NAMA
: I GEDE ADIYASA PUTRA, S.PD
NO PESERTA : 19220118010506 KELAS
: A (MATEMATIKA)
TUGAS AKHIR MODUL 1 PROFESIONAL SOAL NO 1 1a. Adapun langkah-langkah yang harus dilakukan untuk menyelesaikan permasalahan permasalahan ( p q) (r q) ( p r ) q adalah sebagai berikut Langkah ke-1 susunan nilai kebenaran untuk tiap-tiap pernyataan pernyataan tunggal tunggal p, q, dan r sesuai sesuai dengan susunan nilai kebenaran pernyataan tunggal p, q, dan r dalam kolom pertama Langkah ke-2
susunan nilai kebenaran “p r” dari hasil implikasi nilai kebenaran p dan r pada langkah ke-1
Langkah ke-3 susunan nilai kebenaran “ r Langkah ke-4 susunan nilai kebenaran “ p
q ” dari hasil implikasi nilai kebenaran r dan s pada langkah ke-1
r ” dari hasil implikasi nilai kebenaran p dan s pada langkah ke-1
Langkah ke-5 susunan nilai kebenaran konjungsi dari hasil langkah ke -2 -2 dan langkah ke-3, yaitu susunan nilai kebenaran dari (p r) r) (r q) q) Langkah ke-6 susunan nilai kebenaran implikasi dari hasil langkah ke -4 dan dan pengikut hasil langkah ke-2 , yaitu susunan nilai kebenaran dari ( p r ) q Langkah ke-7 susunan nilai kebenaran implikasi dari hasil langkah ke -5 dan pengikut hasil langkah ke-6 , yaitu susunan nilai kebenaran dari ( p q) (r q) ( p r ) q
1|Page
Berdasarkan tabel di bawah : pernyataan ( p q) (r q) ( p r ) q bukan suatu tautology atau kontradiksi. Tabel kebenaran yang sesuai dengan langkah-langkah diatas adalah sebagai berikut Langkah Ke-1
Ke-1
Ke-1
Ke-2
Ke-3
p
q
r
p q
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
S
B
B
B
S
B
B
B
S
B
S
S
S
B
S
B
B
S
S
S
B
S
S
B
B
S
B
B
B
B
B
B
B
B
S
B
S
B
B
B
B
B
B
S
S
B
B
S
S
B
B
B
S
S
S
B
B
B
B
S
S
r
q
Ke -5
Ke -4
Ke-6
Ke -7
( p q) ( r q)
p r
( p r ) q
( p q) (r q) ( p r ) q
1b. Adapun langkah-langkah yang harus dilakukan untuk menyelesaikan permasalahan
p
~
pq
adalah sebagai
berikut. Langkah ke-1 susunan nilai kebenaran untuk tiap-tiap pernyataan tunggal p dan q sesuai dengan susunan nilai kebenaran pernyataan tunggal p dan q dalam kolom pertama Langkah ke-2 susunan nilai nilai kebenaran kebenaran p dari hasil negasi nilai kebenaran p pada langkah ke-1 Langkah ke-3 susunan nilai kebenaran “ ~ langkahke-2 2|Page
pq ”
dari hasil implikasi nilai kebenaran
p dan q pada langkah ke-1 dan
Langkah ke-4 susunan nilai kebenaran konjungsi dari hasil langkah langkah ke -1 dan pengikut hasil langkah langkah ke-3, yaitu susunan nilai kebenaran dari
p
~
pq
Berdasarkan tabel di bawah : pernyataan
p
~
pq
adalah
kontradiksi.
Tabel kebenaran yang sesuai dengan langkah-langkah diatas adalah sebagai berikut langkah
Ke-1
Ke-1
Ke-2
Ke-3
p
q
~p
~ p q
B
B
S
S
S
B
S
S
S
S
S
B
B
B
S
S
S
B
S
S
Ke-4 p
~
p q
SOAL NO 2 CARA I
( p q ) (r s) Adapun Langkah-langkah yang harus dilakukan untuk menyelesaikan permasalahan ~ r ~ s
adalah sebagai berikut.
~ p ~ q
Langkahlangkah Pembuktian Langkah 1
3|Page
Proses Pembuktian
p q (r s)
Premis 1
:
Premis 2
: ~
r
~ s
Hukum yang digunakan dalam pembuktian
Kesimpulan Langkah 2
Premis 2 :
~
~
p
r s
~
q
Dengan menggunakan hukum De Morgan ~
Langkah 3
Premis 1
:
Premis 2
:
p q (r s) ~
~
Kesimpulan Kesimpulan :
Langkah 4
p
~
p
~
q
( p q ) (r s) ~ r ~ s ~ p ~ q
Bukti: 1. ( p q) ( r s)
(Premis 1)
2.
