Tensiones y deformaciones en los pavimentos flexibles
Masa homogénea
La manera más simple de caracterizar c aracterizar el comportamiento de un pavimento flexible bajo c argas de una rueda, es considerarlo como un medio homogéneo. Este medio es infinitamente grande en el horizonte y finito en el sentido vertical, con una superficie plana en donde las cargas son aplicadas. La teoría original de Boussinesq (1885) se basa en la aplicación de una carga puntual en un u n medio elástico. Los esfuerzos, deformaciones y deflexiones debido a una carga distribuida en una superficie circular. Antes del desarrollo de la teoría multicapa por Burmister (1943), se prestó mucha atención a las soluciones de Boussinesq porque ellos eran los únicos disponibles. La teoría puede usarse para determinar los esfuerzos, deformaciones y deflexiones en la plataforma de la vía si la proporción del módulo entre el pavimento y la subrasante es cercano a la unidad, como puede ser ejemplificado por una superficie delgada de asfalto y una base granular también delgada. Si la razón de los módulos es mucho mayor que la unidad, la ecuación debe modificarse, como ha sido demostrado por el método de diseño Kansas más actual. (Kansas State Highway Commission, 1947). La figura siguiente muestra un medio homogéneo sujeto a una carga circular de radio "a" y una presión uniforme "q". El medio tiene un módulo elástico "E" y una relación de Poisson "". Un pequeño elemento cilíndrico con centro a una distancia "z" debajo de la superficie y a "r" desde el eje de simetría. Debido a la axisimetría, hay sólo t res esfuerzos normales z, r y t, y un esfuerzo de corte rz, que es igual a zr. Estos esfuerzos son funciones de "q", "r/a", y "z/a". 2.1.1 SOLUCIÓN POR GRÁFICOS Foster y Ahlvin (1954) presentaron gráficos para determinar el esfuerzo vertical z, radial r, tangencial t, esfuerzo cortante rz, y deflexión vertical "", se muestran en las figuras 2.2 hasta 2.6. La carga es aplicada sobre un área circular con un radio de "a" y una intensidad "q". Puesto que la relación de Poisson tiene un efecto relativamente pequeño en los esfuerzos y deflexiones, Foster y Ahlvin asumen que el medio puede ser incompresible con una relación de Poisson de 0.5, así que sólo un grupo de gráficos son requeridos en lugar de uno por cada relación de Poisson. Este trabajo será después refinado por Ahlvin y Ulery (1962) quienes presentaron una serie de ecuaciones y tablas para que puedan ser calculadas c alculadas los esfuerzos, deformaciones y deflexiones para cualquier relación de Poisson dada. Estas ecuaciones y tablas no son presentados aquí, por que las soluciones pueden obtenerse fácilmente desde KENLAYER, asumiendo el medio como un espacio homogéneo para ser un sistema de dos capas con cualquier espesor pero con el mismo módulo elástico y relación de Poisson para ambas capas.
Después de que los esfuerzos se obtienen de los gráficos, las deformaciones pueden obtenerse por:
Si el área de contacto consiste en dos círculos, los esfuerzos y deformaciones pueden ser calculados por superposición. EJEMPLO 2.1 La figura muestra un medio semi-infinito sujeto a dos cargas circulares, de 10 in (254 mm) de diámetro cada uno y espaciados en 20 in. (508 mm) entre centros. La presión en el área circular es de 50 psi (345 KPa). El medio semiinfinito tiene un módulo elástico de 10,000 psi (69 MPa) y una relación de Poisson de 0.5. Determine el esfuerzo vertical, deformación y deflexión en el punto "A", que se localiza 10 in. (254 mm) debajo del centro de un círculo.
En la aplicación de soluciones de Boussinesq, se asume generalmente que e l pavimento por encima de la capa de la subrasante no tiene deformación, por lo que la deflexión en la superficie del pavimento es igual a la de la parte superior de la capa de la subrasante. En el ejemplo anterior, si el e spesor del pavimento es 10 in. (254 mm) y el punto A está situado en la superficie de la subrasante, la deflexión en la superficie del pavimento es de 0,022 in. (0 0.56 mm). 2.1.2 Soluciones en el eje de simetría Cuando la carga se aplica sobre una sola área circular cargada, el esfuer zo, la deformacion, y la deflexión más crítico ocuren bajo el centro de la zona circular en el eje de simetría, donde rz, = 0 y r= t, así Z y r son las esfuerzos principales. La lamina flexible La carga aplicada desde neumático al pavimento es similar a una placa flexible con un radio a y una presión uniforme q. Los esfuerzos bajo el ce ntro de la lámina pueden ser dete rminados así
Tenga en cuenta que z es independiente de E y v, y r, es independiente de E. De la ecuación. 2,1
La deflexión vertical W se puede determinar a partir de
Cuando v = 0 .5, Eq. 2 .6 se puede simplificar a
En la superficie del espacio semi-infinito, z = 0; par tir de la ecuación. 2 .6,
Ejemplo 2,2:
Igual que el Ejemplo 2 .1, excepto que sólo el área cargada del lado izquierda existe y el coeficienten de Poisson es 0.3, como se muestra en la Figura 2 .8. Determinar las tensiones, deformaciones, y la deflexión en el punto A.
