STATISTIKA DASAR DISTRIBUSI PELUANG
Dosen Pembimbing: Ika Krisdiana. S. Si
Disusun Oleh: Heri Cahyono (08411.145)
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM IKIP PGRI MADIUN 2009 STATISTIKA DASAR
Page 0
BAB I PENDAHULUAN
Distribusi peluang dibedakan atas variabel acaknya. Diketahui variabel acak (random variables) terdiri dari variabel acak diskrit dan variabel acak kontinyu. Untuk data variabel acak diskrit dikenal distribusi peluang yang terdiri dari
:
1.
Distribusi
binomial
2.
Distribusi
Multinomial
3.
Distribusi
Hipergeometrik 4. Distribusi Poisson. Keempat distribusi peluang tersebut biasa digunakan untuk mengetahui peluang dari data atau variabel acak diskrit. Sesuai dengan tujuan perkuliahan, distribusi peluang diskrit ini tidak akan banyak dijelaskan kecuali yang berhubungan dengan penggunaannya dalam kasus dengan data variansi acak diskrit. Variabel kontinyu adalah variabel random yang mempunyai nilai dalam suatu interval tertentu. Contoh, kecepatan kendaraan per jam, tinggi badan mahasiswa, besarnya pendapatan pekerja dll. Suatu fungsi yang nilainya berupa bilangan real yang ditentukan untuk setiap unsur dalam ruang sampel disebut variabel acak . Jika variabel x dan t
, ,....., dengan peluang masing-masing , ,....., , dimana + +.....+ =1 dikatakan suatu menerima suatu himpunan diskrit dari nilai-nilai
distribusi peluang diskrit untuk variabel acak x telah terdefinisi. Fungsi p(x) yang
, ,....., untuk x = , ,....., disebut
mempunyai nilai masing-masing
fungsi peluang untuk variabel acak x, harga X = x. X yang memiliki peluang bersifat variabel dan hanya memiliki harga 0,1,2 ... disebut variabel acak diskrit . Contoh
Misalkan sepasang dadu dilantunkan dan misalkan X menyatakan jumlah titik yang diperoleh. Maka distribusi peluang diberikan sebagai berikut :
X P(x)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
STATISTIKA DASAR
Page 1
Misalnya, peluang memperoleh jumlah 5 adalah
Jadi dalam 900
pelantunan dadu kita mengharapkan mengharapkan 100 pelantun memberikan jumlah 5. 5. Variabel acak yang tidak diskrit disebut variabel acak kontinue. kontinue. Jika x sebuah variabel acak konstan, maka fungsi densitas (kepadatan), f( x) dapat menghasilkan peluang untuk harga-harga x dan berlaku :
Untuk menentukan peluang harga X = x antara a dan b adalah : P (a < x < b) =
∫
Contoh 1
Sebuah variabel acak kontinu x mengambil nilai antara x = 2 dan x = 4, mempunyai fungsi densitas f(x) =
a. Tunjukkan P (2 < X < 4) = 1 b. Hitung P (2 < X < 3) 3) ! Penyelesaian Penyelesaian :
0,6 0,5 0,4 0,3 0,2
1
2
3
Grafik untuk fungsi, f(x) =
4
Pada Gambar berupa trapesium maka luasnya sama dengan jumlah kedua sisi yang sejajar dikalikan alasnya kemudian dibagi dua. Luas =
STATISTIKA DASAR
Page 2
=
( ( )
Karena f(2) =
f(4)=
