Ecuaciones Diferenciales Crecimiento de Población
1
Ecuaciones Diferenciales Crecimiento de Población
2
Ecuaciones Diferenciales Crecimiento de Población
2
Ecuaciones Diferenciales Crecimiento de Población
Modelos de Poblaciones
3
Ecuaciones Diferenciales Crecimiento de Población
4
Ecuaciones Diferenciales Crecimiento de Población
Presentación El presente trabajo de investigación, denominado “Crecimiento de Población”, es el resultado de un minucioso proceso de investigación
llevado a cabo por los integrantes de nuestro grupo de investigación; el mismo que consistió en la recopilación, análisis y Resolución de problemas en los cuales para su solución se debía aplicar conceptos de ecuaciones diferenciales, y posteriormente verificando la validez de los resultados. Para un mejor entendimiento de estos temas, hemos visto por conveniente mostrar paso a paso el proceso de resolución de dichos ejercicios, los cuales pasaremos a detallar a continuación. Esperamos pues, que el conocimiento aquí planteado, sirva como base a un conocimiento superior, y que de haberse cometido un error involuntario en la edición de este texto, se sepa darnos las disculpas del caso. El Grupo.
5
Ecuaciones Diferenciales Crecimiento de Población
6
Ecuaciones Diferenciales Crecimiento de Población
Integrantes: Echaccaya Anyosa, Jhonathan Edilfonso. Fajardo Quincho, Álvaro. Guerrero Valencia, Luis Alberto. Hernández Ramos, William Antonio. Peña Siguas, Jesús.
7
Ecuaciones Diferenciales Crecimiento de Población
8
Ecuaciones Diferenciales Crecimiento de Población
MODELOS DE POBLACIÓN El objetivo de esta sección es hacer un recorrido por la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias a través de un tema apasionante e interdisciplinario como es el tema de la dinámica de poblaciones. La idea es mostrar diversas situaciones descritas por modelos de ecuaciones diferenciales (O ecuaciones de diferencias) y motivar la modelación por parte del propio alumno. La mayoría de las veces los modelos parten de consideraciones simples e intuitivas de la realidad y, sin embargo, nos llevan a analizar y cuantificar situaciones complejas que están lejos de la comprensión inmediata, lo que nos permite reinterpretar con profundidad la realidad que los originó.
Modelo de Malthus para el Crecimiento de la Población
es el tamaño de una población al instante de tiempo ; se supone que en el instante inicial , el tamaño de la población es y que la velocidad de variación de (o tasa de crecimiento de ) es decir es proporcional al tamaño de la población. De Si
manera que la ecuación que modela esta situación es:
Donde
es la constante de proporcionalidad. Esta ecuación se puede escribir como:
Y por lo tanto tenemos una ecuación diferencial de varias variables. Para resolver esta
ecuación, integramos ambos lados de la ecuación con respecto a la variable :
∫ ∫ Realizando el cambio de variable
, tenemos que y por lo tanto: 9
Ecuaciones Diferenciales Crecimiento de Población
∫ ∫
Ahora calculamos ambas primitivas:
|| Es decir: De donde:
Y como:
||
Tenemos que:
Ejercicios De Aplicación
Ejercicio 01 En 1980 la población de los Estados Unidos era aproximadamente 227 millones y ha ido creciendo a una razón de 0,7% por año: a)
Si continuara ese patrón de crecimiento, ¿Cuál será la población de los estados unidos para el 2015?
b)
¿Y en el año 2020?
Solución:
a)
Calculando población en el año 2015:
Aplicando la formula:
Donde:
Reemplazando:
10
Ecuaciones Diferenciales Crecimiento de Población
b)
Calculando población en el año 2020:
Aplicando la formula:
Donde:
Reemplazando:
Ejercicio 02 El número de bacterias de cierto cultivo crece de
a en
h. Si suponemos
que la tasa de rapidez de crecimiento es proporcional al número de bacterias: a)
Calcular el número de bacterias luego de horas.
b)
En que tiempo el númeor de bacterias llegará a ser
Solución:
a)
Calculando el valor de k:
Aplicando la formula:
Donde:
Reemplazando:
11
Ecuaciones Diferenciales Crecimiento de Población
Reemplazando
b)
para horas:
()
Calculando el tiempo en que se llega 40 000 bacterias:
Ejercicio 03 El número de bacterias de cierto cultivo crece de
a
en
horas. Si
suponemos que la tasa de rapidez es proporcional al número de bacterias: a)
Calcular el número de bacterias luego de 30 horas.
b)
¿Cuándo la población será el triple de la inicial?
Solución:
a)
Calculando el valor de k: 12
Ecuaciones Diferenciales Crecimiento de Población
Aplicando la formula:
Donde:
Reemplazando:
Reemplazando
b)
para horas:
()
Calculando el tiempo en que la poblacoión se triplicará (9 000 bacterias):
13
Ecuaciones Diferenciales Crecimiento de Población
Ejercicio 04 Si en un recipiente hay 3 microorganismos que se duplican cada 10 minutos, determina: a)
Cuantos microorganismos habrá despues de dos horas.
b)
En cuanto tiempo la población de microorgnaismos será mayor de 20000.
Solución:
a)
Calculando población en dos horas:
Aplicando la formula: Donde:
Reemplazando:
Reemplanzando el valor de k
b)
Calculando población en el año 2020:
14
Ecuaciones Diferenciales Crecimiento de Población
Aplicando la formula:
Donde:
Ejercicio 05 En un cultivo de bacterias, se estimó que inicialmente había 150 bacterias y 200 después de una hora. Suponiendo una rapidez de crecimiento proporcional a la
Ejercicio 01: de bacterias presente, determinar: cantidad a)
La cantidad de bacterias después de t horas.
b)
La cantidad de bacterias después de 2 horas.
c)
El tiempo que debe transcurrir para que la población se t riplique.
Solución
Calculando el valor de k:
Aplicando la formula:
Donde:
Reemplazando:
15
Ecuaciones Diferenciales Crecimiento de Población
( ) Luego en t horas tenemos:
Reemplazando
para horas:
Calculando el tiempo en que se triplica (450 bacterias):
Luego en t horas tenemos:
16
Ecuaciones Diferenciales Crecimiento de Población
Ejercicio 06 Cierta población de bacterias tiene una rapidez de cambio proporcional a sí misma. Si en una 1 h tuvo un crecimiento del 50 por ciento: a)
¿Cuál es la población después de t horas?
b)
¿En cuánto tiempo se duplicará la población?
c)
¿Cuánto habrá aumentado la población en 10 h?
Solución
la población total de bacterias después de h. Como no se dice la población inicial, suponemos que ésta es y, debido a que la población creció un 50% en 1 h, entonces:
a) Sea
Por lo tanto,
está dada por la solución del PVI:
Con y además Sabemos que
, entonces:
Que es la solución del PVI que da la población de bacterias después de
horas.
b) Para conocer cuándo se duplica la población:
Hallamos que la población se duplicará en:
17
Ecuaciones Diferenciales Crecimiento de Población
3. La población después de 10 h es:
Por lo tanto, en 10 h la población habrá aumentado a 57:685 veces la población inicial.
Ejercicio 07
Si la población de cierta comunidad crece al 2% anual ¿Cuántos años deben transcurrir para que la población se duplique? Solución.
Aquí, el 2% anual mencionado es precisamente la tasa de crecimiento de población. Se tiene entonces que
. Además, por la primera observación, el tiempo para que una
población se duplique está dado por:
Ejercicio 08
En 1970 la población de caimanes en el centro espacial Kennedy fue estimada en 300, y en 1980 en 1500. Dar una estimación de la población en el año 2000 mediante el modelo Maltusiano. Solución.
Se tiene que:
; en 1980: y para el 2000:
Se tiene que según el modelo Maltusiano:
18
Ecuaciones Diferenciales Crecimiento de Población
Cuya solución es:
Para nuestro caso:
Utilizamos que
para obtener :
Luego: la solución será
Ejercicio 09
En el 2000 la población estimada de la india era de 971 millones y ha estado creciendo a una tasa de alrededor del 2% anual. Suponiendo que esta tasa de crecimiento es continua, calcule: a) La población de la India al año 2006 R 1095 millones b) En qué año serán 1200 millones de personas. Solución.
a) Se tiene que:
; en el año 2 000; y para el 2 006:
Según el modelo Maltusiano, se tiene:
Dónde:
Reemplazando los valores según datos: 19
Ecuaciones Diferenciales Crecimiento de Población
Rpta: Al 2 006 la población será de 1 094 799 442 hab. Aprox.
b) Se tiene que:
; en el año 2 000; y
Según el modelo Maltusiano, se tiene: Dónde:
Reemplazando los valores según datos:
Rpta: Deberá transcurrir 1 año y 09 meses aproximadamente.
Ejercicio 10
En la ciencia de la pesca se conoce c omo “cohorte” al conjunto de pe ces que resulta de una reproducción anual. Normalmente se supone que el número
que sigue vivo cuando han
pasado años, está dado por una función exponencial de Malthus. Para el pez hipogloso del Pacifico,
, en la que es el tamaño inicial del cohorte. Si el tamaño inicial es
de 20 ¿Cuántos viven después de 10 años?
20
Ecuaciones Diferenciales Crecimiento de Población
Solución.
Se tiene que:
en el año 0; y
Según el modelo Maltusiano, se tiene:
Dónde:
Reemplazando los valores según datos:
Rpta: Después de 10 años, la población será de 21 peces aprox.
Ejercicio 11
En 1966 la Comisión Internacional Contra la Captura de Ballenas protegió a la población mundial de la ballena azul contra los barcos balleneros. En 1978 se estimaba que la población en el hemisferio sur era de 5000. Ahora sin depredadores y con abastecimiento abundante de alimentos, se espera que la población crezca exponencialmente de acuerdo con la formula
, en la que t está dado en años.
a) Pronostique la población en el año 2000. b) Pronostique la población en el año 2007. c) Siguiendo el modelo creado y asumiendo que 0% de natalidad y 1978 como año cero.
Solución.
a) Se tiene que:
en el año 1978; y para el año 2000
Según el modelo Maltusiano, se tiene:
21
Ecuaciones Diferenciales Crecimiento de Población
Dónde:
Reemplazando los valores según datos:
Rpta: Para el año 2000 la población estimada de ballenas es de 14 064 ballenas.
b) Se tiene que:
en el año 1978; y para el año 2007
Según el modelo Maltusiano, se tiene: Dónde:
Reemplazando los valores según datos:
P(22)=5000(3,9079) P(22)=19 540 Rpta: Para el año 2007 la población estimada de ballenas es de 19 540 ballenas.
c) Se tiene que: P(0)=5000 en el año 1978; k=0,047 ; para que año
Según el modelo Maltusiano, se tiene: Dónde:
Reemplazando los valores según datos:
22
Ecuaciones Diferenciales Crecimiento de Población
Rpta: Para que la población de ballenas se duplique, deben transcurrir 15 años aproximadamente.
Ejercicio 12
Se sabe que la tasa de crecimiento de una determinada población de bacterias es directamente proporcional al número de bacterias existentes. Se realiza un cultivo en laboratorio, introduciendo 2,5 millones de bacterias en un recipiente. Se observa que la población se duplica cada 3 horas. Calcular la población existente al cabo de 11 horas. Solución.
Se tiene que:
; para
Según el modelo Maltusiano, se tiene: Dónde:
Reemplazando los valores según datos para hallar k:
Hallando el valor de
para :
( ) 23
Ecuaciones Diferenciales Crecimiento de Población
Rpta: En 11 horas la población de bacterias será de 31,75 millones de bacterias aprox.
Ejercicio 13
En el año 1980, el departamento de recursos naturales liberó 1000 ejemplares de una especie de pez en un lago. En 1987, la población de estos peces en el lago se estimó en 3000. Use la ley de Malthus para el crecimiento de poblaciones y estime la población de estos peces en el lago en el año 2010. Solución.
Se tiene que:
; en el año 1980. para . En 1987.
Según el modelo Maltusiano, se tiene: Dónde:
Reemplazando los valores según datos para hallar k:
( ) Hallando el valor de
para : 24
Ecuaciones Diferenciales Crecimiento de Población
Rpta: Para el año 2010 la población de esa especie de peces en el lago será de: 110868 peces.
Ejercicio 14
La población mundial en el año 1998, era de aproximadamente 5,9 billones de personas, y se sabe que crece, aproximadamente en un 1,33% cada año. Asumiendo que el crecimiento de la población se rige por el modelo exponencial, calcular el valor estimado de la población para el año 2023. Solución.
Se tiene que:
; en el año 1998. ; para . En 2023.
Según el modelo Maltusiano, se tiene: Dónde:
Reemplazando los valores según datos:
Rpta: Para el año 2023 la población mundial se estima en 8,2 billones de personas.
Ejercicio 15
Si la población de una comunidad aumenta con una rapidez proporcional a la cantidad de personas que tiene en cualquier momento t y si la población se duplica en un año, ¿en cuánto tiempo se triplicará? Solución.
Se tiene que:
; y también para . 25
Ecuaciones Diferenciales Crecimiento de Población
Según el modelo Maltusiano, se tiene: Dónde:
: ( )
Reemplazando los valores según datos para
Calculando el tiempo en el que la población se triplica:
Rpta: La población se triplicara en un año y 7 meses aproximadamente
Modelo de la Ecuación Logística. En situaciones tan diversas como la población humana de una nación y la población de la mosca de la fruta en un recipiente cerrado; con frecuencia se observa que la tasa de natalidad disminuye cuando la población aumenta. Las razones pueden ser diferentes, desde el incremento en el refinamiento científico o cultural hasta la limitación de los recursos alimenticios. Por ejemplo,
es una función lineal decreciente del tamaño de la población , de modo tal que , donde y son constantes positivas. Si la tasa de mortalidad , permanece constante, la ecuación (2) toma la forma: supónganse que la tasa de natalidad
26
Ecuaciones Diferenciales Crecimiento de Población
Es decir:
(2)
En donde:
y Si ambos coeficientes: a y b, son positivos, la ecuación (2) se llama ecuación logística. Para el propósito de relacionar el comportamiento de la población
con los valores de los
parámetros de la ecuación, es útil reescribir la ecuación logística en la forma:
Donde
(3)
y son constantes. Si suponemos que
entonces la
ecuación (3) puede resolverse separando las variables de la siguiente forma:
La expresión da:
Donde
. Así:
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
sustituimos en ambos miembros de la ecuación para determinar que 27
Ecuaciones Diferenciales Crecimiento de Población
Esta ecuación es fácil resolver para:
Otra forma de representarla más sencillamente es:
(4) Aunque hicimos la suposición de que
a fin de deducir la ecuación (4), esta
restricción no es necesaria, ya que podemos verificar por sustitución directa en la ecuación (3) que
, como se da en (4), satisface la ecuación logística si o . Poblaciones límite y capacidad de mantenimiento Si la población inicial satisface
para todo ; y también que:
, entonces la ecuación (4) demuestra que
(5)
Por tanto, una población que satisface la ecuación logística no es similar a una población con crecimiento natural; no crece sin límite, sino que, se aproxima a la población límite
cuando
. La figura 2.1.2 (en la que ) muestra curvas solución típicas correspondientes a diferentes poblaciones iniciales e ilustra el hecho, de que sin importar cuál pueda ser la población inicial (positiva)
, cuando .
, vemos que en este caso la población es constantemente creciente mientras se aproxima a la población límite . Algunas veces a se le conoce como la capacidad Ya que
de mantenimiento del entorno o ambiente, considerándola como la población máxima que el entorno puede soportar a largo plazo. Para investigar la forma de la curva solución ilustrada en la figura 2.1.2, diferenciamos cada miembro de la ecuación logística
con respecto a . Ésta da: 28
Ecuaciones Diferenciales Crecimiento de Población
[ ]
Por tanto:
Sí ; Sí ; Sí De aquí que cualquier curva solución que cruza la recta
tiene un punto de inflexión
en donde ella cruza esa recta, y por lo tanto se parece a una de las curvas con forma de S que aparecen en la parte inferior de la figura 2.1.2. En este caso la población aumenta a una tasa creciente hasta
de allí en adelante aumenta en una razón decreciente.
, de modo que la población inicial exceda la población límite, entonces un análisis análogo muestra que en realidad es una función decreciente con una gráfica semejante a una Si
de las curvas superiores.
