor ne tačke 1 i 2 na krajevima elementa.
Dužina konačnog elementa je l, momenat inercije preseka je J z, a modul elastičnosti E . Pomeranja tačaka ose štapa upravno na osu, ugibi v( x), izražavaju se preko čvor nih pomeranja i obrtanja kao v( x )
4
N ( x )q N ( x )v N i
i
1
1
2
( x )1 N 3 ( x )v 2 N 4 ( x ) 2
(3)
i 1
U jedn. (3) N i( x) su Hermitovi kubni polinomi 1. vrste, dok su qi pomeranja i obrtanja čvor nih tačak a. Varijacioni postupak zasniva se na stacionarnosti odgovarajućeg funkcionala. U formulačiji MKE na bazi deformacija (pomeranja) taj funkcional je potencijalna energija. Potencijalna energija konačnog elementa jednaka je zbiru potencijalne energije deformacije (deformaciog rada) i potencijala spoljašnjih sila, odn. negativnog rada spoljašnjih sila U e Rs
Za slučaj savijanja konačnog elementa (bez aksijalnih sila) deformacioni rad dat je sa Ue
1 2
EJ z
l
v 0
2
dx
Kako su samo interpolacione funkcije u izrazu (3) za ugib v( x) zavisne od koordinate x, to je U e dato sa 2
4 U e EJ z N i( x )qi dx 0 2 i1 1
l
Kvadrat drugog izvoda ugiba može da se prikaže kao 2
v v v odnosno, kao dvostruka suma
4
4
4
4
v2 Ni( x)qi N j( x)q j Ni( x) N j ( x) qi q j i1
j1
i 1 j 1
23
Sa ovim, izraz za potencijalnu energiju deformacije konačnog elementa može da se prikaže kao Ue
4
1
4
EJ 2 z
i 1 j1
l
0
N i( x ) N j ( x )dx qi q j
ili skraćeno, kao kvadratna forma generalisanih koordinata Ue
1
4
4
k q q ij
2 i1 j 1
i
j
(4)
U izrazu (4) uvedena je oznaka za elemente matrice krutosti konačnog elementa kij k ji EJ z
l
Ni( x ) N j ( x) dx
0
i, j 1,..., 4
(5)
Potencijalna energija deformacije konačnog elementa data sa (4) može da se prikaže u matričnom obliku kao U e
1
2
qT Kq
gde je
K
k ij
(uociti analogiju sa potencijalnom energijom elasticne opruge
(6)
1 2
kx
2
).
Rad spoljašnjih sila konačnog elementa (rad generalisanih sila na krajevima elementa R, kao i rad ekvivalentnog opterećenja na krajevima elementa Q) jednak je T T Rs q R q Q
(7)
Potencijalna energija konačnog elementa jednaka je zbiru potencijalne energije deformacije i negativnog rada spoljašnjih sila: U e Rs
1
qT Kq qT R qT Q
2
(8)
Potencijalna energija deformacije konačnog elementa izloženog savijanju bez aksijalne sile, data je kao kvadratna funkcija (forma) generalisanih koordinata Ue U e q1, q2 , q3 , q4
Stacionarnost potencijalne energije data je kao matrična jed načina: q
T
0
R K q Q
(9)
Ova jed načina predstavlja osnovnu jed načinu opterećenog konačnog elementa Za određivanje elemenata matrice krutosti konačnog elementa, date sa (5), potrebni su drugi izvodi interpolacionih funkcija po x: N1( x )
6 l
N 2( x ) N 3( x )
6 l
2
N 4( x )
2
12 x l
3
4 6 x l
l
2
12 x l
3
2 6 x l
l
2
Unošenje drugih izvoda interpolacionih funkcija u integrale (5), posle integracije dobija se matrica krutosti grednog konačnog elementa sa dva čvor a, opterećenog na savijanje, bez aksijalnog naprezanja:
24
K
EJ z l
3
6l 12 6l 4l 2 12 6l 2 6l 2l
12 6l 12
6l
2l 6l 2 4l 6l
2
(10)
Vektor ekvivalentnog opterećenja posmatranog konačnog elementa dobija se iz uslova da je rad ekvivalentnog opterećenja jednak radu spoljašnjih uticaja koji deluju na konačni element. Na primer, ako na konačni element deluje raspodeljeno opterećenje p y( x), onda je rad jednak QT q
l
p ( x) v( x)dx y
0
Kako je v( x) = N ( x)q, to se unošenjem ugiba v( x) u integral i “skraćivanjem” sa q, dobija vektor ekvivalentnog opterećenja: Q T
l
p ( x) N ( x)dx 0
y
gde je N ( x) matrica interpolacionih funkcija. Posmatra se ravnomerno opterećenje duž konačnog elementa p y( x) = p0 = const
Čvorovi i i k su čvorne tačke 1 i 2. Interpolacione funkcije N i( x) su Hermitovi kubni polinomi. Integracijom se dobija vektor ekvivalentnog opterećenja:
N1 ( x ) 1 l N ( x ) p0l l 6 2 Q p0 dx 0 N ( x ) 2 1 3 N 4 ( x ) l 6 Za slučaj linearno promenljivog opterećenja p y( x) = p0 x/l dobija se vektor ekvivalentnog opterećenja QT
p0l 3 20
2l 3
7
l
4.2. Varijacioni postupak - aksijalno naprezanje
Posmatra se diferencijalno mali element dx izdvojen iz pravog štapa u ravni xy. Diferencijalna jed načina ravnoteže sila koje deluju u pravcu ose izdvojenog elementa je dN dx
p x 0
Normalna sila, u skladu sa Hukovim zakonom, data je sa o N EF( t t ) EF
(11)
25
ako se ne posmatra uticaj temperature u osi štapa. Dilatacija ose štapa data je sa
du dx
gde je u pomeranje tačaka ose štapa u pravcu ose štapa x, tako da je N EF EF
du dx
Prema tome, diferencijalna jed načina aksijalnog naprezanja pravog štapa, izražena preko pomeranja, data je u obliku 2
EF
d u dx
2
p x 0
(12)
Posmatra se (prav) gredni konačni element sa dve tačke izložen aksijalnom naprezanju.
Dužina konačnog elementa je l, površina preseka F , dok je modul elastičnosti materijala E . Generalisane koordinate za aksijalno naprezanje su pomeranja čvor ova 1 i 2 u pravcu lokalne ose x: u1 i u2. Kako je diferencijalna jed načina aksijalnog naprezanja štapa (12) drugog reda, opšti integral homogene dif. jed načine je linearni polinom. Prema tome, raspodela aksijalnog pomeranja tačak a ose konačnog elementa prikazuje se u obliku linearnog polinoma u( x ) a0 a1x
(13)
Linearni polinom (13) sa nepoznatim konstantama može da se prikaže u matričnom obliku kao u ( x ) P
T
( x )a 1
x
a
0
(14)
a1
Sa P( x) označen je vektor čiji su elementi baze polinoma: 1, x, x2, ... , xn (u ovom slučaju do prvog stepena: n = 1). Sa a označen je vektor sa nepoznatim konstantama (koeficijenti uz baze polinoma). Polinom stepena n klasično se prikazuje u obliku n
a n x ai x i
pn ( x ) a0 a1 x a 2 x
n
2
(15)
i 0
ali može da se prikaže i u matričnom obliku kao
T pn ( x ) Pn ( x ) a 1
x
x
2
a0 a 1 n x a2 an
Na primer, kod grednog konačnog elementa izloženog savijanju, aproksimacija pomeranja v( x) unutar konačnog elementa prikazuje se u obliku kubnog polinoma
pn ( x ) P T ( x ) a
1
x
x
2
a0 a 3 1 x a2 a3
26
Nepoznate konstante a0 i a1 u (14) određuju se iz graničnih uslova: u( x) x
0
u1
u( x)
x l
u2
(16)
Granični uslovi (16) mogu da se napišu u matričnom obliku kao u1 1 u2 1
0 a0
l a1
ili, u skraćenom obliku, kao q
Ca
Rešenje se dobija kao a C 1q , odnosno u razvijenom obliku 0 u1 a0 1 a1 1 l 1 l u2
Prema tome, aproksimacija aksijalnog pomeranja unutar elementa data je sa (14) u( x ) P T a P T C 1q 1
ili, posle množenja P u( x )
1 x
1
T
C
l
0 u1 1 1 l 1 l u2
x
,
x l
u
1
(17)
u2
Alternativa: Nepoznate konstante a0 i a1 određuju se iz graničnih uslova: u( x) x
0
u1
u( x)
x l
u2
Dobija se u( x 0) u1 a0
u( x l ) u2 a0 a1l
Rešenje za konstante ai je: a0 u1
a1
u2 u1 l
Prema tome, raspodela aksijalnog pomeranja duž ose konačnog elementa data je u obliku u( x ) u1
u2 u1
x
l
odnosno, sređivanjem, x x u( x ) 1 u1 u2 l l
(18)
Relacija (18) prikazuje se u obliku u( x) N1 (x )u1 N 2 ( x)u2
(19)
gde su N 1( x) i N 2( x) funkcije oblika za aksijalno naprezanje.
