PROVA DE MATEMÁTICA – EFOMM 2002 1a Questão: Um barco se desloca no sentido indicado pela seta (esquerda para a direita), conforme figura abaixo. Ao chegar no ponto C, a que distância o barco estará do farol localizado em D, sabendo-se que a distância de A até B é de 1000m. Considerar 3 1,732 D
0
0
30 A
60 B
C
(a)560m (a) 560m (b)760m (b)760m (c)866m (c) 866m (d)900m (d)900m (e)968m (e) 968m
RESOLUÇÃO: Sen 60º =
=> √ = =>
=> = 866
. Alternativa (c).
√
= 500 . 3 => = 500 .1,732 =>
2a Questão: Determine a soma dos 10 primeiros termos de uma progressão aritmética cujos dois primeiros termos são 5 e 9, nesta ordem. (a)157 (a) 157 (b)205 (b)205 (c)207 (c) 207 (d)230 (d) 230 (e)270 (e) 270
RESOLUÇÃO: Sendo a razão ( ) = 9 5 = 4 => = 5 + 9 .4 = 41 .
−
A soma dos termos é dada por: =230 . Alternativa (d).
e
− + ( 10
=
1) .
=> = 46 . 5 =
( _ _
(
_ _ ) .
).
3a Questão: Calcule os valores de x na expressão: (a) S 1, 2 (b) S 0, 1 (c) S 0, - 1 (d) S 0, 2 (e) S 1, - 1 RESOLUÇÃO:
=>
9
x-
1 2
-
4 31 - x
-1
2a Questão: Determine a soma dos 10 primeiros termos de uma progressão aritmética cujos dois primeiros termos são 5 e 9, nesta ordem. (a)157 (a) 157 (b)205 (b)205 (c)207 (c) 207 (d)230 (d) 230 (e)270 (e) 270
RESOLUÇÃO: Sendo a razão ( ) = 9 5 = 4 => = 5 + 9 .4 = 41 .
−
A soma dos termos é dada por: =230 . Alternativa (d).
e
− + ( 10
=
1) .
=> = 46 . 5 =
( _ _
(
_ _ ) .
).
3a Questão: Calcule os valores de x na expressão: (a) S 1, 2 (b) S 0, 1 (c) S 0, - 1 (d) S 0, 2 (e) S 1, - 1 RESOLUÇÃO:
=>
9
x-
1 2
-
4 31 - x
-1
− − → − ∙ − → − ∙ − → ∙ − → − ∙ − → − ∙ ↔ − ∆ − →∆ − − ∙ ∙ →∆ − →∆ √ ∆ → ∙√ → → → √ 9
=
=
1
3 =
=
1
3
3
4 3
4 3 =
=
3
1
=
3
1
4 3 +3= 0
4 +3= 0
²
4
=
= ( 4)
(
=
4 1 3
)
= 16
=
12
= 4
=
= 3
− −√ ∆ → − − ∙ − √ → − → → =
=
2
( 4)
4
2 1
=
4
2
2
→ → → → = 3
3 = 3
= 1
= 1
3 = 1
=
2 2
= 0 =>
= 1
= { , }
4a Questão: Dada a função real y log ( x - 3 - 3) , determine seu domínio. d omínio. (a) D ( ƒ ) = ] 12, + [ (a)D (b)D (b)D ( ƒ ) = ] 9, 12 [ (c)D (c) D ( ƒ ) = ] 9, + [ (d)D (d)D ( ƒ ) = [ 30, + [ (e)D (e) D ( ƒ ) = ] 30, + [
RESOLUÇÃO:
− ∈ − ≥ ≥ √ − − =>
0 =>
3
3;
3
3 > 0 =>
> 12 Alternativa: (a)
> 9 =>
√ −
3 > 3 =>
5a Questão: As raízes da equação x 3 mx 2 nx 0 formam uma progressão aritmética de razão 2 e são todas positivas. O valor de m + n é: (a)1 (b)2 (c)3 (d)4 (e)6 RESOLUÇÃO: Aplicando as relações de Girard, temos:
− − − − − − − + . .
+
=
.
.
= = 0(
( ) ( ) )
é uma p.a. de = 2 . ) = 0. Então: De (I) vem: 3 = . De (III) vem: ( = 0 ou | | = | | , como e são positivos = ; ,
( )+( )= + => . + ( )+ ( + )+(
.
+
)(
.
+ )
3 = 3 =
+ => + =>
− −− − −−
−−
+ 3 = + ; se = 0 , então: 0 + 0 4 3 .0 = + => + = 4; se = = 2 => =>2 .4 + 4 4 3.2 = + = > + = 2 Alternativa (b) 2
6a Questão:
i O quociente de
31
- i 110 é: i 13
(a)– 1 – i (b)1 – i (c)– 1 + i (d)1 + i (e)i
RESOLUÇÃO:
√ √ √ √ ; √ √ √ racionalizando : √ √ =
(
)
.