=1 Maka p (2 < x < 4) = ( ( ) = = b. Bahwa jika P (2 < X < 3) = atau dengan cara ∫ ∫ Terbukti
1. DISTRIBUSI BINOMIAL
Suatu percobaan yang mempunyai 2 kemungkinan yaitu berhasil atau gagal dan dilakukan berulang-ulang dinamakan percobaan Binomial atau experiment Bernoulli, sehingga ciri-ciri percobaan Binomial adalah : 1. Percobaan terdiri atas n peristiwa 2. Dalam setiap peristiwa hasilnya dapat digolongkan sebagai berhasil atau gagal 3. Peluang berhasil dilambangkan dengan p 4. Peristiwa-peristiwa itu bersifat bebas satu sama lain Karakteristik dari binomial distribution : 1. Grafiknya discontinuous (terputus-putus) 2. Bentuknya ditentukan oleh nilai p dan n 3. Bentuknya simetris bila p = q atau p ≠ q asal n besar
STATISTIKA DASAR
Page 3
Variabel x yang menyatakan banyak keberhasilan dalam n percobaan suatu percobaan binom dan distribusinya peluangnya peluangnya disebut Distribusi disebut Distribusi Binomial dan Binomial dan nilai-nilainya dilambangkan dengan b (x; n, p). Jika peluang keberhasilan “p” dan peluang kegagalan q = 1 – p, – p, maka distribusi peluang untuk variabel acak binomial x yaitu banyaknya keberhasilan dalam n peristiwa yang bebas adalah :
b (x; n, p) = = b (x; n, p) =
Keterangan :
b = distribusi binomial x = banyaknya sukses n = banyaknya ulangan bebas p = peluang memperoleh sukses pada percobaan percobaan (ulangan) tunggal Karena distribusi binomial termasuk distribusi variabel diskrit b(x; n,p) = p (x) = P(X = x) Parameter distribusi binomial adalah dan , dimana =
np dan
=
= √ . √
Contoh 1
Di sebuah bagian kota, keperluan uang untuk membeli ganja atau sebangsanya ternyata melatarbelakangi 75% peristiwa pencurian yang terjadi. Berapa peluang bahwa tepat 2 diantara 4 kasus pencurian berikutnya dilatarbelakangi dil atarbelakangi oleh keperluan uang untuk membeli ganja ? Penyelesaian :
Diketahui p = 75 % = 0,75
q
= 1 – 1 – p p = 0,25
P (X = 2) = b (2; 4; 0,75) =
(0,75)² (0,25)² = 0,211
Jadi peluang yang ditanya adalah 0,211
STATISTIKA DASAR
Page 4
Contoh 2
Sebuah dadu dilambungkan sebanyak 5 kali. Berapa peluangnya bahwa dalam 5 kali pelambungan tersebut muncul mata dadu 2 sebanyak 3 buah ? Penyelesaian :
p = peluang muncul mata dadu 2 pada satu pelambungan =
n = 5 (banyaknya pelambungan, banyaknya ulangan) x = 3 (banyaknya muncul mata dadu 2 yang diharapkan)
P (X = 3) = b (3; 5, ) =
= (10) =
= 0,032
Contoh 3
10% dari semacam benda tergolong ke dalam kategori A. sebuah sampel berukuran 30 telah diambil secara acak. Berapa peluang sampel itu akan berisikan benda kategori A: a. semuanya b. sebuah c. dua buah d. paling sedikit sebuah e. paling banyak dua buah f. tentukan rata-rata terdapatnya kategori A Penyelesaian :
a. Kita artikan X = banyak benda kategori A. Maka
= peluang benda
termasuk kategori A = 0,10 P (X = 30) =
=
Sebuah harga yang sangat kecil yang praktis sama dengan nol.
