Definición Existencia de la transformada y su inversa Funciones especiales Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Transformada de Laplace Gonzalo Palomera 1
Instituto de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Universidad Universidad Diego Portales
15 de mayo de 2014
+∞
0
f ( f (t) e−st dt
Definición Existencia de la transformada y su inversa Funciones especiales Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Propiedades de la transformada I
Definición Definición
[0, + Sea f : [0,
∞[−→ R. Entonces la integral
+∞
f ( f (t) e−st dt
0
se denomina Transformada de Laplace de f , , y se denota
L[f ]( f ](ss) , F ( F (s) , f ( f ˆ(s) siempre que la integral exista (convergencia).
(1)
Definición Existencia de la transformada y su inversa Funciones especiales Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Propiedades de la transformada I
Definición Definición
[0, + Sea f : [0,
∞[−→ R. Entonces la integral
+∞
f ( f (t) e−st dt
0
se denomina Transformada de Laplace de f , , y se denota
L[f ]( f ](ss) , F ( F (s) , f ( f ˆ(s) siempre que la integral exista (convergencia).
(1)
Definición Existencia de la transformada y su inversa Funciones especiales Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Propiedades de la transformada I
Definición Definición
[0, + Sea f : [0,
∞[−→ R. Entonces la integral
+∞
f ( f (t) e−st dt
0
se denomina Transformada de Laplace de f , , y se denota
L[f ]( f ](ss) , F ( F (s) , f ( f ˆ(s) siempre que la integral exista (convergencia).
Nota La transformada de laplace es una aplicación que lleva a una ecuación diferencial a una ecuación algebraica lineal.
(1)
Definición Existencia de la transformada y su inversa Funciones especiales Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Ejemplos
Calcular
L[f ](s) si:
f (t) = 1 f (t) = t f (t) = sin(at) f (t) = cos(at) f (t) = e at
Propiedades de la transformada I
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Propiedades de la transformada I
Ejemplos
+∞
L[1](s) =
1 e−st dt
0
= l´ım
b→∞
= l´ım
b→∞
b
e−st dt
0
− − ∞ e
−st
s
b→∞
l´ım
b→∞
−
e
e−sb + 1 = s
1 [1](s) = , s
L
0
−sb
= l´ım
Por lo tanto
b
+1
s
1 s +
si s > 0 si s < 0
∀s > 0
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Propiedades de la transformada I
Ejemplos
+∞
L[sin(at)](s) =
0
sin(at) e−st dt
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Propiedades de la transformada I
Ejemplos
+∞
L[sin(at)](s) =
sin(at) e−st dt
0
Integrando por partes, u = sin(at) y dv = e −st dt,
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Propiedades de la transformada I
Ejemplos
+∞
L[sin(at)](s) =
sin(at) e−st dt
0
Integrando por partes, u = sin(at) y dv = e −st dt,
+∞
0
−st
sin(at) e
−st
dt =
−
a = s
e
s
+∞
sin(at)
+∞
0
0
a + s
cos(at) e−st dt
+∞
0
cos(at) e−st dt
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Propiedades de la transformada I
Ejemplos
+∞
L[sin(at)](s) =
sin(at) e−st dt
0
Integrando por partes, u = sin(at) y dv = e −st dt,
+∞
−st
sin(at) e
−st
dt =
0
−
e
s
+∞
sin(at)
0
+∞
a = s
a + s
+∞
cos(at) e−st dt
0
cos(at) e−st dt
0
Nuevamente integramos por partes, u = cos(at) y dv = e −st dt,
+∞
0
a −st sin(at) e dt = s =
a s
+∞
cos(at) e−st dt
0
−st
− e s cos(at)
+∞ 0
− as
+∞
0
sin(at) e−st dt
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Propiedades de la transformada I
Ejemplos Por lo tanto
+∞
a2 1+ 2 s
s2 + a2 s2
a sin(at) e dt = 2 s 0 +∞ a sin(at) e−st dt = 2 s 0 −st
+∞
sin(at) e−st dt =
a s2
sin(at) e−st dt =
0
+∞
0
+∞
0
Asi
sin(at) e−st dt =
a2
− s2
2
s s2 + a2
a s2 + a2
+∞
sin(at) e−st dt
0
a s2
a L[sin(at)](s) = s2 + a ∀s > 0 2
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Linealidad Calcule
L[e
αt
](ss) ](
Propiedades de la transformada I
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Propiedades de la transformada I
Linealidad Calcule
L[e
αt
](ss) ](
L[e
αt
](ss) = s−1 α ]( α
∀s >
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Propiedades de la transformada I
Linealidad Calcule
Sea
L[e
αt
](ss) ](
L[e
αt
](ss) = s−1 α ]( α
∀s >
L una transformación
Teorema
[0, +∞[−→ R tales que f ( L es lineal, es decir, dadas f, f , g : [0, f ˆ(s), gˆ(s) existen y sean a, b ∈ R , entonces se cumple + bg((t))(s ))(s) = a L(f ( ))(s) + b + bL(g (t))(s ))(s). L(af ( af (t) + bg f (t))(s
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Propiedades de la transformada I
Linealidad Calcule
Sea
L[e
αt
](s)
L[e
αt
](s) = s−1 α α
∀s >
L una transformación
Teorema
ˆ L es lineal, es decir, dadas f, g : [0, +∞[−→ R tales que f (s), gˆ(s) existen y sean a, b ∈ R , entonces se cumple L(af (t) + bg(t))(s) = aL(f (t))(s) + bL(g(t))(s). Calcule
L[sin(3t) + bt](s)
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Propiedades de la transformada I
Linealidad Calcule
Sea
L[e
αt
](s)
L[e
αt
](s) = s−1 α α
∀s >
L una transformación
Teorema
ˆ L es lineal, es decir, dadas f, g : [0, +∞[−→ R tales que f (s), gˆ(s) existen y sean a, b ∈ R , entonces se cumple L(af (t) + bg(t))(s) = aL(f (t))(s) + bL(g(t))(s). Calcule
L[sin(3t) + bt](s)
3 +9
2
s
+
b s2
∀ s >?
