EJERCICIOS DE ECONOMETRIA 10.2. Considere el conjunto de datos hipotéticos de la siguiente tabla. Supóngase que desea ajustar el modelo Y =β 1 + β 2 x 2 i+ β3 y 3 i+u |
Y -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
X2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
X3 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21
a) ¿Se puede estimar estas incógnitas? ¿Por qué? No, porque no cumple con el Modelo Clásico de Regresión Lineal que plantea que no existe multicolinealidad entre las regresoras incluidas en el modelo. Tiene un error de matriz casi singular. Los regresores pueden ser perfectamente colineales b) Si no se puede hacer ¿qué funciones lineales de estos parámetros, las funciones estimables, pueden estimar? Muestre los cálculos necesarios X3 = 2X2 -1 Y=β1+β2X2i+β3Y3i+µ Y=β1+β2X2i+β3(2X2-1)+µ Y=β1-β3+(β2+2β3)X2 Y=
10.3. Consulte el ejemplo de la mortalidad infantil analizado en el capítulo 8. Dicho ejemplo implico hacer la regresión de la tasa de mortalidad infantil (MI) sobre el PIB per cápita ( PIBPC) y la tasa de alfabetización de las mujeres (TAM). Ahora, suponga que añadimos la variable tasa de fecundidad total (TFT). Lo anterior da los siguientes resultados.
Respuestas: a) Compare estos resultados de la regresión con los obtenidos en la ecuación (8.1.4).¿Qué cambios observa? ¿Cómo los explica? Aunque los valores numéricos de la intersección y la pendiente de los coeficientes y TAM y PBIPC han cambiado, sus signos no. Además estas variables son estadísticamente significativas que quiere decir que el nivel de significancia es menor a 0.05. Estos cambios se deben a la incorporación de la tasa total de fecundidad variable, lo que sugiere que puede haber algunos multicolinealidad entre la variable independiente (regresora). b) ¿Vale la pena añadir la variable TFT al modelo? ¿Por qué? Dado el valor de la TFT es un coeficiente muy importante (su valor de probabilidad es solo e 0.0032) por tanto TFT pertenece al modelo; el signo positivo de este coeficiente también tiene sentido en que cuanto mayor sea el número de niños materiales para una mujer mayores serán las probabilidades de la mayor mortalidad infantil (TAM).
c) Como todos los coeficientes t individuales son estadísticamente significativos, ¿podemos decir que no existe un problema de colinealidad en el presente caso?
El problema de la colinealidad ocurre cuando alguno de los coeficientes de correlación simple o múltiple entre algunas de las variables independientes es 1, es decir, cuando algunas variables independientes están correlacionadas entre sí. En este caso es bueno en los que a pesar la colinealidad los coeficientes son estadísticamente significativos, osea no existe problema de colinealidad.
10.10. Consulte el ejemplo 7.4. Para este problema, la matriz de correlación es la siguiente:
a) “Como las correlaciones de orden cero son muy elevadas debe existir Multicolinealidad grave.” Comente.
No, la multicolinealidad se refriere a una asociación lineal entre las variables, en este caso esta asociación no es lineal. b) ¿Eliminaría del modelo las variables X2i y X3i? No, no hay ninguna razón para eliminar estas variables ya que estadísticamente son significativas en este modelo. c) Si elimina las variables anteriores, ¿qué sucederá con el valor del coeficiente de Xi? Si una de las variables se elimina, se da el sesgo de especificación en el coeficiente x1
10.15. En notación matricial se demuestra (apéndice C) que
a) ¿Qué sucede con ˆ β cuando hay colinealidad perfecta entre las X? Si existe multicolinealidd perfecta no se convierte en una matriz singular, como resultado de los coeficientes y sus errores estándar son infinitos. b) ¿Cómo sabe si existe colinealidad perfecta? Una prueba sería la de examinar los factores de la determinante de la matriz, si el valor es cero quiere decir que estamos en una multicolinealidad perfecta.
