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caderno_questoes Apostila 5 Desconto

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Aula 10 1

Juros Compostos .................................................................................................................

1.1

Período de Capitalização ..............................................................................................

1.2

Fórmula do Montante Composto................................................................................. Composto.................................................................................

2

Comparação entre as Capitalizações Simples e Composta.................................................. Composta ..................................................

3

Convenção Linear e Convenção Exponencial .......................................................................

4

Taxas Equivalentes ..............................................................................................................

5

Taxa Nominal e Taxa Efetiva ...............................................................................................

6

Taxa Real e Taxa Aparente ..................................................................................................

7

Capitalização Contínua........................................................................................................ Contínua ........................................................................................................

8

Descontos Compostos......................................................................................................... Compostos .........................................................................................................

8.1

Desconto Racional (por dentro) Composto................................................................. Composto.................................................................

8.2

Desconto Comercial (por fora) Composto ..................................................................

8.3

Demonstração da fórmula dos valores tabelados ......................................................

9 10

Relação das questões comentadas .....................................................................................

Gabaritos .........................................................................................................................

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Juros Compostos

No regime de capitalização composta, o ju ro ger ado em cad a per íod agrega-se ao capital, e essa soma passa a render juros para o próxim período. Daí que surge a expressão “juros sobre juros”.

Imagine a seguinte situação: Guilherme aplicou R$ 10.000,00 a juro compostos durante 5 anos à taxa de 20% a.a. Vamos calcular os juros gerado após o período de cada aplicação. em cada período e o mont ante após

 · 10.000  2.2.000 e o montante apó  Os jur são o  · 12.000  2. 2.400 e o montan j ur os gerados no segundo ano sã

Os ju ro s gerados no primeiro ano sã são o o primeiro ano é 10.000 + 2.000 = 12.000.

após o segundo ano é 12.000+ 12.000+2.400= 2.400=14.400. 14.400.

 · 14.400  2.2.880 e o montante apó  Os ju ro s gerados no quarto ano sã são o  · 17.280  3. 3.456 e o montante após

Os ju ro s gerados no terceiro ano sã são o o terceiro ano é 14.400 + 2.880 = 17.280. quarto ano é 17.280 + 3.456 = 20.736.

 · 20.736  4.147,20 e o montan

Os jur são o ju r os gerados no quinto ano sã após o quinto ano é 20.736 + 4.147,20 = 24.883,20. 1.1

Período de Capitalização

O intervalo de tempo em que os juros são incorporados ao capital chamado de período de capit alização. alização.

Dessa forma, se o problema nos diz que a capitalização é mensal,  então o Sign up to vote on this title jur juros sã são o ca calc lcu ulad lados todo mês e ime imediat iatament enteinco inUseful corrpora ora doNot s ao cap ca pital ital.. useful

Capitalização trimestral: os juros são calculados e incorporados ao capital um

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Juros Compostos

No regime de capitalização composta, o ju ro ger ado em cad a per íod agrega-se ao capital, e essa soma passa a render juros para o próxim período. Daí que surge a expressão “juros sobre juros”.

Imagine a seguinte situação: Guilherme aplicou R$ 10.000,00 a juro compostos durante 5 anos à taxa de 20% a.a. Vamos calcular os juros gerado após o período de cada aplicação. em cada período e o mont ante após

 · 10.000  2.2.000 e o montante apó  Os jur são o  · 12.000  2. 2.400 e o montan j ur os gerados no segundo ano sã

Os ju ro s gerados no primeiro ano sã são o o primeiro ano é 10.000 + 2.000 = 12.000.

após o segundo ano é 12.000+ 12.000+2.400= 2.400=14.400. 14.400.

 · 14.400  2.2.880 e o montante apó  Os ju ro s gerados no quarto ano sã são o  · 17.280  3. 3.456 e o montante após

Os ju ro s gerados no terceiro ano sã são o o terceiro ano é 14.400 + 2.880 = 17.280. quarto ano é 17.280 + 3.456 = 20.736.

 · 20.736  4.147,20 e o montan

Os jur são o ju r os gerados no quinto ano sã após o quinto ano é 20.736 + 4.147,20 = 24.883,20. 1.1

Período de Capitalização

O intervalo de tempo em que os juros são incorporados ao capital chamado de período de capit alização. alização.

Dessa forma, se o problema nos diz que a capitalização é mensal,  então o Sign up to vote on this title jur juros sã são o ca calc lcu ulad lados todo mês e ime imediat iatament enteinco inUseful corrpora ora doNot s ao cap ca pital ital.. useful

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1.2

Fórmula do Montante Composto

Para calcular o montante de uma capitalização composta utilizaremos seguinte fórmula básica:

M → montante (capital + juros).

   · 1  

C → Capital apital iinicial nicial aplicado. i → taxa de juros n → número de períodos. Observe que se a capitalização é bimestral e aplicação será feita durante meses, então o número de períodos é igual a 4 bimestres .

Não utilizaremos uma fórmula específica para o cálculo dos juros composto Se por acaso em alguma questão precisarmos calcular o juro composto utilizaremos a relação:

      

2

Comparação entre as Capitalizações Simples e Composta

Considere a seguinte seguinte situação: J oão aplicará a quantia quantia de R$ 1.000,00 a u um m taxa de 10% ao mês. Calcule os montantes simples e compostos para os seguintes períodos de capitalização: a) 1 mês b) 15 dias (meio mês) c) 2 meses Resolução a) Capitalização Simples


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b) Capitalização Simples

   ·1 ·   1.000· 10, 1 ·0, 5  1.050    ·1   1.000·10,1,  1.048,81   0,5

Capitalização Compost a

Observe que, para composto.

, o montante simples é maior do que o montante

c) Capitalização Sim ples

   ·1 ·   1.000·10,1·2 1.200    ·1   1.000·10,1  1.210 2

Capitalização Compost a

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Unlock full access with a free trial.

Observe que, para composto.

, o montante simples é menor do que o montante Download With Free Trial

Em resumo, temos as seguintes relações

0   1 1 1

O montante simples é igual ao montante composto. O montante simples é maior do que o montante composto. O montante simples é menor do que o montante  composto. Sign up to vote on this title 

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Convenção Linear e Convenção Exponencial

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Em Matemática Financeira, quando o número de períodos é fracionári podemos calcular o montante de duas maneiras: - Convenção Exponencial - Convenção Lin ear

Um capital de R$ 10.000,00 será aplicado por 3 meses e meio à taxa de 10% ao mês, juros compostos, em que se deseja saber o montante gerado. - Convenção Exponencial

A convenção exponencial diz que o período, mesmo fracionário, será utilizad no expoente da expressão do montante. n M = C ⋅ (1 + i)

Assim,

M = 10.000 ⋅ (1 + 0,10) 3,5 M = 10.000 ⋅1,103,5 You're Reading a Preview O valor 1,103,5 = 1,395964 deverá ser fornecido pela questão. Unlock full access with a free trial.

M = 10.000 ⋅1,395964 Download With Free Trial

M = 13.959,64 - Convenção Lin ear

A convenção linear considera juros compostos na parte inteira do período sobre o montante assim gerado, aplica juros simples no período fracionário. Sign up to vote on this title Podemos resumir a seguinte fórmula para a convenção linear:

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Int M = C ⋅ (1 + i) ⋅ (1 + i ⋅ n frac )

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Como era de se esperar, o montante da convenção linear foi maior do que montante da convenção exponencial.

EC 1. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) O valor de u investimento de R$ 20 000,00, a uma taxa de juros compostos de 50% ao an ao final de dois anos é a) R$ 45.000,00 b) R$ 47.500,00 c) R$ 60.000,00 d) R$ 90.000,00 e) R$ 50.000,00 Resolução

   ·1   20.000·10,50  45.000,00 Letra A

EC 2. (BACEN 2010/CESGRANRIO) Um investidor aplicou R$ 20.000,00 num CDB com vencimento para 3 meses depois, a uma taxa composta de 4% a You'reoperação Reading a Preview mês. O valor de resgate dessa foi, em reais, de (Nota: efetue a operações com 4 casas decimais) Unlock full access with a free trial. a) 20.999,66 b) 21.985,34 Download With Free Trial c) 22.111,33 d) 22.400,00 e) 22.498,00 Resolução

   ·1   20.000·1,04


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O enunciado mandou efetuar as operações com 4 casas decimais.

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C P F : 2 0 9 1 9 7 8 6 4 7 2

valor R$ 10.400,00, a juros simples, à taxa de 15% ao ano. O tempo em que segundo capital ficou aplicado foi igual a a) 22 meses b) 20 meses c) 18 meses d) 16 meses e) 15 meses Resolução

Aplicação a juros compostos:

    12.· 51    00· 10, 0 8   14.580

Assim, o juro composto é a diferença entre o montante e o capital aplicad 14.580 – 12.500 = 2.080.

Esse juro é igual ao da aplicação à taxa simples. A resposta do tempo d aplicação será dada em meses. Como a taxa é de 15% ao ano, a tax Reading a Preview equivalente mensal é 15%/12You're = 1,25%=0,0125 ao mês.

