PESQUISA OPERA OPERACIONAL CIONAL APLICADA AOS TRANSPORTES Prof. Dr. Francisco Pinheiro
CURSO DE ENGENHARIA DE DE PRODUÇÃO PRODUÇÃO - UFPI
PESQUISA OPERACIONAL APLICADA APLICADA AOS TRANSPORTES
PROBLEMAS DE TRANSPORTES A estruturação do problema de transportes é uma aplicação interessante de programação linear. A Pesquisa Operacional estuda esses problemas com o objetivo de minimizar custo toss de tr tra ansp spo ort rte e.
PESQUISA OPERACIONAL APLICADA APLICADA AOS TRANSPORTES
PROBLEMAS DE TRANSPORTES A estruturação do problema de transportes é uma aplicação interessante de programação linear. A Pesquisa Operacional estuda esses problemas com o objetivo de minimizar custo toss de tr tra ansp spo ort rte e.
PESQUISA OPERACIONAL APLICADA APLICADA AOS TRANSPORTES Exemplo: A LCL Bicicletas possui 3 fábricas localizadas no Rio, São Paulo e Belo Horizonte. A produção deve ser entregue em Recife, Salvador e Manaus. Considerando os custos de transport rte e unitários, as capacidades de produção das fábricas e as demandas dos centros consumidores que estão especificados na tabela a seguir, determine quanto deve ser produzido e entregue por cada fábrica em cada centro consumidor de form rma a a minimizar os custos de transport rte e. Centro Consumidor Fábrica Rio São Paulo B.Horizonte Demanda
Recife
Salvador
Manaus
25
20
30
30
25
25
20
15
23
2000
2000
1000
Capacidade
2000 1500 1500
PESQUISA OPERACIONAL APLICADA APLICADA AOS TRANSPORTES Existem 9 variáveis de decisão para expressar a quantidade transportada em cada uma das possíveis vias. rta ada da fábrica i xij = Quantidade de bicicleta transport para o centro consumidor j . 1 - Rio 1 - Recife
i = 2 - São Paulo 3 - Belo Horizonte
j = 2 - Salvador 3 - Manaus
PESQUISA OPERACIONAL APLICADA APLICADA AOS TRANSPORTES Centro Consumidor Fábrica
REC
SAL
MAN
Rio
x 11
x 12
x 13
SP
x 21
x 22
x 23
BH
x 31
x 32
x 33
x11 x12
RIO
REC
x13 x21 x22
SP
x23 x31
BH
SAL
x32 x33
MAN
Função Objetivo: Min 25x11+ 20x12+ 30x13+ 30x21+ 25x22+ 25x23+ 20x31+ 15x32+ 23x33
PESQUISA OPERACIONAL APLICADA AOS TRANSPORTES
Restrições: Centro Consumidor Fábrica Rio São Paulo B.Horizonte Demanda
Recife
Salvador
Manaus
25
20
30
30
25
25
20
15
23
2000
2000
1000
Capacidade
2000 1500 1500
2000
x
x21 x31 =
2000
21
x22 x23 = 1500
x
x22 x32 =
2000
31
x32 x33 = 1500
x
x23 x33 = 1000
x
11
x x
x12 x13 =
11
12
13
PESQUISA OPERACIONAL APLICADA AOS TRANSPORTES Para solucionar o problema de transporte costuma-se representar seus dados conforme segue no Quadro a seguir.