Placa Rígida Todos los análisis anteriores se basan en la suposición de que la carga se aplica sobre una placa flexible, tal como un neumático de caucho. Si la carga se aplica sobre una lamina rígida, tal como la utilizada en una lamina de prueba de carga, la deflexión es el mismo en todos los puntos en la placa, pero la distribución de la presión debajo de la placa no es uniforme. Las diferencias entre la lamina flexible y una placa rígida se muestra en la figura 2,9. La distribución de la presión debajo de una placa rígida se puede expresar como (Ullidtz, 1987)
en donde r es la distancia desde el centro hasta el punto donde la presión se ha de determinar y q es la presión media, la cual es igual a la carga total dividida por el área. La presión minima está en el centro y es igual a la mitad de la presión media. La presión en el borde de la placa es infinito. Mediante la integración de la carga puntual sobre el área, se puede demostrar que la deflexión de la placa es
Una comparación de la ecuación. 2,10 co n la ecuación. 2 .8 indica que la deflexión de la superficie debajo de una placa rígida es solamente 79% de que bajo el c entro de una carga uniformemente distribuida. Esto es razonable debido a la presión debajo de la placa rígida es más pequeño cerca de l centro de la area de carga, pero mayor cerca del borde. La presion cerca del centro tiene un mayor efecto sobre la deflexion de la superficie en el centro. Aunque las ecuaciones. 2,8 y 2 .10 se basan en un medio homogéneo-infinito, el mismo factor, 0,79, se puede aplicar si las placas se colocan en un sistema de capas, como se indica por Yoder y Witczak (1975). Ejemplo 2,3: Una prueba de carga de laminas utilizando una lamina de 12-in. (305 mm) de diámetro se realiza e n la superficie de la subrasante, como se muestra en la Figura 2,10. Una carga total de 8000 libras (35,6 kN) se aplica a la lamina, y una deflexión de 0,1 in. (2,54 mm) se midió. Suponiendo que la subrasante tiene un coeficiente de Poisson 0 .4, determinar el módulo elástico de la subrasante.
2.1.3 Masa no-lineal La solución de Boussinesq son basadas en el supuesto de que el material que constituye el espacio semiinfinito es elástico lineal. Es bien conocido que los suelos de la subrasante no son elásticas y sufren deformaciones permanentes bajo cargas estacionarias. Sin embargo, en virtud de la aplicación repetida de las cargas de tráfico en movimiento, la mayor parte de las deformaciones son rec uperables y pueden ser consideradas elásticas. Por tanto, es posible seleccionar un módulo elástico razonable acorde con la velocidad de cargas en movimiento. Linealidad implica la aplicabilidad del principio de superposición, por lo que la constante elástica no debe variar con el estado de los esfuerzos. En otras palabras, la deformación axial de un material elástico lineal bajo un e sfuerzo axial debe ser independiente de la presión de confinamiento. Esto evidentemente no es cierto para
suelos, debido a su deformación axial depende fuertemente en la magnitud de la presión de confinamiento. Por consiguiente, el efecto de la no linealidad en la solución de Boussinesq es de interés práctico. Método iterativo Para mostrar el efecto de la no linealidad de los materiales granulares en e sfuerzos verticales y deflecciones, Huang (1968a) divide el medio finito en siete capas, como se muestra en la Figura 2.11, y se aplica la teoría de capas de Burmister para determinar los esfuerzos en la media altura de cada capa. Tenga en cuenta que la capa más baja es una base rígida co n un módulo de elasticidad muy grande. Después de que los esfuerzos se o btienen, el módulo de elasticidad de cada capa se determina a partir
en la que es el esfuerzo invariante, o la suma de los tres e sfuerzos normales, E es el módulo elástico bajo la fuerza invariante dada; Eo es el módulo elástico inicial, o el módulo cuando la fuerza invariante es cero, y B es una constante del suelo indicando el aumento del módulo elástico por unidad de incremento en la esfuerzo invariante. Tenga e n cuenta que el esfuerzo invariante debe incluir tanto los efectos de la carga aplicada y los esfuerzos geostáticos, puede ser expresado como
en el que z, r, t son los esfuerzos verticales, radial y tangencial debido a la carga; es el peso unitario del suelo; z es la distancia por debajo de la superficie del suelo en el que se calcula el esfuerzo invariante, y Ko es el coeficiente de presión de la tierra en reposo. El problema puede ser resuelto por un método de aproximaciones sucesivas. En primer lugar, un módulo elástico se supone para cada capa y los esfuerzos se obtienen a partir de la teoría de capas. Dado los esfuerzos así obtenido, un nuevo conjunto de módulos se determ ina de la ecuación. 2,11 y un nuevo conjunto de esfuerzos se c alcula entonces. El proceso se repite hasta que los módulos entre dos iteraciones consecutivas converger a una tolerancia e specificada.
