Ecuaciones Con Valor Absoluto EJERCICIOS

Textos Textos descriptivos

UNIVERSIDAD PRIVADA JOSE CARLOS MARIATEGUI SEDE ILO

CAPÍTULO III ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Veamos la ecuación simple | x | = 3. Para resolver una ecuación como ésta, con una variable dentro de barras de valor absoluto, debemos reconocer los dos posibles casos y resolver cada uno de ellos. La expresión dentro de las barras de valor absoluto podría ser positiva. En tal caso, euivale al valor absoluto! x = = 3. " la expresión podría ser ne#ativa, En tal caso, el valor ori#inal de la expresión es el opuesto del valor absoluto! $% x & = 3. Para obtener el valor de x , podemos multiplicar cada lado de la ecuación por $' y obtenemos! x = = $3. Por lo ue resolver la ecuación para x nos nos da m(s de una respuesta correcta. )ste es #eneralmente el caso para ecuaciones ue incluyen el valor absoluto de una variable! tienen m(s de una solución. *ndi *ndicam camos os esto esto numér numéric icam amen ente te +aci +acien endo do una una list lista a de todas todas las las respu respuest estas as correctas, separadas por una coma. En éste eemplo | x | = 3, la solución solución es x = = $3, 3.



CAPÍTULO IV ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Ejercicios: resolver cada una de las siguientes ecuaciones con valor absoluto

1) | x −1|=|2 x −4| | x −1| |2 x −4| = |2 x −4| |2 x −4|

|

x −1 2 x − 4

|=

1

x −1 =1 2 x − 4 x −1=1 ( 2 x − 4 )

x −1=−1 ( 2 x −4 )

x −2 x =−4 ∓ 1

x + 2 x = 4 + 1

x

=3

3 x

=5

x =

5 3



CAPÍTULO IV ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Ejercicios: resolver cada una de las siguientes ecuaciones con valor absoluto

1) | x −1|=|2 x −4| | x −1| |2 x −4| = |2 x −4| |2 x −4|

|

x −1 2 x − 4

|=

1

x −1 =1 2 x − 4 x −1=1 ( 2 x − 4 )

x −1=−1 ( 2 x −4 )

x −2 x =−4 ∓ 1

x + 2 x = 4 + 1

x

=3

3 x

=5

x =

5 3



2) |4 − 2|=|2 − 4| x

x

|4 x −2| |2 x −4| = |2 x −4| |2 x −4|

|

|

−2 =1 2 x − 4 4 x

x −1 =1 2 x − 4 4 x

−2=1 (2 x −4 )

4 x

−2=−1 (2 x −4 )

4 x

−2 x =− 4 ∓ 2

4 x

+ 2 x =4 + 2

2 x

=−2

6 x

=6

x =−1

x =1

Textos descriptivos


3) |3 x −5|=|3 x + 5| |3 x −5| |3 x + 5| = |3 x + 5| |3 x + 5|

|

|

−5 =1 3 x + 5

3 x

−5 =1 3 x + 5

3 x

3 x

−5=1 (3 x + 5 )

3 x

−5=−1 (3 x + 5)

3 x

−3 x =5−5

3 x

+ 3 x =−5 + 5

no hay solucion

no hay solucion

Textos descriptivos


4) |2 x + 1| |4 x −9| = |4 x −9| |4 x −9|

|

|

+1 =1 4 x − 9 2 x

+1 =1 4 x −9 2 x

Textos descriptivos

UNIVERSIDAD PRIVADA JOSE CARLOS MARIATEGUI SEDE ILO 2 x

+1= 1( 4 x − 9)

2 x

−4 x =−9 −1

−2 x =−10 x =5 2 x

+1=−1 ( 4 x −9 )

2 x

+ 4 x =9 −1

6 x

=8

x

=4 3

| |

1 2 x −8|= + 3 | 5) 2

|| || || 7

|2 x −8|

2

7

7

=

2

2

| | 2 x

−8 =

7

1

2

4 x

−16 7

=1

4 x

−16=1 ( 7 )

4 x

= 7 ∓16

4 x

=23

x =

23 4

Textos descriptivos

UNIVERSIDAD PRIVADA JOSE CARLOS MARIATEGUI SEDE ILO 4 x

−16=−1 ( 7 )

4 x

=−7 + 16

4 x

=9 x =

9 4

Textos descriptivos


| + |=| 3

6)

