MULTICOLINEALIDAD 10.30 Para evaluar la factibilidad de un salario anual garantizado (impuesto sobre la renta negativo), Rand Corporación valoró en un estudio la respuesta de la oferta de trabajo (horas promedio de trabajo) ante un incremento de los salarios por hora. Los datos de tal estudio se obtuvieron de una muestra nacional de 6 000 familias cuyo jefe (varón) ganaba menos de 15 000 dólares al año. Los datos se dividieron en 39 grupos demográficos para su análisis. Estos datos se proporcionan en la tabla 10.15. En vista de que para cuatro grupos demográficos había datos faltantes respecto de algunas variables, los datos de la tabla se refieren sólo a 35 de esos grupos. Las definiciones de las diversas variables del análisis se dan al final de la tabla. Tabla 10.15 Hours of work and other data for 35 groups OBS HOR TASA IAPE IAPO IPAN VALOR AS ES 1 2157 2.90 1121 291 380 7250 5 2 2174 2.97 1128 301 398 7744
EDA D 38.5
DEP
39.3
10.5
3
2062
2.35
1214
326
185
3068
40.1
4
2111
1203
49
117
1632
22.4
5
2134
1013
594
730
12710
57.7
6
2185
2.51 1 2.79 1 3.04
1135
287
382
7706
38.6
7
2210
1100
295
474
9338
39
8
2105
1180
310
255
4730
39.9
9
2267
1298
252
431
8317
38.9
10
2205
885
264
373
6789
38.8
11
2121
1251
328
312
5907
39.8
12
2109
1207
347
271
5069
39.7
13
2108
1036
300
259
4614
38.2
14
2047
1213
297
139
1987
40.3
2174
1141
414
498
10239
40
16
2067
1805
290
239
4439
39.1
17
2159
1075
289
308
5621
39.3
2.54 5 2.06 4 2.30 1 2.48
9.1
15
3.22 2 2.49 3 2.83 8 2.35 6 2.92 2 2.49 9 2.79 6 2.45 3 3.58 2 2.90 9 2.51
2.33 5 2.85 1 1.15 9 1.22 9 2.60 2 2.18 7 2.61 6 2.02 4 2.66 2 2.28 7 3.19 3 2.04
2.34
ESCOLARI DAD 10.5
8.9 11.5 8.8 10.7 11.2 9.3 11.1 9.5 10.3 8.9 9.2
11.7 10.5 9.5
18
2257
19
1985
20
2184
21
2084
22
2051
23
2127
24
2102
25
2098
26
2042
27
2181
28
2186
29
2188
30
2077
31
2196
32
2093
33
2173
34
2179
35
2200
1 2.51 6 1.42 3 3.63 6 2.98 3 2.57 3 3.26 2 3.23 4 2.28
1093
176
392
7293
37.9
553
381
146
1866
40.6
1091
291
560
11240
39.1
1327
331
296
5653
39.8
1194
279
172
2806
40
1226
314
408
8042
39.5
1188
414
352
7557
39.8
973
364
272
4400
40.6
2.30 4 2.91 2 3.01 5 3.01
1085
328
140
1739
41.8
1072
304
383
7340
39
1122
30
352
7292
37.2
990
366
374
7325
38.4
1.90 1 3.00 9 1.89 9 2.95 9 2.97 1 2.98
350
209
95
1370
37.4
947
294
342
6888
37.5
342
311
120
1425
37.5
1116
296
387
7625
39.2
1128
312
397
7779
39.4
1126
204
393
7885
39.2
6 2.04 2 3.83 3 2.32 8 2.20 8 2.36 2 2.25 9 2.01 9 2.66 1 2.44 4 2.33 7 2.04 6 2.84 7 4.15 8 3.04 7 4.51 2 2.34 2 2.34 1 2.34 1
10.1 6.6 11.6 10.2 9.1 10.8 10.7 8.4 8.2 10.2 10.9 10.6 8.2 10.6 8.1 10.5 10.5 10.6
Horas = horas promedio trabajadas durante el año. Tasa = salario promedio por hora (dólares). IAPE = ingresos anuales promedio de la esposa (dólares). IAPO = ingresos anuales promedio de otros miembros de la familia (dólares). IPAN = ingreso promedio anual no devengado. Valores = bienes familiares promedio (cuentas bancarias, etc.) (dólares). Edad = edad promedio del entrevistado.
DEP = número promedio de dependientes. Escolaridad = nivel máximo de escolaridad promedio completado a) Realice la regresión de las horas promedio trabajadas durante un año sobre las variables suministradas en la tabla e intérprete su regresión. b) ¿Existe evidencia de multicolinealidad en los datos? ¿Cómo sabe? c) Calcule las medidas del factor inflacionario de la varianza (VFI) y de la TOL para las diversas regresoras. d) Si existe un problema de multicolinealidad, ¿qué acciones correctivas, si acaso hay alguna, tomaría? e) ¿Qué sugiere este estudio sobre la viabilidad de un impuesto sobre la renta negativo?
