Luis M. Sánchez Ruiz Matilde P. Legua Fernández
ECUACIONES DIFERENCIALES Y TRANSFORMADAS DE LAPLACE CON APLICACIONES
EDITORIAL UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE VALÈNCIA
Para referenciar esta publicación utilice la siguiente cita: Sánchez Ruiz, Luis M; Legua Fernández, Matilde P. ( ). Ecuaciones diferenciales y transformadas de Laplace con aplicaciones. alencia: Editorial Universitat Politècnica de València
© Luis M. Sánchez Ruiz Matilde P. Legua Fernández
© 2017, Editorial Universitat Politècnica de València distribución: www.lalibreria.upv www.lalibreria.upv.es .es / Ref.: 0798_01 0798_01_05_01 _05_01 Imprime: Byprint Percom, sl
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Índice General 1 Ecuaciones diferenciales
1
1.1 Introducción y deniciones básicas . . . . . 1.2 Ecuaciones de primer orden . . . . . . . . . 1.3 Ecuaciones de variables separables . . . . . . 1.3.1 Denición y resolución . . . . . . . . 1.3.2 Ecuaciones diferenciales homogéneas 1.3.3 Ecuaciones diferenciales reducibles . 1.4 Ecuaciones diferenciales exactas . . . . . . . 1.4.1 Denición y resolución . . . . . . . . 1.4.2 Factores integrantes . . . . . . . . . . 1.5 Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Denición y resolución . . . . . . . . 1.5.2 Ecuación de Bernoulli . . . . . . . . 1.5.3 Ecuación de Riccati . . . . . . . . . . 1.6 Aplicación: Pr Problemas de mezclas . . . . . . 1.7 Ecu Ecuac acion iones es no lin lineal eales es en y . . . . . . . . . 1.7.1 1.7 .1 Ec Ecua uacio ciones nes res resolu oluble bless en en y y . . . . . . 1.7 .7.2 .2 Aplic ica ación: Cá Cálculo de la envolv lveente 1.7.3 1.7 .3 Ec Ecua uacio ciones nes res resolu oluble bless en en y y . . . . . . 1.7.4 1.7 .4 Ec Ecua uacio ciones nes res resolu oluble bless en en x x . . . . . . 1.8 Aplicación: Tr Trayectorias isogonales . . . . . 1.9 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . 1.10 Ej Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . 0
0
i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 2 5 5 7 9 11 11 13 14 14 16 17 18 19 19 19 21 24 26 27 33
ii
2 Ecuaciones de orden superior
39
2.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Ecuaciones diferenciales incompletas . . . . . . . . . . 2.2.1 Ecuaciones donde falta la y . . . . . . . . . . . 2.2.2 Ecuaciones donde falta la x . . . . . . . . . . . 2.3 Ec Ecua uacio ciones nes lin lineal eales es de ord orden en n . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Denición. El El ope perrador derivada . . . . . . . . . 2.3.2 Ecuación lineal homogénea . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Ecuación lineal no homogénea . . . . . . . . . . 2.3. 2. 3.4 4 Mé Méto todo do de La Lagr gran ange ge o vari riac ació ión n de pa pará rám met etro ross 2.3.5 Ecuación de Euler-Cauchy . . . . . . . . . . . . 2.3.6 Reducción del orden . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Aplicación: Ci Circuitos eléctricos . . . . . . . . . . . . . 2.5 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
3 Sistemas de ecuaciones
67
3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Método matricial . . . . . . . . . . . 3.2.1 Sistema lineal homogéneo . . 3.2.2 Sistema lineal no homogéneo . 3.3 Método de eliminación . . . . . . . . 3.4 Aplicación: Tr Transformadores y redes 3.5 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . 3.6 Ejercicios propuestos . . . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
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. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
4 Métodos numéricos 4.1 Interpolación . . . . . . . . . . . 4.2 Resolución numérica de PVI . . . 4.3 Métodos de un paso . . . . . . . . 4.3.1 Método de Euler . . . . . 4.3.2 Métodos de Runge-Kutta . 4.4 Métodos multipaso lineales . . . .
