UNIDAD 2 - FASE 3: ACTIVIDAD GRUPAL. DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN RESOLVER PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR ESTUDIANTES. EDWARD ULF CONTRERAS VARELA. WILSON LEONARDO GUANTIVAR HOLMAN RODRIGUEZ HECTOR IVAN BRICEÑO NESTOR RAUL TORRES GRUPO. 100412_60 ASIGNATURA. ECUACIONES DIFERENCIALES TUTOR. JAIRO LUIS GUTIERREZ U.N.A.D. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA. ECBTI INGENIERÍA DE SISTEMAS. CEAD. JOSE ACEVEDO Y GOMEZ BOGOTA D.C. JULIO 2017
INTRODUCCIÓN. Mediante el presente trabajo Los estudiantes desarrollaran un trabajo colaborativo donde expongan el conocimiento adquirido y elaboraran los ejercicios con respecto a la unidad de estudio, buscando reforzar reforza r los métodos más importantes para resolver ecuaciones que se aplicaran a situaciones de la vida real, que nos da cuenta de la importancia de las EDOs (Ecuaciones Diferenciales de Orden superior) en matemáticas y ciencias. De igual forma este trabajo busca la forma que los estudiantes de acuerdo a las bases alcanzadas en el nivel de analizar las bibliografías y referencias académicas suministradas por la universidad logre articular, planear, organizar el trabajo colaborativo solicitado en las guías g uías de estudio del curso. El aprendizaje de los conceptos sobre ecuaciones de orden superior permite a los estudiantes de Ingeniería desarrollar habilidades analíticas y dar soluciones a problemas que puedan ser modelados a través de las diferentes fórmulas aprendidas que pueden ser aplicadas a algoritmos y convertidos en programas informáticos.
INTRODUCCIÓN. Mediante el presente trabajo Los estudiantes desarrollaran un trabajo colaborativo donde expongan el conocimiento adquirido y elaboraran los ejercicios con respecto a la unidad de estudio, buscando reforzar reforza r los métodos más importantes para resolver ecuaciones que se aplicaran a situaciones de la vida real, que nos da cuenta de la importancia de las EDOs (Ecuaciones Diferenciales de Orden superior) en matemáticas y ciencias. De igual forma este trabajo busca la forma que los estudiantes de acuerdo a las bases alcanzadas en el nivel de analizar las bibliografías y referencias académicas suministradas por la universidad logre articular, planear, organizar el trabajo colaborativo solicitado en las guías g uías de estudio del curso. El aprendizaje de los conceptos sobre ecuaciones de orden superior permite a los estudiantes de Ingeniería desarrollar habilidades analíticas y dar soluciones a problemas que puedan ser modelados a través de las diferentes fórmulas aprendidas que pueden ser aplicadas a algoritmos y convertidos en programas informáticos.
OBJETIVOS. Se pretende desarrollar el trabajo tanto individual como grupal, según el modelo de aprendizaje soportado en las temáticas de la Unidad y especialmente dando como soporte el aprendizaje autónomo que mediante los recursos ofrecidos por la institución logremos fortalecer esta área de estudio y como se expuso con anterioridad hacerlo vivencial y con una profunda aplicación a situación cotidianas de un entorno tanto personal como profesional. Desarrollar mediante las metodologías para esta parte del curso, los ejercicios individuales y lograr mediante las herramientas tecnológicas el compartir y apropiar el conocimiento de las EDOs, para ello se trabaja en el área colaborativa o grupal con lo que finalmente se logra una aprehensión asertiva de nuestro conocimiento en el área, de ahí aplicarlo en la consecución de unos resultados balanceados en las pruebas evaluativas.
1. Para resolver la ecuación ecuación diferencial de segundo orden, orden, se halla primero la solución de la ecuación diferencial homogénea asociada que se consigue mediante un cambio de variables, dependiendo del tipo de ecuación presentada, esto es, de si es de coeficientes constantes o variables.