SOLUCION a). La interpretación es sencilla. Manteniendo ceteris paribus, por lo tanto, si los salarios por hora suben en promedio en un dólar, las horas de trabajo anuales disminuyen alrededor de 93 horas. El R 2 es alto. La regresión de las horas de trabajo en todos los regresores, obtenemos los siguientes resultados: Dependent Variable: HORAS Method: Least Squares Date: 06/04/14 Time: 18:14 Sample: 1 35 Included observations: 35
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C TASA IAPE IAPO PAN VALORES EDAD DEP ESCOLARIDAD
1904.578 -93.75255 0.000225 -0.214966 0.157208 0.015572 -0.348636 20.72803 37.32563
251.9333 47.14500 0.038255 0.097939 0.516406 0.025405 3.722331 16.88047 22.66520
7.559849 -1.988600 0.005894 -2.194896 0.304427 0.612970 -0.093661 1.227930 1.646826
0.0000 0.0574 0.9953 0.0373 0.7632 0.5452 0.9261 0.2305 0.1116
R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood F-statistic Prob(F-statistic)
0.825555 0.771879 30.62279 24381.63 -164.2220 15.38050 0.000000
Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion Hannan-Quinn criter. Durbin-Watson stat
2137.086 64.11542 9.898400 10.29835 10.03646 1.779824
b). Para ahorrar espacio, vamos a calcular la VIF y TOL sólo de la tasa de regresores. La regresión del ratio o la Tasa sobre todos los demás regresores se obtiene un valor R2 de 0,9416. Utilizando la fórmula, se puede, se verificará que la VIF para este regresor es de aproximadamente 2.224, por lo tanto, TOL es la inversa de este número, que es 0,00045. c). No todas las variables son necesarias en el modelo. Usando una o más de las pruebas de diagnóstico tratados y una o más variables se puede utilizar o una combinación lineal de cuáles podrían ser utilizadas. d). Aunque los resultados son mixtos, tal vez hay algunas pruebas de que el efecto del impuesto sobre la renta es negativo.
HETEROCEDASTICIDAD 11.16. Gasto alimentario en India. En la tabla 2.8 se proporcionaron datos sobre el gasto en alimentos y el gasto total de 55 familias de India.
a) Haga la regresión del gasto alimentario sobre el gasto total y examine los residuos obtenidos en dicha regresión.
b) Grafique los residuos obtenidos en el inciso a contra el gasto total y verifique si existe algún patrón sistemático.
c) Si la gráfica del inciso b sugiere heteroscedasticidad, aplique las pruebas de Park Glejser y White para determinar si la sensación respecto de la heteroscedasticidad observada en b) se sustenta con estas pruebas.
d ) Obtenga los errores estándar de White consistentes con la heteroscedasticidad y compárelos con los errores estándar de MCO. Decida si vale la pena corregir este ejemplo a causa de la heteroscedasticidad.
SOLUCION a). Los resultados de la regresión son los siguientes: Dependent Variable: FOODEXP Method: Least Squares Date: 06/05/14 Time: 10:33 Sample: 1 55 Included observations: 55 Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C TOTALEXP R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood F-statistic Prob(F-statistic)
94.20878 0.436809 0.369824 0.357934 66.85575 236893.6 -308.1625 31.10345 0.000001
50.85635 0.078323
1.852449 5.577047
Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion Hannan-Quinn criter. Durbin-Watson stat
0.0695 0.0000 373.3455 83.43510 11.27864 11.35163 11.30686 2.083299
b). Trazando residuos contra el gasto total, podemos observar:
Parece que a medida que el total del gasto aumenta, el valor absoluto de los residuales también aumenta, tal vez de manera no lineal.