10.27. La tabla 10.13 proporciona cifras sobre importaciones, PIB e índice de precios al consumidor (IPC) de Estados Unidos de 1975 a 2005. Se le pide considerar el siguiente modelo: ln Importaciones = β1 + β2 ln PIBt + β3 ln IPCt + ut
AÑO 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
IPC 53.8 56.9 60.6 65.2 72.6 82.5 90.9 96.5 99.6 103.9 107.6 109.6 113.6 118.3 124 130.7 136.2 140.3 144.5 148.2 152.4 156.9 160.5 163 166.6 172.2 177.1 179.9 184 188.9 195.3
PBI 1638.3 1825.3 2030.9 2294.7 2563.3 2785.5 3128.4 3225 3536.7 3933.2 4220.3 4462.8 4739.5 5103.8 5484.4 5803.1 5995.9 6337.7 6657.4 7072.2 7397.7 7816.9 8304.3 8747 9268.4 9817 10128 10469.6 10960.8 11712.5 12455.8
IMP 98185 124228 151907 176002 212007 249750 265067 247642 268901 332418 338088 368425 409765 447189 477665 498438 491020 536528 589394 668690 479374 803113 876470 917103 1029980 1224408 1145900 1164720 1260717 1472926 1677371
a) Estime los parámetros de este modelo con la información de la tabla.
LOG (IMP) = 1.43862524064 - 1.01066063898*LOG(IPC) + 1.92175684644*LOG(PBI)
b) ¿Sospecha multicolinealidad en los datos?
Por el alto valor del R ^2 = 0.982010 del coeficiente IPC probablemente existe multicolinealidad en los datos.
Efectúe las siguientes regresiones: 1) ln Importacionest _ A1 + A2 ln PIBt
2) ln Importacionest _ B1 + B2 ln IPCt
3) ln PIBt _ C1 + C2 ln IPCt
Con base en estas regresiones, ¿qué puede decir sobre la naturaleza de la multicolinealidad en los datos? La regresión auxiliar de LOG(PBI) el LOG(IPC) muestra que las dos variables están altamente correlacionadas, lo cual sugiere que existe el problema de colinealidad.
d) Suponga que existe multicolinealidad en los datos, pero que ˆ β2 y ˆ β3 son significativos individualmente en el nivel de 5%, y que la prueba global F es también significativa. En este caso, ¿debe preocupar el problema de colinealidad?
La mejor solución será dividir los coeficientes de PBI y el IPC en términos reales ya que para que sea significativa p <0.05 rechazando la H, mostrando en el cuadro que no debe preocupar el problema de la colinealidad
10.29. La tabla 10.14 proporciona información sobre los automóviles de pasajeros nuevos vendidos en Estados Unidos como función de diversas variables.
AÑO 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986
Y 10227 10872 11350 8775 8539 9994 11046 11164 10559 8979 8535 7980 9179 10394 11039 11450
x2 112 111 111.1 117.5 127.6 135.7 142.9 153.8 166 179.3 190.2 197.6 202.6 208.5 215.2 224.4
x3 121.3 125.3 133.1 147.7 161.2 170.5 181.5 195.3 217.7 247 272.3 286.6 297.4 307.6 318.5 323.4
x4 776.8 839.6 949.8 1038.4 1142.8 1252.6 1379.3 1551.2 1729.3 1918 2127.6 2261.4 2428.1 2670.6 2841.1 3022.1
x5 4.89 4.55 7.38 8.61 6.16 5.22 5.5 7.78 10.25 11.28 13.73 11.2 8.69 9.65 7.75 6.31
x6 79367 82153 85064 86794 85846 88752 92017 96048 98824 99303 100397 99526 100834 105005 107150 109597
a) Desarrolle un modelo lineal o log-lineal apropiado para estimar una función de demanda de automóviles en Estados Unidos.
El modelo log-lineal apropiado para estimar la función de demanda de automóviles en eeuu se trabaja con las variables x3 x5 x6 , ya que estas se relacionadas con lo que nos pide. b) Si decide incluir todas las regresoras dadas en la tabla como variables explicativas, ¿Espera encontrar el problema de multicolinealidad? ¿Por qué?
Si sumamos todas la variables x, obtenemos los siguientes resultados; por tanto claramente en este modelo existe colinealidad.
b) Si espera lo anterior, ¿cómo resolvería el problema? Plantee los supuestos claramente y muestre todos los cálculos de manera explícita. Examinar los coeficientes de correlación entre la variable independiente, se observa una correlación muy alta entre el auto del IPC y el IPC general (0.997) y entre IPD y el auto nuevo IPC (0.9919. Otros son relativamente altos, pero deben permanecer en el modelo por razones teóricas. IPD también está estrechamente relacionado con el nivel de empleo, la correlación entre los dos es 0.972 por lo tanto, uno podía caer IPC general e IPD y estimar el siguiente modelo.