2.080 · ·10.400·0,0125· 2. 08016 130· Unlock full access with a free trial.

Download With Free Trial

Letra D

EC 4. (AFRE-SC 2010/FEPESE) Suponha que uma taxa de juros composto de 10% ao mês acumule no final de 5 meses $ 10.000,00. Calcule o val inicial do investimento e assinale a alternativa que indica a resposta correta  a) $ 2.691,43 b) $ 3.691,43 c) $ 4.691,43


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10.000   ·1,61051 000  6.209,21   1,10.61051

Não há gabarito compatível e a questão foi anul ada.

EC 5. (Esp-Adm-Orç-Fin-Púb Pref. de São Paulo 2010/FCC) Uma pesso aplicou metade de seu capital, durante um ano, a uma taxa de juros composto de 8% ao semestre. Aplicou o restante do capital, também durante um ano, uma taxa de juros simples de 4% ao trimestre. A soma dos juros desta aplicações foi igual a R$ 4.080,00. O montante referente à parte do capit aplicado a juros compostos apresentou o valor de a) R$ 14.400,00. b) R$ 14.560,00. c) R$ 14.580,00. d) R$ 16.000,00. e) R$ 16.400,00. Resolução

Digamos que o capital total aplicado seja 2x. Assim, como utilizamos metade do capital em cada uma das aplicações, então o capital da aplicações será x. You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial. 1ª aplicação (Regime Compos to)

Sabemos que

            ·1


No regime composto, a relação entre o montante e o capital é a seguinte.

A taxa é de 8% ao semestre e o tempo de aplicação é igual a 1 ano semestres).

   ·1,08


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  1,1664·

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   ·0,04·4   0,16·    4.080 0,1664· 0,16·  4.080 0,3264·  4.080   12.500   1,1664·   1,1664·12.500  14.580,00

A soma dos juros compostos com os juros simples é igual a R$ 4.080,00.

Na aplicação do regime composto tivemos o seguinte montante.

Letra C

EC 6. (CEF 2004 FCC) Um capital de R$ 500,00 foi aplicado a juro simples p 3 meses, à taxa de 4% ao mês. O montante obtido nessa aplicação foi aplicad You'reàReading a Preview a juros compostos por 2 meses taxa de 5% ao mês. Ao final da segund aplicação, o montante obtidoUnlock era de full access with a free trial. a) R$ 560,00 b) R$ 585,70 c) R$ 593,20 d) R$ 616,00 e) R$ 617,40

Resolução





Useful  Not useful Temos nesta questão duas aplicações: uma noregime de capitalização sim e outra na capitalização composta. É fato que o montante na capitalizaçã

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C P F : 2 0 9 1 9 7 8 6 4 7 2

M S = 560

Esse montante obtido na capitalização simples será o capital da segund aplicação. Teremos agora uma aplicação em juros compostos com capital inicial igu R$ 560,00, taxa de juros igual a 5% ao mês durante dois meses. O montante da capitalização composta é dado por M C = C ⋅ (1 + i) . n

M C = 560 ⋅ (1 + 0, 05) 2 M C = 560 ⋅1,052 M C = 617,40 Letra E

EC 7. (AFRE-CE ESAF 2006) Metade um capital foi aplicada a juro You're Reading de a Preview compostos à taxa de 3% ao mês por um prazo de doze meses enquanto access with a free trial. outra metade foi aplicada àUnlock taxafullde 3,5% ao mês, juros simples, no mesm prazo de doze meses. Calcule o valor mais próximo deste capital, dado que a Download With Free Trial duas aplicações juntas renderam um juro de R$ 21.144,02 ao fim do praz (Considere que 1,0312 = 1,425760) a) R$ 25 000,00. b) R$ 39 000,00. c) R$ 31 000,00. d) R$ 48 000,00. e) R$ 50 000,00.


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Capital aplicado: C Taxa de juros: 3% =0,03 ao mês Tempo de aplicação: 12 meses Assim, o juro da capitalização composta será dado por:

J C = M − C = C ⋅ (1 + i)12 − C J C = C ⋅1,0312 − C J C = 1, 425760 ⋅ C − 1 ⋅ C J C = 0,425760 ⋅ C Capitalização Simples

Capital aplicado: C Reading a Preview Taxa de juros: 3,5% =0,035You're ao mês Unlock full access with a free trial. Tempo de aplicação: 12 meses

Trial Assim, o juro da capitalizaçãoDownload simples With seráFree dado por:

J S = C ⋅ i ⋅ n J S = C ⋅ 0,035 ⋅12 J S = 0,42 ⋅ C Sign up to vote on this title 

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As duas aplicações juntas renderam um juro de R$ 21.144,02.

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C =

O capital total aplicado é Logo,

2 ⋅ C = 50.000

2·

21.144,02 0,84576

C = 25.000 .

Letra E

EC 8. (AFRE-MG ESAF 2005) A que taxa mensal de juros compostos u capital aplicado aumenta 80% ao fim de quinze meses. a) 4%. b) 5%. c) 5,33%. d) 6,5%. e) 7%. Resolução


Unlock full access with ao free trial.o capital inicial é igual a R Podemos, para facilitar o raciocínio, admitir que 100,00. Para que o capital aumente 80%, os juros serão iguais a R$ 80,0 Downloadserá With igual Free Trial (80% de 100,00). Então o montante a R$ 180,00. A taxa e o temp estão na mesma unidade.

Apliquemos a fórmula dos juros compostos.

M = C ⋅ (1 + i)

n

180 = 100 ⋅ (1 + Sign i)15up to vote on this title 

1, 80 = (1 + i )15

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You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.

15 1, 04 ≅ 1, 80 . De acordo com essa tabela, aDownload uma taxa deFree 4% Trial temos With

Letra A

EC 9. (Auditor Interno do Poder Executivo-Secretarias de Estado da Fazenda da Administração-SC – 2005 – FEPESE) Determine o tempo em meses qu um capital aplicado a uma taxa de juro composto de 3,00% ao mês ser triplicado. Informações adicionais: log 3 0,48 e log 1,03 0,012.



Assinale abaixo a única alternativa correta. a) 5 meses




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Queremos que o capital seja triplicado. Ou seja, o montante será o triplo d capital (M = 3.C)

M = 3 ⋅ C .

Assim,

Ora, mas sabemos que na capitalização composta o montante é dado p

M = C ⋅ (1 + i) . Temos então: n

C ⋅ (1 + i) = 3 ⋅ C n

(1 + 0, 03) n = 3 1, 03n = 3 log1,03n = log 3 n ⋅ log1, 03 = log 3 You're Reading a Preview

n=

log3


log1,03


n=

0, 480

0,48 0,012

480Sign up to vote on this title n= = = = 40 meses. 0, 012 0012 12 Useful  Not useful Letra E

0480

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C P F : 2 0 9 1 9 7 8 6 4 7 2

Analisando-se o gráfico, conclui-se que para o credor é mais vantajos emprestar a juros

a) compostos, sempre. b) compostos, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo. c) simples, sempre. d) simples, se o período do empréstimo for maior do que a unidade de tempo. e) simples, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo Resolução

O gráfico acima descreve bem o exemplo que fizemos anteriormente (aque You're Reading a Preview em que o montante simples foi maior do que o montante composto). Unlock full access with a free trial.

Quando o número de períodos da capitalização for menor do que 1 o ju With Free Trial simples será maior do que o Download juro composto. Letra E

EC 11. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) A fração de período pela convenção line produz uma renda a e pela convenção exponencial produz uma renda b. Pod se afirmar que: a) b) c) d)

  log    √ 


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Assim, a fração de período pela convenção linear produz uma renda maior do que a convenção exponencial. Letra E

EC 12. (AFRE – PB 2006 FCC) Um capital no valor de R$ 20.000,00 investido a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, durante 2 anos e meses. O montante no final do período, adotando a convenção linear, foi igu a a) R$ 25.500,00 b) R$ 24.932,05 c)) R$ 24.805,00 d) R$ 23.780,00 e) R$ 22.755,00 Resolução

Nesse problema temos uma taxa de 10% ao ano e o capital será investid durante 2 anos e 3 meses. Devemos adotar a convenção linear, então a part fracionária do período (3 meses) utilizada no regime simples. Como o an You'reserá Reading a Preview tem 12 meses, 3 meses é igual a 1/4 do ano= 0,25 anos. Unlock full access with a free trial. Assim,


M = C ⋅ (1 + i) Int ⋅ (1 + i ⋅ n frac ) 2 M = 20.000 ⋅ (1 + 0,10) ⋅ (1 + 0,10 ⋅ 0, 25)

M = 20.000 ⋅1,102 ⋅1, 025 Sign up to vote on this title

M = 24.805,00  Letra C

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De acordo com a convenção linear, a parte inteira do período será aplicada juros compostos enquanto que a parte fracionária será aplicada a ju simples. O período de 10 dias equivale a 1/3 do mês.