¿Puede ver, tanto de la ecuación (3), que si
?, entonces para toda ?
En este caso la población permanece constante. Nota Histórica: La ecuación logística fue introducida (alrededor de 1840) por el matemático y
demógrafo belga P.F. Verhulst como un modelo posible para el crecimiento de la población humana. En los ejemplos siguientes, comparamos el modelo de crecimiento natural y el modelo logístico que se ajustan a la información del censo de población de los Estados Unidos del siglo XIX, y luego comparamos las proyecciones para el siglo XX.
Más aplicaciones de la ecuación logística: A continuación describiremos algunas situaciones que ilustran la variedad de circunstancias que las que la ecuación logística es un modelo matemático satisfactorio. Situación de ambiente limitado: Cierto ambiente puede sostener una población de a lo más M
individuos. Entonces, resulta razonable esperar que la tasa de crecimiento
(tasa 29
Ecuaciones Diferenciales Crecimiento de Población
combinadas de natalidad y mortalidad) sea proporcional a futura. Entonces,
, de modo que:
como el potencial de expansión
El clásico ejemplo de una población con ambiente limitado es el de la población de las moscas de la fruta en un recipiente cerrado. Situación Competitiva: si la tasa de nacimiento
es proporcional a , de modo que
, entonces:
es constante, pero la tasa de mortalidad
Esto podría ser una hipótesis de trabajo razonable para el estudio de una población caníbal, en la que todas las muertes resultan del encuentro fortuito entre los individuos. Por su puesto, la competencia entre ellos no es tan mortal ni los efectos son tan inmediatos y decisivos. Situación de proporción conjunta: sea
el número de individuos en una población
que es constantemente a una susceptible a una enfermedad de la que está infectada, enfermedad que es contagiosa e incurable. La enfermedad se esparce a causa de encuentros fortuitos.
debe ser proporcional al producto del número de individuos que padecen la enfermedad por el número de los que no la padecen, de modo que: . De Entonces,
nueva cuenta descubrimos que el modelo matemático es la ecuación logística. La descripción matemática de la propagación de un rumor en una población de
individuos es idéntica.
Día del juicio contra extinción:
Considere una población
de animales silvestres en las que las hembras dependen
solamente de encuentro fortuitos con machos para reproducirse. Es razonable esperar que tales encuentros ocurran proporcionalmente al producto del número será proporcional a
de hembras, por lo que la tasa
Por ello supondremos que cada uno de los nacimientos ocurren a una
(por unidad de tiempo, con k constante). Así, la tasa de natalidad está dada por . Si la tasa de mortalidad es constante entonces la ecuación general de poblaciones en tasa de
(2), conduce a la ecuación diferencial:
30
Ecuaciones Diferenciales Crecimiento de Población
(En la que
(10)
), como un modelo matemático de la población.
Observe que el miembro derecho de la ecuación (10) es el negativo del miembro derecho de la ecuación logística (4). Veremos que la constante
es ahora una población umbral, la forma
en la que la población se comporte en el futuro depende estrictamente de que la población inicial
sea menor o mayor a . . De la ecuación (10) vemos que , de modo que , de modo que comienza siendo creciente. Por tanto, permanece positiva, y así continúa en aumento y por lo tanto para toda observamos que: CASO 1:
∫ ∫ ∫ ∫ Y así, la sustitución de
por y de 0 por nos da:
En la que
. Luego, la exponenciación produce , que resolvemos
para obtener:
(11)
Obsérvese que el denominador de la ecuación (11) se aproxima a cero cuando:
Por lo tanto:
cuando . Esta es la situación del día del juicio. 31
Ecuaciones Diferenciales Crecimiento de Población
CASO 2:
. En este caso. y se sigue que: para toda . Una
separación de variables análoga ahora conduce a:
(12)
. La diferencia entre este caso y el anterior es que el denominador en la ecuación (12) permanece mayor a 1. Y se sigue que cuando . Esta es una En la que:
situación de extinción. Así que la población o bien crece explosivamente o es una especie en peligro, amenazada por la extinción, dependiendo de su tamaño inicial. Una aproximación a este fenómeno se observa con poblaciones animales, tales como el lagarto de ciertas áreas al del sur de los Estados Unidos.