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Propiedades de la transformada I
Linealidad Calcule
Sea
L[e
αt
](s)
L[e
αt
](s) = s−1 α α
∀s >
L una transformación
Teorema
ˆ L es lineal, es decir, dadas f, g : [0, +∞[−→ R tales que f (s), gˆ(s) existen y sean a, b ∈ R , entonces se cumple L(af (t) + bg(t))(s) = aL(f (t))(s) + bL(g(t))(s). Calcule
L[sin(3t) + bt](s)
Calcule
L[sinh(kt)](s)
3 +9
2
s
+
b s2
∀ s >?
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Propiedades de la transformada I
Linealidad Calcule
Sea
L[e
αt
](s)
L[e
αt
](s) = s−1 α α
∀s >
L una transformación
Teorema
ˆ L es lineal, es decir, dadas f, g : [0, +∞[−→ R tales que f (s), gˆ(s) existen y sean a, b ∈ R , entonces se cumple L(af (t) + bg(t))(s) = aL(f (t))(s) + bL(g(t))(s). Calcule
L[sin(3t) + bt](s)
Calcule
L[sinh(kt)](s)
3 +9
2
s
+
k s2 −k 2
b s2
∀ s >?
∀|s| > k
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Propiedades de la transformada I
Resumen
L[1](s) = 1s , ∀s > 0 L[ t ](s) = s n!+1 , ∀s > 0, n ∈ N 1 L[ e ](s) = s − α ∀s > α a L[sin(at)](s) = s2 + a ∀s > 0 2 s L[cos(at)](s) = s2 + a ∀s > 0 2 L[ sinh(kt)](s) = s2 −k k2 ∀|s| > k s L[ cosh(kt)](s) = s2 − k2 ∀|s| > k n
n
αt
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Condiciones suficientes para la existencia Propiedades de la transformada II
Orden exponencial Definición Una función f : [0, + [ R es de orden exponencial α si existen constantes α, M > 0 tales que
∞ −→
| f (t)| ≤ M e
αt
∀t ∈ [0, +∞[
Ejemplo:
Figura: (Izquierda) f (t) = t. (Centro) f (t) = e−t . (Derecha) f (t) = cos(2πt ).
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Condiciones suficientes para la existencia Propiedades de la transformada II
Orden exponencial
Tarea Sean f, g dos funciones tales que f es de orden exponencial α y g es de orden exponencial β . Demostrar que:
f + g es de orden exponencial m´ax α, β . f g es de orden exponencial α β
{ }
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Condiciones suficientes para la existencia Propiedades de la transformada II
Continuidad a trozos Definición R. Decimos que f es continua a trozos en Sea f una función f : [0, + [ [0, + [ , si en cualquier intervalo [a, b] [0, + [ hay a lo más un número finito de discontinuidades t1 , . . . , tN de salto finito y f (t) es continua para cada intervalo (tk , tk+1 ) cuando k = 1, 2, . . . , N 1.
∞
∞ −→ ⊂ { }
∞
−
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Condiciones suficientes para la existencia Propiedades de la transformada II
Continuidad a trozos Definición R. Decimos que f es continua a trozos en Sea f una función f : [0, + [ [0, + [ , si en cualquier intervalo [a, b] [0, + [ hay a lo más un número finito de discontinuidades t1 , . . . , tN de salto finito y f (t) es continua para cada intervalo (tk , tk+1 ) cuando k = 1, 2, . . . , N 1.
∞
∞ −→ ⊂ { }
∞
−
Figura: Función continua a tramos y función no continua a tramos.
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Existencia de
Condiciones suficientes para la existencia Propiedades de la transformada II
L
Teorema Sea una función continua por partes, y de orden exponencial α en [0, + Entonces [f (t)](s) existe para todo s > α
L
∞[.
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Existencia de
Condiciones suficientes para la existencia Propiedades de la transformada II
L
Teorema Sea una función continua por partes, y de orden exponencial α en [0, + Entonces [f (t)](s) existe para todo s > α
L
Función continua por partes La función f (x) = e
=
⇒
x
2
Trasnformada existe
no es de orden exponencial.
∞[.
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Condiciones suficientes para la existencia Propiedades de la transformada II
Trasformada inversa
Teorema (Lerch) Sean g, f dos funciones continuas a trozos y de orden exponencial α tales que [ f (t)](s) = [ g(t)](s) para todo s > α. Entonces f (t) = g(t) son iguales para todo t salvo en los puntos de discontinuidad de ambas.
L
L
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Condiciones suficientes para la existencia Propiedades de la transformada II
Trasformada inversa
Teorema (Lerch) Sean g, f dos funciones continuas a trozos y de orden exponencial α tales que [ f (t)](s) = [ g(t)](s) para todo s > α. Entonces f (t) = g(t) son iguales para todo t salvo en los puntos de discontinuidad de ambas.
L
L
⇓
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Condiciones suficientes para la existencia Propiedades de la transformada II
Trasformada inversa
Teorema (Lerch) Sean g, f dos funciones continuas a trozos y de orden exponencial α tales que [ f (t)](s) = [ g(t)](s) para todo s > α. Entonces f (t) = g(t) son iguales para todo t salvo en los puntos de discontinuidad de ambas.
