Modelamiento Matemático: Drenado de un tanque
DEDICATORIA Este trabajo esta dedicado a todos aquellos que son deseosos de Saber sobre este tema
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Modelamiento Matemático: Drenado de un tanque
PRESENTACION
**** Este trabajo ha sido concebido con el principal propósito de ayudar mediante ejemplos a la resolución de problemas sobre “LA APLICACIÓN DE EDO’S” (ecuaciones diferenciales) al “DRENADO DE TANQUES” TANQUES” que pueden contener líquidos, este caso es utilizado en muchos proyectos y ello requiere saber predecir el tiempo que demora en drenar todo o alguna parte del contenido, como también saber el volumen de líquido que desaloja en un determinado instante; así que bueno pues, aquí veremos como determinar cada variable que necesitemos, para lo cual nos ayudaremos de las ecuaciones diferenciales de 1er grado, tema ya abarcado por el docente de Análisis Matemático IV, que estoy seguro que muchos de vosotros conocéis a la perfección. En la primera parte, veremos una pequeña INTRODUCCIÓN al tema referido anteriormente, donde los modelos de los planteamientos en muchos casos ya fue establecida, como por ejemplo la ley de Torricelli que define la velocidad de un líquido, obviamente que ella fluye a través de un agujero de bordes agudos en la parte inferior de un recipiente, tanque o algo similar que se pueda considerar como ello, con una ecuación matemática v= (2gH), dicha ecuación fue obtenida gracias a la resolución del planteo de una ecuación diferencial, pero se puede obtener con el principio de energía; seguido, la forma de la cual podemos plantear un determinado caso de drenado de tanque , como veremos en diversos recipientes, sean estas cilíndricas, prismáticas, cónicas, esféricas, etc. Y a partir de planteamientos lógicos, obtener una ecuación diferencial que defina dicho fenómeno; para ello en este trabajo presentamos algunos casos de drenado de tanques en donde obtenemos la Ecuación General , del cual podemos descubrir y analizar el volumen de líquido que posee el recipiente en un determinado instante, la altura de líquido, el tiempo requerido para dejar vacío el recipiente, etc. Además, en la parte final hacemos la aplicación de las ecuaciones establecidas anteriormente, mediante una serie de Problemas Resueltos, aquí es necesario tener en cuenta los conceptos explicados anteriormente, aunque podemos prescindir de ello, porque estos ejercicios están resueltos de la forma como se planteó la forma general, y bueno la cuestión para resolver una determinada ecuación diferencial de primer orden, se puede hacer mediante la separación de variables o cualquier método que ustedes conozcáis, en fin, en este curso lo que se pretende es poder resolver una ecuación con los métodos que nos imparte nuestro docente, y también los adquiridos de diversos libros interesantes, consulten y encontraran mucho más de los limites (no me refiero a los limites matemáticos); espero, que este pequeño aporte signifique algo de ayuda . El editor editor y el Grupo 5 (porque somos cinco integrantes)
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OBJETIVOS El estudio del tema y las consideraciones pertinentes pertinentes a cada caso permitirán: Plantear las ecuaciones matemáticas que rigen este fenómeno y obtener las fórmulas finales deseadas. Conocer las ecuaciones aplicables a los casos más frecuentes presentados en la práctica industrial y sus limitaciones. Calcular la influencia que ejercen las pérdidas de carga en el proceso de trasvase sobre los tiempos de descarga. Aprender cómo afectan afectan algunas variables al fenómeno fenómeno de descarga. descarga. Conocer las desviaciones experimentales respecto de los datos teóricos Puede decirse que es de gran interés que el modelo numérico incorpore utilidades (pantalla gráfica) que permitan una fácil introducción de las características geométricas de la red y ayuden al análisis de resultados. Por otra parte, la selección de los parámetros a introducir en el modelo deben de se realizados por personas conocedoras de la red v de d e los fenómenos hidráulicos estudiados. importancia del tema y dar dar a conocer parte de esta información existente. Explicar la importancia
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INTRODUCCIÓN En muchas industrias existe en un momento dado la necesidad de vaciar sus tanques sea con fines de limpieza temporaria o simplemente para efectuar algún trabajo de mantenimiento en los mismos. En otras situaciones, se precisa trasvasar producto de un equipo a otro aprovechando las diferencias de niveles entre ellos cualquiera sea su disposición, esto es, descarga por gravedad desde un nivel superior a otro inferior o bien entre tanques ubicados horizontalmente. En ambos casos, se trata de aprovechar la gravedad para producir estos efectos sin necesidad de tener que recurrir a un equipo de bombeo, evitando de esta forma también el gasto energético que su empleo requiere. Como ya expresáramos, se busca pues eliminar actividades que generen costos y no agreguen valor a o los productos elaborados. Muchos problemas físicos dependen de alguna manera de la geometría. Uno de ellos es la salida de líquido de un tanque a través de un orificio situado al fondo del mismo. La forma geométrica del recipiente determina el comportamiento comportamiento físico del agua. El vaciado de tanques y recipientes así como la transferencia de productos entre ellos son operaciones frecuentes en las plantas de procesos (almacenaje de petróleo y combustibles, cervecerías, bodegas, lácteos, bebidas en general, etc.). Estas operaciones pueden efectuarse por medio de bombas o bien por convección natural aprovechando las diferencias de niveles entre tanques. En este último caso es importante conocer los tiempos requeridos dado que pueden ser importantes para la operación y la planificación de actividades varias sobre estos equipos. El tema que presenta interés práctico, no es tratado en los textos clásicos de operaciones unitarias pero sí en publicaciones técnicas de la especialidad con lo que se demuestra la importancia de sus aplicaciones en la industria.
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DRENADO, VACIADO DE TANQUES Y RECIPIENTES RECIPIENTES El VACIADO DE TANQUES Y RECIPIENTES es un proceso en régimen no estacionario dado que tenemos una salida de masa del sistema a una velocidad variable que dependerá del nivel de líquido en el mismo. Al no haber ingreso de masas al tanque, esta descarga provocará un cambio en el contenido inicial del equipo, de modo que podemos plantear el balance general de masas y energía del sistema de la siguiente forma: 1 2 mv mgh v= 2gh 2
Esta ecuación es conocida en hidrodinámica, la ley de Torricelli el cual establece que la velocidad v de eflujo (o salida) del agua a través de un agujero de bordes agudos en el fondo de un tanque lleno con agua hasta una altura (o profundidad) h es igual a la velocidad de un objeto (en este caso una gota de agua), que cae libremente desde una altura h; esto es, v = (2gh), donde g es la aceleración de la gravedad. Esta última expresión se origina al igualar la energía cinética, ½(mv2), con la energía potencial, mgh, despejando v. Supongamos que un tanque lleno de agua se deja vaciar por un agujero, por la acción de la gravedad. Queremos determinar la profundidad, h, del agua que queda en el tanque (Fig. 1. 1) en el momento t.
figura1.1 Si el área transversal del agujero es Ao, en pies cuadrados, y la velocidad del agua que sale del tanque es v = (2gh), en pies por segundo, el volumen de agua que sale del tanque, por segundo, es Ao(2gh), en pies cúbicos por segundo. Así, si V(t) representa al volumen del agua en el tanque en cualquier momento t, En condiciones reales, hay que tomar en cuenta la contracción que sufre un chorro de agua en un orificio, por lo que se tendrá: v k 2gh
donde el signo menos indica que V está disminuyendo. Y k es el coeficiente de descarga comprendido entre 0 y 1 ( 0 < k < 1). OBSERVACION: Cuando el valor del coeficiente de descarga k no se indica, se asume que k 1
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Según la Ley de Torricelli, la razón con la que el agua sale por el agujero (variación del volumen de líquido en el tanque respecto del tiempo) se puede expresar como el área “a” del orificio de salida por la velocidad v del agua drenada, esto es: dV av reemplazando dt dV ak 2gh dt
Si A(h) denota el área de la sección transversal horizontal del tanque a la altura h, aplicando el método del volumen por secciones transversales se obtiene: V
h
A(h)dh
0
dV d dt dt
A(h)
h
A(h)dh A(h)
0
dh dt
dh ak 2gh dt
A(h)dh ak 2ghdt hdt
.....Ec.Dif . de va variable separable
Sean h la altura de líquido en el tanque en cualquier instante t, “a” el área del orificio de salida el cual esta ubicado al fondo del tanque, g la gravedad, k el coeficiente de descarga y A(h) el área de la sección transversal del tanque. La ecuación diferencial asociada al problema de vaciado del tanque es: A(h)
dh ak 2gh dt
A(h)dh ak 2ghd hdt t
Esta es una ecuación diferencial de variables separables, la cual al resolverse sujeta a la condición de conocer la altura inicial h0 para el tiempo t = 0, permite obtener la ley de variación de la altura de líquido en el tanque en función del tiempo. Si, además, hay aporte de líquido al tanque, la ecuación diferencial es A(h)
dh P ak 2gh dt
MODELO MATEMÁTICO DEL DRENADO DE TANQUES Un tanque de una cierta forma geométrica esta inicialmente lleno de agua hasta una altura H 0. El tanque tiene un orificio en el fondo cuya área es A m2. Se abre el orificio y el líquido cae libremente. Razonamiento: La razón volumétrica de salida
Q
dV dt
es proporcional a la velocidad de salida y al área del orificio,
es decir, dV kAv dt
El signo menos es debido a que EL VOLUMEN DISMINUYE a medida que transcurre el tiempo. INGENIERIA CIVIL
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Aplicando la ecuación ecuación de energía: dV kA 2gh dt
1 2 mv mgh v= 2gh 2
, por lo tanto,
Ecuación diferencial de primer orden
Donde: g = 9.81m/s2 A: área del orificio, por donde donde se drena el líquido. “k” es el coeficiente de descarga comprendido entre 0 y 1 (0 < k < 1). La constante k depende de la forma del orificio: Si el orificio es de forma rectangular, la constante k = 0,8. Si el orificio es de forma triangular, la constante 0,65 k 0,75. Si el orificio es de forma circular, la constante k = 0,6. Y en algunos casos casos viene especificada. especificada.
