ECUACIONES DIFERENCIALES FASE UNO Presentado a: xxxxxxx Tutor
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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD UN AD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, INGENIERIAS Y TECNOLOGIAS CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES FECHA BOGOTÁ D.C. 2018
INTRODUCCION
OBJETIVOS
DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD COLABORATIVA Actividad Individual: A continuación, se presentan un contexto generalizando la temática de las ecuaciones diferenciales de primer orden, en el que posterior a él, se presentan diez (10) preguntas tipo SABER PRO, de las cuáles cada integrante debe seleccionar dos y seleccionar la respuesta correcta justificándola con todo el procedimiento empleando el método adecuado para llegar a su solución general y/o particular. El estudiante debe garantizar que los ejercicios seleccionados sean diferentes a los de sus compañeros.
ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON ÚNICA RESPUESTA A continuación, usted encontrará preguntas que se desarrollan en torno a un enunciado, problema o contexto, frente al cual, usted debe seleccionar aquella opción que responda correctamente al ítem planteado entre cuatro identificadas con las letras A, B, C, D. Una vez la seleccione, márquela con un óvalo la que corresponda y justifique la respuesta.
ESTUDIANTE QUE REALIZ : 1. En general, una ecuación diferencial de primer orden adopta la forma
= (,) Luego, la solución de una ecuación diferencial de primer orden es una función derivable con derivada continua, que al ser sustituida en la ecuación la convierte en una identidad, o se cumple la igualdad.
En ese sentido, la función derivable que sirve como solución de la ecuación general:
4 9 = 8 , es: A. = 8 3 B. = 2 3 C. = 2 − 1 D. = 4 1 PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
RAZ N O EXPLICACI N
ESTUDIANTE QUE REALIZ :
ECUACIONES CON VARIABLES SEPAR ABLES Las ecuaciones diferenciales de la forma:
= ()ℎ(), se pueden resolver a través de la
técnica llamada separación de variables que consiste en separar las variables a ambos lados de la igualdad, de tal manera que aun lado se exprese como una función que dependa solamente de x y al otro lado sólo de y, para luego integrar cada miembro respecto de la variable correspondiente, es decir:
1 = () ℎ()
2. Aplicando la definición, una solución de la siguiente ecuación diferencial:
− = 0, con valor inicial (0) = 0, se puede simplificar como: A. 1 = 1 B. 1 = 1 C. − 1 = 1 D. − 1 = 1 PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
( 1)
RAZ N O EXPLICACI N
ESTUDIANTE QUE REALIZ : 3. La solución general de una ecuación diferencial ordinaria es una expresión que proporciona todas las posibles soluciones de la misma. Si la ecuación diferencial es de primer orden, la solución general depende de una constante arbitraria. Precisamente, dando valores a esa constante se van obteniendo las diferentes soluciones, conocidas como soluciones particulares.
De acuerdo a la información, la solución particular de la ecuación diferencial:
(0) = √ 3, queda expresada como: a. () = b. () = c. () = d. () =
tiene que
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
= 1 , si se
RAZ N O EXPLICACI N
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:
CLAS IFICAC IÓN DE LAS EC UACIONES DIFERE NCIALES Las ecuaciones diferenciales se clasifican por tipo, orden y linealidad de la siguiente manera: a. Clasificación por Tipo : Si una ecuación contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (EDO). Si una ecuación con derivadas de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes se llama ecuación diferencial parcial (EDP). b. Clas ificación s egún el orden: El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO o
EDP) es el orden de la derivada mayor en la ecuación. c. Clas ificación s egún la Linealidad : Se dice que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal si F es lineal en y, y’,…, y(n). Esto significa que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal cuando F (x, y, y’,…, y(n)) = 0. Por lo tanto, la variable dependiente “y” y todas sus derivadas y’, y’’,…, y(n) son de primer grado. Y los coeficientes a 0 , a1,…, an dependen solo de la variable x.