=
=
(
)
=
− 1+
. Alternativa (a).
7a Questão: Considerando as especificações constantes no ciclo trigonométrico do desenho abaixo, a expressão geral para as medidas dos arcos côngruos a AM e os valores de seus seno e cosseno são, respectivamente, para K
N:
b A a M
(a) α (b)α (c) α (d)α (e) α
+ ( 1 + 2k ) π, b, a + 2kπ, a , b + ( 1 + k ) π, b, a + ( 1 + k ) π, – b, – a + ( 1 + 2k ) π, – b, – a
RESOLUÇÃO:
− −
A formula geral de um arco côngruo é =>
+
+2
=
+ (2 ) ; AM =( + + (1 + 2 )
) =>
Já que AB está no 3º quadrante, seu seno e cosseno são negativos, então SenAB= e CosAB= . Alternativa (d)
8a Questão: Na figura abaixo, sendo a, b e transversal r, calcule x e y.
c retas paralelas cortadas pela
r a
z
2x-36 x+2y
b
x-5y
c
(a)x = 252o (b)x = 150o (c)x = 250o (d)x = 300o (e)x = 240o
e e e e e
y y y y y
RESOLUÇÃO:
−− − − − − 2
36 = 2 +
108o 190o 170o 160o 120o
− −
+ 2 => 2 = 36 5 = 180 = > 2 3 = 180
Armando um sistema: 2 = 36 .( 2) => 2 3 = 180
Alternativa (a)
= = = = =
− − −
2 + 4 = 72 (+) 2 3 = 180
−
= 108° 216 = 36 = >
= 252°
9a Questão: O Instituto de Pesquisa da Marinha, em estudo realizado sobre a variação de temperatura nas águas do Oceano Atlântico em função da profundidade, apresentou a tabela abaixo: Profundidade Temperatura
Superfície 27o C
100m 21o C
500m 7o C
1000m 4o C
3000m 2,8o C
Considerando que a temperatura é linear entre duas quaisquer das medições consecutivas apresentadas, qual é a temperatura na profundidade de 400m? (a)9,5o C (b)10,5o C (c)12,5o C (d)14o C (e)15o C RESOLUÇÃO: Sendo a temperatura (t) linear entre duas medições consecutivas e usando as superfícies (s) 100m e 500m, temos:
− − − − − =
. +
=>
21 = 100 + . ( 5) = 7 = 500 =
4 = 98 = > = 24,5. 21 = 100 + 24,5 = > =
−
Na profundidade de 400m: =
,
.400 + 24,5 = >
Alternativa (b)
105 = 500 7 = 500 +
5
,
− =
3,5. 4 + 24,5 = >
= 10,5 °
=>
10a Questão: Calcule o valor de x na expressão:
2 3x 5 - 2 3x 1 3 3x 5 - 3 3x 4 - 142 . 3 3x (a) 1
2
(b) 1
3
(c) 0 (d) 1
3
(e) 1
2
− − − − − − − − − −− Alternativa (d) RESOLUÇÃO:
= > 2 (2 2) = 2 3 142 2 = 3 (3 3 142) = > => = 3 2 3 243 81 142 2 20 2 2 = => = => = => 3 = 1 => 32 2 3 30 3 3 =
2
2
= 3
3
142.3 3 =
11a Questão: A soma dos inversos x 3 8x 2 - 6x 4 0 é:
das
raízes
1
(a) 4 2
(b) 3 5 (c) 6 4 (d) 3 3 (e) 2
RESOLUÇÃO:
− − − − +8
6 +4= 0
+
+
.
+
.
.
+
= 8
.
+
=
+
.
=
6
4
=
Alternativa (e)
.
.
.
.
.
=
=
do
polinômio
12a Questão: Sendo P ( x ) = Q (x) + 2x2 + 3x - 5 para qualquer x real, e sendo 1 raiz de P ( x ) e ZERO raiz de Q ( x ), calcule P ( 0 ) + Q ( 1 ). (a)– 5 (b)– 3 (c) 0 (d)3 (e) 5 RESOLUÇÃO:
− − − −
Se 1 é raiz de ( ) , então:
0 = ( 1) + 2 + 3 5 = > ( 1) = 0 Se 0 é raiz de ( ) , então: ( 0) = 5 Assim, ( 0) + ( 1) = 5 + 0 = 5. Alternativa (a)
13a Questão:
x x-2 A soma e o produto das raízes da equação 1 - x x - 1 0 são iguais a: (a)– 2 (b)– 1 (c) 0 (d)2 (e) 3
− − − − √ ∆ √ RESOLUÇÃO:
2
+
1
=
= 1 =>
² => ² + 2
= 12;
Alternativa (a).