Relacija (17), odn. (18), može da se napiše u obliku u( x ) N ( x ) q
(20)
gde su N N1 ( x ) q q1 T
N 2 ( x ) 1 x l
q2 u1
u2
x l
27
Sa N 1( x) i N 2( x) označene su funkcije oblika za aksijalno naprezanje.
N1 ( x )
1
x l
N2 (x)
x
l
Deformacioni rad aksijalno napregnutog konačnog elementa dužine l dat je sa
Ue
1 2
l
N dx
0
gde je N normalna sila, a dilatacija Kako je N
F
kao i
EF
du
dx
to se dobija Ue
EF 2
l
0
du dx
2
dx
(21)
Imajući u vidu relaciju (17), odn. (18), kao i to da su samo interpolacione funkcije N i( x) funkcije koordinate x, prvi izvod pomeranja po koordinati x dat je sa
q u( x ) N1( x ) N 2 ( x ) 1 dx q2
du
Imajući u vidu interpolacione funkcije, dobija se q q q u( x ) 1 l 1 l 1 2 1 dx l q2
du
(22)
Unoseći relaciju (22) u izraz (21) za deformacioni rad, dobija se Ue
EF
2
l
q2 q1
0
l
2
2
dx
(23)
Integracijom se dobija (podintegralni izraz nezavistan je od x): U e
EF 2l
q
2
1
2
q1q2 q22
(24)
Rad generalisanih sila koje deluju na krajevima konačnog elementa je jednak T Rs R1u1 R2u2 R1q1 R2q2 R q
(25)
Potencijalna energija konačnog elementa data je kao razlika potencijalne energije deformacije i rada spoljašnjih sila:
U e Rs
EF
2l
q12 2q1q2 q22 R1q1 R2 q2
Potencijalna energija je kvadratna funkcija generalisanih koordinata: Uslov stacionarnosti potencijalne energije dat je sa
(26)
q1 , q2
28
0
q1
0
q2
Imajući u vidu potencijalnu energiju datu sa (26), dobija se
0
EF
q1
l 0
q
1
EF
q2
l
q2 R1 0
q
1
q2 R2 0
Dobijene dve jed načine pretstavljaju osnovnu jed načinu neopterećenog konačnog elementa
R1 EF 1 1 q1 l 1 1 q2 R2
(27)
Kompaktniji oblik jed načine (27) je standardni oblik, koji je po formi isti i za druge oblike naprezanja: R
K q
(28)
Sa K označena je matrica krutosti za aksijalno napregnut konačni element u ravni K
EF 1
1
l
1 1
Vektor ekvivalentnog opterećenja može da se do bije iz uslova da je rad ekvivalentnog opterećenja jednak radu stvarnog raspodeljenog opterećenja duž ose konačnog elementa QT q
l
p ( x) u( x) dx x
0
Unoseći u integral relaciju (20): u( x) = N ( x)q, dobija se (posle “skraćivanja” sa q) QT
l
p ( x) N ( x) dx 0
(29)
x
Na primer, za ravnomerno opterećenje p x( x) = p0 = const duž konačnog elementa dobija se QT p0
l
(1 x l )
x l dx
0
p0l
2
1
1
Takođe, ako je aksijalno opterećenje duž konačnog elementa linearno promenljivo: p( x) = p0 x/l = const, dobija se QT p0
l
x
0
l
(1 x
l)
x l dx
p0 l
2
1
2
PRIMER:
Posmatra se primer konzolnog štapa dužine L, poprecnog preseka površine F i modula elastičnosti E, koji je opterećen linijski promenljivim aksijalnim opterećenjem q( x) = cx
Primenom Rayleigh-Ritz-ovog varijacionog postupka treba da se odredi rapodela aksijalnog pomeranja i napona u posmatranom štapu.
29
U klasičnom Rayleigh-Ritz-ovom varijacionom postupku probne funkcije kojima se aproksimira nepoznata funkcija problema definisane su unutar celog domena problema. U Rayleigh-Ritz-ovom varijacionom postupku u MKE domen definisanosti probnih funkcija je unutar svakog konačnog elemeta. Diferencijalna jed načina aksijalnog naprezanja data je sa (12): 2
EF
d u dx
2
cx
(30)
x 0, L
0
Prema varijacionom postupku nepoznata funkcija problema u = u( x) aproksimira se sa probnom funkcijom ũ( x) koja je dopustiva, što znači da zadovoljava uslove kompatibilnosti i esencijalne granične uslove. U ovom slučaju aksijalnog naprezanja esencijalni granični uslov je u( x) x0 0 Probna funkcija se usvaja u obliku polinoma pn( x) (15), ali u ovom slučaju, zbog graničnog uslova po pomeranju u(0) = 0, konstanta uz nulti član polinoma se odbacuje: a0 = 0. Najjednostavniji polinom je polinom sa jednim članom: u( x) a1 x
Potencijalna energija posmatranog aksijalno opterećenog štapa data je sa
EF
2
l
0
u2 dx
l
0
Ue Rs :
q( x)u ( x )dx
(31)
Unoseći probnu funkciju ũ( x) = a1 x u potencijalnu energiju (31), imajući u vidu da je ũ’ = a1, kao i da je q( x) = cx, dobija se
EF 2
l
a
2
cx a x dx
dx
1
0
l
0
1
EF 2
3
2
La1
cL 3
a1
Nepoznata konstanta određuje se iz uslova stacionarnosti potencijalne energije:
0 a1 Iz uslova
3
EFLa1
a1 0 dobija
cL
3
se nepoznata konstanta
2
a1
cL
3 EF
Prema tome, približno rešenje za aksijalno pomeranje duž štapa je jednako 2
u( x ) u a1x
cL
3 EF
x
(32)
Sa ovim se dobija približna raspodela normalnih napona x E Eu
2
cL
3F
Posmatra se približno rešenje sa dva člana u polinomu: ( )
u x
Prvi izvod
u
2 u a1 x a2 x
je jednak
u a1 2a2 x
Potencijalna energija sada je približno data kao
(33)
30
EF
2
l
0 a1 2a2 x
2
l
cx a x a x dx
dx
2
1
0
2
Integracijom se dobija potencijalna energija u obliku 3 4 L L a L 2a1a2 L a L ca1 ca2 2 3 4 3
EF
2 1
4
2
2 3 2
Uslovi stacionarnosti potencijalne energije dati su sa 3
0
2
EFLa1 EFL a 2
a1
0
2
EFL a1
a2
4 3
cL
0
3 4
3
EFL a2
cL
0
4
Matrični prikaz uslova stacionarnosti je pogodniji: EF 1
l L
L a1
3 cL 4
4 L 3 a2 12 3L
Rešenje ovih jednačina dobija se kao a cL 7 L a 12 EF 3 1
2
Prema tome, dobijeno je približno rešenje sa dva člana polinoma u obliku u( x ) u a1 x a2 x 2
cL
12 EF
7 Lx 3x 2
(34)
Sa ovim se dobija približna raspodela normalnih napona 2
x E Eu
cL
12F
(35)
Kao što se vidi, dobijeno rešenje ne zadovoljava ni diferencijalnu jed načinu problema (30), kao ni 0 . granični uslov po silama x x L
Naime, prvi i drugi izvodi približnog rešenja sa dva člana polinoma su u
cL
12 EF
u
(7 L 6 x )
cL
2 EF
Kada se to unese u dif. jed. (30), dobija se ostatak R(u )
cL
2
cx
0
dok su normalni naponi x dobijeni kao konstantni duž štapa. Diferencijalna jed načina problema je data sa 2
EF
d u dx
2
cx
0
0, L
(36)
x