Letra D

   ·1 ·1 ·   300·10,10 ·10, 1 0· 13   300·1,21·1 301  363·1 301    363 36330  36312,1  375,10

EC 14. (AFRF 2003/ESAF) Um capital é aplicado a juros compostos taxa de 40% ao ano durante um ano e meio. Calcule o valor mais próximo d perda percentual do montante considerando o seu cálculo pela convençã exponencial em relação ao seu cálculo pela convenção linear, dado que 1,40 =1,656502. a) 0,5% b) 1% c) 1,4% d) 1,7% e) 2,0%



Resolução Assuma, p or hi pótese, qu e o c api tal aplicado é d e R$ 100,00. Convenção Exponencial

   ·1   100·10,40,  100·1,40,  100·1,656502  165,6502 Sign up to vote on this title

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Convenção Lin ear

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  165,6168502168  2,1683498 ·100%  234,16898 %  1,398%    Letra C

EC 15. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) J osé dispõe de R$ 10.000,00 para apli durante seis meses. Consultando determinado banco, recebeu as seguinte propostas de investimento: I – J uros simples de 2% ao mês. II – J uros compostos de 1% ao mês. III – Resgate de R$ 12.000,00, ao final de um período de seis meses. Assinale: a) se todas apresentarem o mesmo retorno. b) se a proposta I for a melhor alternativa de investimento. c) se a proposta II for a melhor alternativa de investimento. d) se a proposta III for a melhor alternativa de investimento. e) se as propostas I e III apresentarem o mesmo retorno. Resolução You're Reading a Preview

I – Juros si mples de 2% ao mês dur ante 6 meses.

   · 1 ·  10.000· 10,02·6  11.200    · 1  10.000· 10,01  10.615,20 Unlock full access with a free trial.


II - Juros comp osto s de 1% ao mês durante 6 meses.

Portanto, a proposta III é a melhor alternativa de investimento. Letra D


4

Taxas Equivalentes

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Duas taxas são ditas equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capit

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Qual é a taxa trimestral equivalente à taxa de juros compostos de 10% a mês?

Duas taxas são ditas equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capit inicial, pelo mesmo prazo, produzem o mesmo montante.

Se considerarmos o tempo igual a um trimestre (três meses), então teremos seguinte equação:

C ⋅ (1 + im )3 = C ⋅ (1 + it )1

(1 + 0,10)3 = 1 + it 1 + it = 1, 331 it = 0,331 it = 33,1% You're Reading a Preview

Portanto, a taxa de 10% ao mês é equivalente a 33,1% ao trimestre. Unlock full access with a free trial.

Para o cálculo das taxas equivalentes basta efetuar a comparação dos fatore

1


Exemplo

Qual é a taxa anual equivalente à taxa de juros compostos de 20% a trimestre? J á que 1 ano é o mesmo que 4 trimestres, temos a seguinte relação:

 1 1     1 10, 2

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5

Taxa Nominal e Taxa Efetiva

Há um mau hábito em Matemática Financeira de anunciar taxas proporciona (no regime composto) como se fossem equivalentes. Uma expressão do tip “24% ao ano com capitalização mensal” significa na realidade “2% ao mês”.

A taxa de 24% ao ano é chamada taxa nominal e a taxa 2% ao mês é chamad de taxa efetiva.

No regime de juros compostos, uma taxa é dita nominal quando o período que a taxa se refere não coincidir com o período de capitalização. Por exempl uma taxa de 24% ao ano com capitalização mensal é uma taxa nomin porquanto a taxa se refere ao período de um ano, mas a capitalização do juros é realizada mensalmente (ou seja, os juros são calculados uma vez p mês e imediatamente incorporados ao capital). J á quando a taxa é efetiv quando o período a que a taxa se refere coincide como período d capitalização. No nosso exemplo, a taxa de 2% ao mês com capitalizaçã mensal é uma taxa efetiva. São exemplos de taxas nominais: - 30% ao mês com capitalização . a Preview You'rediária Reading Unlockbimestral full access with - 48% ao ano com capitalização . a free trial.

Uma taxa de juro é dita efetiva se o período que ela estiver referenciada f Download With FreeaTrial coincidente com o período de capitalização. Assim, uma taxa de juros de 20% ao ano com capitalização anual é uma taxa efetiva.

Nesse caso, podemos dizer simplesmente “taxa efetiva de 20% ao ano” qu estará subentendido “20% ao ano com capitalização anual”.

A taxa de juros nominal é a mais comumente encontrada nos contrato  financeiros. Contudo, apesar de sua larga utilização, a ilusõe Sign up topode vote onconduzir this title useful osNot cálculos não sã sobre o verdadeiro custo financeiro da transação, pois   Useful feitos com taxa nominal !!!

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Exemplo 1: Taxa nomi nal de 60% ao ano com capitalização bimestr al. 1 ano corresponde a 6 bimestres. Assim, a taxa efetiva bimestral será

ib =

60% 6

= 10% a.b.

Se quisermos calcular a taxa efetiva anual, temos que utilizar o conceito d taxas equivalentes. Portanto, a taxa efetiva anual será calculada da seguinte maneira:

(1 + ia )1 = (1 + ib )6 1 + ia = (1 + 0,10) 6 ia = 1,106 − 1 i = 0,7715

a Reading a Preview You're

ia = 77,15%



Ou seja, se a unidade do período utilizado for ano, a taxa que deverá se utilizada para efeito de cálculo será 77,15% a.a. (essa é a taxa efetiva) e nã 60% (taxa nominal). J á se a unidade utilizada for bimestre, a taxa utilizada pa efeito de cálculo será 10% a.b..

Para o cálculo dos juros ou do montante, nunca utilizaremos a taxa nomin diretamente. Devemos utilizar a taxa efetiva implícita na taxa nominal. Sign up to vote on this title

6

Taxa Real e Taxa Aparente

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C P F : 2 0 9 1 9 7 8 6 4 7 2

Para facilitar o processo mnemônico, utilizaremos as seguintes notações:

A → taxa aparente I → i nflação no período R → taxa r eal

É válida a seguinte relação:

A = I + R + I ⋅ R No nosso exemplo:

A = 80% = 0,8 I = 60% = 0,6 R → taxa real = ?

A = I + R + I ⋅ R You're Reading a Preview

= 0, 0,8Unlock 6 + R + 0, 6 ⋅ R full access with a free trial. Download ⋅R 0, 8 − 0,With 6 =Free 1, 6Trial

1, 6 ⋅ R = 0, 2 R =

0, 2 1, 6

=

2 16

= 0,125 Sign up to vote on this title

R = 12,5% Useful



 Not useful

Podemos concluir, que a taxa real de juros nesse ambiente inflacionário foi d



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R =

A − I

1 + I

=

0,8 − 0, 6 1 + 0, 6

=

0, 2 1, 6

= 12,5% .

EC 16. (CEF 2008 CESGRANRIO) Qual a taxa efetiva semestral, sistema de juros compostos, equivalente a uma taxa nominal de 40% a quadrimestre, capitalizada bimestralmente? a) 75,0% b) 72,8% c) 67,5% d) 64,4% e) 60,0% Resolução

Vamos analisar cada parte do enunciado. “ ... uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre, capitalizada bimestralmente”. J á que um quadrimestre (4 meses) é composto por dois bimestres (2 meses taxa efetiva bimestral é dada por You're Reading a Preview

=

40%

=

Unlock full access with a freea.b. trial. i 20% b

2


Já que a taxa efetiva bimestral é 20%, para calcular a taxa efetiv semestral devemos utilizar o conceito de taxas equivalentes. Lembrand que um semestre é composto por 3 bimestres.

(1 + is )1 = (1 + ib ) 3

1 + is = (1 + 0, 20) 3




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is = 1,728 − 1 = 0,728

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C P F : 2 0 9 1 9 7 8 6 4 7 2

d) 12,6162% e) 12,4864% Resolução

J á que um ano ano é co com mpos ostto por 12 mes eses es,, a taxa axa efetiva iva mensa sall é:

  12%12  1%  ê 1   1    1   1    10,011 1    1,126825   0,126825  12,6825%

Devemos fazer a comparação dos fatores jur juros anual. al.

para o cálculo da taxa d

Consultando a tabela financeira:

Letra C

EC 18. 18. (Audit (Auditor or Fiscal – P ref. ref. de Fort ortaleza 2003 2003/ES /ESAF AF)) O capit capital de 20.000,00 é aplicado à taxa nominal de 24% ao ano com capitalizaçã trimestral. Obtenha o montante ao fim de dezoito meses de aplicação. a) R$ 27.200,00 b) R$ 27.616,11 c) R$ 28.098,56 d) R$ 28.370,38 e) R$ 28.564,92 Resolução

J á que um ano ano é co com mpos ostto por 4 trimes imesttres es,, a taxa ax a up efe efetotiva iv a ton rimes im esttitle tral é: Sign vote this