²+
− −− − − √ − − − √
² ( ) .(1
2+2 = 1 => 3 )
2=
2 = 0 ; aplicando a fórmula de Baskara:
=
=>
=
=>
=
1+
3
=
1
3
+
=
2
14a Questão: A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 2m e um dos ângulos mede 60º . Girando o triângulo em torno do cateto menor, obtemos um cone cujo volume é:
(a) (b)
3 3 3
6
m3 m3
3 (c) 2 m (d) m 3
(e)
2 2
m3
RESOLUÇÃO: 30°
2m
h x
60°
√ ℎ √ ; S(base)= √ Alternativa (a) =
60°=>
30°=
=>
=
=
² =>
=
.
=>
=>
=
=
= 1
3
=>
²
=
15a Questão: Seja ƒ ( x ) log a x . Se ƒ ( a ) = b e então: (a)a (b)a (c)a (d)a (e)a
= = = = =
1 2 2 3 3
e e e e e
= 1
b b b b b
= = = = =
2 1 3 2 4
ƒ ( a + 2 ) = b + 1,
RESOLUÇÃO:
− − − ( ) = log
=>
= log
=>
= 1;
( + 2) = 1 + 1 = > log ( + 2) = 2 = > = 2 => = 1
=>
= 2, já
que
não
pode
2 = 0 =>
ser
negativo.
Alternativa(b)
16a Questão: Calcule o volume de ar contido no galpão cujas forma e dimensões
5 3
1 2
8
constam na figura abaixo. (a)288 (b)360 (c)384 (d)420 (e)480 RESOLUÇÃO: O volume do galpão (t) é formado pelo volume do paralelepípedo (p) mais o da pirâmide (r) :
= 3.8 .12 = > = + =>
= 288; = 2.4 .12 = > = 96; = 288 + 96 = 384 . Alternativa (c)
17a Questão: 2x y z 0 O sistema x 2y 3z 0 3x z 0 (a)apresenta uma única solução não-nula (b)possui três soluções distintas (c)possui infinitas soluções (d)não apresenta solução (e)possui uma única solução nula RESOLUÇÃO:
− − − ∶ −− − − − − 2
+ = 0( ) 2 + 3 = 0( ) 3 = 0( ) ( )= ( ) 2 + = 3 => = 2 ( ) + ( ): 5 = 0 => 5 = => = = 2
=>
= 2
5 => 3 =
=>
=
Assim, esse sistema é possível (já que é homogêneo) e indeterminado, pois suas incógnitas podem assumir infinitos valores, possuindo o sistema, infinitas soluções. Alternativa (c)
18a Questão: O resultado da simplificação da expressão é: (a)sen x
sec 2 x -
tg x . cotg x cossec 2 x - 1
(b)cos x (c) –1 (d) 1 (e) 0
− − − − −
RESOLUÇÃO:
.
²
²
²
²
=
² ²
1
=
1 ²
.
cos 1
²
= 1 Alternativa (d)
cos
=
1
1 ²
² = ²
19a Questão: Sejam os pontos A ( 3, 1), B ( n, n) e C ( 1, n + 1) vértices de um triângulo, então: (a)n – 2
e
n –1
(b)n – 1
e
n – 2
(c)n 1
e
n –1
e
n 2 n –1
2 1
(d)n – 2 (e)n 2
e
1
1
≠ − − − ≠ − − − ≠− ≠ ≠ − − − ≠
RESOLUÇÃO:
3 1 3 1 + 11 => 3 + ² + => = 2
0 => 3 + ( + 1) + 1
+1 3 = 1 =>
3
2 2
3( + 1)
0=>
0 => ² 2 0 => 1 Alternativa (e)
20a Questão: Determine o coeficiente angular da reta cujas equações são dadas por x = 2t – 1 e y = t + 2, sendo t R . (a)– 1 1
(b)– 2 2
(c) 5 1
(d) 2 (e) 1
RESOLUÇÃO: Fazendo:
= 1: = 2: =
= 1 = 3 =>
= 3 = 4 = =>
=
Alternativa (d)
21a Questão: Na caixa cúbica da figura abaixo, a diagonal d da face, indicada na figura, mede 8 dm. Qual o volume da caixa?
a
d
a
(a) 64 2 dm 3 (b) 122 2 dm 3 (c) 128 2 dm 3 (d) 132 2 dm 3 (e) 142 2 dm 3 RESOLUÇÃO:
√ √ =
2 =>
√
=
; V(cubo)= ³ = >
= 128 2 . Alternativa (c)
=
√ .
=>
√ √ √ =
2 = 2
22a Questão: Um recipiente tem a forma de um cone circular reto com 30 cm de raio e 100 mm de altura. Através de um pequeno orifício na parte superior do cone foram injetados 5 litros de água. Considerando o volume de água injetado no cone, concluímos que a água: (a)transbordou. (b)encheu-o completamente até a borda. (c)ocupou mais da metade do volume do recipiente, mas não o encheu. (d)ocupou menos da metade do volume do recipiente. (e)Ocupou exatamente a metade do volume do recipiente.