STATISTIKA DASAR
Page 5
b. Sebuah termasuk kategori A berarti X = 1 P (X = 1) =
= 0,1409
Peluang sampel itu berisi sebuah benda kategori A adalah 0,1409 c. Di sini X = 2, sehingga : P (X = 2) =
= 0,2270
d. Paling sedikit sebuah benda tergolong kategori A, berarti X = 1, 2, 3,… , 30. Jadi, perlu P (X = 1) + P (X = 2) + …. + P (X = 30). Tetapi P (X ( X = 0) + P (X =1) + … + P (X = 30) = 1, sehingga yang dicari adalah 1 – 1 – P P 9X = 0) Sekarang P (X = 0) =
= 0,0423
Peluang dalam sampel itu terdapat paling sedikit sebuah benda kategori A adalah 1 – 1 – 0,0423 0,0423 = 0,9577 e. Terdapat paling banyak 2 buah kategori A, berarti X = 0, 1, 2. Perlu dicari P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2). Di atas, semuanya s emuanya ini telah dihitung. Hasilnya = 0,0423 + 0,1409 + 0,2270 = 0,4102 f. Didapat p = 30 (0,1) = 3 Rata-rata diharapkan akan terdapat 3 benda termasuk kategori A dalam setiap kelompok yang terdiri atas 30 buah.
2.1.2 DISTRIBUSI MULTINOMIAL
Jika percobaan dilakukan sebanyak “n” kali, peristiwa E 1, x 2 peristiwa E2, ... x k peristiwa Ek diantara n, ditentukan oleh distribusi multinomial . Jika pada satu percobaan tunggal dapat menghasilkan k kejadian
, , , …, dengan peluang berturut-turut , , , …, , maka peluang untuk mendapatkan kejadian , kejadian , kejadian , …, kejadian , ditentukan oleh : , , P( ) = Notasi lain P( ) = f( ; , ,n) Dengan
= n dan
Sedangkan 0 <
+
< 1,
STATISTIKA DASAR
=1
i = 1, 1, 2, …, k Page 6
Ada operator factorial pada definisi tersebut, yang dirumuskan oleh :
1 Contoh 1
Dalam undian dengan sebuah dadu sebanyak 12 kali, maka peluang didapat mata 1, mata 2, … , mata 6 masing-masing masing -masing tepat dua kali adalah ? Penyelesaian :
= 0,0034 Contoh 2
Dalam sebuah kotak terdapat 3 bola merah, 4 bola biru,6 dan 5 bola putih. Sebuah bola diambil dari kotak tersebut, dilihat warnanya, kemudian dikembalikan lagi ke dalam kotak. Diambil sebuah kotak lagi, dilihat warnanya, kemudian dikembalikan lagi ke dalam kotak. Hal demikian dilakukan sampai 6 kali. Dalam 6 kali pengambilan tersebut, berapa peluangnya terdapat 1 bola merah, 2 bola bola biru, dan 3 bola putih ? Penyelesaian :
= 1; = 2; = 3; n = 6; = ; = ; = h h = 0,121 = Jadi, peluang terdapat 1 bola merah, 2 bola biru, dan 3 bola putih adalah 0,121
2.1.3 DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK HIPERGEOMETRIK
Misalnya
kita
berkeinginan
untuk
mencari
peluang
untuk
mendapatkan 3 buah kartu berwarna merah dalam pengambilan 5 buah kartu bridge. Diketahui ada 26 buah kartu berwarna merah dari 52 buah kartu bridge. Pengambilan 5 buah tersebut dilakukan sekaligus (yang ini disebut sampling tanpa pengembalian). Eksperiment seperti ini disebut eksperiment
STATISTIKA DASAR
Page 7
hipergeometrik. Variabel random yang diperoleh disebut variabel random hipergeometrik. Dua sifat percobaan hipergeometrik adalah :
Suatu sampel acak berukuran n diambil dari populasi berukuran N
k dari N benda diklasifikasikan sebagai berhasil dan N – k benda diklasifikasikan sebagai gagal
Suatu variabel random X disebut mempunyai distribusi hipergeometrik dengan parameter N, n, dan k jika fungsi peluangnya dapat dinyatakan dalam bentuk :
h (x; N, n, k) = , untuk k = 0, 1, 2, ..., n Jika variabel random deskrit X mepunyai distribusi hipergeometrik dengan parameter N, n, dan k, maka rataan dan variansinya adalah : a. b.