Caso 1. Cilindro circular de altura H0 m y radio R m, dispuesto en forma vertical y con un orificio circular de diámetro D (en m) (Ver figura 01).
dV kA 2gh dt 2
dV D 0,6 dt 2
Pero
2 9.81 h 0.664 D2 h
dV R2 dh
Como (1)= (2):
dV dh R2 dt dt
R2
(1)
(2) (2)
dh 0.664 D2 h dt
y separando variables:
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Modelamiento Matemático: Drenado de un tanque 0.664 D2 dt R2 h
dh
1/2
h
dh
integrando grando
0.664 D2 R2
dt
0.664 D2 tC 2 h R2
Con las condiciones iniciales: t = 0, h = H0, hallamos la constante C, veamos: 2 H0
0.664 D2 R2
(0) C
C 2 H 0
Entonces, de la ecuación podemos despejar el tiempo. 2 h
0.664 D2 t 2 H 0 R2
H t
0
h R2
0.332 D2
El tiempo de vaciado (t v): se obtiene cuando h = 0.
H t
t
0
0 R2
0.332 D2 H0 R2
0.332 D2
Esto es el tiempo que se demora en el drenado del tanque cilíndrico.
Caso 2. El mismo cilindro anterior pero dispuesto horizontalmente y con el orificio en el fondo.
2 dV D kA 2gh k 2gh .........() 4 dt
pero de la Figura adyacente, tenemos:
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Modelamiento Matemático: Drenado de un tanque dV 2 xH0 dh tam tamb bien: x2 (h r)2 r2 x 2hr h 2
x2 h2 2hr 0 Entonces Entonces :
dV 2 2hr h 2 H0 dh
Reemplazando en (*) 2 2hr h 2 H0 dt 2r h dh
D2 k 2gh 4
k D2 2g 8 H 0
dt Ec.Dif .de var iable se s eparable
Condiciones iniciales: en t0 = 0 h = 2r, con ella hallamos la constante de integración. El tiempo de vaciado t v se produce cuando h = 0.
Caso 3. Un cono circular recto de altura H 0 y radio R dispuesto verticalmente con orificio circular en el fondo de diámetro D.
2 D dV kA 2gh k 2gh 4 dt 2 D dV k 2gh dt 4
Por semejanza de triángulos tenemos que: 2 2 Rh R h R H 0 r Como : d V r 2dh d V dh r h H 0 H 02
dV d t h
3/2
k
D 2 2gh 4
R 2h3/ 2 H 02
dh k
D2 dt 2g dt 4
D 2 H 02 2g d h k dt 4 R 2
Condiciones iniciales: cuando cuando t = 0; h = H 0, el tiempo de vaciado t v se produce cuando h = 0. INGENIERIA CIVIL
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Tiempo de descarga en tanques y recipientes El diseño de tanque más difundido en la industria es sin dudas, el tanque cilíndrico de eje vertical con fondo plano. plano. Considerando Considerando este y otros diseños, diseños, ya detallados, como como base y calcularemos el tiempo de descarga de los mismos, que se pueden obtener simplemente utilizando la ecuación diferencial, hallada anteriormente, claro, teniendo en cuentas las condiciones iniciales que se dan en cada caso.
Influencia de la geometría del recipiente Muchos problemas físicos dependen de alguna manera de la geometría. Uno de ellos es la salida de líquido de un tanque a través de un orificio situado al fondo del mismo. La forma geométrica del recipiente determina el comportamiento físico del agua. A medida que se produce la descarga del líquido y según la forma geométrica del tanque, pueden presentarse dos situaciones: 1. que el área transversal del recipiente sea constante en toda su altura, o 2. que el área transversal varíe en distintos niveles En efecto, el planteo e integración de las ecuaciones anteriores se simplifica dado que en el caso analizado la sección transversal del tanque cilíndrico se mantiene constante en toda su altura. Si el área transversal varía, el tema es más complicado y para obtener los tiempos de descarga se tiene que conocer la función que relaciona el área con la altura de líquido, esto es, encontrar la relación: r elación: Esta cuestión es importante dado que es otro de los casos frecuentes que se presentan en la práctica industrial en los tanques y recipientes de diseño API o ASME tales tal es como: • Recipientes esféricos • Recipientes cilíndricos horizontales de: - cabezales semielípticos - cabezales semiesféricos - cabezales toriesféricos - cabezales planos • Recipientes cilíndricos verticales de: - fondo semielíptico - fondo semiesférico - fondo toriesférico
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- fondo cónico A = f (h) La tabla siguiente resume los tiempos de descarga para recipientes de diferentes formas geométricas sin cañería de conexión.
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EJERCICIOS RESUELTOS PROBLEMA N°01 Un depósito tiene la forma de un cono truncado con 2,4 m de diámetro en la base superior y 1.2 m en la inferior. El fondo contiene un orificio cuyo coeficiente medio de descarga es de 0,60 m. ¿Cuál deberá ser el diámetro del orificio para vaciar el deposito en 6 minutos si la altura de carga inicial i nicial es de 3,0 m?
Resolución Sabemos que: A(h)dh ka 2gh d t En el problema:
2 (3 h)2 1 2 d h dh 0.6 2g d t 25 4
Donde: d2 = diámetro del orificio. Puesto que t = 360 segundos; integrando en ambos lados se obtiene: d2 =
4 360 25 0. 0.6 2 g
3
(9h1/ 2 6h1/ 2 h3 / 2 )dh
0
Operando tenemos: d = 0.0987m =9.87cm PROBLEMA N°02 Un embudo, en cuya salida se tiene un ángulo de 60 o y un área de la sección recta de 0.5 cm2, contiene agua. En el instante t = 0 se abre la salida y el agua fluye afuera. Determinar el tiempo en que se vaciara el embudo, suponiendo que la altura inicial del nivel del agua es de 10 cm.
Resolución Por Torricelli: A (h) =
A(h) * d(h) CB 2 gh * dt
r (h * tg (30 )) h
2
0
2
2
3
Entonces reemplazando tenemos: h
2
3 2
dh 0.6(0.5)
2
2 ghdt
5
h 2 12.7t c 5
Para t = 0 => h = 10 Luego: c
2 5
(10)
5
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2
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Reemplazando tenemos: t
2
10 5 2 h 5 2 5(12.7)
Para h = 0;
t 10seg
PROBLEMA N°03 Un cilindro recto circular de 10 pies de radio y 20 pies de altura, está lleno con agua. Tiene un pequeño orificio en el fondo de una pulgada de diámetro ¿Cuándo se vaciará todo el tanque? Resolución
La ecuación diferencial asociada a los problemas de Vaciado de tanques es Ahdh ak 2gh 2ghdt .... ...... .... .... .... .... ...( .(1 1) El diámetro del orificio por donde fluye el agua fuera del tanque es de 1 pulgada, por lo tanto el radio es ½ pulgada. Como las dimensiones del tanque están dadas en pie, utilizando la equivalencia de 1 pulgada=1/12 pies y puesto que el área del orificio de salida es el área de una circunferencia ((radio) 2), resulta que el área “a” del orificio de salida es: es: 2
1 a pie2 24 576
El coeficiente de descarga “k” no esta dado por lo l o tanto se asume k=1 y la gravedad es 2 g=32pies/seg . Para determinar A(h), que es el área de la sección transversal del tanque en función de la altura “h”, obsérvese en la Figura que las secciones transversales del tanque son circunferencias de radio constante r = 10 pies. Por lo tanto, el área de la sección transversal es la misma, independientemente independientemente de la altura h a la cual se efectúe el corte. Así, 2 Ah 10 100 pies 2 Sustituyendo a, k, g, y A(h) en la ecuación (1)
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Modelamiento Matemático: Drenado de un tanque 100 dh 7200 7200
dh h
576
64 hdt
72
hdt
dt int egrando
dh h
dt
14400 h t C ...................(2)
Para determinar el valor de la constante k de integración, se usa la condición inicial, esto es, se sustituye en la ecuación (4) t = 0 seg y h = 20 pies, resultando 14400 20 (0) C 14400 0 20 C 1440
Este valor obtenido para C se sustituye en la ecuación (2) 14400 h t 14400 20 2
14400 14400 20 t h h(t ) 14400
...............(3)
y obtenemos la ecuación (3) que es la ley de variación de la altura de líquido l íquido en el tanque en cualquier instante t. Para determinar el tiempo que demora en vaciarse el tanque, es decir, el tiempo para el cual deja de haber líquido en el tanque, se debe sustituir h = 0 en la ecuación (3) 2
14400 14400 20 t 0 14400 4400 20se g t 1440 t 6439 64398,7 8,758 58seg
Es decir, 17 h 53 min 19 seg. PROBLEMA N°04 Un tanque tiene la forma de un cubo de 12 pies de arista. Debido a un pequeño orificio situado en el fondo del tanque, de 2 pulgadas cuadradas de área, presenta un escape. Si el tanque está inicialmente lleno hasta las tres cuartas partes de su capacidad, determine: a) ¿Cuándo estará a la mitad de su capacidad? b) ¿Cuándo estará vacío?