23a Questão:
lim x
Calcule
0
e 5x - 1 x .
(a)e5 (b) 0 (c)e (d) 1 (e)5 RESOLUÇÃO: lim lim
→ : → =
(
)
Alternativa (e)
=
= 5.
= 5.1 = 5
24a Questão: Na Bienal do Livro realizada no Riocentro, Rio de Janeiro, os livros A, B e C de um determinado autor apresentaram os seguintes percentuais de venda aos leitores: 48% 45% 50% 18% 25% 15% 5%
compraram o livro A compraram o livro B compraram o livro C compraram o livro A e B compraram o livro B e C compraram o livro A e C não compraram nenhum dos livros
Qual a percentagem dos leitores que compraram um e apenas um dos três livros? (a)12% (b)18% (c)29% (d)38% (e)57% RESOLUÇÃO:
∩ ∩ − ∩ − ∩ ∩ − ∩ −∩ ∩ − ∩ − − − − −− − − ∩ ∩ − −∩∩−∩ − ∩ ∩∩− ∩−∩ −−∩−− ∩− ∩ −−∩ − −− − Primeiro, tem-se que achar +
( ):
+
+ 5=
= 100 = > 48 + 45 18 + + 50 15 + = > 48 + 45 18 + 50 15 25 + + = 100 = > = 10%
25 + + 5 = 100 = > + 5 = 100 = > 80 + 10 +
A porcentagem dos leitores que comprar um e apenas um livro é dada por : +
+ 8—10
15 + 50
Alternativa (e)
5
10
= 48 8 10 5 + 45 15 = 25 + 12 + 20 = 57%
+
25a Questão: Determine o domínio da função
(a) x
R-
(b) x
1 2
x
1
R 2
x
1
(c) x
R 2
x
3
(d) x
R0
(e) x
R 1
1
x
y = arc cos ( 2x – 5 )
2 x
4
RESOLUÇÃO:
− − − ≤ ≤
Valor mínino: 2
5=
1 => 2 = 4 =>
= 2
Valor mínino: 2
5 = 1 => 2 = 6 =>
Assim, 2
= 3
3 . Alternativa (c)
PROVA DE MATEMÁTICA – EFOMM 2003 1ª Questão:
− − √ √ √ − √ − Determine o domínio da função:
( )=
1 (
2)
3 ( 5
)
(a) D ( f ) = [ 3, + )
(b) D ( f ) = ] 3, + ) (c) D ( f ) = ] 3, 5 [ (d) D ( f ) = ( – , 5 [ (e) D ( f ) = ] 5 , + ) RESOLUÇÃO: Admitindo
√ − √ − √ − √ − −− ≥≥ ≥≥ −− − − (
1) = ,
( ( ( (
2 =
): 1 => ): 2 0 => ): 3 > 0 => ):5 > =>
,
1 2 > 3 >
3 =
5 =>
< 5
5
=
, temos :
Intersecção:
O
(I)
1
2
3
5
(II) (III) (IV) f(x)
Então, (
) = ]3,5[ . Alternativa (c)
2ª Questão: Para todo x real, o valor da expressão
+
²
²
é igual a:
(a) 1 (b) 2 (c) 2 tg 2 x cotg 2 x (d) sec 2 x cossec 2 x (e) sec x cossec x
RESOLUÇÃO:
1
+
1+
=
1
²+
²
²
Alternativa (a)
+
1
1
=
1+
1+
1
²+
²
²
=
1 1
²
1
+
1+
² 1 + 1
=
²
²
²+
=
²= 1
3ª Questão: Determine o valor de x na equação:
log ( x - 9 ) 2 . log (a) (b)
(c) (d) (e)
− =
= =
= { 13} = {2}
RESOLUÇÃO:
√ −
2
4ª Questão:
Uma escada cujos degraus têm todos a mesma extensão, além da mesma altura, está representada na figura acima, vista de perfil.
Se
(a) (b) (c) (d) (e)
2m e BA = 30º, a medida da extensão de cada degrau é:
√ √ √ √ √
̂ ̂ √ √ √ RESOLUÇÃO: =
= =>
30° = 4
cos = cos30° =
=>
= 2 3
Como = 6. (
.
) => 2 3 = 6 =>
=
√
Alternativa (e)
5ª Questão: Dados os pontos A ( 2, 3), B (– 1, 2) e C (0, 3) determine suas ) + ( ) = posições em relação à circunferência (
− −
(a) A (2, 3), interior B (– 1, 2) à circunferência C (0, 3) , exterior (b) A (2, 3) , interior B (– 1, 2) , exterior C (0, 3) à circunferência (c) A (2, 3) à circunferência B (– 1, 2) , interior C (0, 3) , exterior (d) A (2, 3) , exterior B (–1, 2), interior C (0, 3) à circunferência (e) A (2, 3) à circunferência B (–1, 2) , exterior C (0, 3), interior
Nós não conseguimos fazer essa questão.
