Ejercicio Ejercicios s Ecuacion Ecuaciones es Diferencia Diferenciales les Daniel Camacho 257655
Nicolas Camacho 234225
Felipe Cordoba 244344
Juan S. Guzman 223097
Luis Ibague 214513 6 de abril de 2010
⇒
Ejercic Ejercicios ios de repaso repaso ecuacio ecuaciones nes diferenciales de primer orden
⇒ ⇒
En los problemas 1 a 30, resuelva la ecuaci´on. x+y
1.
dy e = dx y
−1
3. (x2
⇒ −
⇒
(y
−
⇒ −(y −
1)e 1)e−y dy =
1)e 1)e−y +
−
−8x2 − 4x − 1 + Ce 4x
(2xy − 3x2 )dx = 0 − 2y−3)dy + (2xy
⇒ F ( F (x, y) =
−
(2xy (2xy
− 3x2) dx + g(y)
⇒ F ( F (x, y) = x2 y − x3 + g(y) Para determinar g(y ) se toma la derivada parcial con respecto a y y se iguala a N ( N (x, y ) ∂F = x2 + g (y ) = x2 2y −3 ∂y
−
−
Primero se integra M (x, y) con respecto a x:
El factor integrante para la ecuaci´on on diferencial − 4 dx − es: µ(x) = e = e 4x Mult Multip ipli lica cand ndoo por por µ(x) dy e−4x 4ye −4x = 32x 32 x2 e−4x dx
⇒
e−y dy = ex + C
− 4y = 32 32x x2 ⇒
y=
− −
−
⇒ ex + ye−y = C dy dx
32 32x x2 e−4x dx
La ecuaci´ ecuaci´ on diferencial es exacta con on M = 2xy 2 xy 3x2 y N = x2 2y −3 ∂M ∂N = 2x = ∂y ∂x
ex dx
⇒ −(y − 1)e 1)e−y − e−y = ex + C
2.
e−4x y = 8x2 e−4x + 16 xe−4x dx e−4x y = 8x2 e−4x 4xe−4x e−4x + C
⇒
Al separar las variables e integrar tenemos: y 1 dy = ex dx y e
d(e−4x y) =
tenemos:
⇒
−
⇒ g(y) = −2y−3 ⇒ g(y) = y−2
⇒
De esta forma tenemos que la soluci´on esta dada implicitamente por: 1
M (x.y) = 2xy 3 N (x, y) = x2 1 ∂M = 6xy2 ∂y ∂N = 2x ∂x La ecuacion no es exacta. Consideramos entonces: ∂N/∂x ∂M/∂y M 2x 6xy 2 2 6y 3 1 3y 2 = = 2xy3 2y 3 y3 Como solo depende de y un factor integrante est´ a dado por la f´ormula: ∂N/∂x + ∂M/∂y µ(x) = exp dy M 1 3y 2 µ(x) = exp dy y3
⇒ x2y − x3 + y−2 = C 4.
dy 3y + = x2 dx x
⇒ ⇒
− 4x + 3
El factor integrante para la ecuaci´on diferencial es: µ(x) = e x dx = e3 ln x = x3
3
⇒
− ⇒ ⇒ −
Multiplicando por µ(x) tenemos: dy x3 + 3yx2 = x5 4x4 + 3x3 dx d(x3 y) = (x5 4x4 + 3x3 ) dx
⇒ − ⇒ − 6 5 4 ⇒ x3y = x6 − 4x5 + 3x4 + C
⇒
x3 y= 6
−
−1
2
2
2
1 2 2
1 2
⇒ − ⇒ F (x, y) = 2xe− dx + g(y) ⇒ F (x, y) = x2e− + g(y) − − e e = x2 3 + g (y) = (x2 − 1) 3 ⇒ ∂F ∂y y y
− −
e
1
2y 2
1
2y 2
1
1
2y 2
2y 2
−
1
2y 2
1
⇒ g(y) = − y3 ⇒ g(y) = −e− ⇒ x2e− − e− = C ” ⇒ e− (x2 − 1) = C ⇒ (x C − 1) = e
⇒ F (x, y) = 1 + x2 cos(xy) dy + h(x) ⇒ F (x, y) = y + x sin(xy) + h(x)
Tomando la derivada parcial con respecto a x e igualando a M (x.y) sen(xy) + xy cos(xy) + h (x) = sen(xy) + xy cos(xy) h (x) = 0 h(x) 0 De esta forma tenemos que la soluci´on esta dada implicitamente por:
⇒
≡
2y 2
1
1
2y 2
2y 2
1
1
2y 2
2y 2
y −2 = 2 ln(x2
− 1) + C
7. t3 y2 dt + t4 y −6 dy = 0 Separando variables e integrando tenemos: t3 y −6 dt dy dt = dy dt = t4 y2 t y8 1 ln t + C = 7y 7
⇒
⇒− ⇒ − ⇒ y = (7 ln(t) + c)−1/7
⇒ y + x sin(xy) = C 6. 2xy3 dx
−
⇒
M (x.y) = sen(xy) + xy cos(xy) N (x, y) = 1 + x2 cos(xy) ∂M = 2x cos(xy) x2 sin(xy) ∂y ∂N = 2x cos(xy) x2 sin(xy) ∂x La ecuaci´o n es exacta. Integrando N (x, y) respecto a y.
⇒
−
e y µ(x) = 3 y Multiplicando por µ(y) tenemos: − e y − y 2 2xe dx + (x 1) 3 dy = 0 y
5. [sen(xy) + xy cos(xy)]dx +[1+ x2 cos(xy)]dy = 0
⇒ ⇒
−
⇒ ⇒
4x2 3x + + Cx −3 5 4
⇒ ⇒
−
− (1 − x2)dy = 0 2
−
8.
⇒ ∂M = −(1 + x2 + 2xy + y2 )−2 (2x + 2y) ∂y ⇒ ∂N = −(1 + x2 + 2xy + y 2 )−2 (2x + 2y) ∂x
dy 2y + = 2x2 y 2 dx x Dividiendo la ecuaci´on entre y 2 tenemos: 1 dy 2 + = 2x2 2 y dx yx Sustituyendo por u = y−1 y derivando: du 1 dy du 2u = = 2x2 2 dx y dx dx x Un factor integrante esta dado por la siguiente ecuacion: 2 µ(x) = exp dx = x−2 x du 2u x−2 = 2 x−2 u = 2x + C dx x 1 = C 2x x2 y
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
−
⇒
−
∂N ⇒ ∂M = ∂y ∂x
−
La ecuaci´ on es exacta. 1 1 F (x, y) = + dy + h(x) y 1 + (x + y)2 F (x, y) = 2 y + arctan(x + y) + h(x) ∂F 1 1 = + h (x) = 1 + 2 ∂x (x + y) (x + y)2 h (x) = 1 h(x) = x
√
⇒ √ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 2√y + arctan(x + y) + x = C
−
−
− ⇒
−
−
y = (Cx 2
− 2x3)−1 11.