Aplicando la teoría de capas para el análisis no lineal, una pregunta surge INMEDIATO: ¿Qué distancia radial r se debe utilizar para determinar los esfuerzos y módulos? Huang (1968a) muestra que las tensiones verticales no se ven afectadas de manera significativa por si los esfuerzos en r = 0 o r = infinito se utilizan para determinar los módulos elásticos, pero los desplazamientos verticales son afectadas enormemente. Luego seuso el método de elementos finitos y se ha encontrado que el comportamiento no lineal de los suelos tiene un gran e fecto sobre los desplazamientos verticales y radiales, un e fecto intermedio en los esfuerzos radial y tangencial, y un efecto muy pequeño en esfuerzos verticales y cortantes (Huang, 1969a) . Dependiendo de la profundidad del punto e n cuestión, los esfuerzos verticales basados en la teoría no lineal puede ser mayor o menor que los basados en la teoría lineal y, a una cierta profundidad, ambas teorías podrían producir las mismas tensiones. Esto puede explicar por qué las soluciones de Boussinesq para el esfuerzo ver tical basado en la teoría lineal se han aplicado a los suelos con distintos grados de éxito, aunque incluso los mismos suelos son básicamente no lineales. Método aproximado Un método aproximado para analizar un medio no lineal-infinito es dividir en un número de c apas y determinar los esfuerzos en la media altura de cada capa por ecuaciones de B oussinesq, basada en la teoría lineal. De los esfuerzos así obtenidos, el módulo de elasticidad E para cada capa se determina a partir de la ecuación. 2,11. La deformación de cada capa, que es la diferencia en la deflexion entre la parte superior e inferior de cada capa basado en el E dado, e ntonces puede ser obtenido. Partiendo de la base rígida, o una profundidad lejos de la superficie, donde el desplazamiento vertical puede ser asumido como cero, las deformaciones se suman para obte ner las deflexiones a varias profundidades. El supuesto de la distribución de los esfuerzos de Boussinesq son utilizados por Vesic y Dom aschuk (1964) para predecir la forma del cuenco de deflexión (bache) en pavimentos de carreteras y se informo satisfactoriamente. Cabe señalar que la ec. 2,11 es una de las muchas ecuaciones constitutivas para arenas. Uzan (1985), Pezo et al. (1992), y Pezo (1993) supone que el módulo de los materiales granulares depende no sólo del esfuerzo invariante, , sino también en el esfuerzo desviador, que es la diferencia entre los esfuerzos principales mayores y menores. Este concepto se ha utilizado en la Guía de diseño de 2002, tal como se presenta en el Apéndice F. Otras relaciones constitutivas para arenas o arcillas también se pueden utilizar, como se discute en la S ección 3.1.4 Ejemplo 2,4: Una carga circular que tiene radio de 6 in. (152 mm) y la presión de contacto de 80 psi (552 kPa) se aplica sobre la superficie de la subrasante. La subrasante del suelo es una arena con la relación entre el módulo elástico y el esfuerzo invariante mostrada en la Figura 2 .12 a. El suelo tiene el coeficiente de Poisson 0,3, el peso por unidad de masa e s de 110 libras por pie cúbico (17,3 kN/m3), y el coeficiente de presión de tierra en reposo es de 0,5. El suelo se divide en seis capas, como se muestra en la Figura 2.12b. Determinar el desplazamiento de la superficie vertical en el eje de simetría.