PESQUISA OPERACIONAL APLICADA AOS TRANSPORTES
PESQUISA OPERACIONAL APLICADA AOS TRANSPORTES Exemplo: Uma empresa tem 3 fábricas e 3 depósitos para distribuição de seus produtos (CD – Centros de distribuição). Os custos de transporte e capacidades são dados nas tabelas abaixo. O objetivo é minimizar o custo de transporte das unidades fabris aos CD, conhecendo os custos de transporte. Capacidade de produção Fábrica Produção
Capacidade de armazenagem CD Capacidade
1
120
1
150
2
80
2
70
3
80
3
60
PESQUISA OPERACIONAL APLICADA AOS TRANSPORTES Fábrica Produções 120
1
Depósitos Capacidades
x11
8
x12
15
x13
80
2
x32
80 Total = 280
3
2
70
3
60
5 10
x23 x31
150
3
x21 x22
1
9 6
12 10
x33
Problema Balanceado
Total = 280
PESQUISA OPERACIONAL APLICADA AOS TRANSPORTES x11
120
1
x12 x13
8
1
15
80
2
x32
80
3
Total = 280
x33
x11 + x12 + x13 = 120 x21 + x22 + x23 = 80 x31 + x32 + x33 = 80
5 10
x23 x31
Produção
3
x21 x22
150
2
70 Capacidade
9
x11 + x21 + x31 = 150 x12 + x22 + x32 = 70 x13 + x23 + x33 = 60
6
12 10
3
60
Total = 280
Custo 8x11 + 5x12 + 6x13 +15x21 + 10x22 + 12x23 + 3x31 + 9x32 + 10x33 = FO
PESQUISA OPERACIONAL APLICADA AOS TRANSPORTES
8
5
6
15
10
12
3
9
10
150
70
120 80 80 60
280/280 Balanceado
PESQUISA OPERACIONAL APLICADA AOS TRANSPORTES
Método do Canto Noroeste
120
0
0
30
50
0
20
0 150
70
60 60
120 80 80 280
Custo 8x11 + 5x12 + 6x13 +15x21 + 10x22 + 12x23 + 3x31 + 9x32 + 10x33 = FO = 2690
PESQUISA OPERACIONAL APLICADA AOS TRANSPORTES
Método do Menor Custo
8
5
6 70
0 10
15
12
70 3
0 9 0 70
60
120
10
80
0
80
10
80 150
50
280
Custo 8x11 + 5x12 + 6x13 +15x21 + 10x22 + 12x23 + 3x31 + 9x32 + 10x33 = FO = 2060
PESQUISA OPERACIONAL APLICADA AOS TRANSPORTES
Método de Voguel 8
5
6
15
10
12
3
9
10
150 8-3=5
70
60
9-5=4
10 - 6 = 4
120
6-5=1
80
12 - 10 = 2
80
9-3=6
PESQUISA OPERACIONAL APLICADA AOS TRANSPORTES
Método de Voguel 8
5
6
15
10
12
9
10
3
80 150
8-3=5
70
60
9-5=4
10 - 6 = 4
120
6-5=1
80
12 - 10 = 2
80
9-3=6
PESQUISA OPERACIONAL APLICADA AOS TRANSPORTES
Método de Voguel 8
70
15 3
5
6
10 80
150 15 - 8 = 7
70
9
12
50
120
6-5=1
10
80
12 - 10 = 2
80
9-3=6
10 70
10 - 5 = 5
60 12 - 6 = 6
PESQUISA OPERACIONAL APLICADA AOS TRANSPORTES
Método de Voguel
8
5
6
70
0 10
15
12
9
10
80 150
10
70
0 3
50
0 70
0 60
120 80 80
280
X11=70; x22=70; x31=80; x13=50; x23=10 FO = 8x11 + 5x12 + 6x13 +15x21 + 10x22 + 12x23 + 3x31 + 9x32 + 10x33 = 1920
PESQUISA OPERACIONAL APLICADA AOS TRANSPORTES
PROBLEMA!!!!!! COMO PROVAR QUE ESTA É A MELHOR SOLUÇÃO???