Resolución
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a) La ecuación diferencial asociada a los problemas de vaciado de tanques es: Ahdh ak 2gh 2ghdt .... ...... .... .... .... .... ...( .(1 1) Como las dimensiones del tanque están dadas en pie, y puesto que 1pulg = 1/12 pies, entonces haciendo la conversión, el área orificio de salida será: a = 2 pulg2= 2 (1/144) pies2 = 1/72 pies2 El coeficiente de descarga es k = 1 y la gravedad g = 32 pies/seg2. Como puede observarse en la Fig,1 las secciones transversales del tanque van a ser cuadrados de lados constantes e iguales a 12 pies, independientemen i ndependientemente te de la altura a la cual se efectúa el corte, por lo tanto, el área de las sección transversal será A(h) = 144 pies2 Ya que las secciones secciones transversales son de área constante y puesto puesto que el tanque está inicialmente inicialmente lleno hasta 3/4 de su capacidad, resulta que la altura inicial será igual a 3/4 de la altura total. Así, como la altura total del tanque es ht = 12 pies, entonces la altura inicial es h0 = 3/4 ht = 9 pies. Sustituyendo A(h), a, k y g en la ecuación (1) 144 dh 1296
dh h
1 h 64hdt dt dt 72 9
dt ................(2)
La ecuación (2) es la ecuación diferencial asociada al problema de vaciado de tanque planteado y debe resolverse sujeta a la condición h(0) = 9 pies. La ecuación (2) es una ecuación diferencial de variables separables. Así que integremos: 1296
dh
h
dt
2592 2592 h t C .... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ...( .(3 3)
Para determinar el valor de la constante C de integración se usa la condición inicial h(0) = 9, esto es, se sustituye en la ecuación (3) t = 0 seg y h = 9 pies, resultando 2592 9 0 C C 7776
C=7776. Este valor obtenido para C se sustituye en la l a ecuación (3) 2592 2592 h 7776 7776 t 2
2
t 7776 t h(t ) 3 .............(4) 2592 2592
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La ecuación (4) es la ley de variación de la altura del líquido en el tanque en cualquier instante t. Se quiere determinar el tiempo para el cual el volumen de líquido en el tanque es igual a la mitad de su capacidad; es decir, cuando la altura de líquido en el tanque es igual a 6 pies. Para ello, se sustituye h = 6 pies en la ecuación (4) 2592 2592 h 7776 7776 t 2
t 6 3 2592
6 3
t 2592
t 2592 2592 3 6 1426 1426.9 .923 23se seg g
De aquí que, debe transcurrir un tiempo t = 1426,923 seg = 23 min 47 seg, para que el tanque se vacíe hasta la mitad de su capacidad. capacidad. Para determinar el tiempo que demora en vaciarse el tanque, es decir, el tiempo para que la l a altura de líquido en el tanque sea cero, se sustituye h = 0 en la ecuación e cuación (5) y se busca t. 2
t 0 3 2592 t 3 2592 7776seg
Luego, deben transcurrir 7776 seg, es decir, 2 horas 9 min 36 seg, para que el tanque se vacíe totalmente. PROBLEMA N°05 Un tanque en forma de cono circular recto, de altura H, radio R, vértice por debajo de la base, está totalmente lleno con agua. Determine el tiempo de vaciado total, si H = 12 pies, R = 5 pies, a = 1 pulg2 y k = 0,6
Resolución
dV r
g
dh
H=12 h a
La ecuación diferencial asociada a los problemas de vaciado de tanque es: Ahdh ak 2gh 2ghdt .... ...... .... .... .... .... ...( .(1 1) El área de orificio de salida es a = 1 pulg2 pero como las dimensiones del tanque están dadas en pies, hay que realizar la conversión. INGENIERIA CIVIL
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Puesto que 1 pulg = 1/12 pies, entonces: 2
1 1 a 1pulg pies pies2 12 144 2
El coeficiente de descarga es k = 0,6 y la gravedad es g = 32 pies/seg2 Según puede observarse en la Fig. 1, las secciones transversales del tanque son circunferencias cuyo cuyo radio varía dependiendo de la altura a cual se efectúe la sección transversal. Sea h la altura a la cual se efectúa el corte y r el radio de la circunferencia. El área de la sección transversal es variable y está dada por: A(h) r 2
............(2)
Para expresar r en función de h, debe hacerse una abstracción, abstracción, en el sentido de visualizar el tanque, no como un sólido, sino como una figura plana. Observando el tanque de frente como una figura plana se ve tal y como se muestra Fig. 2
Si se ubican los ejes coordenados de tal forma que el vértice del cono coincida con el origen del sistema de coordenadas, entonces se tiene una figura simétrica respecto del eje y, tal y como se muestra en la Fig. 2
Por simetría, será suficiente trabajar con uno de los triángulos. Por semejanza de triángulos (ver Fig. 3) se tiene entonces la siguiente relación rel ación de proporción: r 5 5h r Sustituyendo la ecuación en la ecuación (2) h 12
12
2
5 25 2 h h 12 144
A(h)
Sustituyendo A(h), a, k y g en la l a ecuación (1)
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Modelamiento Matemático: Drenado de un tanque 25 2 1 h dh 0.6 64hdt 144 144 25 h3/2 dh 4.8dt in int egrando
25 h3/2 dh 4.8
dt
10 h5/ 2 4.8t C ................(3)
Para determinar el valor de la constante k de integración se usa la condición inicial h(0) = 12, esto es, se sustituye en la ecuación (3) t = 0 seg y h = 12 pies, resultando: 10 (12)5/2 4.8(0) C C
25 (12) 12)5/2 12
10 h5/ 2
25 (12)5/ 2 4.8 t 12 2/5
12 h(t ) (12)5/ 2 t 25
.............(4)
La ecuación (4) es la ley de variación de la altura del líquido en el tanque en cualquier instante t. El tiempo de vaciado total se obtiene cuando la altura de líquido en el tanque es h = 0 pies. Sustituyendo este valor en la ecuación (4) 2/5
12 0 (12)5/ 2 t 25 (12)5/2 t
12 t 0 25
25 (12) 12)5/ 2 3264 3264.8 .83 3se g 12
De aquí que, el tanque demora en vaciarse 3264,83 seg, es decir, 54 min 25 seg. PROBLEMA N°06 Una taza hemisférica de radio R está llena de agua. Si hay un pequeño orificio de radio r en el fondo de la superficie convexa, determine el tiempo de vaciado.
Resolución La ecuación diferencial asociada a los problemas de vaciado de tanques es:
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Modelamiento Matemático: Drenado de un tanque Ahdh ak 2gh 2ghdt
.... ...... .... .... .... .... ...( .(1 1)
Como el radio de la taza hemisférica es R y el tanque se encuentra lleno entonces la altura inicial de líquido en el tanque es R, tal y como puede observarse en la Figura, es decir, h(0) = R. El orificio de salida tiene radio r, por lo tanto, el área del orificio de salida es a = r2 Sea k el coeficiente de descarga y g la gravedad. Las secciones transversales del tanque hemisférico, son circunferencias de radio variable, según la altura donde se realice la sección transversal. Sea x el radio variable de la sección transversal. Por ser circunferencia, el área es: A(h)= x2……………..(2) Se debe establecer una relación entre el radio x y la altura h, de tal forma que el área de la sección transversal quede expresada en función de la altura h. Observando el tanque de frente como una figura plana y ubicándolo en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares como se muestra en la Fig. 2. Puesto que la Fig.2 resultante es simétrica respecto del eje y, será suficiente trabajar con la mitad de la figura.
El triángulo que se forma, tiene como base el e l radio=x, altura=(R – h) e hipotenusa=R.
Aplicando el Teorema de Pitágoras al triángulo de la Fig. Fig. 3 2 R2 x2 R h R2 x2 R2 2Rh h2 x 2 2Rh h2
Sustituyendo en la ecuación (2)
A(h) 2Rh h2
Ahora se sustituyen A(h) y a en la ecuación ecuación (1)
2 Rh h dh 2
r2k 2ghdt
...............(3)
La ecuación (3) es una ecuación diferencial de variables separables.
2 Rh h dh r k 2ghdt 2 Rh h dh k 2gdt 2
2
2
h
A partir de la ecuación diferencial (5) y sabiendo que para el tiempo t = 0 la altura es h = R, se debe determinar el tiempo de vaciado tv, esto es el tiempo para el cual la altura de líquido en el tanque es cero. Se plantea así, el problema de valor de frontera
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Modelamiento Matemático: Drenado de un tanque 2 Rh h2 dh k 2gdt h h(0) R h(t v ) 0
Integrando la ecuación diferencial (6) de forma definida: el tiempo varía entre t = 0 y t = tv (tv tiempo a determinar) la altura varía entre h = R y h = 0
R
2 Rh h dh kr 2
h
0
2 R
2
R
h1/ 2dh
0
2g
0
dt kr 2 2g
dt
0
t v
t v
R t v
h3/ 2 dh kr 2 2g t
0
0
4 R5/ 2 2R5/ 2 kr 2 2g t v 3 5 5/ 2 14 R kr2 2g t v 15 14 R5/ 2
14 R2 R t v 15kr 2 2g 15kr 2 2g
PROBLEMA N°07 Un tanque de agua tiene la forma que se obtiene al hacer girar la curva y = x4/3 alrededor del eje y. Siendo las 11:27 de la mañana se retira un tapón que está en el fondo y en ese momento la profundidad del agua en el tanque es 12 pies. Una hora más tarde la profundidad del agua ha descendido a la mitad. Determine: a) ¿A qué hora estará vacío el tanque? b) ¿A qué hora quedara en el tanque 25% del volumen de líquido inicial?
