Persamaan diferensial Bernoulli, merupakan salah satu bentuk Persamaan Diferensial Linier Orde Satu.Full description
Deskripsi lengkap
Deskripsi lengkap
Full description
Deskripsi lengkap
Full description
Transformasi laplace dan persamaan diferensial untuk pemodelan signal dalam bentuk matematisDeskripsi lengkap
Deskripsi lengkap
Transformasi laplace dan persamaan diferensial untuk pemodelan signal dalam bentuk matematis
matematika
PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER ORDE KEDUA
Bentuk umum Persamaan Differensial (PD) linier orde kedua adalah :
y"+ p(x)y'+ g(x)y = r(x)
Disebut persamaan linear homogen orde kedua jika r(x) = 0,
p(x) dan g(x) disebut konstanta
Persamaan Differensial Linier Homogen Orde Kedua
Penyelesain persamaan differensial linier homogen orde kedua
Kita misalkan
y = ex
kita substitusikan ke persamaan y"- y = 0
Jadi,
(ex)"- ex = ex – ex = 0
y = -3ex + 8ex
Kita substitusikan ke persamaan y"- y = 0
Jadi,
(-3ex + 8ex)"-( -3ex + 8ex) = -3ex + 8ex – (-3ex + 8ex) = 0
Dari kedua contoh tersebut kita dapatkan penyelesaian untuk persamaan differensial linier homogen orde kedua
Maka dapat kita simpulkan bahwa :
Untuk setiap y1 = ex dan y2 = e-x
Maka
y = c1y1 + c2y2
c1 dan c2 merupakan konstanta sebarang
Contoh :kita substitusikan persamaan di atas ke dalam persamaan
y"+ p(x)y'+ g(x)y = 0
Maka
y"+ py'+ qy = (c1y1+ c2y2)"+p(c1y1+ c2y2)'+q(c1y1+ c2y2)
= c1y1"+ c2y2"+ p(c1y1'+ c2y2') + q(c1y1 + c2y2)
=c1(y1"+ py1'+ qy1) + c2(y2"+ py2' +qy2)=0
Persamaan Differensial Linier Homogen Orde 2 Koefisien Konstanta
PD Linier Homogen Orde 2 dengan koefisien konstan adalah :
ay"+ by'+ cy = 0
Dengan a, b, c = konstanta
Dimisalkan solusi umum PD: y = emx sehingga jika kita substitusikan ke dalam PD
Maka :
ay"+ by'+ cy = 0
am2emx+ cemx = 0
(am2 + bm + c) emx=0
Jadi y = emx menjadi solusi PD jika am2+bm+c = 0 (disebut persamaan ciri)
Akar-akar persamaan ciri adalah
m1,2=-b±b2-4ac2a
Terdapat tiga (3) kemungkinan akar-akar nilai m pada Persamaan ciri :
Jika b2-4ac>0 , maka m1,2 adalah dua akar real yang berbeda dengan m1,2 £ R maka solusi umumnya :
y=c1em1x+c2em2x
Jika b2-4ac=0 , maka m1 = m2 dengan m1,2 £ R ,maka solusi umumnya :
y=c1emx+c2xemx
Jika b2-4ac<0, maka m1,2 = α ± iβ dengan α,β £ R ,maka solusi umumnya :
y=c1eα+iβx+c2eα-iβx
dengan rumus Euler, yaitu eix = cos x + i sin x maka bentuk trigonometri rumus dapat ditentukan :
y=c1eα+iβx+c2eα-iβx
=c1eαxcosβx+i sinβx+c2eαx-cosβx-i sinβx; -cosβx=cosβx
=c1+c2eαxcosβx+ic1-c2eαx(sinβx)
=Aeαxcosβx+Beαxsinβx ;A,B konstanta bil.kompleks
Contoh soal :
Tentukan solusi umum persamaan differensial berikut :
y"+5y'- 6y = 0
Penyelesaian :
Akar-akar persamaan karakteristik pada PD di atas adalah : m2+5m – 6 = 0
(m-1)(m+6)=0
m1=1 dan m2=-6
dua solusi bebas linier PD adalah :
y1(x)= ex dan y2(x)= e-6x
Jadi solusi umum PD adalah :
y(x)= c1 ex +c2 e-6x
Penyelesaian :
Persamaan karakteristiknya:
r2 – 3 r + 2 = 0 (r – 2) (r – 1) = 0
Sehingga didapat r1 = 2 dan r2 = 1
Jadi solusi homogennya adalah yh = C1 e2x + C2 ex
Untuk yp dipilih yp = A x ex
yp' = A ex + A x ex yp" = 2A ex + A x ex
Kemudian masukan ke PD di atas:
2Aex+Axex – 3 (Aex + Axex) + 2 Axex = ex -A ex = ex
A = -1
Jadi solusi umum PD di atas adalah y = C1e2x + C2ex – xex
Kita punya y(0)=1 dan y'(0)=-1
y = C1 e2x + C2 ex – x ex 1=C1+C2
y' = 2C1e2x + C2ex – ex – xex 0=2C1+C2
Didapat C1=-1, dan C2 = 2
Jadi solusi khusus PD di atas adalah
y = – e2x + 2 ex – x ex
Soal
Selesaikan persamaan differensial berikut
y"+5y'-6y=0
Selesaikan persamaan differensial berikut
y"-y=0
Dimana y(0)=1 dan y'(0)=0
Tentukan penyelesaian umum persamaan differensial berikut
2y"+4y'+8y=0