39 40 40 42 43 43 45 49 54 56 59 60 61 63
67 69 69 77 79 82 84 93
95 . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
95 98 99 99 102 103
iii 4.4.1
Método odos explíc lícito itos e implícito itos . . . . . . . . . . .
103
4.4.2
Generación de método odos lineales . . . . . . . . . .
104
4.4.3
Método odos predictor-corrector . . . . . . . . . . . .
106
4.5
Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
107
4.6
Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
109
5 Transformadas de Laplace
111
5.1
Definición y conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . .
111
5.2
Propiedades y transformadas . . . . . . . . . . . . . . . .
116
5.3
Aplicación: Int Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . .
130
5.4
Transformada inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . .
130
5.4.1
Definición y propiedades . . . . . . . . . . . . . .
130
5.4. 5.4.2 2
Cálcu álculo lo de algu lgunas nas tran transf sfor orm madas adas inv inversa ersass . . . .
135 13 5
5.4.3
Método de Heaviside . . . . . . . . . . . . . . . .
138
Aplicaciones de las transformadas . . . . . . . . . . . . .
142
5.5. 5.5.1 1
Reso Resolu luci ción ón de PVI. PVI. Funció unción n de tran transf sfer eren enci cia a . . .
142 14 2
5.5. 5.5.2 2
Ecua Ecuaci cion ones es con con coeficientes variables . . . . . . .
147
5.5.3
Ecuacion iones integro-dife iferenciales les . . . . . . . . . .
148
5.5.4 .5.4
Siste istem mas de ecua cuacio ciones difer iferen enci cia ales les . . . . . . . .
148
5.5.5
Estabilida idad de sistemas diná inámico icos . . . . . . . . .
149
5.6
Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
154
5.7
Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
166
5.5
Prólogo Las ecuaciones diferenciales modelan casi todos los procesos que aparecen en la técnica en los cuales hay una relación de cambio entre las variables involucradas. En dichos procesos es habitual contar con unas condiciones inicia ini ciales les de pa parti rtida da y, en la ma may yorí oría a de ocas ocasion iones, es, se pu puede eden n em emple plear ar entonces dos herramientas especícas para la búsqueda de solución: por métodos numéricos cuya utilización aconseja conocer algunas nociones de interpolación y mediante la transformada de Laplace que permite obtener soluciones exactas en los casos más usuales como son por ejemplo los modelados por ecuaciones o sistemas de ecuaciones lineales. Con esta publicación se pretende satisfacer las necesidades básicas que puedan tener los alumnos de ingeniería en técnicas de resolución de ecuaciones diferenciales y problemas de valor inicial. Se han incluido los resultados teóricos que dan el soporte matemático necesario para abordar los problemas que aparecen, pero se ha evitado dar demostraciones que sean excesivamente tediosas o complicadas de desarrollar; solo se han incluido aquellas que pueden ayudar a conseguir una formació n adecuada para abordar tipos de ecuaciones o aplicaciones no tratadas en este texto. A lo largo del mismo hay una amplia exposición de ejemplos que facilitan la comprensión de los diferentes temas presentados, nalizando cada capítulo con una selección de ejercicios cuya resolución se recomienda para vericar que se ha entendido la materia desarrollada. Los autores expresan su reconocimiento al profesor Manuel Legua (1924 (19 24—9 —99), 9), cat catedr edrát ático ico des desde de 19 1964 64 a 19 1989 89 de la Es Escue cuela la Un Univ ivers ersita itaria ria de Ingeniería Técnica Industrial de Valencia —transformada en Escuela Técnica Superior de Ingeniería del Diseño en 2002—, que les transmitió la forma de enfocar la didáctica de las Matemáticas destinadas a cubrir las necesidades de los ingenieros. Asimismo desean expresar su agradecimiento a Isabel Morales por su ayuda en la elaboración de la primera versión de este texto, a los compañeros de profesión que han hecho sugerencias respecto de dicha y posteriores versiones, y a los alumnos que, con sus dudas y querer saber, les han hecho ver los temas en los cuales tenían una mayor dicultad. Esperamos que estas notas faciliten la labor de nuestros futuros alumnos. Los autores
Capítulo 1 Ecuaciones diferenciales 1.11 In 1. Intr trodu oducc cció ión n y de deni nici cion ones es bás básic icas as Existen situaciones en que se desea determinar una función desconocida a partir de una ecuación una ecuación , denominada diferencial denominada diferencial , (ED) que contiene por lo menos una de sus derivadas respecto de una variable independiente.