− 4 +4=2 − = , = , ′′=(−1) = , = , ′′=(−1)
Con la tarea de encontrar la solución a la ecuación
1
, Un estudiante propone:
A. Resolver la ecuación homogénea asociada, cuya solución da +
B. Resolver la ecuación homogénea asociada, cuya solución da +
C. Hacer las sustituciones
ecuación homogénea asociada, cuya solución da D. Hacer las sustituciones
la ecuación homogénea asociada, cuya solución da
=
+
y resolver
=
+
Resolviendo la Ecuación Diferencial:
Utilizamos la ecuación auxiliar de la ecuación homogénea :
=
y resolver la
Desarrollo
− 4 +4=2 − 1 = − 4 +4=0
=
Entonces:
−4+4= (−2) =0 Ahora tenemos dos raíces iguales:
=2= Solución de la Ecuación Diferencial homogénea será:
= + La respuesta es la A. 2. Para resolver la ecuación diferencial de segundo orden, se halla primero la solución de la ecuación diferencial homogénea asociada que se consigue mediante un cambio de variables, dependiendo del tipo de ecuación presentada, esto es, de si es de coeficientes constantes o variables.
= +2, = +1= ,′′=
En la intención de resolver la ecuación diferencial estudiante propone hacer las sustituciones
(−1)
, un
y resolver la ecuación homogénea asociada, cuya solución
da
=
+
.
El proceso anterior es: A. Verdadero puesto que por ser ecuación no homogénea de segundo orden, primero se debe igualar a cero y al realizar las sustituciones propuestas se obtiene la ecuación m2+ 2m + 1 = 0 cuyas soluciones son m=1 y m=-1 B. Verdadero puesto que por ser ecuación no homogénea de segundo orden, primero se debe igualar a cero y al realizar las sustituciones propuestas se obtiene la ecuación m 2+2m + 1 = 0 quien tiene una única solución real que es m=-1 C. Falsa, por ser de segundo grado con coeficientes constantes la ecuación homogénea asociada es m2+2m + 1 = 0 que tiene una única solución real que es m=-1 y por lo tanto su solución da
=
+
D. Falsa, por ser de segundo grado con coeficientes constantes la ecuación homogénea asociada es m2+2m + 1 = 0 que tiene una única solución real que es m=-1 y por lo tanto su solución da
=
+
Desarrollo
Las sustituciones que propone el estudiante son erradas, ya que éstas solo pueden usarse en Ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes variables ; por lo cual, para poder resolverla deben
(,)
usarse la solución para una ED de segundo grado con coeficientes constantes. Resolviendo la Ecuación Diferencial:
+2 +1=
= Utilizamos la ecuación auxiliar de la ecuación homogénea
+2 +1=0 Entonces
+2+1= (+1) =0 Ahora tenemos dos raíces iguales
=−1=
,
Solución de la Ecuación Diferencial homogénea será:
= + La respuesta es la D.
3. Para encontrar la solución de una ecuación homogénea asociada diferencial de segundo orden con coeficientes variables se procede sustituir
= , = , ′′ =(−1)
y luego se encuentran
las raíces de la ecuación de segundo grado originada, de tal mane que si dichas raíces son m y n, entonces la solución de la ecuación homogénea es:
= = ++ , , =
=∝ cos()+(), ∞+
.
Con base en lo anterior, la solución de la ecuación homogénea de la ecuación x 2y’’ + xy’ +y=2x es: A. B. C. D.
==cos()+ () − ==+ +
.
4. La solución de una ecuación diferencial de orden superior con coeficientes constantes de la forma
()+()+()=() = + ó ℎé = ∫ , = ∫ = =()0 = ()0 −5 +4=1 . = + − 121 . = + − 1512 . = ++ 43 . = + − 13
Es
En donde
Para ello, los wronskianos ,
,
Con base en lo anterior, la solución de la ecuación
es:
Desarrollo
() −5 () +4=1 −5 +4=1
No homogénea, de orden lineal con coeficientes
constantes ya que tiene la siguiente forma:
+ +=()
Convertimos a una ecuación homogénea utilizando la siguiente forma: ( ) = 0
′′ − 5y ′ + 4y = 0 ^2−5+4=0 (−4)(−1) 1= 4 2= 1 = 1 4 + 2 1 = 4 , 2 = , () = 1 2 -
5 + 4 = 0 Ecuación característica
Utilizamos formula cuadrática
Dónde:
y
Entonces obtenemos:
4 4 = − = − 01 = 4 44 01 = −4 4 W1= W2=
1 1 ´ = = −3 = − 31 −4 2 −4 2 ´ = = −3 = 34 − + (−/) − 13 1 − 31 − 13 1 41 ∫ = − − + = + (/) 43 43 1 La integral de 1 es
=
Integral
=
=
34 43 1 = 34 = − 34 = 34 + = + Obtenemos:
= 11 + 22 = 121 4 − 34 4 = 12 − 3 = 121 − 43 = 3−4836 = −4536 ; = − 1512 : = + = + − Por lo tanto
ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTA Este tipo de preguntas consta de un enunciado, problema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la hoja de respuesta, de acuerdo con la siguiente información: Seleccione A si 1 y 2 son correctas. Seleccione B si 1 y 3 son correctas. Seleccione C si 2 y 4 son correctas. Seleccione D si 3 y 4 son correctas. Una vez la seleccione su respuesta, describa el procedimiento que la justifique
5. Para encontrar la solución de una ecuación diferencial de orden superior
()()+()()+ = , = , =(−1) = +
con coeficientes variables de la forma
()() =() se procede
sustituir
Para, en
primera instancia hallar la solución de su respectiva ecuación homogénea asociada de la forma
Luego, con la ayuda de los wronskianos
= =()0 ,
,
= ()0
Se procede a encontrar la solución particular. Con base en lo anterior, las soluciones homogénea y particular de la ecuación x 2y’’ + xy’ = x son: 1. 2. 3. 4.