kao i sa graničnim uslovima: - esencijalnim (po pomeranjima) - prirodnim (po naponima/silama) -
( )
u x
0
x
x x L
0 0
Tačno rešenje diferencijalne jednačine problema dobija se kao:
31
u( x )
c
6 EF
(3L2 x x 3 )
(37)
Tačno i približno rešenje:
Poređenje tačnog i približnog rešenja sa polinomima
tačno rešenje
u( x )
c
6 EF
(3L2 x x3 )
2
jedan član polinoma
u( x )
dva člana polinoma
u
cL
cL
x
3 EF
12 EF
7 Lx
3x
2
Ako se traži približno rešenje kao kubni polinom: 2
u( x ) u( x ) a1 x a2 x a3 x
posle formiranja potencijalne energije a i
0
3
(a1 ,
a
2
, a3 ) i postavljanja uslova stacionarnosti
( i 1, 2, 3) , dobijaju se konstante 2
a1
cL
2 EF
a2
0
a3
c
6 EF
Ovakvo približno rešenje se poklapa sa tačnim. 4.3. Napomene o varijacionim metodama
Funkcionali su integralni izrazi koji su funkcije drugih funkcija, dakle integrali u kojima je podintegralni izraz zavistan od neke funkcije jedne ili više nezavisnih prostornih koordinata.
Traži se da se variranjem funkcija u funkcionalu odrede one funkcije za koje funkcional ima ekstremnu vrednost (minimum ili maksimum). Uslov za ekstremnu vrednost funkcionala iskazan je relacijom da je prva varijacija funkcionala jednaka nuli.
Funkcional je integralni izraz koji u sebi implicitno sadrži diferencijalnu jednacinu posmatranog problema. Formulacija problema u obliku diferencijalne jednacine i odgovarajucih granicnih (eventualno i početnih) uslova naziva se jaka formulacija (“strong formulation”). Integralna formulacija istog problema preko funkcionala koji u sebi implicitno sadrži diferencijalnu jednacinu problema naziva se slaba formulacija (“weak formulation”).
Izrazi “jaka i slaba formulacija” implicitno asociraju na inferiornost slabe u odnosu na jaku formulaciju. Međutim, jaka i slaba formulacija su međusobno potpuno ekvivalentne. Jaka formulacija iskazuje uslove i relacije koji moraju da budu zadovoljeni u svakoj tacki domena posmatranog problema. Slaba formulacija iskazuje uslove i relacije koji moraju da budu zadovoljeni u prosecnom, odn. u integralnom smislu.
32
Najpoznatiji varijacioni postupak je Rayleigh-Ritz-ov (ili samo Ritz-ov) postupak, posebno u Teoriji konstrukcija. To je zbog toga što u Teoriji konstrukcija (posebno u linearnim teorijama) postoji funkcional u obliku potencijalne energije. Varijacioni princip o minimumu potencijalne energije koji se odnosi na stabilnu ravnotežnu konfiguraciju nosaca, predstavlja polazište formulacije u MKE. Rayleigh-Ritz-ov postupak sastoji se u aproksimaciji funkcije problema u posmatranom funkcionalu preko probnih funkcija (“trial functions”). Probne funkcije su pogodno izabrane funkcije koje spadaju u dopustive funkcije (“admissible functions”). To znaci da probne funkcije zadovoljavaju uslove kontinuiteta (odn. diferencijabilnosti) i esencijalne granicne uslove (geometrijske uslove, uslove po pomeranjima). Pogodne probne funkcije su polinomi u 1D, 2D ili 3D: pn( x); pn( x; y); pn( x; y; z), a moguće i trigonometrijske funkcije. Princip o stacionarnosti potencijalne energije glasi: Od svih dopustivih konfiguracija konzervativnog sistema, u konfiguraciji u kojoj su zadovoljeni uslovi ravnoteže, ukupna potencijalna energija je stacionarna u odnosu na male dopustive varijacije pomeranja.
Ako je stacionarnost potencijalne energije relativni minimum, ravnotežna konfiguracija je stabilna.
Princip važi i kada veza opterecenje - pomeranje nije linearna. Ritz-ov postupak ima dve varijante (oblika) - klasican oblik - probne funkcije su definisane u celom domenu problema - oblik u MKE - probne funkcije su definisane unutar domena konačnog elementa
Probne funkcije se izražavaju preko usvojenih baznih funkcija (npr. clanova polinoma) i nepoznatih koeficijenata (odn. “stepena slobode” ili DOF) posmatranog problema. U klasicnom Ritz-ovom postupku stepeni slobode ne moraju da i maju jasno fizicko znacenje. U Ritz-ovom postupku u MKE koeficijenti (DOF) u probnim funkcijama pretstavljaju čvor ne vrednosti nepoznatih pomeranja, a moguće i obrtanja, dok su probne funkcije funkcije oblika.
Funkcional (potencijalna energija) se izražava preko integrala u celom domenu (odn. u konačnom elementu u MKE). Unoseci pretpostavljene probne fukcije (sa nepoznatim koeficijentima) u funkcional, posle integracije funkcional postaje algebarska funkcija konačnog broja DOF (nepoznatih koeficijenata): (a0 ,
a
1
,
a
2
, ... ,
a
n
)
Uslov stacionarnosti fukcionala za bilo koju malu dopustivu varijaciju konfiguracije glasi
0
a a a a 0
0
1
1
an a n
0
Kako su a0, a1, ... , an međusobno nezavisni parametri (stepeni slobode problema), onda se = 0 svodi na uslove
0 ai
(i 0,1, ..., n )
što pretstavlja sistem algebarskih jednacina po nepoznatim koeficijentima (generalisanim DOF). Probne funkcije moraju da budu dopustive, ali i dovoljno jednostavne za upotrebu, tako da su polinomi najbolji izbor (a ponekad i trigonometrijske funkcije). Kako da se proceni koliko clanova reda i koji stepen polinoma da se usvoji za približno rešenje?
33
Postavlja se pitanje kako da se proceni kvalitet približnog rešenja ako se nema tacno rešenje. Ovakva pitanja postoje i u klasicnom Ritz-ovom postupku, kao i u MKE. U određivanju što tacnijeg približnog rešenja pretpostavlja se da je određeno više varijanti približnog rešenja, u svakom rešenju je dodat po jedan clan više (kao u primeru).
Znaci, generisan je niz približnih rešenja i postavlja se pitanje konvergencije ka nepoznatom tacnom rešenju. Ocekuje se konvergencija ka tacnoj potencijalnoj energiji, ka tacnim pomeranjima i ka tacnim naponima.