2

x

2

| |= | | −| | 3 2

x

+2

x

3

1 2

1 2

1 2

| − |

x

−3

x

3

1 2

|

x − 3

| | 3 2

1 2

x + 2

=1

x − 3

3 2

x

=1

1 2

3 2

x

−3 1

3

2

2

x + 2=1 ( x −3 )

3 2

+2

x

− 1 x =− 3− 2 2

x =−5

3 2

1

x −2=−1 ( x −3 ) 2

1

x + x = 3−2

2 x

2

=1

x =

1 2

Textos descriptivos


7)

| 8)

|=| | || ||

3 4

2

11

11

2

2

| | 3 4

9)

11

x −2

x

−2

11

=1

2

6

10)

4

4

6

12) 13) 14)

4

17)

x =11+ 4

=60

x =10

4

6

1)

=1

x −4 =1 ( 11)

6 x

6

15)

−4

11

6

11)

x

4

x −4 =−1 ( 11)

x =−11 + 4

6 x

=−7

Textos descriptivos


18)

x=

−7 6

Textos descriptivos


19)

|

15 x

20)

|

15 x

|

− 6 |4 x| = −

2

−6

2

|=| − | 4

|4 − |

|4 − |

x

x

2

4

x

2 4

2

15

2")

2

x

2)

2

=1

− 3= 1 ( 4 − x )

x + x =4 + 3

17

25)

=1

−3

− x

15

2!)

−3

− x

15

22)

x

| | 15

21)

x

x

x=

=7

15

2#)

15

28)

2

13

29)

14 17

2

!0)

2

x −3=−1 ( 4 − x )

x − x =−4 + 3

x =−1

x=

−2 13

!1)

32)

ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

33) 6.- R!"#$% #& '(&'*+,  3 / 2 0 2  3 &##&% # +%"  !"#('"+!. !")

|3 x −2|=|2 x + 3|

Textos descriptivos


!5)

|3 x −2| |2 x +3| = |2 x + 3| |2 x +3|

!)

|

|

−2 =1 2 x + 3

3 x

!#) !8) !9) "0) "1) "2)

−2 =1 2 x + 3

3 x

3 x

3 x

−2=1 ( 2 x + 3 )

−2 x =3 + 2

x =5

−2 =−1 2 x + 3

3 x

$alla%os sus valores "!)

3 x

−2=−1 ( 2 x + 3 )

"")

3 x

+ 2 x =−3 + 2

"5)

5 x

=−1

")

x=

−1 5

Textos descriptivos


"#)

)2

a)1

c)!

d)"

e)

4)

7.- %!"#$%  +'& (+& %&8. | x − 4|=|5 −2 x|

"9)

| x − 4| |5− 2 x| = |5− 2 x| |5− 2 x|

50)

|

51)

−4 =1 5 − 2 x

x− 4 5−2 x

|=

1

x

52) 5!) 54) 55)

x

− 4 = 1 ( 5 − 2 x )

x + 2 x = 4 ∓ 5 3 x

=9

x =3

56)

x −4 =−1 ( 5 −2 x )

57)

x −2 x =−5 + 4

58)

− x =−1

59)

x =1

0)

61) .- :&##& #& !(&  #&! !"#('"+! +;%&!  #&! !<(+;! '(&'"+!, 2)

|| x −5 x +15|− x

!)

| x −5 x + 15|=−3 x −9 + x −8

")

x

5)

2

2

+ 8|=| x + 9|

2

2

2

2

−5 x + 15 = x −3 x −17

−5 x + 15=−3 x −17

Textos descriptivos


) #)

−2 x =−32 x =16

8)

| x −5 x + 15|=+3 x +9− x +8

9)

x

#0)

−5 x + 15=3 x + 1

2

2

2

2

−5 x + 15 = x + 3 x + 1

#1)

15

−1 =3 x + 5 x

#2)

14

=8 x

7

#!)

4

= x

#")

| − 4|− 5| − 4|+ 6 = 0

#5)

| x − 4|+ 6 =5| x − 4|

x

x

#) x − 8 x + 16 + 6 = 5 x − 20

81) x −8 x + 16 + 6 =−5 x + 20

2

##) #8) #9)

x

2

−13 x + 42=0

( x −6 ) ( x −7 ) x

2

= 6 x = 7

82) 8!) 8")

x

2

−3 x +2 =0

( x −2 ) ( x −1 ) x =2 x =1

80) 85)

Sumamos lo valores enteros

Textos descriptivos


+ +

8)

16 13 3

8#)