==− + = =−
Desarrollo.
= = ′′ =(−1)
" +’=0 (−1) + =0 (−1) + =0 (−1) + =0 ( −) + =0 ( −+) =0 ()=0 =0 = + = = + =( + ) ()=( + )ln () ()=( + )ln () =( + )ln ()
WRONSKIANOS
= + = () = =10 , 1 =1∗1−(0∗ln() =1 −0 = 1 =1 , 1 =∗1−(1∗ln() = −ln() =1−ln() =10 , 1
=(1∗1−(∗0)) =1 1−() ( = 11 ) =−() 1 = 11 = =(−) 3 = 4 − ln2() +С = = 2 +С =ln() = 1 =
= = 2 +С = 2 −( 2 − 2 ) = 2 −( 2 − 2 ) = 2 − 2 + 2 = 2 − 2 + 12 1 = 2 − 2 + 2 2 = 2 − 2 + 4 = 2 − 2 + 4 3 = 4 − 2 = = 2 +С
( ) 3 l n = 4 − 2 + 2 ( ) 6 −4 l n = 8 + 2 ()+8 26 −4 l n = 16 ( ) 12 −8 +8 = 16 12 −8 ()+8 = 16 20 −8 = 16 () 5 −2 = 4 ()
6. Una ecuación lineal de orden n es de la forma
()+()+…+´()+()=()
Esto es, todos los coeficientes son solamente funciones de x y además, la variable y y todas sus derivadas están a la primera potencia. Por otro lado, si la expresión
+ +…++
Es su respectivo Operador diferencial de orden n, entonces, la ecuación diferencial lineal no homogénea puede escribirse simplemente de la forma
()=()
Por lo anterior, de la ecuación diferencial 2 y’’
+ 5y =senx
se puede afirmar
que: 1. Es lineal de segundo orden con coeficientes variables 2. El operador diferencial que anula a g(x) es 3. El operador diferencial que anula a g(x) es
+5)=0 (( +1)(2 −1)( +5)=0
4. Es lineal de segundo orden con coeficientes constantes Desarrollo.
Son verdaderas la afirmación 2 y 4 puesto que efectivamente la ecuación diferencial es lineal de segundo orden porque aparece y’’ y sus coeficientes constantes e iguales a 2 y 5. Ademas el operador anulador de sin x es (D 2+1) dado que la segundo derivada de sin x es (–sinx) que luego se cancela con el producto de sin x (1): Al reescribir la ecuación en términos de D y aplicar el anulador a ambos lados nos queda:
( +1)(2 +5)=0
La RESPUESTA es la 2 y 4. El operador diferencial que anula a g(x) es
( +1)(2 +5)=0
(2)
Es lineal de segundo orden con coeficientes constantes (4).
7. Para encontrar la solución de una ecuación diferencial de orden superior
()() +()() + = , = , ′′ =(−1) = +
con coeficientes variables de la forma
()()=() se procede
sustituir
Para, en
primera instancia hallar la solución de su respectiva ecuación homogénea asociada de la forma
y luego, con la ayuda de los wronskianos
= =()0 ,
,
= ()0
Se procede a encontrar la solución particular. Con base en lo anterior, los Wronskianos w1 y w2 de la ecuación ecuación diferencial: xy’’ - y’ = x son: 1. w1=2x 2. w1=-x3 3. w2=1 4. w2=x
Desarrollo.