PESQUISA OPERACIONAL APLICADA AOS TRANSPORTES
Método do Steping-Stone 8
5
6 70
10
15
50 12
70 3
10 9
10 70
X11= +8 – 6 + 12 – 15 = -1 X22= +10 – 12 + 6 – 5 = -1 X32= +9 – 3 + 15 – 12 + 6 – 5 = 10 X33= +10 – 12 + 15 - 3 = 10
80 80
80 150
120
60
280
Método do Menor Custo, FO=2060
PESQUISA OPERACIONAL APLICADA AOS TRANSPORTES
Método do Steping-Stone 8
50
5
+1
70 20 70
15 -1
3
10
6
0
-1
50
12
60 10
+1
9
10 70
80 80
80 150
120
60
280
FO = 50*8 + 70*5 + 20*15 + 60*12 + 80*3 = 2010
PESQUISA OPERACIONAL APLICADA AOS TRANSPORTES
Método do Steping-Stone FO = 2010 8
5
6
50
70 10
15
120
12
20 3
60 9
10
80
80 150 X13= +6 – 12 + 15 – 8 = +1 X22= +10 – 15 + 8 – 5 = -2 X32= +9 – 3 + 8 – 5 = 9 X33= +10 – 3 + 15 - 12 = 10
70
80
60
280
PESQUISA OPERACIONAL APLICADA AOS TRANSPORTES
Método do Steping-Stone 8
70
+1
50 0
15 -1
20
3
5
6
-1
50 70
10
20
12
120
+1
60
9
10
80
80 150
70
80
60
280
FO = 70*8 + 50*5 + 20*10 + 60*12 + 80*3 = 1970
PESQUISA OPERACIONAL APLICADA AOS TRANSPORTES
Método do Steping-Stone FO = 1970
8
5
6
70
50 10
15
120
12 60
20 3
9
10
80
80 150 X13= +6 – 12 + 10 – 5 = -1 X21= +15 – 8 + 5 – 10 = +2 X32= +9 – 3 + 8 – 5 = 9 X33= +10 – 3 + 8 – 5 +10 -12 = 8
70
80
60
280
PESQUISA OPERACIONAL APLICADA AOS TRANSPORTES
Método do Steping-Stone FO = 1970
8
5 70
0 50 70
-1
10
15
20
+1
3
9
6 12 -1
10 70
120
10 60
80
+1
80
80 150
50
60
280
FO = 70*8 + 50*6 + 70*10 + 00*12 + 80*3 = 1920
PESQUISA OPERACIONAL APLICADA AOS TRANSPORTES
Método do Steping-Stone FO = 1920
8
5
6 50
70 10
15
12 10
70 3
9
10 70
X12= +5 – 6 + 12 – 10 = +2 X21= +15 – 12 + 6 – 8 = +10 X32= +9 – 3 + 8 – 6 +12 – 10 = +10 X33= +10 – 3 + 8 – 6 = +9
80 80
80 150
120
60
280
Sem negativos! Solução Ótima
PESQUISA OPERACIONAL APLICADA AOS TRANSPORTES
Voguel/ Confirmado por Steping Stone
8
5
6 50
70 10
15
12 10
70 3
9
10
70
80 80
80 150
120
60
280
X11=70; x22=70; x31=80; x31=50; x23=10 FO = 8x11 + 5x12 + 6x13 +15x21 + 10x22 + 12x23 + 3x31 + 9x32 + 10x33 = 1920
PESQUISA OPERACIONAL APLICADA AOS TRANSPORTES
Teste de Otimalidade (tabela do menor custo) Fórmula:
Xab Cab – Ua – Vb=0 8
5
15
10
12
9
10
3
70 80 150
70
70
6
50
60
120
Iniciando com as variáveis básicas: x12, x13, x21, x23, x31
X12C12 – U1 – V2=0 X13C13 – U1 – V3=0 80 280 X21C21 – U2 – V1=0 X23C23 – U2 – V3=0 X31C31 – U3 – V1=0 =5
10
80
X12 5 – U1 – V2=0 5 – 0 – v2=0 v2 X136 – U1 – V3=0 6 – 0 – v3=0 v3 = 6 X2115 – U2 – V1=0 15 – U2 – v1=0 v1 = 9 X2312 – U2 – V3=0 12 – U2 – 6=0 U2 = 6 X313 – U3 – V1=0 3 – U3 – 9=0 U3 = -6
Obs: 6 variáveis, 5 equações - Uma variável a mais do que o número de equações, caso for mais de um , o problema está degenerado