L
L
⇓ L es inyectiva
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Condiciones suficientes para la existencia Propiedades de la transformada II
Trasformada inversa
Teorema (Lerch) Sean g, f dos funciones continuas a trozos y de orden exponencial α tales que [ f (t)](s) = [ g(t)](s) para todo s > α. Entonces f (t) = g(t) son iguales para todo t salvo en los puntos de discontinuidad de ambas.
L
L
⇓ L es inyectiva ⇓
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Trasformada inversa
Teorema (Lerch) Sean g, f dos funciones continuas a trozos y de orden exponencial α tales que [ f (t)](s) = [ g(t)](s) para todo s > α. Entonces f (t) = g(t) son iguales para todo t salvo en los puntos de discontinuidad de ambas.
L
L
⇓ L es inyectiva ⇓ ∃ L
1
−
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Trasformada inversa Definición Sea x(t) una función continua a tramos y de orden exponencial con tranformada de Laplace F (s). Llamaremos transformada inversa de F (s) a la función x(t) tal que Denotaremos por
L
L L L 1 s
1
−
n!
1
−
sn+1 1
1
−
s
−a
1
−
L[ x(t)](s) = F (s). (F (s)) (t) a tal función.
(t) = 1 (t) = t n (t) = e at
L L L 1
k s2 + k 2
(t) = sin(kt)
1
s s2 + k 2
(t) = cos(kt)
−
−
k
1
−
s2
−
k2
(t) = sinh(kt)
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Trasformada inversa Proposición La transformada inversa es lineal. Sean F (s) y G(s) dos transformadas de Laplace. Entonces 1
−
L
(αF (s) + βG(s)) (t) = α
donde α y β son constantes.
L
1
−
(F (s)) (t) + β
L
1
−
(G(s)) (t)
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Trasformada inversa Proposición La transformada inversa es lineal. Sean F (s) y G(s) dos transformadas de Laplace. Entonces 1
−
L
(αF (s) + βG(s)) (t) = α
donde α y β son constantes.
Calcule
L
1
−
(F (s)) (t)
donde
F (s) =
1 5 + s3 s 3
−
L
1
−
(F (s)) (t) + β
L
1
−
(G(s)) (t)
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Trasformada inversa Proposición La transformada inversa es lineal. Sean F (s) y G(s) dos transformadas de Laplace. Entonces 1
−
L
(αF (s) + βG(s)) (t) = α
L
1
−
(F (s)) (t) + β
L
1
−
(G(s)) (t)
donde α y β son constantes.
Calcule
L
1
−
(F (s)) (t)
donde 2
F (s) =
1 5 + s3 s 3
−
t
2
+ 5 e3t
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Ejemplos Ejemplos Calculemos
1
−
L
(F (s)) (t) donde F (s) =
Notar que
3s+4 . s2 +7
3s + 4 s 1 =3 2 +4 2 s2 + 7 s +7 s +7
luego 1
−
L
3s + 4 s2 + 7
(t) = 3
1
−
L
s s2 + 7
(t) + 4
1
−
L
1 s2 + 7
por lo tanto
L
1
−
3s + 4 s2 + 7
√
√
(t) = 3 cos( 7t) + 4 sin( 7t)
(t)
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Ejemplos Ejemplos Calculemos
1
−
L
s+1 s (s+2)
(F (s)) (t) donde F (s) =
Notar que
2
1 1 s + 1 = + s2 (s + 2) 4s 2s2
.
1 . − 4(s + 2)
luego 1
−
L
s + 1 s2 (s + 2)
L
(t) =
por lo tanto 1
−
L
1 4
1
−
s + 1 s2 (s + 2)
1 s
(t)+
1 2
L
1
−
1 t (t) = + 4 2
1 s2
−
− 14 L
(t)
1 −2t e 4
1
−
1 s + 2
(t)
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Transformada de la derivada
Teorema Sea f una función continua sobre [0, + [ y supongamos que f es continua por tramos y de orden exponencial en [0, + [. Entonces
∞
∞
L[ f (t)](s) = s L[f (t)](s) − f (0). Más generalmente,
L[ f ( )(t)](s) = s L[ f (t)](s) − s n
n
n−1
f (0) sn−2 f (1) (0)
−
−···− f (
n−1)
(0).
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Transformada de la derivada
+∞
L[ f (t)](s) =
f (t) e−st dt
0
Integramos por partes, haciendo u = e −st y dv = f (t)dt
+∞
0
f (t) e
−st
−st
dt = e
f (t)
+∞ 0
+∞
+ s
f (t) e−st dt
0
= s [ f (t)](s) + l´ım e−st f (t)
L + = s L[ f (t)](s) − f (0) t→
∞
− f (0)
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Ejemplos Ejemplos Calcular
L[sin2(at)](s).
Sea f (t) = sin2 (at). Observamos que f (0) = 0 y que
f (t) = 2a sin(at) cos(at) = a sin(2at) 2 2a 2a [ f (t)](s) = [ a sin(2at)](s) = a [ sin(2at)](s) = a 2 = 2 s + 4a2 s + 4a2
L
Asi Por lo tanto
L
L
2a2 = s [f (t)](s) s2 + 4a2 2a2 [f (t)](s) = s(s2 + 4a2 )
L
L
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Ejemplos Ejemplos
L a y − 4y = 0, con y(0) = 1, y (0) = 2. L[ y (t)] − 4L[ y(t)] = 0 s2 L[ y(t)] − s y(0) − y (0) − 4L[ y(t)] = 0 (s2 − 4)L[ y(t)] − s − 2 = 0 (s2 − 4)L[ y(t)] = s + 2 s + 2 L[ y(t)] = s2 − 4
Aplicar la transformada
Por lo tanto
L[ y(t)](s) = s −1 2
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Transformada de la integral Teorema Si f una función continua sobre [0, + 0 , entonces y a R
∈ ∪{ }
L
t
[
a
∞[ y de orden exponencial en [0, +∞[
1 f (x) dx](s) = [ f (t)](s) s
L
−
1 s
a
f (x) dx.