} - {y} ^ {'} =x
Solucionar la ecuación
x y ¿
Entonces sea u= y '
Y por tanto } u' = y ¿ d u
Transponiendo
d
términos
x x − x =u d u
(
d
Factorizando x x −1) x =u d u
Apartando Variable
Integrando ln|u|=ln| x −1|+ ln|c |
d x x
u
= −1
Propiedades de ln ln|u|=ln|c ( x −1)|
u=c
(
x −1)
Inyectividad de ln
d y d ' Ya que u= y
x
=c ( x −1)
dx =c ( x −1)
Separando variable Integrando
dx
y =
22
cx
−cx +C 1
Luego la solución indagada es y =c 1 x 2
−c 2 x
Ahora podemos ver qué y 1= x 2 , y 2= x
Con lo cual el
W ( y 1 ,
wronskiano
y 2
)
Integran do ( y 1
y 2
)
| y 1 y 2 |
x 2
det y y ' 1 ' 2
=
y
= |2 x
' 1 y ' 2
Luego, la solución buscada es:
det |2 x x 2
1|
x
1|
x
Luego: x 2
(1)−(2 x ) x
x 2−(2 x ) x
x 2−2 x 2
x 2−2 x 2=− x 2
ÍTEMS DE ANÁLISIS DE RELACIÓN Este tipo de ítems consta de dos proposiciones así: una Afirmación y una Razón, unidas por la palabra PORQUE. Usted debe examinar la veracidad de cada proposición y la relación teórica que las une. Para responder este tipo de ítems, debe leerla completamente y seleccionar su respuesta de acuerdo con la siguiente información Seleccione A si la afirmación y la razón son VERDADERAS y la razón es una explicación CORRECTA de la afirmación. Seleccione B si la afirmación y la razón son VERDADERAS, pero la razón NO es una explicación CORRECTA de la afirmación. Seleccione C si la afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA. Seleccione D si la afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición VERDADERA. Recuerde que seleccionada la respuesta debe especificar el procedimiento que la justifique
8
√ + La solución particular de la ecuación 3 −11 +5=0 es = √ PORQUE su ecuación asociada tiene raíces imaginarias.
Desarrollo.
La solución particular de la ecuación
√
3 −11 +5=0 =√ + es
PORQUE su ecuación asociada tiene raíces imaginarias.
Procedimiento Usamos la ecuación auxiliar
= −±√2 −4 11± 1 1 = 2(3)−4(3)(5) = 11±√ 6 61 1= 11+6√ 61 2= 11−6√ 61
Teniendo en cuenta que las raíces son reales y distintas se usa la forma
+
Reemplazando se tiene:
=
() = √ + √
Al resolver el ejercicio se comprueba que la respuesta es correcta, es una ecuación diferencial homogénea lineal de segundo orden con coeficientes constantes, con raíces reales distintas, por lo tanto, la respuesta es la B, porque la afirmación y la razón son VERDADERAS, pero la razón NO es una explicación CORRECTA de la afirmación.
9. Un operador anulador para la función
3)(+2)
() = 5 −6
es
PORQUE la función f(x) es no lineal.
(+
= → (−) = = (−) (+3)(+2)5 = (+3)(15 +10) = (75 +75) =150 = =(−) (+3)(+2)6 = (+3)(−6( +2) +12) =(−36 −48)+(−36 −48)=−72 −96 Verificamos si el operador hace 0 a todos los términos de la ecuación Primer término de la forma
Segundo término de la forma
La solución correcta sería
(−3)5 = (15 −15) =0 (−2) −6 =42−2 +4 =0 () =5 −6
La respuesta que se da en el enunciado es incorrecta por lo tanto la afirmación es falsa. De otro lado la función
no es lineal,
por lo tanto, la razón es una proposición verdadera. En este caso la respuesta correcta es la D.
La solución del problema de valor inicial
12 =2 − =2 =−1 es
PORQUE la solución particular de la ecuación
es
Desarrollo: Ecuaciones. 1. 2. 3. 4. 5. 6.
=2 − −3 −10=0 (0)=1 (0)=12 =2 =−1
Con la ecuación 1. se calcula y’ e y’’: 7. 8.