Para calcular la deformación de cada capa, el producto de W y E en cada interfaz de la capa se determina en primer lugar de la ecuación. 2,6. La diferencia de wE entre las dos interfaces dividido por E ofrece la deformación de la capa. L a deflexión de la superficie es la suma de todas las deformaciones de capa y es igual a 0,0325 in. (0,826 mm). Es interesante observar que el esfuerzo invariante debido a la carga aplicada disminuye con la profundidad, mientras que. Debido a la aplicación de las car gas el esfuerzo geostatico se incrementa con la profundidad. Como resultado, los módulos elásticos para todas las capas, excepto en las capas 1 y 6, llegan a ser las mismas. Tenga en cuenta también que más de l 50% de las deflexiones superficiales son presentadas por la deformación en la parte superior de 12 pulgadas (305 mm). El mismo problema se resolvió por KENLAYER después de la incorporación de la ecuación. 2,11 en el programa. Las diferencias en distribución de esfuerzos entre la teoría y Boussinesq Burmister y los módulos resultantes se muestran en la Tabla 2,2. Se puede observar que las dos soluciones se corresponden bien. La deflexión superficial basada en la teoría de capas es in 0,0310. (0,787 mm), que también está de acuerdo con el 0,0325 pulgadas (0.826mm) a partir de la teoría de Boussinesq.
2.2 sistema de capas Los Pavimentos flexibles son sistemas de capas con materiales de mejor calidad en la parte superior y no puede ser representada por una masa homogénea, por lo que el uso de la teoría de capas Burmister es más apropiado. Burmister (1943) primero desarrollado las soluciones para un sistema de dos capas y luego se extiende a un sistema de tres capas (Burmister, 1945). Con la llegada de los ordenadores, la teoría puede ser aplicada a un sistema multicapa con cualquier número de capas (Huang, 1967, 1968a). Figura 2,13 muestra un sistema de n-capa. Los supuestos básicos que deben cumplir son: 1. Cada capa es homogénea, isótropo, y linealmente elástica con un módulo de elasticidad E y un coeficiente de Poisson v. 2. El material es liviano e infinito en e xtensión areal. 3. Cada capa tiene un espesor finito h, excepto que la capa más baja tiene un espesor infinito. 4. Una presión uniforme q se aplica en la superficie sobre un área circular de radio a. 5. Condiciones de continuidad se cumplen en las interfaces de capa, como se indica por el mismo esfuerzo vertical, esfuerzo cortante, desplazamiento vertical, y el desplazamiento radial. Para la interfaz sin fricción, la continuidad del esfuerzo de corte y desplazamiento radial se sustituye por un esfuerzo cortante de cero en cada lado de la interfaz. En esta sección, sólo algunas de las soluciones de dos y tres capas con sistemas de interfaz de unión se presentan. El desarrollo teórico de sistemas multicapa se discute en el Apéndice B. 2.2.1 Sistemas de dos capas El caso exacto de un sistema de dos capas es la construcción de profundidad completa en la que se coloca una capa gruesa de HMA direc tamente sobre la subrasante. Si un pavimento se compone de t res capas (e. G., Una capa de superficie asfaltica, una capa de base granular, y una subrasante), es necesario combinar la capa de base y la subrasante en una sola capa para el cálculo de los esfuerzos y deformaciones en la capa de asfalto o de combinar la capa de de superficie asfáltica y capa de base para el cálculo de los esfuerzos y deformaciones en la subrasante. El esfuerzo vertical (desde aquí strain es t ensión) Esfuerzo vertical en la parte superior de subrasante es un factor importante en el diseño del pavimento. La función de un pavimento es reducir e l esfuerzo vertical sobre la subrasante de modo que las deformaciones perjudiciales en el pavimento no se produzcan. El e sfuerzo admisible vertical sobre una subrasante depende de la fuerza o el módulo de la subrasante. Para combinar el efecto de l esfuerzo y tension, la tensión de compresión vertical se ha utilizado más frecuentemente como un criterio de diseño. Esta simplificación es válida para pavimentos de carreteras y aeropuerto debido a que la tensión vertical es causada principalmente por el esfuerzo vertical y el efecto del esfuerzo horizontal es relativamente pequeño. Como se señala en la sección 1.5.2, el diseño de rieles ferrocar ril debe basarse
en el esfuerzo vertical en lugar de la tensión vertical, ya que el esfuerzo horizontal causado por la distribución de carga de las ruedas a tr avés de rieles y durmientes sobre un área grande hace que la tensión vertical sea un mal indicador del esfuerzo vertical. Los esfuerzos en un sistema de dos capas depende de la relación de mó dulo de El/E2 y la relación de espesor ht-radio / a. Figura 2,14 muestra el efecto de una capa de pavimento sobre la distribución de los esfuerzos verticales bajo el centro de un área circular cargada. El gráfico es aplicable al caso en que e l espesor de la capa hi 1 es igual al radio de la zona de contacto, o hi / a = 1. Como en todos los gráficos presentados en esta sección, un coe ficiente de Poisson de 0,5 se asume para todas las capas. Se puede ver que las tensiones verticales disminuyen significativamente con el aumento de la relación de módulos. En la interfaz de pavimento-subrasante, el esfuerzo vertical es de aproximadamente 68% de la presión aplicada si El/E2 = 1, como se indica mediante la distribución de esfuerzos de Boussinesq, y reduce a aproximadamente 8% de la presión aplicada si E1/E2 = 100. Figura 2 .15 muestra el efecto del espesor del pavimento y la relación de módulos en los esfuerzos verticales c en la interfase pavimento-subrasante bajo el c entro de un área cargada circular. Para una determinada presión aplicada q, aumenta el esfuerzo ver tical con el aumento del radio de contacto y disminuye con el aumento en el espesor. La razón de que la relación a / hi en lugar dehi / a se utiliza con el propósito de influir en la preparac ión de gráficos (Huang, 1969b) para bases de dos capas elásticas.