Resolución a) La curva y = x 4/3 que se hace girar alrededor del eje y para generar el tanque tiene su vértice en el origen. Cuando la variable y toma el valor de la máxima profundidad de líquido en el tanque, esto es, y = 12, la variable x que representa el radio de giro toma el valor x = (12)3/4 = 6,45. En la Fig. 1 se muestra la forma aproximada del tanque La ecuación diferencial asociada a un problema de vaciado de tanque es: Ahdh ak 2gh 2ghdt .... ...... .... .... .... .... ...( .(1 1) INGENIERIA CIVIL
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Modelamiento Matemático: Drenado de un tanque
El coeficiente de descarga es k = 1 y la gravedad es g = 32 pies/seg 2. El área a del orificio de salida debe determinarse. Las secciones transversales son circunferencias de radio variable r. Por lo tanto, el área de las secciones transversales es: A(h) = r2 …………….(2) El radio r debe expresarse en función de la altura h. Para ello debe observarse el tanque como una figura plana, vista desde el frente. La Fig. 2 muestra la curva plana y = x4/3
Observe en la Fig. 2 que el punto P(r, h) pertenece a la curva y = x 4/3; esto quiere decir que las coordenadas del punto P satisfacen la ecuación de la curva. Sustituyendo x= r, y = h h = r 4/3 r= h 3/4 …………………..(3) sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (2) A(h) = h3/2 Una vez que el área de la sección transversal del tanque ha quedado expresada en función de la altura, se sustituyen A(h), k y g en la ecuación (1) h3/2 dh a 64hdt
hdh 8 adt ...... ......... ...... ...... ...... ...... ...... ....( .(4) 4)
La ecuación (4) es la ecuación diferencial asociada al problema de vaciado planteado y debe resolverse sujeta a dos condiciones: la primera condición es que para el tiempo t = 0 seg, la altura es h = 12 pies; la segunda condición es que luego de una de iniciado el proceso de vaciado, es decir, para t = 3600 seg, la altura de líquido en el tanque ha descendido a la mitad, esto es, h = 6 pies. Por lo tanto, lo que debe resolverse es el problema de valor de frontera f rontera hdh 8 adt h(0) 12 h(3600 (3600)) 6
La ecuación (4) es una ecuación diferencial de variables separables. Integrando definidamente; el tiempo varía entre t = 0 seg y t = 3600 seg; la altura varía entre h = 12 pies y h = 6 pies
12
hdh
6
h2 2
0
dt
3600
12
0
8 a t 6
3600
54 28800a a
3 1600
Este valor que se obtuvo para a (área del orificio de salida) se sustituye en la ecuación (4) INGENIERIA CIVIL
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Modelamiento Matemático: Drenado de un tanque
hdh
3 dt 200
hdh
3 dt ............(5) 200
Se pide determinar el tiempo tv que demora en vaciarse el tanque, es decir, el tiempo para el cual la altura de líquido en el tanque se hace cero. Para ello se debe resolver el problema de valor de frontera: 3 h d h dt 200 h(0) 12 h(t v ) 0
La ecuación diferencial (5) se integra de forma definida: el tiempo varía entre t = 0 seg y t = t v v; la altura varía entre h = 12 pies y h = 0 pies 12
3 hdh 200
0
h2 2
12
0
72
0
dt
t v
0
3 t 200 t v 3 t v 200
t v 4800se g
De aquí se tiene que, el tanque demora en vaciarse t = 4800 seg, lo que equivale a 1 hora y 20 min. Si el proceso de vaciado se inició a las 11:27 am, entonces para saber a qué hora el tanque estará vacío, debe sumarse el tiempo de vaciado t v a las 11:27. Luego, el tanque estará vacío a las 12:47 pm. b) Para saber a qué hora queda en el tanque el 25% de su capacidad, se debe comenzar por establecer cuál es la altura de líquido l íquido en el tanque cuando resta el 25% de su capacidad. Como se conoce la altura inicial de líquido en el tanque, el volumen total se determina por el método del volumen por secciones transversales V
h0
A(h)dh
0
12
0
2 h5/2 dh h 5
12
3/2
0
2 (12)5/2 5
luego el 25% del volumen total es: 25%V
25 2 (12)5/ 2 (12)5/2 100 5 10
Conocido el volumen cuando resta el 25% de líquido en el tanque, utilizando el mismo método por secciones transversales, se podrá determinar cuál es la altura de líquido en el tanque en este caso h1
25%V
A(h)dh
0
5/ 2
(12) 10
(12)5/2 10
h1
h3/2 dh
0
2h15/ 2 5
h1
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12 6.89 42/5
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Modelamiento Matemático: Drenado de un tanque
Una vez conseguida la altura de líquido en el tanque cuando queda el 25% del volumen total, se procede a buscar el tiempo que demora en llegar a esa altura. Para ello ell o debe resolverse el problema de valor de frontera 3 h d h dt 200 h(0) 12 12 h(t 1 ) 2/5 4
La ecuación diferencial (7) se integra de forma definida: el tiempo varía entre t = 0 seg y t = t 1; la altura varía entre h = 12 pies y h = h 12 pies 2/5 4
12
hd h 12
3 200
42/5
h2 2
12
12
3 t1 200
0
dt
t 1
t 1 3216 3216.6 .66 6s e g
42/5
De aquí se tiene que, el tanque demora t 1 = 3216,66 seg en vaciarse hasta el 25% de su capacidad inicial, lo que equivale a 53 min y 36 seg. Si el proceso de vaciado se inició a las 11:27 am, entonces para saber a qué hora el tanque tendrá sólo el 25% de su capacidad, hay que agregar a las 11:27 los 53 min y 36 seg. Luego tendrá el 25% de su capacidad a las 12:20:36 pm. PROBLEMA N°08 El tanque que se muestra en la figura está totalmente lleno de líquido. Se inicia el proceso de vaciado, por una perforación circular de área 1 cm 2 ubicada en la base inferior del depósito. Si se ha establecido el coeficiente de descarga descarga k = 0,447 y la gravedad es g = 10 m/seg2. Determine: a) Tiempo que debe transcurrir para que quede en el tanque un contenido equivalente al 18,75% de su capacidad. b) Tiempo de vaciado total del tanque.
Resolución La ecuación diferencial asociada a los problemas de vaciado de tanques es: Ahdh ak 2gh 2ghdt .... ...... .... .... .... .... ...( .(1 1) El área del orificio de salida es a = 1 cm2, pero como las dimensiones del tanque están en metros debe efectuarse la conversión. Puesto que 1 cm = 0,01 m = 10 – 2 m, entonces a = 1 cm 2 = (1 cm)2 = (10 - 2 m)2 = 10 - 4 m2.
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Modelamiento Matemático: Drenado de un tanque
En el enunciado del problema dan el coeficiente de descarga k = 447.10 - 3 y la gravedad g = 10m/seg2 Según puede observarse en la Fig. 1, las secciones transversales son rectángulos, dos de los lados paralelos de longitud constante e igual a 8 y los otros dos lados de longitud variable r. El área de la sección transversal es entonces: A(h)=8r ………………(2) ………………(2) Debe expresarse la longitud r en función de la altura h. Para ello si se observa el tanque de frente, como una figura en un plana, ubicada en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, se verá como lo muestra muestra la siguiente Fig. 2
Obsérvese que el punto P(r, h) pertenece a la recta que pasa por los puntos (1, 0) y (2, 4). La pendiente la recta es: m 4 0 4 2 1
La ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 0) (o (2, 4)) y tiene pendiente 4 es: es : L: y = 4 (x – 1) Ya que el punto P (r, h) pertenece a la recta L, L , entonces satisface la ecuación de dicha recta, por lo tanto sustituyendo x = r , y = h h = 4 (r – 1) r
h 1 4
Sustituyendo en la ecuación (2), se tiene el área de la sección transversal en función de la altura h h A(h) 8 1 2 h 4 4
Ahora se sustituyen A(h), a, c y g en la ecuación ecuación (1) 2h 4 dh 104 44 4 47 103 20hdt 2h 4 7 h
dh 447 447 10
20dt ...... ... ...... ...... ..... ...( .(3 3)
La ecuación diferencial (3) es una ecuación diferencial de variables separables y debe resolverse sujeta a la condición de que la altura inicial de líquido en el tanque es 4 m, es decir, h(0) = 4.