9. (x2 + y 2 )dx + 3yxdy = 0 2
dx = 1 + cos2 (t dt
− x)
2
dy x +y dy y x ⇒ dx ⇒ =− + =− 3yx dx 3x 3y
Mediante la sustituci´on u = t x tenemos: du dx dx du =1 =1 = 1 + cos 2 u dt dt dt dt du 2 2 = cos u sec u du = dt dt tan u = t + C
−
Multiplicando por y tenemos: dy y2 x y + = dx 3x 3 Sustituyendo por u = y2 : du dy dy 1 du = 2y = dx dx dx 2 dx tan(t x) + t = C 1 du u x du 2u 2x =+ = + = 2 dx 3x 3 dx 3x 3 Esta es una acuacion lineal y tiene un factor 12. (y3 + 4ex y)dx + (2ex + 3y 2 )dy = 0 integrante dado por: 2 µ(x) = exp dx = x2/3 3x M (x, y) = y3 + 4ex y 2x5/3 dx x8/3 N (x.y) = 2ex + 3y 2 x2/3 u = = + C 3 4 ∂M = 3y2 + 4ex 2 x ∂y − 2 2/3 y = + Cx ∂N 4 = 2ex ∂x Considerando (∂M/∂y ∂N/∂x)/N tenemos: 10. [1 + (1 + x2 + 2xy + y 2 )−1 ]dx 2 x x 3y + 4e 2e + [y−1/2 + (1 + x2 + 2xy + y 2 )−1 ]dy = 0 =1 2ex + 3y 2 Un factor integrante espacial para esta ecuacion M (x, y) = 1 + (1 + x2 + 2xy + y 2 )−1 es: µ(x) = exp 1 dx = ex N (x.y) = y−1/2 + (1 + x2 + 2xy + y 2 )−1
⇒
−
⇒ ⇒
⇒
⇒
⇒
− ⇒
−
−
⇒ ⇒ ⇒
− ⇒ − ⇒ −
⇒
−
−
−
⇒ ⇒
−
⇒ ⇒
⇒
−
⇒
⇒ ⇒
⇒
3
−
Multiplicando por µ(x) tenemos: ex (y3 + 4ex y)dx + ex (2ex + 3y 2 )dy = 0 que es una ecuaci´on exacta. F (x, y) = (2e2x + 3y 2 ex ) dy + h(x)
Mediante la sustituci´on z = 2x y tenemos: dz dy dy dz =2 =2 dx dx dx dx dz 2 =2 z +3 dx dz = z +3 dx 1 dx = dz z +3 (x + C )2 x + C = 2(z + 3)1/2 = z +3 4 (x + C )2 = 2x y + 3 4
⇒
⇒ − ⇒ − ⇒ − −√ √ ⇒ √ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ −
⇒ ⇒ F (x, y) = 2e2xy + y3ex + h(x) ⇒ ∂F = 4ye 2x + h(x) = ex y3 + 4e2x y ∂x ⇒ h(x) = 0 ⇒ h(x) = 0
⇒ 2e2xy + y3ex = C 13.
dy dx
−
− xy = x2 sen2x
⇒ y = 2x + 3 −
(x + C )2 4
Esta es una ecuaci´on lineal y un factor integrante esta dado por: dy 16. + y tan x + sen x = 0 1 1 − dx µ(x) = exp dx = x x dy yx−1 = x sin2x dx + y tan x = sen x dx 1 1 Es una ecuaci´on lineal. Su factor integrante es: yx−1 = x cos2x + sin2x + C 2 4 µ(x) = exp tan x dx = sec x
⇒ ⇒ ⇒
−
⇒
−
⇒ ⇒ y sec x =
⇒ y = − 12 x2 cos2x + 14 x sin2x + Cx 14.
dx dt
−
⇒
− t −x 1 = t2 + 2
y=
−
tan x dx = ln cos x + C
|
|
− cos x ln | cos x| + C cos x
Esta es una ecuaci´ o n lineal y tiene un factor 17. dy + 2y = y2 dθ integrante dado por: 1 1 µ(t) = exp dt = Es una ecuaci´ o n de Bernoulli con n=2, divit 1 t 1 2 diendo por y y sustituyendo por u = y −1 d (t 1)−1 x) t2 + 2 = obtenemos: dt t 1 dy 2u = 1 t2 − 1 dθ (t 1) x = 3ln t 1 + + t + C Calculamos su fator integrante: 2
− −
⇒
⇒ − ⇒ − ⇒
x=
+C (t 15.
−
− |− |
t2 (t−1) 2
+ t(t
⇒
−
− 2x
−
−
⇒ µ(θ) = exp ⇒ u = 12 + Ce −2θ
− 1) + 3(t − 1)ln |t − 1|
− 1)
dy =2 dx
−
y+3
⇒ 4
y=
2 1 + Ce 2θ
2 dθ
= e−2θ
18.
dy = (2x + y 1)2 dx Sustituyendo por z = 2x + y tenemos:
⇒ −x−1 + x−3y2 = C
−
⇒ y2 = x2 + Cx 3
dz dy dy dz =2 + = 2 dx dx dx dx dz 2 = (z 1)2 dx dz = dx (z 1)2 + 2 1 (z 1) arctan = x + C 2 2 (z 1) = tan 2x + C 2 2x + y 1 = tan 2x + C 2
⇒ ⇒ − ⇒ − ⇒√ ⇒ √− √− ⇒ √ ⇒ y = 2tan
−
20.