4. De acuerdo al texto, una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden y lineal corresponde a
(1 ) 2 = 1 = 0 b. = () 7 = a.
c.
d.
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
RAZ N O EXPLICACI N
ESTUDIANTE QUE REALIZ :
E cuaciones Diferenciales Homog éneas Hay ecuaciones diferenciales que no se pueden resolver utilizando directamente la separación de variables, pero pueden ser transformadas en separables por medio de sustituciones adecuadas, como es el caso de las E cuaciones Diferenciales Homog éneas que son de la
= (,), o (,) (,) = 0, que por homogeneidad quedan del mismo grado y que se pueden expresar como una función que sólo depende del cociente , o de la forma = (), donde = , por lo tanto = . forma:
5. Según la información, la solución de la siguiente ecuación diferencial homogénea: , corresponde a:
) = 0 A. = −|| B. = −|| C. = −|| D. = −||
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
(
RAZÓN O EXPLICACIÓN
ITEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTA Este tipo de preguntas consta de un enunciado, problema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la hoja de respuesta, de acuerdo con la siguiente información:
Seleccione A si 1 y 2 son correctas. Seleccione B si 1 y 3 son correctas. Seleccione C si 2 y 4 son correctas. Seleccione D si 3 y 4 son correctas. Una vez seleccione su respuesta, describa el procedimiento que la justifique
ESTUDIANTE QUE REALIZ :
6. Al resolver la ecuación diferencial homogénea: particular cuando 1.
(1) = 1, viene dada por:
= ||+
= ,
la solución general y
= ||+ 3. = ||+ 4. = ||+ 2.
RAZ N O EXPLICACI N
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
ESTUDIANTE QUE REALIZ : 7. Una ecuación diferencial de la forma
= ,
(,) (,) = 0, es exacta si se tiene que:
es decir, sus derivadas parciales son iguales.
De las siguientes ecuaciones diferenciales, cuáles de ellas son exactas:
( 2 1) ( 1) = 0 2. (2 2 1) (2 2 3) = 0 3. (3 1) (2 4) = 0 4. (4 2 3) (6 2 5) = 0 1.
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
RAZ N O EXPLICACI N
ESTUDIANTE QUE REALIZ : 8. Cuando una ecuación diferencial de la forma porque
≠ ,
apropiado
(,) (,) = 0 no es exacta,
se puede convertir en una ecuación exacta multiplicándola por un factor
(,) ,
llamado factor integrante, el cual se calcula si está en función de
mediante la fórmula:
() = ∫
De acuerdo al concepto, el factor integrante y la solución general de la ecuación diferencial , está dado por:
2 (3 4 3) = 0 A. () = B. () = C. 2 = D. 2 3 =
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
RAZ N O EXPLICACI N
ÍTEMS DE ANÁLISIS DE RELACIÓN
Este tipo de ítems consta de dos proposiciones así: una Afirmación y una Razón, unidas por la palabra PORQUE. Usted debe examinar la veracidad de cada proposición y la relación teórica que las une.
Para responder este tipo de ítems, debe leerla completamente y señalar en la hoja de respuesta, la elegida de acuerdo con las siguientes instrucciones:
Marque A si la afirmación y la razón son VERDADERAS y la razón es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque B si la afirmación y la razón son VERDADERAS, pero la razón NO es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque C si la afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA. Marque D si la afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición VERDADERA. ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:
( 9) = 0, para aplicar la técnica llamada variables separables, se puede asegurar que la solución particular cuando (5) = 4, es () = √ 9, PORQUE al hallar el valor de la constante en la solución general se obtiene que = 1. 9. Tomando como referencia la ecuación diferencial
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
RAZÓN O EXPLICACIÓN
ESTUDIANTE QUE REALIZ :
10. La ecuación diferencial
(3) (3) = 0, es inexacta puesto que ≠ , pero se
puede convertir en una ecuación exacta, PORQUE al multiplicar la ecuación por el factor
() = se obtiene que = .