= = n
Contoh 1
Bila 5 kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu bridge, berapa peluang diperoleh 3 kartu hati ? Penyelesaian :
Dengan distribusi hipergeometrik untuk n = 5, N = 52, k = 13 dan x = 3 maka peluang memperoleh 3 kartu hati adalah
H (3; 52, 5, 13) = = 0,0815 Contoh 2
Sekelompok manusia terdiri atas 50 orang dan 3 diantaranya lahir pada tanggal 1 Januari. Secara acak diambil 5 orang. Berapa peluangnya di antara 5 orang tadi : a. Tidak terdapat yang lahir tanggal 1 Januari b. Terdapat tidak lebih dari seorang yang lahir pada tanggal 1 Januari Penyelesaian : STATISTIKA DASAR
Page 8
a. Ambil x = bamyak orang di antara n =5 yang lahir pada tanggal 1 Januari.maka dengan N = 50, k = 3
p (0) = = 0,724 Peluangnya adalah 0,724 bahwa kelima orang itu tidal lahir pada tanggal 1 Januari b. Tidak lebih dari seorang yang lahir pada 1 Januari, berarti x = 0 dan x = 1 p (0) suadah dihitung di atas
p (1) = = 0,253 Sehingga, peluang paling banyak seorang di antara 5 orang itu yang lahir pada 1 Januari adalah 0,724 + 0,253 0,253 = 0,977 Contoh 3
Dalam pengambilan 5 buah kartu dari seperangkat kartu bridge (yang terdiri dari 52 kartu). Berapa peluang bahwa di antara 5 buah kartu yang diambil tadi terdapat 3 buah kartu berwarna merah ? Penyelesaian :
N = 52 (banyaknya kartu bridge) bridge) k = 26 (banyaknya kartu yang berwarna merah) n = 5 (banyaknya kartu yang diambil) x = 3 (banyaknya kartu merah yang diharapkan terambil)
= 0,3251 h (3; 52, 5, 26) = = Jadi, peluang bahwa di antara 5 kartu tadi terdapat 3 buah kartu berwarna merah adalah 0,3251 Contoh 4
Dari suatu percobaan hipergeometrik dengan a = 3, b = 37 dan n = 5, tentukan nilai harapan (harapan matematis) dan variansnya ? Penyelesaiam :
a=3 STATISTIKA DASAR
Page 9
b = 37 p =
=
–p = 1– =
q=1
E (X) = n . p
=5. . .
Var (X) = npq
=
=5.
= 0,3113
= 0,375
2.2 SOAL 1.
Sebuah mata uang dilambungkan 10 kali. Tentukan probabilitas munculnya sisi muka sebanyak 5 kali.
2.
Diketahui 10% dari sekumpulan kaleng cat berisi cat berwarna hijau. Diambil secara random 30 kaleng. Berapa peluang (probabilitas)nya bahwa : a. yang terambil semuanya (30 kaleng) berisi cat hijau b. yang terambil 1 kaleng berisi cat hijau c. yang terambil paling sedikit 1 kaleng berisi cat hijau d. yang terambil paling banyak 2 kaleng berisi cat hijau
3.
Dari setumpuk ember, 20% diketahui bocor. Diambil sampel sebanyak 40 secara random. Berapakah harapan matematisnya bahwa ember yang terambil tidak bocor, dan berapakah variansnya ?
4.
Apabila probabilitas bahwa seseorang akan menjawab sesuatu mail questionnaire adalah 0,20. Berapa probabilitas untuk memperoleh 0, 1, STATISTIKA DASAR
Page 10
2, 3, 4, dan 5 respon/jawaban terhadap questionnaire yang dikirimkan kepada 5 responden ? 5.
Dari benda yang dihasilkan oleh semacam mesin ternyata 10% rusak. Diambil secara random dari produksi benda itu sebanyak 10 buah untuk diselidiki. Berapa probabilitasnya dari benda yang diselidiki itu akan terdapat :
6.
a.
Tidak ada yang rusak
b.
Satu rusak
c.
Paling sedikit satu rusak
d.