2x + C
2x + 1
− 3y2)dx + 2xydy = 0
⇒ M (x, y) = x2 − 3y2 ⇒ N (x, y) = 2xy ∂N ⇒ ∂M = −6y = 2y = ∂y ∂x La ecuaci´on no es exacta, entonces consideramos (∂M/∂y ∂N/∂x)/N 21. (∂M/∂y ∂N/∂x) µ(x) = exp dx N 6y 2y µ(x) = exp dx 2xy 4 µ(x) = exp dx = x−4 x Multiplicamos la ecuaci´on por µ(x) para volverla exacta (x−2 3x−4 y 2 )dx + 2x−3 y dy = 0
−
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
dy y + = dθ θ
−4θy −2
Dividimos por y −2 : dy y3 y2 + = 4θ dθ θ Sustituyendo por v = y 3 tenemos: dv dy 1 dv dy = 3y2 = y2 dθ dθ 3 dθ dθ dv 3v + = 12θ dθ θ Esta es una ecuaci´o n lineal y tiene un factor integrante. 3 µ(x) = exp dθ = θ3 θ 12 5 θ3 v = 12θ4 dθ = θ + C 5 12 2 v= θ + Cθ −3 5 12 2 y3 = θ + Cθ −3 5
√− √ √ √ −
19. (x2
⇒ −
− − − −
−
⇒ F (x, y) = (x−2 − 3x−4y2)dx + +g(y) ⇒ F (x, y) = −x−1 + x−3y2 + g(y) ⇒ ∂F = 2x−3 y + g(y) = 2x−3 y ∂y ⇒ g(y) = 0 ⇒ g(y) = 0
⇒
−
⇒ ⇒
⇒ −
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
− −
⇒
y = Cθ −3
(y
− 2x − 1)dx + (x + y − 4)dy = 0
−
−
−
12 2 θ 5
1/3
Sustituimos x = u + h , y = v + k, tal que h y k satisfagan: 2h + k 1 = 0 h=1 h+k 4 =0 k =3 Como x = u + 1 entonces dx = du; y = v + 3 entonces dy = dv, tenemos:
⇒ ⇒
− −
⇒ ⇒
⇒ (−2u + v)du + (u + v)dv =0 2 − uv dv 2u − v ⇒ du = u + v = 1 + v u
Haciendo la sustituci´on z = dv dz 2 z = z+u = du du 1+z dz z 2 2z + 2 u = du 1+z
⇒ ⇒ 5
−
− −
v u
tenemos:
⇒ z2 +1 +2zz− 2 dz = − duu ⇒ 12 ln |z2 + 2z − 2| = − ln |u| + C ⇒ (z22 + 2z − 2)u22 = C ⇒ v + 2uv2 − 2u = C ⇒ (y − e) + 2(x − 1)(y − 3) − 2(x − 1)2 = C
⇒ g(y) = sin y ⇒ g(y) = − cos x ⇒ 2√xy + sin x − cos y = C 25. y(x y 2)dx + x(y x + 4)dy = 0 M (x, y) = y(x y 2) N (x, y) = x(y x + 4)
⇒ ⇒
⇒ y2 − 8y − 2x2 − 2x + 2xy = C 22. (2x
La ecuaci´on no es exacta. Considerando (∂N/∂x ∂M/∂y)/M tenemos:
23. (x
dx x+y 1 + xy Mediante la sustituci´on u = du 1 u u+x = dx 1+u 2 du u 2u + 1 x = dx 1+u u+1 dx du = u2 + 2u 1 x 1 ln u2 + 2u 1 = ln x + C 2 (u2 + 2u 1)x2 = C
− − −
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
|
−
−
−
y x
⇒ ⇒
− | − ||
x y
=
(y
⇒ g(y) = 0 ⇒ g(y) = 0 ⇒ y−2x2 − 2xy−1 − 4xy−2 = C
1 = 2 xy 1 = 2 xy
26.
La ecuaci´on es exacta. y F (x, y) = + cos y dx + g(y) x F (x, y) = 2 xy + sin x + g(y) ∂F x x = + g (y) = + sin y ∂y y y
⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒ − ⇒ F (x, y) = y−2(x y − 2)dx + g(y) 2 ⇒ F (x, y) = y−22x − (y−1 + 2y−2)x + g(y) ⇒ ∂F = −y−3 x2 − (−y −2 − 4y−3 )x + g (y)) = ∂y xy −3 (y − x + 4
−
y x
− ∂M ∂y
− − − −
√ √ √
∂M 1 = ∂y 2x ∂N 1 = ∂x 2y
∂N ∂x
La ecuaci´ on tiene un factor integrante especial: 3 µ(x) = exp = y −3 y y −2 (x y 2)dx + xy −3 (y x + 4)dy = 0
24. ( y/x + cos x)dx + ( x/y + sen y)dy = 0 M (x, y) = y/x + cos x N (x, y) = x/y + sen y
⇒ ⇒
− 2x + 4) − (x − 2y − 2) M y(x − y − 2) 3(x − y − 2) 3 ⇒= − −y(x =− − y − 2) y ⇒
tenemos:
⇒ y2 + 2xy − x2 = C
− − − −
⇒ ∂M = x − 2y − 2 ∂y ⇒ ∂N = y − 3x + 4 ∂x
− 2y − 8)dx + (x − 3y − 6)dy = 0
− y)dx + (x + y)dy y= 0 ⇒ dy = x − y = 1 − x
− −
dy + xy = 0 dx Al separar variables tenemos: dy = x dx y x2 ln y = + C 2
⇒ ⇒ 6
− −
⇒ y = Ce 27. (3x
⇒ g(y) = 0 ⇒ g(y) = 0
−x2 2
⇒ x4y3 − 3x3y2 + x4y2 = C
− y − 5)dx + (x − y + 1)dy = 0
⇒x= u+h ⇒ 3h − k − 5 = 0 ⇒ h−k+1=0
y =v+k h =3 k =4
30.
Esta es una ecuaci´o n lineal y tiene un factor integrante:
⇒ µ(x) −=4xe −4dx = e−4x ⇒ d(yedx ) = 4xe−4x −4x ⇒ ye−4x = 4xe−4xdx = −xe−4x − e 4 + C
Despu´es de integrar tenemos:
(y
28.
2
− 4) − 3(x − 3)
2
dy x y 1 = dx x+y+5
√
(y −4)+(x−3) 3 √ (y−4)−(x−3) 3
1 √
3
= C
⇒ y = Ce 4x − x − 14
− −
3
2
− (x + y − 1)2
dy ⇒ dx = (x2 + y 2 + 2xy + 2x + 2y + 1) − (x2 + y 2 + 2xy − 2x − 2y + 1) dy ⇒ dx = 3x + 4y = 4(x + y) dy ⇒ dx − 4y = 4x
⇒ (3u − v)du +v (u − v)dv = 0 3− u dv ⇒ du =− 1 − uv dv dz ⇒ z = uv v = uz du =z+u du dz 3−z ⇒ z + u du = − 1 − z ⇒ zz2−−13 dz = − duu
dy = (x + y + 1)2 dx
En los problemas 31 a 40, resuelva el problema con valor inicial.