6ª Questão: Caminhando em linha reta ao longo de uma praia, um banhista vai de um ponto A a um ponto B, cobrindo uma distância AB = 1200 m. Antes de iniciar a caminhada, estando no ponto A, ele avista um navio parado em N de tal maneira que o ângulo NÂB é de 60°, e quando chega em B, verifica que o ângulo NBA é de 45º .
Calcule a distância em que se encontra o navio da praia Dados: . °=
√ °=
Considerar
√
1,732 .
(a) 945,22 m (b) 846,45 m (c) 830,33 m (d) 760,77 m (e) 700,45 m
RESOLUÇÃO: N 45° d
60°
1200- d
d
45°
B
1200
60°=
− √ −√ √ √ − −
1200
=
= 1200 3
3 =>
=
1200 3 ( 1 . 1 + 3 (1
√ − √ ≈ =
=>
= 1800
600 3 = >
3) 3)
=
760,77
Alternativa (d)
7ª Questão: Em um navio transportador de petróleo, um oficial de náutica colheu 3 amostras de soluções resultantes da lavagem dos tanques e constatou 3 produtos diferentes x, y , z que podem ser relacionados pelo .
− − + +
+ = + = =
Para que valores de m o sistema é possível e determinado? (a) m = 1 e m = 6 (b) m 5 e m – 3 (c) m = 4 e m = 5 (d) m = 3 e m – 2 (e) m 3 e m – 1
RESOLUÇÃO:
− − − − − −− −− − − − −− −− ≠≠ 2 + = 0 +2 + = 0 2 + 4 2 = 0 1 2
2 2 4
0 = 0 0
1 2
≠≠−
= [ 4 + ( 4) + 4 ] [ 4 + 4 + 4 ] = 8 + 4 ² 8 4 4 ² 8 12 0 3 8 12 => 3 0 1 ² 2
= 4
Alternativa (e)
8ª Questão: A intensidade I de um terremoto, medida na escala Richter, é um número que varia de I = 0 até I = 8,9 para o maior terremoto conhecido. I é dado pela fórmula: = , onde E é a energia liberada no terremoto em quilowatt-hora e E o = 7 x 10 Kwh . Qual a energia liberada num terremoto de intensidade 6 na escala Richter?
Considerar
(a) E = 10
,
(b) E = 10 (c) E = 10
,
(d) E = 10
,
(e) E = 10
,
RESOLUÇÃO:
,
7
9ª Questão: A soma das dimensões x, y e z de um paralelepípedo retângulo é n e a diagonal é d . Qual a expressão da área total S ? (a) S xy xz xy
(b) S
+ ²+ ²
(c) S n² - d² (d) S n²d²
(e) S
²+ ²
RESOLUÇÃO: = 2.(
+
+
)( )
ℎ − − = + = + ²= ²+ ²+ ( ) = + + = ( + + ) )+ ²+ ²+ ²( ² = 2( + + ( ) = ( ) ( ): = ² ²
)
Alternativa (c)
10a Questão: A geratriz de um cone de revolução mede 5 cm e altura mede 4 cm. Calcule o volume da esfera inscrita no cone.
− RESOLUÇÃO: (4
) = 2+
=
.
² =>
=>
=
=
³
Alternativa (a)
RESOLUÇÃO:
− − ⎩ − − 2 ³
4 ²+= 3 + 1 = 0 +
.
+
+
.
.
=
+
.
=
.
= ( . ) + ( . ) + ( . )² 1 1 1 + + = => ( . . )²
Alternativa (b)
=
4 = 2 2
12ª Questão: A interseção da reta y + x – 1 = 0 com a circunferência x² + y² + 2x + 2y – 3 = 0 determina uma corda cujo comprimento é: (a) 7
√ √ √
(b) 2 (c) 3
(d) 5 (e) 6
RESOLUÇÃO:
13ª Questão: Calcule:
→ √ √ –
(a) – (b) 0 (c) 1 (d) 2 (e) +
RESOLUÇÃO:
√ − √ − √ √ √ √ −− √ √ − √ √ −− 1+ 2
1
=
Quando
2
.
( 1+ 2 +
1
2 )
( 1+ 2 +
1
2 )
=
1+ 2
( 1
( 1+2 +
1
2 )²
2 )
− √ √ − √ √ − →√ √ → √ √ √ √ 1
1+ 2 + 2
( 1+2 + 0, 2
→
Então li m
1
0=>
2 )
=
=
4
( 1+ 2 +
(
= 2. Alternativa (d)
)
=
1
2 )
= = 2,
14ª Questão: Sabendo-se que (a) 11
−
2³ , calcule: 15 – x² .