32

)

a) 1

b) 25

c) !0

d) !1

) 32 9) 9.- S &=  > ' !"+ #&! !"#('"+! +" +<&;$&!  #& '(&'*+, +;"+'! # $&#"% &' !, 90)

|| − 3|− 5|= 2

91)

| x −3|=2 + 5

92)

| − 3|= 7

9!) 9") 95) 9) 9#) 98)

x

x

x =7 + 3

x =10

| x −3|−5=−2 x =−2+ 8 x =6

a) 12

) 16

c) 

d) 2

e) 1

99)

1?.- :&##&% #&! %&8'! @( !&;!&'+ #& !<(+; '(&'*+, |( − 2 ) ( − 7 )|=| − 5 + 10| 2

x

100) |( x − 2 ) ( x − 7 )|=| x − 5 x + 10| 2

x

x

x

101)

| x −9 x +14|=| x −5 x + 10| 2

2

Textos descriptivos


102) x −9 x + 14= x −5 x + 10 2

2

10!)

−9 x + 5 x =10 −14

109) x −9 x + 14=− x + 5 x −10 2

2

110) 2 x − 9 x −5 x =−10 −14 2

10") 105)

−4 x =−4 x =1

10) 10#) 108)

| x −9 x +14|=−| x −5 x +10| 2

2

111)

2 x

112)

2 x

11!)

x

11") 115)

2

2

−14 x =−24

2

−14 x + 24 =0

−7 x + 12 =0

( x −4 ) ( x −3 )

Textos descriptivos


11) 11#)

x

=4 x=3

a) &1' (1' 2

b) &2*!*5 d) &!' "' 5

11)

+) &1: 0' 2

) 1 3, 4 119)

12?) 121) 122)

11. | x + x −5|= x +5 2

2

x

2

+ x − 5 = x + 5 2

x =10

12!)

127) 128) 129)

x + x −5 =− x

125)

2 x

12)

2

2

+ x =0

x =0

12. |2 x + 8|= x + 4 2 x

+8 = x + 4

x =4

13.- |3 x + 7|=|2 x −5|

1!")

|3 x + 7| |2 x −5| = |2 x −5| |2 x −5|

1!5)

|

1!)

+ 7 =1 2 x − 5

|

+7 =1 2 x − 5 3 x

3 x

1!0) 1!1)

132) 133)

2

12")

2 x

+ 8 =− x −4

x =−4

−5

Textos descriptivos


+ = 1 ( 2 x − 5 )

142)

3 x 7

−2 x =−5 −7

143)

3 x 2 x

144)

5 x

1!#)

3 x 7

1!8)

3 x

139)

x =−12

140)

145)

+ =−1 ( 2 x −5) +

=5 − 7

=−2

x=

−2 5

141)

146)

14.- |5 x −2|= 3

1"#)

5 x

− 2= 3

150)

5 x

−2=−3

1"8)

5 x

=5

151)

5 x

=−1

1"9)

153) 15")

x

=1

152)

x=

−1 5

15. |7 x − 4|+2 =0 |7 x − 4|=−2

158)

|7 x − 4|=2

155)

7 x

=− 2+ 4

159)

7 x

=2 + 4

15)

7 x

=2

10)

7 x

=6

15#)

162) 1!) 1")

x=

2 7

11)

x=

6 7

16.- |6 −3 x|=|2 x + 1| −3 x =2 x + 1

15)

−3 x − 2 x = 1− 6

1)

6

−5 x =−5 x =1

Textos descriptivos


1#) 18)

171) 1#2) 1#!)

−3 x =−2 x −1

19)

−3 x + 2 x =−1 −6

1#0)

6

− x =−7 x =7

17. %!"#$%, | x −1|+| x + 1|−1=| x| | x −1|+| x + 1|=| x|+ 1 x

− 1 + x + 1= x + 1

1##) x −1 + x + 1=− x −1

1#")

2 x

= x + 1

1#8)

1#5)

2 x

− x =1

1#9)

2 x

=− x −1

180)

2 x

+ x =−1

1#)

x =1

181)

12)

x=

−1 3

1.- :&##&% # '"+(+;" !"#('*+  #&

!<(+; '(&'*+, 18!)

| + |+| + |+| + |= 3 x

1

2 x

2

18") 3 x

1

1

1

2

3

6

186)

19?)

3

x

1

1

6

18#)

+ + 2 x + + x + =1

185)

1

6 x

x

=1−1

=0

3 x

1

1

1

2

3

6

+ + 2 x + + x + =−1

188) 189)

19.- %!"#$%, | x −1|+| x +1|−1=| x|

6 x

=−1−1

x=

−1 3

Textos descriptivos


| x −1|+| x +1|=| x|+1

191)

x −1 + x + 1= x + 1

192)

19#)

x −1 + x + 1=− x − 1

19!)