Neophodan uslov za konvergenciju približnog rešenja je kompletnost probnih funkcija. Kompletnost probnih funkcija se realizuje ukoliko tacna pomeranja i izvodi pomeranja koji se javljaju u mogu da budu predstavljeni (reprodukovani) proizvoljno dobro probnim funkcijama, ukoliko ima dovoljno clanova u pretpostavljenom rešenju. Kompletnost zahteva da u probnim funkcijama budu ukljuceni najniži clanovi dopustivih funkcija. Na primer, ako se koriste 3 clana polinoma, onda to treba da budu “clanovi po redu” a0 + a1 x + a2 x2, a ne a0 + a1 x + a3 x3, ili a0 + a1 x + a4 x4. Dve grupe granicnih uslova se javljaju - esencijalni (po pomeranjima, geometrijski) - prirodni (ne-esencijalni, po silama ili naponima) Uprkos terminologiji, obe grupe granicnih uslova su značajne.
U jakim formulacijama, zasnovanim na rešavanju diferencijalnih jednacina, koriste se obe grupe granicnih uslova. U slabim formulacijama, zasnovanim na integralnim jednacinama, koriste se esencijalni uslovi, a prirodni (po naponima ili silama) su (obično) iskorišceni u samoj formulaciji integralne jednacine (parcijalnom integracijom). Ako je 2m najviši red izvoda promenljive u diferencijalnoj jednacini problema, onda se u integralnoj formulaciji problema javljaju izvodi reda m i niži. Esencijalni granicni uslovi odnose se na izvode do reda m-1, gde je nulti red izvoda sama promenljiva. Prirodni granicni uslovi ukljucuju izvode reda m i više, do reda 2m-1.
34
5. GALERKINOVA METODA TEŽINSKIH OSTATAKA 5.1. Metoda težinskih ostataka Metoda k onačnih elemenata u primeni na linijske nosace može da se direktno formuliše, kao proširenje matricne analize konstrukcija. U drugim oblastima Primenjene mehanike, ali ukljucujuci i linijske nosace, MKE može da se formuliše i primenom Principa virtuelnih pomeranja, ili na bazi varijacionih principa, primenjenih na funkcional kao što je potencijalna energija.
U nekim oblastima ne može da se definiše (ne postoji) varijacioni princip i odredi odgovarajuci funkcional. Cesto je na raspolaganju samo diferencijalna jednacina (ili jednacine) problema i odgovarajuci granicni uslovi.
Metoda težinskih ostataka je u takvim slucajevima pogodan nacin za formulaciju numeričkog rešenja primenom MKE.
Metoda težinskih ostataka pretstavlja slabu formulaciju u MKE, slicno kao i varijacione formulacije Od različitih oblika Metode težinskih ostataka metoda Galerkina (odn. Bubnov-Galerkin-a) najviše je u primeni. Nepoznata funkcija u diferencijalnoj jednacini problema aproksimira se približnim rešnjem prikazanim u vidu superpozicije proizvoda poznatih probnih (baznih) funkcija i nepozntih koeficijenata (ili generalisanih stepeni slobode problema). Sve probne funkcije moraju da budu dopustive, odn. da zadovoljavaju esencijalne granicne uslove i da budu kontinualne, odn. diferencijabilne do potrebnog nivoa u skladu sa d.j. problema.
Unošenjem pretpostavljenog približnog rešenja u diferencijalnu jednacinu problema, jednacina nece da bude zadovoljena, već ce da postoji neka funkcija ostatka. Funkcija ostatka jednaka je nuli samo za tacno rešenje problema. U metodi težinskih ostataka, funcija ostatka minimizuje se (svodi na nulu) u prosecnom, integralnom smislu. Naime, funkcija ostatka množi se sa izabranim težinskim funkcijama i integrali unutar domena problema (ili domena konačnog elementa), pa se dobijeni izrazi izjednacavaju sa nulom. Na taj nacin postiže se da je funkcija ostatka izjednacena sa nulom u prosecnom smislu. Razne varijante Metode težinskih ostataka razlikuju se međusobno prema izboru težinskih funkcija. Metoda Galerkina je specifična po tome što se za težinske funkcije biraju bazne funkcije kojima je aproksimirano traženo rešenje (bez koeficijenata). Bazne (probne) funkcije pretstavljaju jedan od oblika nepoznatog rešenja, dok su koeficijenti uz bazne funkcije (ili generalisani stepeni slobode) amplitude u tim oblicima rešenja.
Konačno rešenje dobija se superpozicijom funkcija oblika (probnih funkcija) skaliranih sa odgovarajucim generalisanim DOF.
Broj težinskih funkcija jednak je broju probnih funkcija, odn. broju generalisanih DOF, tako da je broj integralnih jednacina proizvoda težinskih funkcija i funkcije ostatka jednak broju generalisanih DOF. Drugim recima, dobija se sistem algebarskih jednacina po nepoznatim koeficijentima, odn generalisanim DOF. Pri tome, u integralu proizvoda težinske funkcije i funkcije ostatka vrši se parcijalna integracija (ukoliko je red diferencijalne jednacine paran). Ako su u( x) i v( x) funkcije jedne promenljive x, onda važi d (u v)
u dv v du
Integracijom ovog diferencijala složene funkcije dobija se
u dv uv v du
ili
b
a
u dv
uv a b
b
a
v du
35
što predstavlja parcijalnu integraciju. Smisao parcijalne integracije u integralu proizvoda težinske funkcije i funkcije ostatka je u tome da se izvodi probnih funkcija (posle unošenja u d.j. problema) “prebace” na težinske funkcije. Pri tome se javljaju i konturni clanovi, koji se anuliraju zbog granicnih uslova po silama (naponima), kao i zbog granicnih uslova po pomeranjima (esencijalnih uslova). Esencijalni granicni uslovi moraju da budu zadovoljeni već samim izborom probnih funkcija, a granicni uslovi po silama se prirodno pojavljuju u parcijalnoj integraciji, pa se zato i zovu prirodni granicni uslovi. Ako je d.j. problema parnog reda, recimo reda 2m, onda se parcijalnom integracijom red izvoda u probnim funkcijama “smanji” sa 2m na m, dok se kod težinskih funkcija “poveća” sa 0 na m.
Kako su u Galerkinovoj metodi težinske funkcije jednake sa probnim, posledica je da se dolazi do simetricnih matrica koeficijenata u jednacinama po nepoznatim generalisanim DOF. U Teoriji konstrukcija diferencijalne jednacine su cesto drugog ili cetvrtog reda, tako da je to pogodno za parcijalnu integraciju i simetriju matrica.
Galerkinova varijanta metode težinskih ostataka prikazace se na primeru skalarne diferencijalne jednacine jedne promenljive (obična dif. jed.): L y( x) f ( x)
0
a x b
(38)
Sa L(...) oznacen je (linearni) diferencijalni operator. U zavisnosti od reda diferencijalne jednacine dati su i odgovarajuci granicni uslovi.
Jednacina (38) množi se sa proizvoljnom funkcijom w( x) i integrali u granicama a i b:
b
a
w( x ) L y( x) f ( x)dx 0
(39)
Jednacine (38) i (39) su međusobno ekvivalentne jer je w( x) proizvoljna funkcija. Nepoznata funkcija y( x) koja pred stavlja rešenje diferencijalne jednacine (38) traži se u obliku približnog rešenja kao linearna kombinacija izabranih probnih funkcija i( x) i nepoznatih koeficijenata ci. Dakle, nepoznata funkcija y( x) traži se u obliku: n
y ( x ) u( x) ci i ( x) i 1
pri cemu izabrane probne (bazne) funkcije i( x) zadovoljavaju esencijalne granicne uslove (u ovom slucaju uslove na konturi domena x = a i x = b). Kako je u( x) neko približno prikazivanje nepoznate tražene funkcije y( x), unoseci u( x) u dif. jedn. (38), jednacina, naravno, nece biti zadovoljena.