El proyecto de computo modelos logísticos de datos de población. El modelo de Malthus sólo consideraba muertes por causas naturales. ¿Y qué hay de las muertes prematuras debidas a la desnutrición, la falta de medicamentos, transmisión de enfermedades, crímenes, etc.? Estos hechos implican una competencia entre la población, de modo que podríamos suponer que existe otra componente de la tasa de defunción, provisional al número de interacciones por pareja. Hay
de tales interacciones posibles para una población
de tamaño . Así, si combinamos la tasa de nacimiento (8) con la tasa de defunción y ordenamos las constantes, obtenemos el modelo logístico.
O
, Donde y . La ecuación (14) tiene dos soluciones de equilibrio
y . Las soluciones
que no son de equilibrio se pueden determinar separado variables y usando la tabla de integrales del forro.
en y , al despejar tenemos: (15) Si
32
Ecuaciones Diferenciales Crecimiento de Población
Ejercicios de Aplicación Ejercicio 01
La población de los Estados Unidos de 1850 fue de 23 192 millones. Si tomamos sustituimos las parejas de datos
y
, y , (para 1900) en la
formula del modelo de la ecuación (4) obtenemos las dos ecuaciones:
Solución
También:
Con las incógnitas k y M. sistemas no lineales como éste por lo común se resuelven numéricamente utilizando un sistema de cómputo adecuado. Pero con un correcto artificio matemático las ecuaciones pueden resolverse manualmente para obtener
,
. La sustitución de estos valores en la ecuación (4) produce el método exponencial .
(8)
Ejercicio 02
Supóngase que en 1885 la población de cierto país era de 50 millones de personas y que estuvo creciendo a razón de 750000 personas por año en ese tiempo, suponga que en 1940 la población era de 100 millones y que a partir de …. El crecimiento era a razón de 1 millón al año. Supongamos que la
población es calculada con la ecuación logística. Determinaremos tanto la población límite M como la oblación ronosticada ara el año 2000. 33
Ecuaciones Diferenciales Crecimiento de Población
Solución:
En la ecuación (3) sustituimos los dos pares de datos propuestos y encontramos que:
Resolvemos las ecuaciones simultáneamente para encontrar que
y
por tanto la población límite del país en cuestión es de 200 millones de habitantes. Con estos valores M y k, y con
correspondiente al año 1940 (en el cual ), encontramos que, a
consecuencia de la ecuación (4), la población en el año 2000 será:
Que es de casi 153,7 millones de habitantes.
Ejercicio 03
, 10000 personas en una ciudad con una población personas ha oído cierto rumor. Después de una semana el número de aquellas que han escuchado el rumor ha aumentado a . Suponiendo que satisface la Suponga que en un instante
ecuación logística, ¿cuánto tiempo pasará para que el 80% de la población haya oído el rumor?
Solución.
Sustituyendo
y (miles) en la ecuación (4), obtenemos:
Luego, la sustitución
, da la ecuación: 34
Ecuaciones Diferenciales Crecimiento de Población
Esto se resuelve con facilidad para obtener:
. De modo que . Con
, la ecuación (9) toma la forma:
Que resolvemos para:
. Se sigue que el 80% de la población ha oído el rumor cuando:
Es decir, después de casi 4 semanas y 3 días.
Ejercicio 04
Supongamos que un estudiante es portador del virus de la gripe y regresa a su aislado campus de 1000 estudiantes. Si se supone que la razón con que se propaga el virus es proporcional no solo a la cantidad x de estudaintes infectados sino tambien a la cantidad de estudiantes no infectados, determine la cantidad de estudiantes infectados después de 6 días si además se observa que después de 4 dias
.
Solución:
Suponiendo que nadie deja el campus mientras dura la enfermedad, debemos resolver el problema con valores iniciales.
, 35
Ecuaciones Diferenciales Crecimiento de Población
Identificando
y , vemos de inmediato la ecuación (5) que:
Ahora, usamos la información
y calculamos k con:
Encontramos:
Por tanto:
Finalmente:
36
Ecuaciones Diferenciales Crecimiento de Población
37