(Premis 2)
s
3. ~ ( r s )
(2 Hukum DeMorgan)
4. ~ ( p q )
(1,3 Modus Tolens)
5.
(4 Hukum DeMorgan)
~
p
~
q
Jadi argumen tersebut sah/valid (terbukti). 4|Page
~
a
~
b
q
Cara II Bukti keabsahan
~
b
r s
Jadi argumen tersebut sah/valid (terbukti).
r
Menggunakan modus Tollens
Dengan menggunakan hukum De Morgan ~
~
a
a
b
~
a
~
b
SOAL NO 3 Diketahui : Persamaan 1 + 2 + 3 = 20 dengan syarat 1 ≥ 2, 0 ≤ Ditanya : Banyaknya solusi dari persamaan 1 + 2 + 3 = 20 Jawab : Fungsi pembangkit untuk kemungkinan terambilnya objek Fungsi pembangkit untuk kemungkinan terambilnya objek Fungsi pembangkit untuk kemungkinan terambilnya objek Banyak solusi dari G ( x)
x x
2
2
1
x x 2 3
20 dikaitkan
1
x x
adalah
2
3
≤ 3, dan 3 ≤
adalah adalah
A( x) B( x)
C ( x)
x
2
3
x
3
x
x x
4
2
x x
5
3
1 ...1
...
x x
x x
2
2
x x
1
3
3
x
x
3
3
x
4
x
3
x
1
1
3
x
x
5
1
x
4
1
x
3
x
x x
2
5
……. (*)
Berdasarkan teorema Binomial :
n k 1 k x n 1 x k k
1
0
Sehingga 3 k 1 k 2 k k x x 1 x k k k k 2 3 4 5 6 7 1 x 0 x1 x 2 x 3 x 4 x 5 ..... 3 1 x 0 1 2 3 4 5
1
3
0
0
(**)
Subtitusi persamaan (**) ke Persamaan (*) Sehingga dibentuk persamaan baru : 5|Page
x
4
2
4
x
x
x
5
....
3
5
dengan fungsi pembangkit adalah menentukan koefesien dari
4 3 1 1 x 1 x x 5 1 x 1 x 1 x
3
≤5
1 x x
A( x) B ( x) C ( x)
x
1
x
x
2
x
20
dalam ekspansi :
G ( x )
1
1
x
3
x
5
1
x
4
1
x
3
2 3 4 5 6 7 x 0 x1 x 2 x 3 x 4 x 5 .... x 5 1 x 4 1 x 3 1 2 3 4 5 0 2 3 4 5 6 7 x x 2 x 3 x 4 x 5 .... x 5 1 x 3 x 4 x 7 3 4 5 0 1 2 2 3 4 5 6 7 x x 2 x 3 x 4 x 5 .... x 5 x 8 x 9 x12 3 4 5 0 1 2 Koefesien dari
x
20
dapat ditentukan dengan memperhatikan beberapa bagian suku pada penjabaran di atas yaitu
10 13 14 17 x 8 x 9 x12 ... x 8 ... x11 x12 ... x15 ... 8 11 12 15 Sehingga koefesien dari dari x yaitu 10 13 14 17 8 11 12 15
x
5
20
45 78 91 136
12
Jadi, Banyaknya solusi dari persamaan
6|Page
1
+
+
2
3
= 20 adalah 12
SOAL NO 4 Diketahui : Suatu graf yang digambarkan sebagai berikut !
Ditanya : Apakah : Apakah graf tersebut graf bipatisi dan graf bipartisi lengkap? Jawab : Definisi dari graf bipartisi dan graf bipartisi lengkap Graf Bipartisi G adalah graf yang himpunan titiknya dapat dikelompokkan menjadi dua himpunan V 1 dab V2, sedemikain sehingga setiap sisi di dalam G menghubungkan sebuah titik V1 ke sebuah titik V2, dan dinyatakan sebagai G(V 1,V2) Apabila setiap titik titik di V1 bertetangga dengan semua titik di V 2, maka G(V1,V2) disebut Graf Bipartisi Lengkap. Misalkan Graf tersebut adalah graf G
7|Page
Salah satu graf yang isomorfis dengan G, dapat dinyatakan seperti graf di bawah.