Paling banyak dua rusak
Bila 2 dadu dilemparkan 6 kali, berapa peluang mendapatkan jumlah bilangan yang muncul sebesar 7 atau 11 sebanyak 2 kali, bilangan yang sama pada kedua dadu sekali, se kali, dan kemungkinan lainnya 3 kali “
7.
Sekelompok orang terdiri dari 50 orang dan 3 diantaranya lahir pada tanggal 1 Januari. Secara acak diambil 5 orang. Berapa probabilitasnya bahwa diantara 5 orang tadi, a. tidak terdapat orang yang lahir pada tanggal 1 Januari b. tidak lebih dari seorang yang lahir pada tanggal 1 Januari
8.
Lima buah kartu diambil dari 52 kartu bridge lengkap. Berapa probabilitasnya bahwa kartu yang terambil : a. sebuah kartu As b. paling sedikit 1 kartu As
9. Suatu perkumpulan perkumpulan beranggotakan 12 orang pria dan 8 orang wanita. Jika dibentuk komisi yang terdiri dari 5 orang secara random, berapakah kemungkinan komisi komisi tersebut terdiri dari : a. 3 orang pria dan 2 orang wanita b. paling sedikit terdiri dari 3 orang pria c. berjenis kelamin sama 10. Suatu komite yang terdiri atas 5 orang akan dipilih secara acak dari 3 orang ahli kimia dan 5 orang ahli fisika. Tentukan probabilitas banyaknya ahli kimia dalam komite itu ?
STATISTIKA DASAR
Page 11
BAB III PENUTUP
Setelah permasalahan-permasalahan yang
berhubungan dengan
Distribusi Peluang ini diuraikan, maka dalam bab terakhir ini kita berusaha menarik kesimpulan dari uraian-uraian yang terdapat pada bab I dan bab II, juga disampaikan saran-saran yang mungkin bermanfaat bagi calon pendidik di Jurusan Pendidikan Matematika khususnya di IKIP PGRI Madiun. 3.1
KESIMPULAN
Berdasarkan hasil deskripsi bab I dan bab II maka dapat disimpulkan sebagai berikut: A. Distribusi Binomial
Jika variable random diskrit X berdistribusi Binomial, maka : STATISTIKA DASAR
Page 12
1.
Distribusi probabilitasnya dinyatakan dengan : b (x; n, p) =
2.
.
Harapan matematis = E (X) = np Varians = Var (X) = npq Dengan n = banyaknya eksperiment p = p (sukses) q = 1 – 1 – p p = P (gagal)
B. Distribusi Multinomial
Jika X variabel random diskrit yang berdistribusi Multinomial, maka : 1.
Distribusi probabilitasnya dinyatakan dengan :
)=f( ; , ,n)= , ,
P(
C. Distribusi Hipergeometrik Hipergeometrik
Jika X variabel random diskrit yang berdistribusi Hipergeometrik, maka : 1.
Distribusi probabilitasnya dinyatakan dengan :
h (x; n, a, b) = dengan a = banyaknya unsur sukses b = banyaknya unsur gagal gagal n = banyaknya percobaan 2.
Harapan matematisnya = E (X) = np Variansnya = Var (X) = npq dengan P
3.2.
, yaitu probabilitas terjadinya unsur sukses
SARAN
Sebagai calon pendidik di Jurusan Pendidikan Matematika ada beberapa hal yang akan kami sampaikan untuk menambah wawasan calon-
STATISTIKA DASAR
Page 13
calon pendidik ketika dihadapkan dengan seorang anak didik, yaitu sebagai berikut: 1. Pendidik harus mampu berbicara menggunakan bahasa Indonesia yang baik dan benar ketika menyampaikan pengajaran kepada anak didiknya, agar anak didiknya bisa menerima dan bisa mengikuti apa yang kita sampaikan. 2. Tidak sedikit seorang anak didik beranggapan bahwa pendidik matematika adalah suatu guru yang menakutkan, menyeramkan, dan menegangkan. Maka untuk itu seorang pendidik matematika harus mampu membuat suasana tempat pengajarannya menjadi lebih hidup dan harus bisa memastikan kalau anak didiknya senang, suka, dan nyaman diajar oleh kita dan tidak menganggap kita sebagai guru yang menakutkan, juga mereka bisa menerima materi dengan baik dan tidak merasa terpaksa. 3. Untuk calon pendidik matematika khususnya IKIP PGRI Madiun dua hal yang akan kami sampaikan: a. “Belajarlah terus agar menjadi Guru yang Profesional”. b. “Berbicaralah engkau maka akan segera diketahui siapa dirimu”.