2
29. (4xy 9y + 4xy )dx 2 2 +(3x y 6xy + 2x2 y)dy = 0 31. (x3 y)dx + xdy = 0, y(1) = 3 M (x, y) = 4xy3 9y2 + 4xy2 3 M (x, y) = x y N (x, y) = 3x2 y2 6xy + 2x2 y N (x, y) = x ∂M = 12xy 2 18y + 8x ∂M ∂y = 1 ∂y ∂N = 6xy 2 6y + 2x ∂N ∂x =1 ∂x Como la ecuaci´on no es exacta consideramos La ecuaci´ on no es exacta. Considerando: (∂M/∂y ∂N/∂x)/N ∂M/∂y ∂N/∂ 1 1 2 ∂M ∂N = = 2y(3xy 6 + 2x) 2 y x N x x = = La ecuaci´on tiene un factor integrante dado por: N xy(3xy 6 + 2x) x 2 µ(x) = exp dx = x−2 2 x µ(x) = exp dx = x2 x 1 y F (x, y) = dy + h(x) = + h(x) x x F (x, y) = x2 (4xy 3 9y 2 + 4xy 2 )dx + g(y) ∂F y y = + h (x) = x F (x, y) = x4 y 3 3x3 y 2 + x4 y 2 + g(y) ∂x x2 x2 2 ∂F x = 3x4 y 2 6x3 y + 2x4 y + g (y) h (x) = x h(x) = ∂y 2
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
−
−
− −
− −
− −
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
− −
−
−
−
−
⇒ ⇒ ⇒
7
− −
− −
⇒
− −
−
−
⇒
−
−
dy 2y Una soluci´ on esta dada impl´ıcitamente por: 34. = x2 cos x, y(π) = 2 2 dx x y x + = C La ecuaci´on es lienal y tiene un facotr integrante x 2 2 Sustituyendo por los valores iniciales dado por: µ(x) = dx = x−2 x y = 3, x = 1: 1 7 d xy 3 + = C C = = cos x 2 2 dx y = sin x + C x2 x3 7x y= + y = x2 sin x + Cx 2 2 2 Sustituyendo por los valores iniciales y = 2, x = π: dy x y 2 32. = + , y(1) = 4 2 = π2 sin π + π2 C C = 2 dx y x π Mediante la sustituci´on u = xy dy du 1 2x2 2 y = ux =u+x = +u y = x sin x + 2 dx dx u π du 1 dx u2 x = udu = = ln x + C dx u x 2 35. (2y2 + 4x2 )dx xydy = 0, y(1) = 2 y Reemplazando u = x 2 2 M ( x, y) = 2y + 4x y2 N (x, y) = xy = ln x + C 2x2 ∂M = 4y y2 = x2 ln x2 + 2x2 C ∂y Sustituyendo por los valores iniciales ∂N = y y = 4, x = 1: ∂x 16 = 2C C = 8 La ecuaci´ o n no es exacta. Considerando: ∂M/∂y ∂N/∂x 4y + y 5 = = N xy x y2 = ln x2 + 16x2 La ecuaci´on tiene un factor integrante dado por: 5 µ(x) = dx = x−5 x 33. (t + x + 3)dt + dx = 0, x(0) = 1 y F (x, y) = dy + h(x) Reescribieno la ecuaci´on tenemos: x4 dx dx = t x 3 +x= t 3 y2 dt dt F (x, y) = + h(x) Esta es una acuaci´ o n lineal y tiene un factor 2x4 ∂F 2y2 integrante dado por: = 5 + h (x) = x−5 (2y 2 + 4x2 ) ∂x x µ(x) = exp dt = et h (x) = 4x−3 h(x) = 2x−2 2 y + 2x−2 = C et x = (t + 3)et dt 4 2x Sustituyendo por los valores iniciales − t t t t e x = (t+3)e +e +C x = t 2+Ce y = 2, x = 1: Sustituyendo por los valores iniciales 4 + 2 = C C = 4 t = 0, x = 1: 2 1 = 2 + C C = 3 y2 + 2x−2 = 4 y 2 + 4x2 = 8x4 4 2x − t x = t 2 + 3e y = 8x2 4x2
−
⇒ ⇒
⇒
⇒
⇒ ⇒ ⇒
−
⇒ ⇒
⇒
⇒
−
−
⇒
−
⇒
−−
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
−−
⇒
−−
⇒ ⇒
⇒
⇒
8
−
− −
⇒
−− − ⇒
⇒ ⇒ ⇒
− −
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
| |
⇒
⇒
||
⇒
⇒
2
⇒
|| | |
−
⇒
⇒
⇒
⇒ ⇒ ⇒
−
−
−
−
− − −
⇒
−
−
⇒
⇒
−
1 1 ln z 2 +2 + arctan 2 2
⇒ | | √ √ ⇒ ln |(z2 + 1)u| + 2 arctan √ ⇒ ln |v2 + 2u2| + 2 arctan ⇒ ln|(y − 2)2 + √ y−2 √ = C 2 arctan (x − 1) 2
2
36. [2cos(2x + y) x ]dx + [cos(2x + y) + ey ]dy = 0,
−
y(1) = 0
⇒ M (x, y) = 2 cos(2x + y) −yx2 ⇒ N (x, y) = cos(2x + y) + e ⇒ ∂M = −2 sin(2x + y) ∂y ⇒ ∂N = −2 sin(2x + y) ∂x
⇒ ⇒ F (x, y) = sin(2x + y) + ey + h(x) ⇒ ∂F = 2 cos(2x+y)+h(x) = 2 cos(2x+y) − x2 ∂x 3 ⇒ h(x) = −x2 ⇒ h(x) = − x3 Sustituyendo y = 0, x = 1:
por
3
= sin(2) +
38.
iniciales
⇒
⇒
2 3
⇒ 4=
⇒
⇒y= 39.
u
⇒
⇒ − ⇒ −
dv dz =z+u du du dz z2 + 2 u = du z +1
−
9
− −
y(0) = 4 e integrando tenemos:
x + C 2 2 x 2
Sustituyendo y = 4, x = 0:
⇒ (2u − v)du + (u +v v)dv = 0 −2 dv v − 2u ⇒ du = = uv u+v +1 ⇒ ⇒ ⇒
iniciales
Por consiguiente:
v z= v = uz u dz z 2 z+u = du z +1 z +1 du dz = z2 + 2 u
valores
|
⇒ ln|(y − 2)2 + 2(x − 1)2| √ y−2 √ = ln(2) + 2 arctan (x − 1) 2 √ydx + (x2 + 4)dy = 0, ⇒ − ⇒ √ − ⇒ −
−
−
los
Separando variables dy dx = dx x2 + 4 1 2 y= arctan 2 1 y = C arctan 4
37. (2x y)dx + (x + y 3)dy = 0, y(0) = 2 Em esta ecuaci´o n con coeficientes lineales hacemos una sustituci´on x = u + h, y = v + k. con h y k tales que: 2h k = 0 k = 2h k=2 h+k =3 h + (2h) = 3 h=1
−
por
⇒ sin(2) + 1 − 13 = C ⇒ C = sin(2) + 23 ⇒ sin(2x + y) + ey − x3
−
||
⇒
3
= C los valores
z = ln u +C 2 z = C 2 v = C u 2 2(x 1)2 +
Sustituyendo y = 2, x = 0: C = ln(2)
La ecuaci´on es exacta. F (x, y) = [cos(2x + y) + ey ]dy + h(x)
⇒ sin(2x + y) + ey − x3
√ − √ √
por
los
valores
2
⇒
C
1 arctan(0) 4
2
1 x arctan 4 2
iniciales
C = 2
2
dy 2y = x−1 y −1 , y(1) = 3 dx x Al multiplicar la ecuaci´ on por y tenemos: dy 2y2 1 y = dx x x Sustituyendo u = y 2 se tiene: 1 du 2 1 du 4u 2 u= = 2 dx x x dx x x Esta es una ecuaci´o n lineal y tiene un factor integrante dado por:
−
⇒
−
⇒
−
⇒
−
Problemas tem´ aticos
−
4 ⇒ µ(x) = exp dx = x−4 x x−4 − − 4 5 ⇒ x u = 2x dx = − 2 + C −4 ⇒ x−4y2 = − x2 ⇒ y2 = − 12 + Cx 4
Sustituyendo y = 3, x = 1:
por
⇒ 9 = −1/2 + C ⇒
los
valores
iniciales
4
⇒ y2 = 12 + 19x2
dy 40. 4y = 2xy 2 , y(0) = 4 dx Al dividir la ecuaci´on por y2 tenemos: dy y −2 4y −1 = 2x dx Sustituyendo u = y−1 tenemos: du dy du dy = y −2 = y −2 dx dx dx dx du du 4u = 2x + 4u = 2x dx dx Esta es una ecuaci´ o n lineal y tiene un factor integrante dado por:
−
⇒
−
−
⇒ − ⇒− −
⇒− ⇒
−
− − −
⇒ µ(x) = exp ⇒ e4xu = ⇒ e4xu = 2
4dx = e4x
2xe4x dx
xe4x 1 4x e + C 4 16 Reemplazando u = y −1 , tenemos: 8 y= − 4x Ce 4x + 1 Sustituyendo por los valores y = 4, x = 0: 8 4= C = 3 C + 1
⇒
−
− ⇒−
⇒
modelos
ma-
1. Un cultivo tiene una cantidad inicial N o de bacterias. Cuando t = 1h, la cantidad medida de bacterias es 32 N 0 . Si la raz´on de reproducci´on es proporcional a la cantidad de bacterias presentes, calcule el tiempo necesario para triplicar la cantidad de los microorganismos. dN 3 = kN, N (0) = N 0 , N (1) = N 0 dt 2 dN kN = 0 dt Por simple observaci´on podemos ver que el factor integrante es e−kt , entonces multiplicamos ambos lados de la ecuaci´on por este factor y nos queda: d −kt (e N ) = C dt Al integrar obtenemos: N (t) = Ce −kt Cuando t = 0, N 0 = C , entonces N (t) = N 0 ekt , por lo tanto cuando t = 1, tenemos: 3 2 3 N 0 = N 0 ek ek = k = ln 2 3 2 De esta manera: N (t) = N 0 e0,4055t ln 3 t= 0,4055
⇒ ⇒
19 C = 2
de
−
⇒ ⇒ ⇒
⇒
⇒
⇒ ⇒ ⇒
t = 2,71h
2. Se analiz´ o un hueso fosilizado y se encontr´o que conten´ıa la cent´esima parte de la cantidad original de C-14. Determine la edad del f´osil.
