UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN CON DERIVE Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuación de la forma
y′ = F ( x, y) , donde F es una función que depende de las variables x e y . Esta clase de ecuaciones diferenciales son de las más sencillas, y su resolución se puede realizar utilizando diversas técnicas. Describimos a continuación las más importantes. Derive incorpora los métodos de resolución de EDO (ODE en inglés) por medio del fichero de utilidad ODE1.MTH (EDO de primer orden) y ODE2.MTH (EDO de segundo orden). Cargue
estos
a
través
del
menú
ARCHIVO>LEER>UTILIDAD y habilitara los
correspondientes mandatos, cargue también el fichero DIF APPS, y lea las ayudas asociadas en caso de duda.
Suponiendo que p ( x, y) + q ( x, y) y´ =0 es una EDO en las variables x e y el comando
DSOLVE1_GEN( p( x, y ) , q( x, y ) , x, y, c) devuelve la solución general de la ecuación usando la constante simbólica c. Nótese que la mayoría de las ecuaciones diferenciales de primer orden se pueden escribir de esa forma.
DSOLVE1_GEN puede resolver ecuaciones diferenciales separables, homogéneas, exactas, lineales y algunos otros tipos de EDO. Si la ecuación no es de ninguno de los tipos anteriores, DSOLVE1_GEN devuelve la palabra ”inapplicable”. Observe que como es habitual la solución de una EDO posiblemente venga dada en forma implícita.
Si lo que se necesita es por el contrario la solución particular de una EDO que pase por un punto determinado la misma utilidad incorpora el mandato DSOLVE1( p, q, x, y, x 0 , y 0), similar a DSOLVE1_GEN, pero nos devuelve la solución particular para las condiciones iníciales y = y 0 en x = x 0. 0. Información similar encontrará para el mandato DSOLVE2.
Ejemplo 1: Obtenga la solución general de la EDO 2 xy + (1 + x 2 ) y′ = 0 utilizando como constante de integración k , represente gráficamente la solución para k = 0,5 de 0, 5(pasos) Solución:
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Se escribe en la barra de expresiones:
DSOLVE1_GEN(2XY,(1+X^2),X,Y,K)
Para graficar la solución:
VECTOR(x^2 y + y = k, k, 0, 5, 0.5) ∙
DSOLVE1(p, q, x, y, x0, y0) son similares a DSOLVE1_GEN, pero, ellos dan una solución particular para la condición inicial y=y0 en x=x0. Estas condiciones iníciales, pueden ser números, variable o expresiones generales.
Ejemplo 2: Obtenga la solución particular de la EDO 2 xy + (1 + x 2 ) y′ = 0 que pasa por (0
,
1).
En este ejemplo, se dan condiciones iníciales: x0 = 0, y0 = 1 se utiliza el comando anterior:
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Se escribe en la barra de expresiones:
DSOLVE1_GEN(2XY,(1+X^2),X,Y,K)
Para graficar la solución:
VECTOR(x^2 y + y = k, k, 0, 5, 0.5) ∙
DSOLVE1(p, q, x, y, x0, y0) son similares a DSOLVE1_GEN, pero, ellos dan una solución particular para la condición inicial y=y0 en x=x0. Estas condiciones iníciales, pueden ser números, variable o expresiones generales.
Ejemplo 2: Obtenga la solución particular de la EDO 2 xy + (1 + x 2 ) y′ = 0 que pasa por (0
,
1).
En este ejemplo, se dan condiciones iníciales: x0 = 0, y0 = 1 se utiliza el comando anterior:
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Ejemplo 3: Obtenga la solución general de la EDO ( x 2 + 4) y′ + 3 xy = 6 x utilizando como constante de integración k , represente gráficamente la solución para k = 0,3
Ejemplo 4: Obtenga la solución general de la EDO y′ = −e x utilizando como constante de integración k , represente gráficamente la solución para k = 0,5 de 0, 5(pasos)
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES Una ecuación diferencial de primer orden se dice que es separable si puede escribirse en dy = 0 , donde M( x ) es una función continua que sólo depende de x la forma M ( x) +N (y ) dx y N(y ) es una función continua que sólo depende de y . Para resolver este tipo de ecuaciones se utiliza el procedimiento de separación de
variables, que consiste en situar todos los términos que contienen x a la izquierda (o la derecha) del signo de igualdad, y todos los términos que contienen y en el lado contrario. A continuación se integran ambos miembros de la igualdad, cada uno respecto de la variable
∫
correspondiente.
