Trans Tr nsfformasi Laplace & Persamaan Dierensial Sistem Pengendalian Adi Kurniawan, ST, MT
MODEL MATEMATKA • !ancangan dari sistem "endali mem#utu$"an rumus
model matemati"a dari sistem%
Mengapa $arus dengan model matemati"a Agar "ita dapat merancang dan menganalisis sistem "endali% Misaln'a( )agaimana $u#ungan antara input dan output% )agaimana mempr mempredi"si*menggam#ar" edi"si*menggam#ar"an an perila" perila"u u dinami" dari sistem "endali "endali terse#ut%
KOMPO+E+ DSA+ SSTEM KE+DAL
Dua metoda untu" mengem#ang" mengem#ang"an an model matemati"a dari sistem "endali( % -un ungs gsii Pin Pinda da$ $ . Transfer Transfer -unction -unction// dalam domain fre"uensi .mengguna"an Transformasi Laplace/% 0% Pers ersama amaan1p an1pers ersamaa amaan n !uang !uang Kead Keadaan aan .State .State Space E2uations// dalam domain wa"tu% E2uations
TRANSFORMASII LAPLACE TRANSFORMAS x(t)
y(t)
Time Domain Time Domain
Circuit Circuit
"n$erse
#aplace
L
−1 L
Transform
Transform
s-Domain
X(s)
Circuit s =σ
#aplace
Y(s)
+ jω = Complex Frequency
2 Types of s-Domain Circuits Wit an! Witout "nitial Con!itions
3A!A)EL KOMPLEKS s 4 σ 5 6ω dengan ( σ adala$ "omponen n'ata 6ω adala$ "omponen ma'a
• 3aria#el "omple"s(
6ω 6ω
o
)idang s s1
σ1
σ
Overview • Persamaan Dierensial 'ang diperole$ dari
pemodelan matemati" suatu sistem mewa"ili proses dinami" dari sistem terse#ut dimana responsen'a a"an #ergantung pada masu"ann'a • Solusi dari persamaan dierensial terdiri dari solusi steady state .didapat 6i"a semua "ondisi awal nol/ dan solusi transien .mewa"ili pengaru$ dari "ondisi awal/% • T Transformasi ransformasi Laplace merupa"an sala$ satu tools 'ang diguna"an untu" men'elesai"an persamaan dierensial%
• T Transformasi ransformasi Laplace Laplace meng"on7e meng"on7ersi"an rsi"an persamaan dierensial dalam domain waktu (t) "edalam "e dalam persamaan al6a#ar a l6a#ar dalam domain frekuensi kompleks (s) 'ang dide8nisi"an • Memung"in"an memanipulasi persamaan al6a#ar
dengan aturan seder$ana untu" meng$asil"an solusi dalam domain s% • Solusi dalam domain t dapat diperole$ dengan mela"u"an mela"u" an operasi inverse transformasi Laplace
Prosedur Pen'elesaian PD % T Transform ransformasi asi persamaan dierensial "e dalam domain s dengan transformasi Laplace% 0% Manipulasi persamaan al6a#ar 'ang tela$ ditransformasi"an untu" mendapat"an 7aria#el outputn'a% :% La"u"an e"spansi peca$an parsial ter$adap persamaan al6a#ar pada lang"a$ 0% ;% La"u"an in7ers transformasi Laplace dengan ta#el transformasi Laplace untu" mendapat"an solusi dalam domain t%
Denisi ∞
∫
− st = = ( ) { ( ) } ( ) F s L f t f t e dt %
f ( t )
Transformasi T ransformasi Laplace F ( s) s) dari fungsi f (t )
−1
= L { F ( s )}
n7erse Transformasi Laplace
dengan( f.t/ 4 fungsi wa"tu t, dengan f.t/4= untu" t>= s 4 7aria# 7aria#el el "omple"s
n i m a < d a m a $ o M % g n 1 % r D
n7erse Transformasi Laplace • ntegral in7erse Transformasi Laplace ( f (t ) =
1
σ
+ jω
∫
F ( s )e st ds
2π j σ − jω
• Per$itungan integral Persamaan di atas
memerlu"an integral "ontur 'ang relatif rumit% • ?mumn'a pen'elesaian in7erse Transformasi T ransformasi Laplace mengguna"an mengguna"an e"spansi peca$an parsial "emudian "emudian diselesai"an diselesai" an dengan ta#el%
Contoh Transformasi Laplace
@onto$ Laplace L aplace dari fungsi step step((f(t) & f.t/ 4 = untu" t > = 4 A untu" t =
• Transformasi Transformasi
Bawa#(
t L Df .t/C
∞
= ∫ Ae %
−st ∞
− e dt = A = s %
− st
A s
Unit Impulse Function
'atematical representation of 'atematical sort urst of input (litnin* ammer lo+* etc,)
#.f ( t )-
st
F(s)
f ( t )e !t %
f(t) ∞
δ( t )
t
#.δ( t )- =
−st ( t ) e δ ∫ !t = 1 %
;
• Transformas Transformasii
Laplace dari fungsi e"sponensial e"sponensial e-at
#eri"ut( f.t/ 4 = untu" t > = 4 Ae1at untu" t =
&
t
Bawa#( − at
LDAe
C=
∞
∫ Ae %
− at −st
e
∫ e
dt = A
−. s+ a/ t ∞
∞ −.s+ a/ t
%
− e A = A = .s + a/ % .s + a/
dt
• Transformas Transformasii
Laplace dari fungsi sinusoida #eri" #eri"ut( ut( f.t/ 4 = untu" t > = 4 A sinωt untu" t =
Bawa#( sin n LDA si
∞
ωtC = ∫ A si sin nωt e− stdt %
e 6ωt 4 cos ωt 5 6 sin ωt e1 6wt 4 cos ωt 1 6 sin ωt
sin si nωt = ∞
LDf .t/C
=
A .e 6ωt 2 6 %
∫
=
1 2 6
.e 6ωt
− e− 6ωt /
− e− 6ωt /e−stdt
A 1 2 6 s − 6ω
−
A 1 2 6 s + 6ω
=
Aω s2
+ ω2
Ta#el Transf Ta sfo ormasi Laplace f(t) f(t)
=
# { f(t) f(t) }
1,
δ (t)
1
2,
e -at
a
0,
a,u(t)
,
cos at
,
sin at
F(s) F(s)
s/a a s s s2
+
a2
a s2
+
a2
Ta#el T a#el seleng"apn'a dapat dili$at di Oogata $al% 00
S-AT L+E!TAS F1 (s) = #.f 1 ( t )-
c1 * c 2
= Cons tan ts
F2 (s) = #.f 2 ( t )-
#.c1 ,f 1 ( t )
c 2 ,f 2 ( t )-
c1,#.f 1 ( t )c1,F1 (s)
c 2 ,#.f 2 ( t )-
c 2 ,F2 (s)
S-AT T!A+SLAS 3i4a
#.e at f ( t )- = F(s − a )
F(s)5#.f(t)
#.e at f ( t )
.e at f ( t )e st !t %
Conto t
#.e C os ( 2 t )-
f ( t )e
(s a ) t
!t
F(s a )
%
#.C os ( 2 t )-
s 1 (s 1) 2
s s2
s 1 s 2 2s
67eruaan s4ala +a4tu
#.f (a,t )su st
#.f (a,t )
f (a,t )e !t %
1
f ( u )e
a
F( ) a a
!u
1
s
F( ) a a
a
%
s
Conto
#.8in 8in ( t )-
1 s
2
#.8in 8in (0t ) 1
1
1
0 s 0
0
2
1
s2
9 0=
TE T EO!EMA D-E E!E+SAS Transformasi Laplace Transformasi Laplace dari turunan fungsi f.t/ di#eri"an di#eri"an se#agai ∞ df (t ) − st df (t ) = ∫ % L e dt dt dt
ntegrasi #agian demi #agian mem#eri"an ∞ df (t ) − st ∞ − st = [ ] + L f ( t ) e s f ( t ) e dt % ∫ % dt
df .t/ L = −f .=/ + sL{f .t/} dt Transformasii Laplace sangat #erguna Transformas #erguna "arena "arena mengu#a$ persamaan diferensial men6adi persamaan
Turunan Pertama [Derivative first order] • df L. f :(t )- = L. - = L. f (t )- = s,F ( s ) − f (% ) dt
∞
∫
L. f :(t )- = e
− st
∞
∞
∫
f :(t )dt = e f (t ) − − se f (t) dt % − st
%
− st
%
= sF (s) − f (%) L. f :(t )- = s,F (s ) − f (% )
00
Turunan orde tinggi (Derivatives of higher order) df L. f :(t )- = L. - = L. f :(t )- = s,F ( s ) − f (%) dt
L. f ;(t )- = s 2 ,F ( s ) − s, f (%) − f :(%) (n )
#. f ( t )- = s F(s) − s n
(n )
n −1
f (%) − s n
#.f ( t )- = s F(s) − n
∑s
n −2
n −i
(1)
( n −1)
f (%) ,,,,, − f (%)
( i −1)
, f (%)
i =1
0:
S-AT1S-AT T!A+S-O!MAS LAPLA@E Time Function
#aplace #aplace Function
&f(t) + <(t)
&F(s) + <=(s)
− at
F(s + a)
e f(t)
− !F(s)>!s
t f(t) !f !t t
∫ f(λ ) !λ
%−
−
sF sF(s) − f(% ) 1 s
F(s)
n7erse Transformasi Laplace • ntegral in7erse Transformasi Laplace ( f (t ) =
1
σ
+ jω
∫
F ( s )e st ds
2π j σ − jω
• Per$itungan integral Persamaan di atas
memerlu"an integral "ontur 'ang relatif rumit% • ?mumn'a pen'elesaian in7erse Transformasi T ransformasi Laplace mengguna"an mengguna"an e"spansi peca$an parsial "emudian "emudian diselesai"an diselesai" an dengan ta#el%
0
n7erse Transformasi Laplace • Fasil a"$ir solusi dalam domain S #iasan'a
meng$asil"an #entu"
dimana dera6at s pada ).s/ le#i$ "ecil dari A.s/% ?ntu" mela"u"an in7erse Transformasi Laplace "e domain .t/, #entu" terse#ut $arus diu#a$ dengan e"spansi peca$an parsial, conto$n'a(
?)e#erapa )entu" Peca$an Parsial •
Bergantung kepada bentuknya , maka terdapat beberapa kasus yang berbeda : Kasus
1 :- Faktor orde-1 tidak berulang.
Kasus
2 :- Faktor orde-1 berulang.
Kasus
3 :- Faktor orde-2
/ " i l s a r e ) 7 n e c . a l p a L i s a m r o f s n a r T
0G
% -a"tor Orde1 Tida" )erulang X ( s) =
B( s) A( s)
X ( s) =
=
B ( s)
( s + p1 ) ( s + p2 )( s + p0 ),,,,( s + pn ) A1 s + p1
+
An = ( s + pn )
A2 s + p2
+
A0 s + p0
B ( s)
,,,,, +
An s + pn
/ " i l s a r e ) 7 n e c . a l p a L i s a m r o f s n a r T
A( s) s = − pn 0H
?@onto$ ( Orde1 Tida" )erulang
./ −1 L X ( s ) =
X ( s ) =
s + 1 s 2 + A s + 1
s + 1
= @
=
A1
+
A2
( s + 0)( s + ) ( s + 0) ( s + ) s + 1 A1 = ( s + 0) = −1 ( s + 0)( s + ) s = −0
A2
= ( s + )
s + 1 ( s + 0)( s + ) s = −
=2
/ " i l s a r e ) 7 n e c . a l p a L i s a m r o f s n a r T
0I
?@onto$ ( Orde1 Tida" )erulang
.0/ 1 2 − X ( s ) = + ( s + 0) ( s + ) x (t ) = L
−1{ X ( s )} = − 0t − t − e + 2e u (t )
/ " i l s a r e ) 7 n e c . a l p a L i s a m r o f s n a r T
:=
?@onto$ 0 ( Orde1 Tida" )erulang
./ −1 L X ( s ) =
X ( s ) =
=
s − 2 0
s + s s − 2
2
+ s
=
= @ s − 2
s + s + s s ( s + 1)( s + ) A1 A2 A0 0
s
2
+
( s + 1) s − 2
+
( s + )
1
A1 = s =− s ( s + 1)( s + ) s = % 2
/ " i l s a r e ) 7 n e c . a l p a L i s a m r o f s n a r T
:
?@onto$ 0 ( Orde1 Tida" )erulang
.0/ A2
= ( s + 1)
s − 2
s ( s + 1)( s + ) s = −1
=1
s − 2
1
A0 = ( s + ) =− 2 s ( s + 1)( s + ) s = −
%, − X ( s ) = +
% , − + s ( s + 1) ( s + ) 1 −t 1 − t −1 { X ( s )} = − + e − e u (t ) x(t ) = L 1
2
2
/ " i l s a r e ) 7 n e c . a l p a L i s a m r o f s n a r T
:0
0% -a"tor orde1 #erulang X ( s ) = =
B( s )
=
A( s ) A1
B(s)
( s + p)
An
= (s + p)
Ak = k
1
A2
+
s + p
n
( s + p) n
2
+
A0
( s + p)
0
,,,,, +
An
( s + p)
B ( s ) A( s ) s = − p d n − k
(n − k ) B ds
n − k
1* 2* ,,,* n − 1 = 1*
(s + p)
n
B(s)
n
/ " i l s a r e ) 7 n e c . a l p a L i s a m r o f s n a r T
A( s ) s = − p ::
?@onto$ : ( Orde1
)erulang ./ −1 L X ( s ) = ?
s + 2 2
= @
+ 2 s + 1 s + 2 s + 2 X ( s ) = = 2 s + 2 s + 1 ( s + 1) 2 s + 2 A1 A2 X ( s ) = = + ( s + 1) 2 ( s + 1) ( s + 1) 2 2 s + 2 A2 = ( s + 1) 1 = ( s + 1)2 s = −1 s
/ " i l s a r e ) 7 n e c . a l p a L i s a m r o f s n a r T
:;
?@onto$ : ( Orde1
)erulang .0/ A1 = X ( s ) =
x (t ) =
1 d 1B d s
( s + 1)
1 ( s + 1)
L
+
2 s + 2
( s + 1) 2 s = −1
=1
1 ( s + 1) 2
−1{ X ( s )} = e−t + te −t u (t )
/ " i l s a r e ) 7 n e c . a l p a L i s a m r o f s n a r T
:
?@onto$ ; ( Orde1
)erulang ./ L −1 X ( s) =
A s − s 0 − 0 s 2 − 9 s −
A s −
= @
A1 A2 X ( s ) = = + + 2 ( s − ) ( s + 1) ( s + 1) 2 ( s − )( s + 1)
B = ( s − ) A2
= ( s + 1)
B
A s − ( s − )( s + 1) A s − 2
2 s
=
=1
( s − )( s + 1)2 s = −1
=2
/ " i l s a r e ) 7 n e c . a l p a L i s a m r o f s n a r T
:J
?@onto$ ; ( Orde1
)erulang .0/ A1 =
= X ( s ) =
1 d 1B ds
( s + 1)
d A s − d s ( s − ) 1 ( s − )
x(t ) = L
−1
−
A s −
2
( s − )( s + 1)
=
2 s
= −1
A( s − ) − (A s − )
1 ( s + 1)
{ X ( s )} =
+
( s − ) 2 2
s = −1
( s + 1) 2
= −1
/ " i l s a r e ) 7 n e c . a l p a L i s a m r o f s n a r T
et − e −t + 2te −t u (t ) :G
:% -a"tor Orde10 Bi"a A.s/ memili"i fa"tor ( s 2
X ( s ) =
X ( s ) =
=
+ ps + q)
B( s ) A( s )
B ( s )
( s 2 + p1s + q 1 ),,,,,( s 2 + pn s + q n ) A1s + B1
( s
2
+ p1s + q 1 )
+ ,,, +
An s + Bn
( s 2 + pn s + q n )
/ " i l s a r e ) 7 n e c . a l p a L i s a m r o f s n a r T
:H
?@onto$ ( Orde10 ./ L −1 X ( s) = ?
X ( s ) =
s + s 0 + s 2 + s + s +
( s + 1)( s 2 + )
C = ( s + 1)
=
= @
As + B
( s 2 + )
+
C
( s + 1)
s + ( s + 1)( s 2 + ) s = −1
=1
/ " i l s a r e ) 7 n e c . a l p a L i s a m r o f s n a r T
:I
?@onto$ ( Orde10 .0/ 2 + s ( + ) As + B 1 + = X ( s ) = 2 ( s + ) ( s + 1) ( s 2 + )( s + 1) As 2 + ( A + B ) s + B + s 2 + = 2 ( s + )( s + 1)
( As + B ) ( s + 1)
X ( s ) =
=
2
( A + 1) s + ( A + B ) s + ( B + ) ( s 2 + )( s + 1) s + ( s
2
+ )( s + 1)
A54=A41 A5)4)40
/ " i l s a r e ) 7 n e c . a l p a L i s a m r o f s n a r T
;=
?@onto$ ( Orde10 .:/ − s + 2 1 X ( s ) = + ( s 2 + ) ( s + 1)
s 2 1 − + + X ( s ) = ( s 2 + 22 ) ( s 2 + 22 ) ( s + 1)
L { cos ω %t u (t )}
=
s s
2
+ ω %
x(t ) = L −1{ X ( s )}
2
D L { sin sin ω %t u (t )}
=
ω %
s
2
+ ω %
2
cos 2t + sin sin 2t + e −t u (t ) = − cos
Transformasi T ransformasi Laplace )ali" .n7ers/
;
?@onto$ J ( Orde10 ./ L
?
2 + 2 s s + −1 X ( s) = s( s 2 − s + ) = @
2 s 2 + s +
As + B
C = 2 + X ( s ) = 2 s ( s − s + ) ( s − s + ) s
2 s 2 + s + C = s 1 = s ( s 2 − s + ) s = % As + B
1 X ( s ) = 2 + ( s − s + ) s
/ " i l s a r e ) 7 n e c . a l p a L i s a m r o f s n a r T
;0
?@onto$ J ( Orde10 .0/ X ( s ) = X ( s ) =
( A + 1) s 2 + ( B − ) s +
;
s ( s 2 − s + ) s + 1% 2
+
A + 1 = 2 ⇒ A = 1 B − = ⇒ B = 1%
1
− s + ) s ( s − 2) 12 1 = + + 2 2 ( s − 2) + 1 ( s − 2) + 1 s ( s
x(t ) = L
{ X ( s )} =
−1
e cos t + 12e 2t
2t
sin sin t + 1 u (t )
/ " i l s a r e ) 7 n e c . a l p a L i s a m r o f s n a r T
;:
Lati$an @arila$ transformasi Laplace #ali" dari
X ( s ) =
2 s + 1 0
&2
s + 0s − s
− s − 21 X ( s ) = 0 2 s − s 2 + As − s
2
Ekspansi Pecahan Parsial: dengan software Mata! • -ungsi transfer, -.s/4).s/*A.s/(
B ( s ) A( s ) an * bm •
=
num den
+ bm −1s m −1 + ,,, + b1s + b% = n an s + an −1s n −1 + ,,, + a1s + a% bm s m
≠%
Dalam 'at#a 'at#a numerator (pemilan)* num !an !enumerator (penyeut)* !en !itulis4an !alam entu4 $e4tor aris yan !inyata4an !enan 4oefisiennya
num = .bm bm −1 ,,, b% -
Perinta$ ini a"an mencari Perinta$ residu, poles dan direct term dari e"spansi peca$an parsial +.s/*D.s/
den = .an an −1 ,,, a% •
7erinta
.r*p*45resi!ue(num*!en) •
E4spansi pecaan parsialnya a!ala
N ( s ) D ( s )
=
r (1) s − p (1)
+
r (2) s − p (2)
+ ,,, +
r (n) s − p (n)
Dr%1ng% Dr %1ng% Mo$amad
".s/ adala$ direct term
+ k ( s ) ;
@onto$ •