  24%4  6%   

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EC 19. 19. (SUS (SUSEP 2010 2010/ES /ESAF AF)) No sistem sistema de juros juros compost compostos, os, o Banco oferece uma linha de crédito ao custo de 80 % ao ano com capitalizaçã trimestral. Também no sistema de juros compostos, o Banco Y oferece mesma linha de crédito ao custo dado pela taxa semestral equivalente à tax cobrada pelo Banco X. Maria obteve 100 unidades monetárias junto ao Banc X, para serem pagas ao final de um ano. Mário, por sua vez, obteve 10 unidades monetárias junto ao Banco Y para serem pagas ao final de u semestre. Sabendo-se que Maria e Mário honraram seus compromissos no respectivos períodos contratados, então os custos percentuais efetivos pago por Maria e Mário, foram, respectivamente, iguais a: a) 320 % ao ano e 160 % ao semestre. b) 120 % ao ano e 60 % ao semestre. c) 72,80 % ao ano e 145,60 % ao semestre. d) 240 % ao ano e 88 % ao ano. e) 107,36 % ao ano e 44 % ao semestre. Resolução

Banco X: 80% ao ano com capitalização trimestral (taxa nominal). Logo, a tax efetiva trimestral é 80% /4 = 20% a.t. O custo efetivo pago por Maria ao longo de um ano (4 trimestres) foi de:

1  1      1       1   1 1  0,2020  1  1,0736736  107,36% 36%

Banco Y: Y : J á que a taxa taxa efetiva efetiva trim trimestral estral do banco Y é de 20% a.t., a t 2 equivalente semestral será (1+20%) – 1 = 0,44 = 44% ao semestre. Com Mário pagará sua dívida ao final de um semestre, seu custo percentual foi d 44%.  Sign up to vote on this title

Letra E

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C P F : 2 0 9 1 9 7 8 6 4 7 2

Lembremos que o quadri mestre é um período d e 4 meses e que 1 ano é composto por 3 quadrimestres. quadrimestres.

Letra E

1  1   1    11  0,3 1    2,197   1,197  119,70%

EC 21. (DNOCS 2010/FCC) Uma pessoa fez um empréstimo em u banco no valor de R$ 25.000,00, tendo que pagar todo o empréstimo após 1 meses a uma taxa de juros de 24% ao ano, com capitalização mensal. O valo dos juros a serem pagos no vencimento pode ser obtido multiplicando R 25.000,00 por: a) b) c) d) e)

18· 1,02√ 1,1,361 1 √ 1,1,24  1 18· 3· 1 1, , 2 41 √  6· √ 1,1,24  1

Resolução

O primeiro passo é calcular a taxa efetiva mensal. O problema forneceu a tax nominal de 24% ao ano com capitalização mensal. Portanto, a taxa efetiv mensal é de 24%/12 = 2%.

   · 1        · 1      · 11       · 1  1


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b) 25,52% c) 16,52% d) 33,20% e) 13,20% Resolução

Para facilitar o processo mnemônico, chamaremos de: A → taxa aparente I → i nflação no período R → taxa r eal


     · 0,2320  0,10 0,10· 0,23200,10  1,10· 1,10·  0,1320   0,12  12% You're Reading a Preview


Letra A


EC 23. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um investidor aplicou o capital R$ 24.000,00, resgatando todo o montante após um ano. Sabe-se que a tax real de juros desta aplicação e a taxa de inflação do período corresponden foram iguais a 10% e 2,5%, respectivamente. O montante resgatado pe investidor foi de a) R$ 27.060,00 b) R$ 27.000,00 c) R$ 26.460,00 d) R$ 26.400,00


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     ·   ,,,·,  ,  ,%    · 1  24.000· 10,1275  27.060,00

Então o montante resgatado pelo investidor é dado por

Letra A

EC 24. (BESC 2004/FGV) Uma rentabilidade nominal de 80%, em período em que a inflação foi de 20%, equivale a uma rentabilidade real de: a) 20% b) 44% c) 50% d) 55% e) 60% Resolução

Para facilitar o processo mnemônico, chamaremos de: You're Reading a Preview

A → taxa aparente


I → i nflação no período


R → taxa r eal


     · 0,80  0,20 0,20· 0,60  1,20·   0,1,6200  0,50  50%


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Resolução

O problema já nos deu diretamente o valor de R (taxa real): 100% = 1. Calculemos a taxa de juros aparente no período.

M = C ⋅ (1 + A)

n

O valor de n é igual a 1, pois a taxa real foi dada para todo o período de anos (biênio).

40.000 = 5.000 ⋅ (1 + A)1 8 = 1+ A A = 7 Para calcular a inflação no período, vamos utilizar a fórmula descrita anteriormente. You're Reading a Preview

A = I + R + I ⋅ R


7 = I + 1 + I ⋅1


6 = I + I 2 ⋅ I = 6 I = 3

 Para transformar a inflação em termos percentuais devemos Sign up to vote on this titlemultiplicar por 100%.  Useful  Not useful

I = 3 ⋅100% = 300%



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a) 11,25% b) 12,5% c) 12,85% d) 13,65% e) 13,85% Resolução Para calcular a inflação acumulada podemos uti lizar a seguint e fórmul

 ···   10,05 · 10,04 1  0,092 1    ·1 98.280  80.000·1   0,2285      · 0,2285  0,092 0,092· 0,1365  1,092·   0,1,1036592  0,125  12,5%

Dessa forma, a inflação acumulada nos dois anos foi de:

Para o cálculo da taxa aparente, consideraremos a taxa real no período de 2 anos.

, pois queremos calcula




Letra B

 Sign up to vote on this title 1º da Lei 11.948 de 28 de

EC 27. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) O artigo junh Useful Not useful de 2007, que dispõe sobre o salário mínimo apartir de 1º de abril de 2007, transcrito a seguir: “A partir de 1º de abril de 2007, após a aplicação d percentual correspondente à variação do Índice Nacional de Preços a



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Resolução

Vejamos primeiramente qual foi o aumento aparente do salário mínimo.

  350   380   380350    350  8,57% e

A inflação no período considerado, medido pelo INPC, foi de 3,4%. Calculemos o aumento real:

Letra C

     · 0,0857  0,034 0,034· 0,0517  1,034·   0,1,0051734  0,05  5% You're Reading a Preview

7

Capitalização Contínua Unlock full access with a free trial.

Voltemos à fórmula

  ·

Download . With Free Trial

Essa formula é a base para virtualmente todos os cálculos financeiro aplicando-se a contas bancárias, empréstimos, hipotecas e anuidades.

Alguns bancos calculam o juro acumulado não uma vez, mas várias vezes p ano!

 Se, por exemplo, uma taxa de juros anual Sign up tode vote 5% on this é title capitalizad semestralmente, o banco usará metade da taxa de juros como taxa p Not useful  Useful anual período. Daí que, num ano, um capital inicial de R$ 100,00 será composto dua vezes, cada vez a uma taxa de 2,5%. Assim, teremo



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⎛ ⎝

12

M = 100 ⋅ ⎜1 +

0,05 ⎞

⎟

12 ⎠

M = 105,11 Cerca de 11 centavos a mais do q ue o mesmo din heiro renderi a se foss comp osto anualmente a 5%.

Suponha que a capitalização será feita 1000 vezes ao ano . O banco usa taxa de juros anual dividida por 1000. A taxa usada seria igual a 5% dividid por 1000. O montante obtido seria igual a

⎛ ⎝

M = 100 ⋅ ⎜1 +

1000

0,05 ⎞

⎟

1000 ⎠

M = 105,12


Cerca de 12 centavos a mais do q ue o mesmo din heiro renderi a se foss Unlock full access with a free trial. comp osto anualmente a 5%. Download With Free Trial

Parece que qualquer aumento no número de capitalizações no período nã afetará o resultado – as mudanças acontecerão em dígitos cada vez meno significativos.

Mas será que esse padrão continua? É possível que, não importa o quã elevado seja n, os valores do montante estacionem em algum ponto. Esta intrigante possibilidade foi de fato confirmada!!




Useful valor useful  Not Imagine agora que queiramos capitalizar o nosso principal a TOD INSTANTE. Não estamos falando a cada hora, nem a cada minuto, nem mui menos a cada segundo. Estamos falando a TODO INSTANTE. Qual seria

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Calcule o montante após 20 anos, da aplicação, a juros compostos, de u capital de R$ 1.000,00, à taxa de 5% ao ano, considerando a capitalizaçã contínua. Resolução Devemos apli car a fórmul a do mont ante em uma capitali zação cont ínua.

M = C ⋅ e

in

⋅ M = 1.000 ⋅ e0,05 20

M = 1.000 ⋅ e1 = 1.000 ⋅ 2,71828 M = 2.718, 28

EC 28. (Inspetor Fiscal – Prefeitura do Município de São Paulo 1998/ESAF) Um capital de R$ 10.000,00 é aplicado à taxa mensal de 5% p um prazo de 40 meses, com regime de capitalização contínua. Qual montante resultante dessa aplicação? (Use e = 2,7) You're Reading a Preview

a) R$ 62.300,00 b) R$ 63.900,00 c) R$ 66.700,00 d) R$ 72.900,00 e) R$ 75.600,00



Resolução Devemos apli car a fórmul a do mont ante em uma capitali zação cont ínua.