(b) 9 (c) 8 (d) 7 (e) 3 RESOLUÇÃO:
− − − − − − −
3
− ; admitindo 3
9²
= 2
3 =
= 8 .( ) = >
=>3 = 9 = >
²
= 2 = > 15
8
, temos:
9= 0
² = 15
+ .
= 8 => = 9
4 = 11
= 9 = 1
Alternativa (a)
15ª Questão: Dado o número complexo Z = 1 – i e considerando ser ele uma das raízes da equação x¹° – p = 0 o valor de p é:
(a) 8i (b) – 4i (c) – 8i (d) – 16i (e) – 32i RESOLUÇÃO: (1
− − √ − − − )
= 0 = > (1
trigonométrica: =>
=
32
)
2
Alternativa (e)
= .
; usando a forma =
= > 2 (0
− )=
=>
16ª Questão:
Determine as equações gerais das retas r e s cuja representação gráfica é a acima apresentada. (a) 2x – 3y + 6 = 0 e x + y – 2 = 0 (b) 2x + 3y + 6 = 0 e x + 2y – 3 = 0 (c) 3x – 2y + 6 = 0 e x + y – 2 = 0 (d) 3x + 2y + 6 = 0 e x + y + 2 = 0 (e) x – 3y + 6 = 0 e x + 3y – 3 = 0
RESOLUÇÃO:
17ª Questão:
O triângulo ABC, representado na figura acima, é isósceles. Se EC CF e x = 40 ° , a medida y, do ângulo assinalado, é: (a) 160° (b) 150° (c) 140° (d) 130° (e) 120°
̂ ∆ − ∆ − RESOLUÇÃO: Chamemos No :180 No :180 = 120°
Alternativa (e)
de .
+ 2 = 180 = > 180
+
+
− −
+ 80 = 180 = >
= 180 = > 180
= 80°
+ 120 = 180 = >
18ª Questão: Dada uma progressão aritmética onde o 1 o termo é 12 e a sua razão é 4, qual o valor de n, se a média aritmética dos n primeiros termos dessa progressão é 50? (a) 30 (b) 20 (c) 18 (d) 15 (e) 14 RESOLUÇÃO:
⋯ +
+
= > ( 12 +
+
= 50 = >
) = 100 = >
− =
+ (
Alternativa (c)
(
+ 2
= 88
1) = > 88 = 12 + 4
)
= 50 = >
−
(
+ 2
4 = > 4 = 80 = >
)
= 50
= 20
19ª Questão: O domínio da função de em , definida por
=
, é:
(a) D f x R / x 5 (b) D f x R / x 5 (c) D f x R / x - 5 (d) D f x R / x - 5 (e) D f x R / x - 3 Como o denominador deve ser maior que 0 então:
−− >
243 > 0
5
Alternativa: (d)
RESOLUÇÃO:
→ → ≠ → → > 243
3
>
20ª Questão: Resolva a equação:
(a) x = – 2 (b) x = – 1 (c) x = 0 (d) x = 1 (e) x = 2 RESOLUÇÃO:
+3 4 9
+1 5 10
+4 3 7
=–7
−− −− − − − − − − +3 4 9
+ 1 5 10
+ 27( + 1)
+4 3 7
= – 7 => 35( + 3) + 40( + 4) +
45( + 4)
− − − − − −
30( + 3)
28( + 1) =
7=>
= > 5( + 3) 5( + 4) ( + 1) = 7 = > 5 + 15 5 1 = 7 => 6 = 7 = > = 1 Alternativa (d)
21ª Questão: Calcule a e b , de modo que (a) a = 2 e b = 4 (b) a = 2 e b = – 4 (c) a = – 2 e b = 4 (d) a = – 2 e b = – 4 (e) a = 2 e b = – 2
− =
²
20
RESOLUÇÃO:
22ª Questão: Sabendo-se que
√ (b) √
= ±
calcule
√ °
(a) 1 +
√ √ − √
(c) 2 + 1 (d) 2
1
(e) 2 + 2
RESOLUÇÃO:
=±
√ 22°30 = = 45°= √ = 1 √ √ √ √ Tg √ = √ . √ = = √ = √ = °
√ √ (
)²
=
√ √
=
√
2-1
Alternativa (d)
23ª Questão: ² ³ Que termo se deve acrescentar ao binômio + de modo que se obtenha um trinômio que seja quadrado perfeito.
(a) (b) (c) (d) (e) ³
RESOLUÇÃO:
( + ) = =
= 2
² =>
Como
+
:
=
não está elevado ao quadrado, ele é o 2ab:
O elemento que se deve acrescentar é b² : = 2
²=
= > 2. . = =
=>
Alternativa (e)
=
24ª Questão: Em uma P.A. o sétimo termo é o quádruplo do segundo termo. Calcule o décimo segundo termo, sabendo que a soma do quinto com o nono termo é 40. (a) 35 (b) 37 (c) 40 (d) 45 (e) 47
− − − RESOLUÇÃO: = + = =
( 10). = 40 2 +2 2 + + 2 = 40 = > 20 = . 6 = > = =
.11 = >
=
.