⇒ A(t) = A0ekt
F´ısico-qu´ımicamente se sabe que el periodo del C-14 es aproximadamente 5600 a˜nos, entonces para calcular el valor de la constante de decaimiento tenemos: A0 A0 = A(5600) = A0 e5600k 2 2 ln 2 k= 5600 A(t) = A0 e−0,00012378t Entonces tenemos que:
iniciales
−
⇒ ⇒ ⇒
8
⇒ y = 1 − 3e−4x − 4x 10
⇒
−
ln 1000 ⇒ t = 0,00012378
⇒
t = 55800 a˜ nos
3. Un reactor de cr´ıa convierte uranio 238, relativamente estable, en plutonio 239, un is´otopo radiactivo. Al cabo de 15 a˜nos, se ha desintegrado 0.043% de la cantidad inicial, Ao , de una muestra de plutonio. Calcule el periodo medio de ese is´ otopo, si la raz´on de desistegraci´on es proporcional a la cantidad presente.
⇒ dA = kA, dt
A(0) = A0
Entonces tenemos: A(t) = A0 ekt y si sabemos que se ha desintegrado un 0.043 % entonces queda una cantidad del 99.957% de A0 , para calcular k tenemos: 1 0,99957A0 = A0 e15k k= 7 15ln0,099957 k = 0,0000286 Entonces tenemos: A(t) = e0,00002867t ln 2 t= 0,00002867
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
−
5. Cuando se combinan 2 sustancias, A y B, se forma un compuesto C. La reacci´on entre ambas es tal que por cada gramo de A se usan 4 gramos de B. Se observa que a los 10 minutos se han formado 30 gramos del producto C. Calcule la cantidad de C en funci´on del tiempo si la velocidad de la reacci´ on es proporcional a las cantidades de A y B que quedan y al principio hay 50 gramos de A y 32 de B. ¿Qu´ e cantidad de compuesto C hay a los 15 minutos? Interprete la soluci´on cuando t tiende a .
∞
Se toma x(t) los gramos compuestos C en determinado tiempo t, x(0) = 0 y x(10) = 30g, entonces para conocer la cantidad de gramos C empleamos: x5 gr de A y 45 x gr de B. Por tanto tenemos que las cantidades sobrantes de A y B en cualquier momento ser´ıan: x 4 50 y 32 x 5 5 Lo cual nos da: dx x 4 = k 250 32 x dt 5 5 Luego tenemos: 1/210 1/210 dx + dx = kdt 250 x 40 x Integrando: 250 x ln = 210kt + C 40 x 250 x = Ce 210kt 40 x Si t = 0 y x = 0, entonces C = 25 4 . Cuando x = 30 gr, t = 10, entonces: 1 88 210k = ln = 0,1258 10 25 Entonces tenemos que: 1 e−0,1258t x(t) = 1000 25 4e−0,1258t 1 50 40 = 42 gramos de A 5 4 32 40 = 0 gramos de B 5
⇒ −
⇒
⇒
⇒− ⇒ ⇒
⇒ t = 24, 18 a˜nos 4. Al sacar un pastel del horno, su temperatura es 300◦ F. Despu´es de 3 minutos, 200◦ F. ¿En cu´anto tiempo se enfriar´a hasta la temperatura 70 ◦ F?
−
−− − − −
−
−
−
⇒
⇒ dT = k(T − 70), T (0) = 300 dt ⇒ T dT − 70 = kdtkt⇒ ln(T − 70) = kt + C ⇒ T = 70 + Ce Sustituyendo por los valores iniciales tenemos: ⇒ 300 = 70 + C ⇒ C = 2301 13 ⇒ T = 70 + 230ekt ⇒ k = 3 ln 23 = 0,19018 ⇒ T (t) = 70 + 230e−0,19018t
⇒ ⇒ − ⇒ −
− −
6. Suponga que un alumno es portador del virus de la gripe y regresa a su escuela, donde hay 1000 estudiantes. Si se supone que la raz´on con que se propaga el virus es proporcional no s´olo a la cantidad de alumnos infectados x , sino tambi´en
⇒ t = 32,3 min aprox. 11
a la cantidad de alumnos no infectados, determine la cantidad de alumnos infectados 6 d´ıas despu´es, si se observa que a los 4 d´ıas x(4) = 50.
