Ecuación de Laplace En cálculo vectorial, vectorial, la ecuación de Laplace es una ecuación en derivadas parciales de segundo orden de tipo elíptico, elíptico, que recibe ese nombre en honor al físico y matemático Pierre-Simon Laplace. Laplace. Introducida por las necesidades necesidades de la mecánica newtoniana, newtoniana, la ecuación de Laplace aparece en muchas otras ramas ra mas de la física teórica como la astronomía astronomía,, la electrostática electrostática,, la mecánica de fluidos o la mecánica cuántica. cuántica.
Definición En tres dimensiones, el problema consiste en hallar funciones reales doblemente diferenciables,, una función de variables reales x, y, y z , tal que diferenciables En coordenadas cartesianas
En coordenadas cilíndricas,
En coordenadas esféricas,
Muchas veces se escribe de la siguiente manera:
donde
es el operador de Laplace o "laplaciano"
que también se escribe como: c omo:
donde
es la divergencia divergencia,, y
es el gradiente
o sino, algunas veces la notación puede ser:
donde también es el operador de Laplace. Las soluciones de la ecuación de Laplace se denominan funciones armónicas. Si del lado derecho de la igualdad se especifica una función, f ( x, y, z ), es decir, si la ecuación se escribe como:
entonces se tiene la "ecuación de Poisson", por lo que la ecuación de Laplace es un caso particular de esta. La ecuación de Laplace también es un caso particular de la ecuación de Helmholtz. La ecuación de Laplace, así como también la ecuación de Poisson, son los ejemplos más simples de ecuaciones en derivadas parciales elípticas.
Ecuación de Laplace en dos dimensiones La ecuación de Laplace en dos variables independientes:
[editar] Funciones analíticas
Las partes reales e imaginarias de un función analítica en los complejos satisfacen la ecuación de Laplace. Es decir, si z = x + i. y, y si
entonces la condición necesaria para que f ( z ) sea analítica es que se satisfagan las ecuaciones de Cauchy-Riemann:
donde u x es la primera derivada parcial de u con respecto a x. Entonces
Por lo tanto u satisface la ecuación de Laplace. Un cálculo simimlar demuestra que v también satisface la ecuación de Laplace. A la inversa, dada una función armónica, es la parte real de una función analítica, f ( z ) (al menos localmente). Una forma de probarlo es:
entonces las ecuaciones de Cauchy-Riemann se satisfacen:
Esta relación no determina , solo sus incrementos:
La ecuación de Laplace para satisface:
implica que la condición de integrabilidad para se
y así puede definirse con una integral de línea. La condición de integrabilidad y el teorema de Stokes implica que el valor de la integral de línea que conecta dos puntos es independiente del camino. El par de soluciones resultante de la ecuación de Laplace se denominan funciones armónicas conjugadas. Esta construcción solo es válida localmente ,o siempre que el camino no esté rodeando una singularidad. Por ejemplo, si r y son coordenadas polares y
entonces una función analítica correspondiente es
Sin embargo, el ángulo es univaluada solo en una región que no incluye el origen. La estrecha relación entre la ecuación de Laplace y las funciones analíticas establece que cualquier solución de la ecuación de Laplace tiene derivadas en todos los órdenes, y puede expandirse en series de potencias, al menos dentro de un círculo que no incluya una singularidad. Esto está en contrast e con las soluciones de la ecuación de onda, que por lo general tiene menor regularidad. Hay una íntima conexión entre las series de potencias y las series de Fourier . Si expandimos una función f en series de potencias dentro de un círculo de radio R, esto significa que
con coeficientes definidos adecuadamente cuyas parte real e imaginaria están dadas por:
Enotnces
la cual es una serie de fourier de f . [editar] Flujo de fluido
Sean las cantidades u y v las componentes horizontal y vertical del campo de velocidad del flujo incompresible estacionario e irrotacional en dos dimensiones. LA condición de que el flujo es incompresible es que
y la condición de que el flujo es irrotatacional es que
Si definimos el diferencial de como
entonces la condición de incompressibilidad es la condición de integrabilidad para este diferencial: la función resultante se lla ma función de corriente porque es constante a lo largo de las líneas de flujo. Las primeras derivadas de son
y la condición de irrotacionabilidad establece que satisface la ecuación de Laplace. La función armónica que es el conjugado de se deno mina potencial de velocidad. Las ecuaciones de Cauchy-Riemann establecen que
Así, para cada función analítica corresponde a un flijo de fluido incompresible estacionario e irrotational en el plano. Las parte real es el potencial de velocidad, y la parte imaginaria es la función de corriente. [editar] E lectrostática De
acuerdo a las ecuaciones de Maxwell, un campo eléctrico (u,v) en un espacio de dos dimensiones que es independiente del tiempo satisface
donde es la densidad de carga. La primera ecuación de Maxwell es la condición de integrabilidad para el diferencial
así el potencial eléctrico puede construirse para satisfacer
La segunda ecuación de Maxwell establece que
la cual es la ecuación de Poisson. Es importante observar que la ecuación de Laplace pu ede usarse en problemas de tres dimensiones en electroestática y flujo de fluido así como en dos dimensiones.