Ejemplo 2.5: Una carga circular que tieneun radio de 6 in. (152 mm) y presión uniforme de 80 psi (552kPa) se aplica en un sistema de dos capas, como se muestra en la Figura 2,16. La subrasante tiene módulo elástico 5000 psi (35MPa) y puede soportar un esfuerzo máximo vertical de 8 psi (55 kPa). Si e l HMA tiene un módulo elástico de 500.000 psi (3,45 GPa), ¿ cuál es el espesor requerido de un pavimento de una profundidad completa? Si en una superficie delgada se aplica un t ratamiento sobre una base granular con módulo elástico de 25.000 psi (173 MPa), cuál es el espesor de capa de base necesarios?
En este ejemplo, un esfuerzo admisible vertical de 8 psi (55 kPa) se selecciona arbitrariamente para mostrar el efecto del módulo de la capa reforzada en el e spesor requerido. El esfuerzo vertical admisible debe depender del número de r epeticiones de carga. Utilizando el criterio de diseño shell y la ecuación AASHTO, Huang et al. (1984b) desarrolló la relación en la que Nd es el número de repeticiones permisibles de esfuerzos para limitar la deformación permanente, c es el esfuerzo de compresión vertical en la superficie de la subrasante en psi, y E2 es el mó dulo elástico de la subrasante en psi. Para un esfuerzo de 8 psi (5 kPa) y un módulo elástico de 5000 psi (35 MPa), el número de repeticiones admisibles es 3 .7 x 105.
fig 2.17 Deflexión superficial vertical Las deflexiones superficiales verticales se han utilizado como un cr iterio de diseño del pavimento. Figura 2,17 se puede utilizar para dete rminar las deflexiones superficiales para sistemas de dos capas. La deflexión se expresa en términos de la F2 factor de deflexión por
El factor de deflexión es una función de E1/E2 y h1/a. Para un medio homogéneo con H1/A = 0, F2 = 1, por lo que la ecuación. 2,14 es idéntica a la ecuación. 2,8 cuando v = 0,5. Si la carga es aplicada por una lamina rígida, entonces, de la ecuación 2,10,
Ejemplo 2,6: Una carga total de 20.000 libras (89 kN) se aplicó sobre la superficie de un sistema de dos capas a través de una lamina rígida 12 pulgadas (305 mm) de diámetro, como se muestra en la Figura 2,18. Capa 1 tiene un espesor de 8 in. (203 mm) y la capa 2 t iene un módulo elástico de 6400 psi (44 MPa 0.2). Ambas
capas son incompresibles con un coeficiente de Poisson de 0,5. Si la deflexión de la lámina es de 0,1 in. (2 0,54 mm), determinar el módulo elástico de la capa 1.
La deflexión vertical en la capa de contacto La deflexión vertical en la capa de contacto también se ha utilizado como un criterio de diseño. La Figura 2,19 se puede utilizar para dete rminar la deflexión vertical en la capa de contacto de un sistema de dos capas (Huang, 1969c). La deflexión se expresa en términos del factor de deflexión por F
Tenga en cuenta que F en la ecuación. 2,16 es diferente de F2 en la ecuación. 2,14 por el factor 1,5. El factor de deflexion es una función de E1/E2, la h1/a, y r/a, donde r es la distancia radial desde el c entro del área cargada. Siete conjuntos de grificos para las relaciones de módulos 1, 2.5, 5, 10, 25, 50, y 100, se muestran; la deflexión para cualquier relación de módulo intermedio puede obtenerse por interpolación. El caso de E1/E2 = 1 es una solución de Boussinesq. Ejemplo 2,7: Figura 2,20 muestra un conjunto de neumáticos dual, cada radio de contacto t iene 4,52in (115 mm) y una presión de contacto 70 psi (483 kPa). La separación de centro a centro del eje dual es 13,5 in. (343 mm). Capa 1 tiene un espesor in 6. (152 mm) y módulo elástico 100.000 psi (690 MPa); capa 2 tiene módulo elástico 10.000 psi (69 MPa). Determine la deflexión vertica l en el punto A, que está en la capa de contacto por debajo del centro de una area cargada.