8. En un tanque con 1000 litros de agua se vierte soluci´ on salina a una raz´on constante de 6L/m , la soluci´ on del tanque se mantiene homog´enea y sale de este a una raz´on de 6L/m, si la concentraci´ on de sal que entra al tanque es de 0.1Kg/L, en qu´e momento la concentraci´ o n de sal en el tanque llegar´a a 0.05kg/L. L kg kg 6 0,1 = 0,6 min L L L x(t) kg kg 0,6 = 0,6 min 1000 L min
⇒ dx = kx(1000 − x), dt
x(0) = 1 Si usamos la sustituci´on a = 1000k y b = k obtenemos: 1000k 1000 x(t) = = − 1000kt k + 999e 1 + 999e−100kt Si usamos la condici´on x(4) = 50, para calcular k. 1000 1 19 50 = 1000k = ln − 4000k 1 + 999e 4 999 1000k = 0,9906 1000 x(t) = 1 + 999e−0,9906t 1000 x(6) = 1 + 999e−5,9436
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒
⇒
−
⇒ ⇒ ⇒
i(0) = 0 Al multiplicar la ecuaci´ on por 2 y hallar el factor integrante obtenemos:
⇒ e = 24e20t dt ⇒ i = 65 + Ce −20t
Sustituyendo por los valores iniciales i(0) = 0 entonces: 6 6 0 = + C C = 5 5 6 6 −20t i(t) = e 5 5 e−(R/L)t i(t) = e(R/L)t dt + Ce −(R/L)t L Donde E (t) es la fuente de energ´ıa Si E (t) = E 0 , entonces:
⇒
i(t) =
500
3
500
3
500
9. Determinar la temperatura T (t) de un edificio, si la raz´ on de calentamiento adicional es H (t) = H 0 , no hay calentamiento ni enfriamiento (U (t) = 0) y la temperatura exterior M var´ıa como una onda senoidal en un tiempo de 24h, con un m´ınimo en t = 0 y un m´ aximo t = 12.
−
−3t
⇒ t = 115,5min
⇒ 12 di + 10i = 12, dt
⇒
x(0) = 0
− −
Por lo tanto la concentraci´on salina en el tanque en un tiempo t es: − t x(t) = 0,1 1 e 100 Finalmente: − t 0,1 1 e = 0,05 500ln2 t= 3
7. Un acumulador de 12 voltios se conecta a un circuito RL en serie, con una inductancia de 1/2 henrios y una resistencia de 10Ω. Determine la corriente i(t), si la corriente inicial es 0.
⇒ ⇒ ⇒
∗
3x ⇒ dx = 6− , dt 5000 ⇒ x(t) = 100 1 − e
⇒ x(6) = 276
20
∗
⇒π
M (t) rad/h,
= M 0 B cos(wt), M0 = T em exterior
−
w
=
12 ⇒ Q(t) = k (M 0 − B cos(wt)) + H 0
−
Haciendo H 0 B0 = M 0 + k Podemos escribir Q(t) = como: Q(t) = k (M 0 B cos(wt)) Donde 1 kB0 = Q(t) dt 24 Por tanto
⇒
E 0 + Ce −(R/L)t R
⇒
−
⇒
⇒ 12
T (t) = e−kt
kt
e (kB0
− k cos(wt)) dt + C
⇒ T (t) = B0 − BF (t) + Ce −kt
Sus ra´ıces son: 8 + 64 r1 =
− ⇒ ⇒ r2 = −8 −
Para hallar C : cos(wt) + (w/k) sin(wt) F (t) = 1 + (w/k)2
⇒ B ⇒ C = T 0 − B0 + BF (0) = T 0 − B0 + 1 + (w/k) 2 10. Suponga que en el instante t = 0, 10.000 personas en una ciudad de poblaci´on M = 100,000, han o´ıdo un rumor. Despu´es de 1 semana el n´umero P (t) de aquellas que han escuchado el rumor ha aumentado a P (1) = 20,000, si se supone que P (t) satisface la ecuaci´on log´ıstica, ¿cu´ anto tiempo pasar´a para que el 80% de la poblaci´on haya o´ıdo el rumor? MP 0 P (t) = P 0 + (M P 0 )e−kMt Sustituyendo P 0 = 10 y M = 100(103 ) en la ecuaci´ on anterior tenemos: 1000 P (t) = 10 + 90e−100t Luego una nueva sustituci´on: t = 1 y P = 20, tenemos: 1000 20 = 10 + 90e−100kt Para hallar k: 4 i 9 e−100k = k= ln = 0,008109 9 1000 4 1000 Con P (t) = 80: 80 = t= 10 + 90e−100kt ln(36) ln(36) = 100 ln(9/4)
⇒
−
⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒
⇒
⇒ t = 4,42 ´o aprox. 4 semanas 3 d´ıas. Ejercicios de repaso ecuaciones lineales de segundo orden Determine una soluci´on general de la ecuaci´on diferencial dada. 1. y + 8y
− 9y = 0
⇒
−
13
(4)(11)( 9)
− =1 2 (4)(11)(−9) = −9
64
2
y(t) = C 1 et + C 2 e−9t
⇒
2. 49y + 14y + y = 0 La ecuaci´ on auxiliar es: 2 49r + 14r + 1 = 0 Sus ra´ıces son: 14 + 196 (4)(49)1() r1 = = 98 14 196 (4)(49)1() r2 = = 98 r1 = r2
⇒
− − −
⇒ ⇒ ⇒
⇒ y(t) = C 1e 3. 4y
−t 7
− −
+ C 2 te
− 17 − 17
−t 7
− 4y + 10y = 0
La ecuaci´ on auxiliar es: 2 4r 4r + 10 = 0 Sus ra´ıces son: 4 + 16 (4)(4)(10) 1 3 = + i r1 = 8 2 2 4 16 (4)(4)(10) 1 3 r2 = = i 8 2 2 Con α = 12 , y β = 32 .
⇒
−
− − −
⇒ ⇒
⇒ y(t) = C 1e 4. 9y
t 2
cos
−
t 3t 3t + C 2 e sin 2 2 2
− 30y + 25y = 0
La ecuaci´ on auxiliar es: 9r2 30r + 25 = 0 Sus ra´ıces son: 30 + 900 (4)(9)(25) 5 r1 = = 18 3 30 900 (4)(9)(25) 5 r2 = = 18 3
⇒ ⇒ ⇒
La ecuaci´on auxiliar es: r+ 8r 9 = 0
− −
−
−
− −
⇒ r1 = r2 ⇒ y(t) = C 1e 5. 6y
5t 3
+ C 2 te
La ecuaci´ on auxiliar es: 25r 2 + 20r + 4 = 0 Sus ra´ıces son: 20 + 400 (4)(25)(4) r1 = = 50 20 400 (4)(25)(4) r1 = = 50 r1 = r2
⇒
5t 3
⇒ ⇒ ⇒
− 11y + 3y = 0
La ecuaci´on auxiliar es: 6r 2 11r + 3 = 0 Sus ra´ıces son: 11 + 121 (4)(6)(3) 3 r1 = = 12 2 11 121 (4)(6)(3) 1 r2 = = 12 3
⇒
−
⇒ ⇒
−
⇒ y(t) = C 1e 6. y + 8y
3t 2
⇒ ⇒
9. 16z
⇒
3
−
√
⇒ y(t) = C 1e(−4+
−
2)t
+ C 2 e(−4−
−4 +
2
2)t
⇒ y(t) = C 1e
−t 3
cos
5
7t 4
−
+ C 2 te
7t 4
⇒
− −
− 25 − 25
−2t
La ecuac´ıon auxiliar es: r2 + 11 = 0 Sus ra´ıces son: (4)(1)(11) r1 = = 11i 2 (4)(1)(11) r2 = = 11i 2 Con α = 0 y β = 11.