M = C ⋅ e

in




M = 10.000⋅ 2,7

Useful 0,05⋅40

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EC 29. (SEFAZ-SP 2009/FCC) Considere que o logaritmo neperiano 1,8 é igual a 0,6. Aplicando um capital de R$ 25.000,00 a uma taxa de 4% a mês, com capitalização contínua, verifica-se que o montante, no momento d resgate, é igual a R$ 45.000,00. O período de aplicação é igual a a) 12 meses. b) 15 meses. c) 18 meses. d) 21 meses. e) 24 meses. Resolução

O montante, na capitalização contínua é dado por

   ·

45.000  25.000·, ,  1,8 ln ,  ln 1,8 0,04n·ln  ln 1,8 0,04 ·1  0,6   0,0,064  15  You're Reading a Preview



Letra B

EC 30. (SEFAZ-SP 2006/FCC) Um capital de R$ 50.000,00 foi aplicad taxa semestral , durante 2 anos, com capitalização contínua, apresentando, n final do período, um montante igual a R$ 200.000,00. Utilizando é o logaritmo neperiano), tem-se que é igual a



a) 14,02% b) 17,25% c) 30% d) 34,5%

ln 2  0,69




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Letra D

ln   ln 4 ln   ln 2 4 ·  2·2 4 ·1  2·0,69   0,345  34,5%




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Descontos Compostos

A operação de desconto foi estudada na aula passada. Foi visto que descont é o abatimento que se faz no valor de uma dívida quando ela é negociad antes da data de vencimento. Os principais elementos de uma operação d desconto são: Valor Nominal, Valor de Face, Valor Futuro (N)

É o valor que está escrito no título. valor que deve ser pago na data vencimento.

Valor Atual, Valor Presente, Valor Líquido , Valor Descontado (A)

O valor líquido é obtido pela difere entre o valor nominal e o desconto.

Descon to (D)

Desconto é o abatimento que se faz valor de uma dívida quando ela negociada antes da data de vencime É a diferença entre o valor nominal valor atual. You're Reading a Preview

Não imp orta qual o ti po de desconto que estamos trabalhando: o v alor access with a free trial. atual sempre será igual aoUnlock valorfullnominal menos o desconto.

   


Os elementos da operação de desconto composto são os mesmos do elementos da operação de desconto simples. A única coisa que irá mudar é natureza da taxa.

O cálculo do desconto pode ser feito por dois critérios. Existe o descon racional , também chamado de desconto por dentro . O desconto racional é  Sign upotodesconto vote on this title comercial desconto “teoricamente” correto. Existe também useful mas mui  Useful  Not desconto por fora. É o desconto sem fundamentação teórica, praticado no mercado financeiro.



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8.1

Desconto Racional (por dentro) Composto

A operação d e descont o racio nal comp osto , por def in iç ão, é equiv alen uma operação de juros com postos.

Enquanto que na operação de juros compostos, o nosso objetivo é projetar u valor presente para o futuro, na operação de desconto racional compost teremos como objetivo projetar o Valor Nominal para a data atual.

O desconto composto por dentro ou desconto composto racional é obtid aplicando-se a taxa de desconto ao valor atual do título, ou seja, correspond ao juro simples sobre o valor atual durante o tempo que falta para o venciment do título. J á que o desconto racional simples equivale à operação de juros simp podemos fazer um desenho comparativo. Montante

Capital Inicial

Juros

You're Reading a Preview J UROS COMP TOS Unlock full access withOS a free trial.


Valor Nominal Desconto

Valor Atual

DESCONTO RAC IONAL 0 (Data zero)

Linha do tempo




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 Not useful

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O valor atual do desconto racional composto corresponde ao capit inicial da operação de juros compos tos. Æ

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Correspon dência entre os elementos das operações Juros Compostos

Desconto Racional Composto (por dentro)

Capit al Inicial (C)

Valor Atual (A)

Montante (M)

Valor Nominal (N)

Juro (J)

Desconto (D)

Vamos então “deduzir” a fórmula da operação de desconto racional simple (por dentro).

= C ⋅ (1 + i )

Juros Compostos:

Desconto Racional Simples:

n

N = A ⋅ (1 + i )

n




Vejamos um esquema comparativo entre o regime simples e o regim composto. Desconto Racional Simples (por dentro)

N = A ⋅ (1 + i ⋅ n)

Desconto Racional Composto (por dentro) n N = A ⋅ (1 + i )  Sign up to vote on this title



Useful

 Not useful

A única coisa que mudou foi o “lugar do n”. Ao passarmos do regime simple



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capital inicial. Obviamente, no desconto racional composto (que equivale a juro simples) a taxa incide sobre o valor atual. O desconto comercial composto não é o “teoricamente” correto. A taxa no desconto comercial composto incide sobre o valor nominal. Vimos a semelhança entre os descontos racionais simples e composto.

Desconto Racional Simples (por dentro)

Desconto Racional Composto (por dentro)

N = A ⋅ (1 + i ⋅ n)

n N = A ⋅ (1 + i )

Qual é a diferença entre as duas fórmulas? Que no desconto composto o “n” f para o expoente. O mesmo acontecerá com o desconto comercial composto.

You're Reading a Preview Desconto Comercial Simples Desconto Comercial Composto (por (por fora) fora) Unlock full access with a free trial.

n With Free Trial A = N ⋅ (1 − i ⋅ nDownload ) A = N ⋅ (1 − i )

Não importa qual o tipo de desconto que estamos trabalhando: o valo atual sempre será igual ao valor nominal menos o desconto.

   




Useful é  Not useful dois ano  título EC 31. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um descontado antes de seu vencimento segundo o critério do desconto racional composto, a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, apresentando um valor atual



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Sabemos que a operação de desconto racional (por dentro) composto equivale à operação de juro composto. Assim,

   ·1    20.000·10,10  24.200     24.1 200·10,1  19.602,00

A relação entre o valor atual e o valor nominal na operação de desconto comercial composto é a seguinte:

Letra E

EC 32. (SUSEP 2010/ESAF) Um título sofre um desconto racion composto dois meses antes do seu vencimento a uma taxa de 5% ao mê Dado que o valor do desconto é R$ 10 000,00, qual o valor mais próximo d valor nominal do título? a) R$ 100 000,00. b) R$ 107 561,00. c) R$ 102 564,00. d) R$ 97 561,00. e) R$ 110 000,00. Resolução



A op eração de descont o racional comp osto equiv ale a um a operação ju ro s c om post os.

N  A·1i N  A·10,05 N  1,1025·A




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 Not useful

O desconto é a diferença entre o valor nominal e o valor atual.

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EC 33. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Um título com valor de R$ 50.000 e 2 anos para o vencimento é descontado, no regime d juros compostos, com uma taxa de desconto comercial de 20% ao ano. O v do desconto composto é, então, a) R$ 10.000,00 b) R$ 18.000,00 c) R$ 22.653,86 d) R$ 24.000,00 e) R$ 20.000,00 Resolução

No desconto comercial composto, a relação entre o valor atual e o valo nomi nal do títu lo é dada pela expressão

   ·1   50.000·10,2  32.000

Assim, o desconto composto é igual a D = 50.000 – 32.000 = 18.000,00. Letra B


EC 34. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Com relação aos conceitos de desconto bancário e comercial, nos regimes de juros simples e Download With Free Trial compostos, analise as afirmativas a seguir:

I. A fórmula do Desconto Racional, no regime de juros simples, é dada po , em que VF é o valor futuro, n é o número de períodos e i é taxa de juros.

  

II. A relação entre a taxa de desconto racional (i) e a taxa de descon  comercial (d), ambas no regime de juros simples, éup expressa Sign to vote on por this title

  1 ,

Em que n é o número de períodos.

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e) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas. Resolução

I. Falsa. A operação de desconto racio nal si mples, por defin iç ão, é equiv alen uma operação de juros simples.

Enquanto que na operação de juros simples, o nosso objetivo é projeta um valor presente para o futuro, na operação de desconto racion simples teremos com o objeti vo pr ojetar o Valor Nomi nal para a data atua

O desconto simples por dentro ou desconto simples racional é obtid aplicando-se a taxa de desconto ao valor atual do título, ou seja, correspond ao juro simples sobre o valor atual durante o tempo que falta para o venciment do título. Æ

O valor atual do desconto racional simpl es corresponde ao capital inici

da operação de juros simples. Æ

O valor nominal do desconto racional simples corresponde ao montan

da operação de juros simples. You're Reading a Preview

Unlock access with a racional free trial. O desconto da operação defulldesconto simples corresponde a ju ro da operação de juros simples.

Æ


Podemos dizer que o valor nominal é o montante do valor atual em um operação de juros simples em que o juro é igual ao desconto racion simples!!

Vamos então “deduzir” as fórmulas da operação de desconto racional simple (por dentro).

J = C ⋅ i ⋅n


Juros Simples:

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Vejamos: Para fazermos uma comparação entre as taxas, devemos ter mesmo valor atual e o mesmo valor nominal. Dessa forma, os desconto também são iguais.

Lembrando que

             1     1   1      1 1      1    You're Reading a Preview

A proposição II, portanto, é verdadeira . Unlock full access with a free trial.