Ejemplo 1.1.1 Se lanza verticalmente una partícula P P de de masa m desde la supercie de un planeta sin atmósfera cuya forma es una esfera de radio R. Co Cono noci ciend endo o el va valor lor de la gr grav aveeda dad d g sobre su supercie, establecer la velocidad v de P P en en función de su distancia x al centro del planeta. plan eta. Hallar la velo velocida cidad d que debemo debemoss imp imprim rimir ir a P P para para que escape del campo gravitacional si g = 9.81 m/s2 , R = 6500 km km.. km Sol.: La fuerza fuerza g grav ravitacional itacional es F (x ( x) = km . Como F (R ( R ) = = mg x R resulta que k = gR 2 . Como es habitual denotamos a = dv , entonces dt 2
2
ma = ma =
gR2 m x2
dv = m dv = m dt dx
dx dt
= mv
dv dx
v dv =
=
gR 2 x2
dx.
gR 2 x
1 2 v 2
Integrando, = + C. Si dotamos a P P con una velocidad inicial 1 2 v (R) = v 0 , entonces C = 2 v0 gR gR por por lo que v2 =
2gR2 x
+ v02
2gR
v=
q
2gR2 x
+ v02
2gR.
Si v02 2gR gR,, P P escapa ya que v no no se anul anula. a. Par ara a g = 9.81 m/s2 y R = 6500 km, 6500 km, la velocidad de escape es v0 11 11..293 km/s.
1
2
Capítulo 1
Una ecuación diferencial es ordinaria (EDO) si la incógnita es derivadas adas parcial parciales es (EDP) si es func fu nció ión n de un una a so sola la var aria iabl ble, e, y en deriv función de dos o más. En lo que sigue nos ocuparemos únicamente de las primeras. Una ecuación Una ecuación diferencial ordinaria es ordinaria es de orden n n si si involucra hasta la derivada n derivada n-sima -sima de la función desconocida, diciéndose que está expresada en forma normal si viene dada por y (n) = f f ((x,y,y , . . . , y (n1)). 0
Una función denida en un intervalo I R es solución o integral de la ecuación diferencial si al sustituirla en ella se obtiene una identidad. da d. Si la sol soluc ución ión contie contiene ne n constantes arbitrarias se llama integral general (IG). Cada solución obtenida dando valores a las constantes arbitrarias se llama integral particular (IP). Y las soluciones que no pueden obtenerse a partir de una integral general se llaman integrales singulares (IS). Las grácas de las soluciones se denominan curvas resue uelv lvee un problema de valor inicial (PVI) si, daintegrales. Se res (n1) dos x0 , y0 , y0 , . . . , y0 R, se busca una solución y (x) que satisfaga ( 1) y (x0 ) = y 0 , y (x0 ) = y 0 , . . . , y (n1)(x0 ) = y 0n .
