UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Y MECÁNICA CARRERA DE INGENIERÍA MECÁNICA MATEMÁTICAS IV Cuaderno Digital
Morales Miranda Christian
CUARTO “A”
MATEMÁTICAS IV PRIMER PARCIAL Modelos matemáticos que nos llevan a ecuaciones ec uaciones diferenciales Si la forma que determina el crecimiento poblacional de los individuos es:
Modelo matemático
Un modelo matemático es la descripción matemática de un sistema o fenómeno de la vida real. La fórmula de un modelo m odelo matemático implica:
Identificar las variables causantes del cambio de un sistema. Establecer un conjunto de hipótesis razonables acerca del sistema( leyes empíricas aplicables)
Las hipótesis de un sistema implican con frecuencia la razón o tasa de cambio de una o más variables que intervienen. El enunciado matemático de esas hipótesis es una o más ecuaciones donde intervienen derivadas es decir, ecuaciones diferenciales.
Proceso de modelado El proceso de modelado básicamente sigue los siguientes pasos: 1. Identificación de variables estableciendo una notación matemática. 2. Leyes empíricas que se pueden aplicar 3. Planteamiento de las ecuaciones
Ejemplos de formulación de modelos Fusión Se considera una esfera de hielo que se derrite a razón proporcional del área de su superficie. 1. Variables La incógnita del problema: volumen (en función del tiempo). Notación matemática: V: volumen, t=tiempo; V=V (t) el volumen depende del tiempo, es decir, es función del tiempo. t iempo.
2. Leyes empíricas que se pueden aplicar
En los datos: “La esfera se derrite a razón proporcional del área de su superficie”, es decir, “El volumen de la esfera se derrite a razón proporcional del área de su superficie”.
La variación del volumen es la derivada de V con respecto al tiempo (dV/dt). Expresión de las leyes en forma matemática:
r es el radio de la esfera, r=r(t). 3. Planteamiento de la ecuación Planteamos la ecuación con la incógnita inicial V.
Sustituyendo
Ecuación diferencial Es aquella que tiene derivada y diferencial Orden de una ecuación diferencial Es el de la derivada más alta contenida en ella Grado de la ecuación diferencial Es la potencia a la que esta elevada la derivada más alta EJEMPLO
1erOrden, 1erGrado 2doOrden, 1erGrado 1erOrden, 1erGrado
3er Orden, 2do Grado
Solución general La solución general de la ecuación ordinaria diferencial de orden(n) en el intervalo I es la relación Ø(x, y, C1, C2,……..,Cn))=0 En forma implícita al sustituir y, y’, y’’, y’’’,……, y(n-1) en yn=f (x, y, y’,….., yn-1) se convierte en una identidad Una relación Ø(x, y C1)=0 es solución general de la ecuación diferencial ordinaria de primer orden en un intervalo I se al sustituir y e y’ en y’=F(x,y) esta se convierte en una identidad. EJERCICIO Verifique que
es solución de la ecuación
4 5 no es identidad identidad
Verifique que
es solución de la ecuación
si es identidad
Verifique que
√ √ . / √ √ √ es solución de la ecuación
es identidad
Verifique que
es solución de la ecuación
2x=2x es identidad
Verifique que
es solución de la ecuación
Verifique que
Verifique que
4 √5 √ √ √ es solución de la ecuación
es solución de la ecuación
Hallar una curva que pase por el punto (0,-2) (0 ,-2) de modo que el coeficiente angular de la tangente en cualquiera de sus puntos sea igual a la ordenada del mismo ppunto aumentado tres veces
∫ ∫
k=-2
ECUACIONES DE VARIABLES SEPARABLES Dada la ecuación diferencial
tiene la forma
M(x)dx+N(y)dy=0 M(x)dx+N(y)dy=0 entonces su integral será
∫
Para una ecuación de la forma y=F(ax+by+c) se puede utilizar el
artificio z=ax + by + c donde a, b, c son constantes constantes
Ejercicio
1)
4 5 X+y = C (1-xy)
2)
X-c = tg(x-y)+sec(x-y) tg (x-y)+sec(x-y)
3)
√
. / X+3Y=ax+C
ECUACIONES DE Bernoulli Ecuación de Bernoulli.
∫ ∫ ∫ ∫
Ejercicio 1. 1)
Solución:
64 6 4 5 7 64 5 7
Ejercicio 2:
2)
Solución:
4 5
∫ ∫
∫ ∫
L(ln x)= (8xD³ + 5D +1 ) ln x = 8x D³ ln x + 5D ln x + ln x
= 8x D² ( ) + 5 ( ) + ln x = 8x D (
) + + ln x
= 8x ( ) + +lnx =
+
+ ln x
L(cos 3X) = (D³ - 1) (D² + 4D + 1) cos3x
=(
+4
=
+ cos 3x + 4
=
+D - D² - 4D -1) cos 3x cos 3x + D cos 3x -D² cos 3x -4D cos 3x – cos 3x
(-3 sen(3x)) + 4 D (-3 sen 3x) + D² (-3 sen 3x ) –D (-3sen 3x ) -4(-3sen 3x ) – cos 3x
= -D³(9 cos (3x))-4 D²(9 cos (3x)) – D (9cos(3x)) + 9 cos (3x) + 12 sen 3x – cos 3x =D²(27 sen (3x)) + 4D (27 sen (3x))+ 27 sen(3x) +8 cos (3x) +12 sen (3x) = D(81 cos (3x)) +4 (81 cos (3x)) + 39 sen (3x) +8 cos (3x) = -243 sen (3x) +332 cos (3x) +39 sen (3x)+332 cos (3x) – 204 sen (3x)
ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
Dada la ecuación diferencial
en la que Igual a
está en función de una función arbitraria
y que
para lo cual cumple la condición de una ecuación exacta podemos determinar dicha
función f así:
=
al integrar m en función de x:
∫
Donde g(y) constante arbitraria de y, luego al derivar en función de y obtenemos :
Luego
Y al integrar en función de y nos queda:
EJERCICIO
( ) ( ( )
( ) 4 4 5 -
M(x, y)
N (x, y)
=
=
FACTOR INTEGRANTE Si la ecuación del tipo M(x, y) dx + N (x, y)=0 no es exacta. Para que se transforme en una ecuación exacta le multiplicamos multiplicamos por una función u= u(x, y) llamada factor integrante; supongamos que que M(x, y) dx+ N(x, N(x, y) dy =0 (1) no es exacta y u(x, y) (2) Factor Factor integrante multiplica multiplica (1) y (2). u(x, y), n(x, y) + u(x, y)N(x, y)dy=0 es exacta como es exacta cumple con
, - ,-
Derivando queda u(x, y)
7 6 0 1 ∫
∫ Encontrar la solución de:
∫ M(x, y)
N(x, y)
∫ ∫ 2.
4 5 4 5 4 5 4 5 ECUACIONES DE LAGRANGE Y CLAIROUT dada la ecuación de la forma de Lagrange y= xf(y')+g(y') se resuelve aplicación
=P y =P y donde dy=Pdx
su solución general tendrá la forma y=cx+g(c) y=cx+g(c) y su solución singular y=xp+g(P), x+g'(P) =0 pag20 Ejercicios: Resolver 2y=xy'+ y' + y'lny'
y=xy'+
y=
1 2
y'=
=P
dy=Pdx
y=
+ lnP
dy= dp+ dx +
dp+
dp
dy- dp + dx +
+ lndp
. . / . /
Pdx= dp + dx + dx
+ lnP
=
dp
=
+ P(x) y = Q(X)
∫ ,∫ ∫∫./,∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
x= x=
x= P[
dp+c]
x= P[
dp + c]
x= P[
dp + c]
x= P[
dp ]
La integral se resuelve por partes
x= P[
+c ]
x=-2-lnP + c y=
Ecuaciones diferenciales de primer Orden
Con respecto a la derivada Dada la ecuación de la forma (y')^n+p1(x,y)(y')^n-1+....................+P n1(x,y)y+Pn(x,y)=0 se resuelve respecto a y'. y'=f1(x,y), y'= f2(x,y),..........,y'=fn(x,y), f2(x,y),..........,y'=fn(x,y), (k
al integrar una funcion Qn(x,y,c)=0, donde n N luego y'=fi(x,y); i=1,2,3......k) Ejercicios Integrar las siguientes ecuaciones
y'= y'= y'= y'=
-(2x+y)y'+(
+xy)=0
y'=
y'=x+y
y'=x
y'-y=x
+P(x)y=Q(x)
∫ ,∫ ∫∫ ∫ (∫ ) ∫ ∫
y= y= y=
[
[
dx+c]
dx+c]
La integral se resuelve por partes y=
[
dx+c]
y=
[
+c]
y=-x-1+c
EJERCICIO 2
xy'^2+2xy'-y=0 y'=
(x
)dx + xdy=0
y=ux
dy=udx+xdu
√ √ ∫ ∫ √ (x
)dx + x(udx+xdu)=0
x
dx + xudx+xdu=0
(x+xu
dx+x^2du'=0
x(1+u
)dx+x^2du=0 =0
lnx+2ln( lnx+(
+1)+c=0
+1)^2+c=0
lnx( ln(
ln(y+2x+2x
+c=0
ln(y+2x+2x
+c=0
ln(y+2x+2x
=-c
ECUACIÓN HOMOGÉNEA GENERALIZADA
Cuando una ecuación homogénea no es homogénea la convertimos con donde se procede a determinar el grado de de acuerdo a cada dimensión del término se de la ED. No homogénea.
Ejercicio
4 5 4 5 =0
Ecuaciones Lineales De Primer Orden Dada la ecuación diferencial de la forma
condiciones si expresión:
; se establece las siguientes
la ecuación diferencial es lineal homogénea, presentando la siguiente ; entonces una solución homogénea será:
∫
Que sería la solución general de la ecuación diferencial homogénea. homogénea. Para encontrar la solución de la ecuación diferencial lineal se procede a variar la constante es decir . Entonces esta solución general se convierte para luego derivarla.
∫ [∫] ∫ ∫ ∫ ∫ , - ∫ ∫ , - ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Esta diferencia reemplazamos en la ecuación dada es decir,
Luego la solución de la ecuación lineal será:
∫ ∫
Resolver la ecuación diferencial lineal:
∫ ∫ ∫ ∫ 6 7 7 6 7 6 4 57 6 4 57 6 4 57 Resolver la ecuación diferencial lineal:
∫ ∫ WRONSKIANO
Sean f1, f2, . . . , fn funciones reales cada una de las ecuaciones ecuaciones es derivable hasta el orden n-1 en el intervalo a b entonces de la ecuación + + . . .+ =0 por derivación sucesiva se tiene:
Dado que f1=y1(x1)= f1(x)
=
Entonces tiene solución únicamente cuando de , , . . ., se lo llama.
,
, . . .,
=0 Al determinante de los coeficientes
W(f1,f2, . . . ,fn) =
Demostrar:
1.- Que las funciones e x, e2x, e3x son linealmente independientes w (e x, e2x, e3x) ex
e2x
e3x
w (ex, e2x, e3x) = ex ex
2e2x 3e3x 4e2x
9e3x
w= 18e6x+4e6x+3e6x – (2e6x+12e6x+9e6x) w= 25e6x – 23e6x ≠0 linealmente independiente
2.-Sea la ecuación (D 2+1)2(D-1) y=0, Demostrar que las funciones Sen x, xSenx, ex son soluciones de la ED. (D2 + 1)2(D - 1) y = 0 para y = Sen x (D4 + 2D2 + 1)(D – 1) Sen x (D4 + 2D2 + 1)(DSen x – Sen x) (D4 + 2D2 + 1)(Cos x – Sen x)
D4Cos x + 2D2Cos x + Cos x – D4Sen x – 2D2Sen x – Sen x -D3Sen x – 2DSen x + Cos x – D3Cos x – 2DCos x – Sen x -D2Cos x – 2Cos x + Cos x + D 2Sen x + 2Sen x – Sen x DSen x – 2Cos x + Cos x + DCos x + 2Sen x – Sen x Cos x – 2Cos x + Cos x – Sen x + 2Sen x – Sen x =0 linealmente independientes el Sen x es solución de la ED.