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
RAZ N O EXPLICACI N
Primera actividad Grupal: Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden.
Problema: 1 Una de las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden es la solución de problemas de temperatura, en los que un objeto absorbe calor del medio circundante. Para dichos casos, se puede establecer la Ley de enfriamiento o calentamiento de Newton que dice: “La temperatura de un cuerpo se modifica a una velocidad que es proporcional a la diferencia de las temperaturas entre el cuerpo y el medio externo, siempre que el medio mantenga constante su temperatura”
= ( )
En ese sentido, dicho fenómeno se presenta frecuentemente en la vida cotidiana y se puede aplicar en el siguiente caso:
Una pequeña lámina de metal, cuya temperatura inicial es de 25 °C, se introduce en un recipiente que contiene agua hirviendo. Determinar el tiempo que dicha lámina tardará en alcanzar los 80 °C, si se tiene que su temperatura se incrementó 3 °C en un segundo, y calcular cuánto tardará la misma lámina en elevar su temperatura a 95 °C.
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
RAZÓN O EXPLICACIÓN
Segunda actividad Grupal: Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución.
Problema 2: El flujo sanguíneo conduce cierto medicamento hacia el interior de un órgano de un ser
2 , y se determina que sale de él a la misma velocidad. El órgano tiene un volumen líquido de 120 . Si la concentración del medicamento en la sangre que entra en el órgano es de 0,3 , ¿cuál es la concentración del humano a una razón de
medicamento en el órgano en el instante t, si inicialmente la persona no tenía ninguna muestra que indicara que había consumido el medicamento previamente?, ¿En qué tiempo, la concentración del medicamento en el órgano será de
EJERCICIO Y SOLUCI N PLANTEADA
0,2 ?
OBSERVACIONES, ANEXOS, MODIFICACIONES A LA SOLUCIÓN PLANTEADA
SOLUCION Como es un ejercicio de aplicación de ecuaciones diferenciales sobre problemas de mezclas, la situación descrita está
asociada a la diferencial lineal:
siguiente
ecuación
() = ( ) que permite encontrar la ley de variación de la cantidad de medicamento () en un instante de tiempo t.
Los datos proporcionados son:
Nombre
Dato inicial
= 120 = 0,3/
Volumen inicial Concentración del medicamento en la sangre que entra Razón de entrada Razón de salida Gramos de , donde medicamento en el instante t Como se tiene la ecuación diferencial que modela la situación, se reemplazan los valores conocidos:
= 2 / = 2 / () (0) = 0
(3) = 2(0,3) 120 (2 2) Simplificando se tiene: (2) = 0,6 120 = 0,6 2 = 72 120 120 Se hace separación de variables: = 722 120 Integrando se obtiene: = 722 120 1 |722| = 2 120 2 |722| = 120
Aplicando propiedades de los logaritmos neperianos:
+ − 72 2 = =
− () = 72 De acuerdo al valor inicial (0) = 0 0 = 36 −() ⇒ = 36
Al despejar resulta:
Luego, la ecuación que representa la concentración del medicamento en el órgano en el instante t, es:
− () = 72 36
Para determinar el tiempo en el cual la concentración del medicamento en el
0,2 , () = () ( )
órgano será de ecuación:
Por lo tanto,
se utiliza la
− 36 0,2 = 120
Simplificando y reacomodando términos:
72 = 36 36− − = 1236
Se aplican logaritmos y se obtiene:
= Entonces, = 60,9167
=
Finalmente, el tiempo encontrado fue aproximadamente de 1,91 min.
Apreciados estudiantes, recuerden que:
Cada estudiante debe hacer mínimo un aporte significativo al análisis del desarrollo presentado. Moderador o líder debe consolidar el trabajo final donde se incluya aportes individuales y grupales.
CONCLUSIONES
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS