Existen algunas ecuaciones diferenciales que al hacer un cambio de variable adecuado se reducen a ecuaciones en variables separadas, como el ejemplo anterior. Antes de estudiar las ecuaciones diferenciales homogéneas es n ecesario definir lo que es una función homogénea.
Definición: Funciones Homogéneas Una función f: D se dice homogénea de grado
si
para todo t > 0 y todo ( x,y) ∈
Ejemplo
1
1. La función
es homogénea de grado .
2. Las funciones de grado 0.
,
2
,
son homogéneas
3. Las funciones homogéneas de grado 2.
,
,
son
Ahora definimos lo que es una ecuación diferencial homogénea.
Definición [Ecuación
diferencial homogénea]
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, homogénea si la función
, es
es homogénea de orden cero.
Observación: si la ecuación diferencial está escrita en la forma
sería homogénea sí y sólo sí los coeficientes del mismo grado.
y
son funciones homogéneos
Teorema
Si la ecuación diferencial ordinaria de primer orden
es homogénea, entonces el cambio de variable ecuación diferencial en variables separadas.
Demostración:
Al hacer la sustitución obtenemos
la reduce a una
Pero como
es una función homogénea de grado cero tenemos que
de donde
la cual es separable, como se quería.
Ejemplo
Resuelva la ecuación diferencial
La ecuación diferencial es homogénea pues homogéneas de grado dos
y
son
Haciendo la sustitución
de donde
Integrando y volviendo a las variables
Note que
y
obtenemos
es una solución singular de la ecuación diferencial dada.
Observación: Cuando la ecuación diferencial homogénea está escrita en la forma
conviene más rescribirla en la forma
y aplicar quí el cambio de variable Ejemplo
Resuelva la ecuación diferencial
Factorizando
Haciendo la sustitución
.
Integrando
Y despejando
Observación: al dividir por el factor
pero
no es solución y
se pudo haber perdido algunas soluciones, que son soluciones singulares.