PESQUISA OPERACIONAL APLICADA AOS TRANSPORTES Prosseguindo com as variáveis NÃO básicas: x11, x22, x32, x33 8
5
15
10
12
9
10
3
70 80 150
70
70
6
50 10
60
X11C11 – U1 – V1 X22C22 – U2 – V2 80 X32C32 – U3 – V2 80 280 X33C33 – U3 – V3 120
Sabendo que: U1=0, U2=6, U3=-6 v1=9, v2 = 5, v3 = 6, temos: X11C11 – U1 – V1 = 8 – 0 – 9 = -1 X22C22 – U2 – V2 = 10 – 6 – 5 = -1 X32C32 – U3 – V2 = 9 – (-6) – 5 = 10 X33C33 – U3 – V3 = 10 – (-6) – 6 =10
8
+
5 10
15 703
80
9
70
6 5012 10+ 10
PESQUISA OPERACIONAL APLICADA AOS TRANSPORTES Fórmula: 8 15 3
50 20 80 150
5
70
Xab Cab – Ua – Vb=0
6
120
10
12
9
10 70
60
60
80
Iniciando com as variáveis básicas: x11, x12, x21, x23, x31
X11C11 – U1 – V1=0 80 X12C12 – U1 – V2=0 280 X21C21 – U2 – V1=0 X23C23 – U2 – V3=0 =8 X31C31 – U3 – V1=0
X118 – U1 – V1=0 8 – 0 – v1=0 v1 X125 – U1 – V2=0 5 – 0 – v2=0 v2 = 5 X2115 – U2 – V1=0 15 – U2 – 8=0 U2 = 7 X2312 – U2 – V3=0 12 – 7 – v3=0 v3 = 5 X313 – U3 – V1=0 3 – U3 – 8=0 U3 = -5
PESQUISA OPERACIONAL APLICADA AOS TRANSPORTES Prosseguindo com as variáveis NÃO básicas: x13, x22, x32, x33 8 15 3
50 20 80 150
5
70
6
10
12
9
10 70
X13C13 – U1 – V3 X22C22 – U2 – V2 80 X32C32 – U3 – V2 80 280 X33C33 – U3 – V3 120
60
60
Sabendo que: U1=0, U2=7, U3=-5 v1=8, v2 = 5, v3 = 5, temos: X13C13 – U1 – V3 = 6 – 0 – 5 = 1 X22C22 – U2 – V2 = 10 – 7 – 5 = -2 X32C32 – U3 – V2 = 9 – (-5) – 5 = 9 X33C33 – U3 – V3 = 10 – (-5) – 5 =10
8
5
50+ 7010 15 + 203 9 80
6 12 10
60
PESQUISA OPERACIONAL APLICADA AOS TRANSPORTES Fórmula: 8
70
5
15
10
3
9
80 150
50 20
Xab Cab – Ua – Vb=0
6
120
12 10
70
60
60
80
Variáveis básicas: x11, x12, x22, x23, x31.
X11C11 – U1 – V1=0 80 X12C12 – U1 – V2=0 280 X22C22 – U2 – V2=0 X23C23 – U2 – V3=0 =8 X31C31 – U3 – V1=0
X118 – U1 – V1=0 8 – 0 – v1=0 v1 X125 – U1 – V2=0 5 – 0 – v2=0 v2 = 5 X2210 – U2 – V2=0 10 – U2 – 5=0 U2 = 5 X2312 – U2 – V3=0 12 – 5 – v3=0 v3 = 7 X313 – U3 – V1=0 3 – U3 – 8=0 U3 = -5
PESQUISA OPERACIONAL APLICADA AOS TRANSPORTES Prosseguindo com as variáveis NÃO básicas: x13, x22, x32, x33 8
70
5
15
10
3
9
80 150
50 20
6 12 10
70
X13C13 – U1 – V3 X21C21 – U2 – V1 80 X32C32 – U3 – V2 80 280 X33C33 – U3 – V3 120
60
60
Sabendo que: U1=0, U2=5, U3=-5 v1=8, v2 = 5, v3 = 7, temos: X13C13 – U1 – V3 = 6 – 0 – 7 = -1 X21C22 – U2 – V2 = 10 – 5 – 5 = 0 X32C32 – U3 – V2 = 9 – (-5) – 5 = 9 X33C33 – U3 – V3 = 10 – (-5) – 7 =8
8
5 70
15 3
80
5010 20+ 9
6 12 10
+ 60-
PESQUISA OPERACIONAL APLICADA AOS TRANSPORTES Fórmula: 8
Xab Cab – Ua – Vb=0
5
6
15
10
12
3
9
70
80 150
70
50
10 70
60
120
10
80
Variáveis básicas: x11, x13, x22, x23, x31.
