TRANSFORMASI LINEAR Transformasi linear merupakan fungsi khusus dari suatu ruang vektor ke ruang vektor yang lain. Fungsi khusus tersebut didefinisikan sebagai berikut. Definisi 2.1. Jika T: V1 → V2 merupakan fungsi dari ruang vektor V1 ke ruang vektor V2, maka T dinamakan transformasi linear, jika dan hanya jika 1. T(u + v) = F(u) + F(v) untuk setiap vektor u dan v di V1. 2. T(ku) = kT(u) untuk setiap vektor u di V1 dan setiap skalar k. Contoh 2.1. Untuk fungsi-fungsi berikut, selidiki apakah fungsi tersebut merupakan transformasi linear? Berikan alasannya! 1. Fungsi F1 dari R2 ke R2 yang didefinisikan dengan F1((x,y)) = (2x – y, x) untuk setiap (x,y) R2. 2. Fungsi F2 dari R2 ke R2 yang didefinisikan dengan F2((x,y)) = (x2,y) untuk setiap (x,y) R2. 3. Fungsi T1 dari R3 ke R3 yang didefinisikan dengan T1((x,y,z)) = (1,z,y) untuk setiap (x,y,z) R3. 4. Fungsi T2 dari R3 ke R3 yang didefinisikan dengan T2((x,y,z)) = (x + 2y, y – z, x + 2z) untuk setiap (x,y,z) R3. Penyelesaian: 1. Misalkan u = (x1 , y1) dan v = (x2 , y2) anggota R2 dan k sebarang skalar. F1(u + v) = F1((x1 + x2 , y1 + y2)) = (2(x1 + x2) – (y1 + y2), x1 + x2) = (2x1 + 2x2 – y1 – y2, x1 + x2) = ((2x1 – y1) + (2x2 – y2), x1 + x2) = (2x1 – y1, x1) + (2x2 – y2, x2)
1
= F1(x1, y1) + F(x2, y2) = F1(u) + F1(v). F1(ku)
= F1((kx1, ky1)) = (2kx1 – ky1, kx1) = k(2x1 – y1, x1) = kF1(x1, y1) = kF1(u).
Jadi, F1 adalah transformasi linear. 2. Misalkan u = (x1 , y1) dan v = (x2 , y2) anggota R2 dan k sebarang skalar. F2(u + v) = F2((x1 + x2 , y1 + y2)) = ((x1 + x2)2, y1 + y2) = (x12 + 2x1x2 + x22, y1 + y2) F2(u) + F2(v) = F2((x1 , y1)) + F2((x2 , y2)) = (x12,y1) + (x22,y2) = (x12 + x22, y1 + y2) Ternyata F2(u + v) ≠ F2(u) + F2(v). Jadi, F2 bukan transformasi linear. Untuk contoh nomor 3 dan 4, silakan Anda selesaikan seperti contoh nomor 1 dan 2. Ada beberapa definisi dan teorema berkenaan dengan transformasi linear yang harus Anda ketahui, karena definisi dan teorema tersebut sering digunakan dalam aljabar linear. Definisi dan teorema tersebut adalah: Definisi 2.2. 1. Misalkan T: V1 → V2 adalah transformasi linear. Himpunan vektor di V1 yang oleh T dipetakan ke o dinamakan kernel (ruang nol dari T). Himpunan tersebut dinyatakan oleh ker(T). Himpunan semua vektor di V2 yang merupakan bayangan oleh T dinamakan jangkauan dari T. Himpunan tersebut dinyatakan oleh R(T). Dengan demikian ker(T) = {v V1 T(v) = 0}, dan R(T) = {w V2 T(v) = w, untuk setiap v V1}.
2
2. Jika T: V1 → V2 adalah transformasi linear, maka dimensi jangkauan dari T dinamakan rank T dan dimensi kernel dari T dinamakan nulitas T. Teorema 2.1. 1. Jika T: V1 → V2 adalah transformasi linear, maka a. T(o) = o. b. T (- v) = -T(v) untuk setiap v di V1. c. T(v – w) = T(v) – T(w) untuk setiap v dan w di V1. 2. Jika T: V1 → V2 adalah transformasi linear, maka: a. Ker (T) adalah ruang bagian dari V1. b. R(T) adalah ruang bagian dari V2. 3. Jika T: V1 → V2 adalah transformasi linear dari ruang vektor V1 yang berdimensi n ke ruang vektor V2, maka (rank dari T) + (nulitas dari T) = n. Berikut ini merupakan contoh-contoh soal yang berkenaan dengan ker(T), R(T), rank T, dan nulitas T pada transformasi linear T. Contoh 2.2. 1. Diketahui T : R2 → R2 adalah transformasi linear yang dirumuskan oleh: T(x,y) = (x – 2y, 3x – 6y) untuk setiap (x,y) R2. a.