(D4+2D2+1)(D – 1)x Sen x (D4+2D2+1)(D – 1) x Cos x + Sen x – x Sen x D4xCos x + D 4Sen x – xSen x + 2D 2xCos x + 2D 2Senx – xSen x + xCos x + Sen x – xSen x D3(-xSen x + Cos x) + D 3Cos x + 2D(-xSen x + Cos x) + 2DCos x – 3Sen x + xCos x + Sen x D2(xCos x + Sen x) – D2Sen x – D2Sen x – (xCos x + Sen x) – Sen x – 2Sen x – 3xSen x + xCos x + Sen x
D(-xSen x + Cos x) + DCos x – 2DCos x – xCos x – Sen x – 2Sen x – 3xSen x + xCos x (xCos x + Sen x) – Sen x – Sen x + 2Sen x – xCos x – 3Sen x – 3xSen x + xCos x xCos x – 2Sen x – 3xSen x ≠ 0 linealmente independiente
(D4+2D2+1)(D – 1) ex (D4+2D2+1)(ex – ex) (D4+2D2+1)(0) = 0 linealmente dependiente
FÓRMULA DE ABEL. Dada la ecuación a n(x) yn + an-1(x)yn-1,…, a1(x)y’ + a0(x)y = 0 wronskiano tenemos
∫
, w{y1(x), y2(x),… yn(x)} = c , base
fundamental para encontrar la solución de EDL no homogénea. Si: a2(x) y’’ – a1(x) y’ + a0(x)y = 0 y tenemos y 1(x) ; y2(x) Luego: Para y1(x) a2(x) y’’ (x) + a 1(x) y’(x) – a0(x)y1(x) = 0
Para y2(x):
a2(x) y2’’ + a 1(x)y2’(x) – a0(x)y2(x) = 0
Determinamos la fórmula de Abel.
y a partir de
W =
’(x) – y1’(x) y2(x) } y, derivando el Wronskiano tenemos W ={ y1(x) y2’(x) – W’ = y1(x) y2’’(x) – ’’(x) – y1’’(x) y2(x), luego reemplazo.
0 1 0 1 [[]] , ∫ ∫ W’ = y1(x)
y2(x)
W’ = W’ =
w= c
Formula de Abel para encontrar la segunda solución de una EDL No homogénea:
Ejercicio:
y’’ – 4y’ + 4y = 0
a2(x)y’’ + a 1(x)y’ + a0(x) = 0 a2(x) = 1 a1(x) = -4 a0(x) = 4 w=
∫ w = ce 4x
w = (2xe 4x + e4x) – (2xe4x) w = ce4x Dada (D – 1)2(y) = 0 y y1 = ex hallar la segunda solución.
y’’ – 2y’ +1 = 0
y2(x) = ?
a2(x) = 1 a1(x) = -2 a0(x) = 1
∫ ∫ y2(x) = xe x
yg = y1(x) + y2(x) yg = ex + xex
(2D2 – 3D + s)(y) = 0 (2D – 3)2(y) = 0 y1 = e3/2 x (4D2 – 12D + 9)y = 0
4y’’ – 12y’ + 9y = 0 a2(x) = 0 a1(x) = -12 a0(x) = 9
∫ ∫ y2(x) = e3/2 x e(3/4 x) y2(x) = e(3/2 x + ¾ x) y2(x) = e9/4 x
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES A COEFICIENTES VARIABLES
Sea la ecuación:
De donde para una ecuación de segundo orden tenemos.
A.
B.
1.
1. , 2. → A.
2.
Si
Condición
Luego:
Y:
,- ,- , -- ,- - , - ,- - , -
Generalizando para ecuación de n orden
∑ , - ∑ , --
Es la función de Guen Ejercicios: 1.-
Fórmula para la solución particular:
, -
, -- 1.-
Variación de Parámetros
De donde
* ++ * ++ EDL con coeficientes constantes.
Si an(x) y(n) + an-1(x)y(n-1) + … + a 1(x)y’ + a0(x)y = F(x) Definición: La EDL se dice homogénea si F(x) = 0.-En caso contrario se dice que es completa o no homogénea. Es una solución general. A.yg: solución homogénea => 3 casos B.yp: solución particular (no homogénea) C.yh = yg + yp
A.yg; tiene 3 casos 1.-Raices del polinomio característico reales e iguales. 2.-Raices del polinomio característico se repiten. 3.-Raices del polinomio característico complejas conjugadas. B.yp: dependiendo de la estructura de F(x) tiene 4 casos. Si F(x) = e αx{Pn(x)Cos βx + Qm(x)Sen βx}
a)Caso 1: si F(x) = Pn(x), polinomio de grado n.
b) Caso 2: si F(x) = e αxPn(x) c) Caso 3: si F(x) = Pn(x) Cos βx + Qm(x) Sen βx d) Caso 4: si F(x) = e αx{Pn(x)Cos βx + Qm(x)Sen βx} Caso1: i) Si r=0; no es raíz de la ecuación o polinomio característico. p = Pn(x) Pn(x) polinomio de oefiiente oefiiente indeteminado indeteminado
ii) Si r = 0; es raíz n(x) donde es la multiplicidad de r Yp = xsP
Caso 2: i) Si = α; no es aíz del polinomio aateístio. n(x) Yp = eαxP
ii) Si = α es aíz. n(x) Yp = xs eαxP
Caso 3: i) Si = ±iβ no es aíz ompleja. n(x) Cosβx + Q m(x) Senβx p = P
ii) Si = ±iβ es aíz ompleja. n(x) Cosβx + Q m(x) Senβx] Yp = xs P
Caso 4: i)Si = α ± iβ no es aíz. n(x) Cosβx + Q m(x) Senβx] Yp = xseαx P
Resolver las ecuaciones diferenciales, encontrar su solución general.
1.- y``y``- 2y`- 15y = - (15 + 4x+ 13) Solución
y``- 2y`- 15y = - (15
+ 4x+ 13)
Formar el polinomio característico
(r – 5) (r + 3) = 0 r= 5
;
r= -3
2A – 2(2A x +B) – 15( 2A – 4Ax – 2B- 15
= -15
- 15
3.- y`` + 4y`
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGENEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES Dada una función en la que f1,f2, . . . . , fn y c1 f1 + c2 f2 + . . . + cn fn ; esta ecuación diferencial diferencial se transforma a un polinomio algebraico características entonces. P(r) = an
+ an-1
+ . . . + a1 r + a0 =0
1.- CASO. Reales y distintas. b² - 4ac > 0 Yg =
+
+ . . . +cn
SOLUCIÓN GENERAL : Yg.
2.- Caso . Reales multiplicidad. b² - 4ac =0 Yg =
+
x
+
x²
+ . . . +
+
+ . . .
.
3.- Caso. Numero complejos. b²-4ac < 0
Yg = x +
cos x + sen
sen +
cos x +
Ejercicios :
-
+ 2y =0
Encontar la solución general.
√ - 3
+ + 2y = 0
r² - 3r +2 =0
r=
sen x + . . .+
cos
Yg =
=2 =1
+
Yg = 2.-
+
-4
+4y=0 +4y=0
r² - 4r +4 =0 ( r- 2 )² =0 r=2
Yg = Yg =
3.-
r² + 1 =0 r= ± i
r= 0
Yg = Yg = Yg =
cos x +
cos cos x +
cos x +
sen x
sen x
r= 0 y=
z= r
= cos ( ±ẞ) + i sen ( ±ẞ) = r ( cos Ɵ + i sen Ɵ)
4.- (D³-1) (Y) =0
sen
+
+
D³ y –y =0 ; (r³ - r )=0
- y =0
r(r² - 1 ) =0 r=0 r=1 Yg =
(r² + r + 1) =0
√ r= r=
√ √ √
Yg =
+
Yg =
cos +
+
cos
sen x
+
sen
x
5.- (D³ + 3D² -D +3 )(y)=0 D³y+ 3D²y – Dy +3y =0
+3 +3
-
+3y=0 +3y=0
r³ + 3r² -r +3 =0 r³= -3,52 r²= 0,2625 TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA E.D.L.H Sea la EQ lineal
(x)
+
(x)
Si F(x) =0 homogénea.
y/d
+...+
(x)
+
(x)y = F(x)
F(x) 0 no homogénea.