Unoseci pretpostavljeni oblik rešenja u jedn. (38) dobija se ostatak (rezidijum) r ( x): r( x) L u( x) f ( x) 0
Ideja (cilj) metode težinskih ostataka je da se odredi približno rešenje, odnosno nepoznati koeficijenti ci uz poznate probne funcije, tako da ostatak r ( x) bude jednak nuli u prosecnom smislu.
Zato se postavlja uslov (39) u koji se unosi približno rešenje u( x), u kojem figurišu nepoznati koeficijenti ci, kao i proizvoljna funkcija w( x):
b
a
w( x ) r( x) dx
b
a
w( x) L y( x ) f ( x) dx 0
Galerkinova metoda težinskih ostataka za težinsku funkciju w( x) usvaja probne funkcije i( x): wi ( x) i ( x)
(i 1, 2,..., n )
36
Dobija se sistem jednacina po nepoznatim koeficijentima ci:
n c ( x ) ( ) ( ) x L f x dx 0 j j i a 1 j b
(i 1, 2,..., n )
Izracunavanjem integrala dobija se sistem od n jednacina po nepoznatim koeficijentima ci.
Rešavanjem dobijenog sistema i određivanjem koeficijenata ci dobija se približno rešenje za traženu funkciju y( x): y ( x ) u( x )
n
c (x) i
i
i 1
PRIMER:
Posmatra se aksijalno opterecena konzola dužine L, površine preseka A i modula elasticnosti E . Štap je opterecen celom dužinom linearno promenljivim aksijalnim opterecenjem q( x) = cx, kao i koncentrisanom silom P na slobodnom kraju.
Naci približno numeričk o rešenje primenom metode Galerkina.
(a) Aksijalno opterecen štap
(b) Dif. jednacina problema
Ako je sa u( x) oznaceno aksijalno pomeranje ose štapa, diferencijalna jednacina štapa data je sa EAu( x ) cx
0
(40)
Granicni uslovi su - esencijalni (po pomeranjima) . . . u(0) = 0 - prirodni (po silama) . . . AEu ( L) = P ’
Tacno rešenje diferencijalne jednacine može da se dobije kao u( x )
2
P
AE
x
cL
2 AE
x
c
6 AE
x
3
(41)
Neka je ũ( x) približno rešenje za nepoznato pomeranje u( x). Ako se sa W i( x) oznace težinske funkcije, onda je Galerkinov metod dat u obliku
l
0
Wi u
cx dx 0 AE
Prvi clan u integralu može da se parcijalno integrali. Ako je u = Wi, kao i dv = ũ dx, onda je (sa oznakama za parcijalnu integraciju) “
du Wi dx
v u
Prema tome, parcijalnom integracijom prvog clana u jedn. (42) dobija se
(42)
37
L
0
W u W cx dx W u 0 AE L
i
i
i
(43)
0
Za priblžno rešenje posmatramo polinom sa dva clana ( )
u x
( )
u x
2 a1 x a2 x
(44)
U polinom ũ( x) nije ukljucen nulti clan a0, jer time ne bi bio zadovoljen esencijalni granicni uslov u(0)=0. Imajuci u vidu probnu funkciju ũ( x), koja zadovoljava esencijalni uslov (uslov po pomeranju za x = 0), odgovarajuce težinske funkcije su: W1 ( x ) x
W2 ( x) x
2
W1 1
W2 2 x
Težinske funkcije su izvedene iz probne funkcije, pa, prema tome, i težinske funkcije zadovoljavaju esencijalni granicni uslov u(0) = 0 To znaci da je konturni clan u jedn. (43) za donju granicu jednak nuli zbog W i(0) = 0. Za gornju granicu x = L aplicira se granicni uslov po sili u
P AE
Imajuci sve ovo u vidu, mogu da se pišu dve jednacine (43): i 1:
L
L
0
i 2:
0
cx P a1 2a2 x ) x dx L 1 ( 0 AE AE cx P 2 2 2 x ( a1 2a2 x ) x AE dx L AE 0
(45)
Jednacine (45) postaju: i 1:
L
L
0
i 2:
0
c PL 2 ( a1 2a2 x AE x dx AE 0 2 c PL 2 3 ( 2a1 x 4a2 x AE x dx AE 0
(46)
Dobijaju se rešenja a1
P
7cL2
a2
AE 12 AE
cL
4 AE
Prema tome, približno rešenje za aksijalno pomeranje u( x) dobijeno je kao u( x ) u
P AE
x
7cL2 12 AE
x
cL
4 AE
2 x
(47)
Raspodela normalnih napona x( x) = Eu data je sa ’
x ( x )
P
7cL2
A 12 A
cL
2A
x
(48)
Ako se odredi potencijalna energija za posmatrani primer, za neku probnu funkciju ũ( x), dobija se
L
0
1 u2 cxu dx Pu L AE 2
(49)
Ukoliko može da se konstruiše funkcional koji odgovara diferencijalnoj jednacini problema, onda Galerkinov metod težinskih ostataka i Rayleigh-Ritz-ov varijacioni postupak daju iste rezultate ako koriste iste probne funkcije.
38
Potencijalna energija (49) odgovara diferencijalnoj jednacini (40), pa ako se probna funkcija usvoji u obliku ũ( x) = a1 x + a2 x2 dobija se isto rešenje kao i (47). 5.2. Aksijalno naprezanje
Posmatra se linijski konačni element dužline l sa dve čvor ne tačke 1 i 2.
Površina poprecnog preseka je A, a modul elasticnosti materijala je E. Duž ose konačnog elementa deluje raspodeljeno aksijalno opterecenje p x( x). Diferencijalna jednacina aksijalnog naprezanja elementa je EAu p x ( x)
x 0, l
0
(50)
Približna raspodela nepoznatog pomeranja u( x) prikazuje se u obliku u ( x ) N1 ( x )
u1 N ( x ) q u2
N 2 ( x )
gde su N i( x) interpolacione funkcije (linearni polinomi) N1 ( x )
1
x
N2 ( x)
l
x
l
dok su ui aksijalna pomeranja čvor nih tacaka q
u u 1 2
Konačni element štapa u ravni, dužine l, koji je izložen aksijalnom naprezanju, sa dve čvor ne tačke na krajevima
Prvi izvod aksijalnog pomeranja duž konačnog elementa u ( x) dat je sa ’
u1 u2
u( x ) N ( x ) q N 1( x )
N 2 ( x )
Imajuci u vidu funkcije oblika N i( x), prvi izvodi su jednaki N1( x )
1
N 2 ( x )
l
1 l
Dilatacija tačke na osi konačnog elementa jednaka je prvom izvodu pomeranja
x u( x )
d dx
u( x )
L N ( x ) q B q
Sa L oznacen je odgovarajuci diferencijalni operator, napisan u matricnom obliku, (iako je samo jedan element)
d L dx dok je B = LN ( x) matrica koja povezuje dilatacije i pomeranja.