=10 + +1 =50 − +2
−3 −10=0, (0)=1,(0)=
Ecuación 1. Nos permite desarrollar la ecuación 2. Con c1=2, c2=-1
−3 −10=0 Reemplazando 7. 8. con c1=2 y c2=-1 y(0)=1:
50 − 4 +2−3(10 + 2 +1)−10(1)=0 50 − 4 +2−3(10 + 2 + (−1))−10(1)=0 50 −4 +2−3(10 +2 −1)−10=0 50 −4 +2−30 −6 +3−10=0 50 −4 −30 −6 −5=0 20 −10 −5=0 =0 20() −10() −5=0 20 −10 −5=0 20∗1−10∗1−5=0 5≠0 =2 − No es solución para la ecuación 1.
Verificamos si existen c1 y c2 que sean solución con 1 para:
−3 −10=0 =10 + 2 +1 0=10 +2() +1 0=10∗1+2∗1+1 0=12+1 1=−12 12=10 +2 + 1=12−12 1=0
Reemplazamos ′(0) en 7.
c1
Se obtiene c1=0 y de 7. Reemplazando c1=0 obtenemos que. 9.
=10 +2
Reemplazamos en 2. Con los valores de y y’ y’’ de las ecuaciones 1. 8. 9.
50 −4 +c2−3(10 +2)−10(2 −)=0
50−4−30−6−20+10=−2 2= 1=0 ; 2= 50 −4 −3(10 +2) −10(1)=0 50−4−30−6−10=0 0
Probamos
0
1=0 ; 2= −3 −10=0 1=0 ; 2=
Se define que 1 es solución pero con los valores de:
=2 −
Si es solución particular para
0
con
0
Seleccione D si la afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición VERDADERA.
Primera actividad Grupal: Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden. Problema: Una persona de 70 kg de masa se lanza en una práctica de bungee jumping. Si en el tiempo t=0 la banda elástica ha cedido 8 metros y la velocidad de ascenso es de 30m/seg, Halle la función x(t) que describe el movimiento libre resultante si se sabe que la banda elástica tiene una constante de elasticidad de 350N/m Información Inicial: m= 70 Kg k=350 N/m X(0)= 8 m X’(0)= 30 m/s Se halla la posición de la masa en un instante de tiempo (t) para un movimiento armónico simple:
=−
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Segunda actividad Grupal: Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada: Situación y solución planteada: Un sistema vibratorio que consiste en una masa unida a un resorte como se muestra en la figura
Se suelta desde el reposo a unidades debajo de la posición de equilibrio. La
y la constante elástica es =2 . El movimiento es amortiguado (=1, 2 ) y está siendo impulsado por una fuerza periódica externa = , masa es de
comenzando en
=0.
Dicha fuerza está definida como
()=5cos4
. Para esta
situación, procedemos a encontrar la ecuación diferencial que describe el movimiento
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−16cos4−16sin4+4(−4sin4+4cos4) +5( cos4+sin 4) =25cos4 −16cos4−16sin4−16sin4+16cos4+5cos4+5sin4=25cos4
Operando:
Reuniendo términos semejantes:
−11cos4−11sin4−16sin4+16cos4=25cos4 Factorizando:
(−11+16) cos4+ (−16−11) sin4=25cos4 Equivale a:
−16cos4−16sin4+6(−4sin4+4cos4)+10( cos4+sin 4)=25cos4 −16cos4−16sin4−24sin4+24cos4+10cos4+10sin4=25cos4 −6cos4−6sin4−24sin4+24cos4=25cos4 cos4(24−6)−sin4(6+24)=25cos4 24−6=25 −6−24=0 =4 24(4)−6=25
96−6=25 = 2590 = 185 =4∗ 185 = 109 El sistema de ecuaciones resultante
−11+16=25 −16−11=0
:
=− = =cos4+sin4 =− 10225 cos4+ 5051 sin4 = 185 cos4+ 109 sin4 Se cumple que: Reescribiendo:
= + =( cos+ sin)− 10225 cos4+ 5051 sin4 = cos+ sin+ 185 cos4+ 109 sin4 =0 (0) = 12 =() cos+ ()sin0+ 185 cos4(0)+ 109 sin4(0) 12 = + 185 =− 185 + 12 = 29 (0) = 12 =() cos+ ()sin0+ 185 cos4(0)+ 109 sin4(0) 12 = + 185 =− 185 + 12 La solución sería:
Haciendo
CONDICION INICIAL
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