11.15. La tabla 11.7 proporciona datos sobre 81 automóviles respecto de su MPG (millas promedio por galón), CF (caballos de fuerza de su motor), VOL (pies cúbicos de su cabina), VM (velocidad máxima en millas por hora) y su PS (peso del vehículo en cientos de lb).
OBS
MPG 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41
VM 65.4 56 55.9 49 46.5 46.2 45.4 59.2 53.3 43.4 41.1 40.9 40.9 40.4 39.6 39.3 38.9 38.8 38.2 42.2 40.9 40.7 40 39.3 38.8 38.4 38.4 38.4 46.9 36.3 36.1 36.1 35.4 35.3 35.1 35.1 35 33.2 32.9 32.3 32.2
CF 96 97 97 105 96 105 97 98 98 107 103 113 113 103 100 103 106 113 106 109 110 101 111 105 111 110 110 110 90 112 103 103 111 111 102 106 106 109 109 120 106
VOL 49 55 55 70 53 70 55 62 62 80 73 92 92 73 66 73 78 92 78 90 92 74 95 81 95 92 92 92 52 103 84 84 102 102 81 90 90 102 102 130 95
PS 89 92 92 92 92 89 92 50 50 94 89 50 99 89 89 89 91 50 91 103 99 107 101 96 89 50 117 99 104 107 114 101 97 113 101 98 88 86 86 92 113
17.5 20 20 20 20 20 20 22.5 22.5 22.5 22.5 22.5 22.5 22.5 22.5 22.5 22.5 22.5 22.5 25 25 25 25 25 25 25 25 25 27.5 27.5 27.5 27.5 27.5 27.5 27.5 27.5 27.5 30 30 30 30
42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81
32.2 32.2 32.2 31.5 31.5 31.4 31.4 31.2 33.7 32.6 31.3 31.3 30.4 28.9 28 28 28 28 28 27.7 25.6 25.3 23.9 23.6 23.6 23.6 23.6 23.6 23.5 23.4 23.4 23.1 22.9 22.9 19.5 18.1 17.2 17 16.7 13.2
106 109 106 105 108 108 107 120 109 109 109 109 133 125 115 102 109 104 105 120 107 114 114 117 122 122 122 122 148 160 121 121 110 110 121 165 140 147 157 130
a) Considere el siguiente modelo:
95 102 95 93 100 100 98 130 115 115 115 115 180 160 130 96 115 100 100 145 120 140 140 150 165 165 165 165 245 280 162 162 140 140 175 322 238 263 295 236
106 92 88 102 99 111 103 86 101 101 101 124 113 113 124 92 101 94 115 111 116 131 123 121 50 114 127 123 112 50 135 132 160 129 129 50 115 50 119 107
30 30 30 30 30 30 30 30 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 45 45 45 45 45 45 45 55
MPGi = β1 + β2VMi + β3CFi +β4PSi + ui Estime los parámetros de este modelo e interprete los resultados. Desde el punto de vista económico, ¿tiene sentido?
MPG = 189.959676646 - 1.27169738362*VM + 0.390433352644*CF - 1.90327318382*PS
La Millas promedio por galón (MPG) se relaciona negativamente respecto a la velocidad y el peso.
b) ¿Esperaría que la varianza del error en el modelo anterior sea heteroscedástica? ¿Por qué? Este modelo tiene datos transversales de una diversidad de coches, a priori o sea si puede esperar la heterocedasticidad c) Con la prueba de White determine si la varianza de error es heteroscedástica.
d) Obtenga los errores estándar de White consistentes con la heteroscedasticidad, así como los valores t, y compare los resultados con los obtenidos mediante MCO.
Para hallar el t calculado , utilizamos el siguiente comando en el programa eviews: Scalar cht=@qchist(1-0.05,9) Entonces obtenemos el siguiente valor del Tc= 16.91898 Para hallar el tabulado, utilizamos el siguiente comando en el programa eviews: scalar tt=@qtdist(1-0.05/2,77) Entonces obtenemos el siguiente valor del Tt= 1.591254 Concluyendo si Tc>Tt se rechaza la Ho y existe heterocedasticidad Por tanto 16.91898> 1.591254 si cumple.
e) Si se establece heteroscedasticidad, ¿cómo puede transformar los datos de manera que en los datos transformados la varianza del error sea homoscedástica? Muestre los cálculos necesarios. Cuando la varianza es variable hay heterocedasticidad , cuando es constante si hace que el error sea homoscedastica
11.16. Gasto alimentario en India. En la tabla 2.8 se proporcionaron datos sobre el gasto en alimentos y el gasto total de 55 familias de India.
