Transformasi
Suatu transformasi pada bidang V adalah suatu fungsi yang bijektif dengan daerah asalnya V dan daerah nilainya V juga. Pencerminan (reflexi) reflexi) pada sebuah sebuah garis s adalah sebuah fungsi M yang didefinisikan didefinisikan untuk setiap titik pada bidang V sebagai berikut : (i) jika P s maka QUOTE 12Ms">
12Ms">
(ii) jika P
(P) = P,
s maka QUOTE 12Ms">
sumbu QUOTE 12PP'"> QUOTE 12Ms">
12Ms">
12PP'">
12Ms">
(P) = P¶ sehingga garis s adalah
. Pencerminan M pada garis s ditulis
. Dan garis s dinamakan sumbu reflexi atau sumbu
pencerminan atau cermin. 1. Definisi : Suatu transformasi titik
dan
berlaku
adalah suatu isometri jika dan hanya jika untuk setiap pasang dengan
dan
.
2. Ada 4 isometri dasar, yaitu: translasi, refleksi, rotasi, dan refleksi geser. Suatu pencerminan atau refleksi pada sebuah garis
adalah suatu transformasi yang
mengawetkan jarak atau juga dinamakan suatu isometri. Kecuali untuk mengawetkan jarak antara dua titik, suatu isometri memiliki sifat-sifat berikut: Teorema : Sebuah isometri bersifat: a. memetakan garis menjadi garis b. mengawetkan besarnya sudut antara dua garis
c. mengawetkan kesejajaran dua garis Isometri
Langsung dan Isometri Lawan
Definisi : 1) Suatu transformasi
mengawetkan suatu orientasi apabila untuk setiap tiga titik tak segaris
orientasinya sama dengan ganda
dengan
,
,
. 2) Suatu transformasi
membalik suatu orientasi apabila untuk setiap tiga titik yang tak segaris
orientasinya tidak sama dengan orientasi peta-petanya ,
,
dengan
.
Definisi : Suatu transformasi dinamakan langsung apabila transformasi itu mengawetkan orientasi; suatu transformasi dinamakan transformasi lawan apabila transformasi itu mengubah orientasi. Salah satu sifat yang penting dalam geometri transformasi kita adalah: HASIL KALI TRANSFORMASI Definisi
: Andaikan F dan G dua transformasi , dengan
F:VV G:VV Maka produk atau komposisi dari F dan G yang ditulis sebagai G F didefinisikan sebagai (G F)(P) = G [F(P)],
P
V.
Transformasi Balikan
Jika g sebuah garis dan Mg refleksi pada garis g, maka MgMg(P) = P. Kita tulis juga M2g(P) = P.Jadi M2 adalah suatu transformasi yang memetakan setiap titik pada dirinya. Transformasi yang demikian dinamakan transformasi identitas yang dilambangkan dengan
huruf I. Jadi I(P) = P,
P.
Teorema: 1) ³Setiap transformasi T memiliki balikan ´ Definisi
: Suatu transformasi yang balikannya adalah transformasi itu sendiri dinamakan
suatu involusi. Definisi
Setengah Putaran
Sebuah setengah putaran dengan pusat a dinotasikan SA adalah suatu padanan yang didefinisikan sebagai berikut. Untuk setiap titik P pada bidang: (i) jika P A, maka S
A(P)
= P¶ dengan A titik tengah PP¶
(ii) jika P = A, maka SA(P) = P = A. 1. Ruas Garis Berarah Definisi
: Suatu ruas garis berarah adalah sebuah ruas garis yang salah satu ujungnya
dinamakan titik pangkal dan ujung yang lain dinamakan titik akhir. Apabila A dan B dua titik, lambang
menyatakan ruas garis berarah dengan
pangkal A dan titik akhir B. Perhatikan bahwa berbeda, seperti anda ketahui
P A C B
:
=
apabila
melukiskan dua hal yang
menggambarkan sinar atau setengah garis yang
berpangkal di A dan melalui B. Definisi
dan
(A) = D dengan P titik tengah
D
Gambar 9.1 2. Sifat-sifat Ruas Garis Berarah Teorema :
Andaikan
dan
dua ruas garis berarah yang tidak segaris maka segiempat ABCD
sebuah jajaran genjang jika dan hanya jika
=
.