X11C11 – U1 – V1=0 80 X13C13 – U1 – V3=0 280 X22C22 – U2 – V2=0 X23C23 – U2 – V3=0 =8 X31C31 – U3 – V1=0
X118 – U1 – V1=0 8 – 0 – v1=0 v1 X136 – U1 – V3=0 6 – 0 – v2=0 v2 = 6 X2210 – U2 – V2=0 10 – U2 – 6=0 U2 = 4 X2312 – U2 – V3=0 12 – 4 – v3=0 v3 = 8 X313 – U3 – V1=0 3 – U3 – 8=0 U3 = -5
PESQUISA OPERACIONAL APLICADA AOS TRANSPORTES Prosseguindo com as variáveis NÃO básicas: x12, x21, x32, x33 8
5
6
15
10
12
3
9
70
80 150
70
50 10
10 70
60
X12C12 – U1 – V2 X21C21 – U2 – V1 80 X32C32 – U3 – V2 80 280 X33C33 – U3 – V3 120
Sabendo que: U1=0, U2=4, U3=-5 v1=8, v2 = 6, v3 = 8, temos: X12C13 – U1 – V2 = 6 – 0 – 6 = 0 X21C21 – U2 – V1 = 15 – 4 – 8 = 3 X32C32 – U3 – V2 = 9 – (-5) – 6 = 8 X33C33 – U3 – V3 = 10 – (-5) – 8 = 7
X11=70; x22=70; x31=80; x13=50; x23=10 FO = 8x11 + 5x12 + 6x13 +15x21 + 10x22 + 12x23 + 3x31 + 9x32 + 10x33 = 1920
PESQUISA OPERACIONAL APLICADA AOS TRANSPORTES
O caso da maximização em transportes (método do complemento) Quando os valores não representam custos, mas sim, os ganhos unitários devido à venda de mercadorias compradas nas origens e comercializadas nos destinos. Deste modo o objetivo será maximizar o retorno proveniente das vendas.
8
5
6
15
10
12
3
9
10
150
70
120 80 80 60
280/280 Balanceado
PESQUISA OPERACIONAL APLICADA AOS TRANSPORTES
8
5
6
15
10
12
3
9
10
150 X22 15 – 10 = 5 X2315 – 12 = 3 X3115 – 3 = 12 X3215 – 9 = 6 X3315 – 10 = 5
70
120 80 80 60
280/280 Balanceado
X11 15 – 8 = 7 X1215 – 5 = 10 X1315 – 6 = 9 X2115 – 15 = 0
7
10
9
0
5
3
12
6
5
150
70
120 80 80 60
280/280 Balanceado
PESQUISA OPERACIONAL APLICADA AOS TRANSPORTES
Método de Voguel 10
7 0
80
12 150 7-0=7
5
9 3
6
5 70
60
6-5=1
5-3=2
120
9-7=2
80
3-0=3
80
6-5=1
PESQUISA OPERACIONAL APLICADA AOS TRANSPORTES
Método de Voguel 10
7 0
80
12
70
150 12 - 7 = 5
70
5
9
50
3
6
5 70
10 - 6 = 4
10 60
9-5=4
120
9-7=2
80
3-0=3
80
5-2=3
PESQUISA OPERACIONAL APLICADA AOS TRANSPORTES
7
10
9 50
70 0
5
3
6
5
80
80 2 70 150 X11= +7 – 9 + 5 – 2 = +1 X22= +5 – 10 + 9 – 5 + 2 – 0 = +1 X23= +3 – 5 + 2 – 0 = 0 X32= +6-10 + 9 – 5 = 0
10 70
120
60
80
280
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8
5
6 50
70 15
10
12
9
10
80
80 3 70 150
10 70
120
60
80
280
X12=70; x31=50; x21=80; x31=70; x33=10 FO = 8x11 + 5x12 + 6x13 +15x21 + 10x22 + 12x23 + 3x31 + 9x32 + 10x33 = 2160
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COMPLICADORES Problema não Balanceado ( seja na oferta ou na demanda) Deve-se criar um destino/origem fictícia para absorver o desequilíbrio a custo zero de transporte
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COMPLICADORES Usos de Sistema de Transporte (quando houver recursos com múltiplas origens e mais de um destino)
- Fornecimento de água – Rios e cidades
- Rede de transmissão de dados – Origem e Demanda
- Grão nas fazendas e sistemas de silos de armazenagem
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Exemplo 1: Três usinas de geração de energia elétrica com capacidades de 25, 40 e 30 milhões de kWh fornecem eletricidade a três cidades. As demandas máximas das três cidades são estimadas em 30, 35 e 25 milhões de kwh, Os preços por milhão de kwh nas três cidades é dado na Tabela A. Durante o mês de agosto há um aumento de 20% na demanda em cada uma das três cidades, que pode ser satisfeito com a compra de fornecimento de eletricidade de uma outra rede, a uma taxa mais elevada, por R$ 1.000 por milhão de kWh.