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Modelamiento Matemático: Drenado de un tanque 2
h
h 4 h
4
2
t
dh
dt
0
h
h
h1/ 2dh 8
4
h1/ 2dh 447 107 20 t
4
h
h
4 h3/2 3
447 107 20 t
16 h
1/ 2
4
4
2107 64 2 3/ 2 1/ 2 ...... .... .... .... .... ..((4) t h 8h ..... 447 447 20 3 3
La ecuación (4) representa la relación funcional entre altura y tiempo. Ya que se debe determinar el tiempo que debe transcurrir para que en el tanque quede solo el 18,75% del volumen total de líquido, para usar la ecuación (4) será necesario conocer la altura de líquido en el tanque, cuando en este queda el 18,75% 1 8,75% del volumen total. Se comienza por determinar el volumen total de líquido en el tanque. Como el tanque se encuentra lleno, la altura total de líquido en el tanque coincide con la altura inicial. Aplicando el método de las secciones transversales transversales para hallar el volumen volumen total V
h0
A(h)dh
4
4
2h 4 dh dh 2
0
4
V h
4
hdh 8
0
4
dh
0
4
8 h 48
2
0
0
Así, el volumen total de líquido en el tanque es V = 48 mt3. Luego, el 18,75% del volumen total es: 18.75%V
18.75 900 (48) 9 100 100
Ahora, usando la misma ecuación anterior para calcular volumen, se puede establecer cuál será la altura h1 del líquido en el tanque, si se sabe que el volumen es 19,75% V = 9 m3 18.75%V
h1
A(h)dh
0
9
h1
h1
2(h 4)dh dh (h2 8h)
h 12 8h 1 0
0
h 12 8h 1 9 0 ecuacion cuadratica :
8 82 4(1)(9) 8 100 h 1 4 5 2(1)
2
h 1 9 o h 1 1
Ya que h debe ser positivo, pues representa una altura, el valor h = – = – 9 9 se descarta, por lo tanto, la altura de líquido en el tanque t anque cuando el volumen es de 18,75% del volumen total es h = 1 m. Luego, para determinar el tiempo que demora en vaciarse el tanque hasta 18,75% del volumen total, será suficiente con sustituir h = 1 m en la ecuación (4)
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Modelamiento Matemático: Drenado de un tanque
PROBLEMA N°09 El tanque que se muestra en la figura se encuentra lleno en un 100%: El líquido escapa por un orificio de 5 cm2 de área, situado en el fondo del tanque. Determine: a) Tiempo de vaciado total. b) Tiempo para que el volumen de líquido en el tanque descienda 5m.
Resolución La ecuación diferencial asociada a los problemas de vaciado de tanques es: Ahdh ak 2gh 2ghdt .... ...... .... .... .... .... ...( .(1 1) El coeficiente de descarga es k = 1; la gravedad es g = 9,81 m/seg2 El área del orificio de salida está dada en cm2, pero como las dimensiones del tanque están dadas en m, debe realizarse la conversión a una sola unidad, Así: a = 5 cm2 = 5.10 – 4 m2 Según se muestra en la Fig. 1, las secciones transversales del tanque son rectángulos, cuyo lados varían en función de la altura a la cual se efectúe la sección transversal, transversal, sean L y M las longitudes de los lados. Entonces el área de la sección transversal es: A(h) = L M ………………….(2) Se deben expresar ambos lados (L y M) en función de la altura. Si se observa el tanque por una de sus caras y se considera una figura plana, ubicándola en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, se obtiene lo que se muestra en la Fig. 2.
Como puede observarse la Fig. 2 es simétrica respecto r especto al eje y, por lo tanto, a fin de establecer la relación entre L y h se trabaja t rabaja con la mitad del trapecio que se forma, como se muestra en la Fig.3
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Modelamiento Matemático: Drenado de un tanque
Se puede obtener la relación entre L y h, a través de la recta que pasa por los puntos (3/2, 0) y (4, 12), recta a la cual pertenece el punto (L/2, h). Sin embargo, se mostrará m ostrará otro procedimiento, el cual nos conduce a la misma relación. Observe que la Fig 3. se forma con un rectángulo y un triángulo. Considérese el triángulo. En la Fig.4 se indican las dimensiones de los lados de dicho triángulo. Si se aplica semejanza de triángulos a los dos triángulos de la Fig. 4
L 3 5 2 2 2
h 12 5 L 3 5 .............(3)) L h 3 .............(3 12 12 h
Ahora debe visualizarse visualizarse el tanque respecto de una de las dos caras caras no paralelas a la anterior. La figura plana que se observa, resulta igual a la de la Fig. 2, lo que varía son las dimensiones de las aristas, tal y como se muestra en la Fig. 5
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Modelamiento Matemático: Drenado de un tanque
Como puede observarse la Fig. 5 es simétrica respecto r especto al eje y, por lo tanto, a fin de establecer la relación entre M y h se trabaja con la mitad del trapecio que se forma
Se puede obtener la relación entre m y h, a través de la recta que pasa por los puntos (3/2, 0) y (4, 12), recta a la cual pertenece el punto (L/2, h). Sin embargo, se mostrará otro procedimiento, el cual nos conduce a la misma relación. Observe que la Fig 6. se forma con un rectángulo y un triángulo. Considérese el triángulo. En la l a Fig. 7 se indican las dimensiones de los lados de dicho triángulo. Si se aplica semejanza de triángulos a los dos triángulos de la Fig. 7
M 1 2 1 h
12
1 6
M h 2...........(4)
Las ecuaciones (3) y (4) se sustituyen en la ecuación (2), resultando que el área de la sección transversal del tanque en función de la altura es:
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Modelamiento Matemático: Drenado de un tanque 5 h 3 1 h 2 5h2 96h 432 72 12 6
Ah
Sustituyendo A(h), a, c y g en la ecuación (1) 5h2 96h 432 dh 5 104 19.62hd t 72 (5h3/ 2 96h1/ 2 432h1/ 2 )dh 72104 19.62d t ..... .....(5)
La ecuación (5) es la ecuación diferencial asociada al problema y debe resolverse sujeta a la condición h(0) = 12, es decir, para el tiempo t = 0 seg la altura es h = 12 m Para determinar el tiempo de vaciado vaciado total del tanque, es decir, el tiempo para el cual cual la altura de líquido en el tanque es h = 0 m. Para ello se integra de forma definida la ecuación (5): el tiempo varía de t = 0 seg a t = t v v; la altura varía de h = 12 m a h = 0 m. 12
(5h3/ 2 96h1/ 2 432h1/ 2 )dh 72104 19.62
0
dt
t v
0
12 3/ 2
5
h
dh 96
0
12
h dh 432 1/ 2
0
12
0
1/ 2
h
dh 7210
4
19.62 t v
0
12
2h5/ 2 64 h3/3/ 2 864h1/ 2
72104 19.62t v
0
t v 4170 41709. 9.96 967 7se g
Luego, el tanque demora en vaciarse totalmente un tiempo t = 41709,9673 seg = 11 horas 35 min 10 seg b) Ahora debe determinarse el tiempo t1 que demora en descender 5 m la cantidad de líquido en el tanque, con respecto a la altura inicial que es 12 1 2 mt, es decir, tiempo para que la altura del líquido en el tanque sea t = 7 m. Para ello, se integra la ecuación (5) en forma definida: el tiempo t varía de t = 0 seg a t = t1; la altura varía de h = 12 m a h = 7 m 12
(5h3/ 2 96h1/ 2 432h1/ 2 )dh 72104 19.62
0
dt
t 1
7
12
5
7
h3/ 2dh 96
12
h1/ 2dh 432
7
12
0
h1/ 2dh 7210 4 19.62 t 1
7
12
2h5/ 2 64 h3/3/ 2 864h1/ 2
72104 19.62t 1
7
18315, 34004 34004se g t 1 18315,
Luego, el tanque demora en vaciarse totalmente un tiempo t = 18315, 34004 seg = 5 horas 5 min 15 seg.
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Modelamiento Matemático: Drenado de un tanque
PROBLEMA N°10 Se tiene un tanque en forma de paraboloide con el eje vertical hacia abajo cuyas dimensiones son 2 m de diámetro y altura 3 m. El tanque inicialmente esta lleno en su totalidad y el líquido escapa por un orificio de 20 cm 2 de área situado al fondo del tanque. Determine: a) Cuánto tiempo debe transcurrir para que quede en el tanque sólo un tercio de su capacidad inicial. b) Calcular el tiempo que tarda en vaciarse totalmente.
Resolución a) La ecuación diferencial asociada a los problemas de vaciado de tanques es: Ah dh ak 2gh 2ghdt .... ...... .... .... .... .... ...( .(1 1) Las dimensiones del tanque están dadas en metros, por lo que el área del orificio de salida también debe quedar expresada en metros a = 2 cm2 = 2 ( 10 – 2 m )2 = 2 . 10 – 4 m2 El coeficiente de descarga es k= 1 y la gravedad es g = 9,81 m/seg2 Como puede observarse en la Fig. 1, las secciones transversales del tanque son circunferencias cuyo radio r varía de acuerdo con la altura a la cual se efectúe el corte Así, el área de las secciones transversales es: …………..(2) A(h) = r 2 …………..(2) Debe establecerse una relación entre el radio variable r de las circunferencias y la altura h. Para ello, debe visualizarse el tanque de frente como una figura plana. Ubicándolo en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, rectangulares, se verá como se muestra en la Fig. 2
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Modelamiento Matemático: Drenado de un tanque
La ecuación de la curva que gira alrededor del eje y para generar el tanque no está dada explícitamente por lo que debe determinarse. La ecuación ordinaria de la parábola de vértice (x0, y0), eje el eje y, abre hacia abajo y donde p es la distancia entre el vértice y el foco es: – x 0 ) 2 = - 4 p( y – ( x – x y – y y0 )
El vértice de la parábola que se muestra en la Fig. 2 es el punto (0, 3) y pasa por los punto (1, 0) y (– 1, 0). Sustituyendo en la ecuación ordinaria de la parábola las coordenadas del vértice y las coordenadas de uno cualquiera de los dos puntos por donde pasa
(1 – (1 – 0) 0) 2 = - 4 p(0-3)
12 p = 1
p=1/12
De aquí que, la ecuación de la parábola que se gira alrededor del eje y para generar el paraboloide de la Fig. 1 es: 1 ......... ...... ...(3 (3)) x2 (y 3) ...... 3
El punto P(r, h), según se muestra en la Fig. 2, es un punto de la parábola. Por lo tato satisface la ecuación de la misma. Sustituyendo x = r , y = h en la ecuación (3) 1 r 2 (h 3) Reemplazando en en (2) 3
3
3
A(h) (h 3) (3 h) ..............(4)
La ecuación (4) representa el área de las secciones transversales (circunferencias de radio variable) en función de la altura.