Dengan mengguna"an MatLa#, tentu"an e"spansi peca$an parsial dari fungsi transfer tra nsfer #eri"ut(
N ( s ) D ( s)
=
s 2 + 2 s + 0 s
0
+ 0 s + 0 s + 1 2
Solusi dengan MatLa#(
r
4 %==== =%==== 0%====
p
4 1%==== 1%==== 1%====
num4 0 :N den4 : : N r,p,"4residue.num,den/ E"spansi peca$an parsialn'a( N ( s ) D ( s )
=
1 ( s + 1)
+
% ( s + 1)
+ 2
2 ( s + 1) 0
n i m a < d a m a $ o M % g n 1 % r D
"4 ;J
Model sistem kontinyu
8uatu
sistem !inami4 !i+a4ili ole persamaan !ifferensial !ifferensial iasa (ODE( ODEordinary differentia equation) equation) yan !iturun4an !ari penomena pysi4 suatu proses !i !alam sistem>plant sistem>plant
Dalam
Te4ni T e4ni4 4 4ontrol secara umum entu4 GDE* !imana su4u seela 4iri a!ala Output !an !an seela 4anan a!ala !nput a!ala !nput
an y n
+ an−1 y n−1 + ,,, + a1 y1 + a% y = bm y m + bm−1 y m−1 + ,,, + b1 y1 + b% y
"ontoh: #olusi Persamaan Di$ Di$erensial erensial Di#eri"an persamaan dierensial s##( d 2 y ( t ) dt 2
+0
dy ( t ) dt
+ 2 y( t ) = f ( t )
Dimana f.t/ adala$ fungsi unit step dengan "ondisi awal '.=/41 dan '.=/40% Transformasi Laplace meng$asil"an( 1 s " ( s ) − sy( %) − yH(%) + 0 s" ( s ) − 0 y (%) + 2" ( s) = -ungsi unit step s dari ta#el transformasi 2 s " ( s ) + s − 2 + 0 s" ( s ) + 0 + 2" ( s ) = Laplace s 2
s ( s 2 + 0 s + 2)" ( s ) = − s 2 − s +
Mengguna"an teorema dierensiasi transformasi Laplace
2
" ( s ) =
− s − s + 2
s ( s + 0 s + 2)
Solusi dalam domain t diperole$ dengan in7ers transformasi Laplace
n7ers transformasi Laplace dila"u" dila"u"an an dengan memanipulasi pen'e#ut .denumerator/ dalam fungsi <.s/ "ed "edalam alam a"ar1 a"arn'a( − s 2 − s + − s 2 − s + " ( s ) =
s ( s 2 + 0 s + 2)
=
s ( s + 1)( s + 2)
E"pansi dalam peca$an parsial, " ( s ) =
A s
− s 2 − s + + + = ( s + 1) ( s + 2) s ( s + 1)( s + 2) B
C
Dimana A, ) dan @ adala$ − s 2 − s + "oe8sien A = . s" ( s)- s =% = = ( s + 1)( s + 2) 2 − s 2 − s + B = .( s + 1)" ( s)- s = −1 = = − s( s + 2) − s 2 − s + 0 C = .( s + 2)" ( s )- s = −2 = = s ( s + 1) 2
Persamaan Persam aan <.s/ dalam #entu" peca$an parsial men6adi
" ( s ) =
2 s
−
( s + 1)
+
0 2( s + 2)
Dengan in7ers transformasi Laplace .di dapat dari ta#el/, persamaan dalam domain wa"tu '.t/ men6adi
y (t ) = Dengan t=
2
−t
− e +
0 2
e − 2t
@onto$ Soal Terapan
Lati$an @arila$ '.t/ dari persamaan dierensial #eri"ut(