-1-
SUKU BANYAK
1.
PENGERTIAN SUKU BANYAK
Suku banyak (polinomial) dalam x berderajat n biasanya dituliskan secara umum sebagai berikut : an x n
+ an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + ........ + a2 x 2 + a1 x + a0
Untuk n bilangan cacah dan a0 , a1 , a2 , ......., an konstanta dan an ≠ 0 . a1 , a2 , a3 ,......., an disebut koefisien dan a disebut konstanta sedangkan x disebut variabel (peubah) Penulisan suatu suku banyak biasanya terurut dari pangkat yang tertinggi ke pangkat yang lebih rendah. 0
ontoh ! : Pada suku banyak banyak 2 x5 − 4 x 3 + 7 x 2 + 6 x − 3 tentukan derajat suku banyak tersebut" koefisien x 5 , x 4 dan konstantanya # $a%ab
: &&&&&
2. NILA NILAI I SUKU SUKU BANY BANYAK AK
Untuk menentukan nilai suatu suku banyak dalam x atau sering ditulis f(x) pada suatu harga x ' c ada cara" yaitu : !. cara substit substitusi" usi" yaitu yaitu denga dengann menggant menggantii variabel variabel x dengan dengan harga harga c atau f(c) f(c) . cara skema skema (pembagian (pembagian sintetis)" yaitu dengan dengan mengoperasikan mengoperasikan koefisienkoefisien koefisienkoefisiennya nya dengan dengan pola tertentu. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh di ba%ah ini # ontoh : *entukan nilai suku banyak 2 x3 − 5 x 2 $a%a $a%ab b
+ 4 x + 1 pada x ' #
: car caraa + (den (denga gann subs substi titu tusi si)) f ( x)
=
2 x3
− 5 x 2 + 4 x + 1 maka f (2) = 2.23 − 5.22 + 4.2 + 1 = 16 − 20 + 8 + 1 = 5
cara ++ ++ (dengan (dengan skema) skema)
, -
!
!
,
/ilai suku banyak yang dimaksud.
berarti kalikan bilangan yang di ba%ah dengan . $ika pada suatu suku banyak tidak terdapat variabel tertentu (urutan derajat variabel meloncat) meloncat) maka koefisien variabel tersebut dianggap 0. 1isal suku banyak 4 x 5 − 6 x3 + x − 7 maka koefisien dari x 4 dan x 2 dianggap 0.
Suku Banyak
-2-
LATIHAN SOAL
!. 2itunglah nilai suku banyak berikut pada masingmasing harga x dengan cara substitusi # 4 x 2
a. f ( x)
=
b. f ( x)
=
x 3
c. f ( x)
=
2 x 4
−
6 x3
+
2 x 2
9 x 3
+
3 x 2
+
2 x − 5 untuk x
d . f ( x) e. f ( x)
=
=
x
4
+
−
−
3 x + 2 untuk x
8 x + 3 untuk x
2 x
3
−
3 x
2
−
−
2
=
3
= −
1 untuk x
=
=
1 2 2 3
4 x − 8 untuk x
1
= −
. 2itunglah nilai suku banyak pada soal no. ! dengan cara skema 3pembagian sintetis# 4. $ika f ( x) = 4 x 4 − 20 x 3 + 3 x 2 + ax + 20 untuk x ' , nilai f(,) ' 0 maka tentukan nilai a #
3.