DAFTAR PUSTAKA
Budiyono, 2004. Statistika Untuk Penelitian. Penelitian. Surakarta: Universitas Sebelas Maret Press. Kustini, Cahyowati Etty Tejo Dwi. 1994. Statistika Matematika I . Jakarta: Universitas Terbuka Depdikbud. Subagyo, Pangestu, PS djarwanto. 2005 . Statistika Induktif Edisi 5. Yogyakarta: BPFE. Sudjana, 1975. Metoda 1975. Metoda Statistika Edisi 5. Bandung: Tarsito. http://www.wahana-statistika.com/index.php/Ilmu-Probabilita/distribusi peluang.html STATISTIKA DASAR
Page 14
LAMPIRAN KUNCI SOAL
1.
Sebuah mata uang dilambungkan 10 kali. Tentukan probabilitas munculnya sisi muka sebanyak 5 kali. Penyelesaian :
Sebuah mata uang dilambungkan 10 kali (n=10). Misalkan peristiwa hasil sukses adalah munculnya sisi muka (M). maka P (sukses) = P (M) =
= p,
dan P (gagal) = P (B) = = q.-pl, Tampak bahwa p + q = 1 atau p = 1 – 1 – q q atau q = 1 – 1 – p. p. Peristiwa munculnya M dan B saling bebas dan merupakan partisi dari ruang sampel, sebab ruang sampel S = {(M),(B)} STATISTIKA DASAR
Page 15
Sehingga
= 252 =
2.
= 0,246
Diketahui 10% dari sekumpulan kaleng cat berisi cat berwarna hijau. Diambil secara random 30 kaleng. Berapa peluang (probabilitas)nya bahwa : a. yang terambil semuanya (30 kaleng) berisi cat hijau b. yang terambil 1 kaleng berisi cat hijau c. yang terambil paling sedikit 1 kaleng berisi cat hijau d. yang terambil paling banyak 2 kaleng berisi cat hijau Penyelesaian Penyelesaian :
a. misal X = banyaknya kaleng yang berisi cat hijau Jadi X = 30 p = probabilitas sebuah kaleng cat berisi cat hijau = 0,10 q = 1 – 1 – 0,10 0,10 = 0,90 probabilitas yang terambil semuanya (30 kaleng) berisi cat hijau = P (X = 30) = b (X;30,(0,10))
= =
b. untuk X = 1 P (X = 1) =
= 0,1409
Probabilitas yang terambil 1 kaleng cat berwarna hijau = 0,1409 c. untuk X
1, berarti X = 1,2,3,…,30
Probabilitas yang terambil paling sedikit 1 kaleng berisi cat hijau = P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) +…+ P (X = 30) Karena : P (X = 0) + P (X = 2) +…+ P (X = 30) = 1, maka yang dicari adalah 1 – P (X = 0) P (X = 0) =
= 0,0423
Jadi probabilitas yang terambil paling sedikit 1 kaleng berisi cat hijau
STATISTIKA DASAR
Page 16
= 1 – 1 – P P (X = 0) = 1 – 1 – 0,00423 0,00423 = 0,9577
2, berarti X = 0, 1, 2
d. untuk
Yang dicari adalah : P (X = 0) + P(X = 1) + P (X = 2) P (X = 0) = 0,0423 P (X = 1) = 0,1409 P (X = 2) =
= 0,2277
Jadi, probabilitas yang terambil paling banyak 2 kaleng berisi cat hijau = 0,2277 3.