⇒ ⇒
⇒
− − −
+ C 2 te
10. u + 11u = 0
√
La ecuaci´on auxiliar es: 36r2 + 24r + 5 = 0 Sus ra´ıces son: 24 + 576 (4)(36)(5) r1 = = 72 24 576 (4)(36)(5) r1 = = 72 Con α = 13 , y β = 16 .
⇒ ⇒
5
−
⇒ z(t) = C 1e
√
7. 36y + 24y + 5y = 0
−
−2t
− −
− 56z + 49z = 0
⇒ ⇒ ⇒
− 14y = 0
− − √ − −
La ecuaci´ on auxilar es: 2 16r 56r + 49 = 0 Sus ra´ıces son: 56 + 3136 (4)(16)(49) 7 r1 = = 32 4 7 r2 = 4 r1 = r2
t
La ecuaci´on auxiliar es: r2 + 8r 14 = 0 Sus ra´ıces s´on: 8 + 64 (4)(1)( 14) r1 = = 2 r2 = 4 2
⇒
⇒ y(t) = C 1e
− −
+ C 2 e
− − −
− 13 + 16 i − 13 − 16 i
− − −
⇒ u(t) = C 1 cos
√
√ √
√
11t + C 2 sin 11t
11. t2 x (t) + 5x(t) = 0,
−t t t + C 2 e sin 6 6
√ −
t> 0
⇒ tdx= es dx dt dx ⇒ ds = dt ds = t dt 2 dx d2 x ⇒ ddsx2 = dsd dx = + t2 2 ds ds dt
3
8. 25y + 20y + 4y = 0
14
2
2
⇒ t2 ddtx2 + 5x = dsd 2 − dx + 5x = 0 ds ⇒ r2 − r + 5 = 0 √19 − 1 + 1 − (4)(1)(6) 1 ⇒ r1 = √ 2 = + i 2 2 ⇒ r2 = 12 − 219 i √
−2 , y A = 1 . Donde A0 = 289 1 17 t 2 t y p (t) = e 17 289
⇒
Con α = 12 , y β =
⇒ y(s) = C 1e ⇒ x(t) = C 1t 12. 2y
s 2
1 2
cos
cos
19 2 .
√19 2
√19 2
s
+ C 2 e sin 2
1 2
+ C 2 t sin
√19
14. v
2
⇒ y(t) = C 1e
−5t 2
t 17
⇒ −
2
− − −
−
−
√ √
⇒ v(t) = C 1e2t cos
√
La ecuaci´ on auxliar es: 3 3r + 10r2 + 9r + 2 = 0 Al dividir entre (r + 1) tenemos: (r + 1)(3r2 + 7r + 2) = 0 Sus ra´ıces son: r1 = 1 7 + 49 (4)(3)(2) 1 r2 = = 6 3 7 49 (4)(3)(2) r3 = = 2 6
−
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
+ C 2 e2t + C 3 te2t
− − − −
⇒
⇒
− −
−
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒
15
−
3
−
−
3i
3t + C 2 e2t sin 3t
La ecuaci´on auxiliar asociada es: r2 + 16 = 0 Sus ra´ıces son: −t y(t) = C 1 e−t + C 2 e + C 3 e−2t (4)(1)(16) r1 = = 4i 2 (4)(1)(16) r2 = = 4i 16. y + 3y + 5y + 3y = 0 2 La no homogeneidad tet sugiera la forma: y p = (A1 t + A0 )et La ecuaci´ on auxiliar es: 3 y p = A1 et + (A1 t + A0 )et r + 3r2 + 5r + 3 = 0 y p = 2A1 et + (A1 t + A0 )et Al dividir entre (r + 1) tenemos: t t y + 16y = 2A1 e + (A1 t + A0 )e + 16(A1 t + (r + 1)(r2 + 2r + 3) = 0 t A0 )e Sus raices son: = et (2A1 + 17A0 ) + 17A1 tet r1 = 1
⇒ ⇒
√ 3i √
15. 3y + 10y + 9y + 2y = 0
13. y + 16y = tet
− − −
−
− 4v + 7v = 0
⇒ ⇒
− −
−
La ecuaci´ on auxiliar es: r2 4r + 7 = 0 Sus ra´ıces son: 4 + 16 (4)(1)(7) r1 = = 2+ 2 4 16 (4)(1)(7) r2 = =2 2 Con α = 2 y β = 3.
√19
La ecuaci´on auxiliar es: 2r 3 3r2 12r + 20 = 0 Al dividir el polinomio entre (r 2) tenemos: (r 2)(2r2 + r 10) = 0 r1 = 2 1 + 1 (4)(2)( 10) r2 = =2 4 1 1 (4)(2)( 10) 5 r3 = = 4 2
⇒ y(t) = C 1 cos4t + C 2 sin4t +
− 3y − 12y + 20y = 0
⇒ − − ⇒ − − ⇒ − − ⇒ − − − ⇒
2 289
et
√ ⇒ r2 = −2 + √ 4 −2 (4)(1)(3) = −1 + 2i ⇒ r3 = −1 − 2i √ √ ⇒ y(t) = C 1e−t + C 2e−t cos 2t + C 3e−t sin 2t
17. y + 10y
La ecuaci´ on auxiliar es: 4r3 + 8r2 11r + 3 = 0 Al dividir entre (r + 3) tenemos: (r + 3)(4r2 4r + 1) = 0 Sus ra´ıces son: r1 = 3 4 + 16 (4)(4)(1) 1 r2 = = 8 2 1 r3 = = r2 2
⇒ ⇒
⇒ − ⇒ − ⇒ − ⇒ − − ⇒ −
⇒ y(t) = C 1et + C 2e
−t 2
cos
√43 2
20. 2y
√43 i √243
1 + 2 1 2
− − −
+ C 3 e
2
−t 2
sin
i
√43 2
⇒ ⇒ ⇒
19. 4y + 8y
+ C 1 + C 2 t + C 3 t + C 4 t
−
−
− −
− √ √ −
⇒ y(t) = C 1e
⇒ ⇒
⇒ y(t) = t
−
Ahora consideramos la ecuaci´on auxiliar asociada. 2r2 1 = 0 Sus ra´ıces son: 2 r1 = 2 2 r2 = 2
Ahora consideramos la ecuaci´on auxiliar asociada. r4 = 0 r1,2,3,4 = 0 3
t 2
−
− − − − − − − − − ⇒ −
⇒
2
+ C 3 te
− y = t sin t
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
Consideramos una solucion de la forma: y p = At5 y p = 5At4 y p = 20At3 y p = 60At2 y p(4) = 120At = 120t A =1 5 y p (t) = t
5
t 2
La no homogeneidad t sin t sugiere la forma: y p = (A1 t + A0 )cos t + (B1 t + B0 )sin t y p = A1 cos t (A1 + A0 )sin t + B1 sin t + (B1 t + B0 )cos t y p = 2A1 sin t+2B1 cos t (A1 t+A0 )cos t (B1 t + B0 )sin t 2y y = 4A1 sin t + 4B1 cos t 3(At + A0 )cos t 3(B1 t + B0 )sin t = sint( 4A1 3B0 ) + cos t(4B1 3A0 ) + t sin t( 3B1 ) + t cos t( 3A1 ) = t sin t Donde A0 = −94 , A1 = 0, B0 = 0, B1 = −31 . 9 1 y p (t) = cos t sin t 4 3
18. y (4) = 120t
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
−
⇒ y(t) = C 1e−3t + C 2e
−
− −
⇒ ⇒
− 11y = 0
La ecuac´ıon auxiliar es: r3 + 10r 11 = 0 Al dividir entre (r 1) tenemos: (r 1)(r2 + r + 11) = 0 Sus ra´ıces son: r1 = 1 1 + 1 (4)(1)(11) r2 = = 2 1 1 (4)(1)(11) r3 = = 2 √ Con α = 12 , y β = 243 .