En
consecuencia,
la
solución
viene
dada
∫
por M ( x) dx + N (y )dy =c Una ecuación diferencial de primer orden de la forma
dy dx
= g ( x ) h( y) se dice que es
separable o que tiene variables separables.
El comando utilizado en derive es: SEPARABLE_GEN(M( x ) ,N (y ) ,x,y,k) este devuelve la solución general de la ecuación usando la constante simbólica k . ), donde la expresión M(x) no contiene la y y el N(y) es una expresión que no contiene el x.
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SEPARABLE (M, N, x, y, x0, y0) esta orden es similar a la orden SEPARABLE_GEN, pero da una solución particular para las condiciones iníciales y=y0 en x=x0.
Ejemplo 5. Resolver la ecuación y´= e
( x+ y)
+ ey
y encontrar la solución que pasa por el
punto (0, 1).
Ejemplo 6. Resolver la ecuación diferencial y´=
dy dx
=
1 x+2
con la condición y (2)
=0
Gráfica de la solución en 2D.
Muchos problemas físicos dependen de alguna manera de la geometría. Uno de ellos es la salida de líquido de un tanque a través de un orificio situado al fondo del mismo. La forma geométrica del recipiente determina el comportamiento físico del agua. Considere un recipiente lleno de agua hasta una altura h. Suponga que el agua fluye a través de un orificio de sección transversal “a”, el cual está ubicado en la base del tanque. Lic. César Garrido Jaeger
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Se desea establecer la altura de líquido en el tanque en cualquier instante t y el tiempo que este demora en vaciarse. Sea h(t) la altura de líquido en el tanque en cualquier instante t y V(t) el volumen de agua del tanque en ese instante. La velocidad v del agua que sale a través del orificio es: v=
2 gh donde g es la gravedad. Esta ecuación representa la velocidad que una gota de
agua adquiriría al caer libremente desde la superficie del agua hasta el agujero. En condiciones reales, hay que tomar en cuenta la contracción que sufre un chorro de agua en un orificio, por lo que se tendrá v = c 2 gh donde c es el coeficiente de descarga comprendido entre 0 y 1 (0 < c < 1).
OBSERVACIÓN Cuando el valor del coeficiente de descarga c no se indica, se asume que c = 1 Según la Ley de Torricelli, la razón con la que el agua sale por el agujero (variación del volumen de líquido en el tanque respecto del tiempo) se puede expresar como el área “a” del orificio de salida por la velocidad v del agua drenada, esto es: dv dv = − av ⇒ = − ac 2 gh dt dt Si A(h) denota el área de la sección transversal horizontal del tanque a la altura h, aplicando el método del volumen por secciones transversales se obtiene h
v=
∫
dv
= A( h)dh ⇒ A(h)dh = −ac 2 gh
dt
0
A( h) dh Derivando respecto de t y aplicando el teorema fundamental del cálculo
Sean h la altura de líquido en el tanque en cualquier instante t, “a” el área del orificio de salida el cual está ubicado al fondo del tanque, g la gravedad, C el coeficiente de descarga y A(h) el área de la sección transversal del tanque. La ecuación diferencial asociada al dh problema de vaciado del tanque es A( h) = − ac 2 gh dt Esta es una ecuación diferencial de variables separables, la cual al resolverse sujeta a la condición de conocer la altura inicial h0 para el tiempo t = 0, permite obtener la ley de variación de la altura de líquido en el tanque en función del tiempo. Si, además, hay dh aporte de líquido al tanque, la ecuación diferencial es A( h) = Q − ac 2 gh dt
Ejemplo.7 Un cilindro recto circular de 10 pies de radio y 20 pies de altura, está lleno con agua. Tiene un pequeño orificio en el fondo de una pulgada de diámetro ¿Cuándo se vaciará todo el tanque? La ecuación diferencial asociada a los problemas de Vaciado de tanques es: dh A(h) = − ac 2 gh dt
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El diámetro del orificio por donde fluye el agua fuera del tanque es de 1 pulgada, por lo tanto el radio es ½ pulgada. Como las dimensiones del tanque están dadas en pie, utilizando la equivalencia de 1 pulgada =1/12 pies y puesto que el área del orificio de 2 salida es el área de una circunferencia π (radio) , resulta que el área “a” del orificio de 2
π ⎡1⎤ salida es a = π ⎢ ⎥ = pie 2 El coeficiente de descarga “c” no está dado por lo tanto ⎣ 24 ⎦ 576 pies se asume c = 1 y la gravedad es g = 32 seg 2
Para determinar A (h), que es el área de la sección transversal del tanque en función de la altura “h”, obsérvese en la Fig. 1 que las secciones transversales del tanque son circunferencias de radio constante r = 10 pies. Por lo tanto, el área de la sección transversal es la misma, independientemente de la altura h a la cual se efectúe el corte. Así , dh A(h) = π (10) 2 = 100π pie 2 ⇒ sust .en A h( ) = − ac 2 gh dt 8π 1 π 100π dh = − 64hdt ⇒ 100π dh = − hdt ⇒ 100dh = − hdt 576 576 72 La ecuación dada es la ecuación diferencial asociada al problema; la misma debe resolverse sujeta a la condición que para el tiempo t0 ( seg ) , la altura inicial es h0 = 20( pies ) , pues en el enunciado se dice que el tanque está totalmente lleno. La ecuación diferencial es una ecuación diferencial de VARIABLES SEPARABLES. Ahora aplicamos derive.