Dari setumpuk ember, 20% diketahui bocor. Diambil sampel sebanyak 40 secara random. Berapakah harapan matematisnya bahwa ember yang terambil tidak bocor, dan berapakah variansnya ? Penyelesaian Penyelesaian :
n = 40 probabilitas tidak bocor = 1 – 1 – probabilitas probabilitas bocor = 1 – 1 – 0,2 0,2 = 0,8 Jadi p = 0,8 dan q = 1 – 1 – 0,8 0,8 = 0,2 E (X) = np = 40 x (0,8) = 32 Var (X) = npq =40 x (0,8) x (0,2) = 6,4 Harapan ember yang terambil tidak bocor = 32 Variansnya = 6,4 4. Apabila
6
probabilitas
bahwa
seseorang
akan
menjawab
sesuatu
mail
questionnaire adalah 0,20. Berapa probabilitas untuk memperoleh 0, 1, 2, 3, 4, dan 5 respon/jawaban terhadap questionnaire yang dikirimkan kepada 5 responden ? Penyelesaian :
Di sini n = 5 dan p = 0,2 X = 0, 1, 2, 3, 4 dan 5
= 1 x x = 0,3277 = 5 x x = 0,4096 STATISTIKA DASAR
Page 17
= 10 x x = 0,2048 = 10 x x = 0,0512 = 5 x x = 0,0064 = 1 x x = 0,0003 Adapun histogramnya seperti terlihat pada gambar berikut : Probabilitas
0,4096
0,3277
0,2048
0,0512 0,0064 0,0003 0
5.
1
2
3
4
Respons
5
Dari benda yang dihasilkan oleh semacam mesin ternyata 10% rusak. Diambil secara random dari produksi benda itu sebanyak 10 buah untuk diselidiki. Berapa probabilitasnya dari benda yang diselidiki itu akan terdapat : a. Tidak ada yang rusak b. Satu rusak c. Paling sedikit satu rusak d. Paling banyak dua rusak Penyelesaian :
Di sini n = 10, p = 010
= x x b. = x 0,10 x 0,38742 = x x 45 (0,00000001) (0,81) = 0.0000004 a.
c. Paling sedikit rusak satu rusak, berarti yang rusaknya 1, 2, 3, …, 10 STATISTIKA DASAR
Page 18
Jadi, kita harus menghitung probabilitas untuk X = 1, 2, 3, …, 10, kemudian dijumlahkan.
+ + … + = 1 - 1 – 0,34868 – 0,34868 0,65132 d. Paling banyak dua rusak, ini berartisama dengan benda yang rusak boleh 0, 1 atau 2 buah. Jadi kita perlu menghitung :
+ + = 0,24868 = 0,38742 x x = 0,19371 =
0,92981
Jadi, peluang munculnya mata dadu 2 sebanyak s ebanyak 3 buah adalah 0,032 6. Bila 2 dadu dilemparkan 6 kali, berapa peluang mendapatkan jumlah bilangan yang muncul sebesar 7 atau 11 sebanyak 2 kali, bilangan yang sama pada kedua dadu sekali, dan kemungkinan lainnya 3 kali “ Penyelesaian :
Misal : E1 : terjadi total 7 atau 11 E2 : muncul bilangan yang sama pada kedua dadu E3 : kemungkinan lainnya selain dua diatas
Dalam setiap percobaan, peluang masing-masing kejadian adalah p 1 = , p 2 =
dan p3 = dengan distribusi multinom dan x 1 = 2, x2 = 1, x3 = 3 maka peluang yang ditanyakan ditanyakan :
P (2, 1, 3) = = 0,1127 7. Sekelompok orang terdiri dari 50 orang dan 3 diantaranya lahir pada tanggal 1 Januari. Secara acak diambil 5 orang. Berapa probabilitasnya bahwa diantara 5 orang tadi, a. tidak terdapat orang yang lahir pada tanggal 1 Januari STATISTIKA DASAR