III. Verdadeira. A taxa de desconto comercial composto é aplicada no val Download With Free Trial nominal (valor futuro). Letra D

EC 35. (AFRF 2001 ESAF) Um título foi descontado por R$ 840 quatro meses antes de seu vencimento. Calcule o desconto obtid considerando um desconto racional composto de 3% ao mês.  Sign up to vote on this title

a) R$ 140,00 b) R$ 104,89 c) R$ 168,00

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n N = A ⋅ (1 + i )

N = 840 ⋅ (1 + 0, 03)

4

N = 840 ⋅1,03

4

Para calcular o valor de 1,034, calcularemos primeiramente 1,032 e em seguid multiplicaremos 1,032 por 1,032 1,032 = 1,0609 1,034 = 1,032 x 1,032 = 1,0609 x 1,0609 = 1,1255088 4 N = 840 ⋅1, 03 = 840 ⋅1,1255088 ≅ 945, 43 .

Como estamos interessados no valor do desconto, utilizaremos o fato de qu em qualquer tipo de desconto o valor do desconto é igual à diferença entre valor nominal e o valor atual. You're Reading a Preview

D = N − A


Download With Free Trial D = 945, 43 − 840 = 105, 43

Letra E

EC 36. (Analista de Compras de Recife 2003 – ESAF) Um título descontado por R$ 10.000,00 quatro meses antes de seu vencimento a um taxa de 3% ao mês. Calcule o valor nominal do título considerando que  desconto usado foi o desconto racional composto. SignDespreze up to vote onos thiscentavos. title a) R$ 11.255,00 b) R$ 11.295,00



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N = 10.000 ⋅ (1 + 0, 03)

4

4 N = 10.000 ⋅1, 03 = 10.000 ⋅ 1,1255088

N = 11.255,00 Letra A

EC 37. (AFRF 2002 ESAF) Um título sofre um desconto compos racional de R$ 6.465,18 quatro meses antes do seu vencimento. Indique valor mais próximo do valor descontado do título, considerando que a taxa d desconto é de 5% ao mês. (dado que 1,054 = 1,215506) a) R$ 25.860,72 b) R$ 28.388,72 c) R$ 30.000,00 d) R$ 32.325,90 e) R$ 36.465,18 Resolução


Temos a seguinte expressão que relaciona o valor nominal e o v descontado no desconto racional composto. Download With Free Trial n N = A ⋅ (1 + i )

O que acontece aqui é que o problema nos forneceu o valor do desconto. desconto é a diferença entre o valor nominal e o valor atual. Assim,




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N − A = 6.465,18

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4 A ⋅1, 05 − 1 ⋅ A = 6.465,18

Podemos então colocar A em evidência: 4 A ⋅ (1, 05 − 1) = 6.465,18

A = A =

6.465,18 1,05 − 1 4

=

6.465,18 0,215506

6.465,18 1, 215506 − 1

= 30.000,00

Letra C

EC 38. (CEF 2008 CESGRANRIO) Um título de valor nominal 24.200,00 será descontado dois meses antes do vencimento, com tax You're Reading a Preview composta de desconto de 10% ao mês. Sejam D o valor do desconto comerci Unlock full access with a free trial. composto e d o valor do desconto racional composto. A diferença D – d, e reais, vale a) 399,00 b) 398,00 c) 397,00 d) 396,00 e) 395,00


Resolução Dados do problema: N = 24.200,00


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A = 24.200 ⋅ (1 − 0,10)

2

2 A = 24.200 ⋅ 0, 90 = 24.200 ⋅ 0,81

A = 19.602,00 E como sabemos que o desconto, qualquer que seja a modalidade, é a diferença entre o valor nominal e o valor atual, temos que D = 24.200 – 19.602 D = 4.598,00 2º) Desconto racional composto (d)

Sabemos que é válida a seguinte expressão no desconto racional composto: n N = A ⋅ (1 + i ) You're Reading a Preview

2 24.200 (1 0,10) = ⋅ + A Unlock full access with a free trial. Download With Free Trial

24.200 = A ⋅1, 21 A =

24.200 1, 21

= 20.000,00 

to vote this title E como sabemos que o desconto, qualquerSign queupseja a on modalidade, éa Not useful  Useful diferença entre o valor nominal e o valor atual,temos que

d = 24.200,00 – 20.000,00

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C P F : 2 0 9 1 9 7 8 6 4 7 2

desconto racional composto. Calcule o novo desconto, considerando a mesm taxa de 3% ao mês. a) R$ 600,00 b) R$ 620,15 c) R$ 624,47 d) R$ 643,32 e) R$ 672,00 Resolução

Temos nessa questão, novamente, dois tipos de desconto. Um descont comercial simples e um desconto racional composto. Dois regime simples e composto. Duas modalidades: comercial e racional. 1º) Desconto Comerc ial Simpl es

Sabemos, pela teoria exposta na aula passada, que a taxa do descon comercial simples é incidida sobre o valor nominal ! Assim, temos que D

= N ⋅i ⋅n You're Reading a Preview = N ⋅ 0, 03 ⋅ 4 672 Unlock full access with a free trial.

672 = N ⋅ 0,12


N =

672 0,12

=

672,00 0,12

=

67.200 12

= 5.600

Assim, o valor nominal é igual a R$ 5.600,00. 2º) Desconto Racional Compost o




 Useful  Not useful Lembremos que o desconto racional composto equivale a uma operaçã de juros compostos. Temos a seguinte relação:

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C P F : 2 0 9 1 9 7 8 6 4 7 2

A =

5.600 (1 + 0, 03) 4

Para efetuar esse cálculo você terá duas saídas. i)

A =

ii)

Efetuar o cálculo na base da mão.

5.600 (1 + 0, 03)

4

=

5.600 1,1255088

= 4.975,53

Utilizando tabelas financeiras.

Nessa prova do MDIC realizada pela ESAF, foram fornecidas duas tabelas. Uma que fornece os valores de (1+i)n. You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.


Essa tabela não ajuda muito. Pois o nosso real problema é efetuar

5.600

 Sign up to vote on this title1,125508



A outra tabela fornecida é a seguinte.

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C P F : 2 0 9 1 9 7 8 6 4 7 2

E no presente momento, para que nos serve? Para utilizarmos um artifício. O artifício serve para calcular os valores de

1

(1 + i )

n

. No nosso caso, pa

5.600 1 5.600 A = = ⋅ calcular (1 + 0, 03)4 (1 + 0, 03)4 Temos a seguinte relação: 1

(1 + i )

n

= an¬i − a( n −1)¬i

Os valores de an¬i constam na tabela acima. A d emonstração dest a rel ação se encont ra no fi nal desta aula.

A =

5.600 (1 + i )

4

= 5.600 ⋅

1

+

= 5.600 ⋅ ⎡⎣ an¬i − a( n −1)¬i ⎤⎦

4 You're(1 Reading i) a Preview


A = 5.600 ⋅ [ a4 ¬3% − a3¬3% ] Download With Free Trial

Esses valores são tabelados.




Useful

 Not useful

A = 5.600 ⋅ [3 717098 − 2 828611]



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C P F : 2 0 9 1 9 7 8 6 4 7 2

Lembremos que o desconto racional composto equivale a uma operaçã de juros compostos. Temos a seguinte relação: n N = A ⋅ (1 + i )

Assim,

A =

N

(1 + i )

n

=

5.600 (1 + i)

n

= 5.600 ⋅ ⎡⎣ an¬i − a( n −1)¬i ⎤⎦

A = 5.600 ⋅ [ a4 ¬3% − a3¬3% ] Esses valores são tabelados.


A = 5.600 ⋅ [3, 717098 − 2,828611] Download With Free Trial

A = 5.600 ⋅ 0,888487 A = 4.975,53 .

Ou seja, utilizando esse artifício, trocamos uma divisão de um número natura por um número com 6 casa decimais para efetuar uma subtração euma Sign up to vote on this title multiplicação. Useful Not useful 



O novo desconto será d = N – A = 5.600 – 4975,53 = 624,47



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C P F : 2 0 9 1 9 7 8 6 4 7 2

d) R$ 90,00 e) R$ 82,57 Resolução Valor de face é o mesmo que valor nom inal.

Vejamos a expressão do desconto racional composto: n N = A ⋅ (1 + i )

A = A = 1.000 ⋅

1 (1 + i)

n

N

(1 + i ) n

= 1.000 ⋅ ⎡⎣ an¬i − a( n −1)¬i ⎤⎦

⋅ [ a3¬a3%Preview − a2¬3% ] A = 1.000 You're Reading Unlock full access with a free trial.