Ecuación de Laplace en tres dimensiones Solución fundamental
Una solución fundamental de la ecuación de Laplace satisface:
donde la función delta de
Dirac
es una fuente unitaria concentrada en un punto
No es una función en sí, sin embargo puede pensarse como el límite de funciones cuya integral sobre todo el espacio es unitaria, y cuya región donde la función es distinta de cero es solo en un punto (ver solución débil). Es común elegir una convención de signos diferente para esta ecuación, esto se hace cuando se define la solución fundamental. Frecuentemente la elección de este signo es conveniente para trabajar con un í que es un operador positivo. Así la definición de la solución fundamental implica que, si el laplaciano de u es integrado sobre cualquier volumen que encierra el punto de la fuente, entonces
La ecuación de Laplace no cambia bajo un cambio de coordenadas, y entonces podemos esperar que la solución fundamental puede obtenerse entre soluciones que solo dependen de la distancia r del punto de la fuente. Si elegimos el volumen de una bola de radio a alrededor del punto de la fuente, entonce por el teorema de la divergencia de Gauss:
Entonces
sobre una esfera de radio r que tiene como centro al punto de la fuente y por lo tanto
Un argumento similar muestra que en dos dimensiones:
[editar] Función de Green
Una función de Green es una solución fundamental que también satisface una condición adecuada de contorno S de un volumen V . Por ejemplo,
satisface
Ahora si u es cualquier solución de la ecuación de Poisson en V :
y u toma valores de controno g sobre S , entonces podemos aplicar la identidad de Green, (una consecuencia del teorema de la divergencia) el cual satisface
Las notaciones un y Gn se refieren a derivadas normales a S . en vista que las ocndiciones satisfacen u y G, este resultado simplifica a
Así la función de Green describe la influencia en de f y g . PAra el caso del interior de una esfera de radio a, la función de Green puede obtenerse por medio de la 1 reflexión : el punto de la fuente P a distancia del centro de la esfera se refleja a lo largo de la línea radial al punto P' que es en una distancia
Se observa que si P está dentro de la esfera, entonces P' estará fuera de la esfera. La función de Green está dada entonce por
donde R es la distancia al punto de la fuente P y R' es la distancia al punto reflejado P' . Una consecuencia de esta expresión para la función de Green es la fórmula integral de Poisson. Sea , , y las componentes de coordenadas esféricas del punto de la fuente P . Aquí es el ángulo con el eje vertical, la cual es contraria a la notación matemática estadounidense, pero cumple con el estándar europeo y la práctica de la física . Entonces la solución de la ecuación de Laplace equation dentro de la esfera está dado por
donde
Una consecuencia simple de esta fórmula es que si u es una función armónica, enotnces el valor de u en el dentro de la esfera es el valor medio de los valores sobre la esfera. Esta propiedad de valor medio implica inmediatamente que funciones armónicas no constantes no pueden tomar su valor máximo en un punto interior. E lectroestática
En el espacio libre la ecuación de laplace de cualquier potencial electroestático debe ser igual a cero ya que (densidad de carga) es cero en el espacio libre. Diferenciando
el potencial se obtiene el campo E (
Diferenciando
dos veces el potencial se obtiene la densidad de carga o cero en el
espacio libre (
)
)
Usando el teorema de la unicidad y mostrando que un potencial satisface la ecuación de Laplace (la segunda derivada de V debería ser cero en el espacio libre) y el potencial tiene los valores correctos en el contorno, el potencial entonces está unívocamente definido. Un potencial que no satisface la ecuación de Laplace junto con la condición de contorno es un potencial electroestático inválido.