Contudo, a rede não está ligada à Cidade 3. A empresa fornecedora deseja determinar o plano mais econômico para a distribuição e compra de energia adicional.
PESQUISA OPERACIONAL APLICADA AOS TRANSPORTES (a) Formule a questão como um problema de transporte. (b) Determine um plano de distribuição ótimo para a empresa fornecedora. (c) Determine o custo da energia adicional comprada por cada uma das três cidades.
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Exemplo 2: Resolva o Exemplo 2 considerando que há uma perda de 10% na transmissão de energia em toda a rede.
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Exemplo 3: Três refinarias com capacidades diárias de 6,5 e 8 milhões de galões, respectivamente, abastecem três áreas de distribuição cujas demandas diárias são 4,8 e 7 milhões de galões, respectivamente, A gasolina é transportada para as três áreas de distribuição por meio de uma rede de tubulações, O custo de transporte é 10 centavos por 1.000 galões por milha de tubulação. A Tabela B dá as distâncias entre as refinarias e as áreas de distribuição. A Refinaria 1 não está conectada à área de distribuição 3.
(a) Formule o problema de transporte associado. (b) Determine a programação ótima de expedição na rede.
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Exemplo 4: No Exemplo 3, suponha que a capacidade da Refinaria 3 seja Apenas 6 milhões de galões e que a área de distribuição 1 deva receber toda a sua demanda. Ademais, quaisquer fatias nas áreas 2 e 3 sofrerão uma multa de 500 centavos.
(a) Formule a questão como um problema de transporte. (b) Determine a programação ótima de expedição.
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Exemplo 5: No Exemplo 3, suponha que a demanda diária na área 3 caia para 4 milhões de galões. A produção excedente nas refinarias 1 e 2 é desviada para outras áreas de distribuição por caminhão-tanque.
O custo de transporte excedente da Refinaria 1 é R$ 150, e R$ 220 da Refinaria 2. A Refinaria 3 pode destinar seu excedente de produção para outros processos químicos dentro da fabrica. (a) Formule a questão como um problema de transporte. (b) Determine a programação ótima de expedição.
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Exemplo 6: Três pomares fornecem caixas de laranjas a quatro varejistas. As demandas diárias dos quatro varejistas são 150, 150, 400 e 100 caixas, respectivamente. As quantidades fornecidas pelos três pomares são determinadas pela mão-de-obra normal disponível e são estimadas em 150, 200 e 250 caixas por dia. Contudo, os pomares l e 2 indicaram que poderiam fornecer mais caixas, se necessário, usando horas extras. O Pomar 3 não oferece essa opção. Os custos de transporte por caixa dos pomares ate os varejistas são dados na Tabela C.
(a) Formule a questão como um problema de transporte. (b) Resolva o problema. (c) Quantas caixas os pomares 1 e 2 devem fornecer usando horas extras?
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Exemplo 7: Três centrais de distribuição enviam carros para cinco revendedoras. O custo de expedição é baseado nas distancias entre as origens e os destinos e independe de a carreta fazer a viagem com cargas parciais ou completas. A tabela D resume as distancias entre as centrais de distribuição e as revendedoras, junto com as quantidades fornecidas e as demandas, ambas mensais, dadas em números de carros. Uma carga completa corresponde a 18 carros. O custo de transporte por milha por carreta é R$ 25.
(a) Formule o problema de transporte associado. (b) Determine a programação ótima de expedição.
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