PEMBAGIAN SUKU BANYAK
Untuk membagi suatu suku banyak dengan pembagi (x 5 c) ada cara" yaitu : !. cara pembagian biasa seperti pembagian suatu bilangan dengan bilangan lain yang lebih kecil (bagi kurung). 6alam hal ini derajat sisanya harus k urang dari derajat pembagi. . cara pembagian sintetis 3skema seperti yang sudah dijelaskan di atas dengan mengambil x ' c dengan operasi tambah atau x ' c dengan operasi kurang. ontoh ! : *entukan hasil bagi dan sisa dari 3 x 4 3 x
$a%ab
3
− 5 x3 + 2 x 2 − 7 x + 1 dibagi x 5
+ x2 + 4 x + 1
hasil bagi
: cara + : x5
3 x 4 − 5 x3 + 2 x 2 3 x 4 − 6 x 3
− 7x + 1
x 3 + 2 x 2 x 3 − 2 x 2
2
4 x 4 x 2
7 x − 8 x
−
x + 1 x − 2
4
sisa
$adi hasil baginya : 3 x3 + x 2 + 4 x + 1 dan sisanya 4 atau bisa ditulis : 3 2 4 3 2 3 x − 5 x + 2 x − 7 x + 1 ' (x 5 ) ( 3 x + x + 4 x + 1 ) 4
cara ++a : 4
,
7
!
Suku Banyak
-3-
8
9
4
!
-
!
4
7 9
!
sisa
hasil bagi
cara ++b : 4
, 8
4
!
-
!
4
sisa
hasil bagi $adi hasil baginya : 3 x3 + x 2
+ 4 x + 1 dan sisanya 4.
LATIHAN SOAL
!. *entukan hasil bagi dan sisa dari pembagian berikut dengan cara pembagian bentuk biasa dan cara pembagian sintetis# a.
( 6 x + 8) : ( x − 3)
b.
− 2 x − 7) : ( x − 3) ( x3 − 2 x2 + 9) : ( x + 2) ( 2 x 4 − 5 x3 + 3 x 2 + 8 x + 12) : ( x + 1) ( 9 x3 + 6 x 2 + 4 x + 2) : x + 1 3 ( x3 − 125) : ( x + 5) ( x6 − 64) : ( x − 2)
c. d . e. f . g .
(3 x 2
. *entukan nilai a jika x3 + ax2
− 4x + 3 dibagi (x 5 ,) mempunyai sisa 94 #
4. *entukan nilai a jika 4 x 4 − 20 x3 + 3 x 2 + ax + 20 habis dibagi (x 5 ,) # -. *entukan k jika x2 + kx + 4 dibagi dengan (x 5 !) dan (x !) memberikan sisa yang sama #
4. TEOREMA SISA
Suatu suku banyak f(x) yang dibagi oleh pembagi (x 5 c) dan menghasilkan hasil bagi 2(x) dan sisa S dapat ditulis :
Suku Banyak
-4-
f(x) ' (x 5 c).2(x) S $ika x ' c maka f( c) ' (c 5 c).2(c ) S atau S ' f(c ) $adi jika suatu suku banyak f(x) dibagi oleh x 5 c " maka sisanya adalah f(c ). Pernyataan di atas sering dikenal dengan nama teorema sisa. $adi untuk menentukan sisa dari pembagian f(x) oleh x 5 c bisa digunakan cara substitusi x oleh c atau dengan pembagian skema3sintetis.
ontoh ! : *entukan sisa pembagian 2 x 4 $a%ab : Sisanya ' f() ' 2(−2) 4
5.
−
− 3x 2 + 5 oleh x
3(−2) 2
+
5
=
25
PEMBAGIAN DENGAN AX - B
$ika suatu suku banyak f(x) dibagi oleh ax 5 b dapat ditulis : f(x) ' (ax 5 b).2(x) S f(x) ' a(x f(x) ' (x
b a b a
).2(x) S
).a 2(x) S
1enurut teorema sisa di atas maka sisa pembagian suku banyak f(x) oleh pembagi ax 5 b adalah f(
b a
). 2asil baginya harus dibagi a supaya kembali ke 2(x).
ontoh : *entukan hasil bagi dan sisa dari pembagian 4 x 4 $a%ab
+ 3 x 2 − 6 x + 1 oleh x 5 !
: 6engan menggunakan pembagian sintetis : 1 2
-
-
0
4
8
!