(3 h)dh 2 104 19.62h dt
3 Sustituyendo A(h), a, k y g en la ecuación (1)
1/ 2 h1/2 4 19.62 2 dt .... ...... .... .... .... ..((5) .... h dh 210 19.6 3
La ecuación (5) es la ecuación diferencial asociada al problema de vaciado planteado, la misma debe resolverse sujeta a la condición inicial h(0) = 3, es decir, para el tiempo t = 0 seg la altura es h = 3 m (tanque totalmente lleno).
h
3
1/ 2 h1/2 4 h dh 210 19.62 3
0
dt
t
h
1/ 2 2h3/2 4 2h 2 10 19.62 t 9 3
1/ 2 2h3/2 2 3 4 4 3 2h 2 10 19.62 t 9 3 4 2h3/ 2 10 t 4 3 6h1/2 .................(6) 3 6 19.62
La ecuación (6) establece la relación funcional entre tiempo y altura de líquido en el tanque, es decir, a partir de esta ecuación conociendo una determinada altura se puede establecer el tiempo que demora en alcanzarse; también se puede determinar la altura de líquido en el tanque para un tiempo dado. Se debe ahora establecer el tiempo que debe transcurrir tr anscurrir para que quede en el tanque un tercio t ercio de volumen total. Se comienza comienza por determinar determinar el volumen total de líquido en en el tanque. Para ello se utiliza el método del cálculo de volumen a través de las secciones transversales, esto es:
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Modelamiento Matemático: Drenado de un tanque V
h0
A(h)d h
0
3
3
0
(3 h)d h
3
3 3 h2 V 3h m 3 2 2 0
Así, el volumen total de líquido en el tanque es V = 3
2
un tercio del volumen total es
m3
1 V m3 Sabiendo que un tercio del volumen total es /2 3 2
y usando la ecuación del volumen por secciones transversales, es posible determinar la altura h 1 del líquido en el tanque, para ese volumen 1 V 3
h1
A(h)d h
0
h1
0
h2 (3 h)d h 3h 3 3 2
h1
h1 2 3h 1 3 2
0
h1 2 h 1 2 6h 1 3 0 3h1 2 3 2 h 1 3 6 5. 5 .44 6 36 12 h1 3 6 o 2 0.55 h 1 3 6 0.
El valor de h superior a la altura máxima debe descartarse. Por lo tanto, cuando el volumen de líquido en el tanque es un tercio del volumen total la altura de líquido en el tanque es h = 0,55 m. Ahora para saber el tiempo t1 que demora en llegar a ese volumen, se sustituye h = 0,55 en la ecuación (6) t 1
2(0.55)3/ 2 104 4 3 6(0.55)1/2 3 6 19.62
t 1 251. 251.13 138 8 se g
Luego, debe transcurrir un tiempo t = 3251, 2093 seg, esto es 54 min 11 seg, para que en el tanque quede un tercio del volumen total. b) Para establecer el tiempo de vaciado total t v , esto es el tiempo para el cual la altura del líquido en el tanque es cero, se sustituye h = 0 en la ecuación (6) 2(0)3/ 2 104 t v 6(0)1/2 4 3 3 6 19.62 t v 8198 8198.7 .733 33se g
Luego, el tanque se vacía totalmente en un tiempo t = 8189,7429 seg, es decir, en 2 horas 16 min 30 seg. PROBLEMA N°11 Un depósito en forma de cono circular recto invertido y truncado con 2 m de radio menor, 4 m de radio mayor y 8 m de altura, está lleno en un 90% de su capacidad. Si su contenido se escapa por un orificio de 10 cm 2 de área, ubicado al fondo del tanque, y sabiendo que el coeficiente de descarga se ha establecido en 0,75, determine el tiempo que tardará en vaciarse totalmente.
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Modelamiento Matemático: Drenado de un tanque
Resolución a) La ecuación diferencial asociada a los problemas de vaciado de tanques es: Ahdh ak 2gh 2ghdt .... ...... .... .... .... .... ...( .(1 1) Las dimensiones del tanque están dadas en m, por lo que el área a del orificio de salida también debe expresarse en m. a = 10cm2 = 10 (10– 2 m)2 = 10– 3 m2 El coeficiente de descarga es k = 0,75 y la gravedad es g = 9,81 m/seg2 Las secciones transversales del tanque son circunferencias de radio variable r, según puede verse en la Fig. 1, el cual varía dependiendo de la altura donde se haga el corte transversal. Entonces el área de las secciones transversales es: A(h) = r2 ………………………(2) donde r debe expresarse en función de h. Para poder expresar el radio r en función de la altura h se debe visualizar el tanque de frente, como una figura plana y ubicarla en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, tal y como se muestra en la Fig.2
Observe, en la Fig. 2, que el punto P(r, h) pertenece a la recta que pasa por los puntos (2, 0) y (4,8). La pendiente de esa recta es: m
80 4 42
Para escribir la ecuación de la recta se usa cualquiera de los dos puntos Luego, la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2, 0 ) y (4,8) es: INGENIERIA CIVIL
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Modelamiento Matemático: Drenado de un tanque y = 4 (x – 2) – 2)
el punto P(r, h) es un punto de la l a recta, entonces sustituyendo x = r, y = h – 2 ) h = 4 ( r – 2
despejando r h r 2 4
sustitu sustituyen yendo do en la ecuaci ecuación ón (2) 2
h .......... .........(3) A(h)= 2 ...................(3) 4
La ecuación (3) representa el área de las secciones transversales del tanque, en función de la altura h. Sustituyendo A(h), a, c y g en la l a ecuación (1) 2
h 2 dh 103 75 75 102 19.62hd t 4 h3/2 1/ 2 h 4 h1/ 2 dh 75 105 19.62d t .. ... ..........(4) 16
La ecuación (4) es la ecuación diferencial asociada al sistema, la cual debe resolverse sujeta al a condición de que al tiempo t = 0 seg el volumen inicial es 90% del volumen total. Como la ecuación diferencial (4) relaciona las variables tiempo t y altura h, es necesario determinar la altura inicial de líquido en el tanque, esto es, la altura cuando el tanque está lleno al 90% de su capacidad. Se debe determinar primero el volumen total del tanque. Para ello se usa el método del volumen por secciones transversales, según el cual, el volumen viene dada como:
h
V=
h
A(h)dh= A(h)dh=
0
0
2
h 2 dh 4 8
h3 h2 512 224 V= 4 h 32 32 3 48 48 2 0
Como el volumen total es V = V 224
3
336 3 m 5
V0 = 90% V =
m3 ,
entonces el volumen inicial de líquido en el tanque es
Una vez conocido el volumen inicial V 0, la altura inicial puede
determinarse utilizando la ecuación que permite obtener el volumen a partir del área de las secciones transversales. Así se tendrá: V0
h0
A(h)dh
0
0
84
336 5
h0
2
h 2 dh 4 3
4 h0 3 2 2 3 4
3
h0 252 8 2 3 4
252 8 2 66.7 3
h 0 4 3
Una vez obtenida la altura inicial, se procede a resolver la ecuación diferencial (4) sujeta a la condición inicial h(0) = 6,77, esto es, para el tiempo t = 0 seg, la altura es h0 = 6,77 m. Se desea determinar el tiempo de vaciado t v total del tanque, es decir, el tiempo t v para el cual la altura de líquido en el tanque es h = 0. Se plantea entonces resolver el problema de valor de frontera INGENIERIA CIVIL
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Modelamiento Matemático: Drenado de un tanque h3/2 1/ 2 h 4 h1/ 2 dh 75 105 19.62d t 16 66.7 h(0) 66.7 h(t v ) 0
integrando la ecuación (4) de forma definida: el tiempo t varía entre t = 0 seg y t = t v; la altura h varía entre h = 8 m y h = 0
8
0
h3/2 1/ 2 h 4 h1/ 2 dh 75 105 19.62 16
85/ 2 2 83/ 2 8 81/ 2 75 105 19.62 t v 40 3 39942,84 ,844 4seg t v 39942
0
dt
t v
224 8 75105 19.62 t v 25
El tanque demora un tiempo t = 39942.844 seg, equivalente a 11 horas 5 min 42 seg, en vaciarse totalmente. PROBLEMA N°12 El día 15 de marzo de 2012, a las 2:25 pm, se pone a vaciar un tanque cilíndrico con eje horizontal, el cual está inicialmente lleno en un 100%. La longitud del tanque es de 10 m, el radio 4 m. Si el agua fluye por un orificio de área 2 cm 2, situado en el fondo del tanque y se ha establecido el coeficiente de descarga en 0,6, determine qué día y a qué hora el tanque se vacía totalmente.