Ternyata, himpunan titik pada graf G dapat dikelompokkna menjadi dua bagian y aitu V 1 a, c, f , h dan V 2 b, d , e, g .
Berdasarkan definisi graf bipartisi maka graf G adalah graf bipartisi. 8|Page
Berdasarkan definis graf bipartisi lengkap lengkap maka graf G bukan merupakan graf bipartisi lengkap karenaa ada anggota di V1 yang tidak berpasangan dengan salah satu anggota di V2. Contohnya titik a pada V1 tidak berpasangan dengan titik g di V2, titik a hanya berpasangan dengan titik b, titik d, dan titik e. Begitu pula dengan titik c, titik f dan titik h di V1 tidak semuanya dipasangkan dengan semua titik di V2. Jadi, graf G adalah graf bipartisi dan bukan graf bipartisi lengkap. SOAL NO 5 Diketahui : Suatu graf yang yang yang verteknya akan di di warnai dengan 6 warna yang yang disediakan Ditanya : banyak : banyak cara mewarnai vertek graf dengan syarat vertek yang bertetangga tidak boleh memiliki warna yang sama. Penyelesaian Langkah pertama : menentukan warna minimal yang diperlukan untuk mewarnai graf yang diberikan. Misalkan Graf tersebut adalah Graf G
Derajat dari Graf G di sajikan pada table 1 Titik Derajat titik 9|Page
E 4
B 4
A 3
F 3
Tabel 1. Derajat Titik G C D 2 2
Gunakan Algoritma Welch Powell untuk pewarnaan graf G Langkah-langkahnya sebagai berikut : 1. Jumlah titik Graf G adalah 6 buah buah dan urutan titik dari derajat tertinggi hingga terendah seperti tabel tabel 1 2. Pilih titik pada graf yang berderajar tertinggi. Berdasarkan tabel 1 ada dua titik yang berderat tertinggi yaitu 4 yaitu titik E dan titik B. Ambil salah satu titik misalnya titik E dan diwarnai dengan warna merah. Ada satu titik yang tidak bertetangga dengan E yaitu titik C dapat diwarnai diwarnai dengan warna merah juga. Dapat ditunjukkan seperti seperti gambar di bawah
3. Pilih titik B yang memilki derajat sama dengan titik E yaitu berderajat 4. Warnai titik B dengan warna biru. Ada satu titik yang tidak bertetangga dengan titik B yaitu titik diwarnai juga dengan warna biru sama dengan warna titik B. Ditunjukkan seperti gambar di bawah
10 | P a g e
4. Pilih salah satu antara titik A dan titik F yang memilki derajat sama dengan 3 lihat pada tebel 1. Misalnya kita pilih titik A dan kita warnai dengan warna kuning. Karena tidak ada titik yang bertetangga dengan A yang belum diwarnai maka hanya titik A saja yang berwarna kuning. Ditunjukkan seperti gambar di bawah
11 | P a g e
5. Selanjutnya pilih titik F yang berderajat sama dengan A yaitu berderajat 3. Warnai dengan warna hijau. Karena tidak ada titik yang bertetangga dengan titik F yang belum diwarnai maka hanya titik F saja yang berwarna hijau. Dapat ditunjukkan seperti gambar di bawah.
Jadi berdasarkan Algiritma Welch- Powell ada empat warna minimal yang diperlukan untuk mewarnai graf G, sehingga
Langkah ke dua : Menentukan kombinasi warna yang digunakan untuk mewarnai graf 1. Mewarnai vertek graf dengan empat warna dari enam warna yang diberikan Banyaknya cara pewarnaan digunakan aturan pengisian tempat. Dengan syarat : warna pada titik E tidak boleh sama dengan A, B, D dan F Warna pada titik C boleh sama dengan A, E, F Warna pada titik D boleh sama dengan warna A, B, F Dapat dinyatakan pada tabel 2 di bawah Vertek E B A F C F Banyaknya warna yang mungkin 6 5 4 3 3 2 atau 3 Keterangan :
12 | P a g e
(G )
4.