0
Más particularmente, si a = 0,
L ··· t
t
[
a
a
f (x) dx
··· dx](s) = s1 L[ f (t)](s) n
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Condiciones suficientes para la existencia Propiedades de la transformada II
Transformada de la integral Teorema Si f una función continua sobre [0, + 0 , entonces y a R
∈ ∪{ }
L
t
[
a
∞[ y de orden exponencial en [0, +∞[
1 f (x) dx](s) = [ f (t)](s) s
L
−
1 s
a
f (x) dx.
0
Más particularmente, si a = 0,
L ··· t
t
[
a
a
f (x) dx
··· dx](s) = s1 L[ f (t)](s) n
¿ Que pasa cuando a = 0?
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Condiciones suficientes para la existencia Propiedades de la transformada II
Transformada de la integral Teorema Si f una función continua sobre [0, + 0 , entonces y a R
∈ ∪{ }
L
t
[
a
∞[ y de orden exponencial en [0, +∞[
1 f (x) dx](s) = [ f (t)](s) s
L
−
1 s
a
f (x) dx.
0
Más particularmente, si a = 0,
L ··· L ··· t
t
[
a
f (x) dx
a
··· dx](s) = s1 L[ f (t)](s) n
¿ Que pasa cuando a = 0?
t
a
t
a
n veces
1 f (x) dx (s) = n s
n
− ···
L[ f (t)](s)
k =1
1 sk
a
t
t
f (x) dx
0
a
a
n
k veces
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Condiciones suficientes para la existencia Propiedades de la transformada II
Ejemplos Ejemplos Aplicar la transformada
L a la siguiente ecuación diferencial
dv (t) + 2v(t) + dt
t
v(x) dx = t
0
con y(0) = 1.
L
t
L[ v (t)] + 2L[ v(t)] + s [ v(t)]
L
[
0
v(x) dx)] = [ t]
L
− v(0) + 2L[ v(t)] + 1s L[ v(t)] = s12 1 1 (s + + 2)L[ v(t)] − 1 = 2 s s 1 1 (s + + 2)L[ v(t)] = 2 + 1 s s
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Ejemplos
Ejemplos Asi
1
L[ v(t)] = s + 1++1 2 s2
s
Por lo tanto
L
s2 + 1 [ v(t)](s) = s(s + 1) 2
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Condiciones suficientes para la existencia Propiedades de la transformada II
Ejemplos
Ejemplos Asi
1
L[ v(t)] = s + 1++1 2 s2
s
Por lo tanto
L Calcule −1 (F (s)) (t) donde F (s) = s(s 1+1)
L
2
s2 + 1 [ v(t)](s) = s(s + 1) 2
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Condiciones suficientes para la existencia Propiedades de la transformada II
Ejemplos
Ejemplos Asi
1
L[ v(t)] = s + 1++1 2 s2
s
Por lo tanto
L Calcule −1 (F (s)) (t) donde F (s) = s(s 1+1)
L
2
s2 + 1 [ v(t)](s) = s(s + 1) 2
1
− cos(t)
Definición Existencia de la transformada y su inversa Funciones especiales Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Condiciones suficientes para la existencia Propiedades de la transformada II
Tarea Demostrar que
L[ f ( )(t)](s) = s L[ f (t)](s)−s n
n−1
n
f (0) sn−2 f (1) (0)
−···−f (
−
n−1)
(0).
Demostrar que
L ··· t
a
t
a
n veces
1 f (x) dx (s) = n s
L[ f (t)](s)
n
− · ·· k =1
1 sk
a
t
t
f (x) dx
0
a
a
n−k veces
Definición Existencia de la transformada y su inversa Funciones especiales Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Condiciones suficientes para la existencia Propiedades de la transformada II
Derivada de la transformada
Teorema Sea f una función continua a trozos y de orden exponencial α . Entonces para s > α
d [ f (t)](s) = ds
L
−L[ t f (t)](s)
Más generalmente, se tiene
dn n n [ f (t)](s) = ( 1) [ t f (t)](s) n ds
L
− L
Definición Existencia de la transformada y su inversa Funciones especiales Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Condiciones suficientes para la existencia Propiedades de la transformada II
Integral de la transformada
Teorema Sea f una función continua a trozos y de orden exponencial α . Entonces para s > α
L s
[ f (t)](u) du =
0
−L 1 f (t) (s) + t
+∞
0
1 f (t)dt t
Definición Existencia de la transformada y su inversa Funciones especiales Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Introducción Propiedades de la transformada III
Modelos Físicos
Queremos representar: Entrada constante de un fluido al sistema físico. Entrada variable de un fluido al sistema físico. Golpe de un martillo a una bolita. Entrada de una señal en un circuito.
Definición Existencia de la transformada y su inversa Funciones especiales Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Introducción Propiedades de la transformada III
Función periódica
Definición Sea f : [0, + [ T > 0 tal que
∞ −→ R una función. Se dice que f es periódica si existe f (x + T ) = f (x),
donde T es el menor número positivo que verifica tal propiedad.
Definición Existencia de la transformada y su inversa Funciones especiales Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Introducción Propiedades de la transformada III
Función periódica Definición Sea f : [0, + [ T > 0 tal que
∞ −→ R una función. Se dice que f es periódica si existe f (x + T ) = f (x),
donde T es el menor número positivo que verifica tal propiedad.
f (t) = sin(2πt).
Definición Existencia de la transformada y su inversa Funciones especiales Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Introducción Propiedades de la transformada III
Función periódica Definición Sea f : [0, + [ T > 0 tal que
∞ −→ R una función. Se dice que f es periódica si existe f (x + T ) = f (x),
donde T es el menor número positivo que verifica tal propiedad.
f (r) = ( 1)[r] .