!
-
-
!
$adi sisanya ' ! dan hasil baginya '
4 x
3
+ 2 x2 + 4 x − 4 2
= 2 x3 + x 2 + 2 x − 2
LATIHAN SOAL
!. *entukan hasil bagi dan sisa dari pembagian :
Suku Banyak
-5-
a. b. c. d . e.
+ 3 x3 + 4 x 2 + 5 x) : (2 x + 1) ( 5 x3 + 2 x 2 − 4 x + 11) : (3 x + 4) ( 4 x 2 + 6 x − 2) : (2 x − 1) ( 2 x3 + x 2 + 4 x + 4) : ( 2 x − 3) ( 3 x3 + 5 x 2 − 11 x + 8) : (3 x − 1) ( 2 x
4
. *entukan a jika 4 x 4
− 12 x3 + 13 x 2 − 8 x + a habis dibagi x 5 !
4. *entukan a jika 2 x3 − 7 x 2
− ax + 2 habis dibagi x !
-. *entukan a jika 2 x 3 + ax 2
− 22 x − 105 habis dibagi x ,
6.
TEOREMA FAKTOR
Suku banyak f(x) jika dibagi oleh (x 5 c) menghasilkan sisa 0" maka dikatakan (x 5 c) merupakan faktor dari f(x). $adi suku banyak f(x) mempunyai faktor (x 5 c) jika dan hanya jika f(c ) ' 0 Untuk mencari faktorfaktor dari suku banyak f(x) bisa digunakan cara pembagian sintetis3skema" yaitu dengan mencobacoba faktorfaktor dari konstanta suku banyak yang menghasilkan sisa 0.
ontoh !: aktorkanlah suku banyak x 4
− 2 x3 − 9 x 2 + 2x + 8
$a%ab : aktorfaktor dari konstanta 9 adalah ! !
!
; 4
8
± 1, ±
2,
±
4,
±
8
9 9
!
4 !
!
8
9 9
0
!
9 9
0
!
-
0
$adi x 4 − 2 x3 − 9 x 2 + 2 x + 8 = ( x + 1)( x − 1)( x + 2)( x − 4)
LATIHAN SOAL
!. aktorkanlah tiaptiap suku banyak berikut atas faktorfaktor rasionalnya #
Suku Banyak
-6-
a.
2 x 2
b.
x 3
c.
3 p 3
d .
x
e.
3
t
+
2 x 2
+
4
−
−
−
9 x − 5 −
4 p 2
6 x 2
8t
3
+
+
x − 2 −
3 p + 4
12 x 2
−
10 x + 3
19t − 12
. *entukan a jika x 4 a. x ! b. x 5 !
+ 4 x3 − ax2 + 4x + 1 mempunyai faktor :
4. *entukan p sehingga 2 x 4 + 9 x3 + 5 x 2 + 3 x + p mempunyai faktor x -. 2itunglah a dan b jika x4 + 2 x3 − 7 x2 + ax + b habis dibagi oleh x 2 ,.
+ 2x − 3
− 59 x − 3
8.
+
7. PERSAMAAN SUKU BANYAK
Persamaan suku banyak berbentuk f(x) ' 0 dimana f(x) merupakan suku banyak bisa diselesaikan jika f(x) difaktorkan terlebih dahulu. =emudian dengan menggunakan prinsip >.< ' 0 maka > ' 0 atau < ' 0.
ontoh ! : *entukan himpunan penyelesaian dari x 4 − 2 x3 − 9 x 2 $a%ab
+ 2x + 8 ' 0 #
: Seperti contoh mengenai teorema faktor di atas " maka : 4 3 2 x − 2 x − 9 x + 2 x + 8 ' 0 ( x + 1)( x − 1)( x + 2)( x − 4) ' 0 x ' !" x ' !" x ' atau x ' 2P : ?"!"!"-@
LATIHAN SOAL
!. *entukan himpunan penyelesaian dari persamaan suku banyak berikut :
Suku Banyak
-7-
a.