= 20
= 37 Alternativa (b)
25ª Questão: Um tronco de cone c one reto tem raios das bases medindo 2 medindo 2 cm e 3 cm. cm. As geratrizes medem 5 medem 5 cm. cm. Calcule o volume do tronco.
√ √ √ √ √
(a) 19
6
³
(b)
6
³
6
³
6
³
6
³
(c) (d) (e)
PROVA DE MATEMÁTICA - EFOMM 2004 1ª Questão: Dadas as seguintes retas: 2x + 5 ; s : 3x + 2y -1 = 0 ; t : x - 5 = 0 ; u : y - 2 = 0 3 e v : y = 4x +1. Podemos afirmar que
r: y=
( a ) t e u são paralelas. (b)
r e v
são paralelas.
( c ) t e v são perpendiculares. ( d ) r e s são perpendiculares. ( e ) s e v são perpendiculares.
2ª Questão: Na figura, os ângulos têm as medidas indicadas. Se a reta r contém a bissetriz do triângulo ABC, relativa ao vértice A, qual será a equação de r ? (a)y=x+2 (b)y=x–2 ( c ) y = – 2x + 1 (d)y=–x+1 (e)y=–x+2
y A
20º
2
º
10
º
10
145º
125º 0
∆ −
B
D
x C
RESOLUÇÃO: No o ângulo ^d é igual à 135°, então o coeficiente angular igual à 135 1 35 = – 45°= 45°= 1 . Quando = 0, = 2 = > = 2. Então, a equação é – + 2 = Alternativa (e)
3ª Questão:
é
Calcule
lim
[ log ( x + 1 ) – log x ]
x
(a)+ (b) 0 (c) 1 ( d ) –1 (e)– RESOLUÇÃO: lim
[ log ( x + 1 ) – log x ]
x
→ − − − − (
lim
1) = 0 = 0 Alternativa (b)
1
=
1 = 0 então,
4ª Questão: Calcule a distância da origem à reta r: 4x + 3y –5 = 0
(a) 1 ( b ) 1,5
(c) 2 ( d ) 2,5 (e) 3
RESOLUÇÃO:
5ª Questão: Calcule o volume de uma esfera cuja superfície tem uma área de 144 cm2. ( a ) 250 ( b) 275 ( c ) 288 ( d ) 300 ( e ) 380
cm3 cm3 cm3 cm3 cm3
RESOLUÇÃO:
S(esfera) = 4. =>
= 6
V(esfera) =
=>
(esfera)= .144
=> 4
= 144
=>
²
= > V(esfera) = 288
³
Alternativa (c)
6ª Questão: Calcule a área total de uma pirâmide regular de base quadrada, cujas arestas da base e lateral medem, respectivamente, 6m e 34 m. ( a ) 48m2 ( b ) 54m2
( c ) 66m2 ( d ) 86m2 ( e ) 96m2 RESOLUÇÃO:
√ ∙ ℎ ∙ ℎ ∙ − ℎ = 6² = 36
34
= 3² + ² = >
= 4
.
=
= 4
Alternativa (e)
+
² = 34
9 =>
= 5
= 2 30 = 60 ² =>
= 36 + 60 = 96 ²
7ª Questão: Seja A a matriz inversa da matriz B =
1 3 1 7
0 . 1
dos elementos da diagonal principal da matriz A. (a)
9 4
(b) 4 (c)
4 9
(d)
5 9
(e)
1 9
RESOLUÇÃO: Se A é a matriz inversa de B, então B.A=I² :
Determine a soma
→ → .
∙ − →→ − =>
=
=
=
=
=
+ . =
+
+
+
=
+
=
=
=
=
=
=
é
3+ 1= 4
Alternativa: (b)
8ª Questão: Dada uma Progressão Aritmética, em que o 5 o termo é 17 e o 3o é 11, calcule a soma dos sete primeiros termos dessa Progressão Aritmética. ( a ) 90 ( b ) 92 ( c ) 94 ( d ) 96 ( e ) 98
9ª Questão: Calcule a razão de uma Progressão Geométrica decrescente de cinco termos, sendo o 1o termo igual a 2 e o último igual a 3
(a)
1 3
2 . 243
(b)
2 3
(c)
1 3 2 3 4 3
(d) (e)
RESOLUÇÃO:
=
=> =
; e
.
=
e
Alternativa (c)
=
=>
=
=
.
=>
=
=>
10ª Questão: Calcule o coeficiente angular da reta s representada no gráfico. ( a ) –1 (b) 0 (c) 1 (d) 2 (e) 3
t
s
2 E
.