Resolución La ecuación diferencial asociada a los problemas de vaciado de tanques es: Ahdh ak 2gh 2ghdt .... ...... .... .... .... .... ...( .(1 1) El área del orificio de salida es a = 2 cm2. Como las dimensiones del tanque están dadas en metros, debe efectuarse la conversión a m, del área del orificio de salida a = 2 cm2 = 2(10 – 2 m)2 = 2.10 – 4 m2 El coeficiente de descarga es 0,6 y la l a gravedad 9,81 m/seg2 Si se observa en la Fig. 1, las secciones transversales son rectángulos de largo 10 m y ancho variable, dependiendo de la altura a la cual se efectúe el corte transversal. Sea r la longitud del lado variable, entonces el el área de las secciones transversales transversales es: A(h) = 10 r …………………(2)
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Modelamiento Matemático: Drenado de un tanque
La longitud r debe expresarse en función de la altura h. Para ello se debe, efectuando una abstracción del sólido que es el tanque, visualizar el tanque de frente y representarlo en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares rectangulares como una figura plana como se muestra en la Fig. 2
De acuerdo con la Fig. 2, la curva plana que resulta es una circunferencia de centro en (0, 4) y radio 4, la cual tiene por ecuación: e cuación: x 2 + ( y – y – 4 4 ) 2 = 16
desarrollando y simplificando x 2 + y 2 – 8 – 8 y = 0
Como puede observarse en la Fig.2 el punto P(r, h) es un punto de la Circunferencia, es decir, las coordenadas del punto satisfacen la ecuación. Sustituyendo en la ecuación de la circunferencia x = r , y = h – 8 h = 0 r 2 + h 2 – 8 r 8h-h2
Sustituyendo en (2)
Sustituyendo A(h), A(h), a, c y g en en la ecuación ecuación (1) A(h) 10 8h-h2 Sustituyendo 10 8h-h2 d h 2 104 6 101 19.62hdt
8-h 8-h d h 12 106 19.62 dt .... ..........(3)
La ecuación (3) es la ecuación diferencial asociada al problema, la cual debe resolverse sujeta a la condición inicial h(0) = 8, es decir, para el tiempo t = 0 seg, la altura de líquido en el tanque es doble del radio del cilindro h = 8 m
8
8 - h d h 12 106 19.62
h
2 3
dt
t
3/2
8
8 h t
0
12106 19 19.62 t
h
10 6 18 19.62
3/2
8 h
.... ....... ...... ........ ...... ....(4)
La ecuación (4) representa la ley de variación de la altura h en función del tiempo t Para saber cuando se vacía totalmente el tanque, es decir, cuando la altura de l íquido en el tanque es h = 0 m, se sustituye este valor de h en la ecuación (4) tv
10 6 18 19.62
3/2 8 0 283800.381seg
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Modelamiento Matemático: Drenado de un tanque
De aquí que el tanque demora en vaciarse un tiempo t = 283800,381 seg, lo que equivale a 78 horas 50 min. Pero 78 horas equivale a 3 días y 6 horas. Luego, el tanque se vació después de 3 días, 6 horas y 50 min de iniciado el proceso de vaciado, el cual comenzó el día 15 de marzo de 2012 a las 2:25 pm. Por lo tanto el tanque terminó de vaciarse el día 18 de marzo de 2012 a la 9:15 pm. PROBLEMA N°13 Un tanque en forma semiesférica de 8 m de radio está totalmente lleno de agua. Se retira un tapón que está en el fondo, justo a las 4:27 pm. Una hora después la profundidad del agua en el tanque ha descendido 1 m. Determine: De termine: a) ¿A qué hora el tanque estará vacío? b) ¿A qué hora quedará en el tanque 31,25% del volumen inicial.
Resolución a) La ecuación diferencial asociada a los problemas de vaciado de tanque es: Ahdh ak 2gh 2ghdt .... ...... .... .... .... .... ...( .(1 1) El coeficiente de descarga es k = 1 y la gravedad es g = 9,81 m/seg2 El área a del orifico de salida se desconoce; debe determinarse. Las secciones transversales del tanque, tal y como puede observarse en la Fig. 1, son circunferencias de radio r variable, dependiendo de la altura a la cual se efectúe el corte transversal. Como las secciones transversales son circunferencias de radio r, el área es: A(h) = r2 ……………..(2) ……………..(2) El radio r deberá expresarse en función de la altura h. Si se observa el tanque de frente, como una figura plana, y se representa en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, rectangulares, el resultado se muestra en la Fig. 2 Observe que de la semicircunferencia se puede extraer un triángulo rectángulo tal que los catetos miden r y (8 – h) y la hipotenusa 8 (ya que va desde el centro de la semicircunferencia a un punto de la ella).
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Modelamiento Matemático: Drenado de un tanque
Aplicando el Teorema de Pitágoras al triángulo de la Fig. Fig. 3 ( 8 ) 2 = ( 8 – 8 – h h ) 2 + r 2
desarrollando
64 = 64 – 64 – 16 16 h + h 2 + r 2
simplificando y despejando r2 Sustitu tuye yend ndo o en la ecua ecuaci ción ón (2) (2) r 2 16h h2 Susti
Ah 16h h 2
16h h dh a 2
Sust Sustit itu uyen yendo A(h) (h), k y g en la ecu ecuació ación n (1) (1) 19.62h d t
(16h1/ 2 h 3/ 2)dh a 19.62 d t .. . ..............(3)
La ecuación (3) es la ecuación diferencial asociada al problema de vaciado; ésta debe resolverse sujeta a dos condiciones: para para el tiempo t = 0 seg la l a altura es h = 8m y para el tiempo t = 4000 seg la altura es h = 7 m. Por lo tanto, se debe resolver el problema de valor de frontera La ecuación (3) se integra de forma definida: la altura h varía entre h = 8 m y h = 7 m ; el tiempo t varía entre t = 0 seg y t = 3600seg
8
(16h1/ 2 h 3/ 2)dh a 19.62
7
0
dt
3600
8
32h3/ 2 2h5/ 2 3600 19.62 a 3 5 7 a
23.259 3600 19.62
4.58 103
este valor del área del orificio o rificio de salida se sustituye en la ecuación (3) (16h1/ 2 h 3/ 2)dh 4.58 103 19 1 9.62 d t
...................(4)
A fin de determinar el tiempo t v v que demora en vaciarse el tanque, es decir, el tiempo que demora para que la altura de líquido en el tanque sea cero, se integra la ecuación anterior en forma definida: la altura h varía entre h = 8 m y h = 0 m; el tiempo t varía de t = 0 seg a t = t v v seg
8
(16h1/ 2 h 3/ 2)dh 4.58 103 19 19.62
0
0
dt
t v
32(8)3/ 2 2(8)5/ 2 4.58103 19.6 19.62 2 t v 4.58 5 3 26163.6 3.644 44se g t v 2616
Luego, el tanque demora en vaciarse 26163,644 seg, lo que equivale a 7 horas 16 min 4 seg. Si comenzó a vaciarse a las 4 horas 27 min de la tarde entonces estará totalmente vacío a las 7 horas 43 min 4 seg de la noche. b) Ahora debe determinarse a qué hora quedará en el tanque 31,25% del volumen total. Para obtener el volumen total se usa el método de obtención del volumen por las secciones transversales
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Modelamiento Matemático: Drenado de un tanque V
h0
A(h)dh
0
8
(16h h 2)dh
0
8
2 h3 1024 8 h 3 3 0 .25 1024 320 Así se tiene que, el volumen volumen total de líquido en el tanque tanque es V = 31.25%V 31.25 . El
100
3
3
31,25% del volumen total es: 31.25%V
h1
A(h)dh
0
h1
(16h h 2)dh
0
h3 320 8 h2 3 3
h1
h 13 24h 1 320 0 0
resolviendo la ecuación de tercer grado en h, resulta h 1 = 4 (las otras dos soluciones se descartan , puesto que, una es mayor que la altura del tanque y la otra es negativa) Conociendo la altura de líquido en el tanque cuando queda 31,25% del volumen total, se puede determinar el tiempo que demora en llegar a ese volumen. Para ello, la ecuación diferencial (4) se integra de forma definida: el tiempo t varía entre t = 0 seg y t = t1: la altura h varía entre h = 8 m y h=4m
8
(16h1/ 2 h 3/ 2)dh 4.58 103 19 19.62
4
0
dt
t 1
8
32h3/ 2 2h5/ 2 4.58103 19.6 19.62 2 t 1 4.58 5 3 4 t 1 1493 14931.2 1.296 96se g
Luego, el tanque demora 14931,296 seg en alcanzar 31,25% del volumen total, lo que equivale a 4 horas 8 min 51 seg. Si comenzó a vaciarse a las 4 horas 27 min de la tarde entonces alcanzará el 31,35% del volumen total a las 8 horas 35 min 51 seg de la noche.