Para determinar el valor de la constante k de integración, se despeja y luego se usa la condición inicial, esto es, se sustituye en la ecuación t = 0 seg. y h = 20 pies, resultando: Lic. César Garrido Jaeger
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Para determinar el tiempo que demora en vaciarse el tanque, es decir, el tiempo para el cual deja de haber líquido en el tanque, se debe sustituir h = 0 en la ecuación #32
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ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES CON DERIVE DEFINICIÓN: Si una ecuación M ( x, y ) dx +N (x ,y )dy dy
+
dx
P ( x ) y =Q (x
)
=
0 puede escribirse en la forma
Donde P(x) y Q(x) son funciones dadas de x, se llama una ecuación
diferencial lineal de primer orden. Una vez, que la ecuación diferencial se coloca de la forma lineal
dy
+
dx
P ( x ) y =Q (x ) , se
identifican las funciones P ( x ) ;Q (x ) y luego se activan los siguientes comandos:
LINEAR1_GEN (P(x), Q(x), x, y, C) Da una solución general en términos de constante simbólica C. Si es de la forma
dx
+
dy
P ( y ) x =Q (y
)
LINEAR1_GEN (P(Y), Q(Y), y, x, c) En los casos que den las condiciones iniciales en la ecuación diferencial
LINEAR1(P(x), Q(x), x, y, x0 ,y0) EJEMPLO 1. Resolver y′ +
1 x
y
=
x3
Solución: se puede observar que la ecuación diferencial dada está de la forma dy dx
+
P ( x ) y =Q ( x ) donde: P ( x ) =
1 x
; Q ( x ) = x3
Ahora se busca la familia de curvas de las soluciones Lic. César Garrido Jaeger
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EJEMPLO 2. Resolver la ecuación xy′ − 4 y + 2 x 2 + 4 = 0 y hallar la solución particular que pasa por el punto (1, 1) Solución: se puede observar que la ecuación diferencial dada no está de la forma dy dx
+
P ( x ) y =Q (x ) por lo tanto, se debe hacer los artificios necesarios para transformarla
Debido a que el coeficiente de la derivada debe ser uno, entonces dividimos la expresión entre x y despejamos para obtener la forma requerida.
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Donde: P ( x ) =
−4
x
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2
;Q ( x) =
EJEMPLO 3. Resuelva
dy dx
−2 x − 4
x
1
=
x+ y
2
Se observa que NO es lineal en la variable Y; entonces la forma reciproca, si lo es en X
dx dy
= x +
y
2
o bien
dx dy
−x=
Donde: P ( y ) = − x; Q ( y ) = y
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y
2
2
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EJEMPLO 4. Resuelva cos x
dy dx
+
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ysenx = 1
Solución: se puede observar que la ecuación diferencial dada no está de la forma dy + P ( x ) y =Q (x ) por lo tanto, se debe hacer los artificios necesarios para transformarla dx
Debido a que el coeficiente de la derivada debe ser uno, entonces dividimos la expresión entre cos(x) y despejamos para obtener la forma requerida
cos x dy cos x dx
+ y
senx
cos x
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=
1 cos x
⇒
dy dx
+ y tan( x )
=
sec( x )
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ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS CON DERIVE CRITERIO PARA UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL EXACTA Sean continuas M ( x, y ) y N x( y,
),
con derivadas parciales continuas en una región
rectangular, R, definida por a < x < b, c < y < d . Entonces, la condición necesaria y suficiente para que M ( x, y ) dx +N x( y, dy )
sea una diferencial exacta es que
MÉTODO DE SOLUCIÓN Dada una ecuación de la forma M ( x, y ) dx + N (x ,y )dy determina si es válida la igualdad
∂ M ∂ y
=
∂ M
=
∂ y
∂N ∂x
= 0, se
∂N ∂x
Una vez, que comprobamos que es una EDO exacta, activamos el siguiente comando:
EXACT_GEN (M(x,y), N(x,y), x, y, k) Da una solución general en términos de constante simbólica K.