Deformación tensional Crítica La deformación tensional critica en la parte inferior de la capa de asfalto se ha utilizado como un criterio de diseño para evitar la fisuración por fatiga. Dos t ipos de deformaciones principales podrían ser considerados. Una es la deformación principal total basado en los seis componentes de esfuerzos normales y de corte. La otra, que es más popular y se utilizó en KENLAYER, es la deformación principal basado en los esfuerzos horizontales normales y cortantes solamente. La deformación principal total es ligeramente mayor que la deformación principal horizontal, por el uso de la seguridad. Huang (1973a) desarrollado tablas para la determinación de la deformación tensional critica en la parte inferior de la capa 1 para un sistema de dos capas. La deformación te nsional crítica es la deformación total y puede determinarse a partir
en la que e es la d3eformacion tensional critica y Fe es el factor de deformación, que se puede determinar a partir de los gráficos. Eje simple.- La Figura 2,21 prese nta el factor de deformación para un sistema de dos capas bajo un área circular cargada. En la mayoría de los c asos, la deformación tensional critica se produce bajo e l centro
de la area de carga, donde el esfuerzo cortante es cero. Sin embargo, cuando ambos h1/ a y E1/E2 son pequeños, el esfuerzo tensional critica se produce a cierta distancia del centro, ya que el efecto predominante del esfuerzo de cizallamiento. En estas situaciones, la deformación tensional principal en la distancia radial 0, 0,5a, a, y 1.5a del centro calculado, y e l valor crítico se obtuvo y se r epresenta en la figura 2,21. Ejemplo 2,8: La figura 2.22 muestra un pavimento de asfalto de profundidad completa de 8 in. (203 mm) de e spesor sometido a una carga de una sola rueda de 9000 libras (40 kN) que tiene la presión de contacto 67,7 psi (467kPa). Si el módulo elástico de la capa de asfalto es de 150.000 psi (104 GPa ) y el de la subrasante es de 15.000 psi (104 MPa), dete rminar la deformación tensional critica in la capa de asfalto.
Es interesante observar que la unión de las capas de contacto hacen que la deformación tensional horizontal en la parte inferior de la capa 1 sea igual a la deformación tensiónal horizontal en la parte superior de la capa 2. Si la capa 2 es incompresible y la de formación tensional crítica en el eje de simetría, entonces la deformacion de compresión ver tical es igual a dos veces la deformac ión horizontal, como se muestra en la ecuación. 2,21 (como se discute más adelante). Por lo t anto, la figura 2,21 se puede utilizar para determinar la deformación vertical de compresión sobre la superficie de la capa de la subrasante, asi. Ejes dual.- porque el factor de defo rmación para el eje dual con un radio de contacto y un espaciamiento dual Sd depende en Sd / a, además de E1/E2 y hi/a, el método más directo es presentar gráficos similares a la figura 2,21, una para cada valor de SD/a. Sin embargo, este enfoque requiere una serie de gráficos, y la interpolación podría tardar mucho tiempo. Para evitar estas dificultades, un método único fue desarrollado que requiere sólo una tabla, como se muestra en la Figura 2,23. En este método, las ruedas dobles se sustituyen por una sola rueda con un mismo radio de contacto a, de modo que la figura 2,21 se puede seguir utilizando. Debido a que el facto r de deformacion para ejes duales es generalmente mayor que la de un eje simple, un factor de conversión de C, que es la relación entre los factores de deformación de eje doble y simple, debe ser determinado.la multiplicación de los
factores de conversión por el factor de deformacion obtenida a partir de la Figura 2 ,21 producirá el factor de deformación para ejes duales. La teoría de dos capas indica que el factor de deformación para ejes duales depende h1 / a Sd, / a, y E1/E2. Mientras las relaciones hi /a y S d /a tienden a seguir siendo el m ismo, el factor de deformación será el mismo, no importa lo grande o pequeño que el radio de c ontacto puede ser . Considere la posibilidad de un eje dual con Sd = 24 pulgadas (610 mm) y a = 3 pulgadas (76 mm). Los factores de deformacion para diversos valores de h1 y E1/E2 y se calcularon los factores de conversión en donde se
obtuvieron y se representaron como un conjunto de curvas en la parte superior de la figura 2,23. Otro conjunto de curvas se basan en el mismo sd pero con a = 8 pulgadas (203 mm) se representa gráficamente en la parte inferior. Se puede observar que, para e l mismo espaciado dual, cuanto mayor sea el radio de contacto, mayor es el factor de conversión. Sin embargo, el cambio en el factor de conversión debido al cambio en el radio de contacto no es muy grande, por lo que una i nterpolación lineal debe dar un factor de conversión bastante exacto para cualquier otro radio de contacto . Aunque la figura 2,23 se basa en Sd = 24 pulgadas (610 mm), se puede aplicar a cualquier Sd cambiando simplemente una ht y en proporción al cambio en S d, de modo que las proporciones h1 / a y Sd / a permanecen constantes. El procedimiento se puede resumir como sigue: 1. Dado
Sd, hi, y a, determinar el radio modificada a' y el e spesor modificado h'1:
2. Usando
h'1 como el espesor del pavimento, encontrar los factores de conversión Ci y C2 de la figura
2.23. 3. Determinar el factor de conversión para a' por una interpolación lineal entre 3 y el 8 en. (76 mm y 203), o
Ejemplo 2.9: Para el mismo pavimento, como en e l Ejemplo 2,8, si carga de 9000-libra (40-kN) se aplica sobre un conjunto de neumáticos duales con un espaciamiento de ce ntro a centro de 11,5 in (292 mm) y una presión de contacto de 67,7 psi (467 kPa), tal como se muestra en la Figura 2,24, determinar la deformación tensional crítica en la capa de asfalto.