2 x

= x + 1

198)

2 x

=− x −1

19")

2 x

− x =1

199)

2 x

+ x =−1

x

195)

=1

200)

x=

−1 3

19)

2?1)

2?.- R!(#$&  2 / 1  3 0 6 |2 x −1|=3

202) 20!)

2 x

−1 =3

20")

2 x

=4

x =2

205) 20)

2 x

−1=−3

20#)

2 x

=−2

x =−1

208)

2?9) EJERCICIOS, R!(#$ '&& (+&  #&! !<(+;! 1. |2 − 1|= 5 x

210)

2 x

−1=5

212)

211)

2 x

=5+1

21!)

2 x

=6

x =3

Textos descriptivos


21")

2 x

−1=−5

21)

215)

2 x

=−5 + 1

21#)

2 x

=−4

x =−2

218)

219)

2. | 2

220)

3

2

221) 222) 22!)

3

2 3

|+ =

x −6

4

6

2

x −6 =2

22")

2

x =8

2 x

3

225)

=24

22)

x =12

22#)

3

x −6 =−2

x =4

2 x

=12

x =6

228)

229)

3. |12 x −3 x −8| 02

2!0)

12 x

2!1)

9 x

2!2)

9 x

2!!) 2!8)

239)

− 3 x − 8=28

12 x

=28 + 8

2!5)

9 x

=−28 + 8

=36

2!)

9 x

=−2

x =4

x

4.

− 3 x − 8=−28

2!")

237)

= −2 9

|

x x

5 x

9

12

+ + 4

|=−

2

Textos descriptivos


2"0)

x x

5 x

9

12

+ + 4

+ 9 x + 15 x =−72

2"1)

4 x

2"2)

28 x

2"!)

x

=−2

=−72

= −18

4 x

2"5)

28 x

2")

7

+ 9 x + 15 x =72

2"")

x=

=72

18 7

2"#)

24)

|

x −3 x −1

5.

4

+

3

| 0-2

− x

2"9) 3 x −9 + 4 x −4 −12 =−24 250)

7 x

=1

252)

3 x

−9 + 4 x −4 −12 =24

25!)

7 x

=49

25") 251)

x=

x =7

1 7

255)

256)

6.

|

4 x

25#)

3

4 x 3

−

5 x 7

− 5 x − x =− 8 7

258) 28 x −15 x −21 x =−168 259)

|

− x =−8

−8 x =−168

20) 21) 22)

x =21 4 x 3

−

28 x

5 x 7

− x =8

−15 x −21 x =168

Textos descriptivos


2!)

−8 x =168

2")

x =−21

265) 266)

7. |2 ( 9 x −49 ) −15 x|=46

2#)

18 x

28)

3 x

29)

273)

−98− 15 x = 46

=144

x =48

x=

52 3

2#) 2##)

25

18 x

2#1)

3 x

−98− 15 x =−46

=52

272)

.

|5 ( 5−2 x )−7 ( 2 x −5 )|=12

2#") 5 ( 5−2 x ) −7 ( 2 x −5 )=12 2#5)

2#0)

−10 x −14 x + 35 =12

2#8) 5 ( 5− 2 x )−7 ( 2 x −5 )=−12 2#9) 25−10 x −14 x + 35 =−12

−24 x =−48 x =2

280)

−24 x =−72

281)

22) 23)

x =¿

9. |17 x −144|=198 −7 x

28")

17 x

−144 =198−7 x

28#)

17 x

−144 =−198 + 7 x

285)

24 x

=342

288)

10 x

=−54

28)

x =14.25

289)

x =−5.4

Textos descriptivos


290)

291) 292) 29!)

29")

1?. |( √ 3 +√ 5 ) x + √ 5|=√ 3 ( √ 3 + √ 5 ) x =√ 3 −√ 5 x=

x

√ 3 −√ 5 . √ 3 −√ 5 √ 3 +√ 5 √ 3 −√ 5

( √ 3 − √ 5 ) = 3− 5

2

√ 3 −( √ 3 ) ( √ 5 )+ ( √ 5 ) x= 2

295)

29)

29#) 298)

2

−2

x

= −2 √ 5 + 8 −2

x=

−2 √ 5 x 8 = −2 −2

x =√ 5− 4

299) !00)

|( √ 3 + √ 5 ) x + √ 5|=√ 3

!01)

( √ 3 + √ 5 ) x =−√ 3 + √ 5

!02)

x

=

−( √ 3 − √ 5 ) √ 3− √ 5 . √ 3 + √ 5 √ 3− √ 5

−( √ 3 − √ 5 ) x= 3− 5

2

!0!)