39
Najzad, konstitutivne relacije za linearno elastican materijal konačnog elementa date su u obliku x
E x
što može da se napiše u matricnom obliku (iako su vektori i matrice samo sa po jednim clanom, u ovom slucaju): σ
D ε
Sa D oznacena je konstitutivna matrica (matrica elasticnosti) D E
Imajuci u vidu diferencijalnu jednacinu aksijalnog naprezanja (50), Galerkinova formulacija za konačni element dužine l glasi l
N EAu p dx 0 0
i
i 1, 2
x
gde su za težinske funkcije usvojene funkcije oblika N i( x). Parcijalnom integracijom prvog clana u jednacini dobija se l
Ni AEu 0
l
NiAEu dx
0
l
Ni px dx 0
0
(51)
Jednacina (51) može da se napiše u obliku Ni AEu 0 l
l
0
NiAEu dx
l
0
Ni px dx
(i 1, 2)
(52)
U jedn. (52) unosi se približan izraz za u (napisan u skalarnom obliku) ’
N i AEu 0 l
l
0
N iAE
2
N q j
j
dx
j 1
l
0
N i px dx
(i 1, 2)
(53)
Čvor ne sile na krajevima konačnog elementa R1 i R2 jednake su normalnoj sili na kraju (u čvor u 1 je R1= -N) R1 A x R2 A x
x 0
x l
AE x
AE x
x l
AEu x0
x 0
AEu xl
Konturni clan u parcijalnoj integraciji unosi prirodne granicne uslove, odnosno čvor ne sile Ri na krajevima elementa. Konturni clan u (53) dat je sa N i AEu 0 N i AEu xl N i AEu x0 l
Kako su funkcije oblika takve da je N 1(0) = 1, N 1(l) = 0, kao i N 2(0) = 0, N 2(l) = 1, to se za konturni clan dobija l
za i 1:
N1 AEu 0
za i 2:
N 2 AEu 0
l
R1
R2
Drugi integral na desnoj strani jedn. (53) pretstavlja vektor ekvivalentnog opterecenja l
N p 0
i
x
dx Qi
(i 1, 2)
Prvi integral na desnoj strani jedn. (53) predstavlja matricu krutosti konačnog elementa pomnoženu sa čvor nim nepoznatim (kada se napiše za i, j = 1, 2)
l
0
2
N i AE
N q j
j 1
j
k11
k12 q1
k21
k22 q2
dx
Kq
40
gde su k ij elementi matrice krutosti konačnog elementa izloženom aksijalnom naprezanju, dati sa l
kij k ji
0
Ni( x ) AE N j ( x ) dx
Imajuci u vidu prve izvode interpolacionih funkcija N1( x )
1
N 2 ( x )
l
1 l
dobija se matrica krutosti aksijalno napregnutog konačnog elementa: K
1 1
AE 1
l
1
Prema tome, primenom Galerkinovog postupka, dobija se osnovna jednacina jednog konačnog elementa u obliku R
Kq Q
(54)
5.3. Savijanje u ravni
Posmatra se linijski konačni element dužline l sa dve čvor ne tačke 1 i 2.
Površina poprecnog preseka je A, moment inercije je J z, a modul elasticnosti materijala je E . Duž ose konačnog elementa deluje raspodeljeno poprecno opterecenje p y( x). Diferencijalna jednacina savijanja u lokalnoj ravni xy elementa je EJ z v IV ( x ) py ( x )
0
x 0, l
(55)
Približna raspodela nepoznatog ugiba v( x) prikazuje se preko Hermitovih kubnih polinoma kao interpolacionih funkcija i čvor nih nepoznatih: ugiba i obrtanja (nagiba) u čvor nim tačkama v1 1 v( x ) N1 ( x ) N 2 ( x ) N 3 ( x ) N 4 (x ) v2 2 ili u skracenom obliku v( x )
N (x)q
(56)
N i( x) su interpolacione funkcije (kubni Hermitovi polinomi) koji pred stavljaju tacno rešenje homogene diferencijalne jednacine savijanja IV
EJ z v
( x)
0
za granicne uslove koji odgovaraju jedinicnim pomeranjima generalisanih čvor nih pomeranja: v( x ) x0 v1
v ( x ) x0 1
v( x ) xl v2
v ( x ) xl 2
Interpolacione funkcije N i( x) su kubni Hermitovi polinomi prve vrste: N1 ( x ) 1 3 N 3 ( x ) 3
x l
x l
2
2
2
2
2
2
x l
x l
3
3
N 2 ( x) x 2
3
3
N 4 ( x)
x
x
x
l
2
l
2
x
l
3
l
3
2
(57)
2
Konačni element štapa u ravni xy, dužine l, koji je izložen savijanju u ravni, bez aksijalnog naprezanja, sa dve čvor ne tačke na krajevima, ima cetiri čvor ne generalisane koordinate.
41
Imajuci u vidu diferencijalnu jednacinu savijanja (55), Galerkinova formulacija za konačni element dužine l glasi l
N EJ v
IV
i
0
z
( x) py ( x) dx 0
(i 1, 2,3, 4)
gde su za težinske funkcije usvojene funkcije oblika N i( x) kojima se prikazuju pomeranja unutar elementa. Parcijalnom integracijom prvog clana u jednacini dobija se l
III
Ni EJ z v
0
l
0
NiEJ z v dx III
l
0
Ni py dx 0
(58)
Novom parcijalnom integracijom prvog integrala u jednacini (58) dobija se l
l
Ni EJ z v 0 NiEJz v 0
l
0
NiEJz vdx
l
Ni py dx
0
0
(59)
Prva dva konturna clana, dobijena parcijalnim integracijama, uvode prirodne granicne uslove (granicne uslove po silama).
Kao što je poznato, drugi i treci izvod ugiba su momenat savijanja i transverzalna sila: M ( x)
EJ z v( x)
EJz v( x)
T ( x)
(60)
Jednacina (59) može da se napiše, uz prebacivanje integrala na desnu stranu jednacine, kao: l
l
Ni EJ z v 0 NiEJ z v 0
l
0
NiEJz vdx
l
0
Ni py dx 0
(61)
Konturni clanovi, uz zamene granica, postaju N i EJ z v
l
Ni EJ z v
0
l
N iEJ z v 0
NiEJ z v
xl
xl
Ni EJz v NiEJz v
x 0
(62)
x 0
Prvi izvodi interpolacionih funkcija N i( x) (57) jednaki su: N1( x ) 6 N 3 ( x ) 6
x l
x l
2
2
x
6
6
l
x l
2
3
N 2 ( x ) 1 4
2
3
N 4 ( x ) 2
x l
x l
3
3
x l
x l 2
2
2
(63)
2
Prvi konturni clan, sa trecim izvodom, odnosi se na transverzalne sile na jednom i na drugom kraju konačnog elementa. Drugi konturni clan, sa drugim izvodom ugiba, odnosi se na momente savijanja na krajevima konačnog elementa. Vodeci racuna o znacima, o konvenciji čvor nih sila kod konačnog elementa i o inženjerskoj konvenciji o znacima T i M , kao i o vrednostima N i i N i i na krajevima konačnog elementa, konturni clanovi (62), napisani zajedno za sve 4 Galerkinove jednacine ( i = 1, 2, 3, 4), mogu da se napišu kao vektor čvor nih sila R: ’
T
R
R1
R2
R3
R4
Elementi vektora R: R1 i R3 su čvor ne transverzalne sile, dok su R2 i R4 čvor ni momenti savijanja.
42
Drugi integral na desnoj strani jednacine (61), napisan za sve cetiri Galerkinove jednacine, predstavlja vektor ekvivalentnog opterecenja Q konačnog elementa: QT Q1
Q2
Q3
l
Np
Q4
i
0
y
dx Qi
Posmatra se prvi integral na desnoj strani jednacine (61). Imajuci u vidu prikazivanje ugiba u obliku (56), dobija se
l
0
N iEJ z v dx
4
l
NiEJ z
0
N q j
j
dx
j 1
U integralu su samo izvodi interpolacionih funkcija zavisni od x, dok je krutost na savijanja EJ z konstanta, jer se smatra da konačni element ima konstantan poprecni presek.