Teorema :
Diketahui ruas-ruas garis berarah 1)
=
2) Jika 3) Jika
,
, dan
maka
(sifat refleksi) =
maka =
dan
=
(simetrik ) =
maka QUOTE 12AB=EF">
12AB=EF">
(transitif ) GESERAN Definisi
:
Suatu padanan G dinamakan suatu geseran apabila ada ruas garis berarah setiap titik P pada bidang menjadi P¶ dengan G(P) = P¶ dan
=
.
sehingga
Rotasi Definisi
: andaikan A sebuah titik dan QUOTE 12Ï">
memenuhi
QUOTE
12Ï">
12-180<Ï<+180">
sebuah bilangan yang 12-180<Ï<+180">
. Sebuah rotasi menggelilingi A adalah sebuah padanan QUOTE 12RAÏ:Vâ¶V">
12RAÏ:Vâ¶V">
1) QUOTE 12RAÏA=A">
12RAÏA=A">
2) Jika QUOTE 12PâÅ A">
12PâÅ A">
12RAÏP=P'"> PAP'=Ï">
yang ditentukan sebagai berikut :
maka QUOTE 12RAÏP=P'">
sehingga QUOTE 12mâÖ PAP'=Ï"> dan QUOTE 12AP'=AP">
12mâÖ
12AP'=AP">
Lanjutan Isometri
hasil kali reflexi geser dengan sebuah translasi adalah suatu reflexi atau reflexi geser. hasil kali reflexi geser dengan reflexi adalah sebuah translasi atau sebuah rotasi. Similaritas Definisi:
Suatu transformasi T adalah suatu transformasi kesebangunan apabila ada sebuah konstanta k>0 sehingga untuk setiap titik pasang titik P, q, jarak P¶Q¶= kPQ dengan T(P )=P¶ dan T(Q)=Q¶. Apabila k=1 maka transformasi tersebut adalah isometri. Similaritas di atas disebut similaritas dengan faktor k dilambangkan Tk . DILASI
Definisi:
Diketahui sebuah titik A dan sebuah bilangan positif r. Suatu dilasi D dengan faktor skala r dan pusat A adalah padanan yang bersifat: 1) D(A) = A 2) Jika QUOTE 12PâÅ A, P'=D(P)">
12PâÅ A, P'=D(P)">
adalah titik pada sinar QUOTE 12AP"> 12AP'=rAP."> 12AP'=rAP">
12AP">
sehingga QUOTE 12AP'=rAP.">
(ini setara dengan mengatakan bahwa QUOTE
12AP'=rAP">
).
Dilasi dengan pusat A dan faktor skala r ini dilambangkan dengan QUOTE 12DAr"> 12DAr">
.
Akibat 1
QUOTE 12DAr">
12DAr">
adalah suatu kesebangunan (similaritas).
Afinitas
Sebuah afinitas adalah suatu transformasi yang memiliki sifat-sifat sebagai berikut: a. Mengawetkan ke-antara-an titik-titik yang segaris. Artinya jika P antara A dan B maka P¶ antara A¶ dan B¶. b. Mengawetkan rasio perbandingan antara ruas-ruas garis. Artinya kalau P antara A dan B dengan QUOTE 12APAB"> 12A'P'A'B'">
12APAB">
= k.
c. Memetakan ruas garis pada ruas garis. d. Mengawetkan kesejajaran.
= k maka QUOTE 12A'P'A'B'">
Suatu kesebangunan adalah suatu afinitas akan tetapi suatu afinitas tidak perlu memiliki suatu konstanta k > 0 sehingga untuk setiap dua titik P dan Q berlaku P¶Q¶ = kPQ.