Si f1, f2, . . . , fn son soluciones de la ecuación lineal homogénea homogénea , entonces + + . . .+ es también solución de la ecuación homogénea , donde , , . . ., son constantes arbitrarias. FUNCIONES LINEALMENTE DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES INDEPENDIENTES
Las n funciones f1,f2, . . , fn se llaman linealmente dependientes en el intervalo a constantes , , . . ., no todas nulas , tales que + + . . .+ =0
b si existen
Caso contrario si todas las constantes son cero entonces las funciones se llaman linealmente independientes.
ECUACIONES DE EULER Las ecuaciones diferenciales de Euler son de la forma
Donde
,
,…,
,
son constantes
Estas se reducen a E.D.L.H de coeficientes constantes mediante t= ln x
Se expresa en forma paramétrica
,-
La ecuación de Euler se puede presentar también
Se aplica el artificio
Se tiene la forma:
donde m es el grado de Pm [ln (x)], se aplica los artificios
para los casos presentados:
Solución
4 5 1.-
2.-
4 5
|| | || | 2.-
VARIACION DE PARAMETROS
WRONSKIANO
,- =2
1=A(u+1)+Bu
3.-
VARIACION DE PARAMETROS
WRONSKIANO
,-
+
TRASFORMACION DE LAGRACE Dada la función f: (0,+∞)→R la trasforma de la place de f(t) se define como: L(f(t))= si s>s0 y s€R Esto es:
∫
f(t)dt
L(f(t))=
∫ ∫ f(t)dt=
f(t)dt
Ejemplo:
∫ ∫ ( ) L(f(1))=
(1)dt=
(1)dt
=
Ejercicios: Encontrar:
∫ ∫ = = = =
F(t)=t ; = =
)
∫ ∫ . / ∫ . / =
PROPIEDADES DE LINEALIDAD
L(
Donde:
L(F(t))=f(s)y L(g(t))=G(s) EJERCICIOS:
*+ * + + ,- ,,- ,,A) F(t)=
F(s)=
*+ * ++ ,- ,- ,-
b) F(t)=
F(s)=
TRANFORMACION DE LA PLACE DE LA DERIVADA DE UNA FUNCION
* + ∫ =
∫ * + () * + * + () Cuando t=
Segunda derivada
* + ∫ * + ∫ * + () * + * + [ ()] * + () =
s
Aplicación de la Place
*+ * * +
*+ *+ * *+ + *+ *+ * + Encontrar la solución
{} *+ *+
{} { {} *+ *+ [( )])] * +
() ,-- ,-,- ,- || | || | 2.-
VARIACION DE PARAMETROS
WRONSKIANO
,
=2
1=A(u+1)+Bu
3.-
VARIACION DE PARAMETROS
WRONSKIANO
,- +
TRASFORMACION DE LAGRACE
Dada la función f: (0,+∞)→R la trasforma de la place de f(t) se define como: L(f(t))= si s>s0 y s€R Esto es: L(f(t))=
∫ ∫ f(t)dt=
f(t)dt
Ejemplo:
∫ ∫ ( ) L(f(1))=
(1)dt=
(1)dt
=
Ejercicios: Encontrar:
∫ ∫ = = = =
F(t)=t ; =
)
∫
f(t)dt
∫ ∫ . / ∫ . / =
=
PROPIEDADES DE LINEALIDAD
L(
Donde:
L(F(t))=f(s)y L(g(t))=G(s) EJERCICIOS:
*+ * + + ,- ,,- ,,A) F(t)=
F(s)=
*+ * ++ ,- ,- ,-
b) F(t)=
F(s)=
TRANFORMACION DE LA PLACE DE LA DERIVADA DE UNA FUNCION
* + ∫ =
∫ * + () * + * ++ () Cuando t=
Segunda derivada
* ++ ∫ * + ∫ * ++ () * ++ * + [ ()] * + () =
s
Teorema de laplace La inversa de la transformada de La place
Si “f y g” son funciones continuas por tramos, de orden exponencial y si existe un número real.