−
Definición Existencia de la transformada y su inversa Funciones especiales Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Introducción Propiedades de la transformada III
Función periódica Definición Sea f : [0, + [ T > 0 tal que
∞ −→ R una función. Se dice que f es periódica si existe f (x + T ) = f (x),
donde T es el menor número positivo que verifica tal propiedad.
f (y) = y
− [y].
Definición Existencia de la transformada y su inversa Funciones especiales Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Introducción Propiedades de la transformada III
Transformada de una función periódica Teorema Si f (t) es una función periódica de periodo T que es continua por partes en el intervalo [0, T ] , entonces para todo s > 0
L[ f (t)](s) = 1 − Calcular
f (t) =
L[ f (t)](s) donde
1 0
si 0 < t < 1 si 1 < t < 2
es de periodo 2.
1 e−T s
T
0
e−st f (t) dt
Definición Existencia de la transformada y su inversa Funciones especiales Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Introducción Propiedades de la transformada III
Transformada de una función periódica Teorema Si f (t) es una función periódica de periodo T que es continua por partes en el intervalo [0, T ] , entonces para todo s > 0
L[ f (t)](s) = 1 − Calcular
f (t) =
1 e−T s
T
e−st f (t) dt
0
L[ f (t)](s) donde
1 0
si 0 < t < 1 si 1 < t < 2
es de periodo 2.
1 s(1+e−s )
∀s > 0
Definición Existencia de la transformada y su inversa Funciones especiales Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Introducción Propiedades de la transformada III
Ejemplos Ejemplos Calcular
L[ f (t)](s) donde f (t) = | sin(at)| con a > 0.
Definición Existencia de la transformada y su inversa Funciones especiales Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Introducción Propiedades de la transformada III
Ejemplos Ejemplos Calcular
L[ f (t)](s) donde f (t) = | sin(at)| con a > 0.
Periodo:
π a
.
| sin(at)| = sin(at) cuando t ∈ [0,
π a
].
Definición Existencia de la transformada y su inversa Funciones especiales Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Introducción Propiedades de la transformada III
Ejemplos Ejemplos Calcular
L[ f (t)](s) donde f (t) = | sin(at)| con a > 0.
Periodo:
π a
.
π a
| sin(at)| = sin(at) cuando t ∈ [0, ]. a (1 + e L[ | sin(at)|](s) = s2 + a 2 (1 − e
− −
π a
π a
s
) s )
Definición Existencia de la transformada y su inversa Funciones especiales Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Introducción Propiedades de la transformada III
Ejemplos Ejemplos Calcular
L[ f (t)](s) donde f (t) = | sin(at)| con a > 0. π a
Periodo:
.
π a
| sin(at)| = sin(at) cuando t ∈ [0, ]. a (1 + e L[ | sin(at)|](s) = s2 + a 2 (1 − e
− −
Calcular
g(t) =
−
t 2n 2 + 2n
L[ g(t)](s) donde ; 2n < t < 2n + 1
−t
; 2n + 1 < t < 2n + 2
para n
∈ N.
π a
π a
s
) s )
Definición Existencia de la transformada y su inversa Funciones especiales Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Introducción Propiedades de la transformada III
Ejemplos Ejemplos Calcular
L[ f (t)](s) donde f (t) = | sin(at)| con a > 0. π a
Periodo:
.
π a
| sin(at)| = sin(at) cuando t ∈ [0, ]. a (1 + e L[ | sin(at)|](s) = s2 + a 2 (1 − e
− −
Calcular
g(t) =
−
t 2n 2 + 2n
π a
π a
s
) s )
L[ g(t)](s) donde ; 2n < t < 2n + 1
−t
; 2n + 1 < t < 2n + 2
para n
∈ N.
1 s2 (1−e−2s )
− 1
2e
−s
+ e
2s
−
Definición Existencia de la transformada y su inversa Funciones especiales Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Introducción Propiedades de la transformada III
Función escalón unitario (Función de Heaviside) Definición Se define la función de Heaviside como
ut (t) = u(t 0
− t0 ) =
0 1
0 t < t0 ; t > t0 ;
≤
Definición Existencia de la transformada y su inversa Funciones especiales Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Usos de la función escalón Representar la función
g(t) =
0 sin(t)
0 t < 2π ; t > 2π ;
≤
Representar
− 4
h(t) =
;
2
0
Representar
k(t) =
t2 e−2t 1 t2
; ;
0 t < 2 2 < t < 4 t > 4
≤
0 t < 7 ; 7 < t < 9 ;
≤
;
t > 9
Introducción Propiedades de la transformada III
Definición Existencia de la transformada y su inversa Funciones especiales Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Introducción Propiedades de la transformada III
Usos de la función escalón Representar la función
g(t) =
0 sin(t)
0 t < 2π ; t > 2π ;
≤
Representar
− 4
h(t) =
;
2
0
Representar
k(t) =
t2 e−2t 1 t2
; ;
0 t < 2 2 < t < 4 t > 4
≤
0 t < 7 ; 7 < t < 9 ;
≤
;
t > 9
g(t) = u(t
− 2π) sin(t)
Definición Existencia de la transformada y su inversa Funciones especiales Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Introducción Propiedades de la transformada III