c). Prueba Park: Dado que el coeficiente de la pendiente de estimación es significativa, la prueba Park confirma heterocedasticidad Heteroskedasticity Test: Park Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C TOTALEXP
-16.86288 3.707235
10.00140 1.551873
-1.686053 2.386300
0.0977 0.0206
R-squared
Prueba de Glejser:
0.097018
Dado que el coeficiente de la pendiente estimada es estadísticamente significativa, la prueba Glejser también sugiere heterocedasticidad. Heteroskedasticity Test: Glejser F-statistic Obs*R-squared Scaled explained SS
8.282868 7.433689 7.664399
Prob. F(1,53) Prob. Chi-Square(1) Prob. Chi-Square(1)
0.0058 0.0064 0.0056
Test Equation: Dependent Variable: ARESID Method: Least Squares Date: 06/05/14 Time: 11:06 Sample: 1 55 Included observations: 55 Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C TOTALEXP
-32.21965 0.130709
29.48998 0.045417
-1.092563 2.877997
0.2795 0.0058
R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood F-statistic Prob(F-statistic)
0.135158 0.118840 38.76752 79654.81 -278.1900 8.282868 0.005758
Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion Hannan-Quinn criter. Durbin-Watson stat
51.30839 41.29911 10.18873 10.26172 10.21696 1.846747
Prueba de White: Si se multiplica el valor R cuadrado por el número de observaciones (55) y la hipótesis nula es que no existe heterocedasticidad, el producto resultante de 7,3745 sigue la distribución de chi-cuadrado con 2 y el valor p de dicho valor de chi-cuadrado es de aproximadamente 0.025, que es pequeño. Por lo tanto, al igual que la prueba de Park y Glejser, la prueba de White también sugiere heterocedasticidad Heteroskedasticity Test: White F-statistic Obs*R-squared Scaled explained SS
4.025939 7.374513 7.650764
Prob. F(2,52) Prob. Chi-Square(2) Prob. Chi-Square(2)
0.0237 0.0250 0.0218
Test Equation: Dependent Variable: RESID^2 Method: Least Squares Date: 06/05/14 Time: 11:37 Sample: 1 55 Included observations: 55 Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C TOTALEXP TOTALEXP^2
13044.00 -53.12260 0.059795
R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood F-statistic Prob(F-statistic)
0.134082 0.100778 6161.639 1.97E+09 -556.4346 4.025939 0.023681
21156.58 71.48347 0.058860
0.616546 -0.743145 1.015887
Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion Hannan-Quinn criter. Durbin-Watson stat
0.5402 0.4607 0.3144 4307.157 6497.746 20.34307 20.45257 20.38542 2.116734
d) Los resultados heteroscedasticidad-corregido de White, son las siguientes: Dependent Variable: FOODEXP Method: Least Squares Date: 06/05/14 Time: 11:49 Sample: 1 55 Included observations: 55 Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C TOTALEXP
94.20878 0.436809
43.26305 0.074254
2.177581 5.882597
0.0339 0.0000
R-squared
0.369824
En comparación con los resultados de la regresión MCO dadas en (a), no hay mucha diferencia en el error estándar del coeficiente de pendiente. Aunque el error estándar del intercepto ha disminuido. Si por esta diferencia vale la pena preocuparse, es difícil de decir. Pero a menos que resolvamos a través de este ejercicio, no sabremos qué tan grande o pequeña sea la diferencia entre la MCO y la prueba de White.
AUTOCORRELACION 12.21. Prueba para correlación serial de orden superior. Suponga que tenemos información de series de tiempo sobre una base trimestral. En los modelos de regresión que consideran información trimestral, en lugar de utilizar el esquema AR(1), puede ser más apropiado suponer un esquema AR(4) como el
siguiente:
ut = ρ4ut−4 + εt es decir, suponer que el término de perturbación actual está correlacionado con el término para el mismo trimestre del año anterior, en lugar de estarlo con el del trimestre anterior. Para probar la hipótesis de que ρ4 = 0, Wallis† sugiere la siguiente prueba d modificada de Durbin-Watson:
d4 =∑nt=5(ˆu t − ˆut−4)2 ------------------------------∑nt=1 ˆu2t El procedimiento de prueba sigue la rutina de la prueba d usual analizada en el texto. Wallis preparó las tablas d4, las cuales se encuentran en su artículo original. Suponga ahora que hay información mensual. ¿Puede generalizarse la prueba Durbin-Watson para considerar tal información? De ser así, escriba la fórmula d12 adecuada.
Solucion: La fórmula debería ser:
d12 =∑n13 (ˆu t − ˆut-12)2 ―――――――――――――――――
∑n1 ˆu2t
MODELOS DINAMICOS Considere el siguiente modelo de rezagos distribuidos:
Yt = α + β0Xt + β1Xt−1 + β2Xt−2 + β3Xt−3 + β4Xt−4 + ut Suponga que βi se expresa adecuadamente mediante el polinomio de segundo grado de la siguiente manera:
βi = a0 + a1i + a2i
2
¿Cómo estimaría las β si deseamos imponer la restricción de que β0 = β4 = 0?
SOLUCION: Teniendo en cuenta que:
βi = a0 + a1i + a2i
2
Si:
β0 = 0 → a0 = 0 y cuando β4= 0 → a0 + 4a1+ 16a2 = 0 → a1 = -4a2 Por lo tanto el modelo transformado es:
Yt = α + ∑4i=0 (βi Xi ) + ut = α + ∑ (a0 + a1i +a 2i2) Xt-1 + ut = α + a2 (-4∑ i Xt-i + ∑ i2 Xt-i ) + ut
