ESPOCH
ANALISIS MATEMATICO III
TEMA: APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES A VIGAS
JOSE LUIS ULLOA CLAUDIA SOLORZAO
NIVEL 4
G1
ECUACIONES DIFERENCIALES PARA VIGAS COLUMNAS Para una más completa comprensión del problema de la viga columna resulta instructivo deducir varias relaciones diferenciales entre las variables involucradas. Con ese objetivo consideremos un elemento diferencial de viga columna como se indica en la Figura 3. Notar especialmente que el elemento se muestra en su posición deformada. Para vigas ordinarias (comportamiento lineal) cargadas transversalmente esto no es necesario. Por otro lado los desplazamientos que se tratan en este análisis son pequeños en relación con la luz de la viga columna, lo cual permite las siguientes simpli¿caciones.
dv/dx = tan § § sen,
cos = 1
ds§ dx
Con esta base, las dos ecuaciones de equilibrio son
La primera de estas ecuaciones da:
Que no cambia respecto a lo visto en el caso de plantear el equilibrio en la posición sin deformación. La segunda, despreciando in¿nitesimales de orden superior, da:
Por lo tanto, para vigas columnas, la fuerza cortante T, además de depender de la derivada del momento M como en la vigas, depende ahora de la magnitud de la fuerza axial y de la pendiente de la curva elástica. El último término es la componente de P a lo largo de las secciones inclinadas que se muestran en la Figura 3. En este desarrollo se puede utilizar la relación usual de la teoría de Àexión, v´ = M/ (EI). Substituyendo la ecuación (9.13) en la (9.12) y haciendo uso de la relación anterior, se obtienen dos ecuaciones diferenciales alternativas para vigascolumnas
Donde para simpli¿car se supuso que EI es constante y, como antes, a 2 = P/ (EI). Si P = 0, las ecuaciones (9.14) y (9.15) resultan las mismas ecuaciones vistas para vigas con carga transversal. Para las nuevas ecuaciones, las condiciones de borde son las mismas vistas con anterioridad, excepto que la fuerza de corte se obtiene de la expresión (9.13). Para referencia futura, la solución homogénea de la ecuación (9.14)-(9.15) y
sus derivadas se listan a continuación.
Estas relaciones son necesarias en algunos ejemplos para expresar las condiciones de contorno, a ¿n de evaluar las constantes C1, C2, C3 y C4. Ejemplo 2 Una barra delgada de EI constante se somete simultáneamente a momentos de extremo, M0, y a fuerzas axiales P, como se indica en la Figura 4.a.
Determinar el desplazamiento máximo y el mayor momento Àector.
Dentro del tramo no existe carga transversal alguna. Por consiguiente el término del segundo miembro de la ecuación (9.15) es nulo, y la solución homogénea de esta ecuación dada por la (9.16.a) será la solución completa. Las condiciones en el contorno son:
Puesto que M (x) = EIv, con ayuda de las ecuaciones (9.16.a) y (9.16.c) estas condiciones dan
Resolviendo las cuatro ecuaciones en forma simultánea,
Por lo tanto la ecuación de la elástica es:
El mayor momento Àector ocurre también en x = L/2. Su valor máximo absoluto
es
El mayor momento Àector ocurre también en x = L/2. Su valor máximo absoluto es
Es importante observar que en miembros delgados los momentos Àectores pueden aumentar substancialmente por la presencia de fuerzas axiales de compresión. Cuando existen tales fuerzas, aumentan los desplazamientos causados por la carga transversal, Figura 5.b. En el caso de fuerzas de tracción los desplazamientos disminuyen.