Usos de la función escalón Representar la función
g(t) =
0 sin(t)
0 t < 2π ; t > 2π ;
≤
g(t) = u(t
Representar
− 4
h(t) =
;
2
0
Representar
k(t) =
t2 e−2t 1 t2
; ;
0 t < 2 2 < t < 4 t > 4
≤
0 t < 7 ; 7 < t < 9 ;
≤
;
t > 9
4
−
− 2π) sin(t)
h(t) = 6u(t 2 ) + 2u(t
−
− 4)
Definición Existencia de la transformada y su inversa Funciones especiales Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Introducción Propiedades de la transformada III
Usos de la función escalón Representar la función
g(t) =
0 sin(t)
0 t < 2π ; t > 2π ;
≤
g(t) = u(t
Representar
− 4
h(t) =
;
2
0
Representar
k(t) =
t2 e−2t 1 t2
; ;
0 t < 2 2 < t < 4 t > 4
≤
4
−
h(t) = 6u(t 2 ) + 2u(t
−
0 t < 7 ; 7 < t < 9
≤
;
t > 9
− 4)
k(t) = t2 + (e−2t t2 )u(t 7) + ( t1 e−2t )u(t 9) 2
;
− 2π) sin(t)
−
−
− −
Definición Existencia de la transformada y su inversa Funciones especiales Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Introducción Propiedades de la transformada III
Trasformada de la función escalón Proposición Sea u t la función escalón unitario. Entonces 0
1 −st [ ut (t)](s) = e . s
L
0
0
Calculemos
+∞
L[ u
t0
(t)](s) =
ut e−st dt = 0
0
0 e−st dt +
0
+∞
t0
+∞
1 −st = e−st dt = e s t t 1 −s +∞ 1 1 −st = e t = (0 ) e s s s 1 = e−st s
−
0
−
0
− −
+∞
t0
0
0
1 e−st dt
Definición Existencia de la transformada y su inversa Funciones especiales Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Introducción Propiedades de la transformada III
Función impluslo unitario (Función Delta de Dirac)
Definición Sea t0 > 0 . Se define la función Delta de Dirac como
δ (t
− t0 ) =
∞ + 0
Consideremos la siguiente función
δ ε (t t0 ) =
−
1 2ε
si t
0
si e.o.c
∈ [t0 − ε, t0 + ε]
si t = t 0 si t = t 0
Definición Existencia de la transformada y su inversa Funciones especiales Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Introducción Propiedades de la transformada III
Función impluslo unitario (Función Delta de Dirac) Definición Sea t0 > 0 . Se define la función Delta de Dirac como
δ (t
− t0 ) =
∞ + 0
Consideremos la siguiente función
δ ε (t t0 ) =
−
1 2ε
si t
0
si e.o.c
∈ [t0 − ε, t0 + ε]
si t = t 0 si t = t 0
Definición Existencia de la transformada y su inversa Funciones especiales Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Introducción Propiedades de la transformada III
Función impluslo unitario (Función Delta de Dirac) Definición Sea t0 > 0 . Se define la función Delta de Dirac como
δ (t
− t0 ) =
∞ + 0
Consideremos la siguiente función
δ ε (t t0 ) =
−
1 2ε
si t
0
si e.o.c
∈ [t0 − ε, t0 + ε]
si t = t 0 si t = t 0
Definición Existencia de la transformada y su inversa Funciones especiales Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Introducción Propiedades de la transformada III
Función impluslo unitario (Función Delta de Dirac) Definición Sea t0 > 0 . Se define la función Delta de Dirac como
δ (t
− t0 ) =
∞ + 0
Consideremos la siguiente función
δ ε (t t0 ) =
−
1 2ε
si t
0
si e.o.c
∈ [t0 − ε, t0 + ε]
si t = t 0 si t = t 0
Definición Existencia de la transformada y su inversa Funciones especiales Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Introducción Propiedades de la transformada III
Función impluslo unitario (Función Delta de Dirac) Definición Sea t0 > 0 . Se define la función Delta de Dirac como
δ (t
− t0 ) =
∞ + 0
Consideremos la siguiente función
δ ε (t t0 ) =
−
1 2ε
si t
0
si e.o.c
∈ [t0 − ε, t0 + ε]
si t = t 0 si t = t 0
Definición Existencia de la transformada y su inversa Funciones especiales Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Introducción Propiedades de la transformada III
Función impluslo unitario (Función Delta de Dirac) Definición Sea t0 > 0 . Se define la función Delta de Dirac como
δ (t
− t0 ) =
∞ + 0
Consideremos la siguiente función
δ ε (t t0 ) =
−
1 2ε
si t
0
si e.o.c
∈ [t0 − ε, t0 + ε]
si t = t 0 si t = t 0
Definición Existencia de la transformada y su inversa Funciones especiales Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Introducción Propiedades de la transformada III
Función impluslo unitario (Función Delta de Dirac) Definición Sea t0 > 0 . Se define la función Delta de Dirac como
δ (t
− t0 ) =
∞ + 0
Consideremos la siguiente función
δ ε (t t0 ) =
−
l´ım δ ε (t
ε→0
1 2ε
si t
0
si e.o.c
∈ [t0 − ε, t0 + ε]
− t0) = δ (t − t0)
si t = t 0 si t = t 0
Definición Existencia de la transformada y su inversa Funciones especiales Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Introducción Propiedades de la transformada III
Propiedades de la función impulso
+∞
−∞
δ (t
− t0)dt = 1.
+∞
−∞
δ (t
− t0)f (t)dt = f (t0).