3 x 2
b.
x 3
−
6 x 2
+
c.
x 3
−
9 x 2
+
d .
6 x
e..
4
x
3
+
x − 4
+
−
25 x
6 x
3
0
=
11 x − 6
=
20 x − 12 2
+
+
2 x − 8
12 x
2
−
0
= =
0 0
10 x + 3
=
0
.
−
1 3
− 58x − 24 = 0 dan tentukan akarakar
merupakan akar persamaan 6 x 4 − x3 − 121 x 2
+ 185x + 75 = 0 dan tentukan
akarakar yang lain # -. *entukan koordinat titik potong kurva y
=
x3
,. *entukan himpunan penyelesaian untuk 0 ≤ x
−
2 x 2
−
5 x + 6 dengan
≤ 2π dari
sumbu A
2 sin x + 3sin x − 8 sin x + 3 = 0 3
2
8. PEMBAGIAN DENGAN BENTUK KUADRAT
$ika pembaginya berbentuk kuadrat maka sisanya harus berupa linier (berderajat !) atau konstanta. ara menentukan sisanya ada cara" yaitu dengan pembagian bagi kurung atau dengan menggunakan teorema sisa.
ontoh ! : *entukan sisa pembagian 3 x3
− 7 x 2 − 11x + 4 oleh x 2 − x − 2
3 x − 4
$a%ab
: x
2
− x − 2
3 x3 − 7 x 2 − 11x + 4 3 x 3 − 3 x 2 − 6 x
2
4 x 4 x 2
− 5x + 4 + 4x + 8 −
9x − 4
$adi sisanya ' ;x 5 -
ara lain dengan teorema sisa : 3 x 3 3 x 3
− 7 x2 − 11x + 4 ' ( x 2 − x − 2 ).2(x) Sisa − 7 x2 − 11x + 4 ' (x 5 ) (x !).2(x) (ax b)
1enurut teorema sisa : Untuk x ' maka f() ' a b atau a b ' &&&. (!) Untuk x ' ! maka f(!) ' a b atau 5a b ' , &&&.. () 6ari (!) dan () didapat a ' ; dan b ' - sehingga sisa ' ax b ' ;x 5 -
LATIHAN SOAL
!. *entukan sisa pembagian suku banyak berikut :
Suku Banyak
-8-
a. b. c. d . e.
( x − 6 x + 3 x − 2) : ( x − 3 x + 2) ( x + 2 x − 4) : ( x − 9) ( 2 x − 2 x − 7) : ( x + x − 6) ( x − 2 x + 5) : ( x + 4) ( x + 4 x − x + 2) : ( x + x + 3) 3
2
3
2
4
4
3
2
2
2
3
2
2
2
2
. *entukan nilai a dan b jika x4 + 2 x3 − 7 x2 + ax + b habis dibagi oleh x 2
+ 2x − 3
4. 6iketahui x3 − (a − 1) x 2 + bx + 2a habis dibagi x . $ika dibagi oleh x 5 bersisa 5-. *entukan nilai a dan b serta ketiga akarakar persamaan tersebut # -. Suatu fungsi f jika dibagi x 5 ! sisanya dan jika dibagi x 5 sisanya 8!. *entukan sisanya jika f dibagi oleh (x 5 !)(x 5 ) ,. $ika suku banyak x 4 − ax3 − (a − b) x 2 *entukan nilai a dan b #
−
3a − b dibagi oleh x 2
+ x − 2 maka sisanya x 5 4.
8. Suatu suku banyak berderajat dua dalam x habis dibagi x . $ika suku banyak itu dibagi dengan x 5 ! maka sisanya 8 dan jika dibagi dengan x 5 maka sisanya !. *entukan rumus suku banyak tersebut #
Suku Banyak