, -- ,- ,- []
Se tal que
para todo S >So entonces f(t)=g(t) con la posible posible excepción en
los puntos de discontinuidad . Si
Ejemplo:
La transformada inversa
{} {} { } { } { } { } { }
,-
* + *+ *+ Ejercicios
{ } { } { } { } 8 √ 9 8 √ √ 9 √ √ √ √ √ Teorema de traslación
* ++ * + * + Si:
Y
Ejercicios
*+ *+
* ++ *+
Calcular:
a)
2 3 8 9 8 9 8./9 89 =
=
=
=
=
b)
3 2 3 2 3 2 23 =
= =
23
=
=
DEBER En cada caso de los siguientes ejercicios, calcular calcular
1)
3)
4)
o bien
* + * + *+ . / * + *+*+ *+ ( ) * *+*+*+*+ {} { } * *+ * ++ *+ =
2)
* + *+
según se requiera:
4 5 4 5
5)
6)
7)
8)
* *+ ,*+*+*+*+ 0 1 *+ { } { } *+ { } 4 5
**+ { }} 4 5
9)
10)
11)
**+ *+ *+
DEBER
Verifique que
4 5 √ √ es solución de la ecuación
si es identidad
Verifique que
es solución de la ecuación
es identidad
Verifique que
es solución de la ecuación
. / √ √ √ 4 √5 √ √ 2x=2x es identidad
Verifique que
Verifique que
es solución de la ecuación
es solución de la ecuación
Verifique que
√ es solución de la ecuación
Hallar una curva que pase por el punto (0,-2) (0 ,-2) de modo que el coeficiente angular de la tangente en cualquiera de sus puntos sea igual a la ordenada del mismo ppunto aumentado tres veces
∫ ∫
DEBER
Fecha 09 de Julio del 2013
*+ + *++ *+ + **++ **+ + * + *+ *+ *+ * + * + | * + 1.
2.
3.
4.
k=-2
* + * + { } { } { } 8 9 9 8 5.
6.
7.
} { } { } { 8.
9.
10.
} { 2,((-,) -3 8, -, -9 , - , , - , , - 11.
12.
Encontrar la respuestas de las siguientes ejercicios con las condiciones dadas.
( ) √ √ √ √ √
D=-0.1209
D=-0.101
E=0.2707
( ) √ √ √ √ √ √ √ √ √ √
( ) √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ Las soluciones de la ecuación lineal homogénea son linealmente independientes independientes si y sólo si: W (f1, f2,…, fn) (x)≠0
83)
Deber N°02
() ()
81)
El producto de dos funciones, una que dependa solo de la variable independiente y otraque depende de la variable dependiente; esto es:
Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial:
Ejercicio
( ) ( ) 40.-
( ) 4 5
4 5 Cambio de variable
(( ) DEBER 3
. / √ √ √
√ √ √ √ √ √ √ √ . / √ √ √ DEBER
4 5 4 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
∫[∫ ] ] ∫()[∫] ] ∫ DEBER 248)
√ √
√ (√ ) . / | || 249)
(√ ) . / √ | || || Ejercicio
P(x)= -3 ; Q(x)= -3x
∫ ,∫ ∫ , , Ejercicio
∫ ∫
6 -, 7, -
Comprobación
Ejercicio
∫ , ∫ ,
Comprobación
Ejercicio
∫ , ∫ 66 7
Comprobación
En cada caso de los ejercicios, calcular requiera.
1.
2.
3.
*+ + + **+ *+ *+ *+ * +
*+ + o bien
según se
* + 4.
5.
6.
{ } ,*+ *+-+
*+ 23 2 3 *+ + 23 *+ 7.
8.
*+ 2 3 *+ + 23 *+ 2 |3 3 *+ 3 *+ + 2 3 2 3 2 *+ 2 |3 3 2 3 23 *+ + 2 |3 3
*+ +
9.
10.
3 *+ 2 *++ 23 *+ 2 |3 3 *+ + 3 *+ + 2 *++ 2 3 *+ 2 3 *+ + 23 2 3 *+ 2 |3 3 2 |3 3
*+
11.
3 *+ 2 *+ 2 3 *+ + 2 3 *+ 23 2 3 *+ 2 |3 3 2 |3 3 *+ +