OBS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41
GC 2170000 1960000 3030000 2700000 3250000 2600000 3000000 3250000 3360000 3450000 3250000 3620000 3150000 3550000 3250000 3700000 3900000 4200000 4100000 3830000 3150000 2670000 4200000 3000000 4100000 2200000 4030000 3500000 3900000 3850000 4700000 3220000 5400000 4330000 2950000 3400000 5000000 4500000 4150000 5400000 3600000
GT 3820000 3880000 3910000 4150000 4150000 4600000 4720000 4780000 4940000 5160000 5250000 5540000 5750000 5790000 5850000 5860000 5900000 6080000 6100000 6160000 6180000 6230000 6270000 6300000 6350000 6400000 6480000 6500000 6550000 6620000 6630000 6770000 6800000 6900000 6950000 6950000 6950000 7200000 7210000 7300000 7310000
42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55
4500000 3950000 4300000 3320000 3970000 4460000 4800000 3520000 4100000 3800000 6100000 5300000 3600000 3050000
7330000 7450000 7510000 7520000 7520000 7690000 7730000 7730000 7750000 7850000 7880000 7900000 7950000 8010000
a) Haga la regresión del gasto alimentario sobre el gasto total y examine los residuos obtenidos en dicha regresión.
b) Grafique los residuos obtenidos en el inciso a) contra el gasto total y verifique si existe algún patrón sistemático.
RESID01 2,000,000 1,600,000 1,200,000 800,000 400,000 0 -400,000 -800,000 -1,200,000 -1,600,000 5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Parece que como el gasto aumenta, el valor absoluto de las desviaciones también aumento quizás no es una función lineal. c) Si la gráfi ca del inciso b) sugiere heteroscedasticidad, aplique las pruebas de Park, Glejser y White para determinar si la sensación respecto de la heteroscedasticidad observada en b) se sustenta con estas pruebas.
55
d)
e) f) g) h) i) d ) Obtenga los errores estándar de White consistentes con la heteroscedasticidad y compárelos con los errores estándar de MCO. Decida si vale la pena corregir este ejemplo a causa de la heteroscedasticidad. 11.22. La tabla 11.9 presenta información acerca de los precios de acciones (Y ) y los precios al consumidor (X ) expresados en cambios porcentuales anuales para un corte transversal de 20 países. COUNTRY Australia Austria Belgium Canada Chile Denmark Finland France Germany 1 India Ireland
Y 5 11.1 3.2 7.9 25.5 3.8 11.1 9.9 3.3
X 4.3 4.6 2.4 2.4 26.4 4.2 5.5 4.7 2.2
1.5 6.4
4 4
Israel Italy Japan Mexico Netherlands New Zealand Sweden United Kingdom United States
8.9 8.1 13.5 4.7 7.5 4.73. 8 7.5
8.4 3.3 4.7 5.2 3.6 6 4 3.9
9
2.1
a) Grafique los datos en un diagrama de dispersión.
30 25
Y
20 15 10 5 0 0
5
10
15
20
25
30
X
b) Efectúe la regresión de Y sobre X y examine los residuos de esta regresión. ¿Qué observa?
Y = 4.610282086 + 0.757433413333*X
Interpretación
Cada vez que incremente en una unidad en el precio del consumidor, el precio de las acciones se incrementara en 4.610282 c) Como los datos de Chile parecen atípicos, repita la regresión en b) sin la información sobre Chile. Ahora examine los residuos de esta regresión. ¿Qué observa?
El residuo es de 0.009262 quiere decir que en esta regresión no es muy significativa. d) Si, con base en los resultados de b), concluye que hubo heteroscedasticidad en la varianza del error, pero con base en los resultados de c) modifica este resultado, ¿qué conclusiones generales obtiene? Comparando los gráficos residuales vemos que una vez Chile se retira los datos existe poca relación entre Y y X por lo tanto, cualquier aspecto de la heteroscedasticidad es falsa.