0
0
0
1.22 Ec 1. Ecua uaci cion ones es de pr prim imer er or orde den n Las EDO de primer orden se generan si entre la ecuación que representa una familia F familia F de de curvas F curvas F ((x,y,C ) = 0 y su derivada total respecto de x x,, F x(x,y,C ) + F y (x,y,C ) y = 0, eliminamos el parámetro C parámetro C .. El resultado se denomina ecuación denomina ecuación diferencial de F . 0
Ejemplo 1.2.1 Hallar la ecuación diferencial de (x c)2 + y2 = 1. Sol.: Eliminando c entre la ecuación de esta familia de circunferencias y su derivada respecto de x x,, 2 (x c) + 2yy = 0, obtenemos su ecuación diferencial y diferencial y 2 y + 1 = 1. Aquí (x ( x c)2 + y2 = 1 es la integral general y cada una de las circunferencias es una integral particular. Es fácil ver que y que y = ± ±11 son soluciones singulares. Hay ecuaciones diferenciales, como 2 + y + y 2 = 0, que carecen de solución.. En ción Enunci unciarem aremos os dos resul resultad tados os que garantiza garantizan n la exist existenci encia a de solu solu-ciones, única en el primero de ellos con ayuda del siguiente concepto.
³
0
2
´
0
0
3
Ecuaciones diferenciales
f : A R2 R verica una condición Denición 1.2.2 Una función f condición
y en A si A si hay una constante L, denominada de Lipschitz con respecto a y en f ((x, y1 ) f f ((x, y2 )| L |y1 y2 | en A. de Lipschitz , tal que |f
Si f y es con contin tinua ua en A = [a, b] × [c, d], f f satisface satisface una con condició dición n de Lipschitz ya que entonces |f y (x, y )| K (x, y ) A, por lo que y |f f ((x, y1 ) f f ((x, y2 )| |f y (x, y )| dy K |y |y1 y2 | , (x, y1 ), (x, y2 ) A. y
R
1
2
Sea a f f una una función continua en el rectánTeorema 1.2.3 (de Picard) Se gulo A = [a, b] × × [ [c, c, d] donde satisface una condición de Lipschitz con respecto a y. Dado (x0 , y0 ) del interior de A, existe un h > 0 tal que y = f f ((x, y ), y (x0 ) = y 0 , tiene una única solución en [x0 h, x0 + h]. 0
Teorema 1.2.4 (de Peano) Se Sea a f f una una función continua en el rectángulo A = gulo A = [a, b] × [c, d]. Si (x ( x0 , y0 ) está en el interior de A, A , entonces existe un h > 0 tal que y = f (x, y ), y (x0 ) = y0 , tiene al menos una solución en [x0 h, x0 + h]. 0
1
Analizarr si f (x, ( x, y ) = 2y satis satisfac facee una cond ondició ición n de Ejemplo 1.2.5 Analiza 2
Lipschitz en el rectángulo A = {(x, y ) R2 : |x| 2, |y| la unicidad de solución del PVI y = 2y , y (0) = 0. 0. 0
1 2
Estud tudiar iar 1}. Es
f (0,0) Sol.: Como f (0,yy) = 2y no está acotado en las cercanías del 0 origen, f f no no satisface una condición de Lipschitz en A. Por tanto tanto no es de extrañar que, a pesar de ser f f continua continua en A, A, el el PVI dado presente más de una solución como lo son y1 (x) = x2 , y2 (x) = 0. 1 2
Resolución gráca. Isoclinas Una ecuación diferencial y diferencial y = f f ((x, y ), donde f donde f es es una función continua en D R2 , asocia a cada P P ((x, y ) D una dirección de coeciente angular m = f f ((x, y ), que es la direc dirección en P P de de cualquier solución que pase por P por P .. Los puntos de D con su dirección se llama campo de direcciones, pudiéndose visualizar con ayuda de pequeños segmentos con punto medio en ciertos P D y su correspondiente dirección. Si distribuimos los puntos P P sobre sobre curvas de ecuación m = f f ((x, y ), m R, se obtienen las curvas isoclinas que contienen a los puntos a los que corresponde la misma dirección. 0
4
Capítulo 1
Ejemplo 1.2.6 Emplear el método de las isoclinas para hallar: a) La curva que pasa por ( 1, 2) a) La 2) y y en cada punto ( punto (x, x, y ) la pendiente de la tangente es el cuadrado de la abscisa x. b) Las b) Las curvas tales que en cada punto (x, y ) la pendiente sea el cociente entre ordenada y abscisa. c) La c) La curva que pasa por el punto (0 (0,, 1) 1) y y verica que la pendiente de la tangente en cada punto ( punto (x, x, y ) es igual al producto de ordenada y abscisa.