EXACT(M, N, x, y, x0, y0) Da una solución implícita, tomando en cuenta las condiciones iniciales, si la ecuación la distingue como exacta, si no, da el mensaje “inaplicable”.
( xy − 1) Ejemplo 1. Resuelva y ′ = (1 − x y ) 2
2
(
)
(
)
2
2
2 2 Solución: xy − 1 dx + x y − 1 dy = 0 tenemos: Μ( x, y ) = xy − 1, Ν( x, y ) = x y − 1
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Ejemplo 2. Resuelva 2 xy + ( x 2 + 1) y ′ = 0
(
2
)
2
Solución: 2 xydx + x + 1 dy = 0 tenemos: Μ( x, y ) = 2 xy Ν( x, y ) = x + 1
Si suponemos que la curva pasa el punto (1.2) se tiene:
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Ejemplo 3. Resolver ( e 2 y
−
)
(
Solución: tenemos: Μ ( x, y) = e
Ejemplo 3. Resolver
dy dx
=
(
y cos x y dx + 2 xe 2 2 y
−
y cos x y )
y
− x cos xy + 2 y
Ν ( x,
) dy = 0.
y) = ( 2 xe y − x cos xy + 2 y ) 2
x − y cos x senx + y
Solución: ( y cos x − x)dx + ( senx + y)dy = 0 ⇒ M (x ,y ) = ( y cos x − x); N (x y, ) = ( senx + y)
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Ejemplo 4. Resolver: cos xdy − ( 2 ysenx − 3) dx = 0 Solución: cos xdy + ( 3 − 2 ysenx)dx = 0; M (x ,y ) = ( 3 − 2 ysenx) ; N(x ,y ) = cos x
Por lo tanto no es una EDO exacta
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS CON DERIVE Una ecuación diferencial de primer orden:
M ( x, y ) dx + N (x ,y )dy
=0
Es homogénea si los coeficientes M y N a la vez, son funciones homogéneas del mismo grado. Este tipo de ecuaciones diferenciales se convierten en ecuaciones separables tras un cambio de variables. Concretamente si y ′ = F ( x , y ) es una ecuación homogénea, entonces el cambio de variable
y
=
ux ,
donde
u
es una función derivable de
x ,
ecuación anterior en una nueva ecuación diferencial en las variables
transforma la x
y
u
que es
separable. Este tipo de ecuación diferencial homogénea, significa que es de la forma
dy
=
dx
r ( x, y )
donde r es una función tal que r ( ax , ay ) = r ( x , y ) para todo número a. En derive la orden HOMOGENEOUS_GEN (r, x, y, c) da una solución general en términos de la constante simbólica c si r es homogénea. De igua forma la orden HOMOGENEOUS(r, x, y, x0, y0), da una solución particular dada las condiciones iniciales de la ecuación diferencial
Ejemplo 1. Resolver la ecuación diferencial y′ =
Para verificar si es homogénea y′ =
xy x
Al examinar M ( x, y ) = xy yN x( y,
2
−
y
2
⇒
) = x2 − y 2
xy x
2
−
y
2
xydx − ( x
2
−
2
y ) dy = 0
vemos que los dos coeficientes son
funciones homogéneas de grado 2. Ahora utilizamos Derive
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Ejemplo 2. Resolver la ecuación diferencial ( x + y)dx + ( y − x)dy = 0 , hallando la solución que pasa por el punto (1, 1) Al examinar M ( x, y ) = x +y yN x( y,
) = y −x
vemos que los dos coeficientes son
funciones homogéneas de grado 1.
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Para resolver este tipo de ecuaciones, DERIVE dispone de la orden:
HOMOGENEOUS ((x + y)/(x‐y), x, y, 1, 1)
Para comprobar que la solución hallada es la correcta, podemos utilizar la función
IMP_DIF(RESULTADO OBTENIDO – EDO HOMOGENEA DADA) cuyo resultado es cero, garantizando que la solución encontrada es buena. Para utilizar la función anterior es necesario haber cargado la utilidad DIF APPS.MTH. (LEER – UTILIDADAES –
DIFFERENTIATIONAPPLICATIONS.MTH)
Ejemplo 3. Resolver la ecuación diferencial
y
y
x
x
( x + ye )dx − (x e )dy = 0 , con la condición
inicial y(1) = 0
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y
Al examinar M ( x, y ) = ( x +ye ) y N x ( ,y ) = ( xe x ) vemos que los dos coeficientes son x
funciones homogéneas de grado 1.