Al comparar los resultados de los Ejemplos 2,8 y 2,9, se puede ver que, en este caso part icular (cuando la capa de asfalto es gruesa y el espaciamiento dual es pequeña), una carga aplicada sobre un conjunto de neumáticos duales produce una deformación crítica que es no muy distinta de la de una sola rueda. Sin embargo, esto no es cierto cuando las capas delgadas de asfalto o grandes separaciones duales están involucrados. Huang (1972) también presentó un gráfico simple para dete rminar directamente la deformación tensional máxima en un sistema de dos capas sometidas a un conjunto de neumáticos duales espaciados a una distancia de 3a en el centro. Una serie de gráficos relacionados con deformaciones tensionales a para curvaturas también fue desarrollada, de modo que la deformación tensional bajo un diseño de cargas de eje dual puede ser evaluar en el campo midiendo simplemente la curvatura en la superficie (Huang, 1971). Ejes Dual-Tandem.-graficos similares a la figura 2.23 con espaciamiento dual Sd de 24 pulgadas (610 mm) y espaciamientos tándem St de 2 4 in. (610 mm), 48 pulgadas (1220 mm), y 72 pulgadas (1830 mm) se han desarrollado para la determinación del factor de conversión debido a ejes de dual tandem, como se muestra en las figuras 2,25, 2,26, y 2,27. El uso de estos gráficos es similar al uso de la figura 2,23. Debido a que el factor de conversión para los ejes tándem dual depende de h1 / a, Sd / a, y St / a, y porque el Sd real no puede ser igual a 24 in. (610 mm), esto es
necesario cambiar Sd a 24 pulgadas (610 mm) y modificar el área de contacto de una forma proporcional de acuerdo con la ec. 2.18a, manteniendo así la relación Sd / a sin cambios. Los valores de h1 y St también deben cambiar para mantener ht / a y St / a sin cambios. Por lo tanto, el problema original se cambiar a un nuevo problema con Sd (610mm, 1.22, y 1,83) = 24 pulgadas (610
mm) y un nuevo St. El factor de conversión para St = 24, 48 y 72 pulgadas puede obtenerse a partir de los gráficos; que para otros valores de St puede ser determinada por interpolación.
Si los nuevos valores de St son mayores que 72 pulgadas (1,83 m), la figura 2,23, basado en los ejes duales se puede usar para la interpolación. De hecho, la Figura 2,23 es un caso especial de los ejes dual tandem cuando el espaciamiento tándem se acerca al infinito. Se encontró que, cuando St = 120 in. (3,05 m), el factor de conversión debido a los ejes dual tándem r uedas no difieren significativamente de la debida a las ejes duales independientes, por lo que la figura 2,23 se puede considerar que tiene un espaciamiento tándem de 120 pulgadas (3,05 m). Una comparación de las Figuras 2,23 con la 2,25 a través de la figura 2,27 indica claramente que, en muchos casos, la adición de ruedas de ejes tandem reduce el factor de conversión, disminuyendo así la deformación tensional critica. Esto es debido al efecto compensador c ausado por las ruedas adicionales. La interacción entre estas ruedas es bastante impredecible, como se indica por la forma irregular de las curvas en la parte inferior de las figuras 2,26 y 2,27. Example 2.10: Como en el ejemplo 2.9, excepto que un conjunto de ruedas idénticas se añade para formar ejes dual tándem que tengan un espaciamiento tándem de 49 in (1.25m) como se muestra en la figura 2.28
Sistema de tres capas La Figura 2.29 muestra un sistema de tres capas y los esfuerzos en las capas de contacto en el eje de simetría. Estos esfuerzos incluyen el esfuerzo vertical en la capa de contacto, z1, esfuerzo vertical en la capa de contacto2, z2, un esfuerzo radial en la parte inferior de la capa 1, zr1, un esfuerzo radial en la parte superior de la capa 2, ’r1, esfuerzo radial en la parte inferior de la c apa 2 zr2, y el esfuerzo radial en la parte superior de la capa 3, ’r2. Tenga en cuenta que, en el eje de simetría, los esfuerzos tangenciales y radiales son idénticas y el esfuerzo cortante es igual a 0. Cuando la relación de Poisson es 0 .5, tenemos, a partir de la ecuación. 2 .1,
Ecuación 2,20 indica que la deformación radial es igual a la media de la deformación vertical y es de signo opuesto, o
Ecuación 2,21 se puede visualizar físicamente del hecho de que, cuando un material es incompresible y tiene el coeficiente de Poisson 0.5, la deformación horizontal es igual a la mitad de la deformación vertical, y la suma de z, r, y t debe ser igual a 0.