Apakah vektor berikut terletak dalam ker(T). 1) (-2,-1) 2) (1,3)
b.
Apakah vektor berikut terletak dalam R(T). 1) (1,5) 2) (3,9)
2. Diketahui T : R3 → R3 yang dirumuskan oleh T(x,y,z) = (x – y + 3z, 5x + 6y – 4z, 7x + 4y + 2z). Tentukan: a. rank T. b. nulitas T.
3
Penyelesaian: 1. a. 1) T(-2,-1) = (-2 + 2, -6 + 6) = (0,0). Jadi (-2,-1) terletak dalam ker(T). 2) T(1,3) = (1 – 6, 3 – 18) = (-5,-15). Jadi (1,3) tidak terletak dalam ker(T). b. 1) Perhatikan bentuk T(x,y) = (1,5), diperoleh sistem persamaan linear: x – 2y = 1 3x – 6y = 5 a11 = 1; a12 = -2; b1 = 1 a21 = 3; a22 = -6; b2 = 5 a 21 a 22 b a a b 3 dan 2 5 21 22 2 a 11 a 12 b1 a 11 a 12 b1
Jadi sistem persamaan tersebut tidak mempunyai penyelesaian, sehingga vektor (1,5) tidak terletak dalam R(T). 2) Bentuk T(x,y) = (3,9) akan menghasilkan sistem persamaan linear: x – 2y = 3 3x – 6y = 9 a11 = 1; a12 = -2; b1 = 3 a21 = 3; a22 = -6; b2 = 9 a 21 a 22 b 2 3 a 11 a 12 b1
Jadi sistem persamaan mempunyai penyelesaian dengan jumlah tak hingga. Bentuk matriks dari sistem persamaan tersebut adalah: 1 3
2 6
3 1 9 0
2 0
3 0
Diperoleh x – 2y = 3 Misal y = t, maka x = 2y + 3 Penyelesaian: x = 2y + 3 dan y = t Dengan mengambil t = 1 didapat x = 5 dan y = 1. Ini berarti T (5,1) = (5 – 2, 15 – 6) = (3,9). Jadi (3,9) terletak dalam R(T).
4
1 5 7 1 5 7 1 5 7 2. a. Bentuk matriks Tdiubah menjadi 1 6 4 0 11 11 0 1 1 . 0 19 19 0 0 0 3 4 2
Jadi basis R(T) adalah {(1,5,7),(0,1,1)}, akibatnya rank T = 2. b. Ambil sebarang vektor (x,y,z) di ker(T), maka T(x,y,z) = (0,0,0). Didapat (x – y + 3z, 5x + 6y – 4z, 7x + 4y + 2z) = (0,0,0). x – y + 3z = 0 5x + 6y – 4z = 0 7x + 4y + 2z = 0 Bentuk matriks dari sistem persamaan tersebut adalah: 1 5 7
1
3
6 4
4 2
0
1 0 0 0 0
1
1
3
11 11
19 19
0
0 1
0
Diperoleh:
0
x+
14 z=0 11
y–
19 z=0 11
Misal z = t, maka x = -
14 11 19 11 0
0
0 0
1 1 0 1 0 11
3 19 11 19
0
0 0
0
0
0
14 19 t dan y = t 11 11
Penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut adalah: x=-
14 19 t; y = t; dan z = t 11 11
sehingga (x,y,z) = t
ker(T) dan vektor
14 19 14 19 , ,1 . Hal Ini berarti , ,1 11 11 11 11
pembangun
14 19 , ,1 bebas linear. 11 11
14 19 Jadi , ,1 basis untuk ker (T), sehingga nulitas T = 1. 11 11
5
Dari a dan b didapat rank T = 2; nulitas T = 1; dimensi R 3 = 3, dan terpenuhi bahwa rank T + nulitas T = dimensi R3.
6