Vejamos a tabela fornecida na prova. Download With Free Trial


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A = 915,14 Dessa forma, o valor do desconto é 1.000 – 915,14 = 84,86 Letra B

EC 41. (Fiscal de Rendas – SP 2009/FCC) Um título é descontado anos antes de seu vencimento, a uma taxa positiva ao ano. Se for utilizado desconto racional composto, o valor atual do título é igual a R$ 25.000,00 e, s for utilizado o desconto comercial composto, o valor atual é igual a R 23.040,00. O valor nominal deste título é igual a



a) R$ 40.000,00 b) R$ 36.000,00 c) R$ 34.000,00 d) R$ 32.000,00 e) R$ 30.000,00 Resolução 1º) Desconto Racional Compost o

  ·1   25.000·1    ·1   1  23.040   1



2º) Descont o Comercial Compos to




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 Not useful



Como o valor nominal é o mesmo nos dois descontos, podemos igualar a duas expressões obtidas:



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1 · 1  4850 1  0,96   0,04   0,2   25.000·1   25.000·10,2  36.000

Sabemos que:

Letra B 8.3

Demonstração da fórmula dos valores tabelados

Queremos mostrar que an¬i − a( n −1)¬i =

an¬i − a( n−1)¬i =

1 (1 + i ) n

(1 + i) n − 1 i ⋅ (1 + i )

n

−

. (1 + i) n−1 − 1 i ⋅ (1 + i )

n −1


Unlock full access with a free trial. devemos calcular o m.m. Para subtrair frações de denominadores diferentes, dos denominadores. Em seguida, dividir o m.m.c. por cada denominador Download With Free Trial n i ⋅ (1 + i ) = 1+ i multiplicar pelo numerador. Observe que n i ⋅ (1 + i ) −1

an¬i − a( n−1)¬i =

(1 + i) n − 1

an¬i − a( n −1)¬i =

i ⋅ (1 + i )

n

−

(1 + i) n−1 − 1 i ⋅ (1 + i )

n −1

=

(1 + i) n − 1 − ⎡⎣(1 + i) n−1 − 1⎤⎦ ⋅ (1 + i ) i ⋅ (1 + i ) n

n (1 + i) n − 1 − (1 + i ) n + (1 + i ) Sign(1up 1+ i + toi )vote − (1 + i )n − 1+ on this title

i ⋅ (1 + i )

n

=



Useful

(1 + i )n − (1 + i )n 1 + 1 + i

(1 +useful i) i ⋅Not n

i

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9

Relação das questões comentadas

EC 1. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) O valor de u investimento de R$ 20 000,00, a uma taxa de juros compostos de 50% ao an ao final de dois anos é a) R$ 45.000,00 b) R$ 47.500,00 c) R$ 60.000,00 d) R$ 90.000,00 e) R$ 50.000,00

EC 2. (BACEN 2010/CESGRANRIO) Um investidor aplicou R$ 20.000,00 num CDB com vencimento para 3 meses depois, a uma taxa composta de 4% a mês. O valor de resgate dessa operação foi, em reais, de (Nota: efetue a operações com 4 casas decimais) a) 20.999,66 b) 21.985,34 c) 22.111,33 d) 22.400,00 e) 22.498,00

You're Reading a Preview EC 3. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Os juros auferidos pela aplicação de Unlock full access with a free trial.anos, a uma taxa de juro capital no valor de R$ 12.500,00, durante dois compostos de 8% ao ano, são iguais aos da aplicação de um outro capital n Download Trial ao ano. O tempo em que valor R$ 10.400,00, a juros simples, à With taxaFree de 15% segundo capital ficou aplicado foi igual a

a) 22 meses b) 20 meses c) 18 meses d) 16 meses e) 15 meses




Useful Notjuros useful composto EC 4. (AFRE-SC 2010/FEPESE) Suponha que uma taxade de 10% ao mês acumule no final de 5 meses $ 10.000,00. Calcule o val inicial do investimento e assinale a alternativa que indica a resposta correta



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de 8% ao semestre. Aplicou o restante do capital, também durante um ano, uma taxa de juros simples de 4% ao trimestre. A soma dos juros desta aplicações foi igual a R$ 4.080,00. O montante referente à parte do capit aplicado a juros compostos apresentou o valor de a) R$ 14.400,00. b) R$ 14.560,00. c) R$ 14.580,00. d) R$ 16.000,00. e) R$ 16.400,00.

EC 6. (CEF 2004 FCC) Um capital de R$ 500,00 foi aplicado a juro simples p 3 meses, à taxa de 4% ao mês. O montante obtido nessa aplicação foi aplicad a juros compostos por 2 meses à taxa de 5% ao mês. Ao final da segund aplicação, o montante obtido era de a) R$ 560,00 b) R$ 585,70 c) R$ 593,20 d) R$ 616,00 e) R$ 617,40

EC 7. (AFRE-CE ESAF 2006) Metade de um capital foi aplicada a juro compostos à taxa de 3% aoYou're mêsReading por uma Preview prazo de doze meses enquanto outra metade foi aplicada àUnlock taxafullde 3,5% ao mês, juros simples, no mesm access with a free trial. prazo de doze meses. Calcule o valor mais próximo deste capital, dado que a duas aplicações juntas renderam umWith juroFree de Trial R$ 21.144,02 ao fim do praz Download 12 (Considere que 1,03 = 1,425760) a) R$ 25 000,00. b) R$ 39 000,00. c) R$ 31 000,00. d) R$ 48 000,00. e) R$ 50 000,00. Sign up to vote on this title



EC 8. (AFRE-MG ESAF 2005) A que taxa mensal compostos u Not useful  Usefuldejuros capital aplicado aumenta 80% ao fim de quinze meses.

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EC 9. (Auditor Interno do Poder Executivo-Secretarias de Estado da Fazenda da Administração – 2005 – FEPESE) Determine o tempo em meses que u capital aplicado a uma taxa de juro composto de 3,00% ao mês será triplicado Informações adicionais: log 3 0,48 e log 1,03 0,012.



Assinale abaixo a única alternativa correta.



a) 5 meses b) 10 meses c) 20 meses d) 30 meses e) 40 meses

EC 10. (CEF 2008 CESGRANRIO) O gráfico a seguir representa evoluções no tempo do Montante a J uros Simples e do Montante a J Compostos, ambos à mesma taxa de juros. M é dado em unidades monetária e t, na mesma unidade de tempo a que se refere à taxa de juros utilizada.



Analisando-se o gráfico, conclui-se que para o credor é mais vantajos emprestar a juros

a) compostos, sempre. b) compostos, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de  tempo. Sign up to vote on this title c) simples, sempre.  Useful  Not useful d) simples, se o período do empréstimo for maior do que a unidade de tempo. e) simples, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo

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EC 12. (AFRE – PB 2006 FCC) Um capital no valor de R$ 20.000,00 investido a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, durante 2 anos e meses. O montante no final do período, adotando a convenção linear, foi igu a a) R$ 25.500,00 b) R$ 24.932,05 c)) R$ 24.805,00 d) R$ 23.780,00 e) R$ 22.755,00

EC 13. (BESC 2004/FGV) O montante de um principal de R$ 300,00 em 2 meses e 10 dias, a juros de 10% ao mês pela convenção linear, é igual a: a) R$ 370,00 b) R$ 372,00 c) R$ 373,00 d) R$ 375,10 e) R$ 377,10

EC 14. (AFRF 2003/ESAF) Um capital é aplicado a juros compostos taxa de 40% ao ano durante um ano e meio. Calcule o valor mais próximo d perda percentual do montante o seu cálculo pela convençã You'reconsiderando Reading a Preview exponencial em relação ao seu cálculo pela convenção linear, dado que 1,40 Unlock full access with a free trial. =1,656502. a) 0,5% b) 1% c) 1,4% d) 1,7% e) 2,0%


EC 15. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) J osé dispõe de R$ 10.000,00 para apli durante seis meses. Consultando determinado banco, recebeu as seguinte  propostas de investimento: Sign up to vote on this title I – J uros simples de 2% ao mês. II – J uros compostos de 1% ao mês.

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Useful

 Not useful

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EC 16. (CEF 2008 CESGRANRIO) Qual a taxa efetiva semestral, sistema de juros compostos, equivalente a uma taxa nominal de 40% a quadrimestre, capitalizada bimestralmente? a) 75,0% b) 72,8% c) 67,5% d) 64,4% e) 60,0% EC 17. (AFRF 2001/ESAF) Indique a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros nominal de 12% ao ano com capitalização mensal. a) 12,3600% b) 12,5508% c) 12,6825% d) 12,6162% e) 12,4864%

EC 18. (Auditor Fiscal – Pref. de Fortaleza 2003/ESAF) O capital de 20.000,00 é aplicado à taxa nominal de 24% ao ano com capitalizaçã trimestral. Obtenha o montante ao fim de dezoito meses de aplicação. a) R$ 27.200,00 You're Reading a Preview b) R$ 27.616,11 c) R$ 28.098,56 Unlock full access with a free trial. d) R$ 28.370,38 e) R$ 28.564,92 Download With Free Trial

EC 19. (SUSEP 2010/ESAF) No sistema de juros compostos, o Banco oferece uma linha de crédito ao custo de 80 % ao ano com capitalizaçã trimestral. Também no sistema de juros compostos, o Banco Y oferece mesma linha de crédito ao custo dado pela taxa semestral equivalente à tax cobrada pelo Banco X. Maria obteve 100 unidades monetárias junto ao Banc X, para serem pagas ao final de um ano. Mário, por sua vez, obteve 10 unidades monetárias junto ao Banco Y para serem pagas ao final de u  Sign up to vote on this title semestre. Sabendo-se que Maria e Mário honraram seus compromissos no respectivos períodos contratados, então os custos percentuais efetivos pago  Useful  Not useful por Maria e Mário, foram, respectivamente, iguais a:

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EC 20. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) A taxa de jur compostos anual equivalente à taxa de 30% ao quadrimestre é a) 114,70% b) 107,55% c) 109,90% d) 90,00% e) 119,70%

EC 21. (DNOCS 2010/FCC) Uma pessoa fez um empréstimo em u banco no valor de R$ 25.000,00, tendo que pagar todo o empréstimo após 1 meses a uma taxa de juros de 24% ao ano, com capitalização mensal. O valo dos juros a serem pagos no vencimento pode ser obtido multiplicando R 25.000,00 por: a) b) c) d) e)

18· 1,02√ 11,361 √ 1,24 1 18· 3· 1 , 2 41 √  6· √ 1,24 1

EC 22. (AFRM – Pref.You're de Angra dos Reis 2010/FGV) Um emprést Reading a Preview pós-fixado foi pago com uma taxa aparente de 23,20%. Sabendo-se qu full access with a free trial. foi de 10%, a taxa de juro a taxa de inflação no Unlock período do empréstimo real foi de

a) 12,00% b) 25,52% c) 16,52% d) 33,20% e) 13,20%


EC 23. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um investidor aplicou o capital  R$ 24.000,00, resgatando todo o montante umonano. Sabe-se que Signapós up to vote this title taxa real de juros desta aplicação e  a Useful taxa de Not useful do períod  inflação correspondente foram iguais a 10% e 2,5%, respectivamente. montante resgatado pelo investidor foi de

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EC 24. (BESC 2004/FGV) Uma rentabilidade nominal de 80%, em período em que a inflação foi de 20%, equivale a uma rentabilidade re de: a) 20% b) 44% c) 50% d) 55% e) 60%

EC 25. (BNB 2004 ACEP) A quantia de R$ 5.000,00 foi aplicada por período de 2 anos, transformando-se em R$ 40.000,00. Se rentabilidade real no período foi de 100%, qual a inflação medida n mesmo período? a) 100% ao período b) 200% ao período c) 300% ao período d) 400% ao período e) 500% ao período

EC 26. (SEFAZ-SP 2006/FCC) Um investidor aplicou R$ 80.000,00 início de um determinado ano e resgatou no final de dois anos montante de R$ 98.280,00, esgotando-se totalmente seu crédi You're Reading a Preview referente a esta operação. Sabe-se que a taxa de inflação referente a Unlock full access with a free trial. primeiro ano de aplicação foi de 5% e ao segundo, 4%. Então, correspondente taxa real de juros, no período desta aplicação foi de Download With Free Trial

a) 11,25% b) 12,5% c) 12,85% d) 13,65% e) 13,85%

EC 27. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) O artigo 1º da Lei 11.948 de 28de jun Sign up to vote on this title de 2007, que dispõe sobre o salário mínimo a partir de 1º de abril d Useful Not useful  1º de  2007, é transcrito a seguir: “A partir de abril de 2007, após aplicação do percentual correspondente à variação do Índice Nacion de Preços ao Consumidor – INPC, referente ao período entre 1º de ab

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EC 28. (Inspetor Fiscal – Prefeitura do Município de São Paulo 1998/ESAF) Um capital de R$ 10.000,00 é aplicado à taxa mensal d 5% por um prazo de 40 meses, com regime de capitalização contínu Qual o montante resultante dessa aplicação? (Use e = 2,7) a) R$ 62.300,00 b) R$ 63.900,00 c) R$ 66.700,00 d) R$ 72.900,00 e) R$ 75.600,00

EC 29. (SEFAZ-SP 2009/FCC) Considere que o logaritmo neperiano 1,8 é igual a 0,6. Aplicando um capital de R$ 25.000,00 a uma taxa d 4% ao mês, com capitalização contínua, verifica-se que o montante, n momento do resgate, é igual a R$ 45.000,00. O período de aplicação igual a a) 12 meses. b) 15 meses. c) 18 meses. d) 21 meses. e) 24 meses. You're Reading a Preview

EC 30. (SEFAZ-SP 2006/FCC) Um capital de R$ 50.000,00 foi aplicad Unlock full access with a free trial. taxa semestral , durante 2 anos, com capitalização contínu apresentando, no final do período, um montante igual a R$ 200.000,0 Download With Free Trial Utilizando (ln é o logaritmo neperiano), tem-se que é igual a) 14,02% b) 17,25% c) 30% d) 34,5% e) 69%

 ln 2  0,69






EC 31. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um título é descontado dois ano  Useful  Not useful antes de seu vencimento segundo o critério do desconto racional composto, a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano,

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EC 32. (SUSEP 2010/ESAF) Um título sofre um desconto racion composto dois meses antes do seu vencimento a uma taxa de 5% a mês. Dado que o valor do desconto é R$ 10 000,00, qual o valor ma próximo do valor nominal do título? a) R$ 100 000,00. b) R$ 107 561,00. c) R$ 102 564,00. d) R$ 97 561,00. e) R$ 110 000,00.

EC 33. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Um título co valor de R$ 50.000 e 2 anos para o vencimento é descontado, no regim de juros compostos, com uma taxa de desconto comercial de 20% a ano. O valor do desconto composto é, então, a) R$ 10.000,00 b) R$ 18.000,00 c) R$ 22.653,86 d) R$ 24.000,00 e) R$ 20.000,00 You're Reading a Preview EC 34. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Com relação aos conceitos de desconto bancário e comercial, nos regimes de juros full access with a free trial. simples e compostos,Unlock analise as afirmativas a seguir:

Downloadno With Free Trial I. A fórmula do Desconto Racional, regime de juros simples, é dada po , em que VF é o valor futuro, n é o número de períodos e i é taxa de juros.

  

II. A relação entre a taxa de desconto racional (i) e a taxa de descon comercial (d), ambas no regime de juros simples, é expressa por

  1 ,

Em que n é o número de períodos.




Useful



 Not useful

III. A relação entre Valor Presente (VP) e Valor Futuro (VF), no regime de juro compostos e usando-se a taxa de desconto comercial, é expressa por:

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EC 35. (AFRF 2001 ESAF) Um título foi descontado por R$ 840 quatro meses antes de seu vencimento. Calcule o desconto obtid considerando um desconto racional composto de 3% ao mês. a) R$ 140,00 b) R$ 104,89 c) R$ 168,00 d) R$ 93,67 e) R$ 105,43

EC 36. (Analista de Compras de Recife 2003 – ESAF) Um título descontado por R$ 10.000,00 quatro meses antes de seu vencimento uma taxa de 3% ao mês. Calcule o valor nominal do título considerand que o desconto usado foi o desconto racional composto. Despreze o centavos. a) R$ 11.255,00 b) R$ 11.295,00 c) R$ 11.363,00 d) R$ 11.800,00 e) R$ 12.000,00 You're Reading a Preview

EC 37. (AFRF 2002 ESAF) Um título sofre um desconto compos Unlock full access with a free trial. racional de R$ 6.465,18 quatro meses antes do seu vencimento. Indiqu o valor mais próximo do valor descontado do título, considerando que Download With Free Trial taxa de desconto é de 5% ao mês. (dado que 1,054 = 1,215506) a) R$ 25.860,72 b) R$ 28.388,72 c) R$ 30.000,00 d) R$ 32.325,90 e) R$ 36.465,18 Sign up to vote on this title



EC 38. (CEF 2008 CESGRANRIO) Um título de valor nominal R  Useful  Not useful 24.200,00 será descontado dois meses antes do vencimento, com tax composta de desconto de 10% ao mês. Sejam D o valor do descon

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C P F : 2 0 9 1 9 7 8 6 4 7 2

EC 39. (MDIC – 2002 ESAF) Um título deveria sofrer um descon comercial simples de R$ 672,00 quatro meses antes do seu venciment Todavia uma negociação levou à troca do desconto comercial sim por um desconto racional composto. Calcule o novo descont considerando a mesma taxa de 3% ao mês. a) R$ 600,00 b) R$ 620,15 c) R$ 624,47 d) R$ 643,32 e) R$ 672,00

EC 40. (APOFP – SEFAZ – SP 2009 ESAF) Um título no valor de face R$ 1.000,00 deve ser descontado três meses antes do seu venciment Calcule o valor mais próximo do desconto racional composto à taxa d desconto de 3% ao mês. a) R$ 92,73 b) R$ 84,86 c) R$ 87,33 d) R$ 90,00 e) R$ 82,57


Unlock full access with a free trial. EC 41. (Fiscal de Rendas – SP 2009/FCC) Um título é descontado anos antes de seu vencimento, a uma taxa positiva ao ano. Se f Download With Free Trial utilizado o desconto racional composto, o valor atual do título é igual R$ 25.000,00 e, se for utilizado o desconto comercial composto, o valo atual é igual a R$ 23.040,00. O valor nominal deste título é igual a

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a) R$ 40.000,00 b) R$ 36.000,00 c) R$ 34.000,00 d) R$ 32.000,00 e) R$ 30.000,00


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