Tablas de Jones.- Los esfuerzos en un sistema de tres capas depende de los coeficientes k1, k2, A, y H, que se define como
Jones (1962) presenta una serie de tablas para determinar z1, z1-r1, 2 y 2 − 2. Sus tablas también incluyen valores de 1 − ′ 1, en la parte superior de la capa 2 y 2 − ′ 2 en la parte superior de la capa 3, pero estas tabulaciones en realidad no son necesarios, ya que puede ser fácilmente determinadas a partir de las que están en la parte inferior de las capas 1 y 2. La continuidad de desplazamiento horizontal en la capa de contacto implica que las deformaciones radiales en la parte inferior de una capa son iguales que en la parte superior de la capa siguiente, o, de la ecuación. 2.20b,
Las tablas presentadas por Jones consisten en cuatro valores de k1 y k2 (0,2, 2, 20, y 200), por lo que las soluciones para los valores intermedios de k1 y k2 se puede obtener por interpolación. En vista del hecho de que las soluciones para los sistemas de tres capas se puede obte ner fácilmente por KENLAYER y la interpolación de las tablas no es práctico y requiere una gran cantidad de t iempo y esfuerzo, sólo los casos más realistas (k1 = 2 , 20, y 200 y k2 = 2 y 20) se presentan, para conservar espacio. La Tabla 2.3 presenta los factores de esfuerzo para los tres sistemas de capa. La convención de signo es positiva en compresión y en tensión negativa. Cuatro grupos de factores de estrés, ZZ1, ZZ2, ZZ1 - RR1 y RR2-ZZ2 se muestran. El producto de la presión de contacto y los factores de esfuerzo dan esfuerzo:
Ejemplo 2.11: Dado el sistema de tres capas que se muestra en la Figura 2 .30 con a = 4,8 pulg (122 mm), q = 120 psi (828 kPa), h1 = 6 pulgadas (152 mm), h2 = 6 pulgadas (203 mm), E1 = 400.000 psi (2,8 GPa), E2 = 20.000 psi (138 MPa), y E3 = 10.000 psi (69 MPa), determinar todas los esfuerzos y deformaciones en los dos capas de contacto en el eje de simetría. Pagina (85-86)…Abacos………..
En el ejemplo anterior, los paráme tros K1, k2, A y H son exactamente los mismos que los mostrados en la tabla, por lo que no es necesaria la interpolación. Debido a que cada interpolación requiere tres puntos, la interpolación de sólo un parámetro requiere por lo menos tres veces el esfuerzo. Si los cuatro parámetros son diferentes de los de la tabla, el esfuerzo total requerido será 3 X 3 X 3 X 3, o 81 veces. Gráficos Peattie.- Peattie (1962) trazan las tablas de Jones en formas de gráficos. Figura 2 ,3 1 muestra un conjunto de gráficos para los factores de deformación radial, (RR1 - ZZ1) / 2, en la parte inferior de la capa 1. Como se indica por la ecuación. 2.20b, la deformación radial puede determinarse a partir
Las deformaciones radiales en la parte inferior de la capa 1 deben estar en tensión. Aunque las soluciones obtenidas a partir de los gráficos no son t an precisos como los de la tabla, el gr áfico tiene la ventaja de que la interpolación para A y H se puede hacer fácilmente. Sin em bargo, la interpolación para K1 y k2 es todavía complicada.
Ejemplo 2.2:. Para el mismo caso como el ejemplo 2.11 determina la deformación radial en la parte superior de ;a capa 1 como se muestra en la figura 2.32. si H2=8in(203mm), cual es la deformación radial en la parte superior de la capa 1.