Page 19
b. tidak lebih dari seorang yang lahir pada tanggal 1 Januari Penyelesain :
a. misalkan X = banyaknya orang diantara yang lahir pada tanggal 1 Januari a + b = 50 a=3 n=5
= 0,724 P (X = 0) = h (0; 5, 3, 47) = Berarti bahwa probabilitas kelima orang itu tidak lahir pada tanggal 1 Januari adalah 0,724 b. tidak lebih dari seorang yang lahir pada tanggal 1 Januari, berarti X = 0 dan X=1 P (X = 0) sudah dihitung di atas
= 0,253 P (X = 1) = h (1; 5, 3, 47) = Sehingga peluang paling banyak seorang di antara 5 orang itu lahir pada tanggal 1 Januari = 0,724 + 0,253 = 0,977 8. Lima buah buah kartu diambil dari 52 kartu bridge bridge lengkap. Berapa probabilitasnya bahwa kartu yang terambil : a. sebuah kartu As b. paling sedikit 1 kartu As Penyelesaian Penyelesaian :
= 0,30 a. P (X = 1) = h (1; 5, 4, 48) = b. Kemungkinan paling sedikit 1 kartu As adalah : h (1; 5, 4, 48) + h (2; 5, 4, 48) + h (3; 5, 4, 48) + h (4; 5, 4, 48) = 0,34 9. Suatu perkumpulan perkumpulan beranggotakan 12 orang pria pria dan 8 orang wanita. Jika dibentuk komisi yang terdiri dari 5 orang secara random, berapakah kemungkinan komisi tersebut terdiri dari : a. 3 orang pria dan 2 orang wanita b. paling sedikit terdiri dari 3 orang pria c. berjenis kelamin sama STATISTIKA DASAR
Page 20
Penyelesaian Penyelesaian :
a. Kemungkinan komisi terdiri dari 3 orang pria dan 2 orang wanita adalah :
= 3 = 2
= = =
= 0,3456 Jadi kemungkinannya adalah 0,3456 b. Komisi paling sedikit mempunyai 3 orang pria adalah
= 3 = 2 2. Jika = 4 =1 3. Jika = 5 = 0
Ada 3 kemungkinan : 1. Jika
1.
0,3456
2.
0,2592
3.
1
STATISTIKA DASAR
Page 21
0,07776 Jadi kemungkinannya kemungkinannya adalah 0,3456 + 0,2592 + 0,07776 = 0,68256 0,68256 c. Komisi terdiri dari jenis kelamin yang sama adalah
= 5 = 0 2.Jika = 0 = 5
Ada 2 kemungkinan : 1. Jika
1 0,07776
1 0,01024
Jadi kemungkinannya adalah 0,07776 + 0,01024 = 0,088
10. Suatu komite yang terdiri atas 5 orang akan dipilih secara acak dari 3 orang ahli kimia dan 5 orang ahli fisika. Tentukan probabilitas banyaknya ahli kimia dalam komite itu ? Penyelesaian Penyelesaian :
Andaikan X menyatakan banyaknya ahli kimia dalam komite Maka
= {0, 1, 2, 3}
n = 5 (banyaknya orang dalam komite) a = 3 ( ahli kimia) b = 5 (ahli fisika) a. tidak ada ahli kimia pada (5 orang) komite
STATISTIKA DASAR
Page 22
P (X = 0) = h (0; 5, 3, 5) = = b. ada 1 ahli kimia pada (5 orang) komite
P (X = 1) = h (1; 5, 3, 5) = = c. ada 2 ahli kimia pada komite
P (X = 2) = h (2; 5, 3, 5) = = d. ada 3 ahli kimia pada komite
P (X = 3) = h (3; 5, 3, 5) = =
STATISTIKA DASAR
Page 23