En ocasiones no sabemos si la función r es homogénea, quizás por su complicación al no estar lo bastante simplificada. Para estos casos, DERIVE si no es homogénea da la siguiente información:
Nota: se puede resolver haciendo algunos cambios de variables.
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ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES LINEALES, TRANSFORMABLES A HOMOGÉNEAS, VARIABLES SEPARABLES Y A EXACTAS CON DERIVE
ECUACIONES DIFERENCIALES TRANSFORMABLES A HOMOGÉNEAS. Estas ecuaciones diferenciales tienen la siguiente estructura:
(ax + by + c)dx + (α x + β y + γ ) dy = 0 ⇒
⎡ (ax + by + c) ⎤ = f ⎢ ⎥ dx ⎣ (α x + β y + γ ) ⎦
dy
En forma práctica si la ecuación es reducible a homogénea se cumple que:
a
b
α β
≠0
En derive, una vez que se comprueba que el determinante es diferente de cero, se utiliza el comando siguiente:
LIN_FRAC_GEN(f, a, b, c, α, β, γ, x, y ,k) LIN_FRAC(f, a, b, c, α, β, γ, x, y ,x0,y0)(cuando estén dadas las condiciones iniciales) EJEMPLO 1: Resolver la siguiente ecuación diferencial (6 x + 4 y − 8) dx + ( x + y −1) dy = 0 (6 x + 4 y − 8)dx + ( x + y − 1)dy = 0 ⇒
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dy dx
=−
6x + 4 y − 8 x + y −1
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EJEMPLO 2: Resolver la siguiente ecuación diferencial
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dy dx
=
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3x − y − 9 x + y +1
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ECUACIONES DIFERENCIALES TRANSFORMABLES A VARIABLES SEPARABLES. En forma práctica si la ecuación es reducible a variables separables se cumple que:
a
b
α β
=0
En derive, una vez que se comprueba que el determinante es igual a cero, se utiliza el comando siguiente:
FUN_LIN_CCF_GEN(f, α, β, γ, x, y ,k) FUN_LIN_CCF(f, α, β, γ, x, y ,x0,y0) (cuando estén dadas las condiciones iniciales) EJEMPLO 3: Resolver la siguiente ecuación diferencial ( x + y + 1)dx + (2 x + 2 y − 1) dy = 0 Se despeja y´
dy dx
=−
x + y +1
2x + 2 y −1
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Ejemplo 4: Resolver
dy dx
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=
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2x + y −1 4x + 2 y + 5
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ECUACIONES DIFERECIALES TRANSFORMABLES A EXACTAS Algunas ecuaciones diferenciales M ( x, y) dx +N (x ,y) dy exactas, es decir no se cumple que:
=0
pueden resultar no ser
∂ M ( x, y) ∂N ( x, y) = ∂ y ∂x
En derive, dada la ecuación diferencial se comprueba si cumple con la condición anterior, (si es o no exacta), en caso de no cumplir con la condición aplicamos el siguiente comando para resolver dicha ecuación.
INTEGRATING_FACTOR_GEN(M(x,y),N(x,y),x,y,k) El resultado obtenido es la solución general de la ecuación diferencial dada, no es necesario determinar el factor integrante, luego multiplicar la EDO por ese factor, y después aplicar el comando de ecuaciones exactas. En el caso que la EDO, tenga condiciones iniciales, se aplica el siguiente comando:
INTEGRATING_FACTOR(M(x,y),N(x,y),x,y,x0,y0), para obtener la solución particular, según las condiciones dadas. También pueden utilizar este comando, pero vea bien el orden de las funciones, para no tener problemas en las soluciones.
INTEGRATING_FACTOR_GEN(N(x,y),M(x,y),y,x,k) EJEMPLO 5. Resolver
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y x
dx + ( y − ln x)dy =0 3
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No resulta ser una ecuación diferencial exacta, se aplica el comando indicado anteriormente.
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En el caso que den las condiciones iniciales y(1)= 1, al ejemplo anterior, el comando a utilizar es el siguiente:
y
EJEMPLO 6.Resolver (e
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+ e− x )dx + (e y + 2y e− x )dy = 0
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