− − ⇒ −
21. y
√
2 2
t
+ C 2 e
√ − 2 2
t
− 49 cos t − 13 t sin t
− 3y + 7y = 7t2 − et
La ecuaci´ on auxiliar asociada es: 2 r 3r + 7 = 0 Sus ra´ıces son:
11y + 3y = 0
⇒ − 16
− − −
3+
9
(4)(1)(7)
√ √
3 19 r1 = = + i 2 2 2 3 9 (4)(1)(7) 3 19 r2 = = i 2 √ 2 2 Con α = 32 , y β = 219 .
⇒ −34A + 8B = 546 ⇒ −8A − 34B4641 =0 Donde A = − 305 , B = 1092 305 . 4641 ⇒ y p(t) = − 305 sin t + 1092 cos t 305
Ahora por principio de superposici´on consideramos primero: y 3y + 7y = 7t2 La soluci´ on particular es de la forma: y p = A2 t2 + A1 t + A0 y p = 2A2 t + A1 y p = 2A2 y 3y + 7y = (2A2 3A1 + 7A0 ) + (7A1 6A2 ) + 7A2 t2 = 7t2 Con A0 = −4945 , A1 = 67 , A2 = 1 6 45 y p (t) = t2 + t 7 49
Ahora consideramos la ecuaci´on auxiliar asociada. r2 8r 33 = 0 Sus ra´ıces son: 8 + 64 (4)(1)( 33) r1 = = 11 2 8 64 (4)(1)( 33) r1 = = 3 2
⇒ ⇒
−
⇒ − ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ −
−
⇒
⇒ ⇒
−
⇒ − ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ − ⇒
⇒ y(t) = C 1e 6 +t2 + t 7
−
8y
cos
√19 2
+ C 2 e
3t 2
sin
⇒
Ahora resolvemos la ecuaci´on usando el m´etodo de variaci´on de par´ametros. y p (θ) = v1 (θ)cos4θ + v2 (θ)sin4θ
⇒
√19
Obtenemos valores para v1 y v1 (θ)cos4θ + v2 (θ)sin4θ = 0 4v1 (θ)cos4θ + 4v2 (θ)sin4θ = tan 4θ
− 33y = 546 sin t
La no homogeneidad 546 sin t sugiere la forma: y p = A sin t + B cos t y p = A cos t B sin t y p = A sin t B cos t y 8y 33y = A sin t B cos t 8A cos t + 8B sin t 33A sin t 33B cos t = sin t(8B 34A) + cos t( 8A 34B) = 546sin t
−
v2 .
⇒ ⇒
2
1 t − 45 − e 49 5
⇒ ⇒ − ⇒ − − ⇒ − − − − − ⇒ −
−
Primero al resolver la ecuaci´on homog´enea tenemos: yh (θ) = C 1 cos4θ + C 2 sin4θ
−
3t 2
− −
23. y (θ) + 16y(θ) = tan4θ
−
− −
− − −
4641 ⇒ y(t) = C 1e−3t + C 2e11t + 1092 cos t − sin t 305 305
−
Ahora consideramos: y 3y + 7y = et La soluci´ on particular es de la forma: y p = Aet y p = Aet y p = Aet y 3y + 7y = 5Aet = et Con A = 15 . 1 t y p = e 5
22. y
⇒ − −
− − −
17
Multiplicamos la primera ecuaci´o n por sin4θ y la segunda por 14 cos4θ y tenemos: 1 1 v2 (θ) = sin4θ v2 = cos4θ + C 3 4 16 1 v1 (θ) = v2 tan4θ = (sec 4θ cos4θ) 4 1 1 v1 (θ) = ln sec4θ+tan4θ + sin4θ + 16 16 C 4 1 1 y p (θ) = ln sec4θ+tan4θ + sin4θ 16 16 1 cos4θ 16
⇒ ⇒ ⇒
⇒
−
− −
|
|
⇒
−
|
|
−
−
−
⇒ y p(θ) = − 161 cos4θ ln | sec4θ+tan4θ|
⇒ (2r − 3)2 = 0
Sus raices son: r1 = r2 =
Retomamos las dos soluciones obteniendo: y(θ) = yh (θ) + y p (theta)
Una soluci´ on particular para la ecuaci´on diferencial dada es: y p = Ae5t + Bte 3t y p = 5Ae5t + 3Bte 3t y = 25Ae5t + 9Bte 3t 4y 12y + 9y = 49Ae5t + 9Bte 3t = e5t + e3t 1 Donde A = 49 y B = 19 . 1 5t 1 3t y p (t) = e + te 49 9
⇒
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⇒ y(θ) = C 1 cos4θ + C 2 sin4θ − 161 cos4θ ln | sec4θ+tan4θ| 24. 10y + y
− 3y = t − e
t 2
⇒ y(t) = C 1e
− −
−
−
− −
−
⇒
− −
Ahora consideramos: t 10y + y 3y = e La soluci´ on particular es de la forma: t y p = tAe t t t y p = Ae + Ae 2 t t t y p = Ae + Ae 4 t t 5t t 10y + y 3y = 10Ae + Ae + Ae + 2 t t t Ae 3tAe 2 t t = 11Ae = e 1 t 1 Donde A = 11 y p = te 11
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
−
2
2
2
2
2
−
2
−
⇒
2
2
2
2
2
−
2
− ⇒
⇒ y(t) = C 1e 25. 4y
−
2
t 2
+ C 2 e
−
−3t 5
2
− 13 t − 19 − 111 te
t 2
− 12y + 9y = e5t + e3t
La ecuaci´on auxiliar es: 4r 2 12r + 9 = 0
⇒
−
⇒
Por el principio de superposici´on consideramos primero: 10y + y 3y = t La soluci´ on particualr es de la forma: y p = A1 t + A0 y p = A1 y p = 0 10y + y 3y = A1 3A1 t 3A0 (A1 3A0 ) 3A1 t = t 1 1 Donde A1 = 13 , y A0 = −91 y p (t) = t 3 9
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
3 2
−
18
3t 2
+ C 2 te
3t 2
+
1 5t 1 3t e + te 49 9