a) Untuk titik E ada 6 kemungkinan warna yang digunakan (merah, kuning, hijau, biru, hitam dan putih). Asumsikan warna yang dipilih adalah merah b) Untuk titik B ada 5 kemungkinan warna yang boleh digunakan (kuning, hijau, biru, hitam dan putih). Merah tidak boleh digunakan karena sudah digunakan oleh titik E yang bertetangga dengan titik B. Asumsikan warna yang dipilh kuning c) Untuk titik A ada 4 kemungkinan warna yang boleh digunakan ( hijau, biru, hitam dan putih) merah dan kuning tidak boleh digunakan karena sudah digunakan oleh titik E dan titik B yang bertetangga dengan titik A. Asumsikan kita pilih warna hijau. d) Untuk titik F ada 3 kemungkinan warna yang boleh digunakan (biru, hitam, putih) merah, kuning dan hijau tidak boleh digunakan karena sudah digunakan oleh titik E, titik titik B, dan titik A yang bertetangga dengan titik F. Asumsikan kita pilih warna biru. e) Sudah empat warna yang digunakan (merah, kuning, hijau, biru) sehinnga untuk titik C ada tiga kemungkinan warna (merah, hijau, biru), warna kuning tidak boleh digunakan karena sudah digunakan oleh tetangganya titik B. Jika titik C warna merah maka titik D ada tiga kemungkinan (kuning, hijau dan biru) Jika titik C warna hijau maka titik D ada 2 kemungkinan (kuning dan biru) Jika titik C warna biru maka titik D ada 2 kemungkinan (kuning dan hijau) Sehingga total ada tujuh kemungkinan pasangan C dan D Jadi banyaknya cara mewarnai graf dengan empat warna adalah
6 5 4 3 1 3 1 2 1 2
360 7
2520
cara
2. Mewarnai vertek graf dengan lima warna dari enam warna yang diberikan Banyaknya cara pewarnaan digunakan aturan pengisian tempat. Dengan syarat : warna pada titik E tidak boleh sama dengan A, B, D dan F Warna pada titik C boleh sama dengan A, E, F Warna pada titik D boleh sama dengan warna A, B, F Dapat dinyatakan pada tabel 2 di bawah Vertek E B A F C F 13 | P a g e
Banyaknya warna yang mungkin
6
5
4
3
5
3 / 4/ 5
Keterangan : a) Untuk titik E ada 6 kemungkinan warna yang digunakan (merah, kuning, hijau, biru, hitam dan putih). Asumsikan warna yang dipilih adalah merah b) Untuk titik B ada 5 kemungkinan warna yang boleh digunakan (kuning, hijau, biru, hitam dan putih). Merah tidak boleh digunakan karena sudah digunakan oleh titik E yang bertetangga dengan titik B. Asumsikan warna yang dipilh kuning c) Untuk titik A ada 4 kemungkinan warna yang boleh digunakan ( hijau, biru, hitam dan putih) merah dan kuning tidak boleh digunakan karena sudah digunakan oleh titik E dan titik B yang bertetangga dengan titik A. Asumsikan kita pilih warna hijau. d) Untuk titik F ada 3 kemungkinan warna yang boleh digunakan (biru, hitam, putih) merah, kuning dan hijau tidak boleh digunakan karena sudah digunakan oleh titik E, titik B, dan dan titik A yang bertetangga dengan dengan titik F. Asumsikan kita pilih warna biru. e) Sudah empat warna yang digunakan (merah, kuning, hijau, biru) sehingga untuk titik C memilih satu diantara lima kemungkinan warna (merah, hijau, biru, hitam dan putih), warna kuning tidak boleh digunakan karena sudah digunakan oleh tetangganya titik B. Jika titik C warna merah maka titik D ada 5 kemungkinan (kuning, hijau biru, putih, hitam ) Jika titik C warna hijau maka titik D ada 4 kemungkinan (kuning, biru, hitam atau putih) Jika titik C warna biru maka titik D ada 4 kemungkinan (kuning, hijau, hitam atau putih) Jika titik C berwarna hitam maka titik D ada 3 kemungkinan (kuning, hijau atau biru) Jika titik C berwarna putih maka titik D ada 3 kemungkinan (kuning, hijau dan biru) Kemungkinan ada 19 kemungkingan pasangan C dan D Jadi banyaknya cara mewarnai graf dengan empat warna adalah
6 5 4 3 1 5 1 4 1 4 1 3 1 3
360 19
6840
cara
3. Mewarnai vertek graf dengan enam warna yang diberikan 14 | P a g e
Banyaknya pewarnaan adalah banyaknya cara menempatkan warna pada 6 tempat yang berbeda dengan memperhatikan urutan penempatan. Sehingga banyaknya cara adalah 6
P 6
6!
6
6!
6 5 4 3 2 1 1
720 cara
Dari ketiga kondisi di atas dapat dsimpulkan bahwa : Banyaknya cara mewarnai graf dengan 6 warna adalah 2520 + 6840 +720 = 10080 Cara Jadi, Banyaknya cara mewarnai graf adalah 10.080 cara.
15 | P a g e