Sol.: a) La propiedad propiedad enun enunciada ciada es es y = x 2 . Las isoclinas son 0
m = = x x 2
x = m, x = m, m 0.
El campo de direcciones en un entorno de ( 1, 2) 2),, por ejemplo en el cuadrado [ [ 2, 0] cuadrado 0] × × [ [ 3, 1] , es el siguiente.
Este método no proporciona la expresión analítica de la curva integral que pasa por ( 1, 2) 2) pero pero sugiere su gráca. b) La propiedad enunciada es y es y = xy . Las isoclinas son m = xy con m R, y representan los puntos de curvas integrales en los que la pendiente es m. En este caso coinciden con las curvas integrales. c) La propiedad enunciada es y = xy por lo que las isoclinas son las hipérbolas m hipérbolas m = = xy xy.. Dando a m a m valores valores negativos, positivos y 0 y 0,, notamos que las curvas integrales son decrecientes en el segundo y cuarto cuadrantes, crecientes en el primero y tercero, tienen pendiente nula sobre OY (recta x = 0) y la recta y = 0 también es solución de la ecuación OY
0
0
5
Ecuaciones diferenciales
diferencial. La gráca de la curva integral que pasa por (0 (0,, 1) es 5 4 3 y 2 1
-2
-1
0
1
x
.
2
1.3 Ec Ecua uacio cione ness de var ariab iables les se sepa para rabl bles es 1.3. 1. 3.11 De eni nició ción n y re reso soluc lució ión n Una EDO y EDO y = f f ((x, y ) se dice que es de variables separables si existen dos funciones continuas P continuas P y Q Q tales tales que, operando, puede escribirse como P ((x) dx P dx = = Q Q((y ) dy dy.. Entonces se dice que tiene las variables separadas y una integral una integral general es 0
Z
P ((x) dx P dx = =
Z
Q(y) dy dy + + C, C constante constante arbitraria. arbitraria.
Ejemplo 1.3.1 Resolver a) b) c) d) e)
y2) 3xy y = 0. (1 y 2 ) 3xy y = 0, (1 y 2 ) 3xy y = 0, (1 y 2 ) 3xy y = 0, (1 y 2 ) 3xy y = 0, (1
0
0
0
0
0
y (4) =
23 .
33 ) = 2. y (4) = 1.
y(
y (0) = 2. 2.
Sol.: a) Separando las variables x e y , dx 3y dy = . 2 x 1 y
Integrando en ambos miembros, ln |x| =
3 ln |1 2
2
y | + ln C
|x| |1
2
y |
3 2
IG)) = C, C > 0 > 0.. (IG
6
Capítulo 1
Las soluciones de una EDO son funciones denidas en un intervalo donde la sa sati tisfa sface cen. n. En es este te ca caso so pod podem emos os ex expr pres esar ar la lass so solu lucio cione ness en fo form rma a explícita
q p y = = ± ± 1 (C/x C/x)) , x > C,
q p y = ± 1 (C/x C/x)) , x < C,
2
3
y2 > 0 0,, e
correspondientes a soluciones en las que 1
q p y = = ± ± 1 + (C/x C/x)) , x > 0 0,,
q p y = ± 1 + (C/x C/x)) , x < 0 0,,
2
3
2
3
3
2
correspondientes a soluciones en las que 1 y2 < 0 0.. Por otra parte siempre que separamos variables hemos de esudiar si hemos perdido alguna solución solu ción.. En este caso hemos hemos dividido dividido por 1 y2 por lo que hemos descartado que dicha expresión sea nula, Y efectivamente en este caso a) también admite las soluciones singulares
y = ± ±11. (IS IS))
¯¯ ³ ´ ¯¯ b) Para que y (4) = 4 ¯¯1 ¯¯ solución del PVI viene incluida en ¯ ¯ ¯ 2 |x| 1 y ¯ = 1.