Definición Existencia de la transformada y su inversa Funciones especiales Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Introducción Propiedades de la transformada III
Transformada de la función impulso Proposición Sea t0
≥ 0 y δ (t − t0) la función impulso unitario. Entonces L[ δ (t − t0)](s) = e . Consideremos la función anterior δ (t − t0 ) −st0
ε
+∞
L[ δ (t − t0)](s) = ε
t0 −ε
δ ε (t
0
+
− t0 ) e δ ε (t
0 e−st dt +
0
t0 +ε
=
t0 −ε
dt = −st
t0 +ε
t0 −ε
1 −st e dt 2ε
δ ε (t
0
− t0) e
t0 −ε
=
−st
t0 +ε
t0 −ε
dt +
− t0 ) e
−st
dt
+∞
δ ε (t
t0 +ε
1 −st e dt + 2ε
− t0 ) e
−st
dt
+∞
t0 +ε
0 e−st dt
Definición Existencia de la transformada y su inversa Funciones especiales Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Introducción Propiedades de la transformada III
Transformada de la función impulso
t0 +ε
L[ δ (t − t0)](s )](s) = ε
t0 −ε
1 = 2ε
1 −st e dt 2ε
t0 +ε
1 (e−s(t dt = dt = 2ε
0
e
−st
t0 −ε
1 −st (e−sε esε ) = e s 2ε
−
0
−
l´ımε→0 Aplicando l´
(e−sε esε ) l´ım = ε→0 2ε
−
+ε)
−e −s
(t0 −ε)
−s
)
−s
Por lo tanto
L[ δ (t − t0)](s )](s) = L[ l´ım δ (t − t0 )](s )](s) = l´ım L[ δ (t − t0 )](s )](s) = e 0 0 ε→
ε
ε→
ε
−st0
Definición Existencia de la transformada y su inversa Funciones especiales Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Introducción Propiedades de la transformada III
Teorema de traslación
Teorema
[0, + Primer teorema de traslación Sea f : [0, de orden exponencial. Si a R entonces
∈
L[ e
at
∞[−→ R continua por tramos y
f ( f (t)](s )](s) = [ f ( f (t)](s )](s
L
− a).
Teorema
[0, + Segundo teorema de traslación Sea f : [0, de orden exponencial. Si a R+ entonces
∈
∞[−→ R continua por tramos y −as
L[ u(t − a)f ( f (t − a)](s )](s) = e L[ f ( f (t)](s )](s).
Definición Existencia de la transformada y su inversa Funciones especiales Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Introducción Propiedades de la transformada III
Ejemplos
Ejemplos Calcular
L[ f ( f (t)](s )](s) donde f ( f (t) = | sin(at sin(at))| con a > 0 .
Definición Existencia de la transformada y su inversa Funciones especiales Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Introducción Propiedades de la transformada III
Ejemplos
Ejemplos Calcular
L[ f (t)](s) donde f (t) = | sin(at)| con a > 0.
Periodo:
π a
.
| sin(at)| = sin(at) cuando t ∈ [0,
π a
].
Definición Existencia de la transformada y su inversa Funciones especiales Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Introducción Propiedades de la transformada III
Ejemplos
Ejemplos Calcular
L[ f (t)](s) donde f (t) = | sin(at)| con a > 0.
Periodo:
π a
.
π a
| sin(at)| = sin(at) cuando t ∈ [0, ]. a (1 + e L[ | sin(at)|](s) = s2 + a2 (1 − e
− −
π a
π a
s
) s )
Definición Existencia de la transformada y su inversa Funciones especiales Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Introducción Propiedades de la transformada III
Ejemplos Ejemplos Calculemos
1
−
L
(F (s)) (t) donde F (s) =
s+1 s +4s3 +4s2 4
. Notar que
s + 1 s + 1 = . 4 3 2 2 2 s + 4s + 4s s (s + 2) s + 1 1 = 2 4s s4 + 4s3 + 4s2
−
1 . 4(s + 2) 2
1 4
luego
L
1
−
1 (F (s)) (t) = 4
L
1
−
1 s2
(t)
1
−
− L
1 (s + 2) 2
por lo tanto 1
−
L
s + 1 s4 + 4s3 + 4s2
(t) =
1 t 4
− 14 t e
2t
−
(t)
Definición Existencia de la transformada y su inversa Funciones especiales Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Introducción Propiedades de la transformada III
Ejemplos Ejemplos Calculemos
1
−
L
(F (s)) (t) donde F (s) =
Notar que
1 s2 + 2s
luego 1
−
L
(F (s)) (t) =
1
−
L
−8
=
1 (s
−
1)3
1 (s−1)3
1 (s + 1) 2
(t) +
L
+
−9 1
−
2
s
1 +2s−8 .
.
1 (s + 1) 2
−9
por lo tanto 1
−
L
s + 1 s4 + 4s3 + 4s2
1 2 t 1 (t) = t e + sin(3t) e−t 2 3
(t)
Definición Existencia de la transformada y su inversa Funciones especiales Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Introducción Propiedades de la transformada III
Convolución Definición Sean f, g : [0, + [ R , continuas por tramos y de orden exponencial. Se define la convolución entre f y g como
∞ −→
t
(f g)(t) =
∗
f (τ )g(1
0
− τ ) dτ
Proposición Conmutatividad
f g = g
∗
∗ f.
Definición Existencia de la transformada y su inversa Funciones especiales Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Introducción Propiedades de la transformada III
Convolución Definición Sean f, g : [0, + [ R , continuas por tramos y de orden exponencial. Se define la convolución entre f y g como
∞ −→
t
(f g)(t) =
∗
f (τ )g(1
0
− τ ) dτ
Proposición Conmutatividad
f g = g
∗
∗ f.
Asociatividad
h (f g) = (h g) f.
∗ ∗
∗ ∗
Definición Existencia de la transformada y su inversa Funciones especiales Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Introducción Propiedades de la transformada III
Convolución Definición Sean f, g : [0, + [ R , continuas por tramos y de orden exponencial. Se define la convolución entre f y g como
∞ −→
t
(f g)(t) =
∗
f (τ )g(1
0
− τ ) dτ
Proposición Conmutatividad
f g = g
∗
∗ f.
Asociatividad
h (f g) = (h g) f.
∗ ∗
∗ ∗
Distributiva
h (f + g) = h f + h g.