A 0
1
45º
C
D
RESOLUÇÃO:
∆ − − − − −
No CÊD, o ângulo ^d é igual a 90 45 = 45°. Sendo d^ suplementares: + d^ = 180°=> = 135°. O coeficiente angular da reta s é igual à tangente da inclinação: = = ( 180 )= = 45°= 1. Alternativa (a)
11ª Questão: Determine o ângulo agudo entre as retas
r: 2x + y – 5 = 0 e s: 3x – y + 5 = 0. ( a ) 0º ( b ) 30º ( c ) 45º ( d ) 60º ( e ) 135º
12ª Questão: Em uma universidade, 80% dos alunos lêem o jornal x e 60% o jornal y. Sabendo-se que todo aluno lê pelo menos um dos jornais, qual é o percentual de alunos que lêem ambos os jornais? ( a ) 10% ( b ) 20% ( c ) 25% ( d ) 30% ( e ) 40%
∩− ∩
RESOLUÇÃO: + =>
= 100% = > 80% + 60% = 40% Alternativa (e)
− ∩
= 100% = >
13ª Questão: Qual das relações abaixo, de A = { a1 , a2 } em B = { b1 , b2 , b3}, constitui uma função? ( a ) { ( a 1 , b1 ) , ( a2 , b2 ) , ( a2 , b3 ) } ( b ) { ( a1 , b1 ) , ( a1 , b2 ) , ( a1 , b3 ) , ( a2 , b1 ) , ( a2 , b2 ) , ( a2 , b3)} ( c ) { ( a 1 , b1 ) , ( a1 , b2 ) , ( a1 , b3 ) } ( d ) { ( a1 , b2 ) , ( a2 , b2 ) } ( e ) { ( a 1 , b1 ) , ( a1 , b2 ) , ( a2 , b3 ) } Para a relação ser uma função os elementos de A têm que ter uma e somente uma imagem em B, por isso, a alternativa coerente é a d.
14ª Questão: Que valores deve apresentar o coeficiente “a” da função f(x) = ax2 – 2x + 1, para que ela tenha concavidade voltada para cima e vértice no 1º quadrante? (a)a>0 (b)0
1 1 (e)a 2
15ª Questão: Considere o gráfico abaixo. A função mais bem representada por ele y éa ( a ) f(x) = log2 ( x + 1) ( b ) f(x) = log 1 ( x + 1) 2
( c ) f(x) = log2 ( x – 1) ( d ) f(x) = log 1 ( x – 1)
–1
x
2
( e ) f(x) = log2 ( –x + 1)
16ª Questão: A menor determinação positiva do ângulo ( a ) 60º ( b ) 120º ( c ) 240º ( d ) 270º ( e ) 300º
− − −
14 3
mede
RESOLUÇÃO: =
.
=
840°
−
Número de voltas no ciclo trigonométrico: = 2 voltas + um ângulo de -120° . No ciclo trigonométrico -120° é equivalente ao ângulo 180°+ 60°=240°. Alternativa (c)
17ª Questão: A soma da raízes da equação sen2 x – sen x = 0, para 0 igual a (a)
x
,é
2
(b) (c) 2 (d) (e)
3 3 2 5 3
∈ ∈ − ≤ − RESOLUÇÃO: ( 0+ = 0 quando a condição 0. = 0
>
),
(
. No intervalo dado, satisfazem
= 1, a equação também é igual a zero, então
A soma das raízes é: Alternativa (d) 0+ + =
é mais uma raiz.
1) = 0, então quando
18ª Questão: Que valores de k 0 1
k
tornam positivo o determinante da matriz
2 2 1 k 1 ? 3 0
(a)k
1 (b ) 0 < k < (c)0
1 3
k
1
(d)k
–1 ( e ) k > –1 RESOLUÇÃO:
−− − − −− − − ′′
−
= [ 2( 1)] [2 = 3 ( = 2 + 2 2 3 ²+3 = 3 ²+
Para
> 0, 3 ² +
=
=>
=
Então 0 <
=>
<
>
> 0. Se as raízes da equação são :
′′
<=>
>
1) ]
=>
Alternativa (b)
> 0
<
19ª Questão: Uma equação que representa a reta da figura abaixo é ( a ) y . cos α – x . sen α – k . cos α = 0 ( b ) y . cos α – x . cos α – k . sen α = 0 ( c ) y . cos α + x . sen α – k . cos α = 0 ( d ) y . sen α – x . cos α – k . sen α = 0 ( e ) y . sen α + x . cos α – k . sen α = 0
y
K
α
X
20ª Questão: As medidas de raio e altura de um cilindro equilátero foram duplicadas. A relação entre o novo volume e o anterior é (a) (b) (c) (d) (e)
2 4 8 16 32
ℎ 2ℎ
RESOLUÇÃO: 1= 2 2= 2 2 = = 4
Alternativa (b)