Može da se uvede oznaka kij k ji
l
0
NiEJ z N j dx
i, j 1,2,3,4
(64)
Sa ovim, prvi integral na desnoj strani jednacine (61) može da se napiše u matricnom obliku (za sve i, j) kao proizvod kvadratne matrice i vektora K q
gde je K matrica krutosti konačnog elementa, dok je q vektor čvor nih nepoznatih. Izraz Kq za posmatrani konačni element može da se prikaže u razvijenom obliku
K q
k11 k 21 k31 k 41
k12
k13
k22
k23
k32
k33
k42
k43
k14 q1
k 24 q2
k34 q3 q k 44 4
Imajuci sve ovo u vidu, Galerkinove jednacine (61) mogu da se napišu u obliku R
K q Q
(65)
koji predstavlja osnovnu jednacinu opterecenog konačnog elementa. Drugi izvodi interpolacionih funkcija N i( x) (57) dobijaju se diferenciranjem prvih izvoda (63): N1( x ) 6 N 3( x ) 6
1 l
1 l
2
2
12
12
x l
x l
3
3
N 2( x ) 4 N 4( x ) 2
1 l
1 l
6
6
x l
2
x l
(66)
2
Unošenjem drugih izvoda interpolacionih funkcija (66) u izraz za elemente k ij, dobija se matrica krutosti konačnog elementa u ravni sa 4 stepena slobode:
K
EJ z l3
12 6l 12 6l 6l 4l 2 6l 2l 2 12 6l 12 6l 6l 2l 2 6l 4l 2
(67)
43
6. MKE: OSNOVNE RELACIJE I INTERPOLACIJA 6.1. Formulacija na bazi pomeranja 6.1.1. Granični ili početni problem
Granicni ili počet ni problem deformabilnog 3D tela
Granicni ili početni problem deformabilnog tela posmatra stanje napona i deformacija tela usled datih spoljašnjih uticaja.
Ukoliko su spoljašnji uticaji značajnije zavisni od vremena, problem je dinamičke prirode i opisan je (nacelno) odgovarajucim diferencijalnim jednacinama kretanja. Ako su vremenske promene opterecenja i odgovora tela zanemarljive, problem je staticke prirode i definisan je odgovarajucim diferencijalnim jednacinama r avnoteže.
Osim diferencijalnih jednacina kretanja ili ravnoteže, moraju da budu definisani i odgovarajuci granicni i početni uslovi (za dinamički problem). MKE je najviše primenjivan numerički postupak za približno rešavanje granicnih i početnih problema. Većina pristupa u MKE u Primenjenoj mehanici zasnovana je na polju pomeranja kao osnovnim nepoznatim. U razmatranju nekog problema bitno je da se usvoje odgovarajuci konačni elementi i interpolacione funkcije, a posebno da se izvedu matrice krutosti elemenata. Izvođenje sistema jednacina kojima se dobija približno rešenje problema zajednicko je, nacelno, za sve probleme. Za neke od konačnih elemenata relacije mogu da se formulišu direktnim putem, kao što su linijski konačni elementi za rešetkaste i pune štapove, u ravni ili u prostoru.
Za površinske ili prostorne konačne elemente polazi se od osnovnih relacija u mehanici, odn. u naponsko-deformacijskoj analizi i teoriji elasticnosti: - veza između napona i deformacija - veza između deformacija i pomeranja - uslova ravnoteže (ili diferencijalnih jednacina kretanja) - granicnih i početnih uslova - odgovarajucih pricipa Mehanike Neka su i vektori napona i deformacija, a indeks 0 oznacava početnu vrednost vektora napona ili deformacija. Posmatraju se idealno elasticni materijali, pa j e D konstitutivna matrica koja sadrži odgovarajuce elasticne konstante. Za linearno elasticne uslove veza napon - deformacija može da se prikaže u obliku
44 σ D ε σ0
gde je
σ0
D ε 0
ili
σ
D ε
(1)
ε0
.
Veza (1) važi za jednu, dve ili tri dimenzije. Za jednoaksijalno naprezanje i bez početnih napona, veza je E
gde je E modul elasticnosti. Za dve dimenzije i ravan x, y veza (1) data u je obliku
x D D x xy D
11
D12
D13 x
x x x xy xy
0
21
D22
D23
0
31
D32
D33
0
Konstitutivna matrica D je simetricna: Dij = D ji.
Matrica D može da prikazuje izotropne ili anizotropne materijalne osobine. Za izotropan materijal i za ravno stanje napona (z = xz = yz = 0), konstitutivna matrica D data je u obliku
D
0 1 1 0 2 1 0 0 (1) E
2
gde je E modul elasticnosti, dok je Poisson-ov koeficijent. Inverzna konstitutivna matrica jednaka je
1 E E E 1 E 0 0
1
D
0 1 G 0
gde je G modul klizanja E
G
2(1 )
Za izotropan materijal i za ravno stanje deformacija ( z = xz = yz = 0), konstitutivna matrica D data je u obliku
D
(1 ) 0 1 (1) 1 0 (1 )(1 2 ) 0 0 (1 2 ) 2(1 ) E (1 )
Inverzna relacija (1), odn. veza deformacija - napon, dobija se u opštem obliku ε
1
D σ ε0
Za izotropan materijal i za ravno stanje napona veze deformacija - napon glase (napisano skalarno) x
x E
y xy
x
xy E
E
y E
xy 0
x0 y E
y0
45
Početne deformacije 0 mogu da imaju razne uzroke, npr. temperaturne promene, bubrenje usled vlage, skupljanje i tecenje betona. U slucaju da se posmatra početna deformacija usled dva ili više izvora, u vezu (1) mogu da se ukljuce i početni naponi 0 i početne deformacije 0. Ako je materijal izotropan, a početna deformacija je nastala usled promene temperature t , onda je
x0 y 0 t t
xy 0 0
gde je t koeficijent temperaturne dilatacije materijala. U tri dimenzije konstitutivna matrica D je simerticna, reda 6, i povezuje početnog napona ili deformacija) = D :
x y z Dij x xy yz zx
6 6
x x x xy yz zx
i
(uz zanemarivanje
(2)
Za slucaj izotropije, kao i za početne deformacije usled temperaturne promene t , ne-nulti elementi u vezi (2) su dati sa D11
D22
D33
(1 )c
D44
D55
D66
G
D12
D21
D13
D31 D23
D32
c
t
x 0 y 0 z 0 t
gde je
c
E
(1 )(1 2)
G
E
2(1 )
Veze između deformacija i pomeranja su značajne, jer se, preko veza napon - deformacija određuju naponi na osnovu prethodno izracunatih približnih vrednosti pomeranja kao osnovnih nepoznatih.
Koriste se inženjerske definicije deformacija - dilatacija je promena dužine podeljena sa originalnom dužinom - klizanje je promena prvobitnog pravog ugla i zmeđu dva pravca Posmatraju se pomeranja u ravni u = u( x, y), v = v( x, y)
Deformacije elementarnog kvadrata dx dy u ravni i odgovarajuce dilatacije i klizanje (za x0 i y0)
Ako su poznata pomeranja tačke u( x, y) i v( x, y) u dva pravca x i y, onda su dilatacije i klizanje definisani sa
46
x
u x
y
v y
xy
u v y x
(3)
Za slucaj 3D prostora, komponente pomeranja su u( x, y, z), v( x, y, z) i w( x, y, z).
Dilatacije i klizanja su dati sa, osim sa izrazima (3), još i sa w
z
yz
z
v z
w
zx
y
w u x z
(4)
U matricnom obliku veze deformacije - pomeranja mogu da se prikažu, za 2D, kao
x 0 0 y u( x, y ) v( x, y ) y x
x
y
xy
(5)
U matricnom obliku veze deformacije - pomeranja mogu da se prikažu, za 3D, kao
0 x 0 0 y 0 u( x , y , z ) 0 0 z y x 0 v( x , y, z ) w( x , y, z ) 0 z y z 0 x
x
y
z
xy
yz
zx
(6)
Veze između deformacija i pomeranja (5) i (6) mogu da se napišu skraceno u obliku ε
Lu
(7)
gde je L diferencijalni operator za 2D ili 3D
0 x 0 y y x
L2 D
L3 D
0 0 x 0 0 y 0 z 0 0 y x 0 z y x 0 z
(8)
Sa u u vezi (8) oznacen je vektor sa komponentama pomeranja u 2D ili 3D:
u
2 D
u ( x , y ) v ( x, y )
u
3 D
u( x , y, z ) v( x , y , z ) w( x , y , z )
(9)
Ako se posmatra jednodimenzionalna deformacija i pomeranje u pravcu ose x: u = u( x), onda je veza dilatacija pomeranje data sa du
x
dx
(10)
Diferencijalni operator u ovom slucaju pomeranja u jednom pravcu može da se prikaže kao matrica samo sa jednim elementom:
d L dx
(11)
Imajuci ovo u vidu, moguće je da se i za 1D problem, odn. za jednoaksijalno naprezanje, veza napon deformacija napiše matricnom obliku
47
σ
Dε
x
E x
Veza između deformacije i pomeranja u jednoaksijalnom naprezanju u pravcu ose x može da se prikaže u matricnom obliku ε Lu
x
du dx
Kompatibilnost pomeranja i deformacija, ili krace, uslovi kompatibilnosti mora da postoji i u numeričkom modelu ukoliko se ocekuju (dovoljno) tacni i realni rezultati. Uslovi kompatibilnosti znace da se tokom pomeranja i defrmacije ne javljaju pukotine, prekidi u materijalu, nabori prilikom savijanja, da nema međupenetracije pojedinih delova i sl. Uslovi kompatibilnosti zahtevaju da su pomeranja u racunskom modelu kontinualne i jednoznacne funkcije koordinata u domenu. Ako se posmatra 2D ravanski model, onda se uslovi kompatibilnosti svode na relaciju između deformacija
x y xy y x xy 2
2
2
2
2
Analogne relacije pretstavljaju uslove kompatibilnosti i za 3D slucaj.
Uslovi ravnoteže u prostornom problemu postavljaju se posmatrajuci elementarnu zapreminu dV = dxdydz.
Na površinama elementarne zapremine deluju unutrašnje sileveze (naponi), a u središtu elementarne kocke deluju rezultujuce zapreminske sile. U statickom slucaju mirovanja tela, sve sile koje deluju na telo, ili na izdvojeni deo (∞ mali ili konačni), nalaze se u ravnoteži. U dinamičkom slucaju postavlja se Zakon o promeni kolicine kretanja (ili 2. Njutnov zakon) za posmatrani izdvojeni elementarni deo tela. Elementarna zapremina dV = dxdydz
Naponi su unutrašnje sile veze na stranicama elementarne zapremine unutar 3D tela
Diferencijalne jednacine kretanja elementarne zapremine tela mogu da se prikažu u obliku.
48
x
u v
x xy
w
x
yx
y
xz
x
y y yz y
zx
z zy
z x z
f x f y
(12)
f z
Komponente pomeranja središta elementarne zapremine su u, v, w, dok su u , v ,
w
komponente
ubrzanja. U jedn. (12) sa je oznacena gustina mase dm
dV
Zapreminske sile u jedn. (12) mogu da se prikažu kao vektor zapreminskih sila f b: f x f b f y f z
Diferencijalne jednacine kretanja (12) mogu da se prikažu u matricnom obliku kao u LT σ f b
(13)
gde je L diferencijalni operator (8), u ovom slucaju za 3D. U slucaju mirovanja, ubrzanja i brzine su jednaki nuli, pa jednacine kretanja (13) postaju jednacine
ravnoteže T
L σ
f b
0
(14)
Ako se naponi u jedn. (13) prikažu preko deformacija (1), uz 0 = 0, pa ako se deformacije izraze preko pomeranja, (7), dobija ju se diferencijalne jednacine kretanja izražene preko pomeranja u LT DLu fb
(15)
Slicno, jednacine ravnoteže (14) mogu da se prikažu preko pomeranja LT DLu f b
0
(16)
3D problem može da se značajno uprosti ako može da se posmatra kao 2D. U prikazivanju 2D solida (deformabilnog tela) nacelno se “ukloni” jedna koordinata, obično z, i problem se posmatra u x, y ravni. Smatra se da su promenljive veličine problema nezavisne od z koordinate, kao i da je spoljašnje opterecenje nezavisno od z. Problemi 2D tela grupišu se, nacelno, u dva tipa problema: - ravno stanje napona - ravno stanje deformacija Deformabilna tela u ravnom stanju napona su po svom obliku 2D, odn. takva da su dimenzije u jednoj ravni ( x, y) slicnog reda veličine, dok je treca dimenzija, u pravcu ose z, za red veličine manja.
Spoljašnje sile deluju samo u x ,y ravni a naponi u pravcu z su jednaki nuli z 0
xz 0
yz 0
Sva pomeranja i deformacije vrše se samo u x, y ravni
49
2D telo u ravnom stanju napona (npr. zidno platno)
Deformabilna tela u ravnom stanju deformacija su po svom obliku 3D, odn. dimenzija u pravcu ose z za red veličine je veća od dimenzija u ravni ( x, y).
Spoljašnje sile su ravnomerno raspodeljene u pravcu ose z (a naravno i u x, y ravni). Sva pomeranja i deformacije u pravcu ose z su sprecena. Komponentalne deformacije u pravcu ose z su jednake nuli: z 0
xz 0
yz 0
Telo trodimenzionalnog oblika u ravnom stanju deformacija (npr. gravitaciona brana ili potporni zid)
Diferencijalne jednacine kretanja za 2D telo (ravno stanje napona ili deformacije) mogu da se prikažu u obliku
x yx f x y x xy y v f x y y u
(17)
odnosno, u matricnom obliku: T
u L σ
f b
(18)
gde je L diferencijalni operator (8), u ovom slucaju za 2D.
Vektor spoljašnjih sila f b u jedn. (18) dat je sa f b
f x f y
U slucaju kada je 2D problem statički, onda su jednacine ravnoteže date sa T L σ f b 0
ili u obliku samo po pomeranjima:
(19)
50 T
L DLu f b
0
Granicni ili počet ni problem deformabilnog 3D tela
6.2. Interpolacija i funkcije oblika
6.3. Kompatibilnost i kompletnost funkcija oblika
(20)
51
7. DISKRETIZACIJA
GRANIČNOG PROBLEMA
7.1. Diskretizacija domena i diferencijalnih jednačina
7.2. 2D problemi: ravno stanje napona i deformacija
7.3. Trougaoni konačni elementi
52
8. 2D PROBLEMI: RAVNO STANJE NAPONA I DEFORMACIJA 8.1. Trougaoni elementi - interpolacione funkcije
8.2. Trougaoni elementi - matrica deformacije
8.3. CST elementi - matrica krutosti i vektor čvornih sila
53
9. LINEARNI PRAVOUGAONI ELEMENTI
9.1. Izvođenje interpolacionih funkcija
9.2. Matrica deformacije pravougaonog elementa
9.3. Matrica krutosti pravougaonog elementa
54
10. NUMERIČKA INTEGRACIJA U MKE
10.1. Opšte napomene o numeričkoj integračiji
10.2. Newton-Cotes-ove formule
10.3. Gausova numerička integracija
55
11. SAVIJANJE
PLOČA - OSNOVNA TEORIJA
11.1. Savijanje tankih ploča - Kirchhoff-a teorija
11.2. Savijanje debelih ploča - Reissner-Mindlin
11.3. Tanke i debele ploče - osnovne razlike
56
12. KONAČNI ELEMENTI ZA SAVIJANJE
12.1. Opšte napomene
12.2. Pravougaoni elementi sa 12 dof
PLOČA