∗
∗
∗
Definición Existencia de la transformada y su inversa Funciones especiales Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Convolución: interpretación
Introducción Propiedades de la transformada III
Definición Existencia de la transformada y su inversa Funciones especiales Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Ejemplos
Ejemplos Calcule (f g)(t) donde
∗
f (t) = t y g(t) = t . f (t) = t y g(t) = sin(t). f (t) = t y g(t) = e t . f (t) = sin(t) y g(t) = cos(t).
Introducción Propiedades de la transformada III
Definición Existencia de la transformada y su inversa Funciones especiales Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Introducción Propiedades de la transformada III
Convolución
Teorema Sean f, g : [0, + entonces
∞[−→ R , continuas por tramos y de orden exponencial, L[ (f ∗ g)(t)](s) = L[ f (t)](s)L[ g(t)](s)
Ejemplos Aplicar la transformada
L a la ecuación integral de Volterra
t
2
x(t) = t +
0
.
sin(t
− u)x(u) du
Definición Existencia de la transformada y su inversa Funciones especiales Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Introducción Propiedades de la transformada III
Convolución Ejemplos Observemos que
t
sin(t
0
− u)x(u) du = sin(t) ∗ x(t)
Entonces
x(t) = t 2 + sin(t) x(t)
∗
Aplicando transformada
L[ x(t)] = L[ t2] + L[sin(t) ∗ x(t)] L[ x(t)] = L[ t2] + L[sin(t)]L[ ∗x(t)] (1 − L[sin(t)](s))L[ x(t)] = L[ t2 ] 1 2 (1 − 2 )L[ x(t)] = 3 s +1 s
Definición Existencia de la transformada y su inversa Funciones especiales Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Introducción Propiedades de la transformada III
Convolución Ejemplos Luego
L[ x(t)](s) = s23 1 − 1 1
s2 +1
un poco de álgebra
L Aplicando
2 2 [ x(t)](s) = 3 + 5 s s
1
−
L
L 1 (L[ x(t)](s)) = L −
1
−
x(t) =
1
−
L
L L 2 s3 2 s3
t4 x(t) = t + 12 2
+
2 s5
1
−
2 + 4!
1
−
4! s5
Definición Existencia de la transformada y su inversa Funciones especiales Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Problemas físicos Problemas de Ingeniría Problemas de fluidos
Ejemplo 1
Un cohete despega con velocidad inicial v 0 desde la Tierra a una altura y 0 del suelo en forma vertical. Luego de algunos segundos, se activan los motores de emergencia, por lo que adquiere una aceleración a > 0 durante un intervalo de tiempo breve. Si la gravedad de la Tierra es g , encuentre la ecuación de movimiento del cohete suponiendo que tiene masa m y (t1 , t2 ) es el intervalo en el que funcionan los motores de emergencia, con t 2 > t1 .
d2 y(t) m = F (t) 2 dt
Definición Existencia de la transformada y su inversa Funciones especiales Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Problemas físicos Problemas de Ingeniría Problemas de fluidos
Ejemplo 2
Consideremos un resorte en equilibrio con un cuerpo de masa m unida a él. Supongamos que el resorte en el timpo t = 0 el sistema esta sujeta a una fuerza sinusoidal h(t) = A sin(ωt) y que en el instante t = 10 se le suministra un golte seco desde abajo que imparte a la masa instantáneamente 2 unidades de momentum. Hallar el movimiento del sistema desde t = 0 en adelante.
d2 y(t) m + K y(t) = F (t) 2 dt y(0) = 0 y (0) = 0
Definición Existencia de la transformada y su inversa Funciones especiales Aplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Problemas físicos Problemas de Ingeniría Problemas de fluidos
Ejemplo 3 Consideremos el siguiente sistema en equilibrio. Se tienen dos masas m1 y m2 unidas a 2 resortes de constantes k1 y k2 respectivamente.
Hint: Ley de Hooke F =
−Kx.
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Ejemplo 4
Vigas Tipos de Vigas: Simplemente apoyada, en voladizo.
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Ejemplo 4 Modelo
d4 y(x) EI = q (x) 4 dx Sujeto a las siguientes condiciones iniciales Soporte simple y(0) = y(L) = y (0) = y (L) = 0. En voladizo y(0) = y (0) = y (L) = y (L) = 0. En donde
y (0) significa que la viga esta empotrada en x = 0. y (0) significa que la viga no esta sometida a momentos flectores en x = L . y (L) significa que no existen fuerzas costantes en el extremo x = L . (extremo libre)
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Ejemplo 4
Deflexión de vigas Suponga una viga de largo L simplemente apoyada en sus extremos. Despreciando la masa de la viga, calcular la deflexión de la viga (flecha) sabiendo que se imprime una carga puntual P 0 en x = L/2.
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Ejemplo 5
Deflexión de vigas Suponga una viga de largo 10 u (adimensionalizando unidades) simplemente apoyada en sus extremos. Despreciando la masa de la viga, calcular la deflexión de la viga (flecha) sabiendo que la distribución de cargas en función de x (medida de la viga) es la siguiente:
q (x) =
5 2
; x = 2 ; 5
≤ x ≤ 7
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Ejemplo 6
Tráfico Vehicular Sunponga que se tiene una calle con un flujo vehicular constante de 2,5 autos cada un minuto por medio. Al final de la calle, se tiene un semáforo, el cual mantiene el color verde (verde + amarillo) un tiempo de 0,4 min. En ese tiempo alcanza a pasar un flujo constante de 3 autos por minuto. El color rojo se mantiene tambien por 0,4 minutos. > Cual es la concentración vehicular del sistema? > Se formará congestión vehicular? > La vía es expedita?
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Ejemplo 5
Tráfico Vehicular: Solución
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Ejemplo 5
Tráfico Vehicular: Solución
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Ejemplo 5
Tráfico Vehicular: Solución
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