3 2
3 2
2
3 2
=
1 2
= C. Por tanto la
3
2
2
Analiza Anali zand ndo o la con condic dición ión ini inicia cial, l, qu quee busca buscamo moss un unaa sol soluci ución ón en 4 > 0 donde y donde y(4) (4) < < 0 0 y y además 1 y 2 = 1 34 > 0 0,, observamos que la función que la satisface es
q p 1 y = 1 (1 (1//2x) , x > . 2
3
2
3 ) 3
c) Para que y ( =2 del PVI viene incluida en
3 3
|1
2
3
2 | 2
¯ ¯ ¯ |x| 1 y ¯
2
= 3 = C. C. Por Por tanto la solución
3 2
= 3.
3 Analizando la condición inicial, que buscamos una solución en < 0 3 donde y ( 33 ) > 0 y además 1 y 2 = 1 4 < 0, observamos que la función que la satisface es
q p y = 1 + (3 (3/x /x)) , x < 0 0.. 3
2
7
Ecuaciones diferenciales
d) Si en la IG se plantea y (4) =
1 4 (1 1) ¡ ¢ 2 x 1y =0
3 2
= 0 = C C conduce conduce a
3 2
que no debe considerarse como solución ya que el proceso de obtención de la IG es válido para C > 0 0.. La función y función y = 1 es la solución de este PVI y corresponde a una de las IS de a).
e) Si en la IG se plantea y (0) = 2 la solución falsa (C (C 0)
0 (1 4) 2
Este PVI no tiene solución.
¡ ¢ x 1y
3 2
= 0 = C C conduce conduce a dar
3
= 0.
2
Nota 1.3.2 Si (x ( x0 , y0 ) está en el interior de un rectángulo donde P y Q Q son continuas, la continuas, la solución de P P ((x) dx dx = = Q Q((y ) dy, y( y (x0) = y 0 es x
Z
y
P ((x) dx P dx = =
x0
Z
Q(y ) dy.
y0
Así, en Ejemplo 1.3.1 b) y c), las soluciones explícitas con las condiciones iniciales dadas podrían haberse obtenido respectivamente mediante x
b)
Z 4
y
x
dx 3y dy dx = , c) = 2 x 1 y x
Z
3
2
Z
3
3
y
Z 2
3y dy . 1 y2
1.3.2 1.3 .2 Ec Ecuac uacion iones es dif difere erenci nciale aless hom homogé ogénea neass
R2 R se dice que f es es homogénea homogénea de grado k , si f (tx tx,, ty ty)) = t f (x, y ) para (x, y ), (tx,ty tx,ty)) A.
Una función Una función f : A
k
Una ecuación diferencial es homogénea si puede expresarse como 0
y = f f ((x, y ) donde f f es es una funci´on on homog´enea enea de grado 0. Si f f es es homogénea de grado 0 el cambio y cambio y = xz xz la la transforma en z + + xz = f f ((x,xz ) = f f (1 (1,, z ) 0
dz f (1,z )z
= dx , x
que tie que tiene ne las vari ariab ables les separad separadas. as. Si su solució solución n es F (x,z,C ( x,z,C ) = 0, la solución de la ecuación original es F x, xy , C = 0.
¡
¢
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