PROBLEMA N°14 El tanque que se muestra en la Fig. 1 está lleno de agua en un 100%: Comienza a vaciarse por un orificio situado en su base inferior de “A” cm 2 de área. Si transcurrida 1 hora 6 minutos 40 segundos el nivel libre de líquido ha descendido 5 m y el coeficiente de descarga se ha establecido en 0,8. Determine: a) Área del orificio de salida b) Tiempo de vaciado total
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Modelamiento Matemático: Drenado de un tanque
Resolución La ecuación diferencial asociada a los problemas de vaciado de tanques es: Ahdh ak 2gh 2ghdt .... ...... .... .... .... .... ...( .(1 1) El coeficiente de descarga es k = 0,8 = 8.10 – 1 y la gravedad es g = 9,81 m/seg2 El área del orificio de salida es a = A cm2; haciendo la conversión a metros, que son las unidades en las que están dadas las dimensiones del tanque resulta a = A cm2 = A (10 – 2 m)2 = A .10 – 4 m2 De la Fig. 2 puede deducirse que las secciones transversales del tanque son cuadrados de lado variable L, el cual varía dependiendo de la altura a la cual se efectúe e fectúe el corte transversal. El área de la sección transversal del tanque viene dado como: A(h) = L2 ……………………(2) ……………………(2) Se debe establecer una relación entre el lado x del cuadrado y la altura h. Para ello, visualizando el tanque de frente y ubicando la figura en un sistema si stema de coordenadas rectangulares, se observa como se muestra en la Fig. 2
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Modelamiento Matemático: Drenado de un tanque
Observe en la Fig. (2) que el punto de coordenadas P (L/2,h ) es un punto de la recta que pasa por los puntos (1, 0) y (2, 9). La pendiente de la recta es: 90 9 2 1
m
y la ecuación de la recta es: – 1 ) y = 9 ( x – 1
El punto P(L/2 ,h ) satisface la ecuación de la recta. Sustituyendo en la recta x =L/ 2 y = h L h 9 1 2
h L 2 1 sustituyendo en la ecuación (2) 9 2
h A(h)=4 1 9
Si ahora se sustituyen A(h), a, k y g en la ecuación (1)
2
h 4 1 dh A 104 8 101 19.62h d t 9 2
h3/ 2 18 h1/ 2 81h1/ 2 4 1 4 dh A10 8 10 19.62 d t 81 1/ 2 (h3/ 2 18 h1/ 2 81h1/ )dh 162 A 105 19.62 d t .. ...........(3)
La ecuación (3) es la ecuación diferencial asociada al problema de vaciado de tanques y debe resolverse sujeta a dos condiciones: para el tiempo t = 0 seg, la altura es h = 9 m; para el tiempo de 1hora 6 min 40 seg (t = 4000 seg) la altura del líquido en el tanque descendió 5 m, es decir, h = 4m Integrando la ecuación (3) de forma definida. La altura altura h varía de h = 9 m a h = 4 m; m ; el tiempo t varía de t = 0 seg a t = 4000 seg seg
9 1/ 2 (h3/ 2 18 h1/ 2 81h1/ )dh 162 A 105 19 19.62
4
0
dt
400
9
2h5/2 1 9.62(400) 12h3/ 2 162h1/ 2 162 A 105 19 5 4 422 390 648 103 19.62 A 5 A 1.652103
Así se tiene que, el área del orificio de salida es A = 1,652 .10 – 3 m2 Sustituyendo el valor A en la ecuación (3), obtenemos: 1/ 2 (h3/ 2 18h1/ 2 81h1/ )dh 1186103 d t .. ...............(4)
b) Para obtener el tiempo de vaciado, es decir, el tiempo para el cual la altura de líquido en el tanque es cero, se integra la ecuación (4) de forma definida: la altura h varía de h = 9 m a h = 0 m: el tiempo t varía de t = 0 seg a t = t v v
9 1/2 (h3/ 2 18h1/ 2 81h1/ )dh 1186 103
0
0
dt
t v
9
2h5/ 2 12h3/ 2 162h1/ 2 1186103 t v 5 0
t v 7652.943se g
Luego, el tanque demora en vaciarse totalmente t = 7652,943 seg , es decir, 2horas 7 min 33 seg.
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APLICACIONES A LA INGENIERIA INGENIERIA Una de las aplicaciones es a la problemática del drenaje de aguas pluviales en zonas urbanas, en particular en áreas de rápido y reciente desarrollo urbano como es el caso del litoral mediterráneo español. Se estudia la repercusión que tiene sobre el drenaje un proceso urbanizador no respetuoso con la hidrología de las cuencas naturales preexistentes. Asimismo se analiza de una forma conceptual la problemática que presenta la MODELACIÓN NUMÉRICA NUMÉRICA DE LOS DIFERENTES PROCESOS INVOLUCRADOS INVOLUCRADOS EN EL DRENAJE urbano, especialmente el comportamiento hidráulico de las redes de colectores. PROBLEMÁTICA ESPECÍFICA DE LAS INFRAESTRUCTURAS DE DRENAJE URBANO Es conocida la tendencia de la población al desplazamiento desde zonas rurales hacia zonas urbanas. En la actualidad casi el 50 % de la población mundial vive en zonas urbanas, habiéndose incrementado más del 80 % en los últimos 20 años. En España también tiene lugar dicho fenómeno, siendo un claro ejemplo de ello el aumento de población (fundamentalmente urbano) que ha sufrido el litoral mediterráneo, donde en algunas zonas se ha producido un incremento anual de población superior al 5 % en el período 1970-1986. El crecimiento de las ciudades exige notables inversiones en infraestructuras, siendo la mayoría de ellas utilizadas diariamente por el ciudadano. Este es el caso de las vías de comunicación, zonas verdes, centros hospitalarios, redes r edes para el suministro de fluidos, etc. No obstante, el uso de estas infraestructuras y el normal desarrollo de la actividad ciudadana están, en ciertos momentos, condicionados por el correcto funcionamiento de otra infraestructura: la red de drenaje de aguas pluviales. El disfrute día a día de unas vías de comunicación hace hace valorar por parte del ciudadano la voluntad política y la capacidad técnica que las hicieron posible. Es difícil que esto ocurra en una red de colectores que permanece "escondida" en el subsuelo, cuya propia naturaleza no contempla el contacto directo con el ciudadano y por tanto le resulta difícil valorar su correcto funcionamiento. Por contra, normalmente es una deficiencia en dicho funcionamiento lo que concita la atención pública y la posterior sensibilización administrativa para la búsqueda de soluciones. Además del escaso eco ciudadano que suscitan, existen otros factores que singularizan las actuaciones en las redes de colectores frente a las actuaciones en otras infraestructuras urbanas. Un primer factor es el carácter esporádico de su funcionamiento en las condiciones (caudal) previsto en proyecto: una probabilidad del 10 % de que dentro de un determinado año funcione a plena capacidad durante unos pocos minutos es un criterio normalmente utilizado. Por otra parte, la necesidad de amplias actuaciones (en el espacio y tiempo) en viales de zonas densamente pobladas es un factor determinante de los elevados costes económicos y sociales asociados a estas obras. Todo lo anterior justifica la necesidad de una decidida voluntad política para la resolución de los importantes problemas de drenaje presentes en muchas ciudades de rápido y reciente desarrollo urbano.
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Conclusiones Todos los fenómenos fenómenos pueden modelarse con con una expresión matemática, exactamente exactamente con una ecuación diferencial, la cual se establece con las condiciones dadas; así por ejemplo, en este caso “el drenado de un tanque” pudimos predecir el comportamiento del líquido líquido que se desaloja a través de una pequeña abertura (agujero), y mediante un análisis establecer ecuaciones que se acercan de manera precisa a lo analizado. El caso donde se analiza el drenado de un depósito de agua, permite conocer la velocidad de desalojo y relacionarla con el tirante del agua que permanece en el depósito, Consecuentemente conocer el volumen del líquido faltante, el tiempo requerido para desalojar todo el contenido de dicho deposito, el volumen de líquido en cualquier instante, todos esas variables son halladas gracias a la ayuda de las ecuaciones diferenciales. diferenciales. Con el modelo matemático podemos definir con bases sustentables, la capacidad del depósito que se debe fabricar, así como, identificar y modificar la ubicación del centro geométrico donde se ubicará el mencionado depósito, la capacidad en cualquier momento, etc. Además con el conocimiento conocimiento de las variables y el funcionamiento funcionamiento se elimina la necesidad de usar energía eléctrica para equipo de bombeo ya que el drenado se realiza por gravedad aprovechando aprovechando las condiciones topográficas del terreno.
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Bibliografía
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Jaime
escobar, Ecuaciones Ecuaciones Diferenciales. Diferenciales. Ecuaciones Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado (octava edición) Dennis G. Zill Loiácono Nick, “ time to drain a tank with piping “, Chemical Engineering Magazine, August 1987. Mahnoosh Shoaei, “ Draining tanks: how long does it really take?”, ?”, Chemical Engineering Magazine, january 1989. Sommerfeld Jude, “ tank draining revisited”, Chemical Engineering, May 1990. Foster T., “ Time required to empty a vessel “, Chemical Engineering, May 1981. Schwarzhof Jay & Sommerfeld Jude, “ How fast do spheres drain “, Chemical Engineering, June 1988. Koehler F., “ Draining elliptical vessel heads “, Chemical Engineering, May 1984. Richard Green, “ Válvulas “, Edit.Mc Graw Hill, edic.1994. Crane Inc, “ Flujo de fluidos “, Edit.McGraw Hill, edic.1996.
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INDICE Página DEDICATORIA………………………………………………………………………………….……………… .…01 PRESENTACION………………………………………………………………………………………… ...… ...….…..02 OBJETIVOS…………………………………………………………………………………………… .…………..03 …………..03 INTRODUCCION……………………………………………………………………………………….…… .……04 DRENADO, VACIADO DE TANQUES.………………… TANQUES.……………………………………………………… ………………………………………….…………… …….……………05 05 MODELO MATEMÁTICO DEL DRENADO DE TANQUES……………………………………………………06 TANQUES ……………………………………………………06 EJERCICIOS RESUELTOS………………………………………………………………………… ...……….…. ...……….…..12 .12 APLICACIONES A LA LA INGENIERIA………………………………… INGENIERIA………………………………………………………… ………………………....………….…….. ………….……...42 .42 CONCLUSIONES…………………………………………………………………………… ..…………….……. ..…………….……..43 .43 BIBLIOGRAFIA……………………………………………………………………………… ..……………….. ..……………….......44 .....44
El disco delgado de masa m y radio r gira en torno a su eje z con una velocidad angular constante p y la horquilla en la que está montado rota alrededor del eje X que pasa por O con una velocidad angular 1. A la vez, todo el conjunto gira en torno al eje fijo Y que pasa por O con una velocidad angular constante 2. Halle la velocidad v y la aceleración a del punto A del borde del disco cuando pasa por la posición indicada, en la cual el plano x-y del disco coincide con el plano X-Y . Los ejes x-y-z son solidarios de la horquilla. INGENIERIA CIVIL
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