Textos descriptivos


√ 3 −( ¿ ¿ 2− ( √ 3 ) ( √ 5 ) + ( √ 5 ) ) 2

!0")

−2 x =¿ x=

!05)

x

!0)

2

√ 5− 8 −2

= 2 √ 5 x = − 8 −2 −2

x =−√ 5 + 4

!0#)

3?) 3?9) DETERMINA LAS SOLUCIONES DE LAS ECUACIONES DADAS | x − 4|=3

1.

x −4 = 3

!10)

x =7

!11)

!12) !1!)

x −4 =−3 x =1

314) 2.

!, | x −5|=16 ",

x −5= 16

x = 21

7. 3.

5, ,

x −5=−16 x =−11

|2 + 3|= 7 x

8,

2 x

+3 =7

10.

9.

2 x

=4

11,

x =2 2 x

+3 =−7

Textos descriptivos


12.

14.

2 x

=−10

13.

x =−5

4. |2 x −3|=9

15,

2 x

−3 =9

18,

2 x

−3=−9

1,

2 x

=12

19,

2 x

=−6

1#,

21.

x =6

20,

| x −1|=2 x −1

5.

22.

x −1=2 x −1

25.

23.

x −2 x =−1 + 1

26.

24.

2.

x

x =−3

=0

27.

x −1=2 x −1 3 x

=2

x=

2 3

|3 x + 2|=5 − x

6.

29,

3 x

+ 2 =5− x

!!,

3 x

+ 2 =−5 + x

!0,

3 x

+ x = 5 − 2

!",

3 x

− x =−5−2

!1,

4 x

=3

!5,

2 x

=−7

!2,

x

=3

!,

4

x=

−7 2

!#,

3. 39.

7. 5 x

|5 x + 4 =2 x + 1| + 4 =2 x + 1

40.

3 x

=−3

Textos descriptivos


41. 42.

45. ",

x =−1 5 x

+ 4 =−2 x −1

43. 44.

7 x

=−5

x=

−5 7

|−6 x + 1|=4 x −7

.

−6 x + 1= 4 x −7

50,

−6 x +1=−4 x + 7

"#,

1

+ 7= 4 x + 6 x

51,

"8,

8

=10 x

52,

−6 =2 x

5!,

−3 = x

4

"9,

5

= x

−7 =−4 x + 6 x

1

Textos descriptivos


5",

55.

| x +4|=| x +2|

9.

5,

| x +4| | x + 2| = | x +2| | x + 2|

5#,

| |

+4 =1 x + 2 x

+ 4 =1 x + 2

x

58, 59, 0, 61.

x + 4 =1 ( x + 2)

63.

x + 4 =−1 ( x + 2)

x − x =−4 ∓ 2

64.

x + x =−2 −4

no hay solucion

65.

62.

66.

67.

1?.

2 x

=−6

x =−3

| x − 4|=| x −2|

8,

| x − 4| | x −2| = | x −2| | x −2|

9,

| |

−4 =1 x − 2 x

x

#0, #1, #2,

− 4 = x − 2

nohaysolucion

#!, #", #5,

x −4 =− x + 2 2 x

=6

x =3

Textos descriptivos


|3 − x|=|1 + x|

76.

11.

##,

3

− x =1+ x

80,

3

78.

2

=2 x

81.

4

79.

1

= x

82.

no hay solucion

|

91,

|

− x =−1 − x

=− x + x

83.

4.

12.

|5 x + 9|=|7 x −5|

85,

|5 x + 9| |7 x −5| = |7 x −5| |7 x −5|

8,

|

+9 =1 7 x −5 5 x

|

+9 =−1 7 x − 5 5 x

8#,

5 x

+ 9=7 x −5

92,

5 x

+ 9=−7 x +5

88,

5 x

−7 x =−5 −9

9!,

5 x

+ 7 x =5 −9

9",

12 x

89, 90,

96. 9#,

−2 x =−14 x =7

13.

95,

|√ 5 x +9|=|√ 6 x −5|

|√ 5 x + 9| |√ 6 x −5| = |√ 6 x −5| |√ 6 x −5|

x=

=−4

−1 3

Ecuaciones Con Valor Absoluto EJERCICIOS

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