12.26. Consulte los datos sobre la industria del cobre de la tabla 12.7.
AÑO
CL 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980
G 21.89 22.29 19.63 22.85 33.77 39.18 30.58 26.3 30.7 32.1 30 30.8 30.8 32.6 35.4 36.6 38.6 42.2 47.9 58.2 52 51.2 59.5 77.3 64.2 69.6 66.8 66.5 98.3 101.4
I 330.2 347.2 366.1 366.3 399.3 420.7 442 447 483 506 523.3 563.8 594.7 635.7 688.1 753 796.3 868.5 935.5 982.4 1063.4 1171.1 1306.6 1412.9 1528.8 1700.1 1887.2 2127.6 2628.8 2633.1
L 45.1 50.9 53.3 53.6 54.6 61.1 61.9 57.9 64.8 66.2 66.7 72.2 76.5 81.7 89.8 97.8 100 106.3 111.1 107.8 109.6 119.7 129.8 129.3 117.8 129.8 137.1 145.2 152.5 147.1
H 220.4 259.5 256.3 249.3 352.3 329.1 219.6 234.8 237.4 245.8 229.2 233.9 234.2 347 468.1 555 418 525.2 620.7 588.6 444.4 427.8 727.1 877.6 556.6 780.6 750.7 709.8 935.7 940.9
A 1491 1504 1438 1551 1646 1349 1224 1382 1553.7 1296.1 1365 1492.5 1634.9 1561 1509.7 1195.8 1321.9 1545.4 1499.5 1469 2084.5 2378.5 2057.5 1352.5 1171.4 1547.6 1989.8 2023.3 1749.2 1298.5
a) Con base en esta información, estime el siguiente modelo de regresión: lnCt β1 + β2 ln It + β3 ln Lt + β4 ln Ht + β5 ln At + ut
19 19.41 20.93 21.78 23.68 26.01 27.52 26.89 26.85 27.23 25.46 23.88 22.62 23.72 24.5 24.5 24.98 25.58 27.18 28.72 29 26.67 25.33 34.06 39.79 44.49 51.23 54.42 61.01 70.87
Interprete los resultados.
LOG(CL) = -1.5004408533 + 0.467508534068*LOG(I) + 0.279442528606*LOG(L) - 0.00515155129357*LOG(H) + 0.441448938771*LOG(A)
c) Obtenga los residuos y los residuos estandarizados de la regresión anterior y grafíquelos. ¿Qué opina sobre la presencia de autocorrelación en estos residuos?
.3
Quantiles of Normal
.2 .1 .0 -.1 -.2 -.3 -.3
-.2
-.1
.0
.1
.2
.3
Quantiles of RES
d) Estime el estadístico d de Durbin-Watson y comente sobre la naturaleza de la autocorrelación presente en los datos.
d ) Efectúe la prueba de rachas y vea si su respuesta difiere de la respuesta dada en c)
Hay 9 Rachas
e)¿Cómo investigaría si un proceso AR(p) describe mejor la autocorrelación que un proceso AR(1)?
12.28. Consulte el ejercicio 12.26 y los datos de la tabla 12.7. Si los resultados de este ejercicio muestran correlación serial El programa Eviews portable no está actualizado para hacer este tipo de procedimiento. a) Utilice el procedimiento de Cochrane-Orcutt de dos etapas y obtenga las estimaciones de MCG factibles o la regresión en diferencias generalizada, y compare sus resultados. b) Si el ρ estimado del método de Cochrane-Orcutt en a) difi ere sustancialmente del estimado
12.34. Con los datos proporcionados en la tabla 12.9, estime el modelo Yt β1 + β2Xt + ut donde Y inventarios y X ventas, ambas medidas en miles de millones de dólares.
AÑO 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984
VENTAS 46486 50229 53501 52805 55906 63027 72931 84790 86589 98797 113201 126905 143936 154391 168129 163351 172547 190682 194538 194657 206326 224619 236698 242686 239847 250394 242002 251708 269843 289973 299766 319558 324984 335991 350715
INVENTARIO S 84646 90560 98145 101599 102567 108121 124499 157625 159708 174636 188378 211691 242157 265215 283413 311852 312379 339516 334749 322654 338109 369374 391212 405073 390950 382510 378762 379706 399970 424843 430518 443622 449083 463563 481633
RAZON 1.820000 1.800000 1.830000 1.920000 1.830000 1.720000 1.710000 1.860000 1.840000 1.770000 1.660000 1.670000 1.680000 1.720000 1.690000 1.950000 1.780000 1.730000 1.730000 1.680000 1.590000 1.570000 1.630000 1.650000 1.650000 1.540000 1.570000 1.500000 1.440000 1.440000 1.430000 1.370000 1.380000 1.350000 1.350000
1985 1986 1987 1988 1989 1990
330875 326227 334616 359081 394615 411663
428108 423082 408226 439821 479106 509902
a) Estime la regresión anterior.
INV = 66668.9660736 + 1.18386244946*VEN
1.380000 1.290000 1